¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen ¨ 3. Die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung lautet damit y(x) = yhom (x) + yinh (x) = c1 x + c2 = C1 x + C2 (Wir haben c2 +

1 8

1 11 1 1 + + x(ln x)2 − x ln x x 8x 4 4

1 1 1 + x(ln x)2 − x ln x. x 4 4

zu C2 zusammengefasst.)

4.7 Lineare Systeme 1. Ordnung

¨ Definition 30: Ein lineares System von gewohnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung hat die Gestalt y1′

= a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + . . . + a1n (x)yn + b1 (x)

y2′

= a21 (x)y1 + a22 (x)y2 + . . . + a2n (x)yn + b2 (x) .. .

.. .

⇐⇒ ~y ′ (x) = A(x)~y +~b(x), x ∈ (a, b),

yn′ = an1 (x)y1 + an2 (x)y2 + . . . + ann (x)yn + bn (x) ¨ mit dem Losungsvektor ~y = (y1 , y2 , . . . , yn )T der gesuchten Funktione yi (x), i = 1, 2, . . . , n, einer gegebenen n × n-Matrix A(x) = (aij (x)), deren Elemente Funktionen von x sind und einer gegebenen rechten Seite ~b(x) = (b1 (x), b2 (x), . . . , bn (x))T und einem gegeben Intervall (a, b) ⊆ R. Ein System mit konstanten Koeffizienten hat die Gestalt ~y ′ (x) = A~y + ~b(x),

x ∈ (a, b),

wobei A = (aij ) eine n × n-Matrix mit konstanten Elementen ist.

Bemerkung 16: In vielen F¨allen, wo die abh¨angige Variable die Zeit darstellt, schreibt anstelle von y(x) eine Funktion x(t) und anstelle von y ′ (x) schreibt man dann x. ˙ Beispiel 55: Die beiden linearen Differentialgleichungen x(t) ˙ = x(t) + y(t) + 2t,

y(t) ˙ = 4x(t) + y(t) + 2et ,

120

t ∈ R,

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen bilden das lineare System 1. Ordnung ! x˙

~x˙ =

y˙

1 1

=

4 1

!

! x(t) y(t)

+

2t 2et

!

¨ ein System 1. Ordnung ergibt sich aus der linearen Ein weiteres typisches Beispiel fur Differentialgleichung n-ter Ordnung. Beispiel 56: Die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung hat die Gestalt y (n) (x) + an−1 (x)y (n−1) (x) + an−2 (x)y (n−2) (x) + . . . + a1 (x)y ′ (x) + a0 (x)y(x) = f (x). Auf die folgende Weise wird die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung in ein ¨ ¨ System 1. Ordnung uberf uhrt. Wir setzen: y1 (x) = y(x), y2 (x) = y1′ (x) = y ′ (x), y3 (x) = y2′ (x) = y ′′ (x), y4 (x) = y3′ (x) = y (3) (x), ... ′ yn−1 (x) = yn−2 (x) = y (n−2) (x), ′ yn (x) = yn−1 (x) = y (n−1) (x),

¨ die Ableitung von yn′ (x) = y (n) die Differentialgleichung zur Weiterhin haben wir fur ¨ Verfugung: yn′ (x) = −an−1 (x)y (n−1) (x) − an−2 (x)y (n−2) (x) − . . . − a1 (x)y ′ (x) − a0 (x)y(x) + f (x). Das schreiben wir nun in als System: 

y1′ (x)





0

1

0

...

    y ′ (x)   0 0 1    2     y ′ (x)   0 0 0    3 =  .   0  .. 0 0       ′ yn−1 (x)  0 0 0    ′ −a0 (x) −a1 (x) −a2 (x) yn (x) ~y ′

=

0

0



     ... 0 0   ..  . 1 0    ... 0 1  . . . −an−2 (x) −an−1 (x) ...

A(x)~y

121

0

0

y1 y2 y3 .. . yn−1 yn





0



    0          0       + .   ..          0      f (x)

+ ~b(x).

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen

4.7.1 Homogenes lineares System mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten das System ~y ′ (x) = A~y (x) ¨ mit der konstanten n×n-Matrix A. Zur Losung machen wir den folgenden Ansatz: ~y (x) = ~v erx mit einem (noch zu bestimmenden) konstanten Vektor ~v ∈ Rn und der unbekannten Zahl r ∈ R. Dann ist ~y ′ (x) = r~v erx eingesetzt in das Differentialgleichungssystem und nach Umformung gem¨aß den Regeln der Matrizenmultiplikation folgt: ~y ′ (x) = r~v erx = A (~v erx ) = rerx A~v ⇐⇒ A~v = r~v . ¨ Losungen des homogenen linearen Differentialgleichungssystem 1. Ordnung der Form ~y (x) = ~v erx , ~v ∈ Rn , r ∈ R, ¨ ergeben sich aus den Losungen des Eigenwertproblems A~v = r~v mit der Matrix A des Systems 1. Ordnung. Die reellen Zahlen r sind die Eigenwerte ¨ und die Vektoren ~v sind die zu den Eigenwerten gehorigen Eigenvektoren.

