5 Spezielle Funktionen In diesem Kapitel werden einige wichtige Funktionen der Mathematischen Physik vorgestellt. Solche Funktionen sind in der Quantentheorie in mehrfacher Hinsicht von Bedeutung: Einmal erscheinen sie in Form von analytischen L¨osungen einfacher physikalischer Probleme, wie beispielsweise die Hermite-Funktionen als Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators. Zum anderen liefern diese Funktionen eine bequeme Basis des Hilbert-Raums. Eine solche Basis kann man verwenden, um andere Probleme darzustellen und dann als Matrixgleichungen zu behandeln. Beides haben wir am Beispiel der Hermite-Funktionen im vorangehenden Kapitel kurz vorgestellt.

5.1 Orthogonale Polynomsysteme In Kapitel 2 wurde das Skalarprodukt auf dem Hilbert-Raum der Polynome1 P (x) und R(x) im Intervall a ≤ x ≤ b als Z b hP |Ri = P (x)R(x)%(x) dx (5.1) a

definiert. Dabei ist %(x) eine nicht-negative stetige Gewichtsfunktion. Dieses Skalarprodukt erlaubt es nun, den Begriff Orthogonalit¨at auch f¨ ur Polynome zu definieren. Zwei Polynome sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist: Ein orthogonales Polynomsystem besteht dann aus Polynomen Pn (x) vom Grad n = 0, 1, . . . , die paarweise orthogonal sind: Z b Pm (x)Pn (x)%(x) dx = cn δmn . (5.2) hPm |Pn i = a

Oft ist es zweckm¨aßiger, statt der Polynome Pn (x) die Funktionen p pn (x) = %(x)/cn Pn (x)

(5.3)

zu verwenden, die nach b

Z

pm (x) pn (x) dx = δmn

(5.4)

a

normiert sind und die die Vollst¨andigkeitsrelation X pn (x) pn (x0 ) = δ(x − x0 )

(5.5)

n 1

Wir beschr¨ anken uns hier auf reelle Polynome.

123

Skalarprodukt

5. Spezielle Funktionen erf¨ ullen. Dabei ist δ(x) die Deltafunktion. Eine typische Anwendung orthogonaler Polynome besteht darin, Funktionen aus dem Hilbert-Raum quadratintegrierbarer Funktionen in diesen Polynomsystemen darzustellen, also als X f (x) = an pn (x) . (5.6) n

Dabei ergeben sich die Koeffizienten an durch Projektion auf die Basisfunktionen: Z b f (x) pn (x) dx . (5.7) an = a

Nach dem Satz von Fischer-Riesz konvergiert die Reihe (5.6) fast u ¨berall gegen P die Funktion f (x), wenn die Reihe n |an |2 konvergiert. Abh¨angig von dem Intervall und der Gewichtsfunktion existieren unterschiedliche Polynomsysteme mit unterschiedliche Anwendungsgebieten. Wir werden hier drei typische Systeme vorstellen: Die Hermite-Polynome, die LegendrePolynome und die Laguerre-Polynome.

5.1.1 Hermite-Polynome

HermitePolynome

Um orthogonale Polynome auf der gesamten x-Achse zu konstruieren, muss man eine Gewichtsfunktion %(x) w¨ahlen, die f¨ ur große |x| schnell genug abf¨allt. 2 Hier bietet sich eine Gauß-Funktion %(x) = e−x an. Damit erh¨alt man die Hermite-Polynome Hn (x). Sie erf¨ ullen die Orthonormierungsrelation Z +∞ √ 2 (5.8) Hm (x)Hn (x) e−x dx = π 2n n! δmn , −∞

stehen also paarweise aufeinander senkrecht. Die Polynome niedrigster Ordnung lauten H0 (x) = 1 ,

H1 (x) = 2x ,

H3 (x) = 8x3 − 12x ,

H2 (x) = 4x2 − 2

H4 (x) = 16x4 − 48x2 + 12 .

(5.9)

Diese Hermite-Polynome, dargestellt in Abbildung 5.1, haben jeweils n reelle Nullstellen. Man kann zeigen, dass zwischen benachbarten Nullstellen von Hn (x) immer eine Nullstelle von Hn+1 (x) liegt. Erzeugende

Die Hermite-Polynome entstehen auch durch Entwicklung der Erzeugenden h(x, u) in eine Taylor-Reihe: 2 +2ux

h(x, u) = e−u

=

∞ X n=0

Hn (x)

un . n!

(5.10)

Wir wollen auf diese Weise mit Hilfe der Erzeugenden (5.10) die in (5.9) angegebenen Polynome niedrigsten Grades verifizieren. Mit der Taylor-Entwicklung 2 +2ux

h(x, u) = e−u

124

=

∞ X 1 (−u2 + 2ux)n n! n=0

(5.11)

5.1. Orthogonale Polynomsysteme

1

0.5

0

−0.5

−1 −2

−1

0 x

1

2

Abbildung 5.1: Hermite-Polynome Hn (x) f¨ ur n = 0, 2 und 4 (—) sowie n = 1 und 3 (- - -) . (Die Polynome wurden auf den Wert eins bei x = 2 renormiert.)

finden wir in niedrigster Ordnung h(x, u) ≈ 1 + (−u2 + 2ux) + 21 (−u2 + 2ux)2 = 1 − u2 + 2ux + 21 u4 − 2u3 x + 2u2 x2 u2 ≈ 1 + 2xu + (4x2 − 2) . 2

(5.12)

Dabei stimmen die drei Koeffizienten, wie erhofft, mit den Polynomen (5.9) u ¨berein. Mit mehr Aufwand lassen sich so auch die Hermite-Polynome h¨oheren Grades bestimmen. Aufgabe 5.1 Zeigen Sie, dass die mit der Entwicklung (5.10) erzeugten Polynome Hn (x) die Orthonormierungsrelation (5.8) erf¨ ullen. (Hinweis: Integrieren Sie dazu das Produkt h(x, u)h(x, v) u ¨ber x.) Als Folgerung der Formel (5.10) f¨ ur die Erzeugende sehen wir, dass die HermitePolynome folgende Parit¨at besitzen: Hn (−x) = (−1)n Hn (x) .

