Algebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa. Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica Facultad de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica y Electr´onica Universidad de Guanajuato email: [email protected] En estas notas se definir´an el rango de una matriz y se probar´an algunos resultados acerca de matrices invertibles.

1.

Rango columna y rango fila de una matriz. Empezaremos esta secci´on definiendo los espacios fila y columna de una matriz.

Definici´ on. Sea M una matriz de m filas y n columnas con elementos en un campo K. El espacio columna de M es el espacio generado por los n vectores formados por las columnas de M estos vectores pertenecen al espacio vectorial Rm . El espacio fila de M es el espacio generado por los m vectores formados por las filas de M estos vectores pertenecen al espacio vectorial Rn . Definici´ on. Sea M una matriz de m filas y n columnas con elementos en un campo K. El rango columna de M , denotado por ρC (M ), es la dimensi´on del espacio columna de M . Similarmente, el rango fila de M , denotado por ρF (M ), es la dimensi´on del espacio fila de M . Teorema. El n´ umero de columnas linealmente independiente de una matriz es igual al n´ umero de filas linealmente independientes de la misma matriz. En otras palabras, el ρC (M ) = ρF (M ). Definici´ on. El rango de una matriz, M , denotado por ρ(M ), es el valor de su rango fila o de su rango columna, es decir ρ(M ) = ρC (M ) = ρF (M ) El siguiente resultado, el mas importante de estas notas, muestra que el rango de una transformaci´on lineal es igual al rango de cualquiera de sus matrices representativas. En otras palabras el rango de una transformaci´on lineal es “invariante ”respecto a la selecci´on de las posibles bases que se emplean para representar la transformaci´on lineal. Teorema. Sea M ∈ M m×n sobre el campo K. Sean V y V′ tales que dimV = n y dimV′ = m y sea T una transformaci´on lineal de V a V′ . Si M es la matriz representativa de T respecto a bases arbitrarias B de V y B ′ de V′ entonces el RT es isom´orfico al espacio columna de M , por lo tanto ρ(T ) = ρ(M ). Teorema. El rango fila de una matriz, ρc (M ), y por lo tanto el rango de la matriz, ρ(M ), es igual al n´ umero de filas diferentes de cero de una, y de todas, las formas escalonadas de la matriz. Prueba: Sea M ∈ M m×n y sean M1 , M2 , . . . , Mm las m filas de la matriz, estas filas pueden suponerse que pertenecen a un espacio vectorial Rn . Sin p´erdida de generalidad, suponga que M1 tiene su primer componente diferente de cero, y suponga que se realiza el primer paso de escalonamiento, entonces, la

1

Figura 1: Representaci´on Gr´afica del Isomorfismo Entre el Rango de T y el Espacio Columna de M . matriz se reduce a 

M1 = M2 − λ12 M1 = M3 − λ13 M1 .. .

 M12   M13   1 M =   M1i = Mi − λ1i M1   ..  . M1m = Mm − λ1m M1





          =          

m11 0 0 .. .

m12 ξ ξ .. .

··· ··· ··· .. .

m1n ξ ξ .. .

0 .. .

ξ .. .

ξ .. .

0

ξ

··· .. . ···

ξ



     ,     

donde el s´ımbolo ξ significa un n´ umero desconocido que en general es diferente de cero. Es importante se˜ nalar que las filas de la matriz M 1 son combinaciones lineales de las filas de la matriz original M . Nuevamente suponga, sin p´erdida de generalidad, que M12 tiene su segundo componente diferente de cero, y suponga que se realiza el segundo paso de escalonamiento, entonces   m11 m12 · · · m1n  0 ξ ··· ξ     0  0 · · · ξ     . . . . 2 . . . .  . . .  M = . ,  0  0 · · · ξ    .  . . .. .. ..   .. . 0 0 ··· ξ donde el s´ımbolo ξ significa un n´ umero desconocido que en general es diferente de cero. Nuevamente, es importante se˜ nalar que las filas de la matriz M 2 son combinaciones lineales de las filas de la matriz original M . Este proceso de escalonamiento debe terminar despu´es de un n´ umero finito de pasos, menor o igual a m − 1. Existen dos posibilidades: 1.

