3.- RESISTENCIA A FLEXION DE PERFILES W LAMINADOS EN CALIENTE

3.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

Las vigas son miembros estructurales sujetos a flexión y cortante. La flexión y cortante se deben principalmente a la aplicación de cargas transversales al eje longitudinal del miembro, aunque la flexión también puede originarse debido a la aplicación de momentos concentrados en el claro y/o en los extremos.

Debido a los esfuerzos de flexión, se generan zonas de compresión y de tensión en la sección de la viga, delimitadas por el eje neutro. Para el diseño, se asume que dichos esfuerzos se concentran en los patines de las vigas y que el alma solo resiste el esfuerzo cortante. Por consiguiente, en cualquier viga sujeta a flexión existirá un patín de compresión y uno de tensión. Los patines de compresión se consideran elementos sujetos a compresión uniforme, por lo que serán susceptibles a inestabilidad local o global. Sin embargo, dado que en los perfiles laminados típicos dicho patín normalmente está unido de forma continua al alma, la cual a su vez está unida al patín de tensión (patín estable), el pandeo en el plano del alma será muy poco probable, por lo que predominará el pandeo perpendicular al plano del alma (pandeo laterotorsional).

Se puede lograr que la viga fluya de forma uniforme, es decir, que el patín de compresión fluya, junto con el alma y el patín de tensión. Esto se logra impidiendo el pandeo laterotorsional, mediante el uso de apoyos laterales adecuados al patín de compresión (pueden ser apoyos continuos provistos por losas, cubiertas o muros, o apoyos a intervalos provistos por otros miembros estructurales). La fluencia total de la sección permite alcanzar la resistencia máxima a flexión de la viga.

En las vigas se pueden detectar diferentes formas de fallas, conocidas como "estados límites":

A. Estados Límites de Flexión:

A.1.- Momento Plástico con Formación de Articulación Plástica. En este caso, toda la sección alcanza la fluencia y se forma una articulación

plástica

antes

de

que

ocurra

el

pandeo

laterotorsional o local. Para desarrollar una articulación plástica se requiere que la sección exhiba la capacidad de generar deformaciones unitarias considerablemente mayores a las requeridas para alcanzar la fluencia. A.2.- Momento Plástico sin Formación de Articulación Plástica. En este caso, toda la sección alcanza la fluencia, pero se pandea local o laterotorsionalmente antes de que se forme la articulación plástica. A.3.- Momento Crítico de Pandeo Laterotorsional Inelástico. En este caso, la sección presenta fluencia parcial de la sección al ocurrir el pandeo laterotorsional. Además, el pandeo local de los patines o almas no ocurre antes del pandeo laterotorsional. A.4.- Momento Crítico de Pandeo Local. La sección presenta pandeo local de patines o almas antes de que ocurra el pandeo laterotorsional. A.5.- Momento Crítico de Pandeo Laterotorsional Elástico. La sección presenta pandeo laterotorsional antes que alguna fibra de la sección alcance la fluencia y/o de que los patines o almas se pandeen localmente.

B. Estados Límites de Cortante: B.1.- Fluencia del Alma. El alma de la sección alcanza la fluencia antes de que ocurra el pandeo del alma debido al esfuerzo cortante. B.2.- Pandeo Inelástico del Alma. El alma de la sección presenta fluencia parcial de la sección al ocurrir el pandeo del alma. B.3.- Pandeo Elástico del Alma. El alma de la sección presenta pandeo antes de que alguna fibra de la sección alcance la fluencia.

C. Estados Límites Debidos a Cargas Concentradas: C.1.- Aplastamiento Local del Alma. La base del filete de la unión alma-patín alcanza la fluencia y se "aplasta" debido a la acción de una carga concentrada o reacción. C.2.- Aplastamiento del Alma. El alma presenta problemas de inestabilidad debido a la acción de una carga concentrada o reacción. C.3.- Pandeo Traslacional del Alma. La zona de tensión de la viga (patín de tensión y una porción del alma) presenta pandeo traslacional con respecto al patín de compresión bajo cargas concentradas.

D. Estados Límites de Servicio: D.1.- Deformaciones Máximas. Las deformaciones verticales máximas producen problemas funcionales que impiden que la estructura o miembro cumpla con los objetivos para el cual fue diseñado. C.2.- Encharcamiento. Las deformaciones verticales máximas en vigas de cubierta o azotea generan encharcamientos de agua que incrementan las cargas vivas, las cuales incrementan las deformaciones, permitiendo que se acumule mas agua, generando problemas funcionales o posiblemente el colapso. D.3.- Vibraciones Máximas. La excesiva flexibilidad de un miembro bajo cargas dinámicas generan vibraciones excesivas que producen problemas funcionales. Esta disertación solo considera los estados límites asociados a la flexión de perfiles W (IR). Sin embargo, el diseño típico de una viga deberá considerar estados límites asociados al cortante y cargas concentradas, así como los estados límites de servicio. Las especificaciones LRFD 1999 contiene las ecuaciones y procedimientos de diseño requeridos para cumplir con dichos límites.

3.2 DISEÑO POR FLEXION.

3.2.1 Ecuaciones Generales para Determinar la Resistencia de Diseño por Flexión.

Los esfuerzos máximos de flexión en perfiles simétricos y con simetría simple, producto de una carga aplicada a través del centro de cortante en el plano de uno de los ejes principales, se calcula por el método LRFD mediante las siguientes fórmulas: M ux ≤ φ b M nx

; M uy ≤ φ b M ny (3.1)

donde: Mux, Muy = momentos factorizados con respecto al eje x y y, respectivamente, calculados a partir de la combinación de cargas aplicable.

φb = factor de resistencia por flexión. Mnx, Mny = momentos nominales con respecto al eje x y y, respectivamente, calculados en función del estado límite a flexión gobernante.

3.2.2 Comportamiento de Vigas no Sujetas a Pandeo.

El estado límite del momento plástico puede ser alcanzado por vigas no sujetas a pandeo local o laterotorsional. La Fig. 3.1 muestra la distribución de esfuerzos de flexión con respecto al eje x de un perfil W típico sujeto a incrementos en el valor del momento. Para cargas de servicio la distribución de esfuerzos es elástica (Fig. 3.1a) y se mantiene elástica hasta que las fibras extremas alcanzan la fluencia Fy (Fig. 3.1b). Una vez que la deformación unitaria ε alcanza el valor de fluencia εy, el aumento en ε no producirá un aumento en el esfuerzo (rango plástico de la Fig. 3.2). Este comportamiento elastoplástico es una idealización aceptable de aceros estructurales con esfuerzos de fluencia hasta Fy = 4568 kg/cm2.