(5.13)

Das ergibt sich direkt aus h(−x, u) = h(x, −u). Sie sind also abwechselnd symmetrisch und antisymmetrisch. Die Aussage von (5.10) l¨asst sich mit Hilfe von ∂ n h Hn (x) = ∂un u=0

(5.14)

auch ausdr¨ ucken als Hn (x) = (−1)n ex

2

dn −x2 , e dxn

(5.15)

125

Aufgabe 5.1

5. Spezielle Funktionen RodriguesGleichung Rekursionsgleichung

die so genannte Rodrigues-Gleichung. Auch mit dieser Formel k¨onnen wir leicht die f¨ unf Hermite-Polynome aus (5.9) berechnen. Bei Polynomen von h¨oherem Grad werden diese Methoden aber sehr unhandlich. Eine bequemere Berechnung der Hermite-Polynome erm¨oglicht die Rekursionsgleichung Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x) .

(5.16)

Die Ableitungen der Polynome erh¨alt man mit Hn0 (x) = 2nHn−1 (x) .

(5.17)

Die Hermite-Polynome l¨osen die Differentialgleichung f 00 (x) − 2xf 0 (x) + 2nf (x) = 0 ,

(5.18)

was direkt aus den Rekursionsgleichungen folgt: Setzen wir die zweite Gleichung in die erste ein, Hn+1 (x) = 2xHn (x) − Hn0 (x)

(5.19)

und differenzieren, so erhalten wir 0 Hn+1 (x) = 2xHn0 (x) + 2Hn (x) − Hn00 (x) .

(5.20)

Jetzt benutzen wir die Rekursionsgleichung (5.17) f¨ ur die Ableitung noch ein0 mal in der Form Hn+1 (x) = 2(n + 1)Hn (x) mit dem Resultat 2nHn (x) = 2xHn0 (x) + 2Hn (x) − Hn00 (x)

(5.21)

¨ oder, in Ubereinstimmung mit (5.18), Hn00 (x) − 2xHn0 (x) + 2nHn (x) = 0 .

HermiteFunktionen

(5.22)

Oft verwendet man statt der Hermite-Polynome die Hermite-Funktionen ϕn (x) = An Hn (x) e−x

2 /2

,

1 An = p √ . n 2 n! π

(5.23)

Ein kurzer Blick auf Gleichung (5.8) zeigt, dass hier die gaußf¨ormige Gewichts2 funktion e−x in zwei gleiche Faktoren zerlegt wird, die man dann den HermitePolynomen zuschl¨agt. Das gleiche gilt f¨ ur den Ausdruck auf der rechten Seite von (5.8). Der Faktor An sorgt f¨ ur eine Normierung der Funktionen auf einen Integralwert von eins in Gleichung (5.8). Umgeschrieben auf die HermiteFunktionen nimmt diese Gleichung dann die Form Z +∞ ϕn0 (x) ϕn (x) dx = δn0 n (5.24) −∞

an. Das heißt, die Hermite-Funktionen sind orthonormiert. In Abbildung 5.2 sind die Hermite-Funktionen ϕn (x) f¨ ur n = 0 bis n = 4 dargestellt.

126

5.1. Orthogonale Polynomsysteme

−4

−2

0 x

2

4

Abbildung 5.2: Hermite-Funktionen ϕn (x) f¨ ur n = 0, 2 und 4 (—) sowie n = 1 und 3 (- - -) . (Zur besseren Darstellung wurden die Funktionen jeweils um ein Vielfaches von n nach oben verschoben.)

Mit nur wenig Rechenarbeit k¨onnen wir auch zeigen, dass die ϕn (x) die Differentialgleichung ϕ00 (x) + (2n + 1 − x2 ) ϕ(x) = 0

(5.25)

−x2 /2

l¨osen. Um dies zu sehen, setzen wir ϕ(x) = f (x)e . (Die Funktion f (x) ist bis auf einen Normierungsfaktor gleich einem Hermite-Polynom und erf¨ ullt als die Differentialgleichung (5.18).) Zweimaliges Differenzieren ergibt
2 ϕ0 (x) = f 0 (x) − xf (x) e−x /2 (5.26)
2
2 ϕ00 (x) = f 00 (x) − xf 0 (x) − f (x) e−x /2 − x f 0 (x) − xf (x) e−x /2
2 = f 00 (x) − 2xf 0 (x) + (x2 − 1)f (x) e−x /2 , (5.27) und mit f 00 (x)−2xf 0 (x) = −2nf (x) nach (5.18) erhalten wir sofort die gesuchte Differentialgleichung (5.25). Die Differentialgleichung (5.25) ist eine fundamentale Gleichung in der Quantenmechanik, denn sie ist die Schr¨odinger-Gleichung f¨ ur den harmonischen Oszillator (4.33) mit den Eigenwerten  = n + 1/2 (vgl. Seite 88). Zum Abschluss notieren wir noch die Symmetrie ϕn (−x) = (−1)n ϕn (x))

