2. Vorlesung: Boolesche Algebra • Wiederholung – Codierung, Decodierung

• Boolesche Algebra – UND-, ODER-Verknüpfung, Negation – Boolesche Postulate – Boolesche Gesetze

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Wiederholung

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Bits und Bitfolgen • Bit: Maßeinheit der Information • 1 Bit ist die Informationsmenge einer Entscheidungsfrage mit zwei Möglichkeiten • Bsp. groß oder klein; wahr oder falsch • zur formalen Darstellung der Antwort genügen zwei Zeichen (Bsp. 0/1) 3

Beantwortung komplexerer Fragen • Welcher Buchstabe wurde geschrieben? • Alphabet: A, B, C, D, E, F, G, H • Welche und wie viele Fragen werden benötigt um zu entscheiden welcher Buchstabe geschrieben wurde?

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Entscheidungsbaum

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Codierung und Decodierung • Zeichenvorrat: endliche Menge von unterscheidbaren Dingen • Zeichen: ein Element des Zeichenvorrats • Code: Vorschrift für die eindeutige Zuordnung der Zeichen eines Zeichenvorrats zu denjenigen eines anderen Zeichenvorrats 6

Binäre Codierung • Für die maschinelle Verarbeitung ist eine binäre Codierung sehr gut geeignet. • Als Alphabet werden häufig die Zeichen {0,1} verwendet. • Information wird als Folge von Bits dargestellt. 7

Präfixfreie Codes • Eine Zeichenkette Z heißt Präfix der Zeichenkette W genau dann, wenn die Länge von Z kleiner als die von W und der Anfang von W (von links) mit Z identisch ist. • Eine Codierung C ist präfixfrei, wenn kein Codewort aus C Präfix eines anderen Codeworts aus C ist. 8

Beispiel I • • • • • • • •

A 110 B 101 E 10 R 11 präfixfreier Code? Decodierung: 101110 ERE BA keine eindeutige Decodierung möglich 9

Beispiel II • • • • • • •

A 010 B 011 E 101 R 11 präfixfreier Code? Decodierung: 10111011 ERB eine eindeutige Decodierung ist möglich 10

Präfixfreie Codes Codewörter und Sequenzen von Codewörtern eines präfixfreien Codes können eindeutig decodiert werden.

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Darstellung von Information • • • •

Text Wahrheitswerte Graphik und Audio ganze Zahlen

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Darstellung von Text • Zur Darstellung von Texten werden alphanumerische Zeichen und Satzzeichen mit Bitfolgen codiert. • Gebräuchlichste Codierung: 7 Bit ASCII (American Standard Code for Information Interchange) • erweiterter ASCII-Code: 8 Bit (einige sprachspezifische Symbole) • UNICODE: 16 Bit (lebende Sprachen) • UCS (Universal Character Set): 32 Bit (alle Sprachen) 13

Darstellung von Wahrheitswerten • Aussagen der Aussagelogik können den Wert wahr oder falsch annehmen. • Die Wahrheitswerte lassen sich durch die logischen Operatoren UND und ODER miteinander verknüpfen. • wahr UND falsch = falsch • wahr ODER falsch = wahr 14

Darstellung von Graphik und Audio • Graphiken werden durch Folgen von Rasterpunkten codiert. • Audiosignale werden durch Folgen von Abtastwerten codiert. • Die einzelnen Rasterpunkte bzw. Abtastwerte werden durch quantisierte Zahlenwerte dargestellt. 15

Darstellung von ganzen Zahlen I • Dezimalsystem: 0,…,9 • Zur binären Darstellung der 10 Ziffern werden 4 Bits benötigt. • Mit 4 Bits können 16 Ziffern codiert werden. • Für die weiteren 6 Ziffern werden die Zeichen A,…,F eingeführt und der Hexadezimalcode definiert. 16

Darstellung von ganzen Zahlen II N

Z = ∑ xiY i , i =0

wobei Y die Basis des Zahlensystems bezeichnet, i stellt die Stelle der Ziffern dar und xi den Wert der i-ten Ziffer. Bsp.: 10112 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 1110 In der Digitaltechnik spielt die Dualzahldarstellung eine herausragende Rolle. 17

Boolesche Algebra

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Boolesche Algebra • Die Theorie zur Booleschen Algebra wurde 1854 von dem Mathematiker George Boole entwickelt. • Die Anwendung der Booleschen Algebra für digitale Schaltungen wurde um 1940 von Claude E. Shannon eingeführt. 19

