TRABAJO FIN DE ESTUDIOS. Derivadas en la vida cotidiana

TRABAJO FIN DE ESTUDIOS Título Derivadas en la vida cotidiana Autor/es Luisa Quesada Barrioseta Director/es Clara Jiménez Gestal Facultad Facultad...
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TRABAJO FIN DE ESTUDIOS Título

Derivadas en la vida cotidiana Autor/es

Luisa Quesada Barrioseta Director/es

Clara Jiménez Gestal Facultad

Facultad de Letras y de la Educación Titulación

Máster universitario en Profesorado de ESO, Bachillerato, FP y Enseñanza de Idiomas Matemáticas Departamento

Curso Académico

2013/2014

Derivadas en la vida cotidiana, trabajo fin de estudios de Luisa Quesada Barrioseta, dirigido por Clara Jiménez Gestal (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported. Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los titulares del copyright.

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El autor Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2014 publicaciones.unirioja.es E-mail: [email protected]

TRABAJO FIN DE MÁSTER Derivadas en la vida cotidiana. Máster en Profesorado Especialidad de Matemáticas

Luisa Quesada Barrioseta Tutora: Clara Jiménez Gestal Curso: 2013/2014

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Luisa Quesada Barrioseta

ÍNDICE 1.

INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3

2.

MARCO TEÓRICO ................................................................................................................... 5

3.

2.1.

EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE .................................................................. 5

2.2.

LA ADOLESCENCIA ......................................................................................................... 8

2.3.

CONCLUSIONES ........................................................................................................... 11

MEMORIA DE PRÁCTICAS .................................................................................................... 12 3.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 12 3.2. ANÁLISIS DEL CENTRO ...................................................................................................... 13 3.3. ESTUDIO DE LOS GRUPOS-CLASE ..................................................................................... 14 3.4. UNIDAD DIDÁCTICA 1º BACHILLERATO CIENCIAS NATURALES: DERIVADAS. APLICACIÓN DE DERIVADAS ......................................................................................................................... 17 3.4.1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 17 3.4.2. OBJETIVOS ................................................................................................................. 18 3.4.3. COMPETENCIAS ......................................................................................................... 19 3.4.4. CONTENIDOS ............................................................................................................. 21 3.4.5. METODOLOGÍA.......................................................................................................... 23 3.4.6. TEMPORALIZACIÓN ................................................................................................... 25 3.4.7. ACTIVIDADES ............................................................................................................. 33 3.4.8. EVALUACIÓN ............................................................................................................. 34 3.4.9. MATERIALES Y RECURSOS DE APOYO A LA DOCENCIA ............................................. 36 3.5. OTRAS ACTIVIDADES ........................................................................................................ 37 3.6. REFLEXIÓN Y CONCLUSIONES........................................................................................... 38

4. PROYECTO DE INNOVACIÓN ................................................................................................... 40 4.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 40 4.2. OBJETIVOS ........................................................................................................................ 42 4.3. MARCO TEÓRICO .............................................................................................................. 43 4.4. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO .......................................................................................... 47 4.5. TEMPORALIZACIÓN .......................................................................................................... 49 4.6. EVALUACIÓN .................................................................................................................... 52 4.7. MATERIALES ..................................................................................................................... 54 4.8. CONCLUSIONES ................................................................................................................ 54

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5.

REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................ 56

6.

ANEXOS ............................................................................................................................... 58 Anexo I: Resumen Derivadas .................................................................................................. 58 Anexo II: Hojas de actividades de desarrollo y aprendizaje de derivadas.............................. 60 Anexo III: Actividades de refuerzo de derivadas .................................................................... 62 Anexo IV: Actividades de ampliación de derivadas................................................................ 63 Anexo V: Examen de derivadas .............................................................................................. 64

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1. INTRODUCCIÓN El Máster en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas en la especialidad en Matemáticas está dividido en dos bloques: el bloque teórico y el bloque práctico. El bloque teórico está formado por tres asignaturas genéricas: -

Aprendizaje y desarrollo de la personalidad.

-

Procesos y contextos educativos.

-

Sociedad, familia y educación.

Y otras tres específicas: -

Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas.

-

Complementos para la formación disciplinar. Matemáticas.

-

Innovación docente e iniciación a la investigación educativa. Matemáticas.

El bloque práctico que consta de ocho semanas de duración está formado por la realización de prácticas en un instituto de secundaria.

De entre los motivos por los que es interesante la realización de este máster, podemos destacar los siguientes: -

Capacitarnos para enseñar, de manera adecuada al nivel y a la formación previa de los estudiantes, la materia de Educación Secundaria correspondiente a la especialidad cursada, que en mi caso es Matemáticas, tomando en consideración la diversidad en el aula.

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Formarnos en habilidades que nos permitan actuar profesionalmente como miembros de un equipo docente.

-

Capacitarnos en aquellos conocimientos académicos, profesionales de tutoría y orientación que permitan desarrollar de forma adecuada la labor del docente y que faciliten conseguir una formación integral en los estudiantes.

-

Enseñarnos a adaptar nuestra actividad docente a las nociones de igualdad entre hombres y mujeres, los principios de igualdad de oportunidades y accesibilidad universal de las personas con discapacidad y los valores democráticos y los que son propios de la cultura por la paz.

Este Trabajo fin de Máster consta de tres partes diferenciadas. Un primer bloque teórico sobre los procesos de enseñanza aprendizaje, un segundo bloque en los que se detallan los elementos fundamentales de la memoria de prácticas. En ella aparece un breve y reflexivo análisis del PEC, estudio de cada uno de los grupo–clase, reflejo de los procesos de enseñanza aprendizaje en el aula, una unidad didáctica completamente desarrollada y una reflexión y conclusiones finales. Por último, un proyecto de innovación educativa.

