Geometrie Modul 4b

WS 2015/16

Mi 10-12 HS 1

Benötigte Materialien: Geometrieheft – DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere • •

28.10. V1 04.11. V2

Geometrische Grundbegriffe Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien

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11.11. V3

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18.11. V4

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25.11. V5 02.12. V6 09.12. V7

Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze, Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke, Haus der Vierecke, Symmetrien) Rechtwinklige Dreiecke (Flächensätze, Ähnlichkeit) Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis) Kreis (Geraden, Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze)

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16.12. V8 13.01. V9

Kongruenzabbildungen - Symmetrie Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen

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20.01. V10

Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische Körper, Kugel)

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27.01. V11

Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern, Rauminhalt und Oberfläche der Kugel)

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03.02. V12

Zusammenfassung

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12.02. (Freitag)

14-16 Uhr, Klausur (HS 1, HS 2) 1

V6 Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck • 1 Rechtwinklige Dreiecke • 2 Rechtwinklige Dreiecke lassen sich in ähnliche Dreiecke zerlegen. • 3 In ähnlichen Dreiecken lassen sich Proportionen zwischen den Seitenlängen finden. • 4 Mit Hilfe dieser Proportionen lassen sich die Flächensätze ableiten: Kathetensatz, Höhensatz, Satz des Pythagoras. Quellen: Scheid/Schwarz: Elemente der Geometrie. Krauter: Erlebnis Elementargeometrie. Beutelspacher/Wagner: Wie man durch eine Postkarte steigt. 2

1 Rechtwinklige Dreiecke

Jedes Dreieck im Halbkreis ist ein rechtwinkliges Dreieck. (Bestimmungslinie Halbkreis; Satz des Thales) 3

Begriffe und Zusammenhänge am rechtwinkligen Dreieck

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2 Rechtwinklige Dreiecke lassen sich in ähnliche Dreiecke zerlegen

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• Rechtwinklige Dreiecke lassen sich (entlang der Höhe) in zwei zueinander ähnliche Dreiecke zerlegen. • Diese sind auch zum Ausgangsdreieck ähnlich.

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• Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn gleichliegende Winkel und die Längenverhältnisse entsprechender Seiten gleich groß sind.

• Zueinander ähnliche Dreiecke können stets in eine sogenannte Ähnlichkeitslage gebracht werden. Diese macht die paarweise Parallelität der Seiten deutlich.

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∆ ABC ~ ∆ A‘B‘C‘ • Die Ähnlichkeitslage verdeutlicht: – α = α’ – β = β’ (Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen) – γ = γ’ (Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen)

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Ähnliche Dreiecke Übereinstimmung in zwei Winkeln

Übereinstimmung in einem Winkel und dem Verhältnis der anliegenden Seiten

Übereinstimmung in zwei entsprechenden Seitenverhältnissen

Übereinstimmung im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite 9

3 In ähnlichen Dreiecken lassen sich Proportionen zwischen den Seitenlängen finden.

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• Die Höhe zerlegt rechtwinklige Dreiecke in Teildreiecke, die zueinander und zum Ausgangsdreieck ähnlich sind. • In ähnlichen Dreiecken lassen sich Proportionen zwischen den Seitenlängen finden. • Diese führen uns zu den Flächensätzen am Dreieck. 11

• So gelten bei Beachtung der Beziehungen zwischen den Seitenlängen des Ausgangsdreiecks und der Teildreiecke folgende Proportionen: • c : b = b : q, c : a = a : p und q:h=h:p • Bildet man jeweils das Produkt der Innen- und Außenglieder, erhält man: • b2 = c · q, a2 = c · p und • h2 = p · q

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4 Mit Hilfe dieser Proportionen lassen sich die Flächensätze ableiten

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b2 = c · q, a2 = c · p

• Die geometrische Interpretation dieser Gleichungen führt zum Kathetensatz (Satz des Euklid) und zum Höhensatz.

h2 = p · q 14

• Denkt man sich die Zeichnungen zum Satz des Euklid so übereinandergelegt, dass die großen rechtwinkligen Dreiecke aufeinander fallen, so ergänzen sich die zugehörigen Rechtecke offenbar zum Quadrat der Seitenlänge c. • Man kann vermuten, dass die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate eines rechtwinkligen Dreiecks dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hyptonenuse entspricht.

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a2 = c · p und b2 = c · q a 2 + b2 = c · p + c · q a2 + b2 = c · (p + q) a 2 + b2 = c · c a 2 + b2 = c 2

• Bildet man die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate und vergleicht diese mit dem Flächeninalt des Hypothenusenquadrats, bestätigt sich die ausgesprochene Vermutung.

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Altindischer Ergänzungsbeweis

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• Wenn für ein ∆ ABC gilt: a2 + b2 = c2, so ist es rechtwinklig und die Seite c ist seine Hypotenuse. • Diese Erkenntnis machten sich die Ägypter schon 2000 v.u. Z. zu Nutze, um z. B. für ihre Bauwerke rechte Winkel zu erzeugen. • Es wurde z. B. festgestellt, dass die natürlichen Zahlen 3, 4, 5 die pythagoreische Gleichung erfüllen: 32 + 4 2 = 5 2 • Es gibt unendlich viele pythagoreische Zahlentripel. Einige Beispiele: (5; 12; 13), (7; 24; 25), (15; 8; 17), (9; 40; 41) 28

• Die ägyptischen Seilspanner knüpften in ein Seil in gleichem Abstand voneinander 13 Knoten, sodass 12 gleichlange Strecken entstanden. Dieses Seil spannten sie zwischen dem 1., dem 4., dem 8. und dem letzten Knoten. Beim 4. Knoten entstand auf diese Weise ein rechter Winkel. 29

eine typische Anwendungsaufgabe für den Satz des Pythagoras 30

Aufgabe zur Übung, Woche vom 30.11.-04.12.15

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• Fazit …

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