Ejercicios de Variables Aleatorias Elisa M. Molanes-L´opez, Depto. Estad´ıstica, UC3M

Funci´on de distribuci´on y funci´on de densidad Ejercicio 1. Sea X una variable aleatoria con funci´on de distribuci´on dada por   si x < 0  0, F (x) = 1 − k(1 − x), si 0 ≤ x < k   1, si x ≥ k. a) Determine el valor de k para que F (x) sea, en efecto, funci´on de distribuci´on ¿Es X una v.a. continua o discreta? b) Si k = 3/4, ¿cu´ al es la probabilidad del suceso {1/2 < X ≤ k}? c) Si k = 1, ¿cu´ al es la probabilidad del suceso {1/2 < X ≤ k}? Soluci´ on: a) Seg´ un la definici´ on, el valor de k ha de ser positivo. A la vista de la gr´afica, para que F (x) sea no decreciente, ha de suceder que 1 − k + k 2 = 1 − k(1 − k) ≤ 1. Teniendo en cuenta que k > 0, se deduce que k ≤ 1. Con la condici´on 0 < k ≤ 1, F cumple las cuatro propiedades necesarias para ser funci´ on de distribuci´on: * F (−∞) = l´ımx→−∞ F (x) = 0. * F (∞) = l´ımx→∞ F (x) = 1. * F es continua por la derecha. * F es no decreciente.

1

1-k+k2

1-k

0

k

Si k = 1, X es una v.a. continua con densidad f (x) = 1, si x ∈ [0, 1]. Sin embargo, si 0 < k < 1, X es una v.a. mixta ya que se comporta como continua en el intervalo (0, k), siendo su densidad f (x) = k, si x ∈ (0, k), y se comporta como discreta en los puntos x = 0 y x = k, siendo su funci´ on de probabilidad en dichos puntos, p(0) = 1 − k y p(k) = k(1 − k). 1

b) Si k = 3/4, resulta que: 

Pr({1/2 < X ≤ k})

=

3 1 F (3/4) − F (1/2) = 1 − 1 − × 4 2

 =

3 . 8

En este caso X es una v.a. mixta. Si hubi´esemos utilizado su funci´on de densidad y su funci´on de probabilidad, tendr´ıamos que: Pr({1/2 < X ≤ k})

=

Pr(1/2 < X < 3/4) + Pr(X = 3/4)   Z 3/4 3 3 3 3 dx + 1− = . = 4 4 4 8 1/2

c) Si k = 1, resulta que: 

Pr({1/2 < X ≤ k})

1 = F (1) − F (1/2) = 1 − 1 − 2

 =

1 . 2

En este caso X es una v.a. continua. Si hubi´esemos utilizado su funci´on de densidad, tendr´ıamos que: Z 1 1 Pr({1/2 < X ≤ k}) = 1dx = . 2 1/2

Ejercicio 2. Sea X una v.a. con la siguiente funci´on de distribuci´on: ( x e si x ≤ 0 2 , F (x) = −x 1 − e2 , si x > 0. a) Indique si X es continua o discreta. b) Determine la funci´ on de densidad de X. c) ¿Cu´ al es la probabilidad del suceso {−2 ≤ X ≤ 1}? d) ¿Cu´ al es la probabilidad del suceso {X = 1}? Soluci´ on: a) X es una v.a. continua dado que su funci´on de distribuci´on es continua por la derecha y por la izquierda. b) La funci´ on de densidad de X es ( f (x) =

ex 2 , e−x 2 ,

si x ≤ 0 si x > 0.

c) Utilizando la funci´ on de distribuci´ on: e−1 e−2 1 Pr({−2 ≤ X ≤ 1}) = F (1) − F (−2) = 1 − − =1− 2 2 2



1 1 + 2 e e

 = 0,7484.

Utilizando la funci´ on de densidad:   Z 0 x Z 1 −x e e 1 1 1 Pr({−2 ≤ X ≤ 1}) = dx + dx = 1 − + 2 = 0,7484. 2 2 e e −2 2 0 2

d) Para toda v.a. continua sucede que Pr(X = x) = 0, para todo x n´ umero real, de modo que Pr({X = 1}) = 0.

Ejercicio 3. Determine el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea funci´on de densidad: a) f (x) = kxe−kx , si x > 0. √ √ b) f (x) = k/ 1 − x, si 0 < x < 2/2. c) f (x) = k/(1 + x2 ), para todo x n´ umero real. Soluci´ on: Las dos condiciones para que una funci´on sea de densidad son las siguientes: * f (x) ≥ 0. R∞ * −∞ f (x)dx = 1. a) Por la primera condici´ on se deduce que k ≥ 0. De la segunda condici´on se deduce que: Z ∞ kxe−kx dx = 1. 0

Resolviendo esta integral por partes (u = x y dv = e−kx ) y usando la regla de L’Hˆopital, se verifica que:  Z ∞ −kx x=∞  1 x e−kx e x = . − l´ım + dx = − 1 = k l´ım x→∞ −kekx x→0 −kekx k k k 0 x=0 De donde se concluye que k = 1. b) Por la primera condici´ on se deduce que k ≥ 0. De la segunda condici´on se deduce que: √

Z

2/2

0

k dx = 1. (1 − x)1/2

Resolviendo esta integral, se verifica que:  s  s √ √ √2/2 (1 − x)1/2 2 2 1 = −k = −2k 1 − + 2k = k −2 1 − + 2 = 0,9176k. 1/2 2 2 0 De donde se concluye que k = 1,0898. c) Por la primera condici´ on se deduce que k ≥ 0. De la segunda condici´on se deduce que: Z ∞ k dx = 1. 2 −∞ 1 + x Resolviendo esta integral, se verifica que: 1



= k arctan(x)]−∞ = k

De donde se concluye que k = 1/π.