Fig. 3.1 Distribuciones de esfuerzos a flexión para diferentes niveles de carga

Cuando la fibra extrema alcanza por primera vez el valor de Fy se puede considerar la ocurrencia de un estado límite (Fig. 3.1b). Al momento nominal Mn correspondiente a este estado límite se le conoce como el momento de fluencia My y se calcula mediante la siguiente expresión: M y = Fy S x

(3.2)

Se puede considerar la ocurrencia de otro estado límite cuando todas las fibras de la sección han alcanzado o excedido el valor de εy, como se muestra en la Fig. 3.1d. Al momento correspondiente a dicho estado límite se le conoce como el momento plástico y está dado por la siguiente expresión: M p = Fy Z x

donde Z x = ∫ ydA = módulo plástico con respecto al eje x.

(3.3) (3.4)

A

Se puede observar que la relación Mp/My es una propiedad de la sección y no del material. A esta relación se le conoce como el factor de forma ξ y está dado por:

ξ =

Mp My

=

Z S

(3.5)

Para perfiles W sujetos a flexión con respecto al eje fuerte (eje x) el factor de forma presenta un rango de valores entre 1.09 y 1.18, con un valor típico de

1.12. Se puede suponer conservadoramente que el momento plástico Mp de un perfil W flexionado con respecto a su eje fuerte es 10% mayor que el momento de fluencia My.

Fig. 3.2 Comportamiento esfuerzo deformación de la mayoría de los aceros estructurales

Un perfil W flexionado con respecto al eje débil (eje y) presenta una sección equivalente a un rectángulo, donde b = 2tf y d = bf; por lo tanto, para flexión con respecto al eje débil, el momento plástico Mp será un 50% mayor que el momento de fluencia My. Además, se estableció anteriormente que para flexión con respecto al eje fuerte se tiene que Mp es de 9% a 18% mayor que My. Por consiguiente, los perfiles W tendrán mayor resistencia de reserva, después de alcanzar My, cuando son flexionados con respecto al eje débil que cuando son flexionados con respecto al eje fuerte.

Una vez que se alcanza el momento plástico, la sección ya no puede ofrecer resistencia adicional a la rotación inducida por la flexión, y podrá formarse, sin incremento adicional en el momento flexionante, una articulación plástica o podrá ocurrir el pandeo local o laterotorsional de la viga antes de que se genere totalmente dicha articulación. Si la viga puede desarrollar las deformaciones unitarias requeridas para la formación de la articulación, el pandeo no ocurrirá antes de la formación de dicha articulación. En una viga isoestática, como es el caso de una viga en simple apoyo, la formación de la articulación plástica genera una condición inestable conocida como mecanismo de colapso. En general, cualquier combinación de articulaciones en un claro, ya sean articulaciones reales (apoyos simples) o plásticas, generará un mecanismo de colapso.

Se puede observar en la Fig. 3.3 que existe una relación elástica lineal entre el ángulo de rotación θ y el momento flexionante desde el rango de cargas de servicio hasta que la viga alcanza My. La relación M-θ se torna inelástica cuando el valor del momento está entre My y Mp. Al alcanzar Mp, la curva M-θ se vuelve horizontal, por lo que la deformación de la viga (rotación de la articulación plástica) incrementa sin restricción. Cuando se presenta el mecanismo de colapso, la deformación elástica debida a la flexión de los segmentos de la viga entre los extremos y la articulación plástica es despreciable, comparada con la rotación que ocurre en dicha articulación. Por consiguiente, se puede considerar a la viga bajo colapso como dos cuerpos rígidos con una discontinuidad angular al centro.

Fig. 3.3 Comportamiento plástico de una viga simplemente apoyada

Solo en vigas isoestáticas se puede considerar que cada punto en el diagrama de momentos factorizados es proporcional al diagrama de momentos elásticos. En vigas hiperestáticas, se presenta redistribución de momentos una vez que el momento excede el rango elástico; esto es, la viga redistribuye el momento de las zonas del claro que alcanzan primero la fluencia a las zonas que aun se conservan elásticas, hasta que dichas zonas a su vez alcanzan la fluencia. Por consiguiente, el diagrama de momentos después de que se genere la articulación plástica ya no será proporcional al diagrama de momentos elásticos.

Es importante establecer que aunque una viga presente apoyo lateral adecuado al patín de compresión que le permita alcanzar el estado límite de momento plástico, la viga eventualmente fallará por inestabilidad debido pandeo laterotorsional o local, aun cuando la viga haya podido generar una articulación plástica. En otras palabras, toda viga falla por inestabilidad, el apoyo lateral adecuado al patín de compresión solo permite que dicha inestabilidad ocurra en el rango plástico en lugar del rango elástico o inelástico. Por consiguiente, si se desea prevenir que dicha inestabilidad ocurra antes de alcanzar el rango plástico, se deberán establecer límites en la distancia entre apoyos laterales para prevenir el pandeo laterotorsional y se deberán establecer límites en las relaciones ancho-espesor del patín de compresión y el alma para prevenir el pandeo local. 3.2.3 Relación Ancho-Espesor λr para Vigas. En el diseño de vigas se debe tomar en cuenta el hecho de que puede ocurrir pandeo local del patín de compresión o del alma antes de alcanzar los valores considerables de deformación unitaria a compresión requeridos para desarrollar Mp. Cuando la relación ancho-espesor cumple con el límite λr dado por LRFD-B5, solo se garantiza que la viga alcanzará My (es decir, se previene que ocurra el pandeo local a esfuerzos menores o iguales a Fy). Los límites λr para prevenir el pandeo local en vigas están dados en la Tabla 3.1 y solo garantizan que si los valores de b/t = λ de los patines de compresión y almas no exceden a λr, las fibras extremas desarrollarán los valores de ε requeridos para alcanzar Fy en las fibras extremas (o sea, que ε alcanzará el valor de εy = Fy/E). 3.2.4 Relación Ancho-Espesor λp para Vigas. Para poder desarrollar Mp se requiere que los patines y almas puedan alcanzar valores de ε mayores que εy. Por consiguiente, se deberá restringir aun más el valor de λ. El AISC establece el valor de λp como el nuevo límite a cumplir por