(5.28)

der Hermite-Funktionen, eine direkte Folge der Symmetrie (5.13) der Polynome. Die Vollst¨andigkeitsrelation (5.5), also X ϕn (x) ϕn (x0 ) = δ(x − x0 ) ,

(5.29)

n

erlaubt es uns, quadratintegrable Funktionen f (x) durch die Hermite-Funktionen darzustellen: Z +∞ X f (x) = cn ϕn (x) mit cn = ϕn (x)f (x) dx . (5.30) n

−∞

127

5. Spezielle Funktionen Man benutzt die Hermite-Funktionen oft als Basisfunktionen des Hilbert-Raums der quadratintegrablen Funktionen, um dadurch eine (unendlich dimensionale) Matrixdarstellung der Operatoren zu erhalten. Ein typisches Beispiel soll dieses Vorgehen illustrieren: Beispiel 5.1

H Beispiel 5.1 Wir betrachten zun¨achst den Ortsoperator xˆ und berechnen seine Matrixelemente in der Basis der Hermite-Funktionen Z +∞
ϕ∗n0 (x) xϕn (x) dx hϕn0 | xˆ |ϕn i = −∞ +∞

Z

2 /2

Hn0 (x) e−x

= An0 An

xHn (x)e−x

2 /2




dx

(5.31)

−∞ +∞

Z

2

Hn0 (x)xHn (x) e−x dx .

= An0 An −∞

F¨ ur den Impulsoperator pˆ = −id/dx (hier benutzen wir dimensionslose Einheiten mit ~ = 1) finden wir entsprechend Z +∞ d  hϕn0 | pˆ |ϕn i = −i ϕ∗n0 (x) ϕn (x) dx dx −∞ Z +∞
2 2 = −iAn0 An Hn0 (x) e−x /2 Hn0 (x) − xHn (x) e−x /2 dx (5.32) −∞

Z

+∞

= −iA An n0


2 Hn0 (x) Hn0 (x) − xHn (x) e−x dx .

−∞

Eine Auswertung dieser Integrale ist m¨oglich, ohne irgendein Integral zu berechnen. Wir u ¨berlassen das einer Aufgabe: Aufgabe 5.2

Aufgabe 5.2 Berechnen Sie mit Hilfe der Rekursionsgleichungen und der Orthonormierungsrelation der Hermite-Polynome die Matrixelemente des Ortsund Impulsoperators aus den Gleichungen (5.33) und (5.32). Als Resultat von Aufgabe 5.2 erhalten wir eine einfache Matrixdarstellungen f¨ ur den Ortsoperator: √   0 1 0 0 . . . √ √  1 0 2 √0 . . .    √ 1   0 2 0 3 . . . xˆ = √  (5.33) . √ 2 0 3 0 ...   0  .. .. .. .. . . . . . . . Diese Matrix ist reell und symmetrisch. Genauso einfach ist das Resultat f¨ ur den Impulsoperator. Seine Matrixdarstellung √   0 − 1 0 0 . . . √ √  1  0 − 2  √ √0 . . .  i  2 0 − 3 ...  (5.34) pˆ = √  0 . √  2 0 0 3 0 . . .   .. .. .. .. . . . . . . .

128

5.1. Orthogonale Polynomsysteme Wie zu erwarten war sind beide Matrizen hermitesch, d.h. es gilt (ˆ x)n0 n = (ˆ x)∗nn0 und (ˆ p)n0 n = (ˆ p)∗nn0 , denn der Ortsoperator und der Impulsoperator sind hermitesch. Es ist hier wichtig, darauf hinzuweisen, dass diese Matrizen unendlich dimensional sind. Die Argumente aus Abschnitt 3.4, die eine endlich dimensionale Matrixdarstellung von Orts- und Impulsoperator verbieten, treffen also hier nicht zu. Wir werden in Abschnitt 7.3 auf diese Matrixdarstellung zur¨ uckkommen und demonstrieren, wie man sie in numerischen Rechnungen verwenden kann. N

5.1.2 Legendre-Polynome Wenn das Integrationsintervall in (5.1) endlich ist, l¨asst es sich durch Umskalieren der Variablen auf das Intervall −1 ≤ x ≤ +1 transformieren. Außerdem existieren die Integrale auch f¨ ur eine konstante Gewichtsfunktion %(x) = 1. Die dann entstehenden Legendre-Polynome Pn (x) erf¨ ullen die Orthonormierungsrelation Z +1 2 δmn . (5.35) Pm (x)Pn (x) dx = 2n + 1 −1 Sie sind so normiert, das Pn (1) = 1 gilt. Die Polynome niedrigster Ordnung lauten P0 (x) = 1 ,

P1 (x) = x ,

P3 (x) = 52 x3 − 23 x ,

P2 (x) = 32 x2 −

P4 (x) =

35 8

x4 −

15 4

1 2

x2 + 38 .

(5.36)

Sie sind in Abbildung 5.3 dargestellt. 1

0

−1 −1

−0.5

0 x

0.5

1

Abbildung 5.3: Legendre-Polynome Pn (x) f¨ ur n = 0, 2 und 4 (—) sowie n = 1 und 3 (- - -) . Genau wie die Hermite-Polynome entstehen die Pn (x) durch Entwicklung einer Erzeugenden h(x, u) in eine Taylor-Reihe: ∞

h(x, u) = √

X 1 = Pn (x) un . 2 1 − 2ux + u n=0

(5.37)

129

LegendrePolynome

5. Spezielle Funktionen Ihre Rodrigues-Gleichung ist gegeben durch Pn (x) =


n 1 dn 2 x −1 n n 2 n! dx

(5.38)

und die Rekursionsgleichungen lauten (n + 1)Pn+1 (x) = (2n + 1)xPn (x) − nPn−1 (x) (x2 − 1)Pn0 (x) = nxPn (x) − nPn−1 (x) .

