standen sein kann. Begründe deine Entscheidung. Gib gegebenenfalls den Streckfaktor an und zeichne das Streckzentrum ein. a) b) c)
Korrigendum Lambacher Schweizer 9/10, 1. Auflage 2011 Klett und Balmer Verlag, Baar. April 2014.
Seite 26, Aufgabe 4
d) Zeichne selbst Figuren wie in a) bis c) und lass sie von deinem Nachbar untersuchen.
4 a)
Tipp: Suche dir Punkte auf dem Kreis, die du zur Bestimmung heranziehen kannst
Bestimme das Streckzentrum und den Streckfaktor der zentrischen Streckung. b) c)
Lösung: u u a) cos (a) = _ r + s = _ ur , tan (c) = _ t = _ hs s_ b) t = cos (c) (Dreieck DBC),
u
_ hr = tan (a) (Dreieck ABD), Die Figuren werden durch eine zent _ ht = sin (c) (Dreieck DBC), rische Streckung mit dem angegebenen
5
Seite 35, Aufgabe 14Streckfaktor k auf eine Bildfigur abge
_ r + s = cos (a) = sin (c)
bildet. Bestimme die Flächeninhalte von Aufgaben
B
26
1 cm
A Original und Bildfigur. 14 Der Sekanten und der SekantenTan gentenSatz 1 Bestimme für das rechtwinklige Dreieck in Fig. 1 mithilfe des Taschenrechners die
c
a
C
(Dreieck ABC)
t _ a) = sin (a) = cos (c) b) (Dreieck ABC) r + s k=3 k = 0.5 t_ u = tan (a) (Dreieck ABC)
b
A
Fig. 1
a) Beweise den Sekantensatz: Schneiden Grösse der Winkel a und b. B t Sekanten durch S einen Kreis (Fig. 1), dann a) a = 3 cm; c = 8 cm b) b = 5 cm; c = 10 cm c) a = 15 cm; b = 12 cm 9 Welche der Angaben zu Fig. 1 gehören zusammen? Ordne zu und schreibe mit Gleich sind die Produkte der Streckenlängen von M S a b a heitszeichen. S zu den jeweiligen Kreispunkten konstant: _ 2 Bestimme für das Dreieck in Fig. 1 den Wert der Seitenverhältnisse c , _ c und _ b . __ __ __ __ D SB SA = SD · SC Cc) a = 25° a) · a = 45° b) b = 40° d) b = 65° b) Beweise den Tangentensatz: Ist zusätz Fig. 1 lich t die Länge einer Tangente von S an 3 Ergänze die fehlenden Seitenverhältnisse. 2 den Kreis, dann ist dieses Produkt gleich t . a) tan (a) = _ º b) tan (d) = _ º º º
º Vermischte cos (b) = _ Aufgaben º
tan (c) = _ º º
_ Seite 74, Aufgabe 415 cos (d) = _ º sin (b) = º º º Zwei Kreise mit den Radien 2.9 cm und 5 cm haben einen Mittelpunktabstand von Fig. 1
10 cm. Konstruiere alle Geraden, die aus dem ersten Kreis Sehnen von 4.2 cm und gleich 10 zeitig aus dem zweiten Kreis Sehnen von 6 cm herausschneiden. 4 Wahr oder falsch? Ergänze die fehlenden Angaben. Wenn man in einem rechtwinkligen Dreieck mit c = 90° q w a) _ den Winkel a verdoppelt, so verdoppelt sich auch tan (a), = tan (º) b) _ r = cos (º) v a) 16 Berechne die Seiten des Dreiecks ABC aus a + b + c = 25 cm und daraus, dass die Win p b) die Hypotenuse halbiert und die Ankathete von a beibehält, so verdoppelt sich cos (a), kelhalbierende von c die Seite c in einen Abschnitt der Länge 5.1 cm bei A und 3.4 cm bei _ º = sin (º) _uv = º (v) c) die Ankathete von a halbiert und die Gegenkathete von a verdoppelt, so vervierfacht B teilt. v _ º _ sich tan (a), w = tan (º) q = tan (º) d) den Winkel a vergrössert und die Hypotenuse beibehält, so vergrössert sich cos (a), 17 Konstruiere ein Dreieck ABC mit a : b = 2 : 3, b = 100° und c = 7 cm. e) 5 den Winkel a verkleinert und die Hypotenuse beibehält, so verkleinert sich tan (a). Berechne die fehlenden Seitenlängen. 