¨ das System Beispiel 57: Auf diese Weise ermitteln wir fur ! x˙ y˙

=

1 1 4 1

!

! x(t) y(t)

das Eigenwertproblem 1 1 4 1

!

~v = λ~v ,

122

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen mit den Eigenwerten 1 − λ 1 det (A − λE) = = (1 − λ)2 − 4 = λ2 − 2λ − 3 = 0, 4 1 − λ λ1 = 3 und

λ2 = −1

mit dem Eigenvektor ~v1 zum Eigenwert λ1 = 3 : −2 4

1

0

−2 0

!

!

−2 1 0

∼

0

0 0

,

1

~v1 =

2

!

,

und dem Eigenvektor ~v2 zum Eigenwert λ2 = −1 : 2 1 0 4 2 0

!

∼

!

2 1 0 0 0 0

,

~v2 =

1

!

1 −2

!

,

¨ woraus sich die folgende Losung ergibt x(t) y(t)

!

= c1~v1 e3t + c2~v2 e−t = c1

2

e3t + c2

1 −2

!

e−t

bzw. x(t) = c1 e3t + c2 e−t

und

y(t) = 2c1 e3t − 2c2 e−t .

Wie man leicht nachrechnet ist mit diesen Funktionen x(t) und y(t) das Differential¨ gleichungssystem erfullt. ¨ Wie auch schon bei den Differentialgleichungen stellt sich die Frage, ob das alle Losungen sind. Fundamentalsystem. Jedes homogene lineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung (auch mit ver¨anderlichen Koeffizienten) mit der n × n-Matrix A(t) : ~x˙ = A(t)~x ¨ besitzt genau n linear unabh¨angige Losungen.

123

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen

¨ Lineare Unabh¨angigkeit und Wronski-Determinante. n Losung(svektoren) ~x1 (t), ~x2 (t), . . . ~xn (t) des homogenen linearen Differentialgleichungssystems ~x˙ = A(t)~x sind genau dann linear unabh¨angig, wenn die Wronski-Determinante W (~x1 , ~x2 , . . . ~xn )(t) := det (~x1 ~x2 . . . ~xn )(t0 ) 6= 0 ¨ mindestens ein t0 ∈ (a, b). In diesem Fall bilden die Losungsvektoren ¨ ist fur ¨ ~x1 (t), ~x2 (t), . . . ~xn (t) ein Fundamentalsystem von Losungen und die Matrix X = (~x1 (t), ~x2 (t), . . . ~xn (t)) ¨ heißt Fundamentalmatrix. Die allgemeine Losung des homogenen lineare Systems 1. Ordnung ist dann ~x(t) = c1 ~x1 (t) + c2 ~x2 (t) + . . . + cn ~xn (t) = Y ~c mit einem beliebigen Vektor ~c = (c1 , c2 , . . . , cn )T ∈ Rn .

¨ Beispiel 58: Wie man mit Hilfe der Wronski-Determinante leicht nachrechnet sind fur ~x˙ =

1 1 4 1

!

~x

¨ die Losungsvektoren ~x1 (t) =

1 2

!

e3t =

e3t 2e3t

!

und ~x2 (t) =

1 −2

!

e−t =

e−t −2e−t

ein Fundamentalsystem, da e3t e−t W (~x1 , ~x2 )(t) = 2e3t −2e−t

= −2e2t − 2e2t = −4e2t 6= 0.

124

!

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen

¨ lineare Systeme Wie auch bei linearen Differentialgleichungen gilt fur ~x˙ = A(t)~x + ~b • das Superpositionsprinzip und • die Losungsdarstellung: ¨ ~xallg (t)

=

~xhom (t)

+

~xinh (t)

¨ allgemeine Losung

¨ = allgemeine Losung des +

¨ eine spezielle Losung

der inhomogenen Syst.

des homogenen Syst.

des inhomogenen Syst.

• das Anfangswertproblem (Cauchy-Problem) ~x˙ = A(x)~x + ~b,

mit ~x(t0 ) = ~x0 ,

¨ ist eindeutig losbar.

ohne Beweis

4.7.2 Homogene lineare Systeme 1. Ordnung mit konst. Koeff. fur ¨ n=2 ¨ Die Losung des Systems ~x˙ =

x˙ y˙

!

x

=A

y

!

h¨angt ganz entscheidend vom Fundamentalsystem und damit den Eigenwerten und ! x(t) ¨ Eigenvektoren der Matrix A ab. Da die Losung ~x(t) = die Parametrisiey(t) ¨ rung einer Kurve im R2 ist, kann man sich die Losungen graphisch als die Menge aller ¨ ¨ Losungskurven veranschaulichen. Die Menge aller Losungskurven wird auch als Phasenportrait bezeichnet. ¨ Beispiel 59: Die Losungkurven des linearen Differentialgleichungssystems ~x˙ =

1 1 4 1

125

!

