Diskrete Strukturen Sebastian Thomas RWTH Aachen https://www2.math.rwth-aachen.de/DS16/

1. Februar 2017 Vorlesung 21

Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsr¨aume Definition I

quasiendlicher Wahrscheinlichkeitsraum (qu.endl. WR): besteht aus I I

X nicht leere Menge P : Pot(X ) → R Abbildung

so, dass gilt: I I I I

Missbrauch von Notation: bezeichne qu.endl. WR wieder mit X

Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsr¨aume (Forts.) Terminologien und Notationen: I I I I I I I

I

I

Ergebnismenge von X : Ergebnis von X : Ereignismenge von X : Ereignis von X : unm¨ogliches Ereignis von X : sicheres Ereignis von X : Wahrscheinlichkeitsverteilung von X : Notation: Wahrscheinlichkeit von A ∈ Pot(X ) in X :

endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (endl. WR): qu.endl. WR mit endlicher Ergebnismenge

Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsr¨aume (Forts.) Beispiel I

{0, 1} wird endl. WR mit

P(A) =

I

{0, 1} wird endl. WR mit

P(A) =

Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsr¨aume (Forts.)

I

R wird qu.endl. WR mit P(A) =

Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsr¨aume (Forts.) Anwendungsbeispiel I

Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit einer gew¨ohnl. M¨ unze Modell: Ergebnisse des endl. WR {Kopf, Zahl} mit   ur A = ∅ 0 f¨ 1 P(A) = 2 f¨ ur A ∈ {{Kopf}, {Zahl}}   1 f¨ ur A = {Kopf, Zahl}

I

Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit einer gezinkter M¨ unze Modell: Ergebnisse des endl. WR {Kopf, Zahl} mit   0 f¨ ur A = ∅     1 f¨ ur A = {Kopf} P(A) = 43  f¨ ur A = {Zahl}  4   1 f¨ ur A = {Kopf, Zahl}

Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsr¨aume (Forts.) Bemerkung X qu.endl. WR, A, B ∈ Pot(X ) mit A ⊆ B P(B \ A) = P(B) − P(A)

Korollar X qu.endl. WR P(∅) = 0

Korollar X qu.endl. WR, A ∈ Pot(X ) P(X \ A) = 1 − P(A)

Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsr¨aume (Forts.) Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit X qu.endl. WR, A ∈ Pot(X ), n ∈ N0 , S (B1 , . . . , Bn ) disjunktes n-Tupel in Pot(X ) mit A ⊆ ˙ i∈[1,n] Bi P(A) =

X

P(A ∩ Bi )

i∈[1,n]

Proposition X qu.endl. WR, n ∈ N0 , (A1 , . . . , An ) n-Tupel in Pot(X ) X X \ [ P( Ai ) = (−1)i−1 P( Xj ) i∈[1,n]

i∈[1,n]

J⊆[1,n] |J|=i

j∈J

Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsr¨aume (Forts.) Proposition X qu.endl. WR, A ∈ Pot(X ) P(A) = P({x ∈ A | P(x) > 0}) =

X x∈A P(x)>0

P(x) =

X x∈A

P(x)

Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsr¨aume (Forts.) Proposition X Menge, f : X → R Abbildung mit: I

f¨ ur x ∈ X : f (x) ≥ 0

I

{x ∈ X | f (x) > 0} ist endlich P x∈X f (x) = 1

I

X wird qu.endl. WR mit:

f¨ ur A ∈ Pot(X ): X P(A) = f (x) x∈A

Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsr¨aume (Forts.) Beispiel {0, 1, 2} wird endl. WR mit   0 f¨ ur     1 f¨ ur P(A) = 32  f¨ ur  3   1 f¨ ur

A ∈ {∅, {0}} A ∈ {{1}, {0, 1}} A ∈ {{2}, {0, 2}} A ∈ {{1, 2}, {0, 1, 2}}

Laplacer¨aume Definition Laplaceraum: I

X endl. WR mit:

f¨ ur A ∈ Pot(X ): P(A) =

|A| |X |

Laplacer¨aume (Forts.) Beispiel I

Laplaceraum: X = {0, 1} mit   ur A = ∅ 0 f¨ 1 P(A) = 2 f¨ ur A ∈ {{0}, {1}}   1 f¨ ur A = {0, 1}

I

kein Laplaceraum: Y = {0, 1}   0    1 P(A) = 43   4   1

mit f¨ ur f¨ ur f¨ ur f¨ ur

A=∅ A = {0} A = {1} A = {0, 1}

Laplacer¨aume (Forts.) Bemerkung X endl. WR X ist Laplaceraum ⇔ f¨ ur x ∈ X :

P(x) =

1 |X |

Bemerkung X nicht leere endliche Menge X X l¨asst sich als Laplaceraum X = XLaplace auffassen

Laplacer¨aume (Forts.) Definition X nicht leere endliche Menge X Laplaceraum auf X : X = XLaplace Terminologie und Notation: I

