Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine

AUFGABEN

Klausur:

Modul 31811 Planen mit mathematischen Modellen

Termin:

07.03.2016

Prüfer:

Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine

Copyright © 2016 FernUniversität in Hagen - Alle Rechte vorbehalten

Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen Aufgabe 1

1 Aufgabenteil 20 Punkte

Der Betreiber eines mobilen Heißgetränkeverkaufs beabsichtigt, vor der Mensa einer Universität Kaffee und Espresso anzubieten. Da sein Mini Cooper nur über begrenzte Kapazität verfügt und sehr viele Studierende die Mensa täglich aufsuchen, kann er davon ausgehen, dass seine Absatzzahlen nur von seinen Vorräten an Wasser, Bechern und Plätzchen begrenzt werden. Ein Kaffee (Espresso) benötigt 0,35 (0,1) l Wasser, beide Produkte verbrauchen 0,03 kg Kaffeepulver und einen Becher; pro Espresso wird noch ein Plätzchen beigelegt. Zur Verfügung stehen dem Betreiber 50 l Wasser, 6 kg Kaffeepulver, 300 Becher und 100 Plätzchen. Die vom Betreiber errechneten Deckungsbeiträge pro verkauftem Kaffee (Espresso) belaufen sich auf 0,5 (0,3) Euro. Der Betreiber ist an der Deckungsbeitragsmaximierung für den Tagesverkauf von Kaffee und Espresso interessiert. a) Formulieren Sie ein entsprechendes lineares Optimierungsmodell und erläutern Sie die Bedeutung der Variablen. b) Stellen Sie ein zulässiges Ausgangstableau für das vorliegende Optimierungsproblem auf und benennen Sie den aktuellen Verkaufszustand. c) Lösen Sie das in a) aufgestellte Programm graphisch; benutzen Sie die vorgegebenen Hilfskästchen mit einer Einteilung von 20 Einheiten pro Kästchen (Lösungsbogen Seite 2). d) Wie hoch darf die Standgebühr maximal sein, sodass sich der Verkauf gerade noch lohnt?



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Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen Aufgabe 2

2 Aufgabenteil 15 Punkte

Gegeben sei folgendes Maximierungsproblem: max

u.d.N.

560𝑥1 + 620𝑥2 + 740𝑥3 + 310𝑥4 + 920𝑥5 + 630𝑥6 + 240𝑥7 30𝑥1 + 80𝑥2 + 20𝑥3 + 10𝑥4 ≤ 4500 40𝑥1 + 20𝑥4 ≤ 6500 50𝑥1 + 10𝑥2 + 10𝑥5 + 10𝑥6 + 30𝑥7 ≤ 7200

10𝑥1 + 20𝑥2 + 70𝑥3 + 20𝑥5 + 40𝑥6 + 10𝑥7 ≤ 4100 10x3 + 20x4 + 10x6 + 30x7 ≤ 5900 𝑥𝑖 ≥ 0 für i =1,..,7

Das Problem ist mit dem Simplex-Algorithmus zu lösen. Verwenden Sie dazu die im Lösungsbogen (Seite 3) vorgegebenen Tableaus und geben Sie die Lösung explizit an.



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Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen Aufgabe 3

3 Aufgabenteil 35 Punkte

Gegeben sei in einer Excel-Tabelle folgendes Transportproblem mit 4 Lagern und 4 Nachfrageorten:

Tabelle: Transportproblem

a) Formulieren Sie das Problem als (vollständiges) mathematisches Modell. Geben Sie dabei explizit (d.h. mit konkreten Zahlen) Zielfunktion und Restriktionen an, und erläutern Sie die Bedeutung der Variablen.

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Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

4 Aufgabenteil

b) Stellen Sie das zugehörige Solver-Modell auf; ergänzen Sie dazu alle fehlenden Solver-Parameter im Excel-Screenshot (Lösungsbogen Seite 6). c) Welche Formel ist in Zelle Z46 hinterlegt? d) Lösen Sie das Problem mit der Vogel’schen Approximationsmethode. Verwenden Sie dazu die Tabellenvorlage (Lösungsbogen Seite 7). Berechnen Sie die Gesamttransportkosten und geben Sie den Transportplan explizit an!



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Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen Aufgabe 4

5 Aufgabenteil 15 Punkte

Aus dem Kurs ist Ihnen der multiplikative Kongruenzgenerator von Lehmer bekannt. a) Erzeugen Sie fünf normierte Zufallszahlen nach dem Verfahren von Lehmer, benutzen Sie dazu die folgenden Parameterwerte: 𝑧0 𝑎 𝑏 𝑘

= 2, = 7, = 8, = 0.

Sind die gewählten Parameter zur Erzeugung von Zufallszahlen geeignet?

b) Bilden Sie das Inverse zur angegebenen Logistischen-Verteilung 𝐹(𝑥) =

1+𝑒

1

−�

𝑥−α � 𝛽

mit 𝛽 > 0 sowie − ∞ < α, 𝑥 < +∞

und simulieren Sie mit der ersten erzeugten Zufallszahl aus a) eine Logistisch-verteilte Zufallszahl mit 𝛼 = 0 und 𝛽 = 1. Anmerkung: Bitte geben Sie auch Ihre Umformungsschritte an!