La fila Mj de la matriz se transform´ o en una fila de ceros, despu´es de k pasos de escalonamiento. En este caso, se tiene que ~0 = Mkj = Mk−1,j − λk−1,j M1,k−1

2

sin embargo, M1,k−1 y Mk−1,j , pueden escribirse como una combinaciones lineales de Mj , Mk−1 , . . . , M2 y M1 , adem´as el coeficiente de Mj es diferente de cero. Por lo tanto, Mj es linealmente dependiente del conjunto {M1 , M2 , . . . , Mk } y por lo tanto no puede formar parte de la base del espacio fila de la matriz. 2.

La fila Mj de la matriz no se transform´ o en una fila de ceros, despu´es de k pasos de escalonamiento. En este caso, se tiene que Mj no puede escribirse como una combinaci´on lineal de {M1 , M2 , . . . , Mj−1 } y debe a˜ nadirse a este conjunto para formar una base de su espacio fila.

Por lo tanto, la dimensi´on del espacio fila es el n´ umero de filas diferentes de cero de cualesquiera de sus formas escalonadas.

2.

Matriz Inversa.

En esta parte de las notas analizaremos las propiedades de las matrices inversas. Teorema. Sea M ∈ Mm×m tal que ρ(M ) = m. Entonces existe una u ´nica matriz, denotada M −1 , tal que M M −1 = Im = M −1 M donde Im es la matriz identidad de orden m; es decir con m filas y m columnas. Prueba: Por el isomorfismo entre matrices y transformaciones lineales, sabemos que hay una transformaci´on lineal T : V → V′ tal que dimV = dimV′ = m —podemos, por simplicidad, suponer que V = V′ — tal que M es la matriz representativa de T respecto a una base BV 1 del espacio vectorial V. Puesto que ρ(M ) = m, entonces ρ(T ) = m y T es sobreyectiva, adem´as, puesto que ν(T ) + ρ(T ) = dim V

se tiene que

ν(T ) = m − m = 0

Por lo tanto T es biyectiva y existe una transformaci´on inversa T −1 que satisface la propiedad T T −1 = IV = T −1 T

(1)

Sea M −1 la matriz representativa de T −1 respecto a la base BV y recordando: 1.

La matriz identidad Im es la matriz representativa de IV respecto a cualquier base, y

2.

Si M y N son las matrices representativas de S y T respecto a una base, M N es la matriz representativa de ST respecto a la misma base, Aplicando estos dos resultados a la ecuaci´on dada por (1), se tiene que M M −1 = Im = M −1 M.

Para la unicidad suponga, nuevamente, que hay dos matrices inversas M1−1 y M2−1 , entonces M M1−1 = Im = M1−1 M

y M M2−1 = Im = M2−1 M

Entonces M M1−1 = Im = M M2−1

o

M1−1 (M M1−1 ) = M1−1 Im = M1−1 (M M2−1 ) (M1−1 M )M1−1 = M1−1 = (M1−1 M )M2−1 Im M1−1 = M1−1 = Im M2−1

1 Puesto

que V = V′ solo es necesario emplear una base.

3

o M1−1 = M2−1

Definici´ on. Sea M ∈ Mm×m . Entonces M se dice que es no-singular o invertible si ρ(M ) = m. Si ρ(M ) < m, M se dice singular o no-invertible. Corolario. Si la matriz M ∈ Mm×m es invertible, existe una u ´nica matriz M −1 ∈ Mm×m tal que M M −1 = Im = M −1 M Teorema. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tama˜ no. Entonces AB es no-singular, si y s´olo si A y B son no singulares. En este caso (AB)−1 = B −1 A−1 . Teorema. Si A es no singular, entonces A−1 es no singular y (A−1 )−1 = A. Adem´as, λA es no singular para todo λ 6= 0 y (λA)−1 = λ1 A−1 . Prueba: Si A es no singular, existe A−1 tal que AA−1 = I = A−1 A Entonces (A−1 )−1 = A y A−1 es no singular. Similarmente considere 1 1 (λA)( A−1 ) = λ AA−1 = 1I = I λ λ y µ

¶ 1 −1 1 (λA) = λA−1 A = 1I = I A λ λ

Por lo tanto, λA es no singular y

1 −1 A λ Teorema. Si A es no singular, entonces AT es no singular y (AT )−1 = (A−1 )T . (λA =−1 =

Prueba. Si A es no singular, existe A−1 tal que AA−1 = I = A−1 A adem´as (A−1 )T AT = (AA−1 )T = I T = I = (A−1 A)T = AT (A−1 )T Por lo tanto (AT )−1 = (A−1 )T

3.

