5. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS MOMENTOS

Una variable aleatoria

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Objetivos Introducir la idea de una variable aleatoria y su distribuci´ on y sus caracter´ısticas como la media, la varianza, los cuart´ıles etc.

Para leer Pod´eis ver los mini-videos de Emilio Let´ on y su equipo sobre Variables Aleatorios.

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Variables aleatorias Hasta ahora, hemos tratado de sucesos, por ejemplo A = “la suma de dos tiradas de un dado es 7”. Ahora queremos generalizar y tratar de variables, por ejemplo “la suma de las dos tiradas” o “el n´ umero de llamadas telef´ onicas en una hora”. Formalmente, podemos pensar en una variable como una funci´ on que asocia un valor num´erico a cada suceso elemental del espacio muestral, es decir que una variable aleatoria X es una funci´ on X : ω ∈ Ω → X(ω) ∈

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R

Tipos de variables Existen varios tipos de variables que necesitan tratamientos distintos. Una variable es discreta si el conjunto de valores posibles un conjunto discreta. Por ejemplo, X = el n´ umero de cruces en 10 tiradas de una moneda. Una variable es continua si el conjunto de valores posibles es un continuo o la uni´ on de varios continuos. El tiempo exacto hasta que reciba una llamada telef´ onica. Una variable es mixta si puede tomar algunos valores de un conjunto discreta y otros valores de uno o m´as conjuntos continuos. El tiempo que tengo que esperar en la cola antes de recibir servicio.

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Variables discretas Para una variable discreta,Pse puede definir directamente una funci´ on de probabilidad, P (X = x) = ω∈Ω,X(ω)=x P (ω) para cada valor de x. La funci´ on P (X = x) se conoce como la distribuci´ on de probabilidad de X X o la funci´ on de masa de X. Supongamos que lanzamos una moneda con P (cruz) = p un n´ umero n de veces y definimos X = n´ umero de cruces.    n  px(1 − p)n−x para x = 0, 1, 2, . . . , n x P (X = x) =  0 para otros valores de x Esta funci´ on es un ejemplo de una distribuci´ on binomial.

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Representaci´ on gr´ afica de la distribuci´ on Supongamos que X se distribuye como binomial con par´ ametros n = 10 y p = 0.5.

Se ve que la distribuci´ on es sim´etrica y unimodal com moda 5. La moda de la distribuci´ on es el valor m´as probable.

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Aqu´ı vemos otro ejemplo con n = 10 y p = 0.2.

En este caso la distribuci´ on es asim´etrica a la derecha.

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Si n = 10 y p = 0.8,

tenemos una distribuci´ on asim´etrica a la izquierda.

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Propiedades de la funci´ on de probabilidad • 0 ≤ P (X = x) ≤ 1 para todo x ∈ •

R.

P

i P (X

= xi) = 1 donde se toma el sumatorio sobre todos los valores posibles de X, say x1, x2, . . ..

• P (X ≤ x) =

P

i,xi ≤x P (X

• P (a ≤ X ≤ b) =

P

= xi).

i,a≤xi ≤b P (X

= xi).

La tercera funci´ on se conoce como la funci´ on de distribuci´ on acumulativa de la variable.

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La funci´ on de distribuci´ on acumulativa Para una variable, X, se define la funci´ on de distribuci´ on acumulativa como F (x) = P (X ≤ x) para x ∈

R.

Ilustramos la funci´ on para la distribuci´ on binomial con n = 10 y p = 0.5.

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Propiedades de la funci´ on de distribuci´ on acumulativa • 0 ≤ F (x) ≤ 1 para todo x ∈

R.

• F (−∞) = 0 y F (∞) = 1. • Si h > 0, entonces F (x + h) ≥ F (x) para todo x. • La funci´ on de distribuci´ on de una variable discreta es una funci´ on escalera.

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Ejemplo Supongamos que la producci´ on de un d´ıa de 850 piezas manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote dos piezas al azar y sin reemplazo. Sea la variable aleatoria X igual al n´ umero de piezas de la muestra que no cumplen. ¿Cu´ al es la funci´ on de distribuci´ on acumulada de X? Primero calculamos la funci´ on de probabilidad.

P (X = 0) = P (X = 1) = P (X = 2) =

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800 799 × = 0.886 850 849 800 50 50 800 × + × = 0.111 850 849 850 849 50 49 × = 0.003 850 849

Ahora se tiene

   

0 0.886 F (x) = 0.997    1

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si si si si

x 2

En este caso, f (x) = 0 si x < 0 o si x > 2, porque 0 ≤ x ≤ 2, tenemos d x2 2x x = = . f (x) = dx 4 4 2  x si 0 ≤ x ≤ 2 2 f (x) = 0 en caso contrario

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d dx 0

=

d dx 1

= 0. Si

 F (x) =

0 si x ≤ 0 1 − e−x para 0 < x < ∞

En este caso, para x > 0,
d −x f (x) = 1−e = 0 − (−e−x) = e−x dx y luego  f (x) =

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e−x si x > 0 0 en caso contrario

Gr´ aficos de la funci´ on de densidad

Ambas distribuciones son muy asim´etricas.

