Aula 05 “Diagramas de blocos & erro”
Diagramas blocos & erro ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
output
input
Bloco simples Caixa preta Black box
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Caixa preta ou Black box:
G (s) output
input Função de Transferência:
Y (s) G (s) = X (s) ou: Y (s ) = G (s ) ⋅ X (s ) ou seja, SAÍDA =
F.T. X ENTRADA
combinação de blocos
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blocos em cascata
G1 (s)
G 2 (s)
a saída X(s) do primeiro bloco é a entrada do segundo.
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blocos em cascata
G1 (s)
G 2 (s)
logo,
X (s) G 1 (s ) = R (s)
Y (s) G 2 (s) = X (s)
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blocos em cascata
G1 (s) ou seja,
SAÍDA
G 2 (s)
= F.T. X ENTRADA
X (s) = G1 (s) ⋅ R (s)
para o 1º bloco
Y (s) = G 2 (s) ⋅ X (s)
para o 2º bloco
SAÍDA
= F.T. X ENTRADA
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blocos em cascata
G1 (s)
G 2 (s)
portanto:
Y (s) = G1 (s) ⋅ G 2 (s) ⋅ R (s)
ou,
Y (s) = G1 (s) ⋅ G 2 (s) R (s)
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blocos em cascata
G1 (s)
G 2 (s)
logo:
G1 (s) ⋅ G 2 (s)
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blocos em cascata
G1 (s) G 2 (s)
e portanto:
G1 (s) ⋅ G 2 (s)
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somador
Y (s) = A (s) + B(s) + C(s)
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detector de erros
E (s) = R (s) − B(s)
realimentação ( feedback )
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realimentação ( feedback )
informação da saída Y(s) é reintroduzida na entrada, depois de comparar como sinal de referência R(s).
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realimentação unitária unit feedback
E (s) = R (s) − Y (s) Y (s) = G (s) ⋅ E (s)
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realimentação unitária unit feedback
E(s)
Y(s) = G(s) ⋅ [ R(s) − Y(s) ]
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realimentação unitária unit feedback
Y(s) = G(s) ⋅ R(s) − G(s)Y(s)
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realimentação unitária unit feedback
Y(s) ⋅ [1 + G(s) ] = R(s)G(s)
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realimentação unitária unit feedback
Y (s) G (s) = R (s) 1 + G (s)
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realimentação (não unitária) non unit feedback
Y (s) G (s) = R (s) 1 + G (s) ⋅ H (s)
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realimentação (não unitária) non unit feedback
G (s) 1 + G (s) ⋅ H(s)
Y (s) G (s) = R (s) 1 + G (s) ⋅ H (s)
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observe que a realimentação unitária (ou, ‘unit feedback’)
corresponde a realimentação não unitária (ou, ‘non unit feedback’) quando
H (s) = 1
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realimentação (unitária) unit feedback
G (s) 1 + G (s) ⋅ H(s)
H (s) = 1
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realimentação (unitária) unit feedback
G (s) 1 + G (s)
Y (s ) R (s )
=
G (s) 1 + G (s )
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Exemplo 1:
5 G (s) = s (s + 4)
5 Y (s) G (s) 5 s (s + 4) = = = 2 5 R (s) 1 + G (s ) s + 4 s + 5 1+ s (s + 4)
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Exemplo 2:
5 G (s) = s (s + 4)
1 H (s) = (s + 3)
5 Y (s ) G(s) s (s + 4) = = 5 1 R (s ) 1 + G(s)H(s) 1+ ⋅ s (s + 4) (s + 3)
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Exemplo 2:
5 G (s) = s (s + 4) 1 H (s) = (s + 3)
Y (s) 5 (s + 3) = 3 2 R (s) (s + 7s + 12 s + 5)
realimentação tacométrica
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realimentação tacométrica
K (Js+ F) tacómetro sensor de posição
1 s
K1 K2
para servomotores com realimentação de velocidade
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realimentação tacométrica
K (Js+ F) tacómetro sensor de posição
1 s
K1 K2
K (Js + F) G (s) = KK 1 1+ (Js + F)
G(s)
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realimentação tacométrica
G (s ) sensor de posição
1 s
K2
K (Js + F) G (s) = KK 1 1+ (Js + F)
G(s)
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realimentação tacométrica
G (s ) sensor de posição
K2
K (Js + F) G (s) = KK 1 1+ (Js + F)
1 s
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realimentação tacométrica
G (s ) sensor de posição
1 s
K2
K K ( Js + F) G (s ) = = KK 1 Js + F + KK 1 1+ ( Js + F)
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realimentação tacométrica
G (s ) K2
sensor de posição
G (s ) =
K Js + F + KK1
1 s
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realimentação tacométrica
K Js + F + KK1
K2
sensor de posição
G (s ) =
K Js + F + KK1
1 s
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realimentação tacométrica
K Js + F + KK1
sensor de posição
1 s
K2
K 1 ⋅ Y (s) Js + ( F + KK 1 ) s = K 1 R (s) 1+ ⋅ ⋅ K2 Js + ( F + KK1 ) s
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realimentação tacométrica
K K Js + FF++KK KK 11
sensor de posição
Y (s) R (s)
=
1 s
K2
K Js + ( F + KK1 )s + KK 2 2
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realimentação tacométrica
K 2 2 Js + + ((F F+ + KK KK 1 ))ss + KK 2 Js + KK 1 2
realimentação tacométrica (outra forma de ver-se)
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realimentação tacométrica
K (Js+ F) tacómetro
sensor de posição
K1 K2
1 s
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realimentação tacométrica
K (Js+ F) tacómetro
sensor de posição
K1s K2
1 s
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realimentação tacométrica
K (Js+ F) K1s K2
K1s + K 2
1 s
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realimentação tacométrica
K (Js+ F)
1 s
K1s + K2
K 1 ⋅ Y (s) (Js + F) s = K ( K1s + K 2 ) R (s) 1+ (Js + F) s
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realimentação tacométrica
K (Js+ F)
1 s
K1s + K2
Y (s) K = 2 R (s) Js + ( F + KK 1 )s + KK 2 que é o mesmo resultado obtido anteriormente, mais acima.
