INVERSA DE UNA MATRIZ Al igual que para hallar determinantes, restringiremos nuestro estudio a matrices cuadradas y utilizaremos la matriz identidad d...
INVERSA DE UNA MATRIZ Al igual que para hallar determinantes, restringiremos nuestro estudio a matrices cuadradas y utilizaremos la matriz identidad de orden n (I n ) . Podemos demostrar que si A es cualquier matriz cuadrada de orden n, entonces AI n = A = I n A a11 a21
Cuando trabajamos con un número real b diferente de cero, el numero particular b-1 (el inverso multiplicativo de b) se puede multiplicar por b para obtener la identidad multiplicativa (el número 1); es decir,
b.b −1 = 1 Tenemos una situación semejante con matrices Definición de la inversa de una matriz: Sea A una matriz cuadrada de orden n. si existe una matriz B tal que AB = I = BA Entonces B se llama inversa de A y se denota con A −1 (se lee “A inversa) Una matriz tiene inversa si y sólo si " det A" ≠ 0
Si una matriz cuadrada A tiene inversa, decimos que es invertible. Si no es cuadrada resulta imposible tener una inversa. Si A es invertible, podemos calcular A −1 mediante operaciones elementales de filas. Comenzamos ampliando la matriz dada con la matriz identidad y realizamos transformaciones hasta volver la matriz dada la matriz identidad, la matriz que resulta es la inversa de A. Ejemplo1: 4 2 Determinar A−1 si A = 1 3
SOLUCIÓN Comenzamos con la matriz ampliada 4 2 M 1 0 1 3 M 0 1 Realizamos transformaciones elementales de fila hasta obtener la matriz identidad al lado izquierdo R1 ↔ R2 1 3 M 0 1 4 2 M 1 0
El estudiante puede comprobar que AA−1 = I 3 = A−1 A Las inversas se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Si tenemos el sistema Ax = b podemos
multiplicar a ambos lados de la igualdad por A −1 , nos da
Puesto que A −1 A = I n
A−1 Ax = A−1b I n x = A−1b
Puesto que I n x = x
x = A−1b
Esta técnica se puede extender a sistemas con n ecuaciones lineales y n incógnitas.
Ejemplo3: Resolver el sistema por el método de la inversa
− x + 3 y + z = 1 = 3 2x + 5 y 3x + y − 2 z = − 2 SOLUCIÓN Utilizamos x = A −1b para resolver el sistema −1 3 1 −1 Primero hallamos A de A = 2 5 0 3 1 − 2
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios
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−1 3 1 M 1 0 0 2 5 0 M 0 1 0 3 1 − 2 M 0 0 1
Esta matriz, A −1 la multiplicamos por b para hallar x x = 73 −910 79 −95 1 73 ⇒ x = 94 −91 92 3 = 13 y = 13 z = 13 −13 10 −11 − 2 13 3 9 9 3 9 El estudiante puede verificar la respuesta reemplazando los valores en cualquiera de las tres ecuaciones iniciales.