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2. MARCO TEÓRICO 2.1. EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE Las actividades de enseñanza que realizan los profesores deben estar íntimamente ligadas a los procesos de aprendizaje de los estudiantes. El principal propósito del profesorado es que los estudiantes progresen positivamente en el desarrollo integral de su persona y, en función de sus capacidades y de sus circunstancias individuales, logren los aprendizajes previstos en la programación del curso. Enseñanza y aprendizaje forman parte de un único proceso que tiene como fin la formación del estudiante, donde los profesores han de actuar de forma eficiente y adaptarse a las necesidades de los estudiantes para que éstos aprendan de forma adecuada. La educación ha evolucionado a lo largo del tiempo. Ha pasado de estar centrada en la enseñanza y el profesor a centrarse en el aprendizaje y el alumno. Las teorías que estudian este concepto son: •

Teoría conductista

El conductismo es una teoría psicológica iniciada por John Watson que se centra en lo que se puede observar. El aprendizaje se produce al interactuar los estímulos y las respuestas. Dentro de esta teoría se pueden diferenciar dos categorías:

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El condicionamiento clásico: el aprendizaje se obtiene por detección de regularidades o relaciones entre estímulos y no es necesario introducir un refuerzo.

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El condicionamiento operante: está orientado a la consecución de un resultado e incorpora un propósito y una intención y se introducen refuerzos.

El conductismo tiene como pilar fundamental al profesor y los alumnos son seres pasivos que deben memorizar y aprender lo que el profesor les va enseñando. En esta teoría no se tiene en cuenta las diferencias individuales de los estudiantes, ya que el profesor transmite los conocimientos a todos por igual y su objetivo es que los estudiantes memoricen y no que comprendan. Esta teoría afirma que la educación ha evolucionado a lo largo del tiempo, ha pasado de estar centrada en la enseñanza y el profesor a centrarse en el aprendizaje y el alumno, de atender sobre todo a los productos, a considerar la importancia de los procesos.



Teoría cognitivista

El cognitivismo es una teoría que se centra en el estudio de la mente humana para comprender cómo interpreta, procesa y almacena la información en la memoria. Es decir, el objetivo principal del cognitivismo es descubrir cómo la mente humana es capaz de pensar y aprender. Este modelo asume que el aprendizaje se produce a partir de la experiencia. El ser humano es considerado un organismo que realiza una actividad basada fundamentalmente en el procesamiento de la información, lo cual lo diferencia mucho de la visión reactiva y simplista que hasta entonces había defendido y divulgado el conductismo.

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El alumno es un sujeto activo procesador de información, que posee competencia cognitiva para aprender y solucionar problemas. El papel del profesor es transmitir la información mientras que el de los alumnos es aprender conocimientos.



Teoría constructivista

La teoría constructivista está fundamentada en que cada alumno es diferente y por tanto asimila los conocimientos de formas diferentes. Por tanto, el alumno ya no es un mero receptor de conocimientos, sino que tiene que construir su propio aprendizaje relacionándolo con experiencias y conocimientos previos. Esta teoría tiene como pilar fundamental al alumno y no al profesor como en las teorías anteriores. El profesor pasa de ser un mero transmisor de conocimientos a guiar a los alumnos para que ellos mismos sean quienes construyan el suyo propio. Por tanto, el profesor debe enseñar a aprender.

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2.2. LA ADOLESCENCIA El Máster está orientado a la formación de futuros profesores de Secundaria y Bachillerato. Los alumnos correspondientes a dichos cursos pertenecen a la a la etapa de la adolescencia, que es una época de la vida que transcurre entre la infancia y la adultez y que abarca desde los 11 a los 20 años dependiendo de cada persona. Teniendo en cuenta que vamos a tratar con alumnos de este tipo, deberemos conocer las características más relevantes de esta etapa. La adolescencia está caracterizada por múltiples cambios que ocurren tanto a nivel físico y hormonal como en las esferas social y cognitiva en el inicio de la etapa y cambios de tipo psic –social en el final. Se producen una serie de cambios físicos y madurativos debido a cambios hormonales y en este período se alcanza la madurez sexual. Dicha madurez es diferente en función del sexo. Se desarrollan también las operaciones formales que producen cambios como la capacidad de pensar en abstracto, la capacidad para formular hipótesis, la capacidad para concebir lo posible, el uso de la combinatoria y el uso de la lógica proposicional. Los rasgos cognitivos característicos de los adolescentes son: -

Idealismo: el adolescente empieza a concebir lo que “podría ser” además de lo que “es”. El pensamiento no parte de lo real y lo concreto sino de lo posible y hasta lo ideal. El adolescente se vuelve idealista porque ya puede concebir cómo podrían ser las cosas o cómo le gustaría que fuesen, y puede comparar su visión ideal con la real.

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Tendencia a discutir e indecisión: el adolescente busca de manera constante las oportunidades de razonamiento.

-

Egocentrismo: el adolescente puede adoptar otros puntos de vista distintos al suyo pero no lo consigue, lo que le lleva a centrarse en sí mismo. Se suele sentir incomprendido por los adultos.

-

Audiencia imaginaria: el adolescente se siente el centro de atención y cree que existe una audiencia imaginaria ante la que hay que actuar. Por tanto están muy preocupados por lo que los demás piensan y se sienten observados creyendo que su apariencia es lo que más interesa a los demás.

-

Fábula personal: los adolescentes piensan que son seres únicos, excepcionales e irrepetibles. Se consideran diferentes a los demás y creen que lo que viven es algo excepcional y único, que nadie más ha vivido y que nadie más puede comprender.

-

Fábula de invencibilidad: los adolescentes piensan que ellos no pueden ser víctimas de conductas peligrosas. Por eso asumen todo tipo de riesgos y no toman las precauciones necesarias. Conocen los riesgos pero piensan que ellos no pueden ser víctimas.

También tienen un desarrollo socio–emocional, donde el autoestima es muy importante y la apariencia física les resulta fundamental. Para ellos es muy importante la familia y sentirse protegidos aunque existan muchos conflictos entre ellos y se apoyen en los amigos, a los que ven como iguales. En esta época es cuando surge la verdadera amistad y comienzan a tener relaciones de pareja.

