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5. ESFUERZOS INTERNOS EN VIGAS

5.1. Introducción

En este capítulo se estudiarán las fuerzas internas que existen al interior de un sólido (más específicamente en vigas) y que son las que mantienen unidas las diferentes partes del elemento. Para lograr lo anterior es necesario recordar el Principio de Seccionamiento: “Una estructura se encuentra en equilibrio si cada una de sus partes, obtenidas mediante seccionamiento arbitrario, se encuentra también en equilibrio”.

5.2. Vigas en el plano

Una viga plana es un elemento estructural en el cual internamente actúan tres esfuerzos distintos, un esfuerzo normal “N”, un esfuerzo de corte “Q” y un momento flector “M”. Estos esfuerzos se muestran en las diferentes figuras.

Figura Nº1: Esfuerzos internos en una viga plana.

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Esfuerzo Normal (axial)

Esfuerzo de Corte (transversal)

Momento Flector (en el plano)

Si se considera una viga simplemente apoyada con algún tipo de carga como la de la Figura Nº2.

Figura Nº2: Viga simplemente apoyada con carga cualquiera.

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Se pueden calcular las reacciones en A y en B con los procedimientos descritos en el Capítulo 3. Ahora la pregunta es si es posible evaluar qué esfuerzos están actuando al interior de la viga. Para esto es necesario seccionarla en el lugar de interés y verificar cuáles son los esfuerzos existentes en ese lugar de modo que cada una de las dos partes seccionadas se encuentren independientemente en equilibrio. Eligiendo una sección cualquiera ubicada a una distancia “x” del apoyo A:

Figura Nº3: Mitad de viga a la izquierda del seccionamiento.

Figura Nº4: Mitad de viga a la derecha del seccionamiento.

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Debido a este seccionamiento, ahora en la posición de corte se pueden observar los esfuerzos internos en ese lugar de la viga. Como la carga es conocida y como las reacciones ya se han definido, es posible determinar los valores de N, Q y M mediante las tres ecuaciones de equilibrio en el plano (∑FN=0, ∑FQ=0 y ∑MO=0). Si se extiende esta idea a cualquier punto de la viga ubicado a una distancia “x” de algún origen determinado, se pueden definir las expresiones de N, Q y M en función de la distancia “x” en donde se ubica la sección y por lo tanto obtener no sólo el valor de N, Q y M en un determinado punto sino que las expresiones de N(x), Q(x) y M(x) para cualquier punto al interior de la viga ubicado a la distancia “x” del origen. Para tener un orden en la forma de determinar las funciones, se adopta la siguiente convención positiva: Para cortes por la derecha:

Para cortes por la izquierda:

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Ejemplo 1 Determinar los esfuerzos internos de la viga dada en la figura.

Figura Nº5: Ejemplo 1. Solución: En esta viga son necesarios dos seccionamientos debido a que existen dos tramos con diferente situación de esfuerzos, el primero entre el apoyo A y la carga “P” y el segundo entre la carga “P” y el apoyo B. En ambos casos el equilibrio se puede verificar trabajando con la parte izquierda o derecha del sistema. Como este es un primer análisis se realizarán los cálculos para las dos mitades (izquierda y derecha) en las dos secciones.

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Corte de la sección 1 por la derecha (x=0 en A)

N 1 ( x) = 0 Q1 ( x ) = 2 P 3 M 1 ( x ) = 2 Px 3

Corte de la sección 2 por la derecha (x=0 en A)

N 2 ( x) = 0 Q2 ( x) = − 1 P 3 M 2 ( x ) = 1 Pl − 1 Px 3 3

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Corte de la sección 1 por la izquierda (x=0 en B)

N1 ( x) = 0 Q1 ( x) = 2 P 3 M 1 ( x ) = 2 Pl − 2 Px 3 3

Corte de la sección 2 por la izquierda (x=0 en B)

N 2 ( x) = 0 Q2 ( x) = − 1 P 3 M 2 ( x ) = 1 Px 3

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Se puede observar que las ecuaciones no son exactamente iguales. Esto se debe a que en ambos casos se ha cambiado el origen de coordenadas “x”, lo que hace que las ecuaciones varíen, pero si se evalúa el esfuerzo en algún punto de la viga se podrá verificar que éstos son iguales, independiente de la ecuación que se ocupe (la de equilibrio por la izquierda o la de la derecha).

5.3. Diagramas de esfuerzo en vigas

Ahora que se han definido las ecuaciones de los diferentes esfuerzos internos existentes en una viga plana mediante funciones asociadas a cada tramo, es posible representar estos esfuerzos N(x), Q(x) y M(x) a través de diagramas dibujados a lo largo de la viga. Estos diagramas se denominan diagramas de esfuerzo. Para la viga del ejemplo anterior resultan de la siguiente forma, independiente de la ecuación que se elija:

Figura Nº6: Diagramas de esfuerzo N, Q y M.

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Algunas observaciones: En el diagrama de Q(x) se puede ver que los “saltos” existentes son equivalentes a los valores de las cargas puntuales aplicadas, en este caso la reacción en A, la carga puntual “P” y la reacción en B. La ubicación del momento flector máximo coincide con la ubicación del cruce por cero de la gráfica de corte. El grado del polinomio de la función de momento es uno más que el grado del polinomio de corte. Se puede comprobar mediante cualquier corte que se desee que se cumple el Principio de Seccionamiento. Al respecto, a continuación se muestra la comprobación del principio para el trozo de viga entre ℓ/6 y ℓ/3. Para eso, se dibuja el trozo de viga con sus respectivos esfuerzos en los extremos, los cuales han sido determinados a través de las ecuaciones de esfuerzo para esos puntos.

Figura Nº7: Principio de Seccionamiento para un trozo de viga.

