Determinantes de una matriz y matrices inversas

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Determinante de una matriz  Está definido solamente para matrices cuadradas.

 El determinante de una matriz cuadrada es un número real. Definición:  Si A= [aij] es una matriz de dimensión 1x1, entonces |A| = a11.



 a11 a12  Si A   es una matriz cuadrada de dimensión 2x2,  a21 a22 

entonces el determinante de A, denotado por |A| o det(A), es |A| = a11 a22 – a21 a12. 1

 a11 A a 21

2

a12  a 22 

El determinante de la matriz A :

el producto de los elementos a11 a22 menos 2

el producto de los elementos a21 a12.

Determinantes Ejemplo 1: Dado la matriz A, halle su determinante.

 2  4 A  1  2  El determinante de la matriz A, denotado por |A| o det(A) es

|A| = 2(-2) – 1(-4) 

= -4 + 4



=0 3

Determinantes Ejemplo 2. Dado la matriz A, halle el determinante de la matriz A.

  2 4 A   6 5 El determinante de la matriz A, denotado por |A| o det(A) es

|A| = -2(5) – 6(4) = -10 -24 = - 34 4

Determinantes Ejemplo 3. Determine el valor de a tal que el det(C) = 2.

5  3 C  4 a   El determinante de la matriz C es 5 por lo tanto 2 = 5(a) – 4(-3) 2 = 5a + (12) 2 -12 = 5a

- 10 = 5a -2 = a

5

Determinante de una matriz de orden 3 En el caso de matrices cuadradas de orden 3, también podemos calcular el determinante de la siguiente manera: • Copie la primera y segunda columna de la matriz a su derecha:

a11 a12 a13 a11 a12 A  a21 a22 a23 a21 a22

+

-

a31 a32 a33 a31 a32 A  a11a 22 a33  a12 a 23a31  a13a 21a32  a12 a 21a33  a11a 23a32  a13a 22 a31 

Ejercicios: Evalúe el determinante de:  5 4  1 5 4 ( 10 + 48 + -21 ) 37 + 9 A   7 2  3 7 2   46  4 3 1  4 3

-

( 8 + -45 + 28 )

1 1 0 1  ( 0 + 1 + -2 ) 0 -1 - 0 B   2  2  1 2  2   -1 1  1 1   1 1

-

( -2 + 0

+ 2

)

Ejercicios Para qué valor de a es el determinante igual a cero en la matriz:

1 a

2

3

2a

1

0

2

4 a

Copiamos la primera y segunda columna de la matriz a la derecha de la última columna:

1  a 2 3 1  a 2  2  a 1 0 2  a 1      2  4 a  2  4 a 1 − a + −12 2 + 𝑎

− −6 + 2𝑎 2 + 𝑎

𝑎 − 𝑎2 − 24 − 12𝑎 + 6 − 4𝑎 − 2𝑎2 = 0 −18 − 15𝑎 − 3𝑎2 = 0 6 + 5𝑎 + 𝑎2 = 0 (𝑎 + 2)(𝑎 + 3) = 0

𝑎 = −2, 𝑎 = −3

=0

Hallar el determinante Método de Cofactores El cofactor del elemento aij es definido por Aij = (-1)i+j det(Mij) determina el signo del resultado

determinante de la matriz que queda al eliminar la fila i y la columna j 9

Hallar el determinante Método de Cofactores Ej . Dado la matriz A, halle el cofactor del elemento a23. Solución: 3 5  1 El cofactor de elemento a23, denotado por A23, es definido:   A  4 2 6  23 A  (  1 ) det( M ) 23 23 0 7 8  5 5 3  (1) 0 7

 1[3(7)  0(5)]

 21

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Método de Cofactores Ej 6. Dado la matriz A, halle el cofactor del elemento a33. 3 5  1 El cofactor de elemento a33, A  4 2 6  denotado por A33, es definido: 0 7 8  A  (1) 33 det( M ) 33

33

 (1)

6

3 5 4 2

 [3(2)  4(5)]  [6  20]

 14

Teorema El determinante de una matriz 3 x 3 puede ser hallado multiplicando los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos cofactores y luego sumando estos productos.