Boolesche Menge • Eine Boolesche Menge besteht aus zwei unterscheidbaren Elementen. • „0“ und „1“ werden in der Schaltalgebra verwendet. • „F(alse)“ und „T(rue)“ werden zur Beschreibung logischer Verknüpfungen verwendet. • „L(ow)“ und „H(igh)“ werden zur Beschreibung elektrischer Verknüpfungen verwendet. 20

UND-Verknüpfung • „Wenn morgen schönes Wetter ist und mein Bruder Zeit hat, gehen wir segeln.“ • Aussage A „schönes Wetter“ und Aussage B „mein Bruder Zeit hat“ müssen zutreffen, damit die Aussage X „segeln gehen“ wahr wird. • Binäre Operation

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ODER-Verknüpfung • „Wenn ich eine Erbschaft mache oder im Lotto gewinne, mache ich eine Weltreise.“ • Wenn Aussage A „Erbschaft“ oder Aussage B „Lottogewinn“ zutrifft, oder beide Aussagen zutrefffen, wird Aussage X „Weltreise machen“ wahr. • Binäre Operation 22

Negation • „Wenn meine Schwiegermutter zu Besuch kommt, gehe ich heute Abend nicht ins Theater.“ • Wenn die Aussage A „Schwiegermutter kommt zu Besuch“ wahr ist, kann die Aussage X „Theaterbesuch“ nicht wahr sein. • Unäre Operation

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Schließer und Öffner X = 0: Schalter offen X = 1: Schalter geschlossen Schließer

X = 0: Schalter geschlossen X = 1: Schalter offen Öffner

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UND-Verknüpfung

X1 0 0 1

X2 0 1 0

X1 ∧ X 2 0 0 0

1

1

1

UND: ∧, • 25

Schaltzeichen: UND

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ODER-Verknüpfung

X1 0 0 1

X2 0 1 0

X1 ∨ X 2 0 1 1

1

1

1

ODER: ∨, + 27

Schaltzeichen: ODER

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Negation

X

X

0 1

1 0

Negation: ¬X, X, !X 29

Schaltzeichen: Negation

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Digitalsimulator

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Boolesche Postulate Menge A mit den Elementen 0 und 1 und den Operationen UND, ODER und Negation.

P1 a=0 oder a=1 P2 0 ∧ 0=0 P3 1 ∧ 1=1 P4 0∨0 = 0

P5 1∨ 1 = 1 P6 1 ∧ 0 = 0, 0 ∧ 1 = 0 P7 1 ∨ 0=1, 0 ∨ 1=1 ¬1=0, ¬0=1 P8 32

NULL-Gesetze

X ∧0 = 0

X ∨0= X 33

EINS-Gesetze

X ∧1 = X

X ∨1 = 1 34

Doppelte Negierung

X = (X ) = X

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Idempotenzgesetze (Identitätsgesetze)

X∧X = X

X∨X = X 36

Komplementgesetze X∧X = 0

X∨X = 1 37

Kommutativgesetze X1 ∧ X 2 = X 2 ∧ X1 X1 ∨ X 2 = X 2 ∨ X1

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Assoziativgesetze ( X1 ∧ X 2 ) ∧ X 3 =

X1 ∧ ( X 2 ∧ X 3 )

( X1 ∨ X 2 ) ∨ X 3 =

X1 ∨ ( X 2 ∨ X 3 )

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Distributivgesetze X1 ∧ ( X 2 ∨ X 3 ) = ( X1 ∧ X 2 ) ∨ ( X1 ∧ X 3 ) 1. Distributivgesetz

X1 ∨ ( X 2 ∧ X 3 ) = ( X1 ∨ X 2 ) ∧ ( X1 ∨ X 3 ) 2. Distributivgesetz 40

1. Distributivgesetz Der Ausdruck X 1 ∧ ( X 2 ∨ X 3 ) ist genau dann wahr, wenn X1 wahr ist und zugleich X2 oder X3 wahr ist.

Der Ausdruck ( X1 ∧ X 2 ) ∨ ( X 1 ∧ X 3 ) ist genau dann wahr, wenn einer der beiden Klammerausdrücke wahr ist. Entweder muss X1 und X2 wahr sein oder es muss X1 und X3 wahr sein. X1 muss also auf jeden Fall wahr sein und zugleich muss X2 oder X3 wahr sein. 41

1. Distributivgesetz

Bitte notieren! 42

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Boolesche Gesetze und Boolesche Funktionen

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