Gleichverteilung auf X :

Beispiel [1, 6] wird Laplaceraum

Laplacer¨aume (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit gew¨ ohnlichem W¨ urfel Modell: Ereignis: W¨ urfel zeigt mindestens f¨ unf Augen Modell: Wahrscheinlichkeit: Ereignis: W¨ urfel zeigt eine gerade Anzahl an Augen Modell: Wahrscheinlichkeit:

Zufallsgr¨oßen Anwendungsbeispiel Objekt: blinde Entnahme einer Kugel aus einer Urne mit zehn roten und 20 schwarze Kugeln Modell: Ereignis: gezogene Kugel ist rot Modell: Wahrscheinlichkeit: Ereignis: gezogene Kugel ist schwarz Modell: Wahrscheinlichkeit:

Zufallsgr¨oßen (Forts.) C = {rot, schwarz} wird endl. WR mit   ur B = ∅  0 f¨   1 f¨ ur B = {rot} PC (B) = 32  f¨ ur B = {schwarz}  3   1 f¨ ur B = {rot, schwarz}

Zufallsgr¨oßen (Forts.) Definition X qu.endl. WR, Y Menge Zufallsgr¨oße auf X mit Werten in Y :

Abbildung f : X → Y

Beispiel [1, 6] → [0, 1], x 7→ x mod 2 ist Zufallsgr¨oße auf [1, 6] mit Werten in [0, 1]

Zufallsgr¨oßen (Forts.) Anwendungsbeispiel I

Objekt: blinde Entnahme einer Kugel aus einer Urne mit zehn roten und 20 schwarze Kugeln Modell: Ergebnisse des Laplaceraums U = [1, 10] × {rot} ∪˙ [1, 20] × {schwarz} Objekt: Farben der Kugeln Modell: Zuordnung: jeder Kugel die zugeh¨ orige Farbe Modell:

Zufallsgr¨oßen (Forts.)

I

Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit gew¨ ohnlichem W¨ urfel Modell: Ergebnisse des Laplaceraums [1, 6] Zuordnung: jeder Augenzahl die Parit¨at Modell:

Zufallsgr¨oßen (Forts.) Proposition X qu.endl. WR, f : X → Y Zufallsgr¨ oße f¨ ur B ∈ Pot(Yf ): X PYf (B) = PX (f −1 (B)) = PX (x)

Y wird qu.endl. WR Y = Yf mit:

x∈X f (x)∈B

Zufallsgr¨oßen (Forts.) Definition X qu.endl. WR, f : X → Y Zufallsgr¨ oße durch f induzierter Wahrscheinlichkeitsraum:

Y = Yf

Terminologie und Notation: I

Wahrscheinlichkeitsverteilung von f :

Beispiel durch [1, 6] → [0, 1], x 7→ x mod 2 induzierter WR:

Zufallsgr¨oßen (Forts.) Anwendungsbeispiel I

... Zuordnung: jeder Kugel die zugeh¨ orige Farbe Modell: Zufallsgr¨oße a : U → {rot, schwarz} (x, rot) 7→ rot (x, schwarz) 7→ schwarz Wahrscheinlichkeitsverteilung des       C U −1 P (B) = P (a (B)) =     

durch a induzierten WRs: f¨ ur f¨ ur f¨ ur f¨ ur

B B B B

=∅ = {rot} = {schwarz} = {rot, schwarz}

Zufallsgr¨oßen (Forts.)

I

... Zuordnung: jeder Augenzahl die Parit¨at Modell: Zufallsgr¨oße p : [1, 6] → {gerade, ungerade} mit ( gerade f¨ ur x ∈ {2, 4, 6} p(x) = ungerade f¨ ur x ∈ {1, 3, 5} durch p induzierter WR:

Produktwahrscheinlichkeitsr¨aume Proposition I endliche Menge, (Xi )i∈I Familie von qu.endl. WRen

×i∈I Xi

f¨ ur A ∈ Pot(×i∈I Xi ): XY P×i∈I Xi (A) = PXi (xi )

wird qu.endl. WR mit:

x∈A i∈I

Definition I endliche Menge, (Xi )i∈I Familie von qu.endl. WRen Produktwahrscheinlichkeitsraum von (Xi )i∈I :

Produktwahrscheinlichkeitsr¨aume (Forts.) Beispiel X = {0, 1}Laplace , Y = {0, 1} mit   ur 0 f¨    1 f¨ ur P(B) = 43  f¨ ur  4   1 f¨ ur I

X × X:

B B B B

=∅ = {0} = {1} = {0, 1}

Produktwahrscheinlichkeitsr¨aume (Forts.) Beispiel I

Y ×Y:

PY ×Y (y1 , y2 ) =

I

X ×Y: PX ×Y (x, y ) =

Produktwahrscheinlichkeitsr¨aume (Forts.) Bemerkung I endliche Menge, (Xi )i∈I Familie von Laplacer¨aumen

×i∈I Xi

ist Laplaceraum