λ, si se desea que ε ≥ εy. El valor de λc no deberá exceder aproximadamente

0.46 para elementos a compresión no atiesados y 0.58 para elementos a compresión atiesados. Para elementos no atiesados, usando λc = 0.46 y k = 0.426 se obtiene:

b / t ≤ 0.951( 0.46 )

( 0.425 )E kE E = 0.437 = 0.285 Fy Fy Fy

(3.6)

La Ec. (3.6) representa el valor de la relación b/t requerida para que el material alcance el rango de endurecimiento por deformación, al cual corresponden valores de deformaciones unitarias del orden de 15 a 20 veces el valor de εy. Se ha demostrado que para alcanzar el momento plástico solo se requieren deformaciones unitarias del orden de 7 a 9 veces el valor de εy, por lo que la restricción impuesta por la Ec. (3.6) es muy severa y el valor de λc puede ser incrementado. Dicho incremento implicaría entrar a la curva de transición de esfuerzos residuales; sin embargo, en el rango plástico el efecto de los esfuerzos residuales desaparece, ya que todo el material presentará fluencia. LRFD-B5.1 establece λp, como el valor máximo de la relación b/t para el cual pueden desarrollarse las deformaciones unitarias requeridas para alcanzar el momento plástico. Para elementos no atiesados sujetos a compresión uniforme, dicho valor es:

b / t ≤ λ p = 0.38

E Fy

(3.7)

El cual representa un incremento del 25% del valor establecido por la Ec. (3.6) Para elementos atiesados, usando λc = 0.58 y k = 4.0 se obtiene:

b / t ≤ 0.951( 0.58 )

( 4.0 )E kE E = 0.552 = 1.103 Fy Fy Fy

(3.8)

Para elementos atiesados sujetos a compresión uniforme, LRFD-B5.1 establece el siguiente valor de λp:

b / t ≤ λ p = 1.12

E Fy

(3.9)

El cual representa un incremento del 8% con respecto al valor establecido en la Ec. (3.8) y corresponde a un valor de λc = 0.59. El incremento del 8% es menor que el 25% considerado en elementos no atiesados, pero el valor de λc es muy similar, lo cual parece indicar que los elementos atiesados alcanzan el rango de endurecimiento por deformación a valores de deformaciones unitarias cercanas a las requeridas para desarrollar el momento plástico. Los valores de

λp considerados en LRFD-B5.1 están dados en la Tabla 3.1.

Tabla 3.1 Relaciones Máximas de Ancho-Espesor λr y λp en Elementos a Compresión de Vigas. Caso

Descripción del Elemento

Valor de

Valor de λr

λp 1

Patines (no atiesados) de vigas I rolladas y canales en flexión

2

Patines (no atiesados) en vigas I híbridas o vigas soldadas en flexión.

3

Patines

(atiesados)

en

perfiles

tubulares

cuadrados

y

rectangulares y otros perfiles tubulares de espesor uniforme (excepto tubulares cilíndricos; patines de cubreplaca y placas

0.38

E Fy

0.83

E FL

0.38

E Fyf

0.95

E ( FL / k c )

diafragma entre líneas de tornillos o soldaduras.

Para compresión uniforme

1.12

Para análisis plástico

4

Almas bajo compresión debido a flexión.

5

Perfiles tubulares cilíndricos bajo flexión.

0.939

3.76

Para análisis elástico

Para análisis plástico

E Fy

1.40

E Fy

5.70

E Fy

E Fy

E Fy

0.07(E/Fy)

0.07(E/Fy)

0.045(E/Fy)

Como se observa en la Tabla 3.1, el LRFD-B5.1 impone restricciones adicionales al valor de λp para elementos a compresión atiesados y tubulares cilíndricos cuando se considera análisis plástico en el diseño de la viga. El valor considerado por LRFD-B5.1 para patines atiesados es muy similar a la relación b/t .

3.2.5 Vigas Lateralmente Estables.

Las vigas lateralmente estables son aquellas que pueden desarrollar los estados límites a flexión contemplados en el Art. 3.1, excepto aquellos estados que involucren pandeo laterotorsional elástico o inelástico.

3.2.5.1 Diseño por LRFD.

La ecuación general de LRFD para diseño por flexión está dada por la siguiente expresión: φbMn ≥ Mu

donde:

φb = 0.90

(3.10)

Mu = combinación aplicable de momentos factorizados. Mn = resistencia nominal determinada en función de la categoría de la viga.

Las vigas lateralmente estables se pueden clasificar en tres categorías, dependiendo de la relación ancho-espesor de los elementos a compresión λ: (a) Vigas Compactas (si λ ≤ λp), (b) Vigas No Compactas (si λ = λr), (c) Vigas Parcialmente Compactas (si λp < λ ≤ λr) y (d) Vigas Esbeltas (λ > λr). A continuación se presentan las ecuaciones de momento nominal Mn para cada categoría.

(a) Vigas Compactas: Según LRFD Apéndice F1, la resistencia nominal Mn para secciones compactas lateralmente estables está dada por la siguiente expresión: Mn = Mp

donde:

(3.11)

Mp = ZFy = momento plástico Z

= módulo plástico definido según el Art. 3.2.2.

Fy = esfuerzo de fluencia del acero (b) Vigas No Compactas: La resistencia nominal Mn para secciones no compactas lateralmente estables, donde λ = λr, es la resistencia a flexión disponible cuando el esfuerzo en la fibra extrema alcanza Fy. Debido a la presencia de esfuerzos residuales Fr, la resistencia disponible en la sección para resistir cargas será Fy - Fr. Por consiguiente: M n = M r = ( Fy − Fr )S x

(3.12a)

donde Mr es el “momento residual” que provoca que el esfuerzo en la fibra extrema incremente desde el esfuerzo residual Fr (presente en la ausencia de cargas) hasta Fy. También se le conoce a dicho momento como el momento elástico máximo en la presencia de esfuerzos residuales. S es el

módulo elástico definido según el Art. 3.2.2. Para incluir el caso de vigas híbridas, donde el esfuerzo de fluencia del patín Fyf es típicamente mayor al del alma Fyw, LRFD-F1-2a establece la siguiente ecuación general para Mr: M r = FL S x