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Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

6 Aufgabenteil

Aufgabe 5

15 Punkte

a) Vervollständigen Sie folgende Projektliste, indem Sie die fehlenden Werte der Spalten ‚Zeitrechnung‘ und ‚Puffer‘ berechnen. Hinweis: Die entsprechende Tabellenvorlage finden Sie im Lösungsbogen auf Seite 10. b) Skizzieren Sie die Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den Vorgängen in einem Graphen. Vorgang Nr

Vorgänger

Dauer

Nr

WZ

1

22

-

-

2

16

1

-2

3

9

1

-3

4

15

3

-6

Zeitrechnung FAZ

FEZ

SAZ

Puffer GP

FP

2 5

18

1

+5

2 6

7 8

32

5 14

3

+5

4

-3

5

+16

6

-9

7

-4

NV Projektplan

Legende

FAZ

Früheste AnfangsZeit des Vorgangs

FEZ

Früheste EndZeit des Vorgangs

SAZ

Späteste AnfangsZeit des Vorgangs

GP

GesamtPuffer des Vorgangs

FP

Freier Puffer des Vorgangs

WZ

WarteZeiten. Wartezeiten werden hier als Ende-Anfang-Beziehungen abgebildet.

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LÖSUNGSBÖGEN

Klausur:

Modul 31811 Planen mit mathematischen Modellen

Termin:

07.03.2016

Prüfer:

Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine

Name, Vorname : Matrikelnummer :

Aufgabe

1

2

3

4

5

Summe

maximale Punktzahl

20

15

35

15

15

100

erreichte Punktzahl Gesamtpunktzahl:

Note:

Datum:

Unterschriften der Prüfer:

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Hinweise für die Bearbeitung •

Füllen Sie zunächst das Deckblatt und den Kopf der Lösungsbögen aus.

•

Trennen Sie von den Lösungsbögen keine Blätter ab; am Ende der Klausur müssen alle Lösungsbögen abgegeben werden.

•

Die Lösungen müssen in dem vorgesehenen Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseite, und geben Sie einen deutlichen Hinweis hierauf.

•

Bedenken Sie, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird.

•

Die Klausur umfasst 5 Aufgaben, die in 120 Minuten zu bearbeiten ist.

•

Zu jeder Aufgabe ist die maximal erreichbare Punktzahl angegeben; die Summe aller Punkte beträgt 100. Die Klausur ist auf jeden Fall bestanden, wenn 50 Punkte erreicht wurden.

•

Zugelassene Hilfsmittel für diese Klausur: Die Verwendung eines Taschenrechners ist dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der drei folgenden Modellreihen angehört: – Casio fx86, – Texas Instruments TI 30 X II, – Sharp EL 531. Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note „nicht ausreichend“ (5,0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der drei Modellreihen angehört, können Sie selbst überprüfen, indem Sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt. Eventuelle Vorgänger- oder Nachfolgemodelle, die nicht in der oben aufgeführten Liste enthalten sind, sind ebenfalls nicht erlaubt. Darüber hinaus sind ausschließlich die zum Modul gehörenden Kurseinheiten einschließlich der darin enthaltenen Lösungen zu den Übungsaufgaben zugelassen. Die Kurse dürfen Markierungen und textbezogene Anmerkungen enthalten.

•

Lesen Sie den Aufgabentext gut durch und nun: Viel Erfolg !

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Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

 Name:

Matr.-Nr.:

Lösung zu Aufgabe 1

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1

Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

 Name:

Matr.-Nr.:

Lösung zu Aufgabe 1 (Fortsetzung)

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2

Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

 Name:

3

Matr.-Nr.:

Lösung zu Aufgabe 2 -560 -620 -740 -310 -920 -630 -240 30 80 20 10 0 0 0 1 40 0 0 20 0 0 0 1 50 10 0 0 10 10 30 1 10 20 70 0 20 40 10 0 0 10 20 0 10 30

-100 300 2635 30 80 15 40 0 -10 45 0 -35 1/2 1 3 1/2 0 0 1/2

1 1

1 1

0 4500 6500 7200 4100 5900

1365 685 46 15 1/2 280050 -5 -15 1 0 - 1/2 1550 -10 -30 1 0 -1 600 -10 25 1 - 1/2 0 5150 2 1/2 1/20 0 205 1/2 1 1/2 0 1/20 295

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Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

 Name:

Matr.-Nr.:

Lösung zu Aufgabe 2 (Fortsetzung)

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4

Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

 Name:

Matr.-Nr.:

Lösung zu Aufgabe 3 a)

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5

Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

 Name:

Matr.-Nr.:

Lösung zu Aufgabe 3 (Fortsetzung) b)

c)

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6

Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

 Name:

Matr.-Nr.:

Lösung zu Aufgabe 3 (Fortsetzung) d)

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7

Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

 Name:

Matr.-Nr.:

Lösung zu Aufgabe 4

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8

Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

 Name:

Matr.-Nr.:

Lösung zu Aufgabe 4 (Fortsetzung)

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9

 Name:

Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

10

Matr.-Nr.:

Lösung zu Aufgabe 5 Vorgang Nr

Vorgänger

Dauer

Nr

WZ

1

22

-

-

2

16

1

-2

3

9

1

-3

4

15

3

-6

Zeitrechnung FAZ

FEZ

Puffer SAZ

GP

FP

2 5

18

1

+5

2 6

7 8

32

5 14

3

+5

4

-3

5

+16

6

-9

7

-4

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NV

Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

 Name:

Matr.-Nr.:

Zusätzliche Seite 1; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen.

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11

Modul 31811 vom 07.03.2016 Planen mit mathematischen Modellen

 Name:

Matr.-Nr.:

Zusätzliche Seite 2; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen.

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