3



 π  − − = πk. 2 2

Ejercicio 4. El tiempo de retraso, medido en minutos, del AVE Sevilla - Madrid sigue una variable aleatoria continua con funci´ on de distribuci´on  0, si x ≤ −1     k(x + 1) + x2 −1 , si −1 1. a) Calcule el valor de k. b) Calcule la probabilidad de que el tren llegue con menos de medio minuto de retraso. c) Calcule la probabilidad de que el tren llegue antes de la hora prevista. d) Calcule el tiempo esperado de retraso. e) Calcule la probabilidad de que el tren llegue entre medio minuto de adelanto y un minuto de retraso. f) Sabiendo que el tren ha llegado con retraso, calcule la probabilidad de que lo haya hecho menos de 15 segundos despu´es de lo previsto. Soluci´ on: Sea X la v.a. que mide el tiempo de retraso en minutos del AVE Sevilla - Madrid. Not´ese que cuando X < 0 significa que la llegada del tren se ha producido con antelaci´on a su tiempo de llegada previsto. En cambio, si X > 0, entonces el tren habr´a llegado con retraso. a) Al ser X una v.a. continua, sabemos que su funci´on de distribuci´on, F , ha de ser continua en todo punto. De modo que, l´ımx→1+ F (x) = F (1) ⇒ 1 = 2k − 1 ⇒ k = 1. b) Pr(X < 0,5 min) = F (0,5) = (0,5 + 1) − c) Pr(X < 0) = F (0) = 1 −

1 2

(0,5)2 +1 2

=

7 8

= 0,875 = 87,5 %.

= 0,5 = 50 %.

d) En el caso de una v.a. continua su media o esperanza se calcula integrando en todo < su funci´ on de densidad, f (x), multiplicada por x, es decir, Z ∞ E[X] = xf (x)dx. −∞

Calculemos en primer lugar, f (x) =

dF dx (x).

Se tiene que:

   1 + x, f (x) = 1 − x,   0,

si − 1 < x ≤ 0 si 0 < x ≤ 1 en caso contrario.

Entonces, Z E[X]

0

=

Z

−1

1

x(1 − x)dx = 0.

x(1 + x)dx + 0

e) Pr(−0,5 min < X < 1 min) = F (1) − F (−0,5) =

7 8

= 0,875 = 87,5 %.

f) Para calcular Pr(X < 41 |X > 0) hacemos uso de la definici´on de probabilidad condicionada:   1 Pr X < |X > 0 4

=

Pr(0 < X < 14 ) F (1/4) − F (0) 7 = = = 0,4375 = 43,75 %. Pr(X > 0) 1 − F (0) 16 4

Ejercicio 5. Un autob´ us pasa por una cierta parada cada 8 minutos. Si un usuario llega a la parada, el tiempo que debe esperar es una variable aleatoria con funci´on de densidad f1 (t) (t en minutos). Sin embargo, si el autob´ us lleva retraso, el tiempo de espera se distribuye seg´ un la funci´on de densidad f2 (t). ( 1/8, si 0 < t < 8 f1 (t) = 0, en caso contrario.

( f2 (t) =

1 −t/10 , 10 e

0,

si t > 0 en caso contrario.

Sabiendo que un d´ıa de cada tres, el autob´ us llega con retraso, calcule la probabilidad de que el usuario tenga que esperar m´ as de 5 minutos. Soluci´ on: En este ejercicio aplicaremos el Teorema de la Probabilidad Total. Sea R el suceso ((el autob´ us lleva retraso un d´ıa concreto)). Sabemos que Pr(R) = 1/3, de modo que Pr(R) = 2/3. Nos piden Pr(T > 5 min), siendo T la v.a. que mide el tiempo que un usuario de dicho autob´ us espera en la parada hasta que ´este llega. Usando como partici´ on del espacio muestral los sucesos R y R, el Teorema de la Probabilidad Total nos permite escribir Pr(T > 5 min) como sigue: Pr(T > 5 min)

=

Pr(T > 5 min|R) Pr(R) + Pr(T > 5 min|R) Pr(R).

Calculemos Pr(T > 5 min|R) y Pr(T > 5 min|R): Z ∞ it=∞ Pr(T > 5 min|R) = f2 (t)dt = e−t/10 = e−0,5 , t=5

5

Z Pr(T > 5 min|R)

= 5

8

t 1 dt = 8 8

t=8 = t=5

3 . 8

Se concluye que: Pr(T > 5 min)

=

e−0,5 ×

1 3 2 + × = 0,4522 = 45,22 %. 3 8 3

5