(3.12b)

donde FL se toma como el menor de (Fyf - Fr) y Fyw. Las especificaciones del AISI recomiendan un valor típico de Fr = 700 kg/cm2 para perfiles laminados y Fr = 1150 kg/cm2 para perfiles soldados. (c) Vigas Parcialmente Compactas: Según LRFD Apéndice F1.7, la resistencia nominal Mn de secciones no compactas lateralmente estables, donde λp < λ

≤ λr, se obtiene de la siguiente interpolación lineal entre Mp y Mr: ⎛ λ − λp M n = M p − ( M p − M r )⎜ ⎜ λr − λ p ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(3.13)

donde: λ = bf/(2tf) para patines de perfiles de sección I. = h/tw para almas de perfiles. bf = ancho del patín. tf = espesor del patín. h = d – 2k más una holgura para prevenir subdimensionamiento de filetes internos en la unión del patín de compresión y el alma (aproximadamente 6 mm) en perfiles laminados de sección I. El Manual LRFD 1993 del AISC tabula los valores de h/tw (Ver anexo A2 donde se incluyen las características de los perfiles IR) y para propósitos prácticos dichos valores deberán ser usados en diseño, ya que los valores mínimos de los filetes no están fácilmente disponibles para el diseñador. d = peralte del perfil.

k = dimensión desde el paño exterior del patín a la base del filete de unión entre patín y el

alma (propiedad

geométrica tabulada en Manual LRFD). (d) Vigas Esbeltas: Las vigas cuyos elementos presenten la condición λ > λr se consideran esbeltas y deben ser tratadas según el procedimiento indicado en LRFD Apéndice B, ya que pueden presentar pandeo local de elementos.

Según el Apéndice B5.3a los elementos no atiesados de miembros a flexión deben diseñarse para un esfuerzo máximo de φbQsFy, donde φb = 0.90 y Qs es un factor de reducción de esfuerzo que depende del tipo de perfil.

Para el caso de los elementos atiesados, el Apéndice B5.3c establece que cálculo del momento de inercia y el módulo elástico de las secciones debe realizarse considerando los anchos efectivos reducidos bE de los elementos atiesados en lugar de sus anchos reales.

3.2.6 Vigas Lateralmente Inestables.

Hasta este punto se han presentando el tratado de la resistencia a flexión de vigas que se conservan lateralmente estables hasta alcanzar el momento plástico Mp. Como se mencionó anteriormente, no todas las vigas lateralmente estables pueden alcanzar Mp, de hecho, algunas de éstas vigas no pueden desarrollar ni el momento de fluencia My debido a problemas de inestabilidad local elástica de patines y/o almas (vigas esbeltas), pero siempre conservan la estabilidad lateral hasta alcanzar su estado límite de falla. En esta sección se presenta el tratado de la resistencia a flexión de vigas que presentan inestabilidad lateral, también conocida como pandeo laterotorsional, antes de desarrollar una articulación plástica.

Solo las vigas sujetas a flexión con respecto al eje fuerte exhiben pandeo laterotorsional, por lo que las vigas sujetas a flexión pura con respecto al eje débil se diseñan según los criterios expuestos en el Art. 3.2.5.

Considere el patín de compresión de la viga mostrada en la Fig. 3.4. La teoría de flexión establece que dicho patín estará sujeto a una distribución uniforme de esfuerzos a compresión si la viga es cargada en el plano del alma, por lo que los puntos A y B en las orillas longitudinales del patín tendrán esfuerzos idénticos. Cabe mencionar que la presencia de esfuerzos residuales, así como excentricidades accidentales de carga e imperfecciones geométricas de la viga generan una distribución no uniforme de esfuerzos, lo cual ocasiona que los esfuerzos en los puntos A y B sean diferentes. Sin embargo, para efectos prácticos de diseño, la distribución de esfuerzos en el patín de compresión se asumirá uniforme.

El patín de compresión y una parte de la porción a compresión del alma pueden ser considerados como un elemento columna, normalmente dicho elemento se pandearía con respecto al eje débil (eje 1-1); sin embargo, el alma provee arriostramiento continuo e impide dicho pandeo. A esfuerzos de compresión mayores, dicho elemento presentará tendencia al pandeo con respecto al eje fuerte (eje 2-2). Es este pandeo súbito con respecto al eje fuerte lo que produce el pandeo lateral. Dicho pandeo no será un pandeo local, donde el patín de compresión se desplaza lateralmente con respecto al patín de tensión, sino que la rigidez a flexión de la unión continua alma-patín provocará que toda la viga participe en el pandeo lateral. Como se puede observar en la Fig. 3.4a, la viga no solo presenta una deformación lateral, sino también un giro. Dicho giro es provocado por el desarrollo de momentos torsionantes generados por la descomposición de los momentos flexionantes en los extremos de la viga (ver Art. 3.2.6.3). La combinación de la deformación lateral y el giro da origen a lo que comúnmente se le conoce como pandeo laterotorsional.

Fig. 3.4 Viga lateralmente apoyada solo en los extremos

3.2.6.1

Apoyos Laterales.

Los apoyos laterales son puntos en el claro de la viga donde se impide el pandeo laterotorsional. Normalmente el apoyo lateral de vigas en un sistema de piso es provisto por la unión a la losa o por la unión transversal de otras vigas o arriostramientos. Existen por consiguiente, dos categorías de apoyos laterales:

1. Apoyo Lateral Continuo: Provisto por el embebido del patín de compresión en una losa de concreto (ver Fig. 3.5a y b). Como se muestra en la Fig. 3.5b, el patín no requiere embeberse completamente, sino que pueden embeberse solo conectores mecánicos soldados al patín.

2. Apoyo Lateral a Intervalos: Provisto por vigas, armaduras, u otros miembros estructurales que se unen transversalmente a la viga (ver Fig. 3.5c a la g). Dichos miembros deberán a su vez tener apoyo lateral y rigidez adecuada.

Es típico que el diseñador encuentre en la práctica condiciones de apoyo lateral que no se ajustan a éstas dos categorías. Por ejemplo, se puede considerar el caso donde la losa se apoya directamente sobre la viga, pero sin que el patín de compresión quede embebido. Se puede establecer que existen

fuerzas de fricción en la superficie de contacto entre losas y vigas que puede ofrecer un cierto grado de restricción lateral. Sin embargo, debido a la incertidumbre en los valores de dichas fuerzas, el diseñador podría asumir conservadoramente la inexistencia de apoyo lateral en el claro de la viga. Otros casos similares, aunque menos inciertos, lo representan el apoyo provisto por un deck de acero soldado a intervalos a las vigas o el de un deck de madera unido con tornillería a intervalos. En estos casos, la soldadura y tornillería pueden considerarse como apoyos laterales al patín de compresión, aunque sería prudente considerar la posibilidad de que algunas soldaduras o tornillos pudieran haber sido mal colocados, por lo que la distancia entre apoyos laterales considerada para el diseño pudiera considerarse como dos o tres veces la distancia real entre soldaduras o tornillos.