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Nosotros como docentes tendremos que tener presentes todas estas características en todo momento para poder abordar las posibles dificultades cuando se nos presenten. Además, existen otros factores que pueden modificar la conducta en el aula como son las capacidades de los alumnos, los conocimientos que éstos presenten o la motivación. Hoy en día, en las aulas se pueden encontrar alumnos muy distintos y nosotros como docentes deberemos saber atender la diversidad que se nos presente. Para que se produzca un aprendizaje más significativo, es muy importante que los alumnos estén motivados y nuestro objetivo será alcanzarlo. Algunos estudiantes vienen motivados a clase de forma natural y otros, por el contrario necesitan estímulos que les ayuden. La motivación puede ser: -

Intrínseca: el alumno fija su interés por el estudio o trabajo, demostrando siempre superación y responsabilidad en la consecución de sus metas. Realiza una actividad por el placer y satisfacción que le produce aprender.

-

Extrínseca: el alumno sólo trata de aprender no tanto porque le gusta la asignatura sino por las ventajas que ésta le ofrece. La conducta es regulada a través de medios externos como premios y castigos.

Se pueden seguir una serie de líneas generales a la hora de dar una clase como, por ejemplo, despertar la curiosidad del alumno, mostrar la relevancia específica del contenido o actividad, procurar que su interés se mantenga, interactuar con ellos, etc.

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2.3. CONCLUSIONES Hasta ahora hemos analizado las cuestiones que a mi modo de ver son más importantes a la hora de enfrentarnos en una clase. Lo ideal sería seguir el enfoque de la teoría constructivista ya que el aprendizaje que los alumnos obtienen es el más significativo, pero es muy difícil llevarla por completo a la práctica hoy en día por el insuficiente tiempo. Por tanto habrá que desarrollar una combinación del enfoque conductista con el constructivista. También se necesita una alta participación del alumno y no siempre se va a presentar esta circunstancia, por ello mi principal objetivo será fomentar la motivación del alumnado como uno de los pilares fundamentales del aprendizaje.

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3. MEMORIA DE PRÁCTICAS

3.1. INTRODUCCIÓN El desarrollo de las prácticas es fundamental para la formación del futuro profesor, ya que se podrán poner en práctica los conocimientos adquiridos y aprender nuevos. Realicé las prácticas en el Instituto de Educación Secundaria Francisco Tomás y Valiente, un centro de la red pública, del 24 de febrero al 16 de abril de 2014. Mi tutora en dicho centro fue Margarita Bañuelos Palacios y en la universidad Clara Jiménez Gestal. Durante este periodo he podido conocer la realidad de un Centro Educativo y comprobar cómo es el trabajo diario de un docente y el trato con los alumnos. Mi tutora impartía clases en 1º ESO, 1º Taller de Matemáticas, 3º ESO y 1º Bachillerato de Ciencias Naturales.

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3.2. ANÁLISIS DEL CENTRO El I.E.S Francisco Tomás y Valiente está ubicado en Fuenmayor, y el alumnado que cursa estudios en el instituto proviene de los colegios de Navarrete, Cenicero, Medrano y Fuenmayor. Comenzó su andadura en el curso 1997/1998, por lo que es un centro relativamente nuevo con instalaciones en buen estado, y está bien equipado con ordenadores y proyector en todas las aulas, pizarra digital en algunas de ellas y cuenta con una biblioteca, polideportivo, aulas de informática y laboratorios. Cuentan con el proyecto RACIMA, un proyecto informático diseñado para la gestión académica de los centros educativos de La Rioja. La oferta educativa del instituto se compone de la Educación Secundaria Obligatoria, el Bachillerato y un Programa de Cualificación Profesional Inicial (PCPI) de “Operario de viveros, jardines y parques”. Además consta de otros proyectos como el Proyecto de Calidad (EFQM), el Proyecto de Innovación Lingüística (PILC), la colaboración con la Escuela Oficial de Idiomas (EOI) y el Programa de Refuerzo, Orientación y Apoyo (PROA). Es un centro muy familiar, compuesto por 42 profesores y 412 alumnos, en el que se imparten diariamente seis clases de 50 minutos y hay dos recreos de 20 minutos. La situación socio-cultural de los alumnos es muy compleja y muy heterogénea. En el centro hay un 11% de alumnos inmigrantes. En el conjunto de la zona la tasa de paro es aproximadamente del 20% de la población activa, siendo mayor entre el colectivo de las mujeres. Se está produciendo un crecimiento industrial en la zona, y los rendimientos agrícolas son elevados, sobre todo los vitivinícolas.

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3.3. ESTUDIO DE LOS GRUPOS-CLASE Durante el desarrollo de las prácticas, trabajé con la tutora en los grupos de 1ºA, 1ºB, Taller de Matemáticas en 1ºB, 3ºB y 1º de Bachillerato de Ciencias Naturales. Analizando los grupos de primero de E.S.O. en los que he realizado prácticas, cabe destacar la gran diferencia existente entre ellos. Los dos grupos son muy amplios, de 28 y 26 alumnos, respectivamente. El grupo de 1º A, a pesar de estar formado por más alumnos, es un grupo con muy buenos resultados en general. Sin embargo, el grupo de 1º B obtiene muy malos resultados, le falta mucha motivación. En este caso hay dos alumnos A.C.N.E.E. que en la asignatura de matemáticas acuden con un profesor especial. 3º de la E.S.O. es un grupo de alumnos equilibrado, con un buen comportamiento y una predisposición generalmente buena al trabajo. La clase está formada por 24 alumnos. Los alumnos presentan unas capacidades físicas y psíquicas convencionales, sin tener ningún alumno que requiera educación especial. En este grupo encontramos bastante diversidad, existen alumnos muy trabajadores y atentos en las clases, y otros más pasivos. El ambiente de aula suele ser agradable y distendido, preguntando dudas en las clases de ejercicios y problemas, y estando generalmente atentos en las explicaciones, aunque son muy habladores. En la clase, existe una alumna cuya capacidad es menor a las del resto del grupo, la alumna se esfuerza tanto en clase como en casa, realiza la tarea diariamente saliendo como voluntaria para la corrección a la pizarra y se esfuerza por seguir las explicaciones.

