4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES Dr. Edgar Acuña http://math.uprm.edu/~edgar UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ

4.1 Variables Aleatorias Una variable aleatoria es una funcion que asume sus valores de acuerdo a los resultados de un experimento aleatorio. Usualmente se representa por las últimas letras del alfabeto: X, Y o Z. Una variable aleatoria X es una función cuyo dominio es el espacio muestral S y cuyo rango Rx, es un subconjunto de los números reales. Ejemplos de variables aleatorias: • • • • •

X: La suma que aparece al lanzar un par de dados. Y: El número de caras que aparecen al lanzar una moneda tres veces. Z: El número de errores que se encuentran en la página de un libro. T: El tiempo de vida de la componente de un sistema W: El tiempo de espera para ser atendido en un banco

ESMA 4001

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

2

Ejemplo 2.1 De una caja que contiene 5 bolas numeradas del 1 al 5 se extraen 3 bolas una por una y sin reposición. Entonces X: El mayor de los tres números sacados, es una variable aleatoria. El espacio muestral es: S = {(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), (2,3,4), (2,3,5), (2,4,5), (3,4,5)} y la variable aleatoria X asume los valores: 3, 4 y 5. Por ejemplo,

X (2,3,4) = 4

ESMA 4001

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

3

Si el rango de valores Rx de la variable aleatoria X es finito o infinito enumerable entonces se dice que es una variable aleatoria discreta. Si su rango de valores Rx es infinito no enumerable entonces se dice que es una variable aleatoria continua.

ESMA 4001

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

4

4.1.1. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta Si X es una variable aleatoria discreta con rango de valores Rx entonces, su función de probabilidad se define por: p(x) = P[X = x], para todo x Rx y tiene las siguientes propiedades: • •

p(x) > 0 y Σ p(x) = 1,

x∈ Rx

Cuando Rx no contiene muchos valores es más conveniente expresar p(x) en una tabla de valores, la cual es llamada tabla de función de probabilidad.

ESMA 4001

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

5

Ejemplo 2.2. Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria X del ejemplo 2.1. Solución: En este caso el rango de valores de X es Rx = {3, 4, 5} y la función de probabilidad esta dada en la siguiente tabla:

ESMA 4001

X

P(x)

3

1/10

4

3/10

5

6/10

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

6

4.1.2. Función de distribución acumulativa Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x) y rango de valores Rx, entonces su función de distribución acumulativa se define por:

F(t) = P( X ≤ t) = ∑ p(x) x≤t

t es cualquier número real. En particular, si t es un valor que está en Rx , el cual consiste de enteros no negativos, entonces: F(t) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) +…+ p(t) Ejemplo 2.3. Hallar la función de distribución acumulativa para el Ejemplo 2.2. Solución: x F(x)

ESMA 4001

3

1/10

4

4/10

5

1

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

7

Distribucion acumulada(cont) La gráfica de una función de distribución acumulativa es no decreciente y del tipo escalonado, con saltos en los puntos que están en el rango de valores y cuya magnitud es igual al valor de la función de probabilidad en dicho punto. Más formalmente tiene la siguiente propiedad: Propiedad. La relación entre la función de distribución de probabilidad y la función de distribución acumulativa está dada por: p(x) = F(x) - F(x-1) para todo valor de x en el rango de valores de la variable aleatoria. ESMA 4001

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

8

Distribucion acumulada(cont.) lim b → ∞ F (b ) = F (∞ ) = 1 lim b → −∞ F (b ) = F ( −∞ ) = 0

ESMA 4001

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

9

4.1.3 Variables aleatorias continuas Una variable aleatoria X se dice que es continua si existe una funcion no negativa f(x) definida para todo numero real en (−∞, ∞) que satisface P( x ∈ B) = ∫ f ( x)dx B

Donde B es cualquier subconjunto de los numeros reales. La funcion f(x) es llamada la funcion de densidad de la variable aleatoria X. Notar que ∞

P ( −∞ ≤ x ≤ ∞ ) =

∫

f ( x ) dx = 1

−∞

ESMA 4001

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

10

4.1.3 Variables aleatorias continuas Si B es un intervalo [a,b], y f representa la funcion de densidad de X entonces b

P(a ≤ x ≤ b) = ∫ f ( x)dx = Area debajo de f ( x) a

Notar que

xo

P( x = x o ) = ∫ f ( x)dx = 0 = area

de

una

linea

xo

Tambien, si f(x) es cualquier funcion continua no negativa tal que ∞

c =

∫

f ( x ) dx

−∞

entonces

ESMA 4001

g ( x) =

f ( x) c

es una funcion de densidad

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

11

Ejemplo 2.4 El promedio de graduacion de los estudiantes de una universidad es una variable aleatoria continua con funcion de densidad

f (x) = cx(4 − x)

para 0 ≤ x ≤ 4

y f(x)=0 en otro caso a) Hallar el valor de c b) Un estudiante que se gradua con promedio 3.25 o mas recibe un premio. Cual es la probabilidad de que esto ocurra Solucion: ∞

4

3 x 3 4 32 a) ∫ f ( x)dx = ∫ cx(4 − x)dx = c[2 x − ]0 = c = 1 ⇒ c = 3 3 32 0 −∞ 2

4

b ) P ( X > 3 .25 ) =

ESMA 4001

x3 4 3 3 3 3 .25 3 2 2 x x dx x ( 4 − ) = [ 2 − ] = 1 − [ 2 ( 3 . 25 ) − ] = 1 − .9077 = .0923 3 .25 ∫ 32 32 3 32 3 3 .25

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

12

Variables aleatorias continuas (cont.) Si f representa la funcion de densidad de la variable aletoira X entonces su funcion de distribucion acumalativa esta dada por t