(5.39) (5.40)

Die Legendre-Polynome haben die Parit¨at Pn (−x) = (−1)n Pn (x)

(5.41)

und l¨osen die Differentialgleichung (1 − x2 )f 00 (x) − 2xf 0 (x) + n(n + 1)f (x) = 0 ,

(5.42)

die legendresche Differentialgleichung.

zugeordnete LegendrePolynome

Neben diesen ‘normalen’ Legendre-Polynomen gibt es auch verallgemeinerte Legendre-Polynome, die auch als zugeordnete Legendre-Polynome bezeichnet werden. Das sind L¨osungen Pnm (x) der Differentialgleichung  (1 − x2 )f 00 (x) − 2xf 0 (x) + n(n + 1) −

m2  f (x) = 0 , 1 − x2

(5.43)

wobei m die ganzen Zahlen von −n bis +n durchlaufen kann. Bei vorgegebenem n gibt es also (2n+1) Funktionen Pnm (x). Man kann zeigen, dass diese L¨osungen durch die Rodrigues-Gleichung Pnm (x) =

n+m (−1)m 2 m/2 d (x − 1) (x2 − 1)n 2n n! dxn+m

(5.44)

gegeben sind – eine direkte Verallgemeinerung der Gleichung (5.38) f¨ ur die normalen Legendre-Polynome. Alternativ erh¨alt man die Polynome f¨ ur m > 0 durch m-fache Differentiation aus den einfachen Legendre-Polynomen, Pnm (x) = (−1) m (1 − x2 )m/2

dm Pn (x) , dxm

(5.45)

und f¨ ur negativen oberen Index aus der Beziehung Pn−m (x) = (−1)m

(n − m)! m P (x) . (n + m)! n

(5.46)

F¨ ur m = 0 stimmen die Pn0 (x) mit den Pn (x) u ¨berein. ¸ Wir berechnen aus diesen Gleichungen die verallgemeinerten Legendre-Polynome f¨ ur n = 1 und n = 2: Aus P10 (x) = P1 (x) = x erhalten wir √ P1+1 (x) = (−1)(1 − x2 )1/2 P1 0 (x) = − 1 − x2 P1−1 (x) = (−1)

130

√ (1 − 1)! +1 P1 (x) = + 1 − x2 (1 + 1)!

(5.47)

5.1. Orthogonale Polynomsysteme

4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 0

1

2

3 x

4

5

6

Abbildung 5.4: Laguerre-Polynome Ln (x) f¨ ur n = 0, 2 und 4 (—) sowie n = 1 und 3 (- - -) . (Die Polynome wurden auf den Wert eins bei x = 0 renormiert.)

und aus P20 (x) = 23 x2 −

1 2

die vier Funktionen

√ P2+1 (x) = (−1)(1 − x2 )1/2 P2 0 (x) = −3x 1 − x2 P2−1 (x) = (−1)

(2 − 1)! +1 x√ 1 − x2 P2 (x) = (2 + 1)! 2

P2+2 (x) = (−1)2 (1 − x2 )2/2 P2 00 (x) = 3 (1 − x2 ) P2−2 (x) = (−1)2

(5.48)

(2 − 2)! +2 1 P2 (x) = (1 − x2 ) . (2 + 2)! 8

Wir werden diesen verallgemeinerten Legendre-Polynomen im Abschnitt 5.2 u ¨ber die Kugelfunktionen wieder begegnen.

5.1.3 Laguerre-Polynome Funktionen, die von einem Abstand“abh¨angen, wie zum Beispiel der Radial” teil der L¨osungen der Schr¨odinger-Gleichung in Polarkoordinaten, lassen sich durch Polynome auf einem halb-unendlichen Intervall 0 ≤ x < ∞ darstellen. Die Gewichtsfunktion %(x) = e−x liefert hier als orthogonales Polynomsystem die Laguerre-Polynome Ln (x) mit der Orthonormierungsrelation Z ∞ Lm (x)Ln (x) e−x dx = (n!)2 δmn . (5.49) 0

Die Polynome niedrigster Ordnung L0 (x) = 1 ,

L1 (x) = 1 − x ,

L3 (x) = 6 − 18x + 9x2 − x3 ,

L2 (x) = 1 − 2x + x2 /2

(5.50)

L4 (x)24 − 96x + 72x2 − 16x3 + x4

sind in Abbildung 5.4 dargestellt.

131

LaguerrePolynome

5. Spezielle Funktionen Die Erzeugende h(x, u) der Laguerre-Polynome ist h(x, u) = e

xu − 1−u

= (1 − u)

∞ X

Ln (x) un ,

(5.51)

n=0

und ihre Rodrigues-Gleichung ist gegeben als ex dn n −x
x e . (5.52) n! dxn Einfache Berechnungen der Polynome erm¨oglichen auch hier wieder die Rekursionsgleichungen Ln (x) =

(n + 1)Ln+1 (x) = (2n + 1 − x)Ln (x) − nLn−1 (x) xL0n (x) = nLn (x) − nLn−1 (x) .

(5.53) (5.54)

Die Ln (x) sind L¨osungen der laguerreschen Differentialgleichung xf 00 (x) + (1 − x)f 0 (x) + nf (x) = 0 . verallgemeinerte LaguerrePolynome

(5.55)

Auch in diesem Fall existieren verallgemeinerte Laguerre-Polynome dk Ln+k (x) , n, k = 0, 1, 2, . . . . dxk Diese Polynome n-ten Grades haben die explizite Darstellung Lkn (x) = (−1)k

Lkn (x)

=

n X j=0

(−1)j (n + k)! xj (n − j)! (k + j)! j!