18 a) Übertrage Fig. 2 ins Heft und konstru b) c) 11 Zeichne ohne Berechnung der Winkel ein Dreieck ABC mit c = 90°, a = 4.8 cm und iere alle Kreise, die durch A und B gehen b Seite 75, Aufgabe 12 2.5 dm r x 8.6 km 7.2 cm a) tan (a) = 1.2; b) sin (a) = 0.6; c) cos (b) = 0.8; d) tan (b) = 1.5. und g berühren. (Hinweis: Zeige, dass die 56° 36° g Tangenten von P an alle Kreise durch A y c 13.2 km 2 _ 12 a) Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit cos (a) = . und B gleich lang sind.) 7 Begründe, dass die gefundenen Berüh b) Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit tan (a) = 1.5. 6 Berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelgrössen. rungspunkte diejenigen Punkte Q auf der c) Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit sin (b) = 0.9. A B a) b) c) 15 251 m 17.3 cm P oberen bzw. der unteren Halbgeraden von s 17.3 km r 23° x g sind, von denen man AB jeweils unter 13 Ein Mountainbiker überwindet auf einer Fahrstrecke von 500 m einen Höhenunter 37° p y den grössten Winkeln sieht. schied von 89 m. Berechne den Steigungswinkel a und die Steigung in Prozent (Fig. 2). Fig. 2 35.2 km
Die Stei Strasse hältnis d
trahiert wird. 2 2 2 2 2 2 a2 = b2Gleichungen + c2 – 2 b c ·vom cos (a), Lineare Typ abx =+ ab =+cc – 2 a c · cos (b), c = a + b – 2 a b · cos (c) y haben immer dann genau eine Lösung, y = ax + b 2 2 2 Im Sonderfall c = a + b wenn a87, ≠ 0Beispiel ist.c = 90° Rechnerisch bedeutet dies, Seite 1 geht die letzte Gleichung über in: 4 . Man nennt deshalb den Kosinussatz auch den «verallgemeinerten Satz des Pythagoras». dass der letzte Schritt, nämlich die Division Aufgaben 3 durch a, ausführbar ist. Zeichnerisch beMithilfe des Sinus und des Kosinussatzes lassen sich fehlende Seiten und Winkel eines deutet dies, dass die zugehörige 1Beispiel Gib die Steigung m und den Gerade y-Achsenabschnitt b an. b beliebigen Dreiecks berechnen, wenn drei Stücke gegeben sind. ga) (x) = a x + b eine von null verschiedene f (x) = 0.5 x + 3 b) f (x) = 2 x – 1 c) f (x) = x d) f (x)y == b1 Löse. a) I: 4 x – 5 y = 13 b) I: 2 x + 3 y = 4 Mit dem Kosinussatz ergeben sich im Unterschied zum Sinussatz die Winkel eindeutig, denn 1 1 und deshalbII: Steigung hat jeden beliebigen 4 x + 5 y = 3 II: 3 x + 4 y = 5 _ e) f (x) = 2 x – 1 f) f (x) = 2 x – (1 – x) g) f (x) = 2 x – (3 + 2 x) h) f (x) = – 4 + _31 x x bei einem sich ergebenden positiven (negativen) Kosinuswert ist der Winkel spitz (stumpf). 