~x

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen lauten ~x(t) = c1 ~x1 (t) + c2 ~x2 (t) = c1

1 2

!

1

e3t + c2

−2

!

e−t ,

c1 , c2 ∈ R.

¨ Betrachtet man nun zun¨achst die Losungen in Richtung der Eigenvektoren, so hat man zun¨achst die sogenannten Synchronlosungen ¨ (organge Geraden) c1

1 2

!

e3t

und c2

1 −2

!

e−t ,

¨ ¨ t → ∞ gegen Unendlich strebt und die zweite Losung ¨ wobei sich die erste Losung fur gegen Null, wie man an den eingetragenen Richtungselementen im Bild ersehen kann. ¨ ¨ ¨ Alle weiteren Losungskurven sind nun Uberlagerungen (Summen) von Synchronlosun¨ t → ∞ gegen Unendlich wird die erste Synchronlosung ¨ gen, fur dominant (c1 6= ¨ 0.) Die roten Kurven sind spezielle Losungskurven, die durch die Anfangsbedingung ! ! x(0) x0 gem¨aß den eingezeichneten Punkten (grau) (x0 , y0 ) bestimmt = y(0) y0 sind.

126

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen Kehren wir nun zum System  x1 (t)  .  .  A eine n × n-Matrix, ~x =   . , xn (t) 

~x˙ = A~x,

¨ zuruck. Wie sehen Fundamentalsysteme im Allgemeinen aus? Wie kann man sie bestimmen? Der einfachste Fall liegt vor, wenn die Systemmatrix A eine reelle symmetrische Matrix ¨ ist. In diesem Fall sind alle Eigenwerte λ1 , λ2 , . . . , λn reell (sie mussen aber nicht alle voneinander verschieden sein) und es gibt eine Basis aus n (orthogonalen) Eigenvektoren ~v1 , ~v2 , . . . , ~vn . Dann sind ~x1 (t) = ~v1 eλ1 t , ~x2 (t) = ~v2 eλ2 t , . . . , ~xn (t) = ~vn eλn t ¨ ein Fundamentalsystem von Losungen, da   W (~x1 ~x2 . . . ~xn )(t) = det ~v1 eλ1 t ~v2 eλ2 t . . . ~vn eλn t

= eλ1 t+λ2 t+...+λn t (~v1 ~v2 . . . ~vn ) 6= 0,

da die Exponentialfunktion nie Null wird und die Determinante ist ungleich Null da die Eigenvektoren eine Basis bilden und damit linear unabh¨angig sind. Wir geben auch hierzu ein Beispiel an. ¨ Beispiel 60: Man bestimme die allgemeine Losung des homogenen linearen Systems 1. Ordnung √ ! 2 −3 ~x˙ = ~x. √ 2 −2 Die Systemmatrix A ist reell und symmetrisch. Die Eigenwerte ergeben sich aus √ −3 − λ 2 √ 2 −2 − λ

= (3 + λ)(2 + λ) − 2 = λ2 + 5λ + 4 = 0

¨ ¨ λ1 = −1 zu λ1 = −1 und λ2 = −4. Die zugehorigen Eigenvektoren sind fur ! √ −2 2 0 ∼ √ 2 −1 0

127

0 0 0 √ 2 −1 0

!

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen

der Vektor ~v1 =

1 √ 2

!

¨ den Eigenwert λ2 = −4 und fur √

1 √ 2

der Vektor ~v2 =

√ ! − 2 1

~x1 (t) =

2 0

2

0

!

∼

1

√

0

0

2 0 0

!

¨ . Damit erhalten wir die linear unabh¨angigen Teillosungen

1 √ 2

!

−t

e

und ~x2 (t) =

√ ! − 2 1

e−4t .

¨ Die allgemeine Losung ist damit ~x(t) = c1 ~x1 (t) + c2 ~x2 (t) = c1

=

1 √ 2

!

e−t + c2

! √ −e−t − 2e−4t √ −t 2e e−4t

√ ! − 2 1

c1 c2

!

e−4t

= X~c,

¨ mit der Fundamentalmatrix X. Die Menge aller Losungskurven = Phasenportrait sieht (analog wie im vorigen Beispiel) wie folgt aus:

¨ t → ∞ streben alle Losungen ¨ Fur gegen den Ursprung.

