CAPITULO 2

LIMITES Y CONTINUIDAD

U N I D A D II LIMITES Y CONTINUIDAD

2.0 Introducción 2.1 Definición de Limites 2.2 Teoremas de Limites y Limites Laterales 2.3 Limites de funciones trascendentes y algebraicas 2.4 Funciones continuas 2.5 Asintota horizontal y vertical. 1 M. C. J. A G U S T I N F L O R E S A V I L A

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2.0.- INTRODUCCIÓN: Cuando hablamos del concepto “Límite”, seguramente todos evocamos la idea de una “barrera” que no podemos sobrepasar; un “tope” al que nos podemos aproximar tanto como querramos pero que no podemos brincar o de una “frontera” que nos dice: “mira, de aquí para adelante no puedes seguir”. Sean, por ejemplo, los siguientes casos: 1.- El Límite Superior de la calificación que usted puede obtener en el curso de Matemáticas I es el 100 (cien). Es la máxima calificación que usted puede obtener. No es válida una calificación de 110 ni de 120; vamos ni siquiera de 100.001. Usted puede obtener un 99; o tal vez un 99.5, pero nunca un calificación mayor que 100. En este caso el 100, como ya lo indicamos, es un Límite Superior para su calificación. 2.- El Límite Inferior para aprobar el curso de Matemáticas I es 70. Es la mínima calificación que usted puede obtener para aprobar el curso de Matemáticas I. No podrá aprobarlo si obtiene una calificación de 68 ni de 69; vamos ni siquiera de 69.005 Usted puede obtener un 71; o tal vez un 70.5, pero nunca un calificación menor que 70. En este caso el 70, como ya lo indicamos, es un Límite Inferior para su calificación. 3.- El Límite de la velocidad con la que usted puede conducir en una zona escolar es de 40Km/h. También en este caso, los 40Km/h le señalan el Límite de la velocidad máxima que usted puede alcanzar al conducir por una zona escolar. No podrá ir a 42Km/h; ni a 40.5; vamos ni siquiera a 40.005Km/h. Podrá conducir a 39 o a 39.5 o quizá a 39.9Km/h pero nunca sobrepasar el límite señalado. 4.- El Límite de tiempo continuo que usted puede usar un taladro es de 30 Minutos, según señala el fabricante. En este caso la situación es la misma. En estos casos debemos notar que nos encontramos en una serie de situaciones dinámicas en las que existe un proceso de cambio que de alguna manera depende de otra situación. Por ejemplo, en los dos primeros casos citados, la calificación está cambiando, en general, por el grado de interés que usted ponga en el estudio de las matemáticas. A mayor atención, tiempo dedicado al estudio e interés en el mismo, su calificación se incrementará, sin embargo NUNCA podrá sobrepasa el 100 que es el límite superior. En el caso del automóvil, la velocidad cambiará en función de la aceleración que usted le dé a su automóvil, en última instancia, sabemos que esta 2 M. C. J. A G U S T I N F L O R E S A V I L A

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velocidad cambia según la cantidad de combustible que llegue a la cámara de combustión del vehículo. En realidad, si usted pasea la vista a su alrededor se encontrará múltiples situaciones en las que el cambio se está dando de manera continua ya que lo extraordinario en la naturaleza es que ésta sea constante, es decir, sin cambio. Ejercicios.Desarrolle tres situaciones en las que el cambio esté presente e identifique en cada caso el Límite correspondiente, sea inferior o superior. ¿Existirá algún proceso de cambio en el cuál no exista un Límite?. Si su respuesta es SI dé un ejemplo y si es NO arguméntela. Ahora, como ya dijimos en el capítulo anterior, siendo el Cálculo la rama de las matemáticas que aborda los problemas del cambio, el concepto de Límite, como tope presente en toda situación de cambio, juega un papel determinante en el estudio y comprensión del Cálculo. En primera instancia se encuentra presente en el proceso de aproximación de una variable “ x “ a una valor xO dado. Suponga, por ejemplo, que nos queremos aproximar al real “ 2 “. Debe ser claro que nos podemos aproximar por dos caminos: Por la izquierda si avanzamos de izquierda a derecha y por la derecha si el camino de aproximación es de derecha a izquierda. En el primer caso, podríamos empezar nuestro proceso de aproximación por ejemplo en el 1, o en el 1.5 o tal vez en el 1.9 o incluso también a partir del 1.9999999999. En cualquier caso nos encontramos a la izquierda del “ 2 “. En el caso que nos aproximemos por la derecha la situación es semejante. Estos dos casos los mostramos en las siguientes tabulaciones: En la primera columna mostramos el proceso de aproximación de izquierda a derecha hacia el 2 iniciando nuestro recorrido en el número 1.9900, y tomando incrementos de 0.0001 llegamos hasta el 1.9915. En realidad podemos aproximarnos tanto como querramos como ya lo indicamos en el párrafo anterior. Esta aproximación queda reflejada en la diferencia que existe entre cada punto que tocamos y el límite que es dos, y que mostramos en la segunda columna. Es de notar que a medida que estamos más cerca del límite la diferencia tiende a disminuir. La primera diferencia es 0.01 y la última es 0.0085 y así podemos continuar aproximándonos al dos sin tocarlo y la diferencia disminuyendo sin llegar a ser cero.

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x := 1.9900, 1.9901.. 1.9915 x=

x− 2 = 1.99

0.01

1.9901

9.9·10 -3

1.9902

9.8·10 -3

1.9903

9.7·10 -3

1.9904

9.6·10 -3

1.9905

9.5·10 -3

1.9906

9.4·10 -3

1.9907

9.3·10 -3

1.9908

9.2·10 -3

1.9909

9.1·10 -3

1.991

9·10 -3

1.9911

8.9·10 -3

1.9912

8.8·10 -3

1.9913

8.7·10 -3

1.9914

8.6·10 -3

1.9915

8.5·10 -3

En el siguiente par de columnas mostramos ahora el proceso de aproximación de derecha a izquierda hacia el 2. En la primera mostramos el inicio de nuestro recorrido en el número 2.001, y tomando incrementos (que en esta ocasión serán negativos, ya que estamos disminuyendo el número que estamos tocando) de 0.0001 llegamos hasta el 2.0001. En realidad podemos aproximarnos tanto como querramos como ya lo indicamos en el párrafo anterior. Esta aproximación queda reflejada en la diferencia que existe entre cada punto que tocamos y el límite que es dos, y que mostramos en la segunda columna. Es de notar que a medida que estamos más cerca del límite la diferencia tiende a disminuir. La primera diferencia es 0.001 y la última es 0.0001 y así podemos continuar aproximándonos al dos sin tocarlo y la diferencia disminuyendo sin llegar a ser cero. Dado que estamos tomando el valor absoluto de la diferencia entre el límite y los sucesivos puntos que vamos tocando esta diferencia carece de signo, independientemente que el proceso de aproximación sea de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

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x := 2.0010, 2.0009.. 2.0001 x=

x− 2 =

2.001

10·10 -4

2.0009

9·10 -4

2.0008

8·10 -4

2.0007

7·10 -4

2.0006

6·10 -4

2.0005

5·10 -4

2.0004

4·10 -4

2.0003

3·10 -4

2.0002

2·10 -4

2.0001

1·10 -4

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