Dado que una gran cantidad de fallas en vigas están asociadas a la falta de apoyo lateral adecuado, el diseñador deberá emplear su criterio para evaluar la viabilidad de la existencia de un apoyo lateral adecuado en los casos que no se ajustan a las dos categorías antes expuestas. Si existe duda, será siempre preferible asumir en diseño la inexistencia del apoyo evaluado. El diseñador también deberá cuidar las condiciones de apoyo lateral durante el proceso constructivo, cuando no todos los apoyos considerados en diseño estén colocados.

Fig. 3.5 Tipos de apoyos laterales

No solo debe analizarse el apoyo lateral de vigas individuales, sino el de todo el sistema de piso. La Fig. 3.6a muestra como la viga AB con apoyo lateral provisto a la mitad del claro por una viga transversal puede ser parte del pandeo lateral de todas las vigas paralelas del sistema de piso. Dicho pandeo puede evitarse usando un sistema de contraventeo en diagonal en el plano del piso (ver Fig. 3.6b).

(a) Sistema no arriostrado

(b) Sistema arriostrado

Fig. 3.6 Pandeo lateral de un sistema de piso o cubierta

3.2.6.2

Resistencia de Vigas de Sección W Sujetas a Momento Iguales en sus Extremos.

En el desarrollo de la teoría de pandeo laterotorsional es conveniente identificar el caso crítico de carga que maximice la propensidad de la viga a fallar por este tipo de pandeo. Usando la analogía del elemento columna presentado anteriormente, el caso crítico lo representaría un estado de esfuerzos de compresión uniforme que no presente variación en su magnitud en toda la longitud del elemento. Esto puede lograrse aplicando momentos idénticos en los extremos, flexionando a la viga en curvatura simple (ver Fig. 3.7), lo cual produce un momento máximo constante en todo el claro. Si existe gradiente de momentos, i.e. variación de la magnitud del momento en el claro, la magnitud de los esfuerzos uniformes a compresión será directamente proporcional a la variación del momento, por lo que su valor promedio en el claro será menor al del caso crítico. Si se presenta una reducción neta en la magnitud del esfuerzo de compresión, obviamente disminuye la probabilidad de que ocurra el pandeo laterotorsional.

Fig. 3.7 Comportamiento a flexión de vigas de perfil W

El comportamiento a flexión de una viga de sección W sujeta al caso crítico se ilustra también en la Fig. 3.7. Como se discutió en el Art. 3.2.5, la

resistencia máxima está determinada por el momento plástico Mp. También se discutió en el Art. 3.2.2 que toda viga falla por inestabilidad, ya sea antes o después de haber alcanzado Mp; por consiguiente, los modos de falla a considerar en vigas sujetas a pandeo laterotorsional serán: (a) Pandeo local del patín de compresión, (b) Pandeo local del alma bajo compresión por flexión y (c) Pandeo laterotorsional. Se identifican en la Fig. 3.7 cuatro tipos de comportamientos:

1. Desarrollo del momento plástico Mp y articulaciones plásticas. La formación de una articulación plástica demanda una gran capacidad de rotación (ver Fig. 3.8) para poder desarrollar los valores de deformaciones unitarias requeridas por dicha articulación sin que se presente inestabilidad.

2. Desarrollo del momento plástico Mp sin articulaciones plásticas. La articulación plástica no puede formarse debido a que la capacidad de rotación se ve mermada por pandeo local del patín de compresión y/o alma o por pandeo laterotorsional inelástico.

3. Desarrollo de un momento entre Mr y Mp . La viga exhibe comportamiento inelástico, pero es impedida para alcanzar Mp debido a pandeo local del patín de compresión y/o alma o por pandeo laterotorsional inelástico.

4. Desarrollo del momento Mcr. La viga exhibe comportamiento elástico y es impedida a desarrollar una resistencia mayor debido a pandeo elástico, ya sea debido a pandeo local del patín de compresión y/o alma o por pandeo laterotorsional.

Fig. 3.8 Requisitos de deformaciones unitarias para desarrollar el momento plástico

La mayoría de los perfiles W cumplen con la condición λ ≤ λp en patines y almas, por lo que el pandeo local no es un modo de falla común antes de alcanzar Mp. Por consiguiente, dichos perfiles podrán desarrollar Mp si se restringe el valor de la distancia entre apoyos laterales Lb, de tal manera que el pandeo laterotorsional ocurra después de que la viga alcance Mp. Los perfiles que cumplen con éstas características se les denomina compactos y se diseñan según los procedimientos establecidos en el Art. 3.2.5. En general, para valores grandes de Lb, los perfiles estarán sujetos a pandeo laterotorsional elástico.

3.2.6.3

Pandeo Laterotorsional Elástico.

Se presenta a continuación el desarrollo de la ecuación diferencial que describe el pandeo laterotorsional elástico de una viga prismática sujeta a momentos de extremo Mo con respecto al eje fuerte. La Fig. 3.9a muestra dicha viga en su posición de pandeo lateral. Se observa que el momento Mo, que genera curvatura en el plano yz, generará también componentes de momento Mx’, My’ y Mz’, con respecto a los ejes x’, y’ y z’, respectivamente, lo cual significa se generará curvatura también con respecto a los planos x’z’ y y’z’, además de curvatura torsional con respecto al eje z’. Asumiendo deformaciones pequeñas, se puede establecer la siguiente expresión:

EI x

d 2v dz 2

= M x' = M o

(3.14)

Donde v es el desplazamiento del centroide en la dirección y (ver Fig. 3.9b). Además, como puede observarse en la Fig. 3.9c, la curvatura en el plano x’z’ está dada por:

EI y

d 2u dz 2

= M y' = M o φ

(3.15)

donde u es el desplazamiento del centroide en la dirección x.