128

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen Was kann passieren, wenn die Systemmatrix reell, aber nicht symmetrisch ist? 1. Fall: Alle Eigenwerte sind reell und verschieden voneinander. Da die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts und damit die Dimension des Ei¨ genunterraums immer großer gleich 1 und kleiner gleich der algebraischen Vielfachheit des Eigenwerts ist, ist die geometrische Vielfachheit aller Eigenwerte gleich 1 und es gibt eine Basis aus Eigenvektoren. Alles andere ist identisch zum Fall einer reellen und symmetrischen Matrix A. 2. Fall: Einige Eigenwerte sind Paare konjugiert komplexer Zahlen. Wir erl¨autern das Vorgehen an einem Beispiel. Beispiel 61: − 12

~x˙ =

!

1

−1 − 12

~x.

Wir bestimmen zun¨achst wieder die Eigenwerte. Diese ergeben sich aus −1 − λ 1 2 1 −1 −2 − λ

5 1 = (λ + )2 + 1 = λ2 + λ + = 0 2 4

zu λ1/2 = − 21 ± i einem Paar konjugiert komplexer Zahlen. Da die Eigenwerte komplex ¨ sind, mussen wir nun auch komplexe Eigenvektoren bestimmen. Der Eigenvektor zu 1 λ1 = − 2 + i ergibt sich aus 1

−i

0

−1 −i 0 !

1

zu ~v1 =

i

1 0

−1 i den Vektor ~v2 =

1 −i

!

~x1 (t) =

=

1 0

− 12 t

e

−i 1 0

∼

0 0

0

!

, analog erhalten wir aus

i

!

!

cos t −

0

!

i 1 0

∼

0 0 0

!

¨ . Damit haben wir die komplexwertigen Losungen

1 i 0 1

! !

− 12 t+it

e

− 12 t

e

=

"

sin t + i

1 0 "

129

! 1 0

+i

!

− 12 t

e

0 1

!#

1

e− 2 t (cos t + isint)

sin t +

0 1

!

− 12 t

e

cos t

#

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen und ~x2 (t) =

=

1 0

!

− 12 t

e

cos t −

1

!

−i ! 0 1

− 12 t−it

e

− 12 t

e

=

"

1 0 "

!

+i

1

sin t + i −

0

0

!

−1 − 12 t

e

!#

1

e− 2 t (cos t − isint) 0

sin t −

1

!

− 12 t

e

cos t

#

¨ Wie auch im Fall der gewohnlichen Differentialgleichung 2. Ordnung, erh¨alt man aus ¨ ¨ der komplexen Losung 2 reelle linear unabh¨angige Losungen ~u1 (t) = Re ~x1 (t) =

~u2 (t) = Im ~x1 (t) =

!

1 0

!

1 0

− 12 t

e

− 12 t

e

cos t − sin t +

0 1 0 1

!

e− 2 t sin t,

!

e− 2 t cos t.

1

1

Außerdem erkennt man, dass sich der Real- und Imagin¨arteil von ~x2 von denen von ¨ ~x1 hochstens um das Vorzeichen unterscheiden, d.h. der Real- und Imagin¨arteil von ~x2 ¨ ergibt keine weiteren linear unabh¨angigen Losungen. Die lineare Unabh¨angigkeit von ~u1 und ~u2 erh¨alt man mit der Wronski-Determinante, es gilt e− 21 t cos t e− 12 sin t W (~u1 , ~u2 )(t) = −e− 12 t sin t e− 12 t cos t

= e−t cos2 t + e−t sin2 t = e−t 6= 0.

¨ Die allgemeine Losung des homogenen Systems ist damit − 12

~x(t) = c1 ~u1 (t) + c2 ~u2 (t) = e

"

c1

cos t − sin t

!

+ c2

sin t cos t

!#

.

¨ es einen komplexen Eigenwert λ = α + iµ des Paars konjugiert komFolglich genugt ¨ plexer Eigenwerte λ1/2 = α ± iµ zu betrachten, den dazugehorigen Eigenvektor ~v zu ¨ bestimmen und die beiden linear unabh¨angigen reellwertigen Losungen sind dann   ~u1 = Re ~v eλ1 t

Das Phasenportait sieht wie folgt aus:

  und ~u2 = Im ~v eλ1 t .

130

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen

¨ t → ∞ streben alle Losungen ¨ Fur gegen den Ursprung. Beispiel 62: Ein Beispiel von diesem Typ ist das unged¨ampfte mathematische Pendel. ¨ der nichtlinearen Differentialgleichung 2. Ordnung Es genugt x ¨+

g sin x = 0. l

¨ kleine Auslenkungen x ist sin x ≈ x und wir erhalten die lineare DifferentialgleiFur chung g x ¨ + x = 0, l dabei ist x die Auslenkung und g die Erdbeschleunigung sowie l die L¨ange des Pen¨ ¨ dels. Wir uberf uhren die lineare Differentialgleichung 2. Ordnung in ein a¨ quivalentes System 1. Ordnung: x = x, y = x, ˙ g y˙ = x ¨=− , l

also das System ~x˙ =

0

1

− gl

0

131

!