(5.56)

(5.57)

und erf¨ ullen die Differentialgleichung xf 00 (x) + (k + 1 − x)f 0 (x) + nf (x) = 0 ,

(5.58)

die beispielsweise bei der L¨osung der radialen Schr¨odinger-Gleichung f¨ ur das Coulomb-Potential auftritt (siehe Seite 115). Sie beschreiben die radiale Abh¨angigkeit der Wellenfunktionen der Atomorbitale.

5.2 Kugelfunktionen

Kugelfunktionen

F¨ ur viele Anwendungen, beispielsweise bei der Behandlung eines Problems in einem dreidimensionalen Raum in sph¨arischen Polarkoordinaten r, θ und φ, ben¨otigt man ein orthogonales Funktionensystem auf der Oberfl¨ache einer Kugel um den Koordinatenursprung. Ein solches Funktionensystem wird uns ˆ z und L ˆ2 durch die gemeinsamen Eigenfunktionen der Drehimpulsoperatoren L geliefert (siehe Seite 113; dabei wurde den Faktor ~ gleich eins gesetzt) die Kugelfunktionen oder Kugelfl¨achenfunktionen Y`m (ϑ, φ): ˆ z Y`m (ϑ, φ) L ˆ 2 Y`m (ϑ, φ) L

1 ∂ Y`m (ϑ, φ) = m Y`m (ϑ, φ) (5.59) i ∂φ  ∂  ~2 m2  1 ∂  = − sin ϑ + Y`m (ϑ, φ) sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin2 ϑ =

= ` (` + 1) Y`m (ϑ, φ)

132

(5.60)

5.2. Kugelfunktionen mit ` = 0, 1, 2, . . . und m = −`, . . . , `. Sie sind so normiert, dass das Integral von |Y`m |2 u ¨ber die Einheitskugel gleich eins ist: Z Y`m (ϑ, φ) 2 dΩ = 1 (5.61) (vgl. Gleichung (4.167)). Dabei ist dΩ = sin ϑ dϑd φ das Raumwinkelelement, also das Fl¨achenelement auf der Einheitskugel. Außerdem wissen wir, das diese Funktionen als Eigenfunktionen hermitescher Operatoren orthogonal sind: Z (5.62) Y`∗0 m0 (ϑ, φ) Y`m (ϑ, φ)dΩ = δ`0 ,` δm0 ,m . Die Kugelfunktionen stehen in direktem Zusammenhang mit den verallgemeinerten Legendre-Polynomen P`m (x) aus Abschnitt 5.1.2, wobei wir den Index n durch ` ersetzt haben. Das wird sofort klar, wenn wir die legendresche Differentialgleichung (5.43) als   d  m2  2 df (1 − x ) + `(` + 1) − f (x) = 0 dx dx 1 − x2

(5.63)

umschreiben und dann auf die Variable x = cos ϑ transformieren. Mit d dϑ d 1 d = =− dx dx dϑ sin ϑ dϑ

(5.64)

und 1 − x2 = sin2 ϑ erhalten wir so aus (5.63) die Gleichung −

1 d  df   m2  − sin ϑ + `(` + 1) − f (ϑ) = 0 , sin ϑ dϑ dϑ sin2 ϑ

(5.65)

1 d  df  m2 − sin ϑ + f (ϑ) = `(` + 1)f (ϑ) . sin ϑ dϑ dϑ sin2 ϑ

(5.66)

oder

Vergleichen wir diesen Ausdruck mit der Differentialgleichung f¨ ur die Eigenˆ 2 , also f¨ funktionen des Drehimpulsoperators L ur die Kugelfunktionen Y`m (ϑ, ϕ) ¨ aus Gleichung (4.166), so findet man Ubereinstimmung. Die Kugelfunktionen Y`m stimmen also bis auf die Normierung mit den verallgemeinerten LegendrePolynomen P`m (cos ϑ) u ¨berein: s 2` + 1 (` − m)! imφ e P` (cos ϑ) (5.67) Y`m (ϑ, φ) = 4π (` + m)! Aufgabe 5.3 Vergewissern Sie sich, dass die Kugelfunktionen Y` 0 in Gleichung (5.67) korrekt normiert sind, also wie in (4.167). ˆ 2 und L ˆz Wir haben auf diese Weise also die Eigenzust¨ande der Operatoren L in der Ortsdarstellung konstruiert, denn die Funktionen Y`m (ϑ, φ) erf¨ ullen die Eigenwertgleichung ∗ ∗ ˆ 2 Y`m L (ϑ, φ) = ~2 `(` + 1) Y`m (ϑ, φ) ,

ˆ z Y ∗ (ϑ, φ) = ~m Y ∗ (ϑ, φ) (5.68) L `m `m

133

Aufgabe 5.3

5. Spezielle Funktionen f¨ ur m = −`, −` + 1, . . . , ` − 1, ` (vgl. auch Gleichungen (4.165) und (4.166)). Die oben berechneten verallgemeinerten Legendre-Polynome aus den Gleichungen (5.47) bis (5.48) k¨onnen wir direkt in die Kugelfunktionen umschreiben: Die Kugelfunktion f¨ ur ` = 0, r 1 Y0, 0 (ϑ, φ) = , (5.69) 4π ist winkelunabh¨angig, f¨ ur ` = 1 ergeben sich die drei Funktionen q 3 Y1, 0 (ϑ, φ) = 4π cos ϑ q 3 sin ϑ e±iφ , Y1,±1 (ϑ, φ) = ∓ 8π und f¨ ur ` = 2 ergeben sich die f¨ unf Funktionen q
5 3 cos2 ϑ − 1 Y2, 0 (ϑ, φ) = 16π q 15 Y2,±1 (ϑ, φ) = ∓ 8π sin ϑ cos ϑ e±iφ q 15 sin2 ϑ e±2iφ . Y2,±2 (ϑ, φ) = ∓ 32π