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realimentação tacométrica
K K 2 Js2 + (F + KK 1 )s + KK 2 Js + ( F + KK 1 )s + KK 2
Y (s) K = 2 R (s) Js + ( F + KK 1 )s + KK 2 que é o mesmo resultado obtido anteriormente, mais acima.
Erro
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Erro realimentação unitária
E(s) = R(s) − Y(s)
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Erro realimentação não unitária o erro torna-se:
E(s) = R(s) − B(s)
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ou seja:
B(s) erro:
E(s) = R(s) − Y(s)H(s)
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mas:
Y(s) = G(s) ⋅ E(s) Y(s)
logo:
E(s) = R(s) − G(s)E(s)H(s)
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portanto:
E(s) [1 + G(s)H(s) ] = R(s)
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e a fórmula do ‘erro’ é:
R(s) E(s) = [1 + G(s)H(s)]
Erro em estado estacionário Saída em estado estacionário
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Teorema do Valor Inicial:
x (0) = lim x ( t ) = lim s ⋅ X (s) (TVI) t →0
s→∞
Teorema do Valor Final:
x (∞) = lim x ( t ) = lim s ⋅ X (s) (TVF) t →∞
s→0
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Teorema do Valor Inicial:
x (0) = lim s ⋅ X (s) s→∞
(TVI)
Teorema do Valor Final:
x (∞) = lim s ⋅ X (s) s→0
(TVF)
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Exemplo 3:
Y (s) =
3s − 2 s (s + 5)
TVI
TVF
y(0) = lim s ⋅ Y (s) s→∞
= lim s ⋅ s→∞
= lim s→∞
= 3
3s − 2
s (s + 5) 3s − 2
(s + 5)
y(∞ ) = lim s ⋅ Y (s) s→0
= lim s ⋅ s→0
= lim
3s − 2
s (s + 5) 3s − 2
(s + 5) = − 2/5 s→0
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Exemplo 4:
E (s) =
2s s − 4s + 3 2
TVI
e(0) = lim s ⋅ E (s) s→∞
= lim s→∞
= 2
2s
2
s − 4s + 3 2
TVF e(∞) = lim s ⋅ E (s) s→0
= lim s→0
= 0
2 s2 s − 4s + 3 2
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Erro em estado estacionário: (Steady state error):
ess = lim e(t) t →∞
ess = lim e(t) = lim s ⋅ E(s) t →∞
s→0
(TVF)
s ⋅ R(s) ess = lim s ⋅ E(s) = lim s →0 s→0 [1 + G(s)H(s) ]
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Erro em estado estacionário: (Steady state error):
e ss = lim s →0
s ⋅ R (s)
[1 + G (s)H(s)]
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Saída em estado estacionário: (Steady state output):
y ss = lim y( t ) t →∞
y ss = lim y( t ) = lim s ⋅ Y (s) t →∞
Mas, nós sabemos que
s→0
(TVF)
Y (s) G (s) = R (s) 1 + G (s) H (s)
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Saída em estado estacionário: (Steady state output): logo,
G (s ) Y (s) = ⋅ R (s ) [1 + G (s)H(s)] y ss = lim s ⋅ Y (s) = s →0
G (s ) = lim s ⋅ ⋅ R (s) s →0 [1 + G (s)H(s)]
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Saída em estado estacionário: (Steady state output): e portanto,
y ss
s G (s) R (s) = lim s ⋅ Y (s) = lim s →0 s →0 [1 + G (s ) H (s ) ]
y ss
s G (s) R (s) = lim s →0 [1 + G (s ) H (s ) ]
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Exemplo 5:
2 G (s ) = (s + 1)
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Exemplo 5: (continuação)
2 ( s + 1)
entrada r(t):
r ( t ) = u1 ( t )
r(t) = degrau unitário
2 G (s ) = (s + 1)
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Exemplo 5: (continuação)
entrada r(t):
2 ( s + 1)
r ( t ) = u1 ( t )
r(t) = degrau unitário
1 R (s ) = s
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Exemplo 5: (continuação)
1 R (s) = s
2 ( s + 1)
saída y(t)
G (s ) Y (s) = ⋅ R (s ) [1 + G (s)H(s)] 2 1 (s + 1) = ⋅ 2 s 1 + (s + 1) 2 = s (s + 3)
saída em estado estacionário yss (steady state output)
y ss = lim s ⋅ Y (s) = s →0
2 = lim s ⋅ s →0 s (s + 3) = 2/3
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Exemplo 5: (continuação)
2 ( s + 1)
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Exemplo 5: (continuação)
2 ( s + 1)
yss = 2/3
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Exemplo 5:
1 (continuação) R (s) = s
erro e(t) R (s) E (s ) = [1 + G (s)H(s)] 1/ s = 2 1 + (s + 1) (s + 1) = s (s + 3)
