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Einleitung und Grundlagen
Die Technische Mechanik I befasste sich im Wesentlichen mit Fragen der Statik, d.h. der Lösung von Gleichgewichtsaufgaben. Viele technische Vorgänge sind aber nicht statisch und können nur durch zeitveränderliche Größen beschrieben und verstanden werden. Die Technische MechanikII behandelt daher dynamische Probleme und Schwingungen. Das grundsätzliche Vorgehen in der Statik lässt sich auf die Dynamik übertragen und erweitern. Bei der Modellbildung wird das betrachtete technische System zunächst in Gleichungen überführt. Betrachtet man nur die Bewegung der Maschinenteile relativ zueinander und vernachlässigt deren kleine Verformungen, kann man sich auf Methoden der Stereomechanik beschränken. Die Gleichgewichtsbedingungen der Statik werden dabei durch die Axiome der Kinetik, den Impuls- und Drallsatz, ersetzt. Zuvor muss allerdings die Bewegung mit den Hilfsmitteln der Kinematik beschrieben werden. Als Ergebnis der Modellbildung erhält man Bewegungsgleichungen in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Im Allgemeinen können diese nur numerisch gelöst werden und bilden die Grundlage des sogenannten Virtual Prototyping. Für bestimmte Problemstellungen wie Stoßaufgaben oder Energiemethoden ist die Integration jedoch allgemein durchführbar und vereinfacht die Modellgleichungen. Auch für lineare Differentialgleichungen kann die Lösung geschlossen analytisch angegeben werden. Wegen des analogen Vorgehens sind die in der Technischen Mechanik I entwickelten Grundbegriffe und Lösungsstrategien auch Grundlage der Technischen Mechanik II, z.B. Kraft, Moment, Kräftesystem, Kraftwinder, Bindung, Freischneiden, Schwerpunkt und Massenmittelpunkt sowie Haft- und Gleitreibung. Dazu kommen geschwindigkeitsabhängige Elemente wie Dämpfer und Luftwiderstand. Als mathematische Hilfsmittel werden zusätzlich zu der bereits in der Statik benutzten Vektoralgebra die Methoden der Differential- und Integralrechnung benötigt. Diese lassen sich auf vektorielle und tensorielle Größen durch komponentenweise Anwendung erweitern. Neben den Vektoren spielen die Tensoren zur Beschreibung von Drehbewegungen und Trägheitseigenschaften von Körpern im Raum eine große Rolle. Ihre Koordinatendarstellung führt auf eine 3×3−Matrix, die den üblichen Rechenregeln der Matrizenalgebra gehorcht.
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1 Einleitung und Grundlagen
1.1 Einordnung der Vorlesung
Einteilung der Technischen Mechanik nach Materialeigenschaften Mechanik
Stereomechanik
Kontinuumsmechanik Elastomechanik
Fluidmechanik Plastomechanik
Einteilung der Technischen Mechanik nach physikalischen Vorgängen (Kirchhoff) Mechanik
Kinematik
Dynamik
Statik
Kinetik
1 Einleitung und Grundlagen
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1.2 Stereomechanik: Wiederholung und Ausblick Mechanische Größen Größe
Geometrische Darstellung
Koordinatendarstellung
(unabhängig vom Koordinatensystem)
(abhängig vom Koordinatensystem)
Skalar
einzelne Größe gekennzeichnet durch Zahl und Einheit Bsp: Zeit, Masse, Energie, Leistung,... Notation: Klein− und Großbuchstaben
Vektor
gekennzeichnet durch Betrag und Richtung Bsp: Lage, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Moment, Impuls, Drall,...
3 Elemente Notation: unterstrichene (oder fette) Klein− und Großbuchstaben
z
x y
Tensor
vermittelt lineare Abbildung zwischen zwei Vektoren Bsp: Trägheitstensor, Drehtensor,...
9 Elemente Notation: doppelt unterstrichene (oder fette) Großbuchstaben
z y
x
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1 Einleitung und Grundlagen
Kräfte und Momente Eigenschaften: Freischneiden:
Kraft ´ linienflüchtiger Vektor, Einheit 1[N] + ƪkgmńs 2ƫ Moment ´ freier Vektor, Einheit [Nm] Freistellen von Körpern oder Teilsystemen, Ersetzen der entfernten Elemente durch äqivalente Schnittkräfte und -momente Cy Cx
F
Cy Cx
F Fc
Fc G2
G1
R
N
Ax Ay Unterscheidung: eingeprägte Kräfte/Momente ´ physikalisches Gesetz G Gewicht
G Feder
l0
G Drehfeder
s + l * l0 ö
G + mg
F + cs
l
M + cö
G Gleitreibung
v rel u 0 R + mN
(N)
Reaktionskräfte ´ Bindungskräfte G feste Einspannung
Fy
G Haftreibung
v rel + 0 R N
G Loslager
Fy
Mz Fx
r
G Gelenklager
Fx
Fx
1 Einleitung und Grundlagen
Kräftesystem:
³
9
³
F1
³
Fn O1
R
On
P ³
Mm
³
MP
³
M1 allgemeines Kräftesystem
äquivalenter Kraftwinder NJR, M PNj ³
X
mit
R + ȍ F i n
³
³
i+1 n
³
MP +
ȍ rPOi
³
³
Fi )
i+1
³
³
R+0 ³
³
Momentengleichgewicht: M P + 0 Mittelpunkte
Schwerpunkt und Massenmittelpunkt fallen bei terrestrischen Problemen zusammen: m +
ŕ dm ,
1 r OC + m
³
B
zusammengesetzte Körper:
m+
ȍ mi ,
ŕ rdm ³
B
1 r OC + m
³
ȍ M j m
j+1
Gleichgewichtsbedingungen Kräftegleichgewicht:
³
ȍ rOCimi ³
³
10
1 Einleitung und Grundlagen
1.3 Mathematische Hilfsmittel
Differentiation Ableitung:
. f (t ) Dt) * f (t) f + d f (t) + lim Dt dt Dt³0 .. . f + d f(t) dt
Regeln Linearität: Produkt Quotient Verkettung
d ǒ f " g Ǔ + f. " g. , d ǒ cf (t) Ǔ + cf., c + const. dt dt . . d ǒ fg Ǔ + fg ) fg dt . . f f g * fg d + dt g g2 d f ǒ g(t) Ǔ + ēf g. (t) + f Ȁǒ g(t) Ǔg. (t) ēg g(t) dt
ǒǓ
Ť
Integration Stammfunktion: unbestimmtes Integral:
.
