Höhere Technische Mechanik
Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hoch...
3. Lineare Systeme mit mehreren Freiheitsgraden 4. Lineare Modelle kontinuierlicher Systeme
Prof. Dr. U. Zwiers
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Freie Schwingungen 1/9 Begriffe & Definitionen Zustandsgröße
x(t)
Schwingungsdauer
T
Frequenz
f=
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Schwingungsamplitude Mittellage
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1 T
1 x ˆ = (xmax − xmin ) 2 1 x ¯ = (xmax + xmin ) 2 STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Freie Schwingungen 2/9 Begriffe & Definitionen (Forts.) Schwingung Periodischer Bewegungsvorgang x(t) = x(t + T ) Lineares System System, das durch eine lineare Differentialgleichung beschrieben werden kann Superpositionsprinzip
f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 )
Homogenitätsprinzip
f (kx) = kf (x)
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STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Freie Schwingungen 3/9 Ungedämpfte Eigenschwingungen
x k
x
m¨ x
kx
m
mg Bewegungsgleichung
m¨ x + kx = 0
DGL in Standardform
x ¨ + ω02 x = 0 ,
Allgemeine Lösung
x(t) = A cos ω0 t + B sin ω0 t
ω02 =
k m
x(t) = x ˆ cos(ω0 t − φ) x(t) = C1 eiω0 t + C2 e−iω0 t Prof. Dr. U. Zwiers
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Freie Schwingungen 4/9 Ungedämpfte Eigenschwingungen (Forts.) Anpassung der allg. Lösung auf spezifische Anfangsbedingungen Anfangsbedingungen
x(0) = x0 , x(0) ˙ = x˙ 0
Integrationskonstanten
A = x0 , x ˆ=
p
B=
A2 + B 2 =
tan φ =
x20 +
x˙ 20 ω02
B x˙ 0 = A ω0 x0
A = C1 + C2 , Prof. Dr. U. Zwiers
x˙ 0 ω0 s
STME
B = i (C1 − C2 ) 6/20
Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Freie Schwingungen 5/9 Ungedämpfte Eigenschwingungen (Forts.) x
x˙ 0
+ˆ x
T x = xˆ cos(ω0 t − φ)
x0 t
φ ω0
x˙
−ˆ x ω0 xˆ
x˙ 0
x2 x˙ 2 + =1 x ˆ2 (ω0 x ˆ)2
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bc
x0
STME
xˆ
x
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Freie Schwingungen 6/9 Gedämpfte Eigenschwingungen
k d
x
x
m¨ x
kx m
dx˙ mg
Bewegungsgleichung
m¨ x + dx˙ + kx = 0
DGL in Standardform
x ¨ + 2δ x˙ + ω02 x = 0 ,
Anfangsbedingungen
x(0) = x0 , x(0) ˙ = x˙ 0
Prof. Dr. U. Zwiers
STME
d 2m k ω02 = m δ=
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Freie Schwingungen 7/9 Gedämpfte Eigenschwingungen (Forts.) Fallunterscheidung Schwache Dämpfung: δ < ω0 1 x = e−δt x0 cos ωt + (x˙ 0 + δx0 ) sin ωt , ω Starke Dämpfung: δ > ω0 1 −δt x=e x0 coshpt + (x˙ 0 + δx0 )sinhpt , p
ω=
q ω02 − δ 2
p=
q
δ 2 − ω02
Aperiodischer Grenzfall: δ = ω0 x = e−δt [x0 + (x˙ 0 + δx0 )t] Prof. Dr. U. Zwiers
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Freie Schwingungen 8/9 Gedämpfte Eigenschwingungen (Forts.) x +ˆ x
x˙ 0 bc
x = xˆe−δt cos(ωt − φ)
x0 φ ω −ˆ x
bc bc
t x˙
T
x˙ 0
Schwache Dämpfung
Prof. Dr. U. Zwiers
x0
STME
x
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Freie Schwingungen 9/9 Gedämpfte Eigenschwingungen (Forts.) x
x˙ 0
x0
t
x˙
x˙ 0
Starke Dämpfung bc
x0
Prof. Dr. U. Zwiers
STME
x
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Erzwungene Schwingungen 1/9 Lösung für harmonische Erregerfunktionen Erzwungene Schwingung Vorgang, bei dem ein System einer dauernden Anregung von außen ausgesetzt ist DGL in Standardform:
x ¨ + 2δ x˙ + ω02 x = p(t)
Harmonische Anregung: p(t) = ω02 p0 cos Ωt Allgemeine Lösung:
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x(t) = xh (t) + xp (t) xh (t)
homogene (transiente) Lösung
xp (t)
partikuläre (stationäre) Lösung STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Erzwungene Schwingungen 2/9 Lösung für harmonische Erregerfunktionen (Forts.) Lösungsansatz:
Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Erzwungene Schwingungen 3/9 Lösung für harmonische Erregerfunktionen (Forts.) ◮
Der homogene Lösungsanteil xh (t) wird mit der Zeit herausgedämpft.
◮
Der stationäre Lösungsanteil xp (t) ist eine harmonische Schwingung, deren Kreisfrequenz mit der Erregerkreisfrequenz Ω übereinstimmt.
◮
Die Zeitspanne, während der der homogene Lösungsanteil noch einen wesentlichen Einfluss auf das Systemverhalten hat, wird als Einschwingvorgang bezeichnet.
Vergrößerungsfunktion:
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V =
x ˆ p0 STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Erzwungene Schwingungen 4/9 Federerregung Bewegungsgleichung u
Erregerfunktion
k x m
d
m¨ x + dx˙ + kx = ku
u = u0 cos Ωt Phasenwinkel 2Dη tan ψ = 1 − η2 Vergrößerungsfunktion
Prof. Dr. U. Zwiers
V =p
1 (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Erzwungene Schwingungen 5/9 Federerregung (Forts.)
ψ π
0 1/ 2
1 2
V
D
π 2
D=0 1/ 4
η
1
1
1/ 2
1 2
η
1 Prof. Dr. U. Zwiers
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Erzwungene Schwingungen 6/9 Dämpfererregung Bewegungsgleichung m¨ x + dx˙ + kx = du˙ Erregerfunktion k
u = u0 cos Ωt x m
Phasenwinkel
d
tan ψ = u
1 − η2 2Dη
Vergrößerungsfunktion
Prof. Dr. U. Zwiers
V =p
2Dη (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Erzwungene Schwingungen 7/9 Dämpfererregung (Forts.) +
ψ
π 2
η
1 0 2 1 1/ D 2 0
V −
1
π 2
b
2 1 1/ 2 1/ 4
0 1 Prof. Dr. U. Zwiers
STME
η 18/20
Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Erzwungene Schwingungen 8/9 Gehäuseerregung Bewegungsgleichung m¨ x + dx˙ + kx = −m¨ u u
Erregerfunktion k
u = u0 cos Ωt x
m
d
Phasenwinkel 2Dη tan ψ = 1 − η2 Vergrößerungsfunktion
Prof. Dr. U. Zwiers
V =p
η2 (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Erzwungene Schwingungen 9/9 Gehäuseerregung (Forts.)
