Wichtige optische Elemente und Instrumente: • • • • • • • • •
Der aplanatische Meniskus Diffraktive optische Elemente/Linsen Die achromatische Linse = Achromat Der Spektrograph Die Kamera Das menschliche Auge Das Teleskop/Teleskope in der Astronomie Das Mikroskop Anwendung optischer Methoden in der Astronomie: Detektion erdähnlicher Planeten um andere Sterne
Geometrische und Technische Optik
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126+1
Der aplanatische Meniskus
Geometrische und Technische Optik
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126+2
Der aplanatische Meniskus Die aplanatischen Punkte einer Kugel: i
Behauptung: Eine Kugel mit Radius R und Brechzahl n‘ (schattiert in Grafik) kann alle Punkte auf der äußeren (gestrichelten) Kugel mit Radius n‘R/n (n: Brechzahl des umgebenden Mediums, n Halbkugel !), die die Vorderseite des aplanatischen Meniskus bildet, im Punkt Q. Das Dreieck OQP ist dann rechtwinklig am Schnittpunkt Q und es gilt:
R n sin n' R n' n n' sin ' sin 1 n
Q n
n‘
R O
j‘ P‘
j
P
n‘R/n
Im Prinzip ist also eine numerische Apertur von bis zu 1.0 in Luft erreichbar. Der Grenzfall ist in der Praxis aber äußerst problematisch, da die Fläche hochgradig entspiegelt sein müsste (streifender Einfall hohe Reflexion) und die Herstellung einer Kugelfläche mit „größer Halbkugel“ auch schwierig ist. Geometrische und Technische Optik
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126+7
Der aplanatische Meniskus Raytracing Simulation eines aplanatischen Meniskus mit sin‘=0.996, d.h. ‘=84.9o: außen Luft, Linsenmaterial SF10 (n‘=1.723 bei =633 nm), R=100 mm nR/n‘=58.04 mm, n‘R/n=172.3 mm; Krümmungsradius Rückfläche: 50 mm Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis -200
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Spotdiagramm Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+8
Der aplanatische Meniskus Raytracing Simulation eines aplanatischen Meniskus mit sin‘=0.996, d.h. ‘=84.9o: außen Luft, Linsenmaterial BK7 (n‘=1.515 bei =633 nm), R=100 mm nR/n‘=66.003 mm, n‘R/n=151.5 mm; Krümmungsradius Rückfläche: 50 mm
Auch mit weniger stark brechendem Material ist also eine NA=1.0 erreichbar! Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis -200
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0
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Seitenansicht
Geometrische und Technische Optik
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Spotdiagramm Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+9
Diffraktive optische Elemente/Linsen
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126+10
Diffraktive optische Elemente Wirkungsweisen einiger optischer Elemente Refraktive Optik Brechung an Grenzfläche n1
n2
Diffraktive Optik
Brechung in GRadienten INdex Medium
Beugung an (lokal) periodischen Strukturen
n(r) Beugung an binärem Gitter
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126+11
Diffraktive optische Elemente Prinzip eines Beugungsgitters (hier: Amplitudengitter)
L sinj j
j’ L sinj’ L
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Konstruktive Interferenz, falls optische Weglängendifferenz (OPD) zwischen äquivalenten Strahlen benachbarter Perioden ganzzahliges Vielfaches m der Wellenlänge ist:
sin ' sin m sin ' sin m
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126+12
Diffraktive optische Elemente Zusammenhang Phase und optische Weglänge: Trifft ein Strahl auf eine strukturierte Oberfläche mit einem Dielektrikum mit Brechzahl n (z.B. Quarzglas) auf der einen Seite und Luft auf der anderen Seite, so gilt für die Phasenverzögerung bei einer lokalen Höhe h (bzw. z) des Dielektrikums: x,y n n 1
2
OPD
2
2
OPD=(n1-n2)z(x,y)
n 1h
z
Selbstverständlich gilt diese Gleichung nur für den Fall, dass der einfallende Strahl fast senkrecht auf die lokale Grenzfläche trifft, so dass man annimmt, dass der Strahl seine Richtung nicht ändert. Geometrische und Technische Optik
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126+13
Diffraktive optische Elemente Beziehung zwischen diffraktiven und refraktiven Strukturen h= /(n-1) Refraktives Element
h= /(n-1) Geblaztes (=kontinuierliches) diffraktives Element
Anmerkung: Eine geblazte Linse, deren Stufenhöhe h>>/(n-1) ist, ergibt eine Fresnel-Linse. Im Grenzfall sind die einzelnen „Zähne“ dann lokale Prismen.
h= /(2(n-1)) Binäres diffraktives Element Geometrische und Technische Optik
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126+14
Diffraktive optische Elemente Verschiedene Arten von diffraktiven optischen Elementen
a)
b)
Amplitudengitter
Binäres Phasengitter h=/(2(n-1))
Dh Maximal je 1/2=10.1% in ±1. Ordnung (bei 25% in 0. Ordnung)
Maximal je 4/2=40.5% in ±1. Ordnung (bei 0% in 0. Ordnung)
: Wellenlänge, n: Brechzahl des Gitters, N: Anzahl der Stufen
c)
Mehrstufiges Phasengitter h=(N-1)/(N(n-1))
d)
Geblaztes Phasengitter h=/(n-1)
Dh
Dh Symmetrie zwischen +1. und -1. Ordnung gebrochen. Je nach Stufenzahl zwischen 40.5% und 100% in 1. Ordnung Geometrische und Technische Optik
Theoretisch bis zu 100% in 1. Ordnung (in Praxis selbst bei Entspiegelung weniger) Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+15
Diffraktive optische Elemente Unterschied Amplitudengitter Phasengitter: Positive Interferenz der Wellen, falls: sin ' sin m
sin ' sin m
sin
Bei binären Phasengittern interferiert auch der rote Strahl positiv, da er wegen der Stufe mit /2 Gangunterschied wieder in Phase ist (für m=1;3;5;…): m OPD m 1 2 2 2 sin
’
sin ’
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’
sin ’ Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+16
Diffraktive optische Elemente Bei einem binären Phasengitter interferieren also für ungerades m „doppelt so viele Strahlen“ wie bei einem Amplitudengitter positiv. Die Amplitude der Welle in den ungeraden Ordnungen wird doppelt so groß. Die Intensität dieser Ordnungen wird bei einem Phasengitter 4x so groß wie bei einem Amplitudengitter! Anmerkung: Die Energieerhaltung ist natürlich erfüllt, denn beim Amplitudengitter werden 50% der Energie absorbiert und 25% sind in der nullten Beugungsordnung (bei unserem Phasengitter ist dagegen kein Licht in der 0. Ordnung, da dort negative Interferenz auftritt). Beim binären Phasengitter ist 4x so viel Energie für die ungeraden Beugungsordnungen vorhanden. Geometrische und Technische Optik
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126+17
Diffraktive optische Elemente Anschauliche Berechnung der Beugungseffizienz m der einzelnen Ordnungen m bei einem binären Phasengitter mit Tastverhältnis 1:1 (d.h. Stegbreite = Grabenbreite) und Tiefe, die eine optische Weglängendifferenz von /2 zwischen Steg und Graben erzeugt:
0=0: destruktive Interferenz zwischen Licht von Steg und Graben bei Tiefe mit /2 opt. Weglängendifferenz (OPD) 2n=0 (n=1,2,3,): alle geraden Ordnungen (ungleich m=0) fallen aus, da OPD innerhalb von Steg und Graben zwischen Anfang und Ende je ganzzahliges Vielfaches von schon vollständige Auslöschung innerhalb von Steg und Graben
sin ’
1: innerhalb von Steg und Graben OPD zwischen Anfang und Ende nur /2
sin ’
Amplituden addieren sich konstruktiv maximale Effizienz
3=1/9: innerhalb von Steg und Graben OPD zwischen Anfang und Ende 3/2
Amplituden addieren sich nur in einem drittel des Bereiches konstruktiv, Rest löscht sich aus Effizienz nur 1/9 verglichen zu 1. Ordnung (Intensität proportional zu Amplitudenquadrat !). Analog: 5=1/25 bzw. allgemein (2n+1)=1/(2n+1)2 für n=1,2,3,… Geometrische und Technische Optik
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126+18
Diffraktive optische Elemente Effizienzen eines binären Phasengitters mit Tastverhältnis 1:1 und idealer Tiefe: Summe der Effizienzen aller Ordnungen muss 1 sein wegen Energieerhaltung
1 4 2 21 1 2 1 0.405 1 1 2 2 8 n 0 2n 1
2 / 8
1 32 1 5 2 5 ...
3
4
2
4
2
0.045 0.016
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126+19
Diffraktive optische Elemente Maximale Beugungseffizienz in 1. Ordnung für mehrstufiges Phasengitter mit N Stufen
N
Effizienz
(berechnet in skalarer Näherung)
2
40.5%
N 1 N n 1
4
81.1%
8
95.0%
Senkrechter Lichteinfall.
16
98.7%
Fresnel Reflektionsverluste vernachlässigt.
32
99.7%
Ideale Gesamttiefe:
d
Identische Höhe und Breite aller Stufen.
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126+20
Diffraktive optische Elemente Diffraktive Linse: Wir betrachten im Folgenden zuerst wieder nur die Meridionalebene und kleine Winkel. Lokale Gitterfrequenz sei proportional zu lateraler Koordinate x: 1 x : cx x Aus Gittergleichung folgt dann für kleine Winkel: sin ' sin m
kleine Winkel
' m mcx
Gleichung ist analog zu paraxialer Gleichung für die Strahlablenkung an einer Linse mit Brennweite f‘, wenn gilt: 1 1 mc f ' f' mc Geometrische und Technische Optik
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126+21
Diffraktive optische Elemente Insbesondere ist für eine diffraktive Linse das Produkt aus Brennweite und Wellenlänge konstant:
0 f ' f ' 0 Die Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist deshalb:
d 1 / f 'd 587.6 nm Vd 3.452 1 / f ' F 1 / f 'C F C 486.1 nm 656.3 nm • Die Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist also immer konstant, unabhängig vom Material bzw. dem genauen Typ der Linse. • Die Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist negativ, d.h. ihre Dispersion hat umgekehrtes Vorzeichen wie die von Glas. Der Betrag ist sehr klein, d.h. starke Dispersion! Geometrische und Technische Optik
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126+22
Diffraktive optische Elemente Phasenfunktion eines diffraktiven optischen Elementes (DOE): Die Phasenfunktion eines DOEs beschreibt, an welchen Stellen sich die lokalen Gitterlinien befinden, d.h. an welchen Stellen die Phase relativ um jeweils 2 zu- oder abnimmt. r r r 0 r r 0 r mit r r r 0 x 2 r 2 y
Zusammenhang zwischen der Phasenfunktion und der lokalen Gitterfrequenz , wobei x und y die Koordinaten in der (lokalen) Ebene des DOEs sind: 1 1 x, y x, y x, y 2 Geometrische und Technische Optik
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126+23
Diffraktive optische Elemente Zusammenhang Höhenprofil h und Phasenfunktion : Geblaztes DOE:
h x, y
2 n 1
x, y mod 2
Mehrstufiges Phasen-DOE mit N Stufen:
N x , y h x, y floor mod N N n 1 2
x mod a: Modulo-Funktion = Rest bzgl. einer Division von x durch a. floor: Funktion, die die nächst kleinere ganze Zahl zurückgibt.
: Wellenlänge im Vakuum, n: Brechzahl des DOEs, wobei außen Luft sei. Geometrische und Technische Optik
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126+24
Diffraktive optische Elemente Einfache Beispiele einiger wichtiger Phasenfunktionen: Lineares Gitter:
x, y 2 ax by
Gitterfrequenz konstant: a 2 b 2 Fresnel-Zonen-Linse in paraxialer (parabolischer) Näherung:
x, y 2a x 2 y 2
Gitterfrequenz: x, y 2a x 2 y 2
f ' Geometrische und Technische Optik
1 1 mc 2ma Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+25
Diffraktive optische Elemente Berechnung der Phasenfunktion eines DOE unter Ausnutzung des holographischen Prinzips: Sind die Phase in der auf das DOE einfallenden Wellenfront und die Phase out der gewünschten Wellenfront bekannt, so ergibt sich die Phasenfunktion des Hologramms in der Ordnung m zu: out in m
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out in m
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126+26
Diffraktive optische Elemente Beispiel: Linse, die einen axialen Punkt im Abstand g vor der Linse auf einen axialen Punkt im Abstand b hinter der Linse im nichtparaxialen Bereich abbilden soll. 2 g2 r2 in m 1 2 b2 r 2 g 2 r 2 2 b2 r 2 out DOE Paraxiale Näherung ergibt unter Object Image Vernachlässigung einer konstanten r point point Phase -2(g+b)/ eine parabolische Funktion: g b 1 1 2 1 1 1 r a b g 2 b g
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126+27
Diffraktive optische Elemente Ray tracing Gleichung für lokale Gitter: Plausibilitätsbetrachtung analog zum Brechungsgesetz (multipliziert mit 2/ 2 n2 2 n1 N n2 a 2 n1 a1 0 N a2 N a1 N k 2 N k 1 Interpretation: Die Komponente des k-Vektors senkrecht zu N (i.e. parallel zur Grenzfläche) ist invariant vor und hinter der Grenzfläche. Erweiterung auf diffraktive optische Elemente mit lokalem Gittervektor K mit |K|=2/wobei K in der Grenzfläche liegt, also K·N=0: ganzzahliges Vielfaches m von K muss zur Komponente von k1 senkrecht zu N addiert werden:
N k 2 N k1 m N K Geometrische und Technische Optik
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126+28
Diffraktive optische Elemente Falls k1, N und K in gemeinsamer Ebene liegen und N senkrecht zu K, ergibt der Betrag der Gleichung die normale Gittergleichung: 2 n2
sin 2
2 n1
sin 1 m
2 n2 sin 2 n1 sin 1 m
Allgemeine Gleichung aufgelöst nach a2 ray tracing am DOE: n N k 2 N k 1 m N K N a 2 1 a1 m K 0 n2 2 n2
a2
n1 n a 1 m G N a 2 1 a1 m G N n2 n2 n2 n2
n n 1 2 2 1 a1 N 1 a1 m G n2 n2 n2
mit G :
1 1 K ; G N 0 und G 2
2
2
2
2
n n n n n 2 a 2 1 a1 m G 1 a1 N N sign a1 N 1 1 a1 N 1 m G 2m 12 a1 G N n2 n2 n2 n2 n2 n2 n2
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126+29
Diffraktive optische Elemente Ein Spezialfall eines DOE ist ein Holographisch optisches Element (HOE), bei dem der Gittervektor durch die Interferenz zweier Wellen mit lokalen k-Vektoren k1,rec und k2,rec bei der Wellenlänge rec erzeugt wird. Dann lautet die Gleichung für lokale Beugung am HOE:
N k 2 N k 1 m N k 2,rec k 1,rec
N n2 a 2 n1 a1
m
rec
N n2,rec a 2,rec n1,rec a1,rec Lens DOE
spatial filter HOE
HOE
Aufnahme
Rekonstruktion Lens
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126+30
Die achromatische Linse = Achromat
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126+31
Der Achromat Definition: Eine achromatische Linse (kurz: Achromat) hat für zwei verschiedene Wellenlängen die gleiche Brennweite. Sie besteht typischerweise aus zwei miteinander verkitteten Einzellinsen. Ihre „Nominalbrennweite“ hat sie aber bei einer dritten Wellenlänge, die normalerweise zwischen den anderen beiden Wellenlängen liegt. Als Wellenlängen mit gleicher Brennweite wählt man für Anwendungen im Sichtbaren Spektrallinien am Rand des sichtbaren Bereichs: F=486.1 nm (blaue Linie des atomaren Wasserstoffs) und C=656.3 nm (rote Linie des atomaren Wasserstoffs). Die Wellenlänge mit Nominalbrennweite ist d=587.6 nm (gelbe Helium-Linie).
Analog gibt es noch eine apochromatische Linse (kurz: Apochromat), die für drei verschiedene Wellenlängen gleiche Brennweite hat. Dazu müssen mindestens drei Einzellinsen verwendet werden. Geometrische und Technische Optik
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126+32
Der Achromat Prinzip eines Achromats anhand zweier dünner Linsen, die unmittelbar hintereinander stehen (Idealisierung): Einzellinse: Brennweite f‘i, Brechzahl ni, Krümmungsradien Ri,1 und Ri,2, i=1,2. Brennweite der Linsenkombination f‘, Linsen seien in Luft.
Paraxiale Matrix der Linsenkombination: 1 M M 2 M1 1 f '2 1 1 1 f ' f '1 f '2
0 1 1 1 f '1
1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 f '1 f '2 f'
Wellenlängenabhängigkeit der Brechkraft einer Einzellinse: 1 1 : ni 1Ci ni 1 f 'i R R , 1 , 2 i i 1
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126+33
Der Achromat Achromasie-Bedingung liefert: 1
f '1 F
1
f '2 F
1
f '1 C
1
f '2 C
n1 F 1C1 n2 F 1C2 n1 C 1C1 n2 C 1C2 n1 F n1 C C1 n2 F n2 C C2
Die nur von den Krümmungsradien abhängigen konstanten Terme Ci können durch die Brennweiten bei der mittleren Wellenlänge d ausgedrückt werden:
n1 F n1 C n2 F n2 C n1 d 1 f '1 d n2 d 1 f '2 d
V1,d f '1 d V2,d f '2 d
V1,d und V2,d sind die Abbe-Zahlen der beiden Linsenmaterialien. Geometrische und Technische Optik
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126+34
Der Achromat Kurze Diskussion der Achromasie-Bedingung: V1,d f '1 d V2,d f '2 d für einen Achromat mit positiver Gesamtbrechkraft f‘>0. 1. Fall: Rein refraktiver Achromat aus zwei refraktiven Linsen. Abbe-Zahlen von Materialien sind immer positiv eine der Linsen muss eine Zerstreuungslinse sein. Da ein stark dispersives Material (Flintglas wie z.B. SF10) eine kleine Abbe-Zahl hat, muss die Brennweite der Linse aus diesem Material betragsmäßig größer sein bzw. die Brechkraft (inverse Brennweite) kleiner als bei der zweiten Linse aus dem schwach dispersiven Material (Kronglas wie z.B. BK7) Für positive Gesamtbrechkraft muss die Kronglaslinse eine Sammellinse und die Flintglaslinse eine Zerstreuungslinse sein. 2. Fall: Achromat aus einer refraktiven und einer diffraktiven Linse (Hybrid-Achromat) Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist immer negativ und betragsmäßig sehr klein: Vd=-3.452 Sowohl die refraktive als auch diffraktive Linse sind Sammellinsen. Die diffraktive Linse hat aber eine sehr große Brennweite bzw. sehr kleine „Brechkraft“. Geometrische und Technische Optik
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126+35
Der Achromat Praktische Realisierung eines refraktiven und eines hybriden Achromats mit positiver Gesamtbrechkraft a)
b) crown glass
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flint glass
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126+36
Der Achromat Anmerkungen: Ein refraktiver Achromat aus zwei verkitteten Linsen hat drei Krümmungsradien, von denen nur zwei durch die AchromasieBedingung festgelegt sind. Ein Krümmungsradius kann also frei gewählt werden, was in der Praxis normalerweise dafür benutzt wird, um die Sinus-Bedingung zu erfüllen. Beim hybriden Achromaten kann die Sinus-Bedingung nicht so leicht erfüllt werden, aber dafür kann die diffraktive Linse (freie Wahl der „nicht-parabolischen“ Terme der Phasenfunktion möglich) z.B. die sphärische Aberration (bei einer Wellenlänge, z.B. d) korrigieren.
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126+37
Der Achromat Design eines Achromaten bei gegebener Brennweite f‘(d): 1 1 1 f ' f '1 f '2
1
f '2 d
und V1,d f '1 d V2,d f '2 d V2,d
V1,d f '1 d
V2,d f '1 d f ' d 1 V1,d
bzw.
1
f '1 d
V1,d
V2,d f '2 d
V bzw. f '2 d f ' d 1 1,d V 2,d
Beispiele: 1. Refraktiver Achromat aus BK7 (V1,d=64.17) und SF10 (V2,d=28.41)
f '1 d 0.557 f ' d und f '2 d 1.259 f ' d
2. Hybrider Achromat aus BK7 (V1,d=64.17) und DOE (V2,d=-3.452)
f '1 d 1.054 f ' d und f '2 d 19.588 f ' d 3. Hybrider Achromat aus SF10 (V1,d=28.41) und DOE (V2,d=-3.452) f '1 d 1.122 f ' d und f '2 d 9.230 f ' d Geometrische und Technische Optik
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126+38
Der Achromat Restliche Wellenlängen-Abhängigkeit der auf f‘(d) normierten Brennweite f‘: 1 ni 1Ci mit i 1,2 Für refraktiven Achromaten folgt dann: Linse : f 'i V2,d 1 1 1 1 und f '2 d V1,d f '1 d f ' f '1 f '2 V2,d n1 d 1 1 1 C1 C2 V1,d n2 d 1 f '1 d f '2 d f ' 1 1 V2,d f ' d n1 d 11 f '1 f '2 V1,d f ' V2,d n1 d 1 f ' d n1 1 n2 1 V1,d n2 d 1
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126+39
Der Achromat Analog folgt für hybriden Achromaten (Linse 1 sei refraktiv und Linse 2 diffraktiv):
Linse : DOE :
1
f 'i 1
ni 1Ci mit i 1,2
f 'DOE
d f ' DOE d
: C DOE
Ersetze n2()-1 durch bzw. V2,d durch VDOE,d:
VDOE ,d n1 d 11 V1,d f ' V f ' d n1 1 DOE ,d n1 d 1 V1,d d Bei einer einzelnen refraktiven Linse ist die Wellenlängen-Abhängigkeit zum Vergleich: f ' nd 1 f ' d n 1 Geometrische und Technische Optik
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126+40
Der Achromat Wellenlängenabhängigkeit eines Achromats (refraktiv) bzw. einer Einzellinse Lens (SF10)
1.01
Lens (BK7) Achromatic doublet (BK7+SF10)
f’/f’d
1
0.99
0.98 500
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550
l/nm
600
650 Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+41
Der Achromat Wellenlängenabhängigkeit verschiedener Achromat-Typen 1.001 refractive achromat (BK7+SF10)
f’/f’d
1
0.999 hybrid achromat (BK7+DOE) 0.998
0.997 hybrid achromat (SF10+DOE) 0.996
500
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550
l/nm
600
650 Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+42
Kurzer Einschub zur Auflösung einer Linse oder eines Spiegels
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126+43
Auflösungsvermögen einer Linse oder eines Spiegels Exkurs in Wellenoptik: Intensitätsverteilung I() (Airy-Verteilung) des Bildes eines -entfernten Objektes in Brennebene eines Spiegels oder einer Linse mit kreisförmiger Apertur (Durchmesser D, Brennweite f‘, : radiale Koordinate in Brennebene, Wellenlänge Intensität der einfallenden ebenen Welle I0): 1 2
2 J 1 ˆ D D mit ˆ f' ˆ 2
ist die entsprechende Winkel-Koordinate /f‘ f‘
Dj
0.9
[2J1(pr ^)]2 ^)/(pr
D I ˆ I 0 4 f ' 2
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
D
0.1
r=f‘Dj
0 -3
-2
-1
0
2
^ r
Erste Nullstelle der Airy-Verteilung bei: ˆ 1.22 1.22 Geometrische und Technische Optik
1
D
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D 126+44
3
Auflösungsvermögen einer Linse oder eines Spiegels Auflösungsvermögen für zwei Punkte nach Rayleigh:
0.7 0.6 0.5 0.4 0
0.1
Gleiches gilt auch, wenn die Lichtquelle (inkohärent) aus einem schmalen Spalt besteht, dessen Licht kollimiert wird!
Intensity (normalized)
D
0.3
D
0.2
1.22
0.8
0.9
1
Maximum der Intensität des einen Punktes fällt mit dem ersten Minimum der Intensität des zweiten Punktes zusammen.
-0.01
-0.006
-0.002 0
0.002
0.006
x-axis (mm)
=/D Geometrische und Technische Optik
=1.22 /D Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+45
0.01
Der Spektrograph
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126+46
Der Spektrograph Ein Spektrograph ist ein optisches Instrument, mit dem einfallendes Licht in seine verschiedenen Wellenlängen-Komponenten zerlegt werden kann. Selektiert man am Ausgang des Spektrographen einen schmalen Wellenlängenbereich, so spricht man von einem Monochromator. Eng verwandt mit einem Spektrographen ist auch das Spektrometer, das zur Vermessung des Spektrums verwendet wird und dafür typischerweise einen Spektrographen verwendet.
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126+47
Der Spektrograph Der Prismen-Spektrograph: Zerlegung des Lichts mit Hilfe eines Prismas
a
j
i
i‘
j‘ D‘
D
L/2 Generell besteht ein Spektrograph aus einer spalt- oder punktförmigen Lichtquelle, einer Linse zur Kollimation, einem dispersiven Element und einer zweiten Linse zur Abbildung der spalt-/punktförmigen Lichtquelle auf einen Detektor. Geometrische und Technische Optik
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126+48
Der Spektrograph a
Ableitung der spektralen Auflösung (Brechzahl n des Prismas, außen Luft/Vakuum):
j
sin n sin i n sin i ' sin '
90 i 90 i ' 180 i i ' o
o
i
j‘
i‘
D‘
o
D
L/2 sin ' n sin i n sin cos i n cos sin i n sin 1 sin 2 i n cos sin i d ' dn n sin sin n 2 sin 2 cos sin cos ' d n 2 sin 2 d Wichtigster Fall in der Praxis: Symmetrischer Strahlengang, d.h. =‘:
sin 1 cos sin n 2 sin 2 sin 2 1 2 cos cos 2 sin 2 n 2 sin 2
sin
n sin 2n sin / 2 cos / 2 n sin 21 cos 2 2 2 cos 2 / 2
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Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+49
Der Spektrograph Natürlich gilt dann (wie vorausgesetzt):
sin ' sin n 2 sin 2 cos sin 2 sin / 2 cos / 2 n 2 n 2 sin 2 / 2 2 cos 2 / 2 1 n sin / 2 n sin 2 ACHTUNG: Zur Ableitung der Dispersionsformel muss die vorige Gleichung verwendet werden, da der symmetrische Strahlengang streng nur für eine Wellenlänge möglich ist und man ansonsten die Dispersion bei Brechung an der ersten Grenzfläche des Prismas vernachlässigen würde! 2 sin n sin d ' dn d ' dn dn 2 cos ' 2 sin d d d 2 d n 2 sin 2 d 2 2 1 n sin 2 2 sin dn 2 ' d 2 2 1 n sin 2 Institut für Optik,
Geometrische und Technische Optik
Information und Photonik
N. Lindlein
126+50
Der Spektrograph Spektrale Auflösung / wird durch Beugung begrenzt, wenn Spalt genügend klein ist (≤f‘/D):
a j
Linse mit Brennweite f‘ und Durchmesser D hat Winkelauflösung von Beugung=/D:
i
i‘
j‘ D‘
Beugung Spektrograph
D
L/2
2 sin 2 sin dn dn 2 2 D d d D 2 2 2 2 1 n sin 1 n sin 2 2 Alternative Gleichung für spektrale Auflösung (gültig für symmetrischen Strahlengang), die oft verwendet wird: Dabei ist L die Basislänge des 2 sin / 2 dn dn dn Prismas unter der Annahme, dass D 2 D' sin / 2 L cos ' d d d das Prisma voll ausgeleuchtet ist. Geometrische und Technische Optik
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126+51
Der Spektrograph Der Gitter-Spektrograph: Zerlegung des Lichts mit Hilfe eines Beugungsgitters Spalt sei wieder genügend klein (≤f‘/D), wobei f‘ die Brennweite der beiden Linsen ist.
j
j’ D’ L
D
Ableitung der spektralen Auflösung (Periode des Gitters, Beugungsordnung m, außen Luft/Vakuum):
sin ' sin m
cos '
d ' m m ' Beugung cos ' d D
m m D D' Nm cos ' Geometrische und Technische Optik
Hierbei ist N die Anzahl der ausgeleuchteten Perioden des Gitters. Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+52
Der Spektrograph Vergleich Prismen- und Gitter-Spektrograph für praxisnahe Werte: 60o-Prisma aus SF10 (=60o), Schwerpunktswellenlänge =550 nm: n=1.734, dn/d=-0.000161 nm-1, ausgeleuchteter Durchmesser der Linse D=20 mm. Beugungsgitter mit symmetrischem Strahlengang für =-45o Einfallswinkel (m=1): sin ' sin m
' 45o
1 2 2 2
2
389 nm
2 sin dn dn D 2 D 6460 Prisma : 2 d 1 n / 4 d 2 2 1 n sin 2 Gitter-Spektrograph hat m 1 2D D' also ca. 10x höhere Gitter : N 72700 spektrale Auflösung
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126+53
Der Spektrograph Für noch höher auflösende Spektrometer werden spezielle auf der Wellenoptik basierende Instrumente eingesetzt. Fabry-Perot-Spektrometer (Vielstrahlinterferenz) oder EchelleSpektrometer erreichen bis zu /=108 Dazu muss aber praktisch immer ein normaler Gitter- oder PrismenSpektrograph vorgeschaltet werden, um nur noch einen kleinen Spektralbereich zu haben.
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126+54
Die Kamera
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126+55
Die Kamera Eine Kamera wird zur Aufnahme des (invertierten) Bildes eines Objektes benutzt. Sie besteht aus folgenden Komponenten: • Linse (Linsensystem!) oder Spiegel mit Brennweite f‘ • Blende (= Aperturblende = kann Fassung Linse/Spiegel sein) • Detektor (z.B. Film, CCD-Chip, …) diaphragm lens
photosensitive device
Meist ist die Brennweite f‘ sehr viel kleiner als der Abstand des Objektes |dO|. Bildweite dI 1 1 1 d I dO f '
d O f '
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dI f ' Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+56
Die Kamera Die Größe x des Bildes auf dem Kamera-Detektor wird also im wesentlichen durch die Winkelausdehnung des Objektes bestimmt und das Bild ist ungefähr in der Brennebene der Linse: x f ' Beispiel: Kleinbild-Kamera mit f‘=50 mm 1. Aufnahme eines Menschen mit 5 m Abstand (dO=-5 m) von der Kamera und einer Größe von 1.75 m.
1.75 0.35 x f ' 17.5 mm 5 dO f ' 1 1 1 Exakt mit Abbildungsgleichung : 50.51 mm dI d I dO f ' dO f '
dI x 1.75 m 17.68 mm dO Geometrische und Technische Optik
Näherungsformel ergibt also nur ca. 1% Fehler. Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+57
Die Kamera 2. Bild des Mondes aufgenommen mit einer normalen Kleinbild-Kamera mit Brennweite f‘=50 mm: Mond: ≈0.5o
x f ' 0.44 mm
Auf einem Dia-Film mit 24 mm x 36 mm Größe wäre der Mond also winzig und man könnte kaum Details erkennen (Auflösung z.B. 200 Linien/mm ca. 100 Pixel im Durchmesser) Zur Beobachtung von astronomischen Objekten mit kleiner Winkelausdehnung braucht man lange Brennweiten. Astronomische Kamera mit langbrennweitigem Spiegel. In der Astronomie wird diese oft auch einfach als astronomisches Teleskop bezeichnet.
Geometrische und Technische Optik
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126+58
Die Kamera Die Schärfentiefe: Eine ideale Linse ohne Aberrationen bildet ein Objekt „beugungsbegrenzt“ ab, d.h. die Auflösung wird nur durch die Wellennatur des Lichts bestimmt. Allerdings kann immer nur eine Ebene wirklich scharf abgebildet werden. In einer realen Kamera ist die Auflösung des Detektors oft aber schlechter als die beugungsbegrenzte Auflösung. Auch Objekte in Ebenen mit verschiedener Tiefe können „scharf“ im Sinne der begrenzten Auflösung des Detektors abgebildet werden, solange ein Bildpunkt nicht größer als ein Detektorpixel ist (Detektorpixel = kleinstes noch unterscheidbares Bildelement). Geometrische und Technische Optik
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126+59
Die Kamera Schärfentiefe (= Abstand zwischen den noch scharf abgebildeten Ebenen): Durchmesser p der Detektorpixel, Brennweite f‘ der Kamera, Durchmesser D der Blende Objekt- bzw. Bildweite dO bzw. dI der exakt scharf abgebildeten Ebene Objekt- bzw. Bildweite dO,N bzw. dI,N der näher an der Kamera liegenden Ebene, die noch scharf abgebildet wird. Objekt- bzw. Bildweite dO,F bzw. dI,F der weiter von der Kamera entfernt liegenden Ebene, die noch scharf abgebildet wird. ideal object plane
detector plane dO,N
dI,N D
dO
dO,F Geometrische und Technische Optik
p dI
dI,F Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+60
Die Kamera Blendenzahl/Öffnungszahl f# (f number):
f #
f' D
Blendenzahl bestimmt die Belichtungszeit t, da die auf den Detektor fallende Lichtenergie E proportional zur Fläche der Aperturblende ist (Konstante a). 2
f' E 2 t f # E a t D a t 2 f # af ' 2
Zusammenhang Blendenzahl - numerische Apertur im Bildraum NAI: Gilt nur für weit entfernte Objekte, so dass das Bild ungefähr in der Brennebene der Linse ist.
D 1 nI NA I nI sin I nI 2f' 2f#
In der Praxis meist nI=1.0 (Luft) NAI=1/(2f#) Es gibt aber auch optische Systeme, bei denen nI≠1.0, wie z.B. im menschlichen Auge! Geometrische und Technische Optik
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126+61
Die Kamera Ideale Ableitung Schärfentiefe für unterObjektebene schiedliche Brechzahlen nO bzw. nI in Objekt- und Bildraum: nI f ' d O nI nO nI dI d I dO f ' nO f ' nI d O nI f ' d O , N nO nI nI d I ,N d I , N dO, N f' nO f ' nI d O , N
nI f ' d O , F n nI n O I d I ,F d I ,F dO,F f' nO f ' nI d O , F
Detektorebene dO,N
dI,N D
dO
dO,F
p dI
dI,F
Laut Strahlensatz (siehe Abbildung) gilt: nO f ' d O dO dO,N p D p p nO f ' nI d O 1 p 1 nI d O n f ' d I ,N d I d I ,N O D d I ,N d I ,N d I D D nO f ' nO f ' d O p dO D p d I d I ,F d I ,F dO,F p D d I ,F d I d I ,F nO f ' nO f ' nI d O 1 p 1 nI d O D D nO f ' Geometrische und Technische Optik
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126+62
Die Kamera Abbildungsmaßstab für den Fall, dass die Kamera-Linse (in Praxis = Objektiv) die Sinus-Bedingung erfüllt ( Eintritts- und Austrittspupille sind Sphären um Objekt- bzw. Bildpunkt): n sin n D / 2d n d x
I
xO
O
O
nI sin I
O
O
nI D / 2d I
O
I
nI d O
nI nO nI nI d O nI d O 1 nI d O 1 1 Aus Abbildungsgleichung folgt: d I dO f ' nO d I nO f ' nO f ' dO dO p p f# 1 1 D f ' dO dO p p f# 1 1 D f '
dO,N dO,F
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Für Kamera ist f‘ positiv und negativ (reales invertiertes Bild, da |dO|>f‘ und dO|dO,C| scharf gestellt wird (d.h. || wird kleiner), werden alle weiter entfernten Objekte scharf abgebildet, da dO,F dann sogar formal positiv wird (wegen 1+p/(D) 1000 lp/mm (s/w), gängig 40-150 lp/mm (Farbe)
Pixelabstand 1.7 µm -20 µm Max. 300 lp/mm
Anzahl Pixel
Pixel nicht vorhanden. Aber: 150 lp/mm bei 36 mm x 24 mm Format ca. 74 MPixel
Bis zu 16 MPixel
Digital/Analog
Räumlich analog, Intensität analog
Räumlich digital (Pixel), Intensität digital (DA-Wandler)
Quantenausbeute
5-10 %
Bis zu ≥ 90%
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126+69
Die Kamera Prinzip CCD: CCD=Charge-coupled device Nobelpreis für Physik 2009: Willard Boyle und George E. Smith LadungsverschiebungsVarianten von CCDs
„Eimerketten-Prinzip“ Lichtempfindlich ist nur ein Teil jedes Pixels höhere Lichtausbeute möglich durch je eine Mikrolinse pro Pixel. Geometrische und Technische Optik
Alles Bildmaterial aus Wikipedia Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+70
Die Kamera Signal-Rausch-Verhältnis SNR (signal-to-noise) eines CCD-Chips: Jedes Pixel kann je nach Größe nur eine Maximalzahl N an durch einfallende Photonen erzeugten Elektronen speichern. Das Rauschen in der Anzahl der Elektronen liegt typischerweise bei N . Das SNR ist also:
N SNR N N
Die maximale Anzahl N an speicherbaren Elektronen pro Pixel hängt von der Größe, d.h. Fläche, des Pixels ab. Bei einer Kantenlänge d jedes Pixels gilt also:
N d 2 SNR N d Ein CCD-Chip mit 20 µm großen Pixeln hat also beispielsweise ein mehr als 10-fach größeres Signal-Rausch-Verhältnis als ein Chip mit nur 1.7 µm großen Pixeln!
Geometrische und Technische Optik
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126+71
Die Kamera Anmerkungen zur Pixelgröße: Generell sollte man sich klar machen, dass neben dem geringeren Signal-RauschVerhältnis immer kleinere Pixel auch sonst wenig sinnvoll sind, da der Informationsgehalt des Bildes ab einer bestimmten Größe nicht mehr zunimmt. Beugungsbedingte Größe der Airy-Disc (Radius):
rAiry 0.61
NA
in Luft
0.61
f' rApertur
1.22
f' DApertur
1.22 f #
Bei einer Wellenlänge von =0.5 µm wäre der Radius eines Punktbildes also schon durch Beugungseffekte ab einer Blendenzahl von 2.8 größer als 1.7 µm. Pixel mit Durchmesser 0 besitzen. f '2 f '2
d 2 f 2 '
2
f1 '
d1
2
f1 '
2
2 f 'd1 d1 d 2 2 f '
f2 ' 1 f1 ' Bei einem 4f-System (Gesamtlänge 4f‘) ist also die Summe der Abstände des Objektes und des Bildes von den Linsen konstant bzw. man kann das Teleskop axial verschieben, ohne dass sich paraxial etwas an der Abbildungssituation ändert (bei einem realen System ändern sich natürlich eventuelle Aberrationen!). Das Bild hat die gleiche Größe wie das Objekt, steht aber auf dem Kopf. 4f-Systeme werden z.B. verwendet, um ein nicht direkt zugängliches Zwischenbild reell abzubilden und damit zugänglich zu machen. Geometrische und Technische Optik
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126+96
Das Teleskop Apertur- und Feldblende eines teleskopischen Abbildungssystems (Kepler-Teleskop)
(a) Infinite distant objects aperture stop field stop
Bei unendlich weit entfernten Objekten ist in der Regel die Apertur der ersten Linse die Aperturblende. Die Feldblende bringt man sinnvollerweise in der gemeinsamen Brennebene des (Kepler-)Teleskops an. Bei einem Objekt in der vorderen Brennebene der ersten Linse ist die Apertur der ersten Linse die Feldblende, während eine Blende in der gemeinsamen Brennebene des Teleskops zur Aperturblende wird. Es tritt allerdings Vignettierung am Rand des Feldes auf. Geometrische und Technische Optik
(b) Finite distant objects
field stop
vignetted image point
aperture stop
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126+97
Das Teleskop Berechnung der Austrittspupille bei Kepler- und Galilei-Teleskop für entfernte Objekte und den Fall, dass die Apertur des Objektivs mit Durchmesser D die Aperturblende ist. Eintrittspupille fällt dann mit der Apertur des Objektivs zusammen und die Austrittspupille ist das Bild davon abgebildet durch das Okular mit Brennweite f2‘. Die Objektweite dO und Bildweite dI der Abbildung lauten also:
d O f1 ' f 2 '
f ' f ' f ' 1 1 1 dI 2 1 2 d I dO f 2 ' f1 '
Austrittspupille
f1 ' f 2 '
f2 '
f 2 ' f1 ' f 2 ' d f ' 1 f1 ' I 2 dO f1 ' f1 ' f 2 '
Die Bildweite der Austrittspupille ist also ungefähr gleich der Brennweite des Okulars und der Durchmesser der Austrittspupille ist D/||. Geometrische und Technische Optik
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126+98
Das Teleskop Anmerkungen zum Kepler-Teleskop: Kepler-Teleskop zur vergrößerten Abbildung ferner Objekte besteht aus dem Objektiv (erste Linse) und dem Okular (zweite Linse), die beide Sammellinsen sind. In der hinteren Brennebene des Objektivs entsteht ein reelles Bild des Objekts und hinter dem Okular ergibt sich wiederum ein Bild im Unendlichen, aber mit vergrößertem Sehwinkel, da f1‘>f2‘. Die Aperturblende des Kepler-Teleskops ist die Apertur des Objektivs mit Durchmesser D, solange die Apertur des Okulars groß genug ist. Wegen des deutlich geringeren Strahlquerschnitts am Okular (für ||>>1) muss die Apertur des Okulars allerdings absolut gesehen nicht sehr groß sein. Eintrittspupille des Teleskops = Apertur des Objektivs Austrittspupille als Bild der Aperturblende liegt nahe der hinteren Brennebene des Okulars wegen f1‘>>f2‘ und hat einen Durchmesser D/||. Die Pupille des Auges kann mit der Austrittspupille zur Deckung gebracht werden, so dass alles Licht, das das Objektiv trifft, auch auf die Netzhaut fällt, falls Durchmesser DAuge der Augenpupille DAuge>D/||. Geometrische und Technische Optik
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126+99
Das Teleskop Anmerkungen zum Galilei-Teleskop: Generell muss beim Galilei-Teleskop die Sammellinse die betragsmäßig größere Brennweite als die Zerstreuungslinse haben wegen:
d f1 ' f 2 ' 0 f1 ' f 2 '
1. Fall : f1 ' 0 f 2 ' 0 f 2 ' f 2 ' f1 ' f1 ' 2. Fall : f1 ' 0 f 2 ' 0 f1 ' f1 ' f 2 ' f 2 '
Vorteile sind: Die kompakte Baulänge von |f1‘|-|f2‘| verglichen mit |f1‘|+|f2‘| beim Kepler-Teleskop. Das aufrecht stehende Bild eines entfernten Objektes. Großer Nachteil ist (nur der Fall der Sammellinse als Objektiv wird betrachtet): Die Austrittspupille als Bild der Apertur des Objektivs abgebildet mit dem Okular liegt vor dem Okular, da dI≈f2‘0 kein Ellipsoid ergeben, dessen Symmetrieachse (=Drehachse) parallel zur Verbindungslinie zwischen den beiden Brennpunkten ist! K>0 große Halbachse der Ellipse in Richtung der Koordinate r, Drehung der Ellipse erfolgt aber um die z-Achse Keine aberrationsfreie Abbildung zwischen den beiden Brennpunkten!
Geometrische und Technische Optik
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126+109
Teleskope in der Astronomie Grenzfall Paraboloid: K -1 bzw. -K +1 R e 1 K
K 1
R / 1 K R / 1 K R / 2
Der eine Brennpunkt liegt also, wie schon früher gesagt, im Unendlichen. Der andere Brennpunkt liegt im Abstand R/2 vom Scheitel. Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis
Für einen konkaven Parabolspiegel (R1 für Hyperboloid, kann nur der Term mit dem „+“-Zeichen eine Lösung ergeben:
1 K
14 5
K
R 1400 mm -1750 mm d I 1 9 / 5 1 K
Geometrische und Technische Optik
e
dI
9 81 K 3.24 5 25
Zur Überprüfung: Die zweite Lösung ergibt
e
d
Negatives Vorzeichen deutet an, dass zweiter Brennpunkt auf anderer Seite des Spiegels als erster Brennpunkt ist. Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+116
Teleskope in der Astronomie Ray tracing Simulation des Beispiels: D=0.5 m, f‘=7 m, =0.5 µm Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis -1500
-1000
-500
Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis
0
-1500
600
600
400
400
200
Maßstabsgerecht
200
0
-1000
-500
0
250
250
200
200
150
150
100
100
50
50
0
0
0
-50
-200
-200
-400
-400
-600
Zoom
-600 -1500
-1000
-500
-100
-150
-150
-200
-200
-250
-250 -1500
0
10-8 µm! D.h. in Praxis beugungsbegrenzt
-50
-100
Spotdiagramme von Objektpunkten Auf Achse
-1000
-500
0
20 µm
0.1o off-axis
Zum Vergleich: beugungsbegrenzter Spot hat Durchmesser 2.44f‘/D=17 µm Geometrische und Technische Optik
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126+117
Teleskope in der Astronomie Das Schmidt-Cassegrain-Teleskop Am Eingang wird eine asphärische Phasenplatte (Glasplatte) zur Korrektur der sphärischen Aberration des sphärischen Primär-Spiegels angebracht. Ein konvexer (hyperbolischer) Sekundärspiegel lenkt dann das Licht durch ein Loch im Primärspiegel auf das Okular bzw. Detektor.
Die Schmidt-Kamera Nur für photographische Zwecke ist die SchmidtKamera geeignet, bei der eine asphärische Glasplatte mit Blende im Krümmungsmittelpunkt eines sphärischen Spiegels dessen sphärische Aberration korrigiert. Der Detektor muss sich im Tubus befinden, wobei Bildfeldwölbung auftritt. Durch das kugelsymmetrische Design sind Coma und Astigmatismus weitgehend korrigiert! Geometrische und Technische Optik
Quelle: Wikipedia
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126+118
Teleskope in der Astronomie Das Ritchey-Chrétien-Cassegrain-Teleskop Kombination zweier spezieller hyperbolischer Spiegel, die eine komafreie Abbildung ermöglichen. Bildfeld ist allerdings nach wie vor gekrümmt und muss anderweitig korrigiert werden.
Quelle: Wikipedia Geometrische und Technische Optik
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126+119
Teleskope in der Astronomie (Winkel-)Auflösungsvermögen eines (Spiegel-)Teleskops Wie schon mehrfach erwähnt wurde, begrenzt die Beugung die Auflösung eines Teleskops, vorausgesetzt das Teleskop hat keine Aberrationen. Bei einem Durchmesser D des Primärspiegels (=Eintrittspupille) und der Wellenlänge beträgt der Winkel zwischen zwei punktförmigen, (unendlich) weit entfernten Objekten, die gerade noch aufgelöst werden können:
k
D
Die Konstante k kann in der Praxis gleich eins gesetzt werden. Für eine Kreisapertur (ohne Obskuration) gilt k=1.22. Bei einer Ringapertur wie beim Newton- oder Cassegrain-Teleskop ist k leicht verschieden davon, je nachdem wie groß der innere Ring ist. Um eine aberrationsfreie Abbildung zu erhalten, müssen bei erdgebundenen Teleskopen aber Luftturbulenzen und Verbiegungen des Spiegels durch das Eigengewicht korrigiert werden. Adaptive und aktive Optik nötig (z.B. beim VLT) Geometrische und Technische Optik
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126+120
Teleskope in der Astronomie Zusammenhang Winkel-Auflösungsvermögen, Spiegeldurchmesser, Brennweite eines (Spiegel-)Teleskops Große Brennweite f‘ des Spiegelsystems bedeutet auch eine große laterale Vergrößerung: x f ' (Objekt mit Winkelgröße , laterale Größe x des Objekts auf dem Detektor) Durchmesser D des Primärspiegels (=Eintrittspupille), Wellenlänge Winkel zwischen zwei punktförmigen, (unendlich) weit entfernten Objekten, die gerade noch aufgelöst werden können, und entsprechende Größe x auf Detektor:
k
D
D
x f ' f '
D
Maximal sinnvolle laterale Vergrößerung ergibt sich daraus, dass die Pixel des Detektors einen Abstand xPixel von ca. 0.5*x haben (damit Intensitätsabnahme zwischen zwei auflösbaren Objektpunkten noch messbar ist):
2xPixel x f ' Geometrische und Technische Optik
D
f ' 2
D
xPixel Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+121
Teleskope in der Astronomie Für typischen CCD-Detektor mit hoher Intensitätsauflösung ( große Pixel), wie in Astronomie üblich, ist xPixel=10 µm bis xPixel=25 µm. Die maximal sinnvolle Blendenzahl f# ergibt sich dann in etwa zu (=0.5 µm):
f ' 2
D
xPixel f #
x f' 2 Pixel 40 100 D
In der Praxis wählt man die Blendenzahl meist etwas kleiner (ca. 13-50), da die Auflösung des Teleskops durch andere Faktoren etwas schlechter ist bzw. die Wellenlänge größer (IR), etc. Auch die nötige kompakte Bauweise der Riesenteleskope begrenzt die Brennweite.
Feldwinkel Feld:
Der Durchmesser xCCD des Detektors (= Anzahl NCCD der Pixel pro Zeile * xPixel) bestimmt mit der Brennweite f‘ den Feldwinkel:
Feld
xCCD N CCD xPixel f' f'
Geometrische und Technische Optik
z.B. f‘=100 m, NCCD=8000, xPixel=20 µm Feld=0.1o Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+122
Teleskope in der Astronomie Astronomische Kameras mit großen Feldwinkeln bis ca. 12o müssen also deutlich kleinere Brennweiten haben, da die Detektoren nicht viel größer werden können. Die resultierende Winkelauflösung der Kameras ist nicht so hoch wie sie laut der Beugungsbegrenzung sein könnte. Beispiel: Kepler Teleskop = Schmidt-Kamera zur Beobachtung von Exo-Planeten, Spiegel-Durchmesser ca. 1 m, Brennweite auch ca. 1 m, 42 CCD-Chips mit je 2200x1024 Pixel (Pixel-Größe ca. 25 µm)
Quelle: NASA Geometrische und Technische Optik
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126+123
Teleskope in der Astronomie Auflösungsbegrenzung durch Luftturbulenzen Durch unterschiedliche Brechzahlen (wegen unterschiedlichem lokalen Luftdruck) auf dem Weg des Lichts durch die untersten 15 km der Atmosphäre (Troposphäre) sind die optischen Weglängen verschiedener Strahlen in der Spiegelebene unterschiedlich Winkelauflösung eines Teleskops am Erdboden ist auf ca. 1 Bogensekunde begrenzt!
k
D
1' ' 5 10
6
k D
500 nm
k 1
100 mm
Dies wäre der Durchmesser eines einfachen Hobby-Teleskops und professionelle Teleskope für die Astronomie mit Spiegeldurchmessern von mehr als D=5 m wären von der Winkelauflösung um ca. einen Faktor 50 schlechter als durch die Beugung vorgegeben! Moderne Teleskope werden auf hohen Bergen installiert wegen der dünneren Atmosphäre. Weitere Korrektur durch deformierbare Spiegel nötig. Geometrische und Technische Optik
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126+124
Teleskope in der Astronomie Adaptive Optik zur Korrektur von atmosphärischen Turbulenzen Korrektur der Luftturbulenzen durch deformierbaren Spiegel. Regelgeschwindigkeit muss bei ca. 100 Hz liegen, um die atmosphärischen Schwankungen auszugleichen. Typischerweise wird der kleinere Sekundärspiegel oder ein weiterer (ebener) Spiegel deformiert. Messung der Wellenaberrationen mit ShackHartmann-Sensor meist anhand eines fernen Leitsterns (=ideale Punktlichtquelle). Aktive Optik funktioniert nach gleichem Prinzip, korrigiert aber nur Verformungen des Spiegels aufgrund der Bewegung. Die Messung erfolgt deshalb auch nur ca. jede Minute. Geometrische und Technische Optik
Quelle: Wikipedia Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+125
Teleskope in der Astronomie Shack-Hartmann-Sensor zur Messung von WellenfrontDeformationen Mikrolinsenarray mit Brennweite f‘ vor einem Detektor (CCD-Kamera) •
Laterale Spotauslenkungen hängen von lokaler Steigung der Wellenfront ab
•
Interpretation als lokale Ableitungen der Wellenfront (W: optische Weglänge):
W x x f' W y y f'
y deformierte Wellenfront
lokale Koordinaten
x
lokale Opt. Achsen
Integration liefert die Wellenfront
Geometrische und Technische Optik
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126+126
Das Mikroskop
Geometrische und Technische Optik
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126+127
Das Mikroskop Um kleine nahe Objekte vergrößert abzubilden, gibt es mehrere Möglichkeiten: • Die Lupe • Das visuelle Mikroskop zum direkten Betrachten mit dem Auge • Das Inspektions-Mikroskop mit elektronischem Detektor • Weitere Möglichkeiten: • Laser-Scanning-Mikroskop oder konfokales Mikroskop: in beiden Fällen wird ein Objekt Punkt für Punkt abgerastert • Dunkelfeld-, Polarisations- oder Phasenkontrast-Mikroskop: spezielle wellenoptische Eigenschaften werden ausgenutzt Je nach Beleuchtungsart unterscheidet man auch Auflicht- und Durchlicht-Mikroskope Geometrische und Technische Optik
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126+128
Das Mikroskop Die Lupe: Die Größe eines Objektes auf unserer Netzhaut hängt vom Sehwinkel O ab, unter dem das Objekt erscheint.
dO,2 xO
jO,1
Hauptebene des Auges
xO jO,2
Auge
dO,1
Um so näher das Objekt am Auge ist, desto größer erscheint es. Aber das Auge hat eine minimale Entfernung, auf die es scharf stellen kann. Zum entspannten Betrachten ist dies die sogenannte deutliche Sehweite dS=25 cm Eine Sammellinse direkt vor dem Auge, die Lupe, kann ein vergrößertes virtuelles Bild im Abstand |dI|=dS vor dem Auge erzeugen. Anmerkung: Man kann eine Lupe auch so benutzen, dass sie nicht direkt vor dem Auge ist. Diesen Fall betrachten wir hier aber nicht. Geometrische und Technische Optik
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126+129
Das Mikroskop Da das menschliche Auge nur in Luft scharfe Bilder liefert, gilt im Bildraum der Lupe n‘=1. Abbildungsgleichung für Brechzahl n zwischen Objekt und Lupe (wenn auch meist n=1):
1 n 1 d I dO f'
f‘: Brennweite der Lupe
Lupe xI
dI jI=jO xO
dO
Auge
F Objekt Grafik für n=n‘
Wegen Vorzeichen-Definition sind sowohl dO als auch dI = -dS negativ. Für den lateralen Abbildungsmaßstab gilt:
d x d d d I I I n I 1 I 1 S xO O d O dO f' f'
n ' 1
wobei n' I nO
I n (paraxialer Fall) O
Beispiel: Lupe mit f‘=5 cm =1+25/5=6 Anm.: In der Praxis ist eine gute Lupe ein achromatisches mehrlinsiges System. Geometrische und Technische Optik
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126+130
Das Mikroskop Einsatzgrenze der Lupe: Für starke Vergrößerung muss die Brennweite f‘ sehr klein sein und deshalb das Objekt sehr nahe an die Lupe und damit auch ans Auge gebracht werden. Vergrößerung der Lupe ist begrenzt. Ausweg: zweistufige Abbildung im Mikroskop zur visuellen Betrachtung: • Mikro-Objektiv erzeugt reelles vergrößertes Zwischenbild des Objekts mit Abbildungsmaßstab 1>1 (in Praxis |1| zwischen etwa 5 und 100). • Dieses Bild wird mit einer Lupe (hier genannt: Okular) nochmals um den Faktor 2>1 (|2| zwischen etwa 5 und 20) vergrößert, so dass ein stark vergrößertes virtuelles Bild im Abstand der deutlichen Sehweite vor dem Auge erzeugt wird. Der resultierende laterale Abbildungsmaßstab ist das Produkt der beiden Abbildungsmaßstäbe 1 und 2:
Mikro-Objektiv
Okular
Reelles Zwischenbild
Objekt F1 F2F’1
1 2 mit 0 1 Virtuelles Bild Geometrische und Technische Optik
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126+131
Das Mikroskop Anmerkungen: • Das Mikro-Objektiv muss achromatisch sein, eine hohe numerische Apertur und ein großes aberrationsfreies Feld haben. Kompliziertes System aus vielen Linsen nötig. Sinus-Bedingung muss erfüllt sein Coma korrigiert. • Oftmals sind moderne Mikro-Objektive auf „unendlich korrigiert“, d.h. das Objekt befindet sich exakt in der vorderen Brennebene und hinter dem Objektiv entsteht für jeden Objektpunkt eine (geneigte) ebene Welle. Das reelle Zwischenbild wird mit einer zusätzlichen, sogenannten Tubus-Linse erzeugt, deren Brennweite gleich der Tubuslänge (oft 160 mm) ist. Vorteil dieser Konfiguration ist, dass der Abstand zwischen Mikro-Objektiv und Tubuslinse weitgehend beliebig sein kann und dort nur ebene Wellen vorhanden sind, die beim Durchgang durch Planplatten, wie z.B. in einem Strahlteiler, keine zusätzlichen Aberrationen erzeugen. • Bei biologischen Objekten befindet sich zwischen Objekt und Mikro-Objektiv oft ein Deckglas. Die Aberrationen beim Durchgang der Kugelwelle vom Objekt durch das Deckglas müssen dann im Design des Mikro-Objektivs korrigiert werden. Geometrische und Technische Optik
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126+132
Das Mikroskop Mikroskop mit Objektiv, das für endliche oder unendliche Entfernung des Bildes korrigiert ist: Intermediate Image Distance
Achtung: Bild des Okulars ist natürlich virtuell mit Bildlage vor dem Okular bzw. im Unendlichen.
Quelle: http://www.microscopyu.com/articles/optics/images/infinityoptics/infinityfigure2.jpg Geometrische und Technische Optik
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126+133
Das Mikroskop Auflösungsgrenze des Mikroskops (für inkohärentes Licht): Zwei Objektpunkte mit lateralem Abstand x können, wenn sie inkohärent zueinander strahlen, gerade dann noch aufgelöst werden, wenn gilt:
NA
k
x
n sin
1
0.9
x k
0.7 0.6 0.5 0.4
Intensity (normalized)
0.3 0.2 0.1 0
n: Brechzahl zwischen Objekt und Mikro-Objektiv : (halber) Aperturwinkel des Mikro-Objektivs k: Konstante, die bei einer Kreisapertur normalerweise 0.61 ist, die aber je nach Beleuchtung und Detektor (z.B. bei Nichtlinearität oder Schwellenempfindlichkeit) auch etwas kleiner oder größer sein kann.
0.8
: Wellenlänge im Vakuum
-0.01
-0.006
-0.002 0
0.002
0.006
0.01
x-axis (mm)
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126+134
Das Mikroskop Abbe‘sche Theorie des Mikroskops (für kohärentes Licht): Alternative Betrachtungsweise zur Auflösungsgrenze, indem ein periodisches Objekt (Linien-Gitter) der Periodenlänge p betrachtet und mit einer ebenen Welle beleuchtet wird.
m=1 j’1 m=0
Damit das Gitter gerade noch abgebildet wird, müssen mindestens die 0. Beugungsordnung und eine der ersten Beugungsordnungen vom Objektiv übertragen werden.
p
Bei achsenparalleler Einstrahlung (oberes Bild) muss dann für den Beugungswinkel ‘1 in erster Beugungsordnung gelten (: Aperturwinkel des Mikro-Objektivs, n: Brechzahl vor Objektiv):
n sin '1
p
n sin p
n sin
NA
Bei schräger Beleuchtung (unteres Bild) kann man das gleiche Gitter schon bei kleinerem Aperturwinkel gerade noch abbilden. Geometrische und Technische Optik
m=-1
m=1
j’1
m=0
j p
m=-1
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126+135
Das Mikroskop Sinnvolle maximale Vergrößerung eines visuellen Mikroskops: Um die für ein visuelles Mikroskop sinnvolle maximale Vergrößerung || zu berechnen, muss man zuerst die Auflösung des Auges kennen. Bei der Besprechung des menschlichen Auges hatten wir gesehen, dass dieses unter optimalen Bedingungen zwei Objekte mit Sehwinkel-Abstand von =30‘‘ noch unterscheiden kann. Unter normalen Bedingungen und „entspanntem“ Sehen sollte man also zwei Objekte im Abstand der deutlichen Sehweite mit =2‘ noch gut unterscheiden können. Der laterale Abstand xAuge der auflösbaren Punkte ist dann:
x Auge d S 250 mm 2
180 60
0.15 mm
Der Abstand x zweier Punkte des Objekts unter dem Mikroskop, die bedingt durch Beugung gerade noch aufgelöst werden können, sollte also auf die Größe xAuge vergrößert werden, so dass für den Abbildungsmaßstab || gilt:
x Auge x
x Auge NA
500 nm
k
NA 1, k 0.61
Geometrische und Technische Optik
500 Stärkere Vergrößerungen als ca. 500-1000 machen also in der Praxis keinen Sinn! Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+136
Das Mikroskop Das Inspektions-Mikroskop mit elektronischem Detektor: In der Praxis sieht man heutzutage oft nicht direkt durch ein Mikroskop, sondern nimmt das Bild mit einem CCD-Chip auf und schaut es auf einem Bildschirm an. Auf dem CCD-Chip muss ein reelles Bild vorhanden sein. Das Okular entfällt. Sinnvolle maximale Vergrößerung || liegt dann vor, wenn der Intensitätsabfall zwischen zwei gerade noch auflösbaren Objektpunkten auf dem CCD-Chip sichtbar ist. Für Pixelabstand d muss gelten:
d
x 2d NA k 2 2 NA k
Abstand d der CCD-Pixel typischerweise 5 µm d 20 µm (bzw. d=25 µm für lichtschwache astronomische Anwendungen). Beim Mikroskop eher 5 µm d 10 µm. Für sichtbares Licht (=500 nm), Objekt in Luft (d.h. n=1) und sin=1 (maximaler Wert) folgt dann für k=0.61 und Pixelabstand d=10 µm: ||=66 Das reelle Bild kann mit einem hochaperturigen Mikro-Objektiv erzeugt werden. Geometrische und Technische Optik
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126+137
Das Mikroskop UV-Mikroskope mit Wasser-Immersion: Höchste Auflösung mit „Licht“-Mikroskop Reduktion der Wellenlänge und Erhöhung der numerischen Apertur durch Immersionsflüssigkeit zwischen Objekt und Mikro-Objektiv. Systeme zur Inspektion von Masken für ICs: =248 nm und NA1.25 (Brechzahl Wasser im UV n1.38). Damit erhält man (für k=0.61): x=120 nm Möchte man den Intensitätsabfall zwischen zwei gerade noch auflösbaren Objektpunkten also auf einem CCD-Pixel (d=12 µm) detektieren, muss die Vergrößerung betragen: d
2
x
200
Quelle: Leica, http://www.dgao-proceedings.de/download/106/106_a28.pdf
Es gibt mittlerweile Mikro-Objektive mit direkter 200-facher Vergrößerung. Auch eine zweistufige reelle Abbildung ist möglich, wobei das zweite Abbildungssystem nur eine sehr geringe numerische Apertur haben muss, da diese ja durch die erste Abbildung mit Abbildungsmaßstab 1 stark verringert wird: NABild=NAObjekt/|| Geometrische und Technische Optik
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126+138
Das Mikroskop Verschiedene Arten der MikroskopBeleuchtung: Strahlengänge im Mikroskop einschließlich Beleuchtungssystem (Kondensor): • Feldblende des Kondensors bestimmt die Größe des beleuchteten Objektfelds/Prüflings • Aperturblende des Kondensors bestimmt die Winkel, unter denen das Objekt beleuchtet wird
Quelle: http://web.uvic.ca/ail/techniques/ scope light path.jpg Geometrische und Technische Optik
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126+139
Das Mikroskop Hellfeld-Beleuchtung: • Probe wird im Durchlicht oder Auflicht aus verschiedenen Richtungen beleuchtet. • Ungestreutes Hintergrundlicht und gestreutes Licht gehen durchs Objektiv Feld um Probe ist hell. • Bildgebung erfolgt durch Absorption der Probe.
Geometrische und Technische Optik
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126+140
Das Mikroskop Dunkelfeld-Beleuchtung: • Probe wird im Durchlicht oder Auflicht nur aus Richtungen mit großen Winkeln beleuchtet. • Ungestreutes Hintergrundlicht wird von Objektiv nicht erfasst (zu große Winkel), an der Probe gestreutes Licht geht durchs Objektiv Feld um Probe ist dunkel. • Bildgebung erfolgt durch an der Probe gestreutes Licht.
Quelle: Wikipedia Geometrische und Technische Optik
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126+141
Das Mikroskop Kreuzpolarisations-Beleuchtung: • Probe wird mit Hilfe eines Polarisators mit linear polarisiertem Licht beleuchtet. Das Licht hinter der Probe geht durch einen zweiten, aber gekreuzten Polarisator (d.h. Polarisationsachse um 90 Grad gedreht). • Nur Licht, dessen Polarisationszustand durch die Probe verändert wurde, wird von zweitem Polarisator durchgelassen Feld um die Probe ist wiederum dunkel. • Bildgebung erfolgt durch die Polarisationseigenschaften der Probe (Rotation der Polarisationsrichtung).
Geometrische und Technische Optik
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126+142
Das Mikroskop Phasenkontrast Mikroskop (Zernike’s Phasenkontrast-Methode): • Probe wird mit ringförmigem Winkelspektrum ebener Wellen beleuchtet, die alle den gleichen Winkel relativ zur optischen Achse haben. • Ungestreutes Licht formt in der hinteren Brennebene des Objektivs einen Ring. Die Phase dieses Lichts wird um /2 (90o) verschoben, indem ein schmaler ringförmiger Bereich mit Tiefe /(4(nglass-1)) in eine Glasplatte geätzt wird. Das an der Probe gestreute Licht wird nicht zusätzlich in der Phase geschoben. • Durch Interferenz zwischen dem an der Probe gestreuten und dem phasenverschobenen ungestreuten Licht werden Phaseninformationen (optische Weglängenänderungen) der Probe als Intensitätsschwankungen sichtbar. In einem normalen Mikroskop sind reine Phasenobjekte dagegen unsichtbar. • Bildgebung erfolgt durch die Phase der Probe.
Geometrische und Technische Optik
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126+143
Das Mikroskop Verschiedene Durchleuchtungsmethoden (Probe: Toilettenpapier, 1.6 µm/Pixel): HellfeldBeleuchtung
DunkelfeldBeleuchtung
Quelle: Wikipedia
KreuzpolarisatorBeleuchtung
Geometrische und Technische Optik
Phasenkontrast Mikroskopie
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126+144
Das Mikroskop Das konfokale Mikroskop: • Im Gegensatz zu allen bisherigen Arten von Mikroskopen, bei denen ein Bild der Probe parallel auf einmal geformt wurde, beleuchtet das konfokale Mikroskop nur einen punktförmigen Bereich der Probe zu einem Zeitpunkt. • Bild der Probe erfolgt durch Abtastung der Probe (in 3 Dimensionen). • Spezialität des konfokalen Mikroskops ist die hohe Tiefenauflösung, die von einer punktförmigen Blende vor dem Detektor stammt. Nur wenn der betrachtete Punkt der Probe im Fokus der Beleuchtung ist, kann das an der Probe reflektierte Licht die Blende vor dem Detektor ungehindert passieren. Das konfokale Fluoreszenzmikroskop: Nur von der Probe mittels Fluoreszenz emittiertes Licht (d.h. andere Wellenlänge als beleuchtendes Licht) wird detektiert. Resultierende Punktbildfunktion (PSF) ist das Produkt der Beleuchtungs-PSF und der Abbildungs-PSF höhere Tiefenauflösung Quelle: Wikipedia und leicht höhere laterale Auflösung. Institut für Optik, Geometrische und Technische Optik
Information und Photonik
N. Lindlein
126+145
Das Mikroskop
PSF normales Mikroskop
Laterale Auflösung ca. 0.61/NA
Laterale PSF
Axiale PSF
PSF konfokales Mikroskop (=PSF2)
Vergleich der PSFs eines normalen und eines konfokalen Mikroskops: Laterale Auflösung ca. 0.4/NA
NA=0.5
=0.5 µm Geometrische und Technische Optik
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126+146
Das Mikroskop Konfokales Mikroskop mit Nipkow-Scheibe: Durch Verwendung einer Nipkow-Scheibe mit vielen spiralförmig angeordneten Lochblenden können auch viele Punkte der Probe auf einmal beleuchtet und detektiert werden. Randbedingung: alle Lochblenden müssen soweit voneinander entfernt sein, dass ihre Punktbildfunktionen im Bild nicht überlappen. Durch Rotation der Nipkow-Scheibe werden alle Punkte der Probe abgetastet. Während für ein punktförmig abtastendes Mikroskop ein Single-Pixel-Detektor verwendet werden kann (z.B. Photomultiplier), erfordert das konfokale Mikroskop mit Nipkow-Scheibe einen ArrayDetektor (z.B. CCD). Quelle: http://images.pennnet.com/articles/lfw/thm/th_0505lf09f3.gif Geometrische und Technische Optik
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126+147
Das Mikroskop Vergleich Teleskop und Mikroskop: Teleskop
Mikroskop
Zweck
Soll (unendlich) weit entfernte Soll nahe sehr kleine Objekte (meist sehr große) Objekte vergrößert abbilden. vergrößert abbilden.
Prinzip
Winkelvergrößerung =‘/
Auflösung Winkelauflösung
kT
D
Laterale Vergrößerung =x‘/x Ortsauflösung
kT=1.22 für Kreisapertur
x k M
Zusammenhang zwischen den Größen: sin
NA
kM
n sin
kM=0.61 für Kreisapertur
D und x f ' kT 2k M 2f'
: Winkel, unter dem das Objekt erscheint, ‘: Winkel, unter dem das Bild erscheint, x, x‘: laterale Objekt- bzw. Bildgröße, : Wellenlänge im Vakuum, D: Aperturdurchmesser, n: Brechzahl zwischen Objekt und Objektiv, : (halber) Aperturwinkel, f‘: Brennweite des Objektivs Geometrische und Technische Optik
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126+148
Anwendung optischer Methoden in der Astronomie: Detektion erdähnlicher Planeten um andere Sterne
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+149
Detektion erdähnlicher Planeten Im Folgenden sollen Verfahren zum Auffinden erdähnlicher Planeten um andere Sterne diskutiert werden. Was hat dies mit technischer Optik zu tun? Letztendlich stammt die gesamte Information, die wir in der Astronomie von fernen Sternen und Sternsystemen bisher haben, von elektromagnetischer Strahlung (Detektionsverfahren für Gravitationswellen und Neutrinos sind erst in der Entwicklung und würden bei der Suche nach Exoplaneten kaum helfen). Davon wiederum hat das Spektrum vom fernen Infrarot bis zum nahen Ultraviolett, in dem optische Methoden zum Einsatz kommen, den wichtigsten Anteil. Verfahren der technischen Optik in Kombination mit anderen physikalischen Verfahren kommen zum Einsatz. Geometrische und Technische Optik
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126+150
Detektion erdähnlicher Planeten Methode 1: Periodische Doppler-Verschiebung der Spektrallinien des Sterns aufgrund der Rotation um den gemeinsamen Schwerpunkt (Radialgeschwindigkeits-Methode) Mit dieser Methode wurden schon mehrere Riesenplaneten mit sehr kleinen Bahnradien nachgewiesen. Momentane „Standardmethode“. Könnte mit diesem Verfahren auch ein erdähnlicher Planet in einem unserem Sonnensystem ähnlichen Planetensystem nachgewiesen werden? Als Modellsystem betrachten wir für alle Methoden unser eigenes Sonnensystem und unsere Erde und versuchen abzuschätzen, ob wir die Erde aus vielen Lichtjahren Entfernung nachweisen könnten.
Geometrische und Technische Optik
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126+151
Detektion erdähnlicher Planeten Verwendete Größen: Erdmasse mE=5.974.1024 kg, Sonnenmasse MS=1.989.1030 kg, Abstand Erde-Sonne r=1 AE=149.6.106 km, Abstand Sonne vom gemeinsamen Schwerpunkt rS, Abstand Erde vom gemeinsamen Schwerpunkt rE.
Kreisbahn wird angenommen! r
Schwerpunktsbedingung: mE rE M S rS
rS
Sonne
rE Schwerpunkt Erde
r rE rS r rE r
mE M mE MS rE S rE rE r MS MS M S mE
MS M mE mE rS rS S rS rS r mE mE M S mE
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126+152
Detektion erdähnlicher Planeten Zentrifugalkraft = Gravitationskraft
v 2E GmE M S mE M S mE 2 GmE M S vE vE M S mE 2 2 rE r MSr r
G M S mE r
v 2S GmE M S M S M S mE 2 GmE M S vS v S mE MS 2 2 rS r mE r r
G M S mE r
vE: Bahngeschwindigkeit des Planeten um Schwerpunkt; vS: Bahngeschwindigkeit des Sterns um Schwerpunkt Gravitationskonstante G=6.67.10-11 m3.kg-1.s-2
Umlaufzeit T (selbstverständlich für Stern und Planet gleich): MS 2 2 v E E rE rE r MS T T M S mE
G M S mE r
r3 T 2 365.3 Tage (für Erde) G M S m E Geometrische und Technische Optik
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126+153
Detektion erdähnlicher Planeten Optischer Dopplereffekt: v2 1 2 c 0 v 1 cos c
0
v / c 1
1
v cos c
v 0 1 cos c
v / c 1
: Frequenz des dopplerverschobenen Lichts, 0: Frequenz bei ruhendem Objekt,
v: Betrag der Relativ-Geschwindigkeit zwischen Objekt und Beobachter, c: Lichtgeschwindigkeit, : Winkel zwischen Beobachtungsrichtung und Bewegungsrichtung des Objekts: =0 Objekt entfernt sich (Rotverschiebung), = Objekt nähert sich (Blauverschiebung)
Doppler-Verschiebung ist also maximal, wenn die Bahnebene des Systems parallel zur Beobachtungsrichtung ist. Die Stärke nimmt aber nur Kosinus-förmig ab, wenn dies nicht der Fall ist. In ersterem Fall ist /0 während eines vollen Umlaufs: v 2 0 c Geometrische und Technische Optik
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126+154
Detektion erdähnlicher Planeten Abschätzung Doppler-Verschiebung in unserem Sonnensystem: Bahngeschwindigkeit vS um Schwerpunkt bzw. maximale Doppler-Verschiebung der Sonne (Bahnebene || Beobachtungsrichtung) aufgrund des Einflusses von Jupiter: mJ=1.899.1027 kg, MS=1.989.1030 kg, rJ=5.204 AE, c=2.998.108 m s-1
v S mJ
vS G m 12.5 2 8.3 10 8 M S mJ rJ s c 0
Anschaulicher Vergleich: 100 m Weltklasse-Sprinter erreicht in etwa diese Geschwindigkeit. Man müsste also die Spektralverschiebung einer Spektrallampe messen können, die er beim Sprint mit sich trägt. Einfluss der Erde auf die Sonne: mE=5.974.1024 kg, rE=1 AE
v S mE
Bisher minimal messbare Geschwindigkeit ca. 1 m/s Zu klein für Messung!
vS G mE m 0.089 2 2 M S mE rE 0 c c s
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G 6 10 10 M S mE rE
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126+155
Detektion erdähnlicher Planeten Methode 2: Verdunkelung des Sterns aufgrund der Passage eines Planeten zwischen Stern und Beobachter (Transit-Methode) Mit dieser Methode wurden auch schon einige Riesenplaneten nachgewiesen. Voraussetzung: Die Bahnebene des Planeten muss fast parallel zur Beobachtungsrichtung sein. Die Spitze des BahnebenenNormalenvektors muss also auf der Einheitskugel auf einem Ring senkrecht zur Beobachtungsrichtung liegen, dessen Winkeldicke durch das Verhältnis DS/r gegeben ist (DS: Durchmesser des Sterns (=Sonne), r: Bahnradius des Planeten (=Erde)). Wahrscheinlichkeit W, dass dies der Fall ist: 2DS / r DS 1.39 106 km W 0.005 0.5% 6 4 2r 2 149.6 10 km Geometrische und Technische Optik
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126+156
Detektion erdähnlicher Planeten Relative Reduktion der Helligkeit I/I0 des Sterns beim Durchzug des Planeten hängt vom Flächenverhältnis beider Himmelskörper ab (Durchmesser Stern DS, Durchmesser Planet DE), ist aber unabhängig vom Abstand zum Beobachter: 2 DE2 10 2 1% (für Jupiter mit DJ 1.38 105 km) I DE / 2 2 4 2 I 0 DS / 2 DS 10 0.01% (für Erde mit DE 1.27 10 4 km)
Dauer t des Vorbeizugs des Planeten am Stern bei zentralem Vorbeizug, d.h. Bahnebene exakt parallel zur Beobachtungsrichtung (T: Umlaufdauer des Planeten um den Stern, r: Bahnradius):
DS 1.39 106 km t T 365 24 h 13 h (für Erde) 6 2r 2 149.6 10 km
Natürliche Schwankung der Helligkeit der Sonne 0.1% Helligkeitsreduktion bei Durchzug eines erdähnlichen Planeten kaum vom natürlichen „Rauschen“ unterscheidbar. Beobachtung müsste auf jeden Fall ständig und über mehrere Umläufe/Jahre erfolgen, damit ein periodisches Signal aus dem Rauschen gefiltert werden könnte! Nur vom Weltall aus möglich wegen Helligkeitsschwankung durch Atmosphäre! Geometrische und Technische Optik
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126+157
Detektion erdähnlicher Planeten Methode 3: Direkte Beobachtung des Planeten. Winkelauflösungsvermögen eines Teleskops mit Spiegeldurchmesser D bei der Wellenlänge :
D
Bei Beobachtung aus d=10 Lichtjahren Entfernung und =500 nm müsste dann für den Spiegeldurchmesser gelten (r: Bahnradius):
d r 10 365 24 3600 3 108 m 6 D 0 . 5 10 m 9 D d r 149.6 10 m 10 9.46 1015 m 6 0 . 5 10 m 0.32 m 9 149.6 10 m
Hubble-Weltraum-Teleskop mit D=2.4 m wäre also ausreichend? ACHTUNG!!! Gleichung für Auflösungsvermögen gilt nur für zwei gleich helle Punkte! Institut für Optik, Geometrische und Technische Optik
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N. Lindlein
126+158
Detektion erdähnlicher Planeten Exkurs in Wellenoptik: Intensitätsverteilung I() (Airy-Verteilung) des Bildes eines -entfernten Objektes in Brennebene eines Teleskops mit kreisförmiger Apertur (Durchmesser D, Brennweite f‘, : radiale Koordinate in Brennebene, Wellenlänge Intensität der einfallenden ebenen Welle I0):
D 2 J 1 ˆ D D I ˆ I 0 mit ˆ f' 4 f ' ˆ : entsprechende Winkel-Koordinate 2
2
Erste Nullstelle der Airy-Verteilung bei: ˆ 1.22 1.22
D
D
Asymptotisches Verhalten für ˆ : I ˆ ˆ 8 cos 2 ˆ 3 / 4 I 0 ˆ 3
Geometrische und Technische Optik
^)]2 [2J1(pr ^)/(pr
2
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -3
-2
-1
0
1
2
^ r Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik
126+159
3
Detektion erdähnlicher Planeten Auflösungsvermögen für zwei Punkte nach Rayleigh: Maximum der Intensität des einen Punktes fällt mit dem ersten Minimum der Intensität des zweiten Punktes zusammen. Hierbei werden aber zwei gleich helle Punkte angenommen! D
1
0.9
D
0.8
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0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
Im Fall eines Sterns und eines Planeten sind die Intensitäten aber extrem unterschiedlich, so dass das IntensitätsMaximum des Planetenbildes selbst von weit außen liegenden Nebenmaxima höherer Ordnung des Sternbildes überstrahlt wird.
Intensity (normalized)
0.7
1.22
-0.01
-0.006
-0.002 0
0.002
0.006
0.01
x-axis (mm)
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126+160
Detektion erdähnlicher Planeten Überblick über nötige Spiegeldurchmesser bzw. erreichbare Auflösung bei Beobachtung einiger Objekte in Astronomie oder Alltag: Erdbeobachtung mit Satellit: Entfernung ca. d=300 km, Spiegeldurchmesser ca. D=3 m, Wellenlänge =0.5 µm Auflösung x (in Praxis wegen Einfluss der Atmosphäre geringer):
x d d
5 cm
Autonummern bzw. Gesichter nicht erkennbar!
D Beobachtung des Mondes von der Erde aus: Entfernung d=384 000 km, Spiegeldurchmesser zur Zeit maximal D=10 m, Wellenlänge =0.5 µm Auflösung x (in Praxis wegen Einfluss der Atmosphäre geringer): Überreste von Apollo-Mondlandungen (x
