UNIDAD 12.- Productos vectorial y mixto. Aplicaciones. (tema 7 del libro) 1.
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES LIBRES
Definición: El producto vectorial de dos vectores libres v y w , que se nota por v w , se define como:
- Si v 0 ó w 0 ó v y w son proporcionales, entonces v w 0
- En caso contrario, vectores no nulos e independientes, v w es otro vector que verifica: - v w v · w · sen v , w
- Su dirección es la recta perpendicular a los dos vectores, v y w - Su sentido resulta de aplicar la regla del sacacorchos
Propiedades:
1.- El producto vectorial es anticonmutativo: v w = w v
2.- El producto vectorial es distributivo respecto de la suma de vectores: u v w u v u w 3.- t u v u t u t u w t R
Interpretación geométrica del producto vectorial El módulo del producto vectorial de dos vectores libres coincide con el área del paralelogramo que tiene por
lados dichos vectores:
Área del paralelogramo = v w
1
UNIDAD 12.- Productos vectorial y mixto. Aplicaciones.
Expresión analítica del producto vectorial
Dados dos vectores libres v a1 , b1 , c1 y w a 2 , b2 , c2 , se tiene que el vector producto vectorial se obtiene
i
j
k
de efectuar el siguiente determinante: v w = a1
b1
c1
a2
b2
c2
VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 159
2. APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL Vector director de una recta
Ax By Cz D Dada una recta en ecuaciones implícitas r , sabemos pasar a paramétricas y así obtener A' x B' y C ' z D' el vector director. Ahora tenemos otro método para calcular el vector director usando el producto vectorial de los dos vectores normales de los dos planos que determinan la recta y es aplicando la siguiente fórmula:
i
j
k
u A
B
C
A' B ' C '
Área de un paralelogramo
Como ya vimos en el apartado anterior tenemos que: Área del paralelogramo = v w Área de un triángulo El paralelogramo anterior si lo dividimos en dos triángulos por una de sus diagonales, tenemos que el área del 1 triángulo definido por los vectores v PQ y w PQ es: Área del triángulo = v w 2
2
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VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 161
3. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Dado un punto P y una recta r de la que tenemos un punto por donde pasa A y un vector director v , se triene
v AP
que:
d ( P, r )
v VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 162
4. DISTANCIA ENTRE RECTAS Rectas que se cortan o son coincidentes Su distancia es 0: d (r , s) 0
Rectas paralelas Dadas dos rectas r y s que sean paralelas, para calcular la distancia entre ellas se toma un punto de una cualquiera de ellas y se calcula la distancia de ese punto a la otra d (r, s) d ( P, s) d (Q, r )
Rectas que se cruzan 3
UNIDAD 12.- Productos vectorial y mixto. Aplicaciones.
Calculamos el plano que contiene a una de las rectas s y es paralelo a la otra recta r La distancia entre las dos rectas es la distancia de un punto P de la recta r al plano
VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 163 5. PRODUCTO MIXTO DE VECTORES LIBRES Definición: El producto mixto de tres vectores libres u , v y w , que designaremos por u , v , w , se obtiene operando consecutivamente los productos escalar y vectorial u , v , w u · v w Propiedades 1- El producto mixto cambia de signo si se permutan dos vectores entre si: = = = u u v , v , , u w , , , w w v w, v , u 2.- Se tiene que: u u ', v , w = u , v , w + u ', v , w ç 3.- Se tiene que: = = = t · t u u · u , , t v , · v v , t , , · w w w u , v , w 4.- El producto mixto es nulo si y sólo si los tres vectores son linealmente dependientes
Interpretación geométrica del producto mixto El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los tres vectores: Volumen del paralelepípedo = u , v , w
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Expresión analítica del producto mixto
Dados tres vectores libres u a1 , b1 , c1 , v a 2 , b2 , c2 y w a3 , b3 , c3 , se tiene que el vector producto
a1 mixto se obtiene de efectuar el siguiente determinante: u , v , w = a 2 a3 VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 165
b1
c1
b2
c2
b3
c3
6. APLICACIONES DEL PRODUCTO MIXTO Volumen del paralelepípedo Como hemos visto en el punto anterior, en la interpretación geométrica del producto mixto, el valor absoluto del producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo que determinan: Volumen del paralelepípedo = u , v , w
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro determinado por los vectores u , v y w es igual a: 1 Volumen del tetraedro = u , v , w 6
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VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 167
7. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN Supongamos que tenemos dos rectas que se cruzan, cada una determinada por un punto por donde pasa y un vector director:
fórmula: d (r , s )
Q r v r
P s , entonces la distancia entre ellas se puede obtener por la v s
vr , vs , PQ
vr v s
8. RECTA PERPENDICULAR COMÚN A OTRAS DOS Se trata de calcular una recta que se apoya en otras dos y es perpendicular a ambas. Supongamos las dos rectas dadas por un punto por donde pasan y su vector director:
Q r v r
P s v s
El procedimiento es el siguiente:
-
Calculamos un vector perpendicular a ambos vectores directores: w vr v s
-
Calculamos el plano 1 que contiene a la recta r y al vector anterior w vr v s
-
Calculamos el plano 2 que contiene a la recta s y al vector anterior w vr v s La recta pedida es la intersección de los planos 1 y 2
VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 169
EJERCICIOS: De la página 178, los ejercicios 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12 De la página 179, los ejercicios 14, 15, 16, 17, 19, 20
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