~x.

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen Wir erhalten die Eigenwerte aus −λ 1 g − −λ l

g = λ2 + = 0 l

q ¨ λ1/2 = ±iµ, µ > 0. Wir mussen ¨ nun nur einen zu λ1/2 = ±i gl und schreiben dafur komplexen Eigenvektor berechnen. Wir berechnen den Eigenvektor zum Eigenwert λ = iµ. ! ! −iµ 1 0 −iµ 1 0 ∼ −µ2 −iµ 0 0 0 0 ! 1 und erhalten den komplexen Eigenvektor ~v = . Daraus ergeben sich die beiden iµ ¨ linear unabh¨angigen reellwertigen Losungen:
$ ~x1 (t) = Re ~v eiµ = ¨ µ= Fur

1 2

cos(µt) −µ sin(µt)

!

,


$ ~x2 (t) = Im ~v eiµ =

sin(µt) µ cos(µt)

!

.

ergibt sich das Phasenportrait

¨ Die Losungskurven sind geschlossene Kurven, was dem periodischen Verhalten der ¨ Losungen entspricht. 3. Fall: Mehrfache Eigenwerte. Es gibt immer eine Basis aus Hauptvektoren (werden nicht behandelt, sind verallge-

132

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen meinerte Eigenvektoren). Wie man darauf kommt sei an einem Beispiel erl¨autert. ¨ Beispiel 63: Man berechne die allgemeine Losung des homogenen linearen Systems 1. Ordnung ! 1 −1 ~x˙ = ~x. 1 3 ¨ Wie ublich bestimmen wir zun¨achst die Eigenwerte. Es gilt 1 − λ −1 1 3−λ

= (1 − λ)(3 − λ) + 1 = λ2 − 4λ + 4 = (λ − 2)2 = 0,

und damit gibt es nur einen Eigenwert λ = 2. Das ist an sich nicht schlimm, wenn es denn wenigstens zwei linear unabh¨angige Eigenvektoren g¨abe, aber das ist hier nicht der Fall. Es gibt nur einen Eigenvektor, n¨amlich aus −1 −1 0 1

1

0

!

folgt ~v =

1 −1 1

!

.

!

e2t . Da es aber immer n, −1 ¨ in unserem Fall n = 2 linear unabh¨angige Losungen gibt, muss man eine weitere linear ¨ unabh¨angige Losung finden. ¨ Damit ergibt sich aber auch nur eine Losung ~x1 (t) =

Wie kann man diese finden? Inspiriert vom Vorgehen bei linearen Gleichungen 2. Art, ¨ ¨ konnte man versucht sein ~x2 (t) = t~v e2t als weitere Losung zu vermuten, das ist aber keine Losung, ¨ wie man leicht nachvollzieht. Es ist ~x˙ 2 = ~v e2t + 2t~v e2t 6=2t~v e2t = te2t A~v = A~x2 (t). ¨ Wir mussen deshalb einen anderen Ansatz finden. Aus der obigen Gleichung sieht ¨ man, dass unserer bisheriger Ansatz nur die H¨alfte“ der Gleichung erfullt, es bleibt ” ¨ aber Vektor mal Exponentialfunktion ubrig. Ein besserer Ansatz sieht deshalb wie folgt aus: ~x2 (t) = (~u + t~v )eλt , dabei ist λ der Eigenwert (den wir schon berechnet haben, also in unserem Fall λ = ¨ 2) und ~v der dazugehorige Eigenvektor, der Vektor ~u ist unbekannt und dadurch zu ¨ bestimmen, dass ~x2 (t) Losung des homogenen Differentialgleichungssystems sein soll.

133

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen Wir berechnen: A~x2 (t) = A((~u + t~v )eλt ) = (A~u)eλt + teλt A~v = (A~u)eλt + tλeλt~v = ~x˙ 2 (t) = (λ~u + ~v )eλt + tλeλt~v ⇐⇒ A~u − λ~u = (A − λE)~u = ~v . Dieses Gleichungssystem (A − λE)~u = ~v ist unserem Fall gerade −1 −1 1

1

!

1 −1

,

¨ das die Losung ~u =

!

0 −1

1

+k

−1

!

0

=

−1

!

+ k~v

¨ hat. Das Vielfache des Eigenvektors ~v in der Losung auftreten ist nicht verwunderlich, ¨ da der Eigenvektor ~v gerade Losung des homogenen Systems (A − λE)~v = ~0 ist. Des! 0 halb w¨ahlen wir ~u = . Dies ein sogenannter Hauptvektor der Stufe 2, da er die −1 ¨ Gleichung (A−λE)2 ~u = ~0 erfullt, aber (A−λE)~u 6= ~0 gilt und somit ~u kein Eigenvektor ! 0 ¨ ist. Man h¨atte anstelle von ~u = auch jede andere Losung von A~u = ~v nehmen −1 ¨ konnen. Mit diesem ~u ergibt sich nun ~x2 (t) =

0 −1

!

