Ein physikalisches Pendel besteht aus einem starren Körper, der um eine Achse drehbar gelagert ist.
A
LS
φ S
z
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G
6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-1
2. Physikalisches Pendel 2.1 Bewegungsgleichung 2.2 Kleine Ausschläge 2.3 Große Ausschläge
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6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-2
2.1 Bewegungsgleichung ●
Drallsatz bezüglich des ortsfesten Bezugspunktes A: ¨ M A =−G L S sin =−mg L S sin J A = mg L S ¨ sin =0 JA
A
LS
φ S
z
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6. Schwingungen
G
Dynamik 2 6.2-3
2.1 Bewegungsgleichung ●
Reduzierte Pendellänge: –
Die Länge
JA Lr = m LS
wird als reduzierte Pendellänge bezeichnet. –
Ein Fadenpendel mit der Länge Lr hat die gleiche Bewegungsgleichung und damit das gleiche Schwingungsverhalten wie das physikalische Pendel.
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6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-4
2.1 Bewegungsgleichung –
Mit J A =J S L2S m
–
folgt für die reduzierte Pendellänge: J S L2S m Lr = m LS JS = L S m LS
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Mit dem Trägheitsradius JS i = m wird daraus 2 S
i 2S Lr =L S LS
6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-5
2.1 Bewegungsgleichung –
Physikalisches Pendel:
A
LS
φ S
–
Fadenpendel:
A
i 2S Lr =L S LS
Lr
φ
m, JA
m z
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g ¨ sin =0 Lr
6. Schwingungen
z
Dynamik 2 6.2-6
2.2 Kleine Ausschläge ●
Linearisierung: sin≈
–
Für kleine Winkel φ gilt:
–
Damit lautet die Bewegungsgleichung g ¨ =0 Lr
–
Die Lösung der Schwingungsgleichung ist t =0 sint
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6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-7
2.2 Kleine Ausschläge ●
Schwingungskennwerte: g Lr
–
Kreisfrequenz:
=
–
Frequenz:
f=
1 g = 2 2 Lr
Schwingungsdauer:
Lr 1 T = =2 f g
–
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6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-8
2.2 Kleine Ausschläge ●
Anfangsbedingungen: –
Die Amplitude φ0 und die Phase α werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt: 0=0 sin ˙ 0= 0 cos
tan =
0 ˙ 0
0 = 2 0
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6. Schwingungen
1 2 ˙ 0 2
Dynamik 2 6.2-9
2.2 Kleine Ausschläge ●
Bestimmung des Massenträgheitsmoments: –
Das Massenträgheitsmoment eines Körpers kann durch einen Pendelversuch bestimmt werden, bei dem die Schwingungsdauer gemessen wird.
–
Zunächst berechnet sich die reduzierte Pendellänge zu gT2 Lr = 2 4
–
Damit folgt für das Massenträgheitsmoment JA bezüglich des Aufhängepunktes m LS g T 2 J A =m L S Lr = 4 2
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6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-10
2.2 Kleine Ausschläge –
Für das Massenträgheitsmoment JS bezüglich des Schwerpunktes gilt J S =J A −m L2S =m L S
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6. Schwingungen
2
gT −L S 2 4
Dynamik 2 6.2-11
2.2 Kleine Ausschläge ●
Minimale Schwingungsdauer: –
In welchem Abstand vom Schwerpunkt muss ein starrer Körper aufgehängt werden, damit seine Schwingungsdauer minimal wird?
–
Aus
Lr T =2 g
folgt, dass die Schwingungsdauer minimal wird, wenn die reduzierte Pendellänge minimal wird.
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6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-12
2.2 Kleine Ausschläge –
Die reduzierte Pendellänge hat ein Minimum für 2 2 dLr i i d = LS S =1− S2 =0 dLS dLS LS LS
–
Die Schwingungsdauer wird also minimal für L S =i S , d.h. wenn der Abstand des Aufhängepunktes vom Schwerpunkt gleich dem Trägheitsradius ist.
–
Die minimale reduzierte Pendellänge ist L rmin =2i S .
–
2 iS Die minimale Schwingungsdauer ist T min =2 . g
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6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-13
2.3 Große Ausschläge ●
Für große Winkel φ kann die Gleichung mg L S ¨ sin =0 JA nicht linearisiert werden.
●
Die Lösung dieser Differentialgleichung führt auf ein elliptisches Integral, das nicht in geschlossener Form integriert werden kann.
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6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-14
2.3 Große Ausschläge ●
Phasendiagramm: –
Das Phasendiagramm zeigt die Winkelgeschwindigkeit ˙ in Abhängigkeit vom Winkel .
–
Diese Abhängigkeit lässt sich aus dem Energieerhaltungssatz ermitteln, ohne dass die Differentialgleichung gelöst werden muss.
–
Für die kinetische Energie des Pendels gilt: 1 1 1 E kin = J A ˙ 2= m i 2S L2S ˙ 2= m i 2A ˙ 2 2 2 2 Für die potenzielle Energie bezüglich des Aufhängepunktes gilt: E pot =−mg L S cos
–
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6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-15
2.3 Große Ausschläge –
Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein: E0 1 1 ˙ 2−2 g LS cos =E 0 =± m i 2A ˙ 2 g L S cos 2 iA m
–
–
–
Je nach Wert der Anfangsenergie E0 ergeben sich unterschiedliche Kurven. E0 E0 Nullstellen: cos0 =− g LS cos 0 =0 mg L S m Nullstellen existieren für E0 −1≤ 1 −mg L S ≤E 0 ≤mg L S mg L S
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6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-16
2.3 Große Ausschläge – – – – – –
–
Für E 0 =−mg L S wird cos 0 =1 . Die zugehörigen Winkel sind 0 =2 n . Das Pendel bleibt in Ruhe. Für E 0 =mg L S wird cos 0 =−1 . Die zugehörigen Winkel sind 0 =2 n−1 . Diese Winkel entsprechen der instabilen oberen Gleichgewichtslage. Für E 0 mg L S rotiert das Pendel.
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6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-17
2.3 Große Ausschläge
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6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-18
2.3 Große Ausschläge Separatrix
Wirbelpunkt
Sattelpunkt
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6. Schwingungen
Dynamik 2 6.2-19
2.3 Große Ausschläge –
In den Wirbelpunkten hat die potenzielle Energie ein Minimum. In der Umgebung der Wirbelpunkte schwingt das Pendel.
–
In den Sattelpunkten hat die potenzielle Energie ein Maximum.
–
Die Sattelpunkte werden erst nach unendlich langer Zeit erreicht.
–
Die Separatrix trennt die Schwingungskurven von den Rotationskurven.