F(t) ist Stammfunktion von f (t), wenn F(t) + f (t)
ŕ f (t)dt + F(t) ) c, c + const. ŕ f (t)dt + F(b) * F(a) b
Bereichsintegration:
a
Regeln
ŕ fdt + * ŕ fdt , ŕ fdt ) ŕ fdt + ŕ fdt b
Bereich
a
a b
Linearität
b
b
c
a
b
ŕ (f " g)dt + ŕ fdt " ŕ gdt b
a b
b
a
a
ŕ cfdt + c ŕ fdt, c + const. b
a
ŕ fgdt + ǒfg Ǔ Ť * ŕ fgdt b
Produkt
a
.
a b
Substitution
b
b
a
a g(b)
.
ŕ ƪf ǒg(t) Ǔg(t) ƫdt + ŕ .
a
g(a)
f (u)du
c
a
1 Einleitung und Grundlagen
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Vektoralgebra Vektor x Ů 9 n :
ȱx 1ȳ x +ȧL ȧ , Ȳxn ȴ
Matrix A Ů 9
ȱa11 AAA a1n ȳ A +ȧL L ȧ , AAA a Ȳ m1 amnȴ
m n
:
x T + ƪx 1AAAx nƫ ,
xi Ů 9 ,
a ij Ů 9 .
Elementare Operationen Operation
Schreibweise
Komponenten
C +A)B
c ij + a ij ) b ij
Multiplikation mit Skalar
C+mA
Transponieren Differentiation
Addition
n
9m
n
³ 9m
n
c ij + m a ij
9
9m
n
³ 9m
n
C + AT
c ij + a ji
9m
n
³ 9n
m
C+ dA dt
c ij + d a ij dt
9m
n
³ 9m
n
y + Ax Matrizenmultiplikation
Abbildung
yi +
9m
ȍ aik xk
9m
n
9n ³ 9m
ȍ aik bkj
9m
n
9n
k
C + AB
c ij +
p
³ 9m
k
Inneres Produkt (Skalarprodukt)
a + xT y
Äußeres Produkt (Dyadisches Produkt)
A + x yT
a+
ȍ xk yk k
a ij + x i y j
9n 9m
9n ³ 9 9n ³ 9m
n
p
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1 Einleitung und Grundlagen
Regeln Addition:
A ) (B ) C) + (A ) B) ) C A)B + B)A
Multiplikation mit Skalar:
a(AB) + (aA)B + A(aB) a(A ) B) + aA ) aB (A T) T + A
Transposition:
(A ) B) T + A T ) B T (aA) T + aA T (AB) T + B TA T d (A ) B) + d A ) d B dt dt dt d (AB) + d A B ) A d B dt dt dt
Differentiation:
ǒ Ǔ
Matrizenmultiplikation:
ǒ Ǔ
A(B ) C) + AB ) AC A(BC) + (AB)C AB 0 BAi. allg. x Ty + y Tx
Skalarprodukt:
x Tx w 0ôx ,
x Tx + 0 à x + 0
x Ty + 0 à x, y orthogonal Quadratische Matrizen
Einheitsmatrix
ȱ1 ȳ E +ȧ ... ȧ 1ȴ Ȳ
Inverse Matrix
A *1A + AA *1 + E
Orthogonale Matrix
A *1 + A T,
Symmetrische Matrix
A + AT
Schiefsymmetrische Matrix
A + * AT
speziell: 3
3 Matrix ³
³ ab ^ + a ~ ~
b ~
ab + * ba ~~
ab + ba T * (a Tb)E X (a~b) + ba T * ab T
A TA + AA T + E
ȱ 0 * a3 a2 ȳ a +ȧ a 3 0 * a 1ȧ Ȳ* a2 a1 0 ȴ ~
Rösselsprung
ȱa1ȳ a +ȧa 2ȧ Ȳa3ȴ