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También existen otros alumnos que no prestan atención durante las exposiciones y que en las horas de ejercicios toman una actitud pasiva. A todo este grupo de alumnos a los que les cuesta más realizar los ejercicios y las tareas, ya sea por unos motivos u otros, son a los que se les debe prestar mayor atención, para que se consiga por medio de la motivación, un ritmo de aprendizaje lo más similar posible en todo el grupo y un mayor número de alumnos con resultados satisfactorios. En este grupo también existen alumnos más aventajados que el resto, a los que hay que tener en cuenta sobre todo en las horas de clase dedicados a ejercicios y problemas, ya que llevan un ritmo más acelerado que el resto del grupo y se deben atender sus necesidades. En el grupo de 3º de E.S.O. hay varios alumnos extranjeros, los cuales en su mayoría están integrados con el resto de la clase. La clase de 1º de Bachillerato de Ciencias Naturales es un grupo muy reducido ya que está formado por 10 alumnos, de los cuales solamente uno es repetidor. Dado que no es obligatorio cursar Bachillerato, nos encontraremos en estas aulas únicamente a los alumnos que tienen interés por continuar su formación. En las clases existe un ambiente excelente de trabajo y compañerismo, con mucha participación e interés por conseguir buenas calificaciones. El grupo de alumnos de 1º de Bachillerato está muy interesado en la materia y trabajan cada día tanto en el aula, como en casa. Durante la explicación del profesor todos están atentos y en las clases de ejercicios y problemas realizan los ejercicios individualmente o por parejas preguntando dudas al profesor.

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Este grupo es bastante más homogéneo que el anterior, todos los alumnos llevan un ritmo de aprendizaje bastante similar y la atención a la diversidad en este nivel no es tan necesaria. Existe una alumna más aventajada que el resto aunque la diferencia que se aprecia no es elevada. En el grupo de Bachillerato no se ha apreciado ningún tipo de condicionamiento sociocultural.

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3.4. UNIDAD DIDÁCTICA 1º BACHILLERATO CIENCIAS NATURALES: DERIVADAS. APLICACIÓN DE DERIVADAS

3.4.1. INTRODUCCIÓN La confección de la unidad didáctica se ha desarrollado conforme al material impartido en el Máster de Profesorado. Atendiendo a todos sus puntos y en función de las directrices marcadas por los profesores. La temporalización llevada a cabo será la siguiente:  Tiempo aproximado: 3 semanas.  3ª Evaluación  Unidad didáctica anterior: Funciones. Límite y Continuidad.  Unidad didáctica posterior: No hay.

El concepto de límite, estudiado en la unidad anterior, permite introducir el concepto de derivada, que supone uno de los instrumentos más potentes de la matemática, con aplicaciones en muy diversos campos.

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3.4.2. OBJETIVOS  Utilizar la variación media de una función para interpretar situaciones de la vida cotidiana.  Saber interpretar geométricamente el concepto de derivada de una función en un punto.  Calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.  Obtener la derivada de una función en un punto y la función derivada de una función dada, así como sus derivadas laterales.  Calcular derivadas usando las reglas de derivación.  Obtener derivadas de operaciones con funciones.  Aplicar la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función compuesta.  Utilizar la tabla de derivadas para hallar la función derivada de una función cualquiera.  Calcular derivadas sucesivas.  Saber determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función derivable, así como los intervalos de concavidad y convexidad.  Resolver problemas de optimización.

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3.4.3. COMPETENCIAS Competencias Básicas Teóricas La LOE define ocho competencias básicas que se consideran necesarias para todas las personas en la sociedad del conocimiento y que se deben trabajar en todas las materias del currículo:  Competencia en comunicación lingüística (C1). Se refiere a la utilización del lenguaje como instrumento de comunicación oral y escrita.  Competencia matemática (C2). Consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de razonamiento matemático.  Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3). Es la habilidad para interactuar con el mundo físico, tanto en sus aspectos naturales como en los generados por la acción humana. También se relaciona con el uso del método científico.  Tratamiento de la información y competencia digital (C4). Comprende las habilidades para buscar, obtener, procesar y comunicar información, y la utilización de las nuevas tecnologías para esta labor.  Competencia social y ciudadana (C5). Hace posible comprender la realidad social en que se vive, cooperar, convivir y ejercer la ciudadanía democrática en una sociedad plural, así como participar en su mejora.  Competencia cultural y artística (C6). Supone comprender, apreciar y valorar críticamente diferentes manifestaciones culturales y artísticas.

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 Competencia para aprender a aprender (C7). Implica disponer de habilidades para iniciarse en el aprendizaje y ser capaz de continuar aprendiendo de manera cada vez más eficaz y autónoma, de acuerdo a los propios objetivos y necesidades.  Autonomía e iniciativa personal (C8). Supone ser capaz de imaginar, emprender desarrollar y evaluar acciones o proyectos individuales o colectivos con creatividad, confianza, responsabilidad y sentido crítico.

Competencias Básicas Aplicadas a la Unidad Didáctica A continuación se muestran las competencias básicas que se desarrollan y trabajan a lo largo de la Unidad Didáctica programada, en función de los objetivos que nos hemos marcado:  Utilizar la derivada de una función, asociada a cierto fenómeno social o natural, en un punto para extraer y elaborar conclusiones sobre el comportamiento de dicha función en las proximidades de ese punto. (C1, C2, C3, C5, C8)  Conocer la evolución histórica del problema del cálculo de la tangente a una curva en un punto. (C2, C6, C7)  Distinguir entre propiedades globales y puntuales, variaciones medias en un intervalo y variación instantánea, y utilizarlo en el análisis crítico del comportamiento de ciertos fenómenos. (C2, C4)  Utilizar las nuevas tecnologías para representar y analizar el comportamiento local y global de las funciones. (C2, C4, C7, C8)

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3.4.4. CONTENIDOS  Variación media de una función en un intervalo.  Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. Función derivada.  Ecuación de la recta tangente a una función en un punto.  Derivadas laterales.  Derivadas de las funciones elementales.  Derivadas de operaciones con funciones. Regla de la cadena.  Derivadas sucesivas.  Monotonía y concavidad.  Optimización.  Cálculo de la variación media de una función en un intervalo.  Obtención de la derivada de una función en un punto.  Obtención de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto.  Utilización de la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas.  Obtención de las derivadas laterales de una función en un punto.  Determinación de la función derivada asociada a esa función.  Determinación de la función derivada de las funciones elementales.  Cálculo de derivadas de operaciones con funciones, y aplicación de la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.  Cálculo de las derivadas sucesivas de una función.

