Corporación Universitaria Minuto de Dios Sede Sur
GUIA DE CATEDRA Matemática Empresarial Guía N.3
F. Elaboración 09 abril /11 F. 1° Revisión 09/04/11
Plan de Estudios: Semestre 1 Intensidad horaria semanal: 3 Hrs T
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Área: Matemática 1 Hrs P Total horas: 6
de 8
Nº Créditos: Tema: Desigualdades
1.
OBJETIVO • Apropiar los conceptos de desigualdades y establecer la importancia de esta en la solución de problemas • Aplicar los conceptos de desigualdades en la solución de problemas. 2.
CONTENIDO desigualdades lineales y cuadráticas,
3.
MARCO TEORICO
DESIGUALDADES
DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO:
Si a, b son números reales decimos que a “es menor que” b y se representa a < b . Similarmente, decimos que a “es mayor que b” y se representa a > b cuando b < a. La relación a < b significa que a < b ó a = b; y a > b significa que a > b ó a = b. Vemos por lo tanto que un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo si y sólo sí es menor que 0. Nota Los axiomas se llaman de orden porque si consideramos la relación menor o igual en base a la definición anterior se obtiene una relación que cumple las condiciones de relación de orden. Incluso es un orden total. De manera análoga como se vio después de los primeros seis axiomas, de aquí se pueden desprender todas las propiedades de desigualdades y de orden de los números reales. Resumimos las principales en el siguiente teorema. Teorema Propiedades básicas de desigualdades. Si a, b y c son números reales entonces:
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i) Ley de tricotomía. Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: a < b, a > b , a = b ii) Propiedad aditiva: a < b => a + c < b + c iii) Primera propiedad multiplicativa: a < b, c > 0 ⇒ ac < bc iv) Segunda propiedad multiplicativa: a < b, c < 0 ⇒ ac > bc v) a ≠ 0 ⇒ a2 > 0 vi) 1 > 0 vii) a < b ⇒ -b > -a viii) a < 0 ⇒ -a > 0 ix) ab > 0 ⇒ ambos son positivos ó ambos son negativos x) ab < 0 ⇒ un número es positivo y el otro negativo xi) a > 0 ⇒ 1/a >0 xii) a < b, c < d ⇒ => a+c < b+d Como ejemplo se demostrara la propiedad (ii). Ejemplo Demuestre la propiedad (ii) del teorema Demostración: a < b => b-a > 0 por definición de < pero b-a = b-a + 0 axioma 5 = b-a + c+(-c) axioma 6 = b+(-a) + c + (-c) definición de resta = b + c + (-a)+(-c) axioma 2 = b +c - (a + c) inverso aditivo de una suma, directo utilizando la definición de resta => a + c < b + c Desigualdades.
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Así como usamos los primeros seis axiomas para resolver ecuaciones, de forma análoga podremos usar los axiomas de orden para desigualdades. Como ya hemos insistido un buen comienzo para entender un tema es conocer los conceptos con los que trabajamos, así que empezaremos por establecer el concepto de desigualdad. Si una proposición numérica abierta con una variable se puede expresar utilizando alguno de los cuatro símbolos siguientes , < ó >; le llamamos desigualdad abierta o simplemente desigualdad. Y resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de valores para la cual la proposición resulta verdadera.
Notación de desigualdades:
Desigualdad Notación de Intervalo Notación de Conjuntos a-1 x>-1/5 En notación de intervalos el conjunto que satisface la desigualdad esta dado por: (-1/5, ∞)
Desigualdades Cuadráticas Una desigualdad se llama cuadrática si tiene alguna de las formas siguientes:
con
.
Antes de indicar como se resuelven estas desigualdades, recordamos que las soluciones de la ecuación cuadrática
Además, fácilmente se verifica que
donde
y
son
satisfacen las siguientes relaciones
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La última fórmula nos proporciona un método para factorizar cualquier trinomio de la forma en todos los casos posibles. Veamos ahora como se resuelven las desigualdades cuadráticas. Una primera simplificación que podemos hacer es suponer que
, pues en caso contrario, multiplicando la desigualdad por
transforma en otra desigualdad cuadrática con
, esta se
.
Se presentan dos casos Caso 1 Si
.
En este caso la ecuación cuadrática trinomio Caso 2 Si
en la forma
tiene raíces reales
y
, podemos factorizar el
,
.
En este caso las raíces de la ecuación
no son reales, sino complejas, y la factorización
no sirve para resolver la desigualdad. Para resolver la desigualdad en este caso procedemos de la siguiente forma: Completando el cuadrado tenemos
Por lo tanto las desigualdades cuadráticas se transforman en su orden en
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Como estamos suponiendo que y sabemos que , las dos primeras desigualdades son válidas para todo número real y las dos últimas para ninguno. Ejemplo 1 Resolvamos la desigualdad . En este caso
. Por lo tanto la ecuación tiene raíces reales que son
Luego la factorización de
es
y la desigualdad original es equivalente a
Elaborando el diagrama de signos tenemos
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Vemos que la solución de la desigualdad es el intervalo Ejemplo 2. Resolvamos la desigualdad
.
En este caso tenemos que
. Por lo tanto la ecuación
no tiene raíces reales y de acuerdo a la teoría desarrollada, el conjunto solución de la desigualdad
es todo
.
Ejemplo 3 Resolvamos la desigualdad
.
La desigualdad es equivalente a
.
Para esta última desigualdad tenemos que tanto la ecuación
. Por lo
no tiene raíces reales y de acuerdo a la teoría desarrollada,
el conjunto solución de la desigualdad
es
. Es decir, la desigualdad original
y
, las desigualdades
no tiene tien soluciones reales. Para terminar esta sección, recalcamos que cuando cuadráticas, o tienen como conjunto solución todo
, o no tienen soluciones reales.
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EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver las siguientes desigualdades, indicar la solución en intervalo y gráficamente en la recta real:
