Kombinatorik Hallo Welt 2011 Philip Kranz

12. Juli 2011

Philip Kranz ()

Kombinatorik

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Inhalt 1 Einf¨ uhrung 2 Grundlagen

Permutationen Variationen Kombinationen Binomialkoeffizient / Pascal’sches Dreieck Zusammenfassung / Beispiel 3 Zahlenfolgen

Fibonacci Catalan-Zahlen Stirling-Zahlen Euler-Zahlen Integer-Partitionen Zusammenfassung 4 Abschluss Philip Kranz ()

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Einf¨ uhrung

Kombinatorik?

• Teilgebiet der diskreten Mathematik • Behandelt im Wesentlichen das Z¨ ahlen von Elementen in Mengen • Genauer: ”abz¨ ahlende Kombinatorik”

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Grundlagen

Permutationen

Permutationen Definition Jede m¨ogliche Anordnung von n Elementen, in der alle Elemente verwendet werden, heißt Permutation dieser Elemente. Das bedeutet: Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung einer Menge auf sich selbst. Matrixschreibweise Zykelschreibweise Permutationsmatrix   0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0      0 0 0 0 0 1  1 2 3 4 5 6   (1, 4)(2)(3, 6, 5)   4 2 6 1 3 5 1 0 0 0 0 0   0 0 1 0 0 0  0 0 0 0 1 0

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Grundlagen

Permutationen

Permutationen ohne Wiederholung

Frage Wie viele M¨oglichkeiten habe ich, meine 5 Kinder in einer Reihe aufzustellen?

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Grundlagen

Permutationen

Permutationen ohne Wiederholung

Frage Wie viele M¨oglichkeiten habe ich, meine 5 Kinder in einer Reihe aufzustellen? Die erste Position k¨onnen wir aus allen Kindern w¨ahlen, f¨ ur die zweite Position haben wir noch 4 Kinder zur Auswahl usw. Damit kommen wir am Ende auf 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! M¨ oglichkeiten.

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Grundlagen

Permutationen

Permutationen von gruppenweise ununterscheidbaren Objekten Frage Wie viele M¨oglichkeiten habe ich, 80 Studenten auf 4 R¨aume zu verteilen, so dass in jedem Raum 20 Studenten sitzen?

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Grundlagen

Permutationen

Permutationen von gruppenweise ununterscheidbaren Objekten Frage Wie viele M¨oglichkeiten habe ich, 80 Studenten auf 4 R¨aume zu verteilen, so dass in jedem Raum 20 Studenten sitzen? • Es gibt 80! M¨ oglichkeiten, 80 Studenten der Reihe nach auszuw¨ahlen • Wir eliminieren alle ¨ aquivalenten M¨ oglichkeiten, in denen die gleichen

Studenten in anderer Reihenfolge in einem Raum sind • Pro Raum k¨ onnen die Studenten auf 20! verschiedene Arten permutiert werden • Damit ergeben sich 80! 20! · 20! · 20! · 20! M¨oglichkeiten. Philip Kranz ()

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Grundlagen

Variationen

Variationen

Definition Eine Variation ist eine Permutation einer Teilmenge einer gegebenen Menge. Dies ist wieder eine bijektive Abbildung, diesmal allerdings von der Teilmenge auf sich selbst.

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Grundlagen

Variationen

Variation ohne Wiederholung

Frage Wie viele M¨oglichkeiten habe ich, 3 meiner 5 Kinder in einer Reihe aufzustellen?

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Grundlagen

Variationen

Variation ohne Wiederholung

Frage Wie viele M¨oglichkeiten habe ich, 3 meiner 5 Kinder in einer Reihe aufzustellen? ¨ • Gleiche Uberlegung, wie bei allen 5 Kindern • Wir h¨ oren einfach nach dem 3. Kind auf • Es ergeben sich:

5·4·3=

5 Y

i=

i=3

5! (5 − 3)!

M¨oglichkeiten.

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Grundlagen

Variationen

Variation mit Wiederholung

Frage Wie viele Versuche brauche ich maximal, um ein f¨ unfstelliges Fahrradschloss zu knacken?