(5.70)

(5.71)

Genauso lassen sich Kugelfunktionen mit h¨oheren Indizes berechnen, beispielsweise q
Y2, 0 (ϑ, φ) = 41 π7 5 cos3 ϑ − 3 cos ϑ . (5.72) Die Betr¨age |Y`m, (ϑ, φ)| der Kugelfunktionen sind unabh¨angig vom Winkel φ, also rotationssymmetrisch um die z-Achse. Zur Visualisierung der Funktionen kann man beispielsweise ihren Betrag als einen radialen Abstand von Zentrum auffassen und R(θ) = |Y`m, (ϑ, φ)| plotten, wie in Abbildung 5.5 f¨ ur die Funktionen Y1,0 , Y2,0 und Y3,0 . Aufgabe 5.4

Aufgabe 5.4 Als letzte Eigenschaft der Kugelfunktionen sei noch die Parit¨at Y`m (π − ϑ, φ + π) = (−1)` Y`m (ϑ, φ) angef¨ uhrt. Die Kugelfunktionen sind also symmetrisch oder antisymmetrisch bei einer Spiegelung am Koordinatenursprung. Beweisen Sie diese Eigenschaft!

5.3 Bessel-Funktionen*

BesselFunktionen

In diesem Abschnitt werfen wir eine kurzen Blick auf eine Klasse nicht-polynomialer Funktionen, die in der Quantenmechanik eine Rolle spielen, die BesselFunktionen. Sie sind L¨osungen der besselschen Differentialgleichung

134

5.3. Bessel-Funktionen*

Abbildung 5.5: Grafische Darstellung der Kugelfunktionen |Y1,0 | (links), |Y2,0 | (Mitte) und |Y3,0 | (rechts), dargestellt als radialer Abstand von Zentrum. (Hier ist die z-Achse um einen Winkel von 10◦ nach vorne verkippt.) .

 n2  1 0 f (x) + 1 − 2 f (x) = 0 . (5.73) x x Wir unterstellen hier zun¨achst x ∈ R und n ∈ Z, aber dir Funktionen lassen sich auch f¨ ur reelle Werte von n und komplexe Werte von x erkl¨aren. Die Bessel-Funktionen erster Art, Jn (x), sind analytische Funktion und man bezeichnet sie oft auch einfach als Bessel-Funktionen. Neben diesen ben¨otigt man ab und zu auch die Bessel-Funktionen zweiter Art, die als Yn (x) bezeichnet werden. Sie sind linear unabh¨angig von den Jn (x) und streben f¨ ur x = 0 gegen unendlich. Manchmal trifft man auch auf die komplexwertigen Linear(1) (2) kombinationen Hn (x) = Jn (x) + iYn (x) und Hn (x) = Jn (x) − iYn (x), die Hankel-Funktionen. f 00 (x) +

Auch hier existiert eine Erzeugende,
X ∞ 1 x u− 2 u Jn (x) un , = h(x, u) = e

u 6= 0 ,

(5.74)

n=0

oder umgeschrieben mit u = eiφ e

ix sin φ

=

∞ X

Jn (x) einφ .

(5.75)

n=0

Das identifiziert man als eine Fourier-Reihe der periodischen Funktion eix sin φ mit den Entwicklungskoeffizienten Jn (x). Von Bedeutung sind auch die Reihenentwicklung ∞ X (−1)k  x n+2k Jn (x) = k!(n + k)! 2 k=0

(5.76)

und die Integraldarstellung 1 Jn (x) = 2π

Z

+π

dφ ei(x sin φ−nφ) .

(5.77)

−π

135

5. Spezielle Funktionen

1

0.5

0

−0.5 0

5

10

15

20

x

Abbildung 5.6: Bessel-Funktionen Jn (x) f¨ ur n = 0 (− − −), n = 1 (- -) und n = 2 (. . . ) .

Hier sollte man sich davon u ¨berzeugen, dass diese Integraldarstellung wirklich eine reellwertige Funktion Jn (x) ergibt (nat¨ urlich f¨ ur reelle Werte von x), und dass man sie aus Gleichung (5.75) herleiten kann. Die Rekursionsgleichungen lauten 2n Jn (x) − Jn−1 (x) x n Jn0 (x) = − Jn (x) + Jn−1 (x) . x

Jn+1 (x) =

(5.78) (5.79)

Die Bessel-Funktionen mit negativen und positiven Indizes sind bis auf das Vorzeichen gleich: J−n (x) = (−1)n Jn (x) .