2 ( s + 1)
erro em estado estacionário ess (steady state error)
e ss = lim s ⋅ E (s) = s→0
(s + 1) = lim s ⋅ s→0 s (s + 3) = 1/ 3
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Exemplo 5: (continuação)
2 ( s + 1)
ess = 1/3
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Exemplo 6:
Mas agora temos
K, chamado
“controlador proporcional” ou “controlador P”
2 G (s ) = (s + 1) o mesmo do exemplo anterior
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Exemplo 6:(continuação)
2 G (s ) = (s + 1)
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Exemplo 6:(continuação)
2 (s + 1)
entrada r(t):
r ( t ) = u1 ( t )
r(t) = degrau unitário (novamente)
2 G (s ) = (s + 1)
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Exemplo 6:(continuação)
2 (s + 1)
2K (s + 1)
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Exemplo 6:(continuação) entrada r(t): r ( t ) = u1 ( t )
2 (s + 1)
r(t) = degrau unitário
1 R (s ) = s
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Exemplo 6:(continuação) 1 R (s ) = s
2 (s + 1)
saída y(t)
G (s) Y (s) = ⋅ R (s) Saída em estado [1 + G (s)H(s)] estacionário yss (Steady state output) 2K y ss = lim s ⋅ Y (s) = 1 (s + 1) s→0 ⋅ = 2K s 2K = lim s ⋅ 1 + (s + 1) s→0 s (s + 2K + 1) 2K 2K = = (2K + 1) s (s + 2K + 1)
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Exemplo 6:(continuação) 2 (s + 1)
saída em estado estacionário yss (steady state output) se K é suficientemente grande
y ss
2K = ≅ 1 ( 2K + 1)
ou
y ss → 1
quando
K→∞
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Exemplo 6:(continuação) 2 (s + 1)
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Exemplo 6:(continuação) 2 (s + 1)
yss ≈ 1
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Exemplo 6:(continuação) 2 (s + 1)
1 R (s) = s
erro e(t)
R (s) E (s ) = [1 + G (s)H(s)] 1/ s = 2K 1 + (s + 1) (s + 1) = s (s + 2K + 1)
erro em estado estacionário ess (steady state error)
e ss = lim s ⋅ E (s) = s →0
(s + 1) = lim s ⋅ s →0 s (s + 2K + 1) 1 = ( 2K + 1)
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Exemplo 6:(continuação) 2 (s + 1)
erro em estado estacionário ess (steady state error)
se K é suficientemente grande
e ss
1 = ≅ 0 (2K + 1)
ou
e ss → 0
quando
K→∞
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Exemplo 6:(continuação) 2 (s + 1)
ess → 0
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Exemplo 6:(continuação) 2 (s + 1)
qual o valor que deveríamos ajustar o K para que o erro em estado estacionário (steady state error) seja
ess < 0,01 e ss
1 1 = < 0,01 = ( 2K + 1) 100
K > 99 / 2
100 < ( 2K + 1) K > 49,5
devemos escolher
K > 49,5
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Exemplo 7: controlador ‘I’
Usando
K/s, temos um
“controlador integral” ou “controlador I”
2 G (s ) = (s + 1) o mesmo do exemplo anterior
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Exemplo 7: (continuação)
1 R (s) = s
erro e(t)
R (s) E (s ) = [1 + G (s)H(s)] 1/ s = 2K 1 + s (s + 1) (s + 1) = (s 2 + s + 2 K )
erro em estado estacionário ess (steady state error)
e ss = lim s ⋅ E (s) = s→0
(s + 1) = lim s ⋅ 2 s→0 (s + s + 2K ) = 0
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Exemplo 7: (continuação)
Logo, agora é possível, por exemplo, ajustar o K para que o erro em estado estacionário (steady state error) seja
ess = 0 devemos escolher
K>0
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Há vários tipos de controladores controlador ‘PD’
Usando
K1 + K2 s, temos um
“controlador proporcional derivativo” ou “controlador PD”
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Há vários tipos de controladores controlador ‘PI’
Usando
K1 + K2/s, temos um
“controlador proporcional integral” ou “controlador PI”
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O caso mais geral é o ‘controlador PID’ controlador ‘PID’
Usando
K1 + K2/s + K3s, temos um
“controlador proporcional integral derivativo” ou “controlador PID”
Obrigado! Felippe de Souza
[email protected]