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Grundlagen

Variationen

Variation mit Wiederholung

Frage Wie viele Versuche brauche ich maximal, um ein f¨ unfstelliges Fahrradschloss zu knacken? • Wir k¨ onnen f¨ unfmal w¨ahlen • F¨ ur jede Ziffer haben wir die freie Auswahl zwischen 0 und 9 • Wir erhalten

10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 105 M¨oglichkeiten.

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Grundlagen

Kombinationen

Kombinationen

Definition Eine Kombination ist eine Variation, bei der die Reihenfolge der Elemente nicht beachtet wird. • W¨ urden wir also aus einer Menge {a, b, c, d} Stichproben nehmen, so

w¨ urden wir nicht zwischen {a, c} und {c, a} unterscheiden. • Die Frage ist also: Auf wie viele verschiedene Arten k¨ onnen wir von

einer bestimmten Menge eine Teilmenge der Gr¨ oße n bilden.

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Grundlagen

Kombinationen

Kombination ohne Wiederholung Frage Wie viele M¨oglichkeiten gibt es, 6 aus 49 Zahlen zu ziehen?

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Grundlagen

Kombinationen

Kombination ohne Wiederholung Frage Wie viele M¨oglichkeiten gibt es, 6 aus 49 Zahlen zu ziehen? • W¨ urden wir die Reihenfolge beachten, w¨are die Antwort

49! (49 − 6)!

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Grundlagen

Kombinationen

Kombination ohne Wiederholung Frage Wie viele M¨oglichkeiten gibt es, 6 aus 49 Zahlen zu ziehen? • W¨ urden wir die Reihenfolge beachten, w¨are die Antwort

49! (49 − 6)! • Unsere 6 gew¨ ahlten Elemente k¨ onnen auf 6! verschiedene Weisen

permutiert sein. • Nach Elimination dieser Permutationen ergeben sich:

49! = (49 − 6)!6!



 49 6

M¨oglichkeiten. Philip Kranz ()

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Grundlagen

Kombinationen

Kombination mit Wiederholung

Frage Wenn ich aus einer (unendlich großen) T¨ ute mit 3 Farben Gummib¨archen 5 Gummib¨archen nehme, wie viele verschiedene Farbkombinationen kann ich erhalten?

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Grundlagen

Kombinationen

Kombination mit Wiederholung • Wir stellen uns eine Kombination als eine Folge von Nullen und Einsen

vor, die die gezogenen Gummib¨archen in drei Farbgruppen einteilt. • Eine Null steht f¨ ur ein B¨archen, eine Eins ist ein ”Trennzeichen”

zwischen den drei Farbgruppen.

Beispiele • 0001010 (Drei rote, ein gelbes, ein gr¨ unes) • 0100100 (Ein rotes, zwei gelbe, zwei gr¨ une)

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Grundlagen

Kombinationen

Kombination mit Wiederholung • Wir stellen uns eine Kombination als eine Folge von Nullen und Einsen

vor, die die gezogenen Gummib¨archen in drei Farbgruppen einteilt. • Eine Null steht f¨ ur ein B¨archen, eine Eins ist ein ”Trennzeichen”

zwischen den drei Farbgruppen.

Beispiele • 0001010 (Drei rote, ein gelbes, ein gr¨ unes) • 0100100 (Ein rotes, zwei gelbe, zwei gr¨ une)

Damit haben wir das Problem auf eine Permutation von 7 Objekten, die teilweise ununterscheidbar sind zur¨ uckgef¨ uhrt. M¨ ogliche Permutationen von 5 Nullen und 2 Einsen sind:   7! 7 = = 21 5 5! · 2! Philip Kranz ()

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Grundlagen

Kombinationen

Kombination mit Wiederholung

Da wir bei n verschiedenen Elementen und k Ziehungen immer genau k Nullen und n − 1 Einsen brauchen, ergibt sich allgemein:   (n + k − 1)! n+k−1 = k (n − 1)!k!

