I.E.S. Ramón Giraldo

Matemáticas I

Unidad 12: DERIVADAS Si una cantidad no negativa fuera tan pequeña que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podría ser sino cero. A quienes preguntan qué es una cantidad infinitamente pequeña en matemáticas, nosotros respondemos que es, de hecho, cero. Así pues, no hay tantos misterios ocultos en este concepto como se suele creer. Esos supuestos misterios han convertido el cálculo de lo infinitamente pequeño en algo sospechoso para mucha gente. Las dudas que puedan quedar las resolveremos por completo en las páginas siguientes, donde explicaremos este cálculo. Leonhard Euler

1. TASA DE VARIACIÓN La razón de cambio promedio (o tasa de variación media) de y  f  x  con respecto a x en el intervalo  a, x  es: Razón de cambio promedio =

f  x  f a  Tvm  a, x  xa

Con frecuencia interesa considerar la razón de cambio en intervalos cada vez más pequeños. Esto lleva a definir lo que podemos llamar “razón de cambio puntual (o instantánea) de y  f  x  con respecto a x en el punto a” como: lim x a

f  x  f a  Tvi  a  xa

2. CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y DE FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS LATERALES En todo el tema y salvo que expresamente se diga otra cosa, D  ( ,  )   es un intervalo abierto de números reales. Sea f : D     una función real de variable real y a  D . Se llama derivada de la función f en el punto a al límite siguiente, si existe y es finito: f a  h  f a lim h 0 h Dicho límite, caso de existir, se representa1 por: f '  a   f '  a  se lee f prima en a

[1] df  a  . dx

                                                             1

La notación

d d es un operador, mientras f  a  fue introducida por Leibniz (1646-1716), y en ella se entiende que dx dx 

que la notación f '  a  fue introducida por Lagrange (1736-1813) y la notación f  a  sólo se suele usar en física, ingeniería…

Cipri

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1

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df  a  se lee derivada de f respecto de x en a dx Si en la definición anterior hacemos el cambio de variable a  h  x , el límite [1] se escribe como sigue:

lim x a

f  x  f a xa

[2]

Los límites [1] y [2] son simplemente dos formulaciones “distintas” del concepto de derivada de una función en un punto. ¿Cuál usar entonces? La respuesta es que podemos usar una u otra indistintamente porque con ambas vamos a llegar al mismo resultado. Ejercicios:

1.

Calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f  x   x 2 en a  1 b) f  x   3x 2  2 x  1 en a  2 c) f  x   3x 2  3x  1 en a  1 d) f  x  

3 en a  2 x

Si B  D , diremos que f es derivable en B cuando f sea derivable en todos los puntos de B . Sea C  a  D : f es derivable en a . Definimos la función derivada de f por: f ':C   a  C  f 'a Ejercicios: 2. Calcula la función derivada de f  x   x 2

3.

Calcula la función derivada de

f  x   x3  2 x  1

y como aplicación calcula

f '  3 , f '  2  y f '  0  .

4.

Calcula la función derivada de las funciones siguientes: a) f  x   2 x3  x 2  3x  1 b) f  x  

3 x

Una función f : D     es

f  x  f a  xa f  x  f a derivable por la derecha en x = a   f '  a    lim  x a  xa derivable por la izquierda en x = a   f '  a    lim

x a 

Caracterización: Son equivalentes: 1) f es derivable en x = a Derivadas

2

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2)  f '  a   , f '  a   y f '  a    f '  a   En cuyo caso, f '  a   f '  a    f '  a   Ejercicios: 5. Indica en qué puntos es derivable la siguiente función y halla f ' x  :

  x 2  3x  f x    x 3  3x 1  x

si x  0 si 0  x  2 si x  2

Halla el valor de a para que f x  sea derivable en x  1 , siendo

6.

x 2  2 f x    ax  1

7.

si x  1 si x  1

Dada la función

 x2  1 x  1  f  x   1  x 2  1  x 2 1  x  1  x2  1 x 1  Estudiar la continuidad, la derivabilidad y representarla gráficamente.

8.

Consideremos la función

 1 0 xb  x f  x   1  1 x bx  4 Se pide: a) Determinar el valor de b para que sea continua. b) ¿Es derivable f en el valor de b calculado en el apartado anterior? Aunque lo más habitual es que los intervalos donde se estudie la derivabilidad sean abiertos y de hecho es en intervalos abiertos donde se obtienen las mejores propiedades de las funciones derivables, daremos la definición de función derivable en un intervalo cerrado  ,   , que es similar a la que dimos para funciones continuas en un tal intervalo. Una función y  f  x  es derivable en  ,   cuando: 

sea derivable en  ,  

 

sea derivable por la derecha en  sea derivable por la izquierda en 

2.1. Derivabilidad de las funciones elementales 

Cipri

Las funciones polinómicas, f  x   an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 son derivables en todos los puntos.

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3

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P  x , son deerivables en n su dominioo. Q  x



Lass funcioness racionaless, f  x  



La función exponencial, y  e



La función loogarítmica, y  log f  x  , es deriv vable en todo punto x , tal que f  x   0 y

f  x

ue lo sea f  x  . , e s derivable siempre qu

f  x  sea deriivable.



Lass funcioness trigonoméétricas, y  sen x e y  cos x , son siempre dderivables. La funciónn   y  tg x es deerivable en su s dominio:     k con k     2



Lass funcioness definidas a trozos seerán derivab bles si lo so on en sus inntervalos reespectivos y en los puntos de d unión. En E estos punntos habrá que q ver que la función esté definid da y que lass n y sean iguuales. derrivadas laterrales existan

3. CON NTINUIIDAD Y DERIIVABIL LIDAD: RELA ACIÓN Propiedad d 1: Si una función f : D     es derivable en un punto a, enntonces es continua c enn a.

f  x   x es coontinua en x0  0 pero Contraejeemplo: La función fu o no es derivvable en diccho punto. Conntinuidad enn x0  0 : lim f  x   lim x  llim   x   0   x 0 x 0 x 0 y    lim x 0 lim f  x   lim x  lim l x0  x 0  x 0 x 0  x0  0 . x 0 

f  0   0  0 , luego f  x  es continua c enn

Derrivabilidad en x0  0 : f  x   f  0  x  1  lim m x 0 x 0  x  x0 e derivablee   no existte f '  0  y por tanto, y  x no es f  x   f  0 x  f '  0    lim  lim m 1  x 0  x 0  x x0 en x0  0 .  f '  0    lim

Reesumiendo: - f ees continua en 0 - f nno es derivaable en 0 - Laa gráfica de f no tiene recta r tanngente en 0

Otro contrajemplo más m : La fun nción y  x punto.

1

3

es contin nua en x0  0 pero noo es derivab ble en dichoo

Conntinuidad enn x0  0 : D Derivadas

4

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lim f  x   lim x x 0

x 0

1

3

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 0  f  0  , lu uego f  x  es continuaa en x0  0 .

Derrivabilidad en x0  0 :

f '  0   lim m

f  x   f  0

x0 derivable een x0  0 . x 0

1

1 x 3 0 1 1   lim m 2        f '  0  , y poor tanto, y  x 3 no ess  lim x 0 x 0 x x 3 0

Resuumiendo: - f ess continua en n0 - f no o es derivable en 0 - La gráfica g de f tiene una rectaa tangente vertical en 0

Este resultaado tambiénn se puede utilizar u en ssentido nega ativo:

Propiedad d 1’: Si f no n es contin nua en a , enntonces no puede ser derivable d enn dicho puntto. Como connsecuencia,, siempre que nos pidan esttudiar la derivabilida dad de una función, comenzareemos por estudiar su co ontinuidad.

Resumen: f derivable en a  f continua c en a f NO O continua en e a  f NO N derivablee en a

4. OPE ERACIO ONES CON C FU UNCIO ONES DERIVA D ABLES 4.1. Sum ma La funciónn derivada de d una sumaa de funcionnes derivables es la sum ma de las funnciones derrivadas:

f

 g  ' x  f ' x  g ' x

4.2. Prod ducto de un u númerro real porr una fun nción La funciónn derivada del d producto o de una coonstante porr una funció ón derivablee es la constante por laa función derivada de laa función:

 f  '  x     f '  x  4.3. Prod ducto de funciones f La funciónn derivada de d un produ ucto de funcciones deriv vables es igu ual a la deriivada del prrimer factorr por el seguundo sin derrivar más el primer facttor si derivaar por la derrivada del seegundo facttor:

 f  g  ' x 

f ' x g  x  f  x g ' x

4.4. Funcción recíp proca de una u funcióón La derivadda de la funcción recípro oca de una fu función deriivable vienee dada por:

Cipri

Dptto. de Matem máticas

5

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Matemáticas I  f ' x 1   ' x  2 f  x f 

4.5. Cociente de funciones La función derivada de un cociente de funciones derivables es igual al cociente de la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, entre el denominador al cuadrado: f ' x g  x  f  x g ' x f    ' x  2 g  x g

4.6. Composición de funciones: regla de la cadena Sean

f : A     y g : B     funciones reales de variable real con

f  A  B .

Supongamos que f es derivable en a y que g es derivable en b  f  a  . Entonces:

 g  f  ' a   g '  f  a  f '  a 

5. TABLAS DE DERIVADAS A modo de ejemplo calcularemos las funciones derivadas de algunas funciones elementales. A la vez que practicamos el cálculo de derivadas aplicando la definición, también nos sirve para construir la conocida tabla de derivadas y que esta no aparezca como por arte de magia. 1) La función f :   , f  x   c es derivable en cualquier punto a   . Su derivada viene dada por: f  x  f a cc f '  a   lim  lim 0 xa xa x  a xa 2) La función f :   , f  x   x es derivable en cualquier punto a   y su derivada es: f '  a   lim xa

f  x  f a xa  lim 1 x  a xa xa

3) La función f :   , f  x   x n es derivable en cualquier punto a   . Para calcular su función derivada utilizaremos la fórmula del binomio de Newton:

f  a  h  f  a a  h  an  f '  a   lim  lim  h 0 h 0 h h  n  n 0  n  n 1  n  n 1  n  0 n n  ah    a h  a   a h    a h  ...   1   n  1 n 0 n

 lim h 0

h



n  n  n 1  n  n na n 1h    a n  2 h 2  ...    ah    ah 2 n  1   n  lim  h 0 h

Derivadas

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 n  n  n  2  n  n 1  h  na n 1    a n  2 h  ...    ah    ah  n 2 1      n   na n 1  lim  h0 h

4) La función f :  0,    , f  x   x , es derivable en cualquier a   0,   . Su derivada es: f '  a   lim xa

f  x  f a x a  lim  lim xa xa xa xa

xa

x a

 x  a

 x    a   lim  x  a   lim  x  a x  a   x  a  x  a  2

 lim





x a x a





2

x a

x a

1 1  x a 2 a

5) La función exponencial f :   , f  x   e x , es derivable en cualquier a   .

f '  a   lim h 0

e a  eh  1 f  a  h  f  a  ea  h  ea  lim  lim  ea   h h 0 0 h h h

teniendo en cuenta que eh  1 1 h0 h

lim

6) La función f :   , f  x   sen x, es derivable en cualquier a   . f '  a   lim h 0

f a  h  f a h

 lim h0

sen  a  h   sen a h



h h  2 cos  a   sen 2 2   lim  cos a h 0 h donde hemos tenido en cuenta que x y x y senx  seny  2 cos sen 2 2 y que sen h 2 1 lim h 0 h 2

7) La función f :   , f  x   cos x, es derivable en cualquier a   . Su función derivada   se puede obtener teniendo en cuenta que cos x  sen   x  x   y aplicando la regla 2  de la cadena: f '  a    sen a

   tg :   k  : k      es derivable en cualquier punto de su dominio y 8) La función 2   x  tg x su derivada viene dada por: Cipri

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cos x cos x  sen x  sen x  1  sen x  tg ' x      ' x  2 cos x cos 2 x  cos x   1  tg 2 x  sec2 x 9) La función

log a :  0,     x  log a x

es derivable en cualquier x0  0,  . Su función derivada

viene dada por:

f  x0  h   f  x0  log a  x0  h   log a x0  lim  h 0 h 0 h h  h x h log a 1   log a 0 x0  x0   lim 1 x0 log 1  h    lim  lim  a h0 h0 h0 h x h h 0  x0  f '  x0   lim

x0     1 h 1 h h    lim log a 1    log a lim 1     h 0  h 0 x x0 0  x0   x0      x0    h    1 1  1  log a  lim 1     log a e h 0 x0  x0 x0    h       log e :  0,     En particular la función es derivable en cualquier x0  0,  , y x  log e x  ln x 1 su derivada viene dada por: ln' x  x x0 h

Tabla de derivadas (de funciones simples) Función

Derivada

y'  0

y  c

yx

y' 1

y  xn

y '  nx n 1

y x

y'  y'

yn x y  a x con a  0

Derivadas

1 2 x 1

n  n x n 1

y '  a x ln a

8

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Matemáticas I y  ex

y '  ex

1 log a e x 1 y'  x

y  log a x

y' 

y  ln x

y  sen x

y '  cos x

y  cos x

y   sen x

y  tg x

y '  1  tg 2 x

y  arcsen x

y' 

y  arccos x  

y' 

y  arctg x  

y' 

1 1 x2 1 1 x2 1 1 x2

Ejercicio: 9. Calcula la derivada de las siguientes funciones: 17) f  x   tg x sen x 1) f  x   7 x 5  2 x 3  3x 2  4

2) f x   5 x 4  3x 2  2 x  7



3) f  x   3x  1 5 x 2  3x  2 4) f  x   5) f  x  

6) f  x   7) f  x  

4x 2  1 7x  1 1 x 3 x x x x x x 3x  12 x  3 x2  7 2x 5 x 2  3x  1 5x  3 1 5 3 x  x  x5 x







8) f  x    9) f  x   10)



2 2  3 x  1  3 x  1 f x  

2  x2 1 11) f  x   2 3x  5 x  2 1 12) f  x   3x 2  x  2 5x  3







13) f x   x 2  3x sen x Cipri



18) f  x   cos x tg x 19) f x   e x tg x

20) f  x   2 x ln x 21) f  x   e x log10 x

22) f x   log 5 x cos x sen x 23) f  x   tg x 2x 24) f  x   ln x x2 25) f  x   ln x 26) f  x   sen x cos x 27) f  x   sen x  e x sen x



28) f  x  

cos x sen x  cos x 3 x sen x 29) f  x   2x  e x Dpto. de Matemáticas

9

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14) f  x   3 x x tg x 15) f  x   x 1 x 2  3x  2 sen x 16) f x   1  tg x



30) f  x   log 5 x log 7 x 31) f x   e x sen x



32) f  x   5 x

Aplicando la regla de la cadena, obtenemos la siguiente tabla de derivadas para funciones compuestas:

Tabla de derivadas, para funciones compuestas: Función

y  f  x

y

Derivada

y '  n  f  x

n

f  x

y' 

y' 

y  n f  x

n 1

 f ' x

f ' x 2  f  x

f ' x n  n f  x

n 1

y  a f  x  con a  0

y '  f '  x   a f  x   ln a

y  e f  x

y '  f '  x   e f  x

y  log a f  x 

y'

y  ln f  x 

f ' x  log a e f  x

y' 

f ' x f  x

y  sen f  x 

y '  f '  x   cos f  x 

y  cos f  x 

y   f '  x   sen f  x 

y  tg f  x 

y '  f '  x   1  tg 2 f  x  

y  arcsen f  x 

y' 

y  arccos f  x 

y' 

y  arctg f  x 

y' 

f ' x  1  f x   f ' x 

2

1  f x 

2

f ' x  2 1  f x

Ejercicios: 10. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

Derivadas

10

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

1) f  x   sen 2 x 2  3x

2) f  x   ln3x  1



5

14) f  x   sen 3 x

 

3) f x   e 5 x

15) f  x   sen x 3

4) f  x   tg 2  3x 

16) f  x   sen x cos 2 x sen 5 x  2  17) f x   cos 3 x  1 18) f  x   e sen x cos x 2

5) f  x   x 2  5 x  2 

7

6) f  x   e sen x

7) f  x   31sen x cos x

19) f x   log 5 3x  1

9) f  x   sen 2 x

21) f  x   sen cos3x 

10) f  x   tg 3 x

22) f  x   5 x 2  3 x  2

8) f  x   log 7 4  sen x 

11) f  x   3 x

2

2



sen x



12) f  x   3x 2  2 sen 5 x 

11.

13) f x   x 2  1

20) f  x   lntg x 



23) f x   3 3  2 x 2



2

24) f  x   4 x 2  3 x  1

Halla la función derivada de las siguientes funciones: 1) f  x   3x 2  6 x  5 12) f  x   x 2  1 log 2 x



2) f  x   x  x 3

13) f  x  



log  x 2   1

3) f  x   2 x  3 5 x

x2 1 x 3  3x 2  5x  3 14) f  x   x

4) f  x  

15) f  x   sen x 2  5 x  7

1 x x





5) f  x   sen 2 x cos x

16) f  x   3 5 x  3

6) f  x   tg x sen x 2

17) f  x  

2

log x x

log x 2 x log x 2 f x   x sen x 2  1 f x   1 x2 x2 1 f x   2 x 1 f  x   xe 2 x 1

7) f  x   xe x

18) f  x  

8) f  x   x2 x

19)

9) f  x   cos3x   

20)

10) f  x   1  2 x

21)

11) f  x   sen  3x  1 cos  3x  1

22)





6. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Si f es continua en x0 , la recta tangente a la gráfica de f en el punto P  x0 , f  x0   es: i)

Cipri

la recta que pasa por P y tiene pendiente

Dpto. de Matemáticas 11

I.E.S. Ramón Giraldo

Matemáticas I m  x0   lim

f  x0  x   f  x0  x

x  0

si este límite existe. la recta x  x0 si lim

ii)

x  0

f  x0  x   f  x0  x



Aclaración: Esta definición proviene del hecho de que la recta tangente a una función en un punto x0 es el límite de la recta secante a la función, cuando el otro punto de corte de la recta secante y la función tiende a x0 .

f a  h

f a

P

a

Sea f : D     una función continua y P   a , f  a   , Q   a  h, f  a  h   dos puntos de su gráfica. Geométricamente se tiene que

Secantes Q

e Tan gent

y

Q



y  f  x

f a  h  f a  tg   msecantes h

A

h0

ah x

que es el valor que mide la pendiente de la recta secante en los

puntos P y Q a la curva. Tomando límites en la igualdad anterior resulta: lim

f a  h  f a

 lim tg   lim msecantes  h 0 h 0 h  f '  a   tg   msecantes

h 0

es decir, la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. y  f  a   f '  a  x  a  y f a

P

y  f  x

a

x

Como consecuencia: Ecuación de la recta tangente a la curva y  f  x  en  a, f  a   : y  f  a   f '  a  x  a 

Ecuación de la recta normal a la curva y  f  x  en  a, f  a   :

y  f a 

1  x  a f 'a

Derivadas

12

I.E.S. Ramón Giraldo

Matemáticas I

Ejercicios: 12. Halla la ecuación de la recta tangente a f x   x 3 en el punto de abscisa x  1 .

13.

Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función f  x  

de abscisa x  2 .

14.

4 en el punto x2

Halla la ecuación de la recta tangente a f  x   2 x 3  x 2 en el punto de abscisa x  3 .

Dada f  x   x 2  10 x  9 , halla el punto en el que la recta tangente a la gráfica de f es paralela al eje de abscisas.

15.

Gráficamente las situaciones en las que una función no es derivable en un punto son:

f no es continua en c   f no es derivable en c

 c, f  c  

c

x

f es continua en c, pero la gráfica de f tiene una recta tangente vertical en c  f no es derivable en c

 c, f  c  

c

x

 c, f  c   f es continua en c, pero la gráfica de f no tiene recta tangente en c (ya que tiene un pico)  f no es derivable en el punto c c

x

Los puntos en los que la gráfica de la función tiene picos se denominan puntos angulosos, y en ellos se verifica: f '  x0    f '  x0   Ejercicios: 16. Señala en qué puntos no son derivables las siguientes funciones:

Cipri

Dpto. de Matemáticas 13

I.E.S. Ramón Giraldo

Matemáticas I

y

y

2

1

1 1

2

1

x

2

3

x

4 3 2 1 2

17.

1

1

2

Indica los puntos en los que las siguientes funciones no son derivables: x 2  1 si x  0 a) f  x    si x  0 x  1 b) f  x   sen x

x  1 c) f  x     x  1  x 2  1 d) f  x     x  2

si x  0 si x  0 si x  2 si x  2

7. DERIVADAS SUCESIVAS Sea I un intervalo y f una función derivable en I. Si f ' es derivable en a  I , a la derivada  f ' '  a  se le llama derivada segunda de f en a y se designa por f ''  a  . Si x  I existe f ''  x  , la función x  f ''  x  se llama función derivada segunda de f en I . En general, definidas las funciones f ',..., f n 1) : I   , de tal modo que f k )   f k 1)  ' , para

k  2,..., n  1 , diremos que f k ) es la función derivada k-ésima (o derivada de orden k) de f en I .

Derivadas

14