Problemas Resueltos. Problema 1. Encuentre la matriz inversa de 

 −2 3 1 2 3 −1

1 M1 = −1 1

Soluci´ on. Para este fin, escriba la matriz “de  1 [M1 |I3 ] =  −1 1

bloques ”dada por −2 3 1 2 3 −1

1 0 0 1 0 0

 0 0  1

El proceso consiste en realizar operaciones entre las filas de la matriz [M1 |I3 ] de tal manera que la parte de la matriz de bloques que inicialmente corresponde M1 se convierta en la matriz I3 . Cuando esto ocurra, la parte de la matriz de bloques que inicialmente corresponde a I3 se convierte en M1−1 . El proceso se realiza en etapas. 4

1.

En la primera etapa, se sustituye la segunda fila por la suma de la segunda fila con la primera fila y la tercera fila por la resta de la primera fila a la tercera fila. La matriz resultante es   1 0 0 1 −2 3 1 1 0  [M1 |I3 ]I =  0 −1 5 0 5 −4 −1 0 1 Adem´as, se multiplica la segunda fila por −1, de manera que al final de esta primera etapa, la matriz de bloques tiene la forma

[M1 |I3 ]Ia 2.



1 0 3 −5 −1 −1 −4 −1 0

1 −2 = 0 1 0 5

En un segunda etapa, se tiene que substituir la tercera fila por la a la tercera fila, de modo que  1 0 1 −2 3 [M1 |I3 ]II =  0 1 −5 −1 −1 0 0 21 4 5

 0 0  1 resta de −5 veces la segunda fila  0 0  1

Adem´as, se divide la tercera fila entre 21, de modo que

[M1 |I3 ]IIa 3.



1 −2 3  = 0 1 −5 0 0 1

4 21

5 21

 0 0 

1 21

En una tercera etapa, se sustituye la segunda fila por la suma de la segunda fila con 5 veces la tercera fila y la primera fila por la resta de 3 veces la tercera fila a la primera fila. La matriz resultante es 

1

−2 0

 [M1 |I3 ]III =  0 0

4.

1 0 −1 −1

1

0

0

1

9 21 1 − 21 4 21

15 − 21

3 − 21

4 21 5 21

5 21 1 21

  

En una etapa final, se sustituye la primera fila por la suma de la primera con 2 veces la segunda fila. La matriz resultante es 

1

0 0

 [M1 |I3 ]IV =  0

1 0

0

0 1

7 21 1 − 21 4 21

7 − 21 4 21 5 21

7 21 5 21 1 21

  

Por lo tanto, la matriz inversa, M1−1 , est´a dada por 

 M1−1 = 

7 21 1 − 21 4 21

7 − 21 4 21 5 21

7 21 5 21 1 21

  

Este resultado puede verificarse mediante multiplicaci´on directa entre M y M −1 .

5

4.

Problemas Propuestos. Problema 1. Determine el rango de  1 −2 1 M1 =  3 −1 2

las siguientes matrices   1 2 1 0 0 5 2 M2 = 3 0 1 −1 3

−1 3 2 0 1 2

 1 −1 1

Problema 2. Considere el inciso 1, del problema 2, del apunte 14, Espacio Nulo y Rango de una Transformaci´ on Lineal que presenta una transformaci´on lineal dada por T : P3 (x) → R4

T (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) = (a0 − a1 , a2 , a3 , 0)

(2)

Encuentre la matriz representativa de la transformaci´on lineal con respecto a las bases BP3 = {p1 (x) = 1, p2 (x) = x, p3 (x) = x2 , p4 (x) = x3 } y BR4 = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} y muestre que el rango de la matriz representativa es igual al rango de la transformaci´on lineal. Problema 3. Encuentre la matriz inversa de 

1 −2 1 M1 =  3 −1 2

6

 2 0 1