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La moda de una distribuci´ on continua La moda de la distribuci´ on es el punto de m´axima densidad. En los dos ejemplos anteriores, cuando x → 2 en el primer caso y cuando x → 0 en el segundo caso. No obstante en la mayor´ıa de los casos, no se encuentra la moda en un extremo de la distribuci´ on. Entonces, la moda ser´a un punto, x ˆ, donde f 0 (ˆ x) = 0.

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Ejemplo Una variable aleatoria Y tiene la funci´ on de densidad  f (y) =

cy 2(1 − y) si 0 < y < 1 0 si no

1. ¿Cu´ al es el valor de c? 2. Hallar la funci´ on de distribuci´ on de Y . 3. Calcular la moda de Y 4. ¿Cu´ al es la mediana?

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1. Observamos que

R∞ −∞

f (y) dy = 1 y luego Z

0

Z

1 =

0 dy + −∞

Z

0

1

y 2 − y 3 dy

= c 0



3

 4 1

y y − 3 4 0   1 1 = c − ⇒ 3 4 c = 12 ⇒ c = 12 = c

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1

cy 2(1 − y) dy +

Z

∞

0 dy 1

Ry

2. Tenemos F (y) = −∞ f (y) dy. Luego, si y ≤ 0, tenemos F (y) = 0 y si y ≥ 1, tenemos F (y) = 1. Para 0 < y < 1 tenemos Z F (y) =

y

12u2(1 − u) du

0



3

 4 y

u u = 12 − 3 4

0

= 4y 3 − 3y 4

 

0 si y ≤ 0 4y 3 − 3y 4 si 0 < y < 1 F (y) =  1 si y ≥ 1

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Los diagramas ilustran la funci´ on de densidad y la funci´ on de distribuci´ on. Se ve que la densidad es asim´etrica a la izquierda.

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3. df dy df dy

= 12(2y − 3y 2) = 0

⇒ 0 = 2y − 3y 2 2 ⇒y = 0 o 3 Claramente el valor 0 es un m´ınimo y entonces, la moda es 32 . 4. Para calcular la mediana, necesitamos resolver la ecuaci´ on F (y) = 0.5, es decir que 4y 3 − 3y 4 = 0.5. Resolvi´endola num´ericamente en R, estimamos la moda en yˆ ≈ 0.615. Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Ejemplo Sea X una variable aleatoria continua de funci´ on de densidad:  f (x) =

C(1 + x2) si x ∈ (0, 3) 0 en otro caso

a. Hallar el valor de la constante C y la funci´ on de distribuci´ on acumulativa de probabilidad. Dibujar ambas funciones b. Calcular la probabilidad de que X est´e comprendido entre 0 y 1 c. Hallar la probabilidad de que X sea menor que 1. d. ¿Cu´ al es la moda de X?

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Ejemplo La funci´ on de densidad de una variable aleatoria continua es:  f (x) =

ax2 + b si x ∈ (0, 2) 0 en caso contrario

Sabiendo que P (1/2 < x < 1) = 1/8, calcular: a. a y b b. La funci´ on de distribuci´ on. c. P (1/4 < x < 3/4).

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Momentos de una variable Hasta ahora, se han visto dos medidas de localizaci´ on de una variable; • la moda, o el valor m´as probable • la mediana, definida tal que hay una probabilidad de (≥) 50% de caer a cada lado de la mediana. Otra medida de localizaci´ on es la media.

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La media Supongamos que generamos una muestra, de una variable discreta con funci´ on de probabilidad P (·). En este caso, la media muestral es x ¯=

X

xifi

i

donde fi es la frecuencia relativa de xi. Si dejamos que el tama˜ no de la muestra crezca, entonces, recordando la definici´ on frecuentista de la probabilidad, tenemos que fi → P (X = xi) para i = 1, 2, . . . y luego, x ¯→

X i

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xiP (X = xi) = E[X].

De manera semejante, podemos pensar en estimar la media de una muestra de datos continuos a trav´es de un histograma cuando x ¯≈

X

xifi

i

y xi y fi representan el centro y la proporci´ on de datos en la barra i’´esima. Dejando el tama˜ no de la muestra acercarse al infinito y suponiendo que la anchura de las barras se acerca a 0, se tiene Z x ¯→

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xf (x) dx.