(5.80)

Abbildung 5.6 zeigt die Bessel-Funktionen Jn (x) f¨ ur n = 0, 1, 2 . Man sieht, dass diese Funktionen oszillieren und f¨ ur große Werte von x gegen null gehen. Eine genauere Analyse liefert die Asymptotik r
2 cos z − n π2 − π4 . Jn (z) ≈ (5.81) πz F¨ ur x = 0 gilt Jn (0) = δn,0 .

sph¨ arische BesselFunktion

Außer den Bessel-Funktionen mit ganzzahligem Index treten noch h¨aufig solche mit halbzahligem Index auf. In der Quantenmechanik geht es dabei oft um Drehimpulsquantenzahlen und daher w¨ahlen wir hier wieder den Index `. Diese Funktionen sind die sph¨ arischen Bessel-Funktionen erster und zweiter Art (oder auch sph¨arische Bessel- und Neumann-Funktionen):

r j` (x) =

136

π J 1 (x) , 2x `+ 2

r y` (x) =

π Y 1 (x) . 2x `+ 2

(5.82)

¨ 5.4. L¨osungen der Ubungsaufgaben Die Funktionen niedrigster Ordnung sind sin x cos x sin x , j1 (x) = 2 − , x x x cos x cos x sin x y0 (x) = − , y1 (x) = − 2 − , x x x j0 (x) =

(5.83) (5.84)

und die Rekursionsgleichungen lauten 2` + 1 j` (x) − jn−1 (x) x `+1 jn0 (x) = − jn (x) + jn−1 (x) x

j`+1 (x) =

(5.85) (5.86)

und genauso f¨ ur die yn (x). Außerdem lassen sie sich aus den Funktionen j0 (x) und y0 (x) durch Differentiation gewinnen: j` (x) = x

`



1 d ` − j0 (x) , x dx

y` (x) = x

`



1 d ` − y0 (x) . x dx

(5.87)

Die sph¨arischen Bessel-Funktionen sind L¨osungen der Differentialgleichung  `(` + 1)  2 0 f (x) = 0 . f (x) + f (x) + 1 − x x2 00

(5.88)

Diese Differentialgleichung beschreibt beispielsweise in der Quantenmechanik die radiale Schr¨odinger-Gleichung f¨ ur ein freies Teilchen in Kugelkoordinaten (siehe Gleichung (4.172) auf Seite 114). Von Bedeutung sind außerdem die Summenregel ∞ X

(2` + 1) j`2 (x) = 1

(5.89)

`=0

und die Integralrelation Z ∞ π dr r2 j` (kr) j` (k 0 r) = 2 δ(k − k 0 ) . 2k 0

(5.90)

Aufgabe 5.5 Oft ist es zweckm¨aßiger, statt der sph¨arischen Besselfunktionen j` (x) die Riccati-Besselfunktionen S` (x) = xj` (x) zu verwenden. Sie berechnen sich nach der gleichen Rekursionsgleichung (5.85), jedoch mit S0 (x) = sin x, S1 (x) = (1/x) sin x − cos x. (Warum?) Zeigen Sie: Die Riccati-Besselfunktionen erf¨ ullen die Differentialgleichung  `(` + 1)  S 00 (x) + 1 − S(x) = 0 . x2

137

Aufgabe 5.5

5. Spezielle Funktionen

¨ 5.4 Lo ¨sungen der Ubungsaufgaben Aufgabe 5.1 (Seite 125) : Zeigen Sie, dass die mit der Entwicklung (5.10) erzeugten Polynome Hn (x) die Orthonormierungsrelation (5.8) erf¨ ullen. (Hinweis: Integrieren Sie dazu das Produkt h(x, u)h(x, v) u ¨ber x.) L¨ osung: Wir folgen dem Hinweis in der Aufgabe und berechnen das Integral Z +∞ Z +∞ 2 2 2 −x2 h(x, u)h(x, v) e dx = e−u −v +2(u+v)−x dx −∞ −∞ X Z +∞ um v n −x2 e dx = Hm (x)Hn (x) m! n! m,n −∞ und werten die beiden Terme auf der rechten Seite getrennt aus. Das ergibt f¨ ur den ersten Ausdruck Z +∞ 2 2 2 2 2 −u2 −v 2 ... = e e−x −u −v +2(u+v)−(u+v) dx e+(u+v) −∞ Z +∞ Z +∞ 2 2uv −(x−u−v)2 2uv =e e dx = e e−y dy −∞ } | −∞ {z √ = π

=

√

π e2uv =

√

π

∞ X n=0

2n n n u v n!

und f¨ ur den zweiten ... =

XZ m,n

+∞

2

Hm (x)Hn (x) e−x dx

−∞

 um v n m! n!

.

Beide Formeln m¨ ussen u ¨bereinstimmen: Z +∞ √ 2 Hm (x)Hn (x) e−x dx = π 2n n! δmn . −∞

Das ist die zu beweisende Orthonormierungsrelation (5.8). Aufgabe 5.2

Aufgabe 5.2 (Seite 128) : Berechnen Sie mit Hilfe der Rekursionsgleichungen und der Orthonormierungsrelation der Hermite-Polynome die Matrixelemente des Orts- und Impulsoperators aus den Gleichungen (5.33) und (5.32). L¨ osung: Zur Berechnung des Matrixelementes des Ortsoperators aus Gleichung (5.33) schreiben wir den Ausdruck xHn (x) unter dem Integral um, wobei wir die Rekursionsgleichung (5.16) benutzen: xHn (x) = 12 Hn+1 (x) + nHn−1 (x) . Einsetzen in das Integral ergibt  Z hϕn0 | xˆ |ϕn i = An0 An 21

+∞

2

Hn0 (x)Hn+1 (x) e−x dx

−∞

Z

+∞

+n −∞

138

 2 Hn0 (x)Hn−1 (x) e−x dx .

Aufgabe 5.1

¨ 5.4. L¨osungen der Ubungsaufgaben Wegen der Orthogonalit¨at der Hermite-Polynome erh¨alt man nur dann einen von null verschiedenen Wert, wenn der Index n0 gleich n + 1 oder gleich n − 1 ist. Die Orthonormierungsrelation (5.8) liefert dann mit der Normierung (5.23) der Hermite-Funktionen f¨ ur den ersten Fall q √ hϕn+1 | xˆ |ϕn i = 21 An+1 An π2n+1 (n + 1)! = n+1 2 und f¨ ur den zweiten Fall hϕn−1 | xˆ |ϕn i =

1 A A 2 n−1 n

√

n−1

π2

(n − 1)! =

q

n 2

.

