TRABAJO FIN DE ESTUDIOS MÁSTER UNIVERSITARIO EN PROFESORADO DE ESO, BACHILLERATO, FP Y ENSEÑANZA DE IDIOMAS MATEMÁTICAS

Matemáticas y ajedrez

Raquel Villar Pajares

Tutor: Clara Jiménez Gestal Facultad de Letras y de la Educación Curso 2010-2011

Matemáticas y ajedrez, trabajo final de estudios de Raquel Villar Pajares, dirigido por Clara Jiménez Gestal (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported. Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los titulares del copyright.

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Matemáticas y Ajedrez.

Raquel Villar Pajares Trabajo Fin de Master-Curso 2010/2011

Índice. 1. Marco teórico de los procesos enseñanza-aprendizaje en las Matemáticas....pág. 1-13 1.1. Marco teórico general............................................................................pág. 1-7 1.1.1. Idea inicial................................................................................pág. 1 1.1.2. Elementos del proceso.............................................................pág. 1-2 1.1.3. Pautas previas..........................................................................pág. 3-4 1.1.4. Organización del proceso enseñanza-aprendizaje................pág. 4 1.1.5. Selección de medios y recursos...............................................pág.5 1.1.6. Proceso de aprendizaje cognitivo...........................................pág. 5-7 1.2. Marco teórico en las Matemáticas........................................................pág. 7-13 1.2.1. Antecedentes en la investigación............................................pág. 8-9 1.2.2. Desarrollo del pensamiento matemático de los niños..........pág. 9-11 1.2.3 Tipos de competencia matemática..........................................pág. 11 1.2.4 Aproximaciones al estudio del desarrollo de conceptos matemáticos..11-12 1.2.5 Dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas...............pág. 12-14 2. Elementos fundamentales de la Memoria de Prácticas.....................................pág. 14-52 2.1 Unidad Didáctica.....................................................................................pág. 14-50 2.2 Reflexión y conclusiones.........................................................................pág. 50-52 3. Proyecto de Innovación Educativa......................................................................pág. 53 3.1 Problema............................................................................................pág. 53-54 3.2 Exploración........................................................................................pág. 54-55 3.3 Fundamenación.................................................................................pág. 55-59 3.4 Trabajo de campo..............................................................................pág. 59-72 3.5 Innovación..........................................................................................pág. 72-75 3.5.1 Objetivos..............................................................................pág. 72

3.5.2 Metodología........................................................................pág. 73-74 3.5.3 Evaluación..........................................................................pág. 74-75 3.5.4 Anexo...................................................................................pág. 76 4. Bibliografía............................................................................................................pág. 77

1. Marco teórico de los procesos de enseñanza-aprendizaje en las Matemáticas.

1.1 Marco teórico general. 1.1.1 Idea inicial.

Enseñanza y aprendizaje son conceptos que forman parte de un único proceso que tiene como fin la formación del estudiante. La referencia etimológica de ambos términos puede servirnos de apoyo inicial: Enseñar es instruir, amaestrar, señalar algo a alguien. No es enseñar cualquier cosa, es mostrar lo que se desconoce. Por otra parte, el término aprender hace referencia a la adquisición del conocimiento de algo por medio del estudio o de la experiencia.

1.1.2 Elementos del proceso.

Podemos distinguir por tanto dentro del proceso a un sujeto que conoce (el que puede enseñar), y otro que desconoce (el que puede aprender). El primero se trata del profesor, el cual no sólo debe de poder enseñar, también tiene que querer y sabe hacerlo. El segundo es el alumno, que no sólo debe de poder aprender, si no que además debe de querer y saber cómo hacerlo. Por tanto, es necesario que exista una disposición previa por parte de ambos. Los contenidos que se transmiten, aquello que quiere enseñarse y aprenderse, son los elementos curriculares, y el conjunto de herramientas y procedimientos

empleados para ello

quedan definidos como los medios. El fin o la meta fijada que se desea alcanzar cuando se enseña algo son los objetivos, los cuales quedan enmarcados bajo ciertas condiciones físicas, sociales y culturales, que conforman el contexto del proceso enseñanza-aprendizaje. De acuerdo con lo expuesto, consideraremos el proceso de enseñar como el acto mediante

el cual el profesor, el cual no debe de ser considerado como mera fuente de información si no como un catalizador que motive e incremente las posibilidades de éxito del proceso, muestra o suscita contenidos educativos (conocimientos, habitos, habilidades) al alumno, a través de unos medios, en función de unos objetivos y dentro de un contexto.

Por otra parte, el proceso de aprender es el proceso complementario Aprender es el acto por el cual un alumno intenta captar y elaborar los contenidos expuestos por el profesor, o por cualquier otra fuente de información, a través de unos medios (técnicas de estudio o de trabajo intelectual). Este proceso de aprendizaje es realizado en función de unos objetivos, que pueden o no identificarse con los del profesor y se lleva a cabo dentro de un determinado contexto. El siguiente esquema recoje una visión general de los elementos definidos en torno a ambos procesos, que unidos en uno solo forman el proceso de enseñanda-aprendizaje:

1.1.3 Pautas previas.

Para poder llevar a cabo con éxito el proceso de enseñanza-aprendizaje, es necesario conocer de antemano la situación real del alumno. Generalmente tendemos a suponer lo que el alumno sabe, es y hace, por el hecho de pertenecer a un determinado curso, sin pararnos a pensar en que cada alumno tiene una capacidad cognitiva, una forma de comportarse y en definitiva una serie de características que lo hace diferente a los demás, y por tanto único. A la hora de enseñar, siempre tenemos que tener presente que los objetivos del aprendizaje se fundamentan a partir de las conductas y las capacidades del alumno, y no en base a las habilidades o conductas que posee por el mero hecho de encontrarse en un nivel académico u otro. Cuanto mayor y más preciso sea el conocimiento, más acertadas serán las decisiones tomadas durante el proceso. Definir lo que se quiere conseguir del alumno no es tarea fácil. Para ello hay que tener claro qué es lo que se quiere conocer, y debe de ser la primera actividad de quien programa la acción educativa directa, convertir las metas imprecisas en conductas observables y evaluables. Es la forma óptima de medir la distancia que debemos cubrir entre lo que el alumno es y lo que debe ser, organizando de forma sistemática los aprendizajes mediante la formulación de los objetivos a alcanzar, de forma que una vez llevado a cabo el proceso de aprendizaje podamos observar si realmente tuvo efecto y en qué medida Una vez definidas las distintas conductas a alcanzar por el alumno, es fundamental ordenarlas de forma secuencial, en vistas a establecer un aprendizaje que siga un desarrollo lógico en el espacio y en el tiempo. A partir de aquí, formularemos los objetivos, los cuales son imprescindibles para llevar a cabo la programación de un proceso de aprendizaje, ya que nos permite fijar la conducta final en términos operativos con claridad, da la posibilidad al propio alumno de conocer lo que se espera de

él, lo cual sirve como elemento motivador y centra de alguna manera su esfuerzo y dedicación, y es la única forma consistente de que el profesor y el alumno puedan en cualquier momento observar y evaluar los logros conseguidos y en qué fase del proceso enseñanza-aprendizaje se encuentran.

1.1.4 Organización del proceso de aprendizaje. Para poder programar el proceso de aprendizaje es necesario tener claros los recursos económicos, medios, espacio, tiempo y por supuesto seres humanos de los que se dispone, entendiendo a estos últimos no sólo como personas físicas que parten de un nivel académico determinado, si no como seres diferentes entre sí. El número de alumnos óptimo para llevar a cabo el proceso en las matemáticas es variable y difícil de fijar. Habrá actividades para las que lo ideal sería disponer de una atención individualizada, otras requerirán trabajo en grupos reducidos y otras, de carácter más teórico, podrán elaborarse de forma satisfactoria simultáneamente a toda la clase. Por ello es necesario definir previamente las actividades que se llevarán a cabo y en base a estas establecer los grupos óptimos para el desarrollo de las mismas. En un proceso de interacción profesor-alumno, los roles de ambos deben poder cambiar de forma flexible. La idea tradicional del profesor que imparte conocimientos y el alumno que recibe pasivamente evoluciona hacia una multiplicidad de actividades que requieren un cambio de actitud en los participantes. La importancia de la motivación en el proceso de aprendizaje está más que demostrada. Es indispensable organizar las actividades del mismo con la idea de conseguir despertar el interés del alumno, para que éste se centre y le dedique un esfuerzo mayor, y en consecuencia obtenga mejores resultados.

1.1.5 Selección de medios y recursos. A la hora de elegir los medios y recursos que se van a emplear durante el proceso de enseñanza-aprendizaje, bien para transmitir determinados contenidos, para utilizarlos como actividad práctica o para emplearlos como instrumento de evaluación, los medios que se seleccionan deben permitir obtener el tipo de respuesta esperado en el alumno para comprobar si se han alcanzado los objetivos previstos. Además deben de ser adecuados al propósito para el que se transmiten los datos, y ajustables a las limitaciones del medio en el que se van a emplear (personal, tiempo, materiales...).

1.1.6 Proceso de aprendizaje cognitivo Las corrientes cognitivas del aprendizaje, presentan el modo en el que se desarrolla el aprendizaje individual, denominado Modelo de la teoría cognitiva, que viene representado en el siguiente esquema:

Control ejecutivo: Aquello que hace referencia a los aprendizajes anteriores, a la retroalimentación, al estudio de necesidades de los alumnos y de la sociedad, etc. Entorno: Todo lo que envuelve el proceso educativo. Receptores: Son los sentidos afectados por los estímulos exteriores que le permiten al sistema nervioso recibir la información. Registro sensorial: Donde se da la primera codificación, codificación simple o representación. Memoria a corto plazo: Donde se da la segunda codificación o conceptualización. Memoria a largo plazo: En ella se almacenan algunas de las representaciones y conceptualizaciones. Recuperación: Proceso por el que sale a flote lo almacenado tanto en la memoria a corto plazo como a largo plazo. Sin este proceso no podríamos tener ningún tipo de comportamiento. Generador de respuestas: Los comportamientos, conocimientos y habilidades recuperadas que pueden salir al exterior. Efectores: Los sentidos que permiten que lo almacenado salga al exterior, manifestándose así los comportamientos.

Proceso: Los estímulos afectan a los receptores entrando en el Sistema nervioso a través del Registro sensorial. A partir de ahí se produce: Primera codificación: Codificación simple es una mera Representación. Segunda codificación: Conceptualización al entrar en Memoria a corto plazo. Almacenamiento en la Memoria a largo plazo. Recuperación: por parte de la Memoria a corto plazo. Conductas: Paso al Generador de respuestas.

Etapas: Motivación: Expectativa establecida previamente al aprendizaje. Atención o percepción selectiva: Selección de los estímulos recibidos. Repaso: Permanencia por más tiempo en la Memoria a corto plazo. Sirve para relacionar una información con la precedente y posterior. Codificación: Paso a la Memoria a largo plazo. -Relacionar la nueva información con cuerpos informativos más amplios. -Transformar la información en imágenes. -Transformar las imágenes en conceptos. Búsqueda y recuperación: El material almacenado se hace accesible volviendo a la Memoria a corto plazo. Transferencia del aprendizaje a nuevas situaciones. Generación de respuestas: Los contenidos se transforman en actuaciones del que aprende. Retroalimentación: El que aprende recibe información sobre su actuación. Si es positiva, sirve de refuerzo.

1.2 Marco teórico en las Matemáticas. Lo primero que debemos tener claro es que el objetivo del proceso enseñanza-aprendizaje de las matemáticas no se limita a que los niños aprendan las cuatro reglas aritméticas básicas, trabajen con las unidades de medida y conozcan los conceptos geométricos tradicionales, sino que sean capaces de resolver problemas por sí mismos y empelar las nociones aprendidas y destrezas matemáticas adquiridas en su vida cotidiana. Al margen de las dificultades que se les pueden presentar a los alumnos con problemas o trastornos psicológicos como la discalculia a la hora de

aprender matemáticas, el fracaso escolar en esta materia es con diferencia de los más elevados en la enseñanza en nuestro país. Los alumnos tienden a sentir respeto, incluso rechazo, por la asignatura, considerándola en muchas ocasiones la más difícil de todas las que tienen que superar. Para comprender la naturaleza de las dificultades es necesario conocer cuáles son los conceptos y habilidades matemáticas que deben ser consideradas básicas, cuál es la forma óptima de enseñarlos para que éstos sean adquiridos por el alumno y qué procesos cognitivos subyacen a la ejecución matemática.

1.2.1 Antecedentes en la investigación. A lo largo de la historia de la psicología, el estudio de las matemáticas se ha realizado desde perspectivas muy diversas. Ya desde un periodo inicial se estableció un enfrentamiento entre los partidarios de un aprendizaje de las habilidades matemáticas elementales basado en la práctica, fijando su enseñanza en la mecánica del ejercicio continuo, y los que defendían el aprendizaje de una serie de métodos de razonamiento básicos antes de pasar a la práctica, centrando así su enseñanza en la comprensión de los conceptos. Entre las diversas teorías desarrolladas sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje matemático, cabe destacar la Teoría del aprendizaje de Thorndike, basada en el asociacionismo, y cuya ley del efecto fue de gran influencia para el diseño del currículo de las matemáticas elementales en la primera mitad de este siglo, y las teorías conductistas, que defendían un aprendizaje pasivo, producido por la repetición de asociaciones estímulo. A estas teorías se opuso Browell, que defendía un aprendizaje cuyo objetivo principal debía centrarse en la comprensión y no los procedimientos mecánicos. Por otra parte, Piaget, reaccionando también contra los postulados asociacionistas, estudiando las operaciones lógicas que subyacen a muchas de las actividades matemáticas básicas. Aunque no se centra en los problemas de aprendizaje de las matemáticas, muchas de sus aportaciones siguen vigentes en la enseñanza de las mismas y constituyen un legado que se ha incorporado al mundo educativo de manera consustancial. Sin

embargo, su afirmación de que las operaciones lógicas son un requisito previo para construir los conceptos numéricos y aritméticos ha sido contestada desde planteamientos más recientes que defienden un modelo de integración de habilidades, donde son importantes tanto el desarrollo de los aspectos numéricos como los lógicos. Otros autores como Ausubel, Bruner Gagné y Vygotsky, también se preocuparon por el aprendizaje de las matemáticas y por desentrañar que es lo que piensan realmente los niños y adolescentes cuando llevan a cabo una actividad matemática.

1.2.2 Desarrollo del pensamiento matemático de los niños: Durante mucho tiempo se ha creído que los niños pequeños carecen del pensamiento matemático en esencia. Definiremos a continuación diferentes tipos de conocimiento en el campo de la matemática:

Conocimiento intuitivo: -Sentido natural del número: Para ver si un niño pequeño pude distinguir conjuntos de cantidades distintas, se realiza un experimento que consiste en mostrar al niño 3 objetos. Pasado un tiempo, se le añade o se le quita uno de ellos, y si el niño no presta atención será porque no se ha percatado de la diferencia. Por el contrario, si se ha dado cuenta del cambio prestará más atención, respondiendo al estímulo que le provoca la aparición o desaparición de algo. Tanto el alcance como la precisión del sentido numérico de un niño pequeño son limitados. No son capaces de distinguir entre conjuntos mayores como cuatro y cinco, en el sentido de que no son capaces de ordenarlos en función de su magnitud, aunque si pueden hacer compraciones gruesas entre magnitudes.

-Nociones intuitivas de magnitud y equivalencia: El sentido numérico básico de los niños constituye la base del desarrollo matemático. Cuando los niños comienzan a andar, no sólo distinguen entre conjuntos de tamaño diferente sino que, como ya hemos mencionado, pueden hacer comparaciones gruesas entre magnitudes. Ya a los dos años de edad aproximadamente, aprenden palabras para expresar relaciones matemáticas que pueden asociarse a sus experiencias concretas. Pueden comprender términos como "igual", "diferente" y "más". Respecto a la equivalencia, existen

investigaciones recientes que confirman que cuando a los niños se les pide que determinen cuál de dos conjuntos tiene más, los niños de tres años de edad, los preescolares atrasados y los niños pequeños de culturas no alfabetizadas pueden hacerlo de forma rápida y sin necesidad de contar.

-Nociones intuitivas de la adición y la sustracción: los niños reconocen muy pronto que añadir un objeto a un conjunto hace que sea más y que quitar un objeto hace que sea menos. El problema surge con la imprecisión de la aritmética intuitiva. Un niño pequeño cree que 5 + 4 es más que 9 + 2 porque para él se añaden más objetos en el primer caso que en el segundo.

Conocimiento informal: Llega un momento en su etapa de desarrollo en el que los propios niños encuentran que el conocimiento intuitivo, simple y llanamente, no es suficiente para abordar tareas cuantitativas. Por tanto, se apoyan cada vez más en instrumentos más precisos fiables: numerar y contar. En realidad, poco después de empezar a hablar, los niños comienzan a aprender los nombres de los números. Hacia los dos años, emplean la palabra dos para designar todas las pluralidades; hacia los dos años y medio, ya empiezan a utilizar la palabra tres para designar a muchos objetos. Por tanto, contar se basa en el conocimiento intuitivo y lo complementa en gran parte. Así, descubren de forma natural que las etiquetas numéricas como tres no están ligadas a la apariencia de conjuntos y objetos, y que resultan útiles para especificar conjuntos equivalentes. Contar coloca el número abstracto y la aritmética elemental al alcance del niño. Pero a medida que los números aumentan, el contar y la aritmética informal se hacen cada vez menos útiles. Los métodos informales van siendo cada vez más propensos al error.

Conocimiento formal: La matemática formal ofrece mediante los símbolos escritos un medio para anotar números grandes y trabajar con ellos. Así, es importante que los niños asimilen los términos de unidades, decenas, centenas...fomentando el pensamiento abstracto y generando una forma eficaz de trabajar con cantidades grandes.

1.2.3 Tipos de competencia matemática. La mayor parte de las teorías psicológicas comparten el objetivo de comprender el comportamiento del alumno a la hora de enfrentarse a las matemáticas, pero difieren en los niveles de análisis que adoptan (que puede ser conductual, fisiológico y cognitivo) y en las tres áreas de conducta (social, emocional e intelectual). El alumno no puede dividirse física ni psicológicamente, por lo que deben intentar analizar al mismo tiempo su estado social, emocional e intelectual, utilizando los tres niveles de análisis, para poder comprender cómo se ha producido el aprendizaje o por qué se ha producido el noaprendizaje. Cuando hablamos del aprendizaje matemático debemos distinguir entre los aspectos computacionales de las matemáticas y los aspectos conceptuales. Asi, podemos diferenciar en la competencia matemática tres componentes: aspectos procedimentales, aspectos conceptuales y aspectos simbólicos.

1.2.4 Aproximaciones al estudio del desarrollo de conceptos matemáticos. El lenguaje humano está íntimamente ligado a los conceptos y a la formación de los mismos, por lo que un aspecto fundamental en ellos es su denominación. A los niños les cuesta especialmente separar un concepto de su nombre. La diferenciaes se trata de algo esencial, aunque no tan intuitivo en un primer momento para ellos como nos puede resultar a nosotros. Gran parte de nuestro conocimiento cotidiano es aprendido directamente a partir de nuestro entorno, y los

conceptos que se emplean no son muy abstractos. Un concepto es una idea; el nombre de un concepto es un sonido, o una marca sobre el papel asociada con él. Uno de los problemas de los conceptos matemáticos consiste en su gran capacidad de abstracción y generalidad, lograda por generaciones sucesivas de sujetos especialmente inteligentes, por lo que las matemáticas no pueden aprenderse directamente del entorno cotidiano sino que es necesaria la existencia de un profesor que establezca el vínculo adecuado, controlando en todo momento qué es lo que el alumno sabe y a qué objetivo lo quiere llevar. Podemos señalar que existen dos marcos teóricos generales para explicar la caracterización del término concepto: - Teoría Clásica: Considera a los conceptos como entidades abstractas representativas de la realidad que nos rodea. Están claramente definidos en función de un conjunto de cualidades y de las relaciones que se establecen entre ellos. - Teoría probabilística: Mantiene que los conceptos o categorías naturales han de analizarse en relación con la noción de prototipo o modelo.

1.2.5 Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas.

Factores de riesgo en el desarrollo matemático.

Los factores de riesgo son una serie de variables que aumentan la probabilidad de que se produzcan dificultades en el desarrollo del aprendizaje matemático. La vulnerabilidad y el grado de resistencia ante las adversidades y los problemas varían de unos alumnos a otros. La siguiente lista muestra algunos de los factores principalemente influyentes:

-Constitucionales: Influencias hereditarias y anomalías genéticas; complicaciones prenatales y durante el nacimiento; enfermedades y daños sufridos después del nacimiento; alimentación y cuidados médicos inadecuados. -Familiares:

Pobreza;

malos

tratos,

indiferencia;

conflictos,

desorganización,

psicopatología, estrés; familia numerosa. -Emocionales e interpersonales: Patrones psicológicos tales como baja autoestima, inmadurez emocional, temperamento difícil; Incompetencia social; rechazo por parte de los iguales. -Intelectuales y académicos: Inteligencia por debajo de la media. Trastornos del aprendizaje. Fracaso escolar. -Ecológicos: Vecindario desorganizado y con delincuencia. Injusticias raciales, étnicas y de género. -Acontecimientos de la vida no normativos que generan estrés: Muerte prematura de los progenitores. Estallido de una guerra en el entorno inmediato.

Discalculia. El principal problema o dificultad en el aprendizaje matemático es la Discalculia: Se trata de un trastorno en el aprendizaje que afecta a la correcta adquisición y ejecución de las habilidades aritméticas y del conocimiento numérico. Puede afectar tanto al rendimiento académico del alumno como a situaciones de su vida cotidiana, pero es un problema totalmente independiente de su capacidad intelectual. En algunos casos se asocia a otras alteraciones como la dislexia, el TDAH, o diversos problemas cromosómicas (X frágil).

Es importante detectar este tipo de problemas en edades tempranas, para que el niño comience a ejercitar sus carencias lo antes posible. Un niño con discalculia puede presentar

dificultades para memorizar las tablas de multiplicar, operar con números sencillos e incluso a la hora de distinguir los propios grafos de los mismos. Por ello, necesita una enseñanza más intensiva y práctica sobre el sentido numérico, y un periodo de tiempo más extenso en el aprendizaje de los conocimientos básicos, además de tratamientos específicos en función del grado de gravedad del problema, ya que no todos los niños con discalculia se encuentran al mismo nivel.

2. Elementos fundamentales de la Memoria de Prácticas. 2.1 Unidad Didáctica. 1ºBACHILLERATO: Funciones.

1. Introducción

Cuando hablamos del concepto de función, el nombre del matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) clama a gritos ser mencionado. Fue quien precisó el concepto en sí y realizó un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales. No obstante, la idea de funcíón venía siendo estudiada desde los orígenes de las matemáticas por las culturas babilónica, egipcia y china. A lo largo de los años se han descubierto numerosos fenómenos sobre los que aplicarlas en diferentes campos como la física, la tecnología el arte o la naturaleza, que nos dejas ejemplos como la relación entre un gas a temperatura constante y la presión o la fuerza de atracción entre dos cuerpos, la masa de los mismos y la distancia que les separa. La representación de funciones, tanto de forma algebraica como gráficamente resulta esencial para su estudio e interpretación. El objetivo principal de esta unidad es que los alumnos, a

partir del recordatorio del concepto de función y de la observación e interpretación de las funciones calificadas como elementales, conozcan y aprendan de manera progresiva las diferentes propiedades de las mismas, existentes también en el resto de funciones, y sean capaces de localizarlas y definirlas. Como se mencionó anteriormente, esta unidad está desarrollada a partir de otra creada previamente para 4º de ESO, de manera que los contenidos y objetivos tengan un enfoque propedéutico, incluyendo también las competencias de la misma.

2. Objetivos. 2.1 Objetivos generales. La lista presentada a continuación refleja de manera general los objetivos que se pretende que los alumnos alcancen con esta unidad, y que en el siguiente apartado serán mencionados de manera más específica:

1.- Utilizar las formas de pensamiento lógico en los distintos ámbitos de la actividad humana. 2.- Aplicar en nuestra vida diaria las herramientas aprendidas de manera adecuada y con soltura.

3.- Utilizar el lenguaje matemático de manera clara y precisa con el fin de comunicarse correctamente.

4.- Utilizar con soltura y sentido crítico los distintos recursos tecnológicos (calculadoras, programas informáticos…) de forma que supongan una ayuda en el aprendizaje y en las aplicaciones instrumentales de las Matemáticas.

5.- Resolver problemas matemáticos, utilizando diferentes estrategias, procedimientos y recursos, desde la intuición hasta los algoritmos.

6.- Aplicar los conocimientos sobre la representación geométrica de funciones para comprender y analizar mejor el mundo físico que nos rodea.

7.- Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que el alumno debe adquirir a lo largo de la Educación Secundaria Obligatoria. 8.- Desarrollar técnicas y métodos relacionados con los hábitos de trabajo, la curiosidad y el interés para investigar y resolver problemas, la responsabilidad y colaboración en el trabajo en equipo con la flexibilidad suficiente para cambiar el propio punto de vista en la búsqueda de soluciones.

2.1 Objetivos Específicos.

Los objetivos específicos desarrollados a partir de los objetivos generales para esta unidad didáctica son los siguientes:

1.- Estudiar el dominio y el recorrido de una función a través de su expresión algebraica y de su representación gráfica. 2.- Conocer y estudiar los conceptos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos, puntos de inflexión, acotación, simetría y periodicidad de una función expresada gráficamente. 3.- Dadas las expresiones algebraicas de f(x) y g(x), obtener la expresión algebraica de (f+g)(x) y (f-g)(x) e interpretar los resultados que se obtienen. 4.- Dadas las expresiones algebraicas de f(x) y g(x), obtener la expresión algebraica de (f*g)(x) y (f/g)(x) e interpretar los resultados que se obtienen.

5.- Obtener e interpretar las asíntotas de una función dada, introduciendo la idea de tendencia y de límite de una función. 6.- Obtener la expresión algebraica de la función recíproca de una dada e interpretar los resultados que se obtienen. 7- Calcular la imagen de puntos en una función definida a trozos y representarla gráficamente. 8.- Calcular la imagen de los puntos de una función valor absoluto y representarla gráficamente. 9.- Reconocer y representar la gráfica de funciones lineales y cuadráticas. 10.- Reconocer y representar la gráfica de funciones de proporcionalidad inversa y funciones racionales. 11.- Reconocer y representar la gráfica de funciones logarítmicas y exponenciales. 12.- Reconocer la función exponencial como la inversa de la logarítmica y viceversa. 13.- Reconocer y representar la gráfica de las funciones trigonométricas. 14.- Partiendo de funciones más sencillas de las que se conoce su gráfica, mediante traslaciones, dilataciones, contracciones y simetrías, elaborar la gráfica de funciones más complejas.

3. Contenidos. A continuación se exponen los conceptos, conocimientos y aptitudes que se pretenden alcanzar con esta unidad didáctica.

3.1 Conceptos. 1.- Concepto de función. 2.- Dominio de una función. Restricciones al dominio. 3.- Crecimiento y decrecimiento de una función. Máximos y mínimos.

4.- Discontinuidad y continuidad de una función. Puntos de inflexión. 5.- Periodicidad. Funciones periódicas. Función par y función impar. 6.- Funciones definidas a trozos. 7.- Función valor absoluto. 8.- Funciones recíprocas o inversas. 9.- Operaciones con funciones(suma, resta, producto, cociente, composición). 10.- Concepto de función lineal. Concepto de pendiente. 11.- Función cuadrática. Parábola. Vértice. 12.- Función de proporcionalidad inversa. 13.- Función racional. 14.- Función exponencial. 15.- Función logarítmica. 16.- Funciones trigonométricas.

3.1 Procedimientos. 1.- Visualización del grafo de una función para comprender la misma. 2.- Relación entre la expresión analítica de una función y su gráfica. 3.- Representación de funciones. 4.- Reconocimiento de discontinuidades, de máximos y mínimos, de intervalos de crecimiento y de periodicidades. 5.- Dibujo de la gráfica de una función para estudiarla e interpretarla. 6.- Estudio de las propiedades de las funciones más habituales.

7.- Dibujo de la gráfica de funciones más complejas a partir de funciones sencillas.

3.3 Actitudes.

1.- Reconocimiento de la utilidad de la representación gráfica para un estudio rápido de una función. 2.- Apreciar ventajas e inconvenientes que tiene la representación analítica frente a la representación gráfica. 3.- Valoración crítica ante el uso de las nuevas tecnologías (calculadora, ordenador…) a la hora de estudiar las funciones. 4.- Interés y valoración del lenguaje gráfico que aparece en el mundo cotidiano. 5.- Reconocimiento de la utilidad del conocimiento de las funciones más habituales en matemáticas. 6.- Apreciar ventajas e inconvenientes que encontraremos al dibujar de forma intuitiva las gráficas de una función. 7.- Identificación y asociación de las funciones estudiadas en el mundo real.

4.Competencias. Las competencias básicas consideradas en esta unidad didáctica son las siguientes:

4.1 Competencia matemática. 1.- Interpretar una función a través de su gráfica. 2.- Reconocimiento del grafo de una función a partir de la expresión analítica de la misma.

3.- Reconocer y utilizar las características de los tipos de funciones en situaciones problemáticas que se les presenten a los alumnos.

4.1 Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. 1.- Interpretar una función a través de su gráfica. 2.-Reconocer y utilizar las características de los tipos de funciones en situaciones problemáticas que se les presenten a los alumnos. 3.- Utilización de la gráfica de una función para estudiar experimentos o situaciones cercanas a los alumnos.

4.2 Competencia social y ciudadana. 1.- Reconocer y utilizar las características de los tipos de funciones en situaciones problemáticas que se les presenten a los alumnos.

4.3 Competencia para aprender a aprender. 1.- Utilización de la gráfica de una función para estudiar experimentos o situaciones cercanas a los alumnos que posteriormente ellos mismos puedan analizar y autoinstruirse.

5. Estrategias de Intervención y adaptaciones curriculares.

Es necesario exponer una gran cantidad de ejemplos para que los alumnos entiendan bien el concepto de función, enfatizando la diferencia entre variable dependiente e independiente y de dominio y recorrido. Ejemplos propios de la vida cotidiana resultan muy útiles para que los

alumnos comprendan mejor los conceptos de crecimiento y decrecimiento, así como la periodicidad y la acotación. La combinación de funciones que posean máximos y mínimos con aquellas que no los posean resulta muy práctica. En el cálculo de funciones recíprocas, es interesante que los alumnos comprueben siempre la veracidad del resultado obtenido, independientemente del orden de composición que empleen.

6. Metodología.

El desarrollo de esta unidad se llevará a cabo de manera un poco diferente a la convencional. Tras introducir como recordatorio el concepto de función, estudiaremos las características básicas que los alumnos deben conocer sobre funciones a partir del estudio de las funciones elementales, intentando desarrollar al mismo tiempo su capacidad intuitiva para reconocerlas simplemente con ver la fórmula que las define y su capacidad para operar y definir las características de las mismas a través de un estudio más detallado. No estudiarán primero todas las características como tal para posteriormente definirlas en las funciones elementales, si no que partiremos de las funciones elementales, e iremos introduciendo en cada una de ellas una o varias características, teniendo en cuenta siempre qué funciones nos facilitan el reconocimiento de las mismas más intuitivamente. Utilizaremos hojas de cálculo y nos apoyaremos en una herramienta informática, el programa Geogebra, para representar las diferentes funciones y construir animaciones que les ayuden a entender el comportamiento de las funciones en diferentes entornos de su dominio de una forma más visual, que les ayudará a retener una visión general de la forma que tienden a adoptar las funciones elementales sin necesidad de hacer cálculos previamente.

7. Actividades.

7.1 Sesiones. La unidad queda dividida en 8 sesiones, en las que se explicarán los conceptos teóricos que aparecen a continuación y se realizarán ejercicios como los de los ejemplos expuestos, deteniéndonos en cada detalle para que lleguen a entender los contenidos y sean capaces de aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de ejercicios relacionados con los mismos. El estudio de algunos tipos de funciones es mucho más completo si nos apoyamos en animaciones y representaciones gráficas, por lo que emplearemos la mayor parte del tiempo el programa Geogebra. Como generalmente suelen dedicarse dos unidades didácticas al estudio de Funciones y hemos fusionado ambas en una, se dedicará una tercera semana de 4 sesiones más a realizar ejercicios en la línea de los ejemplos aquí propuestos, así como a resolver dudas o cuestiones que puedan surgirles a los alumnos.

1. Concepto de Función (Una sesión). Idea: Supongamos que tenemos una máquina que podemos programar de tal forma que al meter un objeto en ella nos calcule una característica del mismo, como su peso, su altura, su edad... devolviéndola como resultado, o no devolviendo nada en caso de que no pueda calcularla. Supongamos ahora que además podemos programar nuestra máquina para que introduzcamos en ella el valor que le damos a una incógnita(variable independiente) perteneciente a una expresión algebraica, el cual es sustituido en la ecuación dentro de la máquina, que nos devuelve el resultado obtenido para ese valor concreto (variable dependiente). Esa especie de máquina en la que introducimos un valor "x" y nos devuelve como máximo otro valor "y", y que siempre que introduzcamos un valor concreto "x" nos devolverá el mismo valor "y", nos define de forma intuitiva el concepto de función.

Definición: Llamamos Función real de variable real (f) a una correspondencia que asocia, dentro de un determinado conjunto de números reales, a cada elemento del mismo, un único número real, que por tanto depende de éste y se denota por y=f(x).

Llamamos variable independiente (x), a la variable de entrada, cuyo valor fijamos previamente.

Llamamos variable dependiente (y), a la variable cuyo valor se deduce a través de la función y por tanto depende de la variable independiente.

Llamamos Dominio de la fución (D(f)), al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente.

Llamamos Recorrido o imagen de la función (R(f), Im(f)), al conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (imágenes).

Características básicas: A la hora de estudiar y representar una función, hay una serie de características básicas que debemos conocer y que iremos definiendo a lo largo de la unidad. Éstas son: Crecimiento y decrecimiento. Acotación.

Simetría. Operaciones (Suma, resta, producto y cociente). Máximos y mínimos. Reciprocidad(función inversa). Periodicidad. Asíntotas. Composición.

Funciones Elementales. Existen una serie de funciones que comparten una serie de características que determinan su representación gráfica de forma que podamos realizar una clasificación de las mismas. Estudiaremos una por una estas funciones, definiendo a partir de ellas las características mencionadas antes. Estas funciones son: Funciones polinómicas. Funciones logarítmicas y exponenciales. Funciones Trigonométricas. Funciones racionales. Funciones definidas a trozos.

2. Funciones Polinómicas. (Una sesión) Llamamos funciones lineales a las funciones polinómicas de grado 1. Tienen la forma y = mx+n, y su representación gráfica es la recta. m es la pendiente de la recta. Si m>0, la función es creciente, y si m0, la parábola se abre hacia

arriba, y si a 0, la función es siempre decreciente, y si k1, la función es creciente en todo su dominio. Estas funciones tienen como asíntota horizontal en −∞

a la recta y =0.

Si 0