F (t ) =

∫ f (x)dx =

−∞

Teorema: f(x)=F’(x)

Prueba:

x+h

F (x + h) − F (x) F ( x ) = lim = h→ 0 h

donde

ESMA 4001

xk-1))=P(X>k-1)-P(X>k) Usando los resultados de la parte a) se tiene n! n! n! 1 1 − = − [ ] (n−k+1)!nk−1 (n−k)!nk (n−k)!nk−1 (n−k+1) n n!(k−1) P(X =k) = (n−k+1)!nk P(X =k) =

n+1

para k=2,3,….n+1. Notar que n +1

∑

k =2

∑P(X =k) = p k=2

n+1

+ pn + pn−1 +.....+ p2 .Luego,

n! n! ( n − 1) n! n ( n − 2) n! n n − 2 pk = n + + + ....... + n n nn n n 2! n ( n − 1)!

n −1 n −1 n −1 n! n j −1 ( n − j ) n! n j n −1 n j −1 n! n j n −1 n k ] = n [1 + ∑ ] = n [1 + ∑ = n [1 + ∑ −∑ −∑ ] n j! n n j =1 j =1 j! j =1 ( j − 1)! j =1 j! k k!

=

ESMA 4001

n! n n −1 [ 1 + − 1] = 1 nn ( n − 1)!

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

22

Ejemplo 2.9 (cont) c) E ( X ) = P ( X > 1) +

n

∑

= 1+[

n! ∑ k k = 1 ( n − k )! n n! n! ] + ....... + + ( n − 2 )! n 2 ( n − 1)! n

P(X > k) = 1+

k =1

n! n! n! + + n n n n −1 2! n n − 2

n

n! n2 n3 n n −1 ] = 1 + m [1 + n + + + ...... + n 2! 3! ( n − 1)!

Wel resultado anterior se puede simplificar mas usando el hecho que el n! se puede aproximar usando la formula de aproximacion de Stirling y la suma es una parte de la serie exponencial de en

ESMA 4001

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

23

4.1.5 Valor Esperado y Varianza de una Variable Aleatoria continua Si X es una variable aleatoria continua con funcion de densidad f, entonces su media y varianza estan definidos por ∞

E(X ) =

∫ xf ( x ) dx

−∞

∞

VAR ( X ) =

∫ (x − μ )

2

f ( x ) dx

−∞

ESMA 4001

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

24

Ejemplo 2.10 Hallar el valor esperado y varianza del ejemplo 2.4. Solucion: ∞

4

3 4x3 x4 4 3 − ]0 = 2 E ( X ) = ∫ xf ( x ) dx = ∫ x[ x ( 4 − x )]dx = [ 3 4 32 32 0 −∞

El valor del promedio academico de graduacion que se espera es de 2.0 Var ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 = E ( X 2 ) − 4 ∞

4

3 4 x5 4 3(44 ) 24 3 = E( X ) = ∫ x f ( x)dx =∫ x [ x(4 − x)]dx = [ x − ]0 = ( 32 ) 5 5 32 5 32 0 −∞ 2

2

2

Luego, Var(X)=24/5-4=4/5=.8

ESMA 4001

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

25

Ejemplo 2.11 Hallar el valor esperado del ejemplo 2.6 Solucion: ∞

∞

∞

E ( X ) = ∫ x ⋅ xe dx = ∫ x e dx = − x e | +2∫ xe − x dx = 0 + 2(1) = 2 0

−x

0

2 −x

2 −x ∞ 0

0

La ultima integral vale 1, porque representa el area total debajo de la funcion de densidad. Se espera que un nino mire television, 2 horas semanales

ESMA 4001

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

26

Ejemplo 2.12 Sea X un variable aleatoria discreta con rango de valores RX={0,1,….,n}. Entonces, n

E ( X ) = ∑ P( X ≥ i ) i =1

Similarmente si X es una variable continua no negativa con funcion de distribucion acumulada F, entonces ∞

E ( X ) = ∫ [1 − F ( x )] dx 0

Solo probaremos el caso continuo ∞

∞x

∞∞

∞

0

00

0 t

0

E( X ) = ∫ xf (x)dx = ∫∫ f (x)dtdx= ∫∫ f (x)dxdt= ∫[1− F(t)]dt

La prueba basicamente se basa en el cambio en el orden de los limites de integracion ESMA 4001

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

27

Desigualdad de Markov Si

X ≥ 0 entonces

P( X ≥ a) ≤

E( X ) a

Para todo a>0

Solo probaremos el caso continuo ∞

a

∞

∞

0

0

a

a

E ( X ) = ∫ xf ( x)dx = ∫ xf ( x)dx + ∫ xf ( x)dx ≥ ∫ af ( x)dx ≥ aP ( X > a )

La primera desigualdad se justifica porque el integrando de la primera integral es positivo y en la segunda integral x>a. Luego, E( X ) ≥ P( X > a) a

ESMA 4001

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

28

Desigualdad de Chebychev Para cualquier variable aleatoria X, y cualquier k>0 se cumple que P [| X − μ |≥ k σ ] ≤

1 k2

En otras palabras, la probabilidad de que una variable aleatoria difiera de su media en mas de k veces su desviacion estandar es a lo mas 1/k2 La prueba de la desigualdad de Chebychev se obtiene aplicando la desigualdad de Markov a la variable nonegativa (X-μ)2 con a=k2σ2. Lo cual da E ( X − μ )2 σ2 2 2 2 De donde P [( x − μ ) > k σ ] ≤ = k 2σ

P[| x − μ |> kσ ] ≤

ESMA 4001

k 2σ

2

2

1 k2

Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

29