1

+t

−1

!!

e2t .

¨ ¨ die Wronski-Determinante Die Losungen ~x1 (t) und ~x2 (t) sind linear unabh¨angig, da fur gilt e2t te2t W (~x1 , ~x2 )(t) = = −e4t − te4t + te4t = −e4t 6= 0. 2t 2t 2t −e −e − te

¨ Damit haben wir als allgemeine Losung des homogenen Differentialgleichungssystems 1. Ordnung erhalten ~x(t) = c1

1 −1

!

e2t + c2

0 −1

!

+t

1 −1

!!

e2t .

Es gibt nur einen Eigenvektor und deshalb ist im Phasenportrait auch nur eine orange Linie sehen.

134

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen

135

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen

Homogenes lineares System von Differentialgleichungen 1. Ordnung, n=2. ~x˙ = A~x,

A=

mit

a11 a12 a21 a22

!

¨ einer reellwertigen konstanten Matrix und dem Losungsvektor ~x(t) =

! x(t) y(t)

.

1. Bestimmung der Eigenwerte λ1 , λ2 der Matrix A : a − λ a12 11 = (a11 − λ)(a22 − λ) − a12 a21 = 0. a21 a22 − λ

¨ 2. Berechnung der zugehorigen Eigenvektoren ~v1 , ~v2 . a11 − λ

(A − λE)~v = ~0 ⇐⇒

a21

a12

0

a22 − λ 0

!

3. Dann ergibt sich eine Losungsbasis ¨ ~x1 , ~x2 wie folgt: 3.1.1. 2 reelle Eigenwerte λ1 6= λ2 In diesem Fall gibt es 2 linear unabh¨angige Eigenvektoren ~v1 zum Eigenwert λ1 und ~x2 zum Eigenwert λ2 . Dann ist eine Losungsbasis ¨ ~x1 (t) = ~v1 eλ1 t

und ~x2 (t) = ~v2 eλ2 t .

3.1.2. 1 reeller Eigenwert λ mit 2 linear unabh¨angen Eigenvektoren ~v1 , ~v2 . Dann ist eine Losungsbasis ¨ ~x1 (t) = ~v1 eλt und ~x2 (t) = ~v2 eλt . 3.2. Die Eigenwerte sind ein Paar konjugiert komplexer Zahlen λ1/2 = α±iµ, µ 6= 0. ¨ zu einem der Eigenwerte, z.B. λ1 = α + iµ, zu betrachten und den dazuEs genugt ¨ gehorigen komplexen Eigenvektor ~v zu bestimmen. Dann ist eine Losungsbasis ¨   ~x1 (t) = Re ~v eλ1 t = eαt [(Re ~v ) cos(µt) − (Im ~v ) sin(µt)] ,   ~x2 (t) = Im ~v eλ1 t = eαt [(Re ~v ) sin(µt) + (Im ~v ) cos(µt)] .

3.3. Es gibt nur einen (reellen) Eigenwert λ und auch nur einen dazugehorigen ¨ Eigenvektor ~v . Dann ist ~x1 (t) = ~v eλt , ¨ ¨ eine Losung. Eine zweite linear unabh¨angige Losung ergibt sich dann mit Hilfe des Hauptvektors (nicht behandelt). ¨ Die allgemeine Losung des homogenen Systems ist dann ~xhom (t) = c1 ~x1 (t) + c2 ~x2 (t) = (~x1 (t) ~x2 (t)) ~c = X~c. 136

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen

4.7.3 Inhomogenes System 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten – Variation der Konstanten ~x˙ = A~x + ~b. ¨ Wie bei der Gleichung erster Ordnung geht man von der allgemeinen Losung des homogenen Systems ~xhom (t) = X~c, ! c1 aus. Man mit der Fundamentalmatrix X = (~x1 (t) ~x2 (t)) und dem Vektor ~c = c2 macht den Ansatz ~x = X~c(t). Differenzieren gem¨aß der Produktregel ergibt nun ˙ c(t) + X~c˙(t), ~x˙ = X~ wobei X˙ bedeutet, dass jede Komponente der Fundamentalmatrix X nach t differenziert wird. Setzt man dies in das homogene System ein, so ergibt sich ˙ c + X~c˙. A~x + ~b = AX~c(t) + ~b = ~x˙ = X~ ¨ Da X~c(t) Losung des homogenen Systems ist, ergibt sich X~c˙ = ~b ⇐⇒ ~c˙ = X −1~b. Die Fundamentalmatrix X ist invertierbar, da ihre Determinante gerade die WronskiDeterminante ist, welche ungleich Null ist, da es sich um ein Fundamentalsystem handelt. Die Vektorfunktion ~c(t) erh¨alt man nun durch komponentenweise Integration. ¨ Dann ist eine spezielle Losung des inhomogenen Systems ~xinh (t) = X~c(t) ¨ und die allgemeine Losung des inhomogenen Systems ist ~x(t) = ~xhom (t) + ~xinh (t) = X~c + X~c(t). Wir erl¨autern das an einem Beispiel. ¨ Beispiel 64: Man bestimme die allgemeine Losung des inhomogenen Systems 1. Ordnung ! ! 1 1 2 ~x˙ = ~x + et . 4 1 −1 ¨ 1. Die allgemeine Losung des homogenen Systems haben wir bereits vorher berechnet,