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 Utilización de la relación entre la derivabilidad y el crecimiento de una función para resolver problemas.  Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento y concavidad y convexidad de una función.  Resolución de problemas de optimización.  Valoración de la presencia de las derivadas en la vida real.  Gusto por la reflexión al realizar cálculos con derivadas.  Gusto e interés por enfrentarse a problemas donde aparezca la derivada de una función.  Hábito por contrastar el resultado final de un problema con lo propuesto en este para determinar lo razonable o no del valor final obtenido.  Disposición favorable a la revisión y mejora de cualquier cálculo.  Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de recursos para la representación gráfica de funciones no elementales.

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3.4.5. METODOLOGÍA A continuación, se detalla la metodología empleada en el aula para que los alumnos consigan alcanzar los objetivos propuestos en esta Unidad Didáctica. Para ello, se contemplarán los principios metodológicos que guiarán la práctica docente, fundamentados en la fuente psicopedagógica del currículo y en la medida de lo posible, utilizando siempre un enfoque constructivista.

 Es esencial que el aprendizaje sea significativo (no memorístico), es decir, que los nuevos conocimientos de aprendizaje se relacionen de forma coherente con lo que el alumno ya sabe. Por tanto, los nuevos aprendizajes deben tener en cuenta los conocimientos previos que posee el alumno y, a partir de ellos, reestructurar sus esquemas mentales.  Para que se pueda producir este tipo de aprendizaje es necesario que el alumno participe de su propio aprendizaje, es decir, que el alumno sea activo en el aula. Se trata de una actividad interna al sujeto.  El aprendizaje se favorece enormemente mediante la interacción social, por lo que las interacciones profesor-alumno y alumno-alumnos serán un punto clave en el proceso de aprendizaje. Por esta razón, el profesor explicará los contenidos con la participación de los alumnos y la realización de actividades que sirvan para desarrollar determinados aspectos del tema.  Es importante reforzar los aspectos prácticos de lo que se aprende. Por tanto, se plantearán actividades basadas en situaciones reales de la vida cotidiana.

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 Las actividades propuestas deben ser motivantes y despertar la curiosidad del alumno.  Es fundamental atender a la diversidad del aula, en cuanto a capacidades y ritmos de aprendizaje se refiere. Se propondrán actividades de refuerzo para aquellos en los que se detecte alguna laguna y se realizarán actividades de consolidación del tema y actividades de ampliación.

Por tanto, como en el aula hay pocos alumnos, pueden salir todos a la pizarra a hacer ejercicios y así poder participar todos aprendiendo de los errores de los demás y atender el profesor a cada uno más individualizadamente.

Además de estas cuestiones, se debe tener en cuenta la utilización de diferentes estrategias didácticas entre las que destacan:  Resumir y sistematizar el trabajo hecho relacionándolo con actividades anteriores. Al final de la unidad se realizará un esquema a modo recordatorio grupalmente (Anexo I).  Orientar y reconducir el trabajo de los alumnos/as, ya sea individual o en grupo.  Crear un ambiente de trabajo que facilite las relaciones de comunicación durante la clase, sin agobios de tiempo.  Hacer entender a los alumnos/as que los errores son una poderosa fuente de aprendizaje.  Estructurar la secuencia de tareas que han de realizar los alumnos/as.

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 Individualizar, dentro de lo posible, el seguimiento del aprendizaje de cada alumno/a.  Coordinar los distintos ritmos de trabajo y de adquisición de conocimientos.  Explicitar el proceso y los instrumentos de evaluación.

3.4.6. TEMPORALIZACIÓN Esta unidad se llevará a cabo en 3 semanas, que corresponde con 12 sesiones:

 Sesión 1: Comenzamos introduciendo el tema y buscando la relación con los conocimientos previos. Además de dar una pequeña introducción histórica: Este tema surgió al intentar resolver el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente. Está relacionado con la óptica (el ángulo con el que un rayo de luz incide en una superficie de una lente), la física (la dirección de un cuerpo en movimiento en un punto de su recorrido) o la geometría (el ángulo entre dos curvas que intersecan). Como el tema estudiado anteriormente es funciones, límite y continuidad, podemos ayudarnos de esto para introducir el concepto de derivada. Para que vayan adentrándose en el tema, se dedicará el resto de la clase a hacer ejemplos con GeoGebra para que entiendan el concepto y además se familiaricen con el programa, ya que más adelante trabajarán con él.

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Finalmente se les explica que en este tema va a haber unas actividades que tendrán un peso del 30% de la nota final, que deberán entregar el día del examen en un dossier y que tendrán que realizar por parejas.

 Sesión 2: Comenzamos la clase explicando las definiciones de variación media de una función en un intervalo, variación instantánea y derivada de una función en un punto. En clase se hará la siguiente actividad: La siguiente tabla da el precio en euros de un producto en 8 años sucesivos. Precio

10

18

24

28

30

30

28

24

Año

0

1

2

3

4

5

6

7

¿Cuál es la TVM del precio en el primer año? ¿Y entre el primero y tercer año? ¿Y entre el tercero y el séptimo? A continuación se muestra la interpretación geométrica y física de la derivada. Se manda como deberes las siguientes actividades: 1) En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad. ① y ② corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para tomar el autobús en marcha.

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a) Al viajero ② lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y halla la velocidad a la que corre.

b) ¿Cuál es la velocidad aproximada del autobús en el momento que lo alcanza el pasajero ②? ¿Entra este pasajero suavemente en el autobús?

2) La siguiente gráfica refleja el comportamiento de dos atletas, del mismo equipo, durante una carrera de relevos:

1.er relevista 2.º relevista a) ¿Por qué en las carreras de relevos 4 x 100 m cada relevista empieza a correr antes de que llegue su compañero? b) ¿Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro? c) ¿Es razonable que las gráficas de sus movimientos sean tangentes? ¿Cómo son sus velocidades en el momento de la entrega del “testigo”?

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 Sesión 3: Comenzamos la clase corrigiendo las actividades del día anterior. Posteriormente se explica el concepto de función derivada y ecuación de la recta tangente a una función en un punto. Actividades: 1) Hallar en 𝑥𝑥 = 1 la recta tangente a la curva 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 2 + 1 .