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Grundlagen

Binomialkoeffizient / Pascal’sches Dreieck

Binomialkoeffizient   n (gelesen: ”k aus n”) heißt Binomialkoeffizient. k • Direkte Berechnung mit n! k!(n − k)! •

meistens ineffizient oder u ¨berlauftr¨achtig.

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Grundlagen

Binomialkoeffizient / Pascal’sches Dreieck

Binomialkoeffizient   n (gelesen: ”k aus n”) heißt Binomialkoeffizient. k • Direkte Berechnung mit n! k!(n − k)! •

meistens ineffizient oder u ¨berlauftr¨achtig. • Rekursionsformel:             n n−1 n−1 n n n = + , = = 1, =n k k k−1 n 0 1

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Grundlagen

Binomialkoeffizient / Pascal’sches Dreieck

Binomialkoeffizient   n (gelesen: ”k aus n”) heißt Binomialkoeffizient. k • Direkte Berechnung mit n! k!(n − k)! •

meistens ineffizient oder u ¨berlauftr¨achtig. • Rekursionsformel:             n n−1 n−1 n n n = + , = = 1, =n k k k−1 n 0 1 • Produktformel:

Qn

i=k

k! Philip Kranz ()

i

=

k Y n−k+i i=1

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Grundlagen

Binomialkoeffizient / Pascal’sches Dreieck

Berechnung Binomialkoeffizient Iterativ int binom ( int n , int k ) { int result = 1; /* Ausnutzen der Symmetrie */ if ( k > n - k ) k = n - k ; for ( int i = 1; i n ) return 0; for ( int i = 0; i 0 S(n, n) = 1

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Zahlenfolgen

Stirling-Zahlen

Stirling-Zahlen 2. Art Gesucht ist eine Funktion S(n, k). Basisf¨alle sind: S(n, 0) = 0, n > 0 S(n, n) = 1 Wir denken uns S(n, k) als die Summe der Aufteilungen, die die Teilmenge {n} beinhalten (Gruppe A) und denen, bei denen n in einer Menge zusammen mit anderen Werten vorkommt (Gruppe B).

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Zahlenfolgen

Stirling-Zahlen

Stirling-Zahlen 2. Art Gesucht ist eine Funktion S(n, k). Basisf¨alle sind: S(n, 0) = 0, n > 0 S(n, n) = 1 Wir denken uns S(n, k) als die Summe der Aufteilungen, die die Teilmenge {n} beinhalten (Gruppe A) und denen, bei denen n in einer Menge zusammen mit anderen Werten vorkommt (Gruppe B).

Beispiel S(4, 3) • Aufteilungen mit {n}: {4}, {1, 2}, {3}; {4}, {1}, {2, 3};

{4}, {1, 3}, {2}; • Aufteilungen ohne {n}: {1}, {2}, {3, 4}; {1}, {3}, {2, 4};

{2}, {3}, {1, 4} Philip Kranz ()

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Zahlenfolgen

Stirling-Zahlen

Stirling-Zahlen 2. Art Z¨ahlen von Gruppe A Da das Element {n} fest vorgegeben ist, ist diese Gruppe genauso groß, wie die Aufteilungen der restlichen n − 1 Elemente in k − 1 Teilmengen, also S(n − 1, k − 1).

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Zahlenfolgen

Stirling-Zahlen

Stirling-Zahlen 2. Art Z¨ahlen von Gruppe A Da das Element {n} fest vorgegeben ist, ist diese Gruppe genauso groß, wie die Aufteilungen der restlichen n − 1 Elemente in k − 1 Teilmengen, also S(n − 1, k − 1).

Z¨ahlen von Gruppe B Wir betrachten alle Aufteilungen von n − 1 Elementen in k Teilmengen. Offensichtlich k¨onnen wir Gruppe B bilden, indem wir in jeder m¨oglichen Aufteilung jeweils in jede Teilmenge ein n einf¨ ugen. Da wir bei jeder Aufteilung k Teilmengen zur Auswahl haben, ergibt sich f¨ ur Gruppe B: k · S(n − 1, k).