Zur Berechnung der Matrixelemente des Impulsoperators formen wir in gleicher Weise den Ausdruck Hn0 (x) − xHn (x) mit der Relation Hn0 (x) = 2nHn−1 (x) f¨ ur Ableitung aus Gleichung (5.17) und der Rekursionsgleichung (5.16) um: Hn0 (x) − xHn (x) = 2nHn−1 (x) − xHn (x) = 2nHn−1 (x) − 21 Hn+1 (x) − nHn−1 (x) = nHn−1 (x) − 12 Hn+1 (x) . Wir erhalten also das gleiche Ergebnis wie oben, nur hat der zweite Summand ein anderes Vorzeichen. Es ergibt sich also f¨ ur den Impulsoperator q q n hϕn+1 | pˆ |ϕn i = −i n+1 , hϕ | p ˆ |ϕ i = i . n−1 n 2 2

Aufgabe 5.3 (Seite 133) : Vergewissern Sie sich, dass die Kugelfunktionen Y` 0 in Gleichung (5.67) korrekt normiert sind, also wie in (4.167).

Aufgabe 5.3

Lo ¨sung: Das Normierungsintegral lautet Z q Z 2 2 2`+1 4π P` (cos ϑ) sin ϑ dϑ dϕ Y`0 (ϑ, ϕ) sin ϑ dϑ dϕ = Ω

Ω

=

2`+1 4π

Z2π Zπ


2 P` (cos ϑ) sin ϑ dϑ dϕ =

ϕ=0 ϑ=0

2`+1 2

Zπ


2 P` (cos ϑ) sin ϑ dϑ .

ϑ=0

Wir substituieren x = cos ϑ und erhalten mit der Normierung der LegendrePolynome Z Z−1 2 (5.35) 2`+1 P`2 (x) dx = Y`0 (ϑ, ϕ) sin ϑ dϑ dϕ = − 2 Ω

2`+1 2

2 = 1. 2` + 1

+1

Aufgabe 5.4 (Seite 134) : Als letzte Eigenschaft der Kugelfunktionen sei noch die Parit¨at Y`m (π − ϑ, φ + π) = (−1)` Y`m (ϑ, φ) angef¨ uhrt. Die Kugelfunktionen sind also symmetrisch oder antisymmetrisch bei einer Spiegelung am Koordinatenursprung. Beweisen Sie diese Eigenschaft!

139

Aufgabe 5.4

5. Spezielle Funktionen L¨ osung: Es ist nach (5.67) Y`m (ϑ, ϕ) = N`m eimϕ P`m (cos(ϑ), wobei N`m ein konstanter Faktor ist. Damit gilt Y`m (π − ϑ , ϕ + π) = N`m eim(ϕ+π) P`m (cos(π − ϑ)) = N`m eimϕ eimπ P`m (cos(π − ϑ)) = N`m eimϕ (−1)m P`m (− cos ϑ) . Nach der Rodrigues-Gleichung (5.44) ist P`m (x) gegeben durch P`m (x) =

`+m m d (−1)m 2 dm 2 ` m 2 m 2 2 (x − 1) (x − 1) = (−1) (1 − x ) P` (x) . 2` `! dx`+m dxm

Nun ist P` (x) ein Polynom vom Grad ` mit der Parit¨at (−1)` . Durch m-faches Differenzieren erh¨alt man hieraus ein Polynom vom Grad `−m, das die Parit¨at (−1)`−m besitzt. Es ergibt sich also Y`m (π − ϑ, ϕ + π) = (−1)m (−1)`−m N`m eimϕ P`m (cos ϑ) = (−1)` N`m eimϕ P`m (cos ϑ) = (−1)` Y`m (ϑ , ϕ)

Aufgabe 5.5

Aufgabe 5.5 (Seite 137) : Oft ist es zweckm¨aßiger, statt der sph¨arischen Besselfunktionen j` (x) die Riccati-Besselfunktionen S` (x) = xj` (x) zu verwenden. Sie berechnen sich nach der gleichen Rekursionsgleichung (5.85), jedoch mit S0 (x) = sin x, S1 (x) = (1/x) sin x − cos x. (Warum?) Zeigen Sie: Die Riccati-Besselfunktionen erf¨ ullen die Differentialgleichung  `(` + 1)  S(x) = 0 . S 00 (x) + 1 − x2 L¨ osung: Zum Beweis definieren wir S(x) = xf (x), wobei f (x) die Differentialgleichung (5.88) erf¨ ullt. Wir differenzieren zweimal, S 0 (x) = f (x) + xf 0 (x) ,

S 00 (x) = 2f 0 (x) + xf 00 (x) ,

und setzen f 00 (x) aus (5.88) ein. Das ergibt   `(` + 1)  `(` + 1)  0 00 S 00 (x) + 1 − S(x) = 2f (x) + xf (x) + 1 − S(x) x2 x2 2    `(` + 1)  `(` + 1)  = 2f 0 (x) − x f 0 (x) + 1 − f (x) + 1 − S(x) x x2 x2   `(` + 1)  `(` + 1)  = 2f 0 (x) − 2f 0 (x) − 1 − S(x) + 1 − S(x) = 0 , x2 x2 also die gesuchte Differentialgleichung.

140