Para una variable discreta, X, con posibles valores x1, x2, . . . y funci´ on de probabilidad P (·), la media o esperanza de X es E[X] =

X

xiP (X = xi).

i=1

Para una variable continua, X, con funci´ on de densidad f (·), la media es Z

∞

xf (x) dx.

E[X] = −∞

Es com´ un utilizar el s´ımbolo µ para representar la media.

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Ejemplo Volvemos al ejemplo sobre los pasajeros del avi´ on. x 198 199 200 201 202 203 204 205 P (X = x) 0.05 0.09 0.15 0.2 0.23 0.17 0.09 0.02 ¿Cu´ al es el n´ umero medio de pasajeros que llegan al aeropuerto?

E[X] = 198 × 0.05 + 199 × 0.09 + · · · + 205 × 0.23 = 201.44 Observamos que la media no tiene que ser uno de los valores posibles de X.

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Ejemplo Volvemos a la variable aleatoria Y con funci´ on de densidad  12y 2(1 − y) si 0 < y < 1 f (y) = 0 si no En este caso, Z

∞

yf (y) dy

E[Y ] = −∞

Z =

1

y × 12y 2(1 − y) dy

0

Z

1

y 3 − y 4 dy

= 12 0



4

 5 1

y y = 12 − 4 5

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0

3 = 5

Ejemplo Calcular la media y la varianza para una variable continua con densidad  f (x) =

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1+x2 12

0

si x ∈ (0, 3) en otro caso

Cuando la media no existe Si una variable discreta est´a definida sobre un conjunto finito de valores, por ejemplo x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn, entonces su media siempre existe, ya que E[X] =

n X

xiP (X = xi) ≤

i=1

n X

xnP (X = xi) = xn.

i=1

Igualmente, si una variable continua tiene densidad positiva en un intervalo finito [a, b], se tiene Z

b

Z xf (x) dx ≤

E[X] = a

b

bf (x) dx = b. a

En caso contrario, es posible que la media no exista.

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Ejemplos Sea X una variable discreta con funci´ on de probabilidad e−1 P (X = x) = x!

para x = 0, 1, 2, . . . , ∞.

¿Cu´ al es la media de X? ∞ X e−1 E[X] = x x! x=0 ∞ X

e−1 = (x − 1)! x=1 =

∞ −1 X e y=0

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y!

=1

Supongamos que X es una variable discreta con funci´ on de probabilidad P (X = x) =

6 π 2x2

para x = 1, 2, . . . , ∞.

Calculamos la media de X. ∞ 6 X1 6 E[X] = =∞ x× 2 2 = 2 π x π x=1 x x=1 ∞ X

Sea X una variable continua con 1 f (x) = π(1 + x2) Z E[X] =

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∞

para −∞ < x < ∞.

x =∞ 2 −∞ π(1 + x )

Esperanza de una funci´ on Supongamos que X es discreta y sea g(X) una funci´ on de X. Luego la esperanza de g(X) es E[g(X)] =

X

P (X = xi) × g(xi).

i

Igualmente, si X es continua, definimos Z E[g(X)] =

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g(x)f (x) dx

Ejemplo En el ejemplo sobre los pasajeros supongamos que la compa˜ n´ıa a´erea recibe 250 euros por cada billete que vende pero que tiene que devolver el precio del ticket y adem´ as pagar una multa de 1000 euros a cada pasajero que no puede montar en el avi´ on. Calcular la cantidad de dinero que espera cobrar la compa˜ n´ıa en este vuelo. Sean g(X) las ganancias de la compa˜ n´ıa. Las ventas totales de tickets son 250 × 205 = 51250 euros. Si llegan x ≤ 200 personas entonces g(x) = 51250. Si llegan x > 200 personas, g(x) = 51250 − (x − 200) × (1250). Entonces E[g(X)] = 51250 × .05 + 51250 × .09 + 51250 × .15 + (51250 − (201 − 200) ∗ 1250) × .20 + (51250 − (202 − 200) ∗ 1250) × .23 + ... +(51250 − (205 − 200) ∗ 1250) × .02 = 49212.5 euros Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Propiedades de la esperanza Teorema 8 Para una variable, X, constantes b y c y funciones g y h, se tiene E[c] = c E[bg(X)] = bE[g(X)] E[g(X) + h(X)] = E[g(X)] + E[h(X)]

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Demostraci´ on Supongamos que X es continua. Z Z ∞ cf (x) dx = c E[c] =

∞

f (x) dx

−∞

−∞

= c×1=c Z Z ∞ bg(x)f (x) dx = b E[bg(X)] =

∞

g(x)f (x) dx

−∞

−∞

= bE[g(X)] Z ∞ (g(x) + h(x))f (x) dx E[g(X) + h(X)] = −∞ Z ∞

=

g(x)f (x) + h(x)f (x) dx −∞ Z ∞

Z

∞

g(x)f (x) dx +

= −∞

h(x)f (x) dx −∞

= E[g(X)] + E[h(X)].  Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

El resultado para una funci´ on lineal de X es inmediato. Corolario 9 E[a + bX] = a + bE[X]. En el ejemplo con  f (y) =

12y 2(1 − y) si 0 < y < 1 0 si no

supongamos que queremos calcular la esperanza de 5Y − 2.