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Zahlenfolgen

Stirling-Zahlen

Stirling-Zahlen 2. Art Z¨ahlen von Gruppe A Da das Element {n} fest vorgegeben ist, ist diese Gruppe genauso groß, wie die Aufteilungen der restlichen n − 1 Elemente in k − 1 Teilmengen, also S(n − 1, k − 1).

Z¨ahlen von Gruppe B Wir betrachten alle Aufteilungen von n − 1 Elementen in k Teilmengen. Offensichtlich k¨onnen wir Gruppe B bilden, indem wir in jeder m¨oglichen Aufteilung jeweils in jede Teilmenge ein n einf¨ ugen. Da wir bei jeder Aufteilung k Teilmengen zur Auswahl haben, ergibt sich f¨ ur Gruppe B: k · S(n − 1, k). Daraus ergibt sich die Rekursionsformel:       n n−1 n−1 S(n, k) = =k· + k k k−1 Philip Kranz ()

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Zahlenfolgen

Stirling-Zahlen

Stirling-Zahlen 2. Art

n 0 1 2 3 4 5 6

              n n n n n n n 0 1 2 3 4 5 6 1 0 1 0 1 1 0 1 3 1 0 1 7 6 1 0 1 15 25 10 1 0 1 31 90 65 15 1

Die Berechnung ist auch m¨ oglich mithilfe des Binomialkoeffizienten:     k 1 X n i k (−1) (k − i)n = i k k! i=0

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Zahlenfolgen

Stirling-Zahlen

Stirling-Zahlen 1. Art

Frage Auf wie viele verschiedene Arten kann man eine n-Elementige Menge in k Zyklen aufteilen? Ein Zyklus ist eine Menge, bei der wir die Reihenfolge beachten, wobei z.B. [1, 2, 3], [2, 3, 1] und [3, 1, 2] ¨aquivalent sind.

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Zahlenfolgen

Stirling-Zahlen

Stirling-Zahlen 1. Art ¨ Uberlegung ¨ahnlich zu den Stirling-Zahlen 2. Art. Gesucht ist eine Funktion S1 (n, k) mit den Basisf¨allen: S1 (n, n) = 1 S1 (n, 0) = 0, n > 0 Wir bilden wieder zwei Gruppen: Eine, bei der [n] als einzelner Zyklus vorkommt und eine, bei der n Teil eines gr¨ oßeren Zyklus ist.

Beispiel S1 (4, 2) • Gruppe A: [4], [1, 2, 3]; [4], [1, 3, 2] • Gruppe B: [1, 2], [3, 4]; [1, 3], [2, 4]; [1, 4], [2, 3]; [1], [2, 3, 4];

[1], [2, 4, 3]; [2], [1, 3, 4]; [2], [1, 4, 3]; [3], [1, 2, 4]; [3], [1, 4, 2];

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Zahlenfolgen

Stirling-Zahlen

Stirling-Zahlen 1. Art Z¨ahlen von Gruppe A Analog zu den Stirling-Zahlen 2. Art k¨ onnen wir Gruppe A sehen als alle Aufteilungen mit n − 1 Elementen und k − 1 Zyklen, wobei wir einfach den Zyklus [n] hinzuf¨ ugen. Also wieder: S1 (n − 1, k − 1).

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Zahlenfolgen

Stirling-Zahlen

Stirling-Zahlen 1. Art Z¨ahlen von Gruppe A Analog zu den Stirling-Zahlen 2. Art k¨ onnen wir Gruppe A sehen als alle Aufteilungen mit n − 1 Elementen und k − 1 Zyklen, wobei wir einfach den Zyklus [n] hinzuf¨ ugen. Also wieder: S1 (n − 1, k − 1).