137

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen ¨ die Basislosungen sind 1

~x1 (t) =

2

!

e3t ,

1

und ~x2 (t) =

−2

!

e−t .

Damit lautet die Fundamentalmatrix X=

e3t

e−t

2e3t −2e−t

!

.

2. Variation der Konstanten. Bestimmung von X −1 : e3t

e−t

1 0

2e3t −2e−t 0 1 1 e−4t e−3t 0

1

1 t 2e

0 − 14 et

! !

e−4t

1

∼

0 −4e−t

∼

0 1

Damit haben wir X −1 =

1 −3t 2e 1 t 2e

−2

1 −3t 2e 1 t 2e

1 0

1 −3t 4e − 41 et

!

e−3t 0 1

1 −3t 4e − 14 et

!

!

¨ erhalten und eine spezielle Losung des inhomogenen Systems ist somit ~c˙ = X −1~b =

1 −3t 2e 1 t 2e

1 −3t 4e − 14 et

!

2e−t −e−t

!

=

3 2t 4e 5 2t 4e

!

.

Durch komponentenweise Integration erhalten wir nun ~c(t) =

− 38 e2t 5 2t 8e

!

¨ Die Integrationskonstante(n) konnen wir weglassen, da wir nur in einer speziellen ¨ ¨ Losung interessiert sind. Somit erhalten wir als eine spezielle Losung des inhomogenen Systems ~xinh (t) = X~c(t) =

e3t

e−t

2e3t −2e−t

138

!

− 83 e2t 5 2t 8e

!

=

1 t 4e

−2et

!

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen ¨ und die allgemeine Losung des inhomogenen Systems ist ~x(t) = c1 ~x1 (t) + c2 ~x2 (t) + ~xinh (t) = c1

1 2

!

e3t + c2

1

!

1 e−t + 4 −2

1 −8

!

et ,

c1 , c2 ∈ R.

4.7.4 Ausblick: Autonome Systeme Autonome Systeme sind Systeme 1. Ordnung, in denen die abh¨angige Ver¨aderliche t nicht explizit auftaucht. Wir beschr¨anken uns wieder auf den Fall n = 2. In diesem Fall haben wir zwei nichtlineare Gleichungen in x und y: x˙ = f (x, y), y˙ = g(x, y). ¨ autonome Systeme sind Beispiele fur Beispiel 65: Das lineare System 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ~x˙ = A~x. aber auch Beispiel 66: Die nichtlineare Gleichung 2. Ordnung, die die Bewegung eines ged¨ampften Pendels beschreibt ist: g c x˙ + sin x = 0, x ¨+ ml l dabei ist g die Erdbeschleunigung, l die L¨ange des Pendels, m die Masse und c die D¨ampfungskonstante. Wir formen zun¨achst die Gleichung 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung um, indem wir x = x, ⇐⇒

y = x, ˙ c y˙ = − ml x˙ −

g l

sin x

(

x˙ = y, c x˙ − y˙ = − ml

g l

sin x

Was bei autonomen Systemen insbesondere von Interesse ist, sind die Gleichgewichts¨ diese lagen (x, y) ∈ R2 , auch kritische Punkte oder station¨are Punkte genannt, fur gilt x˙ = f (x, y) = 0, y˙ = g(x, y) = 0.