2) Hallar la derivada de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 3 en el punto 𝑥𝑥 = 2 .

3) ¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos. Se manda como deberes las siguientes actividades: 1) Si la ecuación del movimiento de un móvil es 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 2𝑡𝑡 + 5𝑡𝑡 2 . Calcula la velocidad en el instante 𝑡𝑡 = 7 segundos.

2) Calcula la velocidad en el instante 𝑡𝑡 = 4 segundos de un móvil cuya 𝑡𝑡 2

ecuación de movimiento es 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 3 − 4𝑡𝑡 + . 2

3) Dada la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2, averigua la TVM en los siguientes intervalos: a) [0,2] b) [2,4] c) [4,6] 4) Dadas las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥), calcular el valor de la derivada, utilizando la definición de derivada de una función en un punto:

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a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥, 𝑓𝑓′(1)

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b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥, 𝑓𝑓 ′ (2) 1

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 ′ (𝑎𝑎) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 ≠ 0  Sesión 4: Esta sesión está indicada para trabajar en grupo sobre la actividad del periódico desarrollada en el proyecto de innovación.

 Sesión 5: Comenzaremos corrigiendo las actividades pendientes. A continuación se explican los conceptos de derivadas laterales y derivadas de las funciones elementales. Las actividades a realizar serán: 1) Calcula las derivadas de las funciones: a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥 + 2

d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥 2 − 5

e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 4 +𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 + 4 f) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

𝑥𝑥 3 +2 5

3

3

g) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5 + 𝑥𝑥 2 h) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥

1

√𝑥𝑥

i) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 2)4

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j) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 10√𝑥𝑥

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k) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln(2𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 3 + 3𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥)

A continuación se explica el concepto de derivabilidad y continuidad y se realiza la siguiente actividad: 1) Dadas las siguientes funciones, determina en que puntos no son derivables: 2

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥 + 1 −𝑥𝑥 + 2 2

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥 2𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 0 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 0

𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 2 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 2

Se manda como deberes las siguientes actividades: 1) Sea la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

2

�𝑥𝑥1

√𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 4

𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 4

, determina su dominio de

derivabilidad. Si es derivable en 𝑥𝑥 = 4, halla 𝑓𝑓′(4).

2) Dada la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 1 calcula el punto en el que su tangente es perpendicular a la recta 𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 + 3 = 0.

 Sesión 6: Comenzamos corrigiendo los ejercicios del día anterior. A continuación se explican los conceptos de derivadas de operaciones con funciones y la regla de la cadena. Las actividades a realizar serán: 1) Calcula la función derivada de las siguientes funciones: a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 4

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 5 − 7𝑥𝑥

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c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥√5𝑥𝑥 −

2𝑥𝑥

√2𝑥𝑥

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2) Calcula la ecuación de la recta tangente a 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 en el punto 𝑥𝑥 = 3. Se manda como deberes las siguientes actividades:

1) Calcula la función derivada de las siguientes funciones: 1

a)𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥

3

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2√𝑥𝑥 + 3 √𝑥𝑥 c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 2)2

d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 2√𝑥𝑥)3 3

1

e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2

2) Calcula la ecuación de la recta tangente a 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 3)2en el punto 𝑥𝑥 = 0.

 Sesión 7: Se comienza la clase explicando los conceptos de monotonía y concavidad. Se realizan las siguientes actividades: 1) Mediante el estudio del signo de la primera derivada, hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones: a) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 7 b) 𝑦𝑦 =

𝑥𝑥 4 4

+

𝑥𝑥 3 3

− 12𝑥𝑥 + 7

2) Mediante el estudio del signo de la segunda derivada, hallar los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de inflexión de las siguientes funciones:

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a) 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 5 − 10𝑥𝑥 3 − 75𝑥𝑥

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b) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥  Sesión 8: Esta sesión está indicada para trabajar en grupo sobre la actividad de las fotografías desarrollada en el proyecto de innovación.

 Sesión 9: Esta sesión está indicada para trabajar en grupo sobre la actividad de la caja desarrollada en el proyecto de innovación.

 Sesión 10: Esta sesión está dedicada a dudas y a resolver ejercicios. Como podemos llevar un control de cada alumno debido al número reducido que hay, utilizaremos las actividades de refuerzo y ampliación en los casos en los que lo consideremos necesario.

 Sesión 11: En esta sesión se realizará un repaso general de toda la unidad y se resolverán las últimas dudas que tengan.

 Sesión 12: Realización de la prueba escrita incluida en el Anexo V.

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3.4.7. ACTIVIDADES  Actividades de Iniciación y Motivación Estas actividades iniciales nos van a servir como evaluación inicial, dado que nos ayudan a observar los conocimientos de los alumnos y las capacidades que tienen para afrontar el tema que se trata.

 Actividades de Desarrollo y Aprendizaje En este apartado se muestra el grueso de actividades de la Unidad Didáctica, las cuales van a contribuir a encauzar la acción del alumno para promover la actividad mental (observar, comparar, clasificar, buscar información, etc.). Estas son las actividades que tienen un fuerte componente constructivo. Entre ellas se encuentran las actividades indicadas en la temporalización, así como en la hoja de ejercicios que el profesor colgará en la plataforma Moodle por si fueran necesarios más ejercicios (Ver Anexo II).

 Actividades de Síntesis y Resumen En este apartado se presentan una serie de actividades, que permiten poner en práctica los conocimientos adquiridos, reforzando así los nuevos esquemas, dando significado a los nuevos aprendizajes, y ofreciendo al profesor información sobre el grado de aprendizaje obtenido por los alumnos.

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 Actividades de Refuerzo y Ampliación Este bloque de actividades pretende atender a los distintos estilos y ritmos de aprendizaje, ya que el aprendizaje no es uniforme para todos los alumnos. Se trata de actividades como medida de atención a la diversidad. Las actividades de refuerzo están destinadas a aquellos alumnos que tienen un ritmo de aprendizaje más bajo y necesitan afianzar lo que aprenden mediante ejercicios de menor dificultad (Ver Anexo III). Por el contrario, las actividades de ampliación se desarrollarán con los alumnos cuyo ritmo de aprendizaje es superior a la media y son capaces de realizar actividades de mayor complejidad (Ver Anexo IV).