Z¨ahlen von Gruppe B Wir betrachten wieder die Aufteilungen mit n − 1 Elementen und k Zyklen. Wir k¨onnen nun bei jeder Aufteilung vor (oder nach) jedem der n − 1 Elemente unser n einf¨ ugen, um unterschiedliche Zyklen zu erzeugen. Da wir genau n − 1 Stellen haben, an denen wir das n einf¨ ugen k¨onnen, ergibt sich: (n − 1) · S1 (n − 1, k) Es ergibt sich die Rekursion:   n S1 (n, k) = = (n − 1)S1 (n − 1, k) + S1 (n − 1, k − 1) k Philip Kranz ()

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Zahlenfolgen

Stirling-Zahlen

Stirling-Zahlen 1. Art

n 0 1 2 3 4 5 6

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              n n n n n n n 0 1 2 3 4 5 6 1 0 1 0 1 1 0 2 3 1 0 6 11 6 1 0 24 50 35 10 1 0 120 274 225 85 15 1

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Zahlenfolgen

Euler-Zahlen

Euler-Zahlen ICPC-Sommercontest 2008 (Building Mountains) Wir sollen Levels f¨ ur ein Sidescroll-Jump’n’Run entwickeln. Wir erhalten n Bausteine f¨ ur das Terrain, die alle unterschiedlich hoch sind. Wie viele M¨ oglichkeiten haben wir, eine Welt zu bauen, die genau k Steigungen besitzt? Beispiel: Bei drei Bausteinen und einer Steigung gibt es 4 M¨oglichkeiten:

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Zahlenfolgen

Euler-Zahlen

Euler-Zahlen ICPC-Sommercontest 2008 (Building Mountains) Wir sollen Levels f¨ ur ein Sidescroll-Jump’n’Run entwickeln. Wir erhalten n Bausteine f¨ ur das Terrain, die alle unterschiedlich hoch sind. Wie viele M¨ oglichkeiten haben wir, eine Welt zu bauen, die genau k Steigungen besitzt? Beispiel: Bei drei Bausteinen und einer Steigung gibt es 4 M¨oglichkeiten:

Darstellung als Zahlenfolgen: [1, 3, 2], [2, 3, 1], [2, 1, 3], [3, 1, 2] Philip Kranz ()

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Zahlenfolgen

Euler-Zahlen

Euler-Zahlen Gesucht: Funktion E(n, k) = Anzahl aller m¨ oglichen Zahlenfolgen der Zahlen 1..n mit genau k aufsteigenden Teilfolgen. Basisf¨alle: E(n, 0) = 1 E(n, n) = 0, n > 0 E(n, n − 1) = 1

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Zahlenfolgen

Euler-Zahlen

Euler-Zahlen Gesucht: Funktion E(n, k) = Anzahl aller m¨ oglichen Zahlenfolgen der Zahlen 1..n mit genau k aufsteigenden Teilfolgen. Basisf¨alle: E(n, 0) = 1 E(n, n) = 0, n > 0 E(n, n − 1) = 1

Aufteilung in 2 Gruppen: • In Gruppe A steht das Element n am Anfang. • In Gruppe B steht es irgendwo anders.

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Zahlenfolgen

Euler-Zahlen

Euler-Zahlen Z¨ahlen von Gruppe A Da das gr¨oßte Element am Anfang steht, hat jede Folge dieser Gruppe genau so viele Steigungen wie dieselbe Folge ohne das Element n. Daher ist die Zahl der Folgen in dieser Gruppe E(n − 1, k).

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Zahlenfolgen

Euler-Zahlen

Euler-Zahlen Z¨ahlen von Gruppe A Da das gr¨oßte Element am Anfang steht, hat jede Folge dieser Gruppe genau so viele Steigungen wie dieselbe Folge ohne das Element n. Daher ist die Zahl der Folgen in dieser Gruppe E(n − 1, k).

Z¨ahlen von Gruppe B Wir betrachten die Folgen mit n − 1 Elementen und k − 1 Steigungen. Wir m¨ ussen nun n in jede Folge so einsetzen, dass sich eine zus¨atzliche Steigung ergibt, also entweder an einem Gef¨alle oder ganz am Ende. Die Anzahl der Gef¨alle ist n − k, somit ergibt sich (n − k + 1) · E(n − 1, k − 1). Zusammengesetzt: n n−1 n−1 E(n, k) = h i = h i + (n − k + 1)h i k k k−1 Philip Kranz ()

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Zahlenfolgen

Euler-Zahlen

Euler-Zahlen n n n n n n n n h i h i h i h i h i h i h i 0 1 2 3 4 5 6 0 1 0 1 1 2 1 1 0 4 1 0 3 1 4 1 11 11 1 0 5 1 26 66 26 1 0 6 1 57 302 302 57 1 0 Berechnung auch mithilfe des Binomialkoeffizienten:   k X n i n h i= (−1) (k − i + 1)n k k i=0

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Zahlenfolgen

Integer-Partitionen

Integer-Partitionen

Definition Die Menge aller Summen von nat¨ urlichen Zahlen, die n ergeben, nennt man Integer-Partitionen von n. Siehe auch das M¨ unzproblem.