139

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen Das lineare System mit konstanten Koeffizienten hat nur eine Gleichgewichtslage, n¨amlich ¨ t → ∞ alle den Ursprung (0, 0). Dieser ist eine stabile Gleichgewichtslage, wenn fur ~ ¨ ¨ ¨ t → ∞ gegen UnendLosungen gegen 0 streben. Gibt es auch nur eine Losung, die fur lich strebt, so ist die Gleichgewichtslage instabil. Das bedeutet, dass der kritische Punkt ~x = ~0 des linearen Systems mit konstanten Koeffizienten ~x˙ = A~x • asymptotisch stabil, wenn die beiden Eigenwerte λ1 , λ2 reell und negativ sind oder beide Eigenwerte einen negativen Realteil besitzen. • stabil, jedoch nicht asymptotisch stabil, wenn beide Eigenwerte rein imagin¨ar sind. • instabil, wenn einer der Eigenwerte bzw. ein Realteil eines Eigenwerts positiv ist. ¨ ¨ die verschiedenen F¨alle. Diese Man vergleiche die dazugehorigen Phasenportraits fur Stabilit¨atseigenschaften lassen sich auf bestimmte nichtlineare, sogenannte fast lineare Systeme ausdehnen. Fastlineare Systeme Es seien f, g zweimal stetig partiell differenzierbare Funktionen, dann heißt das System x˙ = f (x, y), y˙ = g(x, y), fast linear. Wir entwickeln zun¨achst f und g in eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt in der Gleichgewichtslage (x0 , y0 ), wir erhalten f (x, y) = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) + r1 (x, y), g(x, y) = g(x0 , y0 ) + gx (x0 , y0 )(x − x0 ) + gy (x0 , y0 )(y − y0 ) + r2 (x, y), ¨ (x, y) → (x0 , y0 ). Da x0 und y0 feste Werte wobei r1 (x, y) → 0 und r2 (x, y) → 0 fur d d sind, h¨angen sie auch nicht von der Zeit t ab und dt x0 = dt y0 = 0, weiterhin gilt f (x0 , y0 ) = g(x0 , y0 ) = 0. x˙ y˙

!

=

d dt (x d dt (y

− x0 ) − y0 )

!

=

=

f (x, y) − f (x0 , y0 ) g(x, y) − g(x0 , y0 )

!

fx (x0 , y0 ) fy (x0 , y0 ) gx (x0 , y0 ) gy (x0 , y0 )

140

!

x − x0 y − y0

!

+

r1 (x, y) r2 (x, y)

!

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen Hieraus ersieht man, dass die (lokalen) Stabilit¨atseigenschaften des fast linearen Systems in der Gleichgewichtslage (x0 , y0 ) der des linearen Systems mit der Systemmatrix ! fx (x0 , y0 ) fy (x0 , y0 ) gx (x0 , y0 ) gy (x0 , y0 )

entsprechen, d.h. man muss die Eigenwerte dieser Matrix untersuchen, um die Stabilit¨at der Gleichgewichtslage zu bestimmen. ¨ der Differentialgleichung Beispiel 67: Das ged¨ampfte mathematische Pendel genugt x ¨+

c g x˙ + sin x = 0, ml l

die a¨ quivalent zum nichtlinearen System 1. Ordnung x˙ = y, c x˙ − y˙ = − ml

g l

sin x

¨ ist. Zun¨achst mussen wir die Gleichgewichtslagen aus x˙ = y = 0, c y˙ = − ml x˙ −

g l

sin x = 0,

bestimmen. Aus der ersten Gleichung ergibt sich y = 0 und dies in die zweite Gleichung ergibt, dass sin x = 0 sein muss. Damit erhalten wir die Gleichgewichtslagen (kπ, 0), k ∈ Z. Die Art der Gleichgewichtslage (asymptotisch stabil, stabil oder instabil) ergibt sich nun aus den Eigenwerten der Matrix fx (x0 , y0 ) fy (x0 , y0 ) gx (x0 , y0 ) gy (x0 , y0 )

!

=

0

1

c − gl cos x − ml

!

. x=kπ

Damit gibt es 2 F¨alle: ¨ Falls k eine gerade Zahl ist, ist cos x = cos(kπ) = 1 und wir mussen die Eigenwerte der Matrix ! 0 1 − gl

c − ml

bestimmen. Also −λ 1 g c − − ml − λ l

g c − λ) + = 0, = −λ(− ml l λ1/2

c =− ± 2ml

141

r

g c2 − 4ml l

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen 2

c − gl ≥ 0 ist, so sind beide Eigenwerte kleiner Null und die Gleichgewichtslage Falls 4ml c2 ist asymptotisch stabil. Gilt dagegen 4ml − gl < 0, so sind die Realteile der Eigenwerte kleiner als Null und deshalb ist die Gleichgewichtslage auch in diesem Fall asymptotisch stabil.

Wird das unged¨ampfte Pendel betrachtet, d.h. es gilt c = 0, so sind die Eigenwerte komplex konjugiert und rein imagin¨ar, die Gleichgewichtslage ist in diesem Fall stabil, aber nicht asymptotisch stabil.

142

¨ 4 Gewohnliche Differentialgleichungen ¨ Ist k dagegen eine ungerade Zahl, so ist cos(kπ) = −1 und wir mussen die Eigenwerte der Matrix ! 0 1 g l

c − ml

bestimmen. Also −λ 1 g c − ml − λ l

c g − λ) − = 0, = −λ(− ml l λ1/2

c =− ± 2ml

r

c2 g + 4ml l

¨ Da mindestens ein Eigenwert immer großer als Null ist, ist die Gleichgewichtslage instabil.

143