4 Funktionswert c annehmen kann. Lösung: – 4 – 3 –2 – 1 O 1 2 3 4 Beispiel 1 a = 0 ist,von Wenn aber dann hat die zugehöa) Die Koeffizienten y sind 5 und –5; addiert man 5 y und –5 y, man null. – 1so erhält 2Von einem Dreieck ABC sind Zeichne den Graphen der linearen Funktion. Liegt eine Proportionalität vor? b = 4 cm; c = 7 cm; a = 64° 3 gegeben. Bestimme a, b und c. rige Gerade Gleichungen g (x) = b für alle x-Werte nur Addiere und a) f: x ¥ die 1.5 x + 1 b)I g: x ¥II.x – 2 c) h: x ¥ _4 x – 1 – 2 d) k: x ¥ 0 Lösung: einen einzigen Funktionswert, nämlich b I: 4 x – 5 y = 13 e) m:1).x Die ¥ –Gerade 1.8 x hat die f) n:Steigung x ¥ 1 + null 2.5 x g)II: p: x4 x¥+–5xy = 3 – 3 h) q: x ¥ – 3.5 – _21 x Nach dem Kongruenzsatz sws ist das Lösungsdreieck eindeutig. (Fig. 2 2 2 2 2 2 a = b + c – 2 b c · cos (a) = 16 cm + 49 cm und verläuft parallel zur x-Achse. Die Glei- – 56 cm I + II: · cos 64° 8 x = 16 – 4 ´ a ≈ 6.4 cm !:8 sin (b) b sin (a) 4 cm sin (64°) 3 Zeichne den Graphen der Funktion b chung 0 · hat sin (b) = keine Lösung, __ sin (a) x + b = c ´ _ = ´ b ≈ 34.2° _a = _ x = 2 a f: x ¥ 1.5 xc– ist. 3 und gib eine g an, 6.4 cm wenn Für II) b =durch c istFunktion Wert Ersetzeb x≠ in Ib’ = 180° – b ≈ 145.8° (oder 2.jederist wegen der Winkelsumme im Dreieck keine Lösung.) 4 · 2 – 5 · y = 13 !–8 (Der Winkel deren Graph zum der Graphen von f parallel ist Fig. 1 für x eine Lösung Gleichung. –5 · y = 5 ! : (–5) SE84734781_G_K02_053_01.eps a + b + c = 180° ´ –2 c = 180° – (a + b) = 180° – (64° + 34.2°) ´ c ≈ 81.8° und die y-Achse bei schneidet. y = –1 Beispiel 1 Das Gleichungssystem hat die Lösung (2 ! –1). 4b) Multipliziert Gib jeweils die zuI mit dendie Bestimme rechnerisch und grafisch manGleichung Gleichung 3Geraund Gleichung II mit –2, dann grafisch b ergebeny 6 x und –6 x den (Fig. 1) der Zuordnung x ¥ y an, 3 Nullstellen der Funktionen bei der anschliessenden Addition null mit und die Variable x kommt in der neuen Gleichung a 1109, der sich der y-Wert berechnen lässt. Seite Aufgabe 5 _ a: x ¥mehr nicht vor. und b: x ¥ – 2 x – 1. 2 3 x + 1.4 Fig. 1 Lösung: I: 2 x + 3 y = 4 ! ·3 1 1 und der Punkt Q _ 5 Der Punkt P liegt auf der Geraden g mit der Gleichung g (x) = x + 1 rechnerisch: II: 3 x + 4 y 1= 5 2 ! · (–2) 1 x 1 _ x + 1.4g= liegt der Geraden g2 (x) I: = –6_23x x ++ 98.y =Der zu a: auf 0 der| –Gleichung 1.4 Man erhält: 12 Punkt R O(5 | 2) liegt auf 2 mit 3 3 –2 –verbindet. 1 1 Bestim2 3 – 6–6–x5Q 1 der horizontalen Geraden – –miteinander 84y =– –10 _ x = – g 3 , welche 1.4 | : _31 die Punkte PII:und –1 3 me den Abstand zwischen den II. Punkten P undI Q. Addiere die Gleichungen und + II: y=2 x = –I 4.2 Ersetze y in I (oder II) durch 2. 2x + 3·2 = 4 ! ––26 Durch man: Gerade Die ist beiAxbis = –4.2. 6 Nullstelle In vier Gefässe D fliesst Öl. Hierbei lässt sichAblesen jeweils die h (in cm) ina 2 x = erhält –2 Füllhöhe ! : 2 Die SE84734781_G_K02_053_02.eps schneidet die bei x ≈ – 4.3, zu b: – 2 xder – 1Zeit = 0 t (in s) | +mit 1 einer Funktionsgleichung Abhängigkeit von x =x-Achse –berechnen. 