E[5Y − 2] = 5E[Y ] − 2 3 = 5× −2=1 5

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La varianza y la desviaci´ on t´ıpica Una funci´ on importante es la varianza   2 V [X] = E (X − E[X]) que es una medida de dispersi´ on de la distribuci´ on (la distancia cuadrada media de una observaci´ on de la media de la distribuci´ on). A menudo, es m´as u ´til usar la desviaci´ on t´ıpica p DT [X] = V [X] que tiene las mismas unidades de X. Se utiliza el s´ımbolo σ 2 para representar la varianza y σ para la distribuci´ on t´ıpica.

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Calculando la varianza Teorema 10  2 V [X] = E X − E[X]2 Demostraci´ on V [X] = = = = =

  2 E (X − E[X])  2  2 E X − 2XE[X] + E[X]  2   2 E X − E[2E[X]X] + E E[X]  2 E X − 2E[X]E[X] + E[X]2  2 E X − E[X]2 

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Ejemplos En el ejemplo sobre los pasajeros, E[X 2] = .05 × 1982 + . . . + .02 × 2052 = 40580.88 σ 2 = E[X 2] − µ2 = 40580.88 − 201.442 = 2.8064 σ

≈ 1.675 pasajeros

En el ejemplo continuo 2

Z

1 2

2

Z

y × 12y (1 − y) dy = 12

E[Y ] = 0

1

y 4 − y 5 dy

0



5

 6 1

y 12 2 y − = = = 12 5 6 0 30 5  2 3 1 2 1 V [Y ] = − = ⇒ DT [Y ] = 5 5 25 5 Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

El coeficiente de variaci´ on No es del todo natural tener una medida de dispersi´ on que depende de las unidades de la variable. Por este raz´ on, se define el coeficiente de variaci´ on de una variable X como DT [X] CV [X] = . |E[X]| Esta medida no tiene sentido para una variable con media 0. En el ejemplo anterior, tenemos que CV [Y ] =

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1 5 3 5

= 13 .

Estandarizando una variable aleatoria Para una variable aleatoria, X, con media µ y varianza σ 2 se tiene que 



X −µ E =0 y σ La variable Y =

X−µ σ



X −µ V = 1. σ

es una variable estandarizada.

Demostraci´ on Ejercicio.

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Desigualdades Para una variable con media µ, pensar´ıamos que la mayor´ıa de observaciones que generamos a partir de la distribuci´ on estar´ıan cerca de µ. Adem´as, si la desviaci´ on t´ıpica es m´as alta, hay m´as probabilidad de estar m´as lejos de µ. Buscamos un resultado que formaliza este idea.

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La desigualdad de Markov Teorema 11 Sea X una variable aleatoria no negativa tal que E[X] existe. Entonces, para cualquier c > 0, E[X] P (X ≥ c) ≤ . c Demostraci´ on Supongamos que X es discreta. X E[X] = xP (X = x) dx x

=

X

xP (X = x) dx +

x 0, se tiene σ2 P (|X − µ| ≥ c) ≤ 2 . c Demostraci´ on 2

2




P (|X − µ| ≥ c) = P (X − µ) ≥ c   2 E (X − µ) por la desigualdad de Markov ≤ 2 c V [X] por la definici´ on de V [X] = c2 σ2 = c2  Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Luego, se tiene que para una variable cualquiera con media µ y desviaci´ on t´ıpica σ, se tiene P (|X − µ| ≥ 2σ) ≤ P (|X − µ| ≥ 3σ) ≤

1 4 1 9

La desigualdad de Chebyshev es muy conservadora. Volvemos al ejemplo continuo f (y) = 12y 2(1 − y)

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E[Y ] =

3 5

V [Y ] =

1 25

P

r !   Y − 3 ≤ 2 Y − 3 ≥ 2 1 = 1 − P 5 25 5 5   3 2 3 2 = 1−P − ≤Y ≤ + 5 5 5 5   1 = 1−P ≤Y ≤1 5   1 = P Y ≤ 5 Z 51 = 12y 2(1 − y) dy 0

 = 12

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3

1

y4 5

y − 3 4

0

= 0.0272
0 FY (y) = si b < 0 1 − FX y−a b E[Y ] = a + bE[X] V [Y ] = b2V [X] Demostraci´ on Ejercicio.

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