3.4.8. EVALUACIÓN Criterios de evaluación:  Hallar la variación media de una función en un intervalo.  Determinar la derivada de una función en un punto, y obtener la función derivada asociada a esa función.  Utilizar la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas.  Calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.  Determinar las derivadas laterales de una función en un punto.  Obtener la función derivada de una función elemental.  Calcular derivadas de operaciones con funciones, y aplicar la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.  Calcular derivadas sucesivas de una función.  Utilizar la relación entre derivabilidad y crecimiento para resolver problemas.

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 Resolver distintos problemas donde aparezca el concepto de derivada de una función.

Para evaluar al alumno se utilizarán los siguientes instrumentos:  Salidas a la pizarra a corregir los ejercicios de casa  Control de la tarea diaria  Posibles preguntas en clase sobre lo explicado  Comportamiento tanto en el aula como en cualquier actividad relacionada con la asignatura  Actitud ante la asignatura , los compañeros y el profesor  Dossier de actividades (Ver Proyecto Innovación)  Prueba escrita (Ver Anexo V)

Criterios de calificación: El profesor valorará si el alumno ha comprendido el concepto de derivada de una función en un punto, así como su significado geométrico. Si sabe relacionar este concepto con alguna situación de la vida real. También se tendrá en cuenta la actitud general del alumno en el desarrollo de la actividad.

Así mismo la nota se formará del siguiente modo:  Comportamiento del alumno en la clase (5%).  Ejercicios en casa a lo largo de la unidad (5%).  Trabajo por proyectos (30%).  Prueba escrita (60%).

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3.4.9. MATERIALES Y RECURSOS DE APOYO A LA DOCENCIA El material didáctico que se emplea en el curso es:  Pizarra.  Libro de texto: MATEMÁTICAS 1, Mª José Ruiz Jiménez y otros. Editorial: EDITEX. ISBN: 978-84-9771-345-0.  Proyector.  Calculadora científica.  Hojas de ejercicios y actividades.  Equipos informáticos con conexión a internet.  GeoGebra.  Plataforma virtual.

Por último, y solo de cara al profesorado estarán disponibles impresoras y fotocopiadoras en el centro.

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3.5. OTRAS ACTIVIDADES En el desarrollo de las funciones como alumna en prácticas, he realizado todos los trabajos descritos en el presente informe de prácticas. Además de asistir a las clases, de participar en ellas y de desarrollar las Unidades Didácticas de acuerdo con las indicaciones de mi tutora. También he asistido junto con las otras alumnas en prácticas que estaban en el centro a una reunión con la orientadora para explicarnos cómo funciona el departamento. He acudido, aparte de las clases de 3º de E.S.O. y 1º de Bachillerato donde he impartido las unidades didácticas correspondientes, a las clases de 1º de E.S.O. y de Taller de Matemáticas en 1º de E.S.O. Con los alumnos de todos los cursos se ha realizado el concurso de Primavera y para la 3ª evaluación, los alumnos de 1º de E.S.O. tienen un concurso de cuentos matemáticos. He asistido a las Reuniones de Departamento que se realizaban entre los profesores de Matemáticas una vez por semana. También estuve presente en una charla sobre el bullying impartida por un Guardia Civil, al curso de 1º de E.S.O. He aprendido el manejo de la plataforma virtual Moodle y además, como la tutora trabaja con el programa LaTeX, me ha ayudado a manejarlo.

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3.6. REFLEXIÓN Y CONCLUSIONES Tras la realización de las prácticas he llegado a la conclusión de que ha sido una experiencia formativa muy positiva. Estas prácticas me han parecido un complemento necesario e idóneo para completar la importante formación que estamos recibiendo en este máster. El periodo de prácticas es muy importante para la formación del profesorado, ya que permite relacionar los conceptos teóricos vistos durante las horas de clase, con la realidad del contexto educativo. Esta experiencia me ha ayudado a hacerme una idea muy aproximada de como es este trabajo, de si me gusta y de si realmente quiero trabajar ayudando a los nuevos alumnos a superar sus dificultades y a imprimirles una mentalidad de esfuerzo y de trabajo que les sea de gran utilidad en su futuro. Personalmente me ha resultado muy satisfactoria esta experiencia, con la que me he dado cuenta de que estoy preparada e ilusionada para empezar a dar mis primeros pasos como docente. En un principio, en el periodo de observación, comprobé la gran diferencia de la percepción del contexto de una clase desde el punto de vista del alumno y del profesor. Su tarea y espero que sea también la mía, es realmente complicada y se deben dedicar muchas horas para que la mayoría de los alumnos estén motivados e interesados en la asignatura y puedan alcanzar los objetivos propuestos. Durante todas las prácticas la tutora me ha dado libertad para ejercer como profesora ayudante, resolviendo dudas a los alumnos y ayudando a corregir los ejercicios de todos los cursos.

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Otro aspecto que cabe resaltar es la atención a la diversidad. Me parece muy importante atender las necesidades educativas de cada alumno. Es difícil hacerlo en todo momento porque en el aula hay muchos alumnos y cada uno tiene unas necesidades e intereses, pero durante las horas de problemas se les puede dedicar más tiempo a aquellos alumnos que más lo necesiten, incluso se pueden realizar horas con actividades de refuerzo. Por último, agradecer al I.E.S. Francisco Tomás y Valiente, a sus integrantes y en especial a mi tutora por haberme hecho partícipe de la vida diaria del centro y haberme hecho sentir como uno más, estando pendientes de mí en todo momento y dándome consejos muy útiles para la profesión.