1 Seite 113, 3 Beispiel 2 1 die Lösung diehGerade DashGleichungssystem A: (t) = _2 · t + 2 – 2 x =hat B: h (t) =| :2(–·2) t +(–1 2 ! 2). C: (t) = t +b1bei x ≈ –0.5. D: h (t) = 3 · t x = – 0.5 a) Wie hoch steht dasx Öl den Gefässen A und B zu Beginn der Messung? Die Nullstelle ist bei = –in0.5. y grafisch b) Wie schnell steigt das Öl in Gefäss C? Aufgaben 3 c) In welchen Gefässen ist zu Beginn der Messung kein Öl vorhanden? Beispiel 2 d) In die welchem Gefäss Ölrechneum 2 cm pro Sekunde? 2 Löse Gleichung 2 xsteigt + 2 mit = das 2.75 1 Bestimme die Lösung dem Gleichsetzungsverfahren. e) In welchem Gefäss steigt das Öl am schnellsten (langsamsten)? risch a) y =und 3 x grafisch. –6 b) y = x – 4 c) x = –3 y + 7 d) x = 7 y – 8 1 f) Zeichne die Graphen der Zuordnungen Zeit t ¥ Füllhöhe h. x Lösung: y = 4x + 7 y=x+4 x = –4 y + 7 x = 8y – 7 2 _ rechnerisch: x + 2 =f)2.75 = 16 – xden2Graphen x + Funktion y |=–02 g) 3–x4– –y 3=g1(x) x + 2m 11 ==3_411 y4 –2 =–m 1 xO + bh)1für 7e) y Zeichne der 5 , b = 1. – 1 x ≈ 0.4 2 x = 0.75 | :y2= 0.7mit der Gleichung y = x – 16 x + 0.4 x – y = 6 x + 22 = 33 y Untersuche die Auswirkungen auf den Graphen von g. x = 0.375 Durch Ablesen erhält man a) Kehrwertbildung bei m b) Vorzeichenwechsel bei mx ≈ 0.4. 2 Bestimme die Lösung mit dem Einsetzungsverfahren. SE84734781_G_K02_053_03.eps c) Vorzeichenwechsel bei b d) Vorzeichenwechsel bei m und bei b a) y = 3 x + 8 b) y = –0.5 x + 2 c) 3 x + 2 y = 8 d) 3 y – 6 x = 4 x + y = 12 1.5 x + y = 3 y = 0.5 x – 4 y = 3x – 2 8e) 2.7 Prüfe, ob die Punkte auf der Geraden mit der Gleichung y = –2 x + 1 liegen. 2 x + 3.2 y = 2.5 f) x = 5 y – _ g) 7 y 3= x + 4 h) 5 x – 6 y = 3 a) P (5 125, | –9) Aufgabe 3 b) Q (–3 | 6) 5 1 c) R _4 | – _21 d) S (2.5 | –3.5) Seite 4 x = 10 y + 6 3y = x – 1 2.7 x = y + 0.4 5 y = 2 x + _3
2
Chiwa, Usbekistan, gestorben 1048 in Ghazni, Afghanistan).
C
3
2
3
93 Welche der Punkte A (–4 | –5); B (4 | 0); C (2 | –1.6); D (40 | 27) und E (– 7 | – 9) liegen Löse mit dem Additionsverfahren. 3 oberhalb, welche unterhalb und welche auf der Geraden mit der Gleichung y = _4 x – 3? a) 6 x + 7 y = 23 b) 2 x – 3 y = 23 c) 7 x + y = –1 d) 7 x + 5 y = 3 x + 7 y = 18 2 x + y = –13 7x – 2y = 5 7x + 5y = 5 105Gibt es eine Funktion, welche die x-Achse (die y-Achse) als Graphen hat? Begründe. e) 7 x + 10 y = 3 f) 6 x – 3 y = 11 g) 9 x – 7 y = 10 h) 13 x + 13 y = 14 2x + 5y = 3 3 x – 1.5 y = 6.5 3x + y = 2 –6.5 x – 6.5 y =7.5
b α A
c
B
Hinweis: Durch Rundungen kön731960_K2_45.1 SY M nen sich bei verschiedenen Lösungswegen (wie hier für b) voneinander geringfügig abweichende Werte ergeben.
87
113
Führe in Aufgabe 8 eine Punktprobe wie auf Seite 104 durch.
109 125
Seite 134
9 Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen 9.1 Quadratische Funktionen
In der Fahrschule lernt man: Wenn man die Geschwindigkeit in km/h durch 10 dividiert und das Ergebnis quadriert, so ergibt sich der Bremsweg in Metern.