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Método de Cofactores Ejemplo. Dado la matriz A, halle el determinante de A.

A  2 A11  1A12  4 A13  20   1 1  4 5  21

2 1 4  A  3 5  1 1 0 0 

El determinante de A se obtiene multiplicando los elementos de la primera fila por sus respectivos cofactores y luego sumando estos productos.

A  21

Los cofactores correspondientes a los elementos de la primera fila: A11, A12 y A13, son calculados a continuación: 5 4 3 1 1 33 2 5 A13   1 A12   1 A11   1 1 0 0 0 1 0

 150  01

 130  1 1

 130  15

0

 1

 5

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Método de Cofactores Ejemplo. Dado la matriz A, halle el determinante de A.

2 1 4  A  3 5  1 1 0 0 

A  1A31  0 A32  0 A33

El determinante de A se obtiene multiplicando los elementos de la última fila por sus respectivos cofactores y luego sumando estos productos.

 1 21  0  0  21

A  21

Los cofactores correspondientes a los elementos de la tercera fila se calculan a continuación: A31

A31   1

4

1

4

5 1  11 1  45  1  20

 21

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Método de Cofactores Ejemplo . Dado la matriz A, halle el determinante de A por el método de cofactores.

3 5  1   A  4 2 6  0 7 8 

Solución: Para hallar el determinante de la matriz A, usted puede seleccionar cualquier fila o columna de la matriz A. La mejor selección será la fila o columna que contenga más ceros. Usaremos la columna 1.

|A| = 3A11 + 4A21 + 0A31 = 3(-26)+4(-47) = -266

Los cofactores A11 y A21 son calculados a continuación:

A11  (1)

2

2 6

7 8  1[2(8)  7(6)]  26

A21  (1)

3

5 1

7

8

 1[5(8)  7(1)]  47

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La Matriz Inversa

 2 1  1 B 3   2 2 

1 2  2 1   (1)( 2)  (2)( 23 ) (1)(1)  (2)(  12 )  AB    3  1    3 1  3 4 ( 3 )(  2 )  ( 4 )( ) ( 3 )( 1 )  ( 4 )(      2 2 2 )  2 1 0   0 1  

AB  I

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La Matriz Inversa Ejemplo: (cont.)

Verifique que BA=I.

 2 1  1 B 3  2  2   2 1  1 2 1  BA   3   3 4  2  2  

 ( 2)(1)  (1)(3) ( 2)(2)  (1)(4)   3  3 1 1 ( )( 1 )  (  )( 3 ) ( )( 2 )  (  )( 4 ) 2 2 2  2 

1 0   0 1   BA  I

 2 1  1 BA  3   2 2  1

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Hallar la matriz inversa Para una matriz 2 x 2 de la forma 𝑎 𝑏 𝐴= 𝑐 𝑑 𝐴−1 se puede encontrar utilizando la fórmula

Ejemplo:

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Hallar la matriz inversa – 3 x 3 Para una matriz 3 x 3, 𝐴−1 se puede encontrar manualmente utilizando 4 pasos 1. Hallar el determinante de la matriz. 2. Formar la matriz transpuesta, 𝐴𝑡 3. Formar la matriz de cofactores (matriz adjunta) 4. Multiplicar la matriz de cofactores por

1 det 𝐴

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Hallar la matriz inversa – 3 x 3 Ejemplo: Hallar 𝑀−1 si

Paso 1: Hallar det M

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Hallar la matriz inversa – 3 x 3 Ejemplo continuado: Hallar 𝑀−1 si

Paso 2: Hallar 𝑀𝑡 Intercambiar filas y columnas de M

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Hallar la matriz inversa – 3 x 3 Ejemplo continuado: Paso 3: Hallar matriz de cofactores (matriz adjunta) Hallar todos los determinantes de las matrices 2 x 2 de Mt.

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Hallar la matriz inversa – 3 x 3 Ejemplo continuado: Paso 4: Hallar la inversa