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4. PROYECTO DE INNOVACIÓN 4.1. INTRODUCCIÓN Mantener a los estudiantes comprometidos y motivados constituye un reto muy grande incluso para los docentes más experimentados. El primer problema que se pretende abordar mediante este proyecto es combatir la desmotivación de los estudiantes de secundaria y bachillerato. La mayoría de los estudiantes perciben las matemáticas como una de las asignaturas más difíciles y tienen miedo a enfrentarse a ellas (Hidalgo, Maroto y Palacios, 2004). Mediante la introducción de nuevas técnicas de motivación pretendemos erradicar del aula ese miedo y provocar que los alumnos sientan las matemáticas como algo cercano e interesante. Tanto padres como alumnos alegan que las matemáticas es una de las asignaturas más importantes para su futuro, ya que están presentes en la vida cotidiana, aunque a la hora de estudiarlas no las ven como un objeto presente en sus vidas, sino como una serie de reglas y algoritmos que deben aplicar a ejercicios. Mediante este proyecto de innovación, acercaremos las matemáticas a los alumnos utilizando en los ejercicios datos y situaciones de la vida real. Otro problema que nos encontramos en las aulas es el tipo de aprendizaje que los estudiantes reciben. En el segundo apartado de este documento vimos los distintos tipos de aprendizaje que existen; comprobamos que el modelo de aprendizaje más utilizado en las aulas es el aprendizaje cognitivo en el que el alumno es un ser pasivo que memoriza los contenidos que el profesor le cuenta. La mayor desventaja de dicho

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aprendizaje es que los alumnos no llegan a comprender el porqué de las cosas, y que además memorizan los conceptos, reglas y algoritmos únicamente para reproducirlos el día del examen. Por lo tanto el conocimiento que obtienen es a corto plazo, y en algunos casos el plazo es escaso olvidándose de todo lo aprendido rápidamente. Frente a la teoría conductista, en la que el papel central es el profesor, nos encontramos con la teoría constructivista en la que el proceso de enseñanza aprendizaje se centra en el alumno. El profesor debe guiar al alumno para que éste sea quien construya su propio aprendizaje, pasa de ser un mero transmisor de conocimientos a convertirse en un guía que propicie que los alumnos extraigan sus propias conclusiones. El profesor, en su papel de guía, debe relacionar los conceptos con las experiencias y conocimientos previos del alumno para provocar que los conocimientos adquiridos perduren indefinidamente. Hemos desarrollado este proyecto de innovación basado en el aprendizaje por proyectos para resolver lo que, bajo mi punto de vista, son los problemas más importantes a los que se enfrenta un profesor de matemáticas en secundaria y bachillerato que son la falta de motivación de los alumnos y la utilización del método de enseñanza basado en la teoría conductista. Mediante la realización de proyectos, los alumnos descubrirán por sí mismos conceptos de la unidad didáctica, aumentará su motivación y relacionarán dichos conceptos con problemas de la vida real. Este proyecto está aplicado a la unidad didáctica “Derivadas. Aplicación de derivadas” de 1º de Bachillerato de Ciencias Naturales, pero se podría adaptar a cualquier unidad didáctica y a cualquier curso de secundaria y bachillerato.

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4.2. OBJETIVOS Los principales objetivos que persigue mi proyecto de innovación son:  Aumentar la motivación de los alumnos  Manejo de conceptos teóricos de la unidad  Fomentar la colaboración entre los alumnos realizando tareas en grupos  Aumentar las habilidades sociales y de comunicación  Acrecentar las habilidades para la solución de problemas  Aumentar la autoestima haciendo que los alumnos se enorgullezcan de lograr algo que tenga valor fuera del aula  Preparar a los estudiantes para los puestos de trabajo colaborando unos con otros, planificando el tiempo y tomando decisiones  Utilización de nuevas tecnologías, como puede ser el software matemático GeoGebra  Romper con la monotonía de ejercicios mecánicos

Con este proyecto de innovación se desarrollarán las siguientes competencias básicas:  Competencia en comunicación lingüística (C1): redactando las actividades y debate en clase durante la realización de las mismas.  Competencia matemática (C2)  Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3): las actividades están relacionadas con objetos y problemas de la vida real.

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 Tratamiento de la información y competencia digital (C4): la información que necesiten la podrán buscar en internet y algunas actividades se realizarán con el programa GeoGebra.  Competencia cultural y artística (C6): analizando las características de edificios o elementos arquitectónicos que puedan haber en las fotografías.  Autonomía e iniciativa personal (C8): en la resolución de actividades se desarrollan tareas en las que hay que planificarse y tomar decisiones.

4.3. MARCO TEÓRICO El término constructivismo proviene del latín struere ‘arreglar’ ‘dar estructura’. Se emplea de manera reiterada como paradigma educativo. La idea principal es que el aprendizaje humano se construye. La mente de las personas elabora nuevos significados a partir de la base de enseñanzas anteriores. En otras palabras, “el aprendizaje se forma construyendo nuestros propios conocimientos desde nuestras propias experiencias” (Ormrod, 2003) “Es en primer lugar una epistemología, es decir una teoría que intenta explicar cuál es la naturaleza del conocimiento humano” (Méndez, 2002). En pedagogía se entiende por constructivismo una corriente que afirma que el conocimiento de todas las cosas es un proceso mental del individuo, que se desarrolla de manera interna pero sobre la base de lo que el individua obtiene información e interactúa con su entorno.

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La nueva información es asimilada y depositada en una red de conocimientos y experiencias que existen previamente en el sujeto, como resultado podemos decir que el aprendizaje no es ni pasivo ni objetivo, por el contrario es un proceso subjetivo que cada persona va modificando constantemente a la luz de sus experiencias. (Abbott, 1999). Sujeto

Conocimiento antiguo

Conocimiento nuevo

Aprendizaje

Se pueden destacar tres modelos: la teoría evolutiva de Piaget, el enfoque socio-cultural de Vygostsky, y el aprendizaje significativo de Ausubel. Vygotsky afirma que el aprendizaje está condicionado por la sociedad en la que nacemos y nos desarrollamos.  La cultura juega un papel importante en el desarrollo de la inteligencia. De ahí que en cada cultura las maneras de aprender sean diferentes. En la comunicación con el entorno (familiar, profesores y amigos) moldea su conocimiento y comportamiento.  El aprendizaje guiado. La posibilidad de aprender con la ayuda de personas más hábiles (nivel de desarrollo potencial).

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Piaget plantea que el aprendizaje es evolutivo.  El aprendizaje es una reestructuración de estructuras cognitivas. Las personas asimilan lo que están aprendiendo interpretándolo bajo el prisma de los conocimientos previos que tienen en sus estructuras cognitivas. El docente sabe que la persona está aprendