Universidad de Puerto Rico en Cayey PRONTUARIO DE CURSO1

1.

Información que aparecerá en el catálogo 1.1.

Departamento: Matemática-Física

1.2.

Codificación: Mate-3052

1.3.

Título: Introducción al Cálculo I

1.4.

Requisitos: Matemática 3172

1.5.

Sesiones en que generalmente se ofrecerá y frecuencia: x

Primer semestre ____ Segundo semestre

1.6.

Créditos: Tres (3) créditos

1.7.

Horas semanales: Tres (3) horas

1.8.

Descripción:

____ Verano

En este curso el estudiante adquirirá y aplicará los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral. Incluye: Nociones de límite y continuidad, derivadas, pendiente de curvas, tasas de variación, cinemática; Reglas de derivación, enunciados de los teoremas del valor medio, acotación de funciones continuas, teoremas del valor medio con aplicaciones a la teoría de extremos; Máximos y mínimos, gráficas de funciones; Antiderivadas y diferenciales. Integración como antiderivación; Reglas de integración; 1

Certificación 25 (2009-2010) del Senado Académico

Cálculo de áreas; Interpretación de la integral como límites de sumas de Riemman; Teorema fundamental del Cálculo; La función inversa y su derivada; Funciones exponenciales y logarítmicas. Este curso es requisito para todos los estudiantes de ciencias y matemática. La matrícula por semestre es de 250 estudiantes aproximadamente. 1.9.

2.

Alineación de los estándares de las Agencias Acreditadoras, si aplica.

N/A

Compendio2 2.1.

Objetivos: 2.1.1. Generales: 2.1.1.1.

Realzar la importancia del Cálculo como una de las mayores creaciones de la humanidad.

2.1.1.2.

Utilizar el tema de Ecuaciones diferenciales como ente unificador de los temas del curso.

2.1.1.3.

El uso de métodos y técnicas matemáticas para la resolución elemental de problemas que surgen

de

fenómenos dinámicos. 2.1.1.4.

El

estudio

de

los

conceptos

básicos

del

cálculo

diferencial e integral. 2.1.1.5.

La aplicación de las técnicas del cálculo diferencial e integral en la resolución de problemas.

2.1.1.6.

El desarrollo de la capacidad para el razonamiento lógico,

la

manipulación

algebraica,

el

dominio

numérico, simbólico y gráfico que permita entender situaciones, predecir y solucionar problemas.

2

Esta información sirve de punto de partida para la elaboración del Programa que entregará el profesor a los estudiantes matriculados en el curso el primer día de clases (Certificación 56 1983-84 de la Junta Académica).

2.1.1.7.

El desarrollo de la capacidad para comunicarse en forma oral y escrita efectivamente a través

de las

matemáticas. 2.1.1.8.

El desarrollo de la capacidad para realizar actividades en conjunto, en forma reflexiva, crítica y activa, con el propósito de lograr una meta común.

2.1.1.9.

El desarrollo del pensamiento reflexivo, creativo y crítico.

2.1.2. Específicos: Al finalizar el estudio del curso, el estudiante: 2.1.2.1. Definirá el límite de una función en un

punto de

acumulación de su dominio. 2.1.2.2. Verificará límites utilizando la definición. 2.1.2.3.

Enunciará los teoremas de: acotamiento, operaciones con funciones, y del emparedado.

2.1.2.4.

Evaluará límites: Utilizando los teoremas de límites Dada

la

fórmula

de

una

función,

dado

que

limx→c f (x ) = l ∧ limx→c g(x ) = j Factorizando Para el caso de una función de la forma

f (x ) , cuando g (x )

la evaluación directa produce la forma indeterminada

0 0 Racionalizando Para el caso de una función

con una división de

funciones que contiene radicales y cuyo límite tiene división por cero

Utilizando tablas Para el caso de una división de funciones cuyo límite tiene

lim h→0 2.1.2.5.

por

cero

como

por

ejemplo:

los

límites:

cos (h) − 1 sen (h) . ∧ lim h→0 h h Probará

lim h→0 2.1.2.6.

división

geométricamente

cos (h) − 1 sen (h) ∧ lim h→0 h h Definirá cuando una función es continua en un

punto de su dominio y en un conjunto. 2.1.2.7.

Aplicará la definición de continuidad en un punto y en un conjunto a casos particulares.

2.1.2.8.

Verificará que una función es continua en un punto y en un intervalo.

2.1.2.9.

Enunciará

y

aplicará

el

teorema

sobre

las

operaciones con funciones continuas para la: suma, resta, multiplicación, división y composición. 2.1.2.10.

Determinará el valor de una función donde haya una discontinuidad removible.

2.1.2.11.

Determinará el valor de parámetros para que una función definida seccionalmente (por pedazos) sea continua.

2.1.2.12.

Aplicarán los teoremas de continuidad para probar la continuidad de funciones polinómicas y racionales (Determinará el valor de la abscisa donde una función racional es continua y una o más constante para que una función sea continua en todo su dominio).

2.1.2.13.

Enunciara’ el teorema del Valor Intermedio y aplicarán éste para localizar los ceros de una función (raíces).

2.1.2.14.

Explicará

el

significado

del:

lim x→c f (x ) = ∞ ∧ lim x→c f (x ) = − ∞ . 2.1.2.15.

Definirá los términos asíntota: vertical, horizontal y oblicua.

2.1.2.16.

Evaluará límites donde los valores de la función tienden a infinito en magnitud.

2.1.2.17.

Enunciará un teorema sobre el resultado de límites de la forma: lim x →∞

p(x ) , q(x ) ≠ 0 , donde p y q son q (x )

polinomios. 2.1.2.18.

Determinará e interpretará el resultado para límites de la forma: lim x →∞

p(x ) , q(x ) ≠ 0 , donde p y q son q (x )

polinomios. 2.1.2.19.

Definirá la derivada en un punto y en un conjunto.

2.1.2.20.

Representará

gráficamente

la

definición

de

derivada en un punto explicando el significado de ésta. 2.1.2.21.

Determinará

la

derivada

de

una

función

utilizando la definición. 2.1.2.22.

Interpretará gráficamente la derivada como la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la curva y como una razón instantánea de cambio.

2.1.2.23.

Utilizará la definición de derivada para determinar la derivada de

4 funciones como f x = : x , x 2 , x 3 , x ,

()

x , 3 x , sen (x ), cos (x ). 2.1.2.24.

Enunciará la regla para determinar la derivada de: una constante por una función, una suma de

funciones, un producto de funciones y un cociente de funciones. 2.1.2.25.

Probará la regla para determinar la derivada de: una constante por una función, una suma de funciones, un producto de funciones y un cociente de funciones.

2.1.2.26.

Derivará la fórmula para la derivada de las funciones f x = : tan(x ), cot (x ) , sec (x ) y csc (x ).

()

2.1.2.27.

Determinará la primera derivada de suma, resta, multiplicación y división de las funciones f x = : a, x n ,

sen (x ), cos (x ), tan (x ) ,

() cot (x), sec (x ), csc (x) y

n

x,

donde a y n son constantes. 2.1.2.28.

Determinará la ecuación de la línea tangente a la gráfica de una curva en un punto.

2.1.2.29.

Utilizará la ecuación de la línea tangente a la gráfica de una curva para estimar un valor de ésta.

2.1.2.30.

Determinará la abscisa de todos los puntos en la gráfica de una curva donde la pendiente es igual, mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual a un valor.

2.1.2.31.

Dada la ecuación de movimiento de un objeto determinará su velocidad y aceleración.

2.1.2.32.

Determinará e interpretará el valor exacto de la derivada para las funciones trigonométricas de los

⎛ ⎝

π π π π ⎞ , ⎟ o ángulos para los cuales éstos 4 2 3 6 ⎠

ángulos ⎜ 0, ,

son los de referencia. 2.1.2.33.

Probará que una función o familia de funciones es solución de una ecuación diferencial.

2.1.2.34.

Dada una función h, definirá dos funciones f y g tales que h(x) = f(g(x)).

2.1.2.35.

Enunciará la Regla de la cadena.

2.1.2.36.

Determinará la derivada de una composición de funciones.

2.1.2.37.

En una ecuación de dos variables identificarán cuando la ecuación está implícita para una variable.

2.1.2.38.

Determinará la derivada de una función definida implícitamente.

2.1.2.39.

Enunciará el teorema sobre la derivada de la función inversa.

2.1.2.40.

Evaluará derivadas utilizando el teorema sobre la derivada de la función inversa.

2.1.2.41.

Definirá las funciones: arco seno, arco coseno y arco tangente.

2.1.2.42.

Dado un valor para x, evaluará el arcosen (x), arcocos (x) y la arcotan (x).

2.1.2.43.

Derivará la fórmula para la derivada de

las

funciones: arcosen (x), arcocos (x) y arcotan (x). 2.1.2.44.

Definirá la función exponencial como una función cuya derivada es ella misma.

2.1.2.45.

Derivará la fórmula para

la derivada de la

función: f x = Ln (x ).

()

2.1.2.46.

Resolverá problemas verbales de razones de cambio relacionadas de, por lo menos, geometría y distancia.

2.1.2.47.

Identificará situaciones donde se puede utilizar diferenciación logarítmica.

2.1.2.48.

Utilizará

diferenciación

logarítmica

para

determinar la derivada de una función. Con varias multiplicaciones, divisiones y exponentes. h (x )

De la forma f (x ) = g(x ) 2.1.2.49.

.

Definirá: punto crítico, máximo relativo, mínimo relativo, máximo absoluto y mínimo absoluto.

2.1.2.50.

Definirá: valor crítico, máximo relativo, mínimo relativo, máximo absoluto y mínimo absoluto.

2.1.2.51.

Definirá valores extremos.

2.1.2.52.

Enunciará

el

teorema

del

valor

medio

e

interpretará gráficamente su significado. 2.1.2.53.

Enunciará el teorema de la existencia de los valores extremos.

2.1.2.54.

Definirá: función creciente, función decreciente, puntos de inflexión, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

2.1.2.55.

Enunciará el teorema que relaciona el signo de la primera derivada con la monotonía de la función.

2.1.2.56.

Enunciará los teoremas para determinar los máximos y mínimos relativos de una función: teorema de Fermat, prueba de la primera derivada y de la segunda.

2.1.2.57.

Enunciará el teorema que relaciona el signo de la segunda derivada en un punto crítico con la monotonía de la función.

2.1.2.58.

Enunciará el teorema que relaciona el signo de la segunda derivada con la concavidad de la función.

2.1.2.59.

Dada la fórmula de una

función determinará:

puntos críticos, intervalos donde su gráfica es creciente, los intervalos donde su gráfica es decreciente, mínimos relativos,

máximos

relativos,

puntos

de

inflexión,

intervalos donde su gráfica es cóncava hacia arriba, los intervalos donde su gráfica es cóncava hacia abajo y trazará su gráfica. 2.1.2.60.

Dada la gráfica de una

función determinará:

puntos críticos, intervalos donde su gráfica es creciente, los intervalos donde su gráfica es decreciente, mínimos relativos,

máximos

relativos,

puntos

de

inflexión,

intervalos donde su gráfica es cóncava hacia arriba y los intervalos donde su gráfica es cóncava hacia abajo. 2.1.2.61.

Determinará los máximos y mínimos absolutos de una función, cuando existan, discutiendo condiciones para su existencia.

2.1.2.62.

Determinará la imagen de una función.

2.1.2.63.

Resolverá problemas de optimización usando los métodos

del

Cálculo.

Los

tipos

de

problemas

presentados serán por lo menos de números, geometría, distancia y biología. 2.1.2.64.

Enunciará la Regla de L’ Hopital.

2.1.2.65.

Evaluará límites utilizando la Regla de L’Hopital.

2.1.2.66.

Definirá la antiderivada de una función.

2.1.2.67.

Determinará la fórmula para la antiderivada de las siguientes funciones f x = : x n (para los casos donde

()

n = -1 y n

≠ -1), sen (x ), cos (x ), sec 2 (x ), csc2 (x ),

sec (x )tan(x ), csc (x )cot (x ), e x ,

1 1 , y x 1 + x2

1 1− x

2

.

2.1.2.68.

Enunciará el teorema de la integral indefinida como un operador lineal.

2.1.2.69.

Evaluará integrales indefinidas.

2.1.2.70.

Determinará el área de la región bajo la gráfica de una curva por descomposición en rectángulos.

2.1.2.71.

Definirá el concepto de integral definido de una función sobre un intervalo cerrado y acotado.

2.1.2.72.

Evaluará

en

forma

aproximada

integrales

definidos. 2.1.2.73.

Enunciará el teorema fundamental del Cálculo.

2.1.2.74.

Enunciará

e

interpretará

gráficamente

los

siguientes teoremas acerca de los integrales definidos. De la integral definida como un operador lineal. c

b

c

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a

a

b

b

()

Si f es continua y f x ≥ 0 , entonces

∫ f (x ) ≥ 0 a

Si para todo a ≤ x ≤ b se cumple que m ≤ f x ≤ M,

()

b

entonces m (b − a) ≤ f (x )dx ≤ M (b − a)

∫ a

2.1.2.75.

Evaluará integrales definidos usando los resultados del teorema fundamental del Cálculo.

2.1.2.76.

Determinará áreas.

2.1.2.77.

Para un objeto que se mueve por una línea determinará recorrida.

su

desplazamiento

y

distancia

total

2.1.2.78.

Definirá el promedio de los valores de una función sobre un intervalo y hará una interpretación gráfica de la definición.

2.1.2.79.

Evaluará los valores promedio de funciones.

2.1.2.80.

Evaluará integrales mediante el método de sustitución.

2.2.

Temas y tiempo aproximado que se dedicará a cada uno:

Semana 1-2

Temas Introducción del curso. El concepto de límite, teorema de los límites, continuidad. Límites infinitos. El concepto de derivada. Derivada

3-4

de diferentes funciones. Reglas de derivada para suma, resta producto y cociente de funciones

5

Regla de la cadena y derivación implícita. Continúa derivación implícita.

6

Derivadas de las

función: exponencial, logarítmica y de las funciones inversas del seno, coseno y tangente.

7

Diferenciación logarítmica.

Aplicación de la

derivada. Razones de cambio relacionadas. Continúa aplicaciones de la derivada. Razones de

8

cambio relacionadas, valores máximos y mínimos de una función y concavidad.

9

10

11

Continúa aplicaciones de la derivada.

Valores

máximos y mínimos de una función y concavidad. Aplicaciones de la derivada.

Problemas de

optimización. Aplicaciones

de

la

derivada.

Diferenciales.

Antiderivadas. Aproximación de áreas. La integral definida y sus

12-13

propiedades. Teorema fundamental del Cálculo. Evaluación de integrales definidos.

14-15

Integrales indefinidos. Método de sustitución.

2.3.

Ley ADA/Ley 51: La Universidad de Puerto Rico en Cayey cumple con la Ley ADA (Americans with Disabilities Act) y con la Ley 51 (Ley de Servicios Integrales para Personas con Impedimento) para garantizar igualdad tanto en el acceso al salón de clases como en la experiencia de enseñanza y aprendizaje. Todo estudiante con impedimento puede informarle y solicitarle al profesor de cada curso el que se le provea acomodo razonable a tono con sus necesidades especiales. Es prerrogativa del estudiante solicitar el acomodo razonable al Programa de Servicios a Estudiantes con Impedimento localizado en el Decanato de Estudiantes. Esta información es de carácter confidencial y está protegida por la Ley HIPAA.

2.4.

Estrategias instruccionales3: Conferencia, discusión, práctica supervisada, trabajo colaborativo, estudio independiente.

2.5.

Instrumentos de avalúo formativo: Manual de ejercicios.

2.6.

Métodos de evaluación sumativa y valor porcentual de cada factor en la calificación final: Se ofrecerán tres exámenes parciales de 100 puntos cada uno, pruebas y asignaciones para entregar 100 puntos y un examen final de 150 puntos para un total de 550 puntos.

2.7.

3

Sistema de calificación:

Calificación

Promedio

A

100 – 90

B

Menos de 90 a 80

C

Menos de 80 a 65

D

Menos de 65 a 55

F

Menos de 55

Este modelo se utilizará solo para cursos en modalidad presencial.

2.8.

Textos y otros materiales: Cálculo de una variable – Trascendentes tempranas, Cuarta edición, Zill, Wright, Mc Graw Hill, 2011. (ISBN 13: 978-607-15-0501-9).

2.9.

Bibliografía: 2.9.1. Stewart James, Calculus: Early Transcendental, 8th edition, Cengage Learning, 2015 2.9.2. Stewart James, Calculus, 8th edition, Cengage Learning, 2015 2.9.3. Thomas George B. Jr. , Weir Maurice D., Thomas’Calculus 13th edition, Addison Wesley (Pearson) 2014 2.9.4. Anton Howard, Bivens Irl C. , Davis Stephen, Calculus Early Trascendentals single Variable 10th Edition, John Wiley & Sons, Inc, 2012 2.9.5. Briggs, Cochran, Calculus Early Transcendentals, Addison Wesley, 2011. 2.9.6. Thomas, Cálculo una variable, Pearson, decimosegunda edición, 2010. 2.9.7. Steward James, Calculus Concepts & Contexts 3, Thomson, 2006. Referencias electrónicas: https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/ http://www.sosmath.com/calculus/calculus.html http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/

3.

Justificación para la creación o revisión del curso y cómo responde a los objetivos del departamento y de la institución Actualizar el prontuario del curso con los acuerdos de innumerables reuniones de los miembros del Departamento de Matemática-Física y de otros Departamentos donde se revisaron todos los aspectos del mismo (filosofía, objetivos, contenido, aplicaciones, sistema de evaluación y de avalúo y materiales educativos).

4.

Información analítica 4.1.

Recursos necesarios

4.1.1. Cupo máximo de estudiantes: 25 estudiantes 4.1.2. Espacio y sus características: 1 salón ___ auditorio ___ laboratorio ___ otro (explique) Particularidades (pizarras especiales, etc.): El salón debe tener por lo menos equipo de proyección con computadora. 4.1.3. Equipo y materiales requeridos: N/A 4.1.4. Personal 4.1.4.1.Personal docente Matemáticas

4.2.

y

su

preparación:

Maestría

4.1.4.2.

Técnicos y otro personal de apoyo, con sus calificaciones: Tutores mentores. Estos deben ser estudiantes excelentes del Recinto con Cálculo II aprobado.

4.1.4.3.

Número de profesores en la UPR-Cayey calificados para impartir la asignatura y, si aplica, del personal de apoyo disponible: 12 profesores

Relación con otros cursos 4.2.1. Del mismo departamento: Ninguno 4.2.2. De otros departamentos: Ninguno

Registro de aprobación (indique fechas de las revisiones más recientes) 4: • Aprobado por Comité de Currículo Departamental en: _______________________ • Aprobado por Departamento en: _______________________ Revisado por S. Díaz, verano 2009. Revisado por S. Díaz, verano 2013. Actualización Bibliografía Prof. Margarita Santiago Mayo 2015 4

en

• Aprobado por Comité de Currículo Institucional en: _______________________ • Otras instancias de aprobación (si aplica): ________________________ • El Comité de Currículo Departamental aprobó la adaptación de este prontuario al formato dispuesto en la Certificación 25: 2009-2010 del Senado Académico el ____ de _________ de 2011.