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Ejemplo4: Dadas las matrices
3 1 B = 0 1 −1 2
− 2 0 1 A = 1 −1 5
1 2 C = 3 4
−9 3 D = − 8 17
Hallar la matriz X que verifique la siguiente ecuación AB + CX = D SOLUCIÓN AB + CX = D ⇒
CX = D − AB
X = C −1 ( D − AB )
⇒
Calculamos C-1
1 2 M 1 0 C = 3 4 M 0 1 1 2 M 1 0 − 3R1 + R2 → R2 0 − 2 M − 3 1 1 2 M 1 0 − R2 → R2 0 1 M 32 − 12 1 2
Reemplazando estos datos en la ecuación X = C −1 ( D − AB ) − 2 1 − 9 3 − 7 0 ⋅ − X = 3 1 − 2 10 2 − 2 − 8 17 − 2 1 − 2 3 ⋅ X = 3 1 2 − 2 − 6 7
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios
− 2 1 X = 0 1
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Ejercicios de la sección Calcular la inversa de cada una de las siguientes matrices, si existe: 2 − 3 − 2 7 2 − 3 1. 2. 3. 1 4 −1 5 6 − 9 2 − 6 4. −1 − 4
− 2 1 5. 5 6
− 2 3 6. 5 1
2 −1 5 7. 4 6 2 2 −1 5
− 1 2 − 1 8. 3 3 3 4 0 4
2 3 6 9. 1 4 5 2 3 1
− 2 4 5 10. 3 1 0 4 − 5 6
− 5 2 1 11. 4 3 6 − 2 1 0
4 − 5 2 12. 1 0 3 1 0 5
2 4 6 13. − 2 4 − 6 4 4 12
− 6 2 4 14. 5 5 6 3 7 8
− 2 3 5 15. 4 1 8 7 5 6
Resolver los siguientes sistemas, utilizando el método de la inversa 2 x + 3 y = 2 16. x − 2y = 8
4 x + 5 y = 13 17. 3 x + y = − 4
2 p + 5q = 16 18. 3 p − 7q = 24
7 a − 8b = 9 19. 4a + 3b = − 10
= 2 3 x − y 20. 2 x + y + z = 0 3 y + 2z = −1
2x + y + z = − 2 21. x − 2 y − 3 z = 1 − x − y + z = − 3
3 x + y − z = 0 22. x + y + z = 0 3 x + 2 y − 2 z = 1
x + y − z = 1 23. x − y − z = 2 + y −z = 0
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios
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− x + 3 y + z = 1 24. 2 x + 5 y = 3 3x + y − 2 z = − 2
3 x + 2 y − z = 4 25. 2 y − 6z = 4 3 x + 2 y + 4 z = 0
2 x + 2 y − z = 3 26. 2 y − 6z = 4 x − 5 y + 4z = 2
2 x + 2 y − z = 3 27. − 2 y − 6z = 4 x − 5 y + 4z = 2
28. Dadas las matrices 1 0 2 A = 0 1 1 1 0 1
1 0 2 B = 1 0 1 1 1 1
Hallar el valor de X en la ecuación 3AX=B
2 3 29. Dada las matrices A = 1 2 1 1 30. Dadas las matrices A = 3 4
1 1 Hallar una matriz X tal que AXA = 2 3 2 1 B = 1 1
1 2 C = 1 3
Calcular el valor de X en la ecuación XA = B + I
3 − 2 31. Dadas las matrices A = 4 5
1 − 2 B = 5 7
− 2 1 C = 3 0
Calcular el valor de X en la ecuación AX + B = C 32. Una cafetería estudiantil tiene 24 mesas, X mesas con 4 asientos cada una, Y mesas con 6 asientos cada una y Z mesas con 10 asientos cada una. La capacidad total de asientos es de 148. Con motivo de una reunión estudiantil especial, se emplearán la mitad de las X mesas, un cuarto de las Y mesas y una tercera parte de las Z mesas, para un total de 9 mesas. Determinar X, Y y Z. 33. Un proveedor de productos para jardinería cuenta con tres tipos de fertilizantes para pasto. G1, G2 y G3, que tienen un contenido de nitrógeno de 30, 20 y 15 por ciento. El proveedor piensa mezclarlos y obtener 600lb de fertilizante con un contenido de nitrógeno de 25%. La mezcla ha de contener 100lb más del tipo G3 que del G2. ¿Cuánto de cada tipo debe usar? 34. Una tienda comercializadora de café desea lanzar al mercado bolsas de una libra de café que se venden en $8.500 combinando granos de Colombia, Brasil y Kenia. El costo por libra de estos cafés es $10000, $6000 y $8000 respectivamente. El café de Colombia debe triplicar al de Brasil. Hallar la cantidad de cada tipo de café de la mezcla.