Rein quadratische Funktionen Die Tiefe eines Brunnens kann man bestimmen, indem man zum Beispiel einen Stein in den Brunnen fallen lässt und die Falldauer stoppt. Hat man die Falldauer t (in Sekunden) gemessen, lässt sich die Fallstrecke s (in Metern) näherungsweise mit der Gleichung s (t) = 5 t2 berechnen. Beträgt die Falldauer beispielsweise 1 s, so ergibt sich für den Brunnen eine Tiefe von s (1) = 5 · 12 = 5, also 5 m, bei einer Falldauer von 2 s eine Tiefe von s (2) = 5 · 22 = 20, also 20 m. Man erkennt: Verdoppelt sich die Falldauer, so wird die Fallstrecke nicht etwa ebenfalls verdoppelt, sondern vervierfacht. Dies liegt daran, dass der Stein beim Fallen beschleunigt wird. Die Strecke, die der Stein während des Fallens in jeweils einer Sekunde zurücklegt, nimmt zu. Die Gleichung s (t) = 5 t2 gehört zu einer ·(– 2) rein quadratischen Funktion. Setzt man ·2 ·3 ·4 für t verschiedene Werte ein, so erhält man die zugehörigen Werte für s. Die t –2 –1 0 1 2 3 4 Werte paare lassen sich in einer Wertes(t) 20 5 0 5 20 45 80 tabelle darstellen. Man erkennt: Dem 2-, 3- bzw. n-Fachen der ersten Grösse wird ·4 ·9 ·16 das 4-, 9- bzw. n2-Fache der zweiten Grösse ·4 Fig. 1 zugeordnet. Überträgt man die Werte in ein Koordinatensystem, so sieht man, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. Man darf diese Punkte deshalb nicht geradlinig verbinden. Den genauen Verlauf des Graphen in Fig. 2 erhält man, indem man durch Einsetzen von Zwischenwerten für t weitere Wertepaare ermittelt. Ein Graph dieser Art heisst Parabel.
80 70 60 50 40 30 20 10 –2
–1
O
s
s (t) = 5 t 2 t 1
2
3
4
Eine Funktion mit der Gleichung f (x) = a x2 bzw. y = a x2 heisst rein quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel.
134
Fig. 2
1
d) f: x ¥ – 2 x _ 2 ; (x ≥ 0)
2 In Fig. 1 sind für verschiedene ExpoSeite 146, Merkkasten
nenten z die Graphen der Funktionen x ¥ x z im Ø. Quadranten gezeichnet. a) Welche der Funktionen sind Umkehrfunktionen zueinander? Was kannst du Die Lösungen einer quadratischen Gleichung a x2 + b x + c = 0 sind die Nullstellen der über die beiden Exponenten aussagen? zugehörigen quadra tischen Funktion f (x) = a x2 + b x + c. Eine quadratische Gleichung b) Welche Punkte haben alle Graphen gehat entweder zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung.Fig. 1 meinsam? Begründe.
3
a) Begründe: Die Funktion f: x ¥ 3 x2 – 5 mit der Definitionsmenge R ist nicht umBeispiel kehrbar. Beispiel 2 2 Bestimme die Lösungsmenge. b) Ist die Funktion f: x ¥ 3 x – 5 für x ≥ 0 umkehrbar? Gib in diesem Fall die Gleichung Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 23 x + 5. Schreibe die Funktionsgleichung in der Form 2 – 2.5 x + 2 = 0 2 + 2 x + 2 = 0 Seite 161, Aufgabe 4a) x 0 .5 x b) – x c) 1 + x2 = 0 der Umkehrfunktion an und skizziere beide Graphen. f (x) = b · a . Lösung: Lösung: y a) Die Normalform lautet x2 – 5 x + 4 = 0. y 4 Entscheide anhand der Graphen in Forme den Funktionsterm um; wende dazu die Potenzgesetze an: 9 5 2 y = x2 + 1 2 – 5 x + 4 = 2 x – _ 3 3 x_ 3 Wegen x – hat die 3 x + 5 3 x 5 5 x x 2 Fig. 2, ob die zugehörigen Funktionen um4 2 = 2 · 2 = 2 · 2 2 = 32 · 8 , 5 also f (x) = 32 · 8 . 5 9 zugehörige Parabel den Scheitel S 2 _ 2 | – _ 4 34 . kehrbar sind. Schreibe die Funktionsgleif 4 Am Graphen lassen sich die Nullstellen 3 chung und ggf. die Gleichung der Umkehry = x2 – 5x + 4 Oft interessiert, nach welcher Zeit sich die Wachstumsgrösse verdoppelt bzw. bei x = 1 und x = 4 ablesen. L = {1; 4} funktion auf. 3 2 Abnahme halbiert hat. b) Die verschobene Normalparabel hat den g Verdopplungszeit TD nennt man die Zeit, Halbwertszeit T2H nennt man die Zeit, in 1 h Scheitel S (1 1 3) und ist nach unten geöff5 Zeichne den Graphen der Funktion. in der sich der Funktionswert jeweils verder sich der Funktionswert jeweils halbiert. x 2 net. Die Nullstellen lassen sich nur nähey = – x + 2x + 2 1 Schränke, falls nötig, die Definitionsmenge Beispiel 4 __ doppelt. O x –1 2 – 4 –und 3 – 2x ≈ 2.7. 1 3 4 5 rungsweise ablesen: x ≈ – 0.7 so ein, dass eine umkehrbare Funktion enta) Schreibe lg 2 √x3 3 als Vielfaches von lg (x). 2 –1 O c) Die Parabel mit der Gleichung y = x + 1 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 steht. Bestimme dann die Gleichung der b) Schreibe lg (u) – 3 · lg (v) als einen einzigen Logarithmus. –1 ist eine um 1 Einheit nach oben verscho–2 Umkehrfunktion. Lösung: __ 3 bene Normalparabel. Sie hat keine Nullstela) Wende das 3. Logarithmengesetz an: f (x) = 0.5 x2 b) f (x) = x2 – 2 lg 2 √x3 3 = lg 2 x _2 3 = _ 32 · lg (x) –2 –3 2 }. len, also ist L = { u c) f (x) = 0.5 x2 – 2 d) f (x) = (x + 1) 2 v3 3 = lg 2 _ b) Wende das 3. und das 2. Logarithmengesetz an: lg (u) – 3 · lg (v) = lg (u) – lg v3 3 –4 e) f (x) = (x – 3) 2 f) f (x) = 2 (x – 1) 2
Lösungsformel für quadratische Gleichungen
–1 6 Zu welcher Funktion f ist f die Umkehrfunktion? Aufgaben __ 1 –1 –1 –1
Fig. 2
3
Die Lösungen quadratischer Gleichungen kann man zeichnerisch oft nur näherungsweise a) f : x ¥ √ ____ x b) f : x ¥ x _4 c) f : x ¥ x _ 2 d) f –1: x ¥ x – 1 –1 –1 –1 2 –1 bestimmen. Die exakten Lösungen können dann nur rechnerisch ermittelt werden. √ e) f : x ¥ x – 2 f) f : x ¥ x g) f : x ¥ x h) f : x ¥ (x – 2) 2 Beispiel zu Aufgabe 1: 1Seite Schreibe als Logarithmus wie im Beispiel auf dem Rand. 174, Beispiel 3
2 3– 3
25 = 32 ; 5 = log (32)
1 2 _ a) 43 = 64 b) 72 = 49 c) 3– 2 = _ 91 2d) 3 = 27 __ Eine quadratische Gleichung in Normalform x + p x + q = 0 kann man durch quadra7 Umkehrfunktionen bei linearen Funktionen – 6 1 y 0.5 0 Beispiel Bei36 der Reaktorkatae) 1000 h) x = z = 6 f) 8 = 1 3 g) 2 √10 3 = _ tische Ergänzung lösen. a) Gib deinem Nachbarn die Gleichung einer linearen Funktion und lasse ihn die Gleistrophe von Tschernobyl a) Cäsium 137 hat eine Halbwertszeit von 33 Jahren. Gib den Wachstumsfaktor für ein 2 x + p x + q = 0 | – q z. B. x2 + 5x + 6 = 0 | – 6 chung der zugehörigen Umkehrfunktion bestimmen. im Jahr 1986 wurde Jahr an. Wie viel Prozent beträgt die jährliche Abnahme? 2 2neben Schreibe als Potenzgleichung wie im Beispiel auf dem Rand. x + p x = – q x2 + 5 x = – 6 Beispiel zu Aufgabe 2: Jod 131 vor allem b) Zeichne die Graphen beider Funktionen in ein Koordinatensystem. Kannst du so überb) Zu Beginn einer Beobachtung sind 250 mg Cäsium 137 vorhanden. Bestimme die Expolog4 (16) = 2 ; 42 = 16 a) log (125) = 3 b) log (0.2) = – 1 c) log (5) = 1 d) log Cäsium 5137 freigesetzt. 5 5 5 (1) = 0 prüfen, ob die Gleichung der Umkehrfunktion richtig bestimmt ist? p 5 2 nentialfunktion, die den Zerfall von Cäsium 137 mit diesem Anfangswert beschreibt. e) f) log0.2 (0.04) = 2 g) lo g √__2 (0.25) = – 4 h) log 2 _ 2 3 2 auf beiden Seiten der Addiert man Addiert man 2 3 auf beiden Seiten der 0.5 (8) = – 3 b (a) = c 2 _ c) log Betrachtet gemeinsam weitere Beispiele. Bestimmt dann allgemein zur linearen FunkLösung: Gleichung, so kann man auf der linken Gleichung, so kann man auf der linken tion f: x ¥ m x + b; (m ≠ 0) die Gleichung der Umkehrfunktion f –1. a) Der Zerfall des Cäsiums wird durch eine Funktion f mit f (x) = b · ax beschrieben. 3 Bestimme den Logarithmus. Begründe dein Ergebnis. Seite eine binomische Formel anwenden. Seite eine binomische Formel anwenden. __ 1 TH Nach der Halbwertszeit T gilt: b · a (7) = _ b 2 3 a) log2 (64) b) lg (1) c) Hlog d) log 3 √ 3 7 2 11 33 1 1 1 _ _ 161 Einsetzen der gegebenen Halbwertszeit: b · a g = __ 2 e) log _ f) log _ __ g) log _ 3 __ h) lo b
2 3
2 16
146 4 Bestimme. a) loga (a)
5
2 3
5 √ 5
6
2 6 3 √
2 3
1 √ 6 6 _ a33 = _ 1 ; a = _ 1 33 ≈ 0.979 3
2 3
Daraus folgt (da b ≠ 0): 2 2 Aus a ≈ 0.979 (= 97.9 %) ergibt sich eine jährliche Abnahme von etwa 2.1 %. 1 1 2 n3 _ b) logb) Anfangswert: c) logb = 250 (mg); d) log e) an x loga _ a (1) a 2 a 3 a a f (x) = 250 · 0.979
2 3
Berechne a bzw. b. Aufgaben ___ 3 1 a) logb (25) = 2 b) logb _ 49 = – 2 c) logb (16) = – 4 d) logb 2 √125 3 = _ 2 Seite 179, Aufgabe 6 e) log3 (a) = 4 f) g) log9 (a) = 1.5 h) lg (a) = – 4 1 log Der Graph einer Exponentialfunktion f mit f (x) = ax verläuft durch den Punkt P. 4 (a) = 3 Bestimme a und gib an, ob die Funktion zu- oder abnimmt. 6 Schreibe als Summe oder Produkt «einfacher» Logarithmen. a) P (1 1 3) b) P (1 1 0.25) c) P (2 1 6) 2 d) P (– 1 1 3) 3 a) lg (3 x) b) loga (a b c) c) lg 2 u2 3 d) loga 2 2 a b __ 4 5 e u v _ e) loga _ f) g) lg 2 9_ x 3 h) loga 2 √ b 3 a 2 w 3 2 log Zeichne den Graphen der Funktion f mithilfe einer Wertetabelle. Zeichne dann den f
2 3
2 3
2 3 x2 y3
u2 v3 i) loga _
7
2
3
2 3
______
r2 s t4 Graphen von g durch Multiplikation der Funktionswerte von f mit dem Streckfaktor. _ j) loga _ a2 b14 cx7 k) log l) loga 2 √a11 b3 c5 3 2 u3 v x a) f (x) = 1.2 ; g (x) = 3 · 1.2 b) f (x) = 0.4x; g (x) = 5 · 0.4x c) f (x) = 2x; g (x) = 0.3 · 2x
Schreibe als einen einzigen Logarithmus. 3 Die Graphen in Fig. 1 gehören zu Exponentialfunktionen f mit f (x) = ax. 2 23 a) lg (x) + lg (2 y) b) log c) loga (a b) – loga 2 a2 b 3 a u – loga (u)
2 u Grösse mit x, so ergibt sich f Zur Erinnerung: : x ¥ loga (x). Von Punkt A (xA | yf–1 zA ) gelangt man =x aloga (x)einem A |heisst Logarithmusfunktion. Die zuge- x 8 aeinem (aLöse die Gleichung wie in Beispiel 3, also ohne Taschenrechner. ) = x Punkt B (xB | yB | zB ) indem man log zu Aufgaben hörige Funktionsgleichung lautet log (x) = 2 log (3) –1 derb) lg (x) = lg (6) – lg (3) c) lg (x) = 2 lg (5) + 3 lg (2) xa) – x x‑Achse, B Aa Einheiten ain Richtung –2 _ f (x) = log 1 Spiegelt man den Graphen _› 2 _ a (x). › y‑Achse, › d) 3 log (x) = 27 e) 2 lg (x) = lg (16) + lg (9) f) loga (b x) = 1 + loga (5) 179, Aufgabe 9 ySeite – y Einheiten in Richtung der a 1 A 1B Berechne für die Vektoren a = 2 , b= , c = 1 : der Exponentialfunktion an der ersten B (4|5|3) 3 –1 1 zB – zA_Einheiten in Richtung der z‑Achse Winkelhalbierenden, so erhält man den _› _ _› › _› _2› _› _› _› _› _› › 9 a a) geht. ·bDer Logarithmus von a b) a · c zur Basis b ist c. Wie gross ist der Logarithmus c) a ·( b – c ) d) ( a + b )·( b – c ) a) Graphen der zugehörigen Logarithmus6 A (3|2|1) Also der Verbindungsvektor zwischen von ahat zur Basis b? funktion (Fig. 1). ___› __› 1 _ den Punkten A und B die Koordinaten: b) Betrachte die Gleichung log (k·a) = b. Drücke k durch a aus, wenn b = logc (a) gilt. c 2 Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck 2 ABC. Bestimme AB ·AC .
2 3 2 3 2 3
2 3
Fig. 1
xB – xA _› _› v = AB = yB – yA (vgl. Beispiel in Fig. 1). _› 3 Berechne den Zwischenwinkel v von a und b , wenn folgende Beziehungen gelten. Fig. 1 z – z B› A _ _› _ _ _ _›
___› ›
› Die Logarithmusfunktion ›
x ¥ log (x) (a > 0, a ≠ 1) ist die Umkehrfunktion der Expo-
a a) | a | =180, 3, _|bEigenschaften | = 4 und ( a –_0.5 der b ) © Logarithmusfunktion ( a +_b ) Seite x _› _› nentialfunktion _› › › › x ¥ a . Sie ist nur für positive x-Werte definiert.
b)Für | a |den = 2|Verbindungsvektor b_| > 0 und ( a + b )·_zwischen ( a + 3.5·_zwei b ) = 0Punkten A (xA | yA | zA) und B (xB | yB | zB) gilt: _›
2 3 2 3 2 3
c) | a | =
_›
› 4, ___ |b ›|
_›
›
B – xA| a – 2 b | = | a + b | = 6xund AB = yB – yA Eigenschaften der Logarithmusfunktion:
_›
zB – zA
4
179
›
z
_›
zB
Berechne die Grösse des Winkels Für a > 1 gilt: zwischen den Vektoren a und b . B(x B | y B | z B) 1 –11 _› 1 5 1 5 – D ie Funktionswerte nehmen zu, wenn x _ _› _› _› _› › . Der Verbindungsvektor zwischen dem Koordinatenursprung O (0 | 0 | 0 ) und einem 3 1 4 2 3 3 0 O a) a = b) a = , b= , b= c) a = , b= grösser wird. Die Funktion ist zunehmend. 1 1 1 3 5 3 xB xB – 01 yB y ___ 1 – Der Graph verläuft für x > 1 über der x› yB – 0 = yB (Fig. 2). xB Punkt B (xB | yB | zB) hat dieAchse, für Koordinaten OB = 0