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Zahlenfolgen

Integer-Partitionen

Integer-Partitionen • Gesucht ist eine Funktion f (n, k), die alle m¨ oglichen Zerlegungen in

Zahlen ≤ k liefert. • Dann ergeben sich die Basisf¨ alle

f (0, k) = 0 f (n, 0) = 0 f (n, 1) = 1

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Zahlenfolgen

Integer-Partitionen

Integer-Partitionen • Gesucht ist eine Funktion f (n, k), die alle m¨ oglichen Zerlegungen in

Zahlen ≤ k liefert. • Dann ergeben sich die Basisf¨ alle

f (0, k) = 0 f (n, 0) = 0 f (n, 1) = 1 • F¨ ur f (n, k) addieren wir nun die Anzahl der M¨ oglichkeiten, wenn k

Teil der Partition ist und wenn nicht. Somit ergibt sich: f (n, k) = f (n − k, k) + f (n, k − 1)

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Zahlenfolgen

Integer-Partitionen

Integer-Partitionen • Gesucht ist eine Funktion f (n, k), die alle m¨ oglichen Zerlegungen in

Zahlen ≤ k liefert. • Dann ergeben sich die Basisf¨ alle

f (0, k) = 0 f (n, 0) = 0 f (n, 1) = 1 • F¨ ur f (n, k) addieren wir nun die Anzahl der M¨ oglichkeiten, wenn k

Teil der Partition ist und wenn nicht. Somit ergibt sich: f (n, k) = f (n − k, k) + f (n, k − 1) • Die Zahl aller m¨ oglichen Integer-Partitionen einer Zahl n erhalten wir

mit: f (n, n) Philip Kranz ()

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Zahlenfolgen

Zusammenfassung

Zusammenfassung Zahlenfolgen

Folge Fibonacci Catalan

Stirling 2. Art Stirling 1. Art Euler

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Interpretation Triangulationen eines n + 2-Ecks Zahl m¨ oglicher Klammer ausdr¨ ucke Zahl m¨ oglicher Bin¨arb¨aume ... Aufteilungen einer Menge in Teilmengen Aufteilungen einer Menge in Zyklen Permutationen einer Menge mit k aufsteigenden Teilfolgen

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Zahlenfolgen

Zusammenfassung

Online Encyclopedia Of Integer Sequences

http://oeis.org Beispiele: • Catalan-Zahlen: A000108 • Stirling-Zahlen 2. Art: A008277 • ...

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Abschluss

Zusammenfassung

• Kombinatorik behandelt das Z¨ ahlen der Elemente von Mengen. • Wir unterscheiden Permutationen, Variationen und Kombinationen. • L¨ osungsans¨atze f¨ ur kombinatorische Probleme: Mischung von

Permutation/Kombination/Variation oder Induktion/Teile-Und-Herrsche ¨ • Es gibt ein mannigfaltiges Okosystem von Zahlenfolgen, die jeweils bestimmte kombinatorische Eigenschaften haben. Je mehr dieser Folgen wir kennen, um so mehr kombinatorische Probleme k¨onnen wir l¨osen.

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Abschluss

Literatur

• http://apps.topcoder.com/forums/?module=Thread

&threadID=685114 • http://www.topcoder.com/tc?module=Static

&d1=tutorials&d2=combinatorics • R. L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik: ”Concrete Mathematics”,

Addison Wesley • Hallo Welt 2004, Kombinatorik, Tillmann Spiegelhauer • Hallo Welt 2010, Kombinatorik, Mathhias Bayerlein • Wikipedia

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