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Ejemplo 2 Determinar los diagramas de esfuerzo de la viga dada en la figura.

Figura Nº8: Ejemplo 2. Solución Cálculo de reacciones. La reacción horizontal en A vale cero y por lo tanto N(x)=0 en toda la viga.

∑M

A

∑M

B

= 0 ⇒ Bv l = q l l 24

⇒ B v = 1 ql 8

= 0 ⇒ Av l = q l 3l 2 4

⇒ Av = 3 ql 8

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Corte 1: Por la derecha, 0 ≤ x ≤ l 2

Q1 ( x) = 3 ql − qx 8 M 1 ( x) = 3 qlx − 1 qx 2 8 2 Corte 2: Por la izquierda, 0 ≤ x ≤ l 2

Q2 ( x) = − 1 ql 8 M 2 ( x ) = 1 q lx 8

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Diagramas de esfuerzo

Es fácil darse cuenta que se cumplen nuevamente todas las aseveraciones indicadas anteriormente respecto de los “saltos” del diagrama de corte, la ubicación del momento flector máximo, del grado de los polinomios y del Principio de Seccionamiento.

5.4. Relación entre cargas y esfuerzos

Como se ha visto en los ejemplos anteriores, existen algunas relaciones entre las cargas y las funciones de esfuerzo. Si se escoge arbitrariamente un trozo diferencial de viga, se puede observar:

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Figura Nº9: Trozo diferencial de viga. Realizando el equilibrio de este trozo diferencial de viga:

∑F

N

= 0⇒

− N ( x ) + N ( x ) + dN ( x ) + n( x )dx = 0

⇒

dN ( x) = − n( x ) dx

N ( x) = − ∫ n( x)dx

O

x

De lo que se deduce que si n( x) = 0 , entonces N ( x ) = ctte.

∑F

Q

=0 ⇒

Q ( x ) − Q ( x ) − dQ ( x ) − q ( x) dx = 0

⇒ O

dQ( x) = − q( x) dx

Q( x) = − ∫ q( x)dx x

De lo que se deduce que “Q(x)” es siempre un grado mayor que la carga transversal “q”. Además, si q ( x) = 0 , entonces Q ( x ) = ctte.

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∑M

O

=0 ⇒

M ( x) + dM ( x) −M ( x) − Q( x)dx + q ( x)dx ⋅ dx = 0 2 ⇒

dM ( x) = Q( x) dx

M ( x) = ∫ Q( x)dx

O

x

De lo que se deduce que “M(x)” es siempre un grado mayor que el esfuerzo de corte “Q(x)”. Un detalle: Cuando el corte es por la derecha:

⇒

Cuando el corte es por la izquierda: ⇒

dM ( x) = Q( x) dx dM ( x) = −Q( x) dx

La determinación de las ecuaciones y diagramas de N, Q y M también puede realizarse para barras inclinadas y curvas. En el caso de barras curvas de forma circunferencial de radio “R”, las ecuaciones son referidas a las coordenadas “θ”, por lo tanto el elemento diferencial de largo es ds = R ⋅ dθ , las ecuaciones N(θ), Q(θ) y M(θ) y la relación entre Q(θ) y M(θ) es:

Q(θ ) = 1 R

dM (θ ) dθ

Con el respectivo cambio de signo dependiendo del lado de corte.

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Ejemplo 3 Para la estructura de la figura se pide determinar los diagramas de N, Q y M.

Figura Nº10: Ejemplo 3. Solución

∑M

A

= 0⇒

q ⋅ 2l ⋅ l + C H l − CV 2l = 0

(1)

∑M

B

= 0⇒

q ⋅ l ⋅ 1 l − C H l − CV l = 0 2

(2)

⇒ CV = 5 ql 6

Resolviendo (1) y (2):

⇒ C H = − 1 ql 3

∑F

= 0⇒

AH − CH = 0

∑F

= 0⇒

AV + CV − 2ql = 0

H

V

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⇒ AH = − 1 ql 3 ⇒ AV = 7 ql 6

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Los diagramas de esfuerzo son:

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Ejemplo 4 Para la estructura de la figura se pide determinar los diagramas de N, Q y M.

Figura Nº11: Ejemplo 4. Solución Cálculo de reacciones:

← ∑M B = 0⇒

AV ·2 − 3·2·1 = 0

⇒ AV = 3,0Ton.

∑F

AV + EV − 3·3 = 0

⇒ EV = 6,0Ton.

V

= 0⇒

→ ∑M B = 0⇒

DH ·2 + EV ·3 − 3·1·0,5 = 0

∑F

AH + DH = 0

H

=0⇒

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⇒ DH = −8,25Ton.

⇒ AH = −8,25Ton.

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Corte 1: 0 ≤ x ≤ 3

N 1 ( x) = 8,25 Q1 ( x) = 3 − 3x M 1 ( x) = 3x − 3 x 2 2

Corte 2: 0 ≤ x ≤ 2

N 2 ( x) = 0 Q2 ( x) = 8,25 M 2 ( x) = −8,25 x

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Corte 3: 0 ≤θ ≤ 90º

N 3 (θ ) = −6 cosθ Q3 (θ ) = −6senθ M 3 (θ ) =12 −12 cosθ Diagramas de esfuerzo:

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5.5. Vigas en el espacio

A diferencia de las vigas en el plano, al hacer un corte en una viga espacial aparecen seis esfuerzos diferentes, tres fuerzas (una axial y dos de corte) y tres momentos (un torsor y dos flectores) y como el problema es espacial se dispone de seis ecuaciones de equilibrio.

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Figura Nº12: Fuerzas en un corte de viga espacial.

Figura Nº13: Momentos en un corte de viga espacial.

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