Por otro lado, se puede demostrar que el momento torsionante Mz’ puede expresarse en función del giro φ mediante la siguiente ecuación diferencial:

M z' = GJ

dφ d 3φ − EC w dz dz 3

(3.16)

De la Fig. 3.9a se puede establecer la siguiente relación entre Mz y Mo:

M z = M z' = −

du Mo dz

(3.17)

Donde por la suposición de deformaciones pequeñas se establece que Mz = Mz’.

Fig. 3.9 Comportamiento de una viga I sujeta a pandeo laterotorsional

Substituyendo la Ec. (3.17) en la (3.16) se obtiene la siguiente ecuación diferencial: −

dφ d 3φ du − EC w M o = GJ dz dz dz 3

(3.18)

Diferenciando la Ec. (3.18) con respecto a z se obtiene:

−

d 2u

M o = GJ

dz 2

d 2φ dz 2

− EC w

d 4φ

(3.19)

dz 2

De la Ec. (3.15) se obtiene: d 2u dz

2

=

M oφ EI y

(3.20)

Substituyendo la Ec. (3.20) en la (3.19) se obtiene la ecuación diferencial para el ángulo de giro en función del momento aplicado Mo:

EC w

d 4φ dz 4

− GJ

d 2φ dz 2

−

M o2 φ =0 EI y

(3.21)

Resolviendo la Ec. (3.21) para φ y despejando para Mo se obtiene el momento crítico Mcr que define el valor máximo de Mo para el cual la viga mantiene la estabilidad laterotorsional. La expresión resultante de Mcr es:

M cr =

π

2

⎛ πE ⎞ ⎜ ⎟ C w I y + EI y GJ L ⎝ L ⎠

(3.22)

La Ec. (3.22) representa entonces la resistencia al pandeo elástico laterotorsional de una viga de sección W sujeta a momento constante Mo, aplicado en el plano del alma en una distancia entre apoyos laterales L. Para considerar la posibilidad de variación del momento (gradiente de momento) en la distancia L, se debe considerar un factor de ajuste Cb, el cual se discutirá en detalle a continuación. Por consiguiente, la resistencia general al pandeo

elástico laterotorsional de una viga sujeta a gradiente de momento en la distancia L será entonces: M cr = C b

π

2

⎛ πE ⎞ ⎜ ⎟ C w I y + EI y GJ L ⎝ L ⎠

(3.23)

3.2.6.3.1 Factor de Corrección por Gradiente de Momento, Cb Como se mencionó anteriormente, la Ec. (3.22) fue derivada a partir de la condición de momento constante en todo el claro de la viga. Esta condición representa el caso más crítico, ya que implica que la porción a compresión de la viga estará sujeta a esfuerzos máximos constantes en todo el claro. La resistencia nominal en este caso será la mínima posible y se obtiene substituyendo Cb = 1.0 en la Ec. (3.23). Un caso menos crítico lo representa el caso de la variación del momento a lo largo del claro de la viga; es decir, la existencia de gradiente de momento. En este caso, los esfuerzos a compresión son máximos solo en el punto de momento máximo y se reducen en proporción directa a la variación del valor del momento. Por consiguiente, el esfuerzo promedio a compresión será menor al del caso más crítico y si la viga tiene el mismo claro que dicho caso, se reduce la posibilidad de inestabilidad lateral y la resistencia nominal a flexión podrá incrementar en proporción directa al valor de Cb. Es decir, Cb > 1.0 en la Ec. (3.23).

LRFD-F1-2a establece la siguiente ecuación para calcular Cb: Cb =

Donde

12.5 M max 2.5 M max + 3 M A + 4 M B + 3 M C

(3.24)

Mmax = momento máximo en la longitud sin apoyo lateral.

MA

= momento a ¼ de la longitud sin apoyo lateral.

MB

= momento a ½ de la longitud sin apoyo lateral.

MC

= momento a ¾ de la longitud sin apoyo lateral.

Cabe mencionar que ASD 1989 y LRFD (antes de la Edición 1993) usaban la siguiente ecuación: ⎛M C b = 1.75 + 1.05 ⎜⎜ 1 ⎝ M2

Donde

⎞ ⎛M ⎟⎟ + 0.3 ⎜⎜ 1 ⎠ ⎝ M2

⎞ ⎟⎟ ≤ 2.3 ⎠

(3.25)

M1 = momento menor en el extremo de la longitud sin apoyo lateral. M2 = momento mayor en el extremo de la longitud sin apoyo lateral.

M1/M2 se considera positivo si la longitud entre apoyos laterales es flexionada en curvatura doble y negativa, si es flexionada en curvatura simple. Cabe mencionar que el Comentario de LRFD-F1.2a aun permite el uso de la Ec. (3.25) para diagramas de momentos con variación lineal.

ASD y LRFD establecen conservadoramente Cb = 1.0 para la Ec. (3.25) si se cumplen los siguientes casos: (a) el momento máximo en la longitud entre apoyos laterales excede a M2; (b) la longitud entre apoyos laterales coincide con un voladizo sin apoyo lateral en el extremo libre y (c) miembros sujetos a flexocompresión en marcos no sujetos a translación lateral. Sin embargo, LRFD-F1.2a no impone el valor de Cb = 1.0 a la Ec. (3.24), excepto para el caso (b). Obviamente dicho valor también se obtiene si existe momento constante en todo el claro (o sea, Mmax = MA = MB = MC). Sin embargo, LRFDF1.2a permite suponer conservadoramente Cb = 1.0, independientemente del valor calculado mediante la Ec. (3.24).

La Fig. 3.10 muestra un comparativo de las Ecs. (3.24) y (3.25) para momentos con variación lineal. Se observa que los valores de Cb calculados a partir de la Ec. (3.25) son siempre menores o iguales que los calculados a partir de la Ec. (3.24), resultando por consiguiente, en valores menores de Mcr; o sea, se obtienen valores mas conservadores de la resistencia nominal. Valores de Cb calculados a partir de la Ec. (3.24) para distancias típicas entre apoyos laterales para momentos con variación parabólica se muestran en la Fig. 3.11. En dicha figura, las cantidades entre paréntesis representan el cálculo de Cb a

partir de la Ec. (3.25). Se observa en este caso, que la tendencia conservadora de la Ec. (3.24) se mantiene en unos casos.

Fig. 3.10 Comparativo de las ecuaciones para Cb para variación lineal del momento en un segmento entre apoyos laterales.

Fig. 3.11 Valores típicos de Cb para diferentes distancias entre apoyos laterales para variación parabólica de momentos.

3.2.6.4

Pandeo Lateral Inelástico.

Cuando una viga incursiona en el rango inelástico se presenta una reducción en el valor de E, lo cual, como se observa en la Ec. (3.23), implica una reducción en su resistencia Mcr. En estos casos, conviene reducir el valor de L para mitigar el efecto de la reducción del valor de E. En otras palabras, si se

espera que la viga desarrolle grandes deformaciones unitarias que la hagan incursionar en el rango inelástico, conviene imponer restricciones en la distancia entre apoyos laterales L. Las restricciones impuestas a L por el AISC se discutirán mas adelante.

La distancia entre apoyos laterales L es renombrada por el AISC como “distancia libre no arriostrada lateralmente, Lb”. La Fig. 3.12 establece una representación gráfica de la resistencia a flexión de una viga W16x36 en función de Lb para dos valores típicos de Cb. Se observa que la resistencia mínima se obtiene con Cb = 1.0 (la condición de momento constante M) y que se pueden obtener incrementos en la resistencia si ocurre un gradiente de momento en la distancia Lb.

Fig. 3.12 Comportamiento de una viga a flexión en función de la distancia entre apoyos laterales

Aunque

la

rigidez

torsionante

de

una

viga

no

se

ve

afectadasconsiderablemente por la presencia de esfuerzos residuales, la resistencia de la porción a compresión de la viga si se ve afectada. En la presencia de esfuerzos residuales, el momento máximo elástico Mr está dado por la Ec. (3.12b): M r = FL S x

(3.12b)

Por las mismas razones aludidas para columnas sujetas a pandeo inelástico (i.e., magnitud y distribución de esfuerzos residuales, excentricidad accidental, y contraflecha accidental), el comportamiento de vigas en el rango entre Mp y Mr no es fácilmente analizable. La reducción en resistencia debido a esfuerzos residuales ocurre principalmente en vigas sujetas a momento constante. En los casos donde existe gradiente de momento, el efecto de los esfuerzos residuales se concentra solo en la región donde ocurre inicialmente el comportamiento inelástico (región de momento máximo), por lo que el efecto ponderado en toda la viga tiende a ser despreciable. Además, para valores menores de esfuerzos, la probabilidad de que la suma de los esfuerzos residuales genere esfuerzos de fluencia es menor.

Para obtener los valores de Lb necesarios para generar las deformaciones unitarias y rotaciones requeridas para desarrollar el momento plástico Mp, se podría usar la Ec. ( 3.23), pero ajustando las rigideces GJ y EIy para considerar valores en el rango inelástico. Sin embargo, debido a que normalmente los apoyos laterales se ubican en los puntos donde se espera que ocurra Mp y las distancias Lb suelen ser pequeñas en anticipación al desarrollo de Mp, se puede despreciar el término que involucra a GJ en la Ec. (3.23), ya que el giro y la correspondiente torsión serán despreciables. Por lo tanto, la Ec. (3.23) se simplifica a:

M cr =

π 2E

(3.26)

Cw I y

L2

Debido a que se desea alcanzar Mp, entonces Mcr = Mp = ZxFy. Además, para secciones W se tiene que Cw = Iyh2/4 y Iy = Ary2. Substituyendo estas expresiones en la Ec. (3.26) y considerando L = Lb se obtiene:

Z x Fy =

π 2E

Iy h2

L2b

4

(Ar ) 2 y

(3.27)

Despejando para Lb, se obtiene el valor máximo requerido para desarrollar Mp en secciones W: Lb ≤ r y

π 2 E ⎛ hA ⎞ ⎜ ⎟ 2 Fy ⎜⎝ Z x ⎟⎠

(3.28)

Si se asume un valor conservador de 1.5 para la propiedad geométrica hA/Zx y se redefine al valor máximo de Lb como Lp, se obtiene:

L p ≤ 2.721r y

E Fy

(3.29)

Resultados experimentales han mostrado que se requiere un valor menor al dado por la Ec. (3.29) para generar las deformaciones unitarias y rotación requerida para desarrollar Mp. Por lo tanto, LRFD-F1.2a establece el siguiente valor límite para Lp: L p ≤ 1.76 r y

E Fyf

(3.30)

donde Fyf es el esfuerzo de fluencia del patín de compresión. Cuando se desea utilizar análisis plástico en vigas, se requiere que dicha viga pueda desarrollar una articulación plástica. Esto implica que se requieran generar rotaciones mayores a las requeridas para desarrollar Mp. Las especificaciones de LRFD y ASD se basan en un factor de capacidad de rotación R (ver Fig. 3.8) de aproximadamente 3 si se usará análisis plástico en vigas. Se espera que las deformaciones unitarias requeridas para desarrollar R = 3 alcancen el rango de endurecimiento por deformación del acero, por lo que el valor de E en la Ec. (3.30) deberá ajustarse para dicho rango. Se ha propuesto que el valor de E sea reducido a E/Fy. Substituyendo este nuevo valor de E en la Ec. (3.29) se obtiene:

L p ≤ 2.721r y

E Fy2

(3.31)

El cual representa el máximo valor de Lp que puede usarse para poder usar análisis plástico en una viga sujeta a momento constante. En base a pruebas experimentales se ha propuesto el siguiente ajuste a la Ec. (3.31), considerando también la posibilidad de gradiente de momentos (ver LRFD-F13a): ⎡ ⎛M L pd ≤ ⎢0.12 + 0.76 ⎜⎜ 1 ⎢⎣ ⎝ M2

Donde

⎞⎤⎛⎜ E ⎟⎟⎥ ⎠⎥⎦⎜⎝ Fy

⎞ ⎟r y ⎟ ⎠

(3.32)

Lpd = longitud máxima entre apoyos laterales para poder usar análisis plástico. M1 = momento menor en el extremo de la longitud no apoyada. M2 = momento mayor en el extremo de la longitud no apoyada = Mp. M1/M2 es positivo si los momentos generan curvatura doble y negativa si generan curvatura simple.

3.2.6.5

Diseño por LRFD de Vigas de Sección W Lateralmente Inestables Flexionadas con Respecto a su Eje Fuerte.

Como se mencionó en el Art. 3.2.5.1, la ecuación general de diseño por flexión de vigas está dada por la siguiente expresión: φbMn ≥ Mu

Donde

(3.10)

φb = 0.90 Mu = combinación aplicable de momentos factorizados. Mn = resistencia nominal determinada en función de la categoría de la viga.

En el Art. 3.2.6.2 se hizo referencia a 4 tipos de comportamientos posibles de una viga sujeta a flexión con respecto a su eje fuerte. Dichos comportamientos representan los 4 tipos de estados límites de falla a flexión que se pueden presentar. A continuación se presentan las ecuaciones para determinar la resistencia nominal a flexión Mn para cada estado límite: 3.2.6.5.1 Desarrollo de Mp con Articulaciones Plásticas. Los perfiles en ésta categoría deben ser compactos para prevenir pandeo local del patín de compresión y el alma; es decir, que el alma y patín de compresión cumplen con λ ≤ λp. Además, la distancia entre apoyos laterales deberá cumplir con Lb ≤ Lpd. Las vigas que cumplen con estos requisitos tienen la siguiente resistencia nominal:

Mn = Mp

(3.33)

y se podrá usar análisis plástico para obtener los momentos requeridos.

3.2.6.5.2 Desarrollo de Mp sin Articulaciones Plásticas. Los perfiles en ésta categoría también deben ser compactos para prevenir pandeo local del patín de compresión y el alma solo que la distancia entre apoyos laterales deberá cumplir en este caso con Lb ≤ Lp. Las vigas que cumplen con estos requisitos tienen la misma resistencia nominal que el caso anterior [Ec. (3.33)]; sin embargo, no podrá usarse análisis plástico para obtener los momentos requeridos. En este caso los momentos requeridos se obtienen mediante análisis elástico tradicional.

3.2.6.5.3 Desarrollo de una Resistencia Nominal entre Mp y Mr (Pandeo Laterotorsional Inelástico).

En este caso no se puede desarrollar Mp debido a que se presenta ya sea pandeo local del alma y/o el patín de compresión o pandeo laterotorsional inelástico. La resistencia nominal en este caso se define dependiendo del tipo de pandeo que se presente.

(a) Secciones Compactas Sujetas a Pandeo Laterotorsional Inelástico

Como la mayoría de los perfiles laminados son compactos, o sea sus patines y almas cumplen con λ ≤ λp, el pandeo local no se presenta y la viga falla solo por pandeo laterotorsional inelástico, si la distancia entre apoyos laterales cumple con Lp ≤ Lb ≤ Lr. En este caso la resistencia nominal se define en base a una interpolación lineal entre Mp y Mr.

⎡ ⎛ Lb − L p ⎞⎤ ⎟⎥ ≤ M p M n = Cb ⎢ M p − ( M p − M r )⎜ ⎜ ⎟ L − L ⎢⎣ p ⎠⎥ ⎝ r ⎦

(3.34)

Donde Mr está dado por la Ec. (3.12b) y Lr representa la longitud máxima entre apoyos laterales requerida para que Mcr = Mr, y se obtiene al igualar la Ec. (3.12b) con la Ec. (3.22) y despejar para L. Lr =

r y X1 FL

1 + 1 + X 2 FL2

X1 =

donde

X2 =

4C w Iy

π

EGJA 2

Sx

⎛ Sx ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ GJ ⎠

(3.35) (3.36)

2

(3.37)

Los parámetros X1 y X2 no son en realidad propiedades geométricas del perfil, sino solo sirven para poder expresar de una manera compacta la Ec. (3.35). Sin embargo, para facilitar el cálculo de Lr, el Manual LRFD tabula dichos parámetros dentro de las propiedades geométricas de los perfiles (Ver Anexo A1 para los valores de Lp y Lr de perfiles W).

(b) Secciones Semicompactas Sujetas a Pandeo Laterotorsional Inelástico

Según el Art. 3.2.5.1.3 las secciones semicompactas tienen patines y almas que cumplen con λp < λ ≤ λr y la resistencia nominal está dada por la Ec. (3.13): ⎛ λ − λp M n = M p − ( M p − M r )⎜ ⎜ λr − λ p ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(3.13)

Donde λ = bf/(2tf) para patines, λ = h/tw para almas y los valores de λr y λp se dan en la Tabla 3.1. Para el estado límite de pandeo laterotorsional inelástico (Lp ≤ Lb ≤ Lr), se usa también la Ec. (3.13), solo que en este caso, es multiplicada por Cb: ⎡ M n = C b ⎢M p − ( M p − M r ⎣⎢

⎛ λ − λp )⎜ ⎜ λr − λ p ⎝

⎞⎤ ⎟⎥ ≤ M p ⎟⎥ ⎠⎦

(3.38)

Donde en este caso λ = Lb/ry, λp = Lp/ry y λr = Lr/ry. La Fig. 3.13 muestra el comportamiento de la resistencia nominal Mn en función del parámetro de esbeltez λ.

Fig. 3.13 Resistencia nominal Mn en función del parámetro de esbeltez λ para los estados límites de pandeo local del patín y/o alma y de pandeo laterotorsional.

3.2.6.5.4 Desarrollo de Mcr (Pandeo Laterotorsional Elástico)

En este caso no puede desarrollarse Mp ya que la viga exhibe pandeo laterotorsional elástico y la resistencia nominal estará dada por la Ec. (3.23). Usando los parámetros X1 y X2, la Ec. (6.32) se transforma en:

Mn =

Cb S x X 1 2 X 12 X 2 1+ Lb / ry 2( Lb / ry ) 2

(3.39)

La Ec. (3.39) puede usarse para perfiles cuyos patines y almas cumplen con λ ≤ λr (prácticamente todos los perfiles tabulados en el Manual LRFD cumplen con dicha condición) y la distancia entre apoyos laterales cumple con Lb > Lr. Obviamente, el valor de Mn calculado mediante la Ec. (3.39) no deberá exceder CbMr ni Mp. Para vigas de sección esbelta, donde ya sea los patines o almas presentan la condición λ > λr, el pandeo local elástico es un estado límite que se puede desarrollar antes de que la viga exhiba pandeo laterotorsional elástico y deberá ser investigado (ver Art. 3.2.5.2.4). La Fig. 3.14 muestra la variación de la resistencia nominal Mn en función de la distancia entre apoyos laterales Lb. En la Fig. 3.15 se muestra la misma variación, pero afectada por el factor Cb.

Fig. 3.14 Resistencia nominal de secciones compactas en función de la distancia entre apoyos laterales

Ec. 3.34

Fig. 3.15 Resistencia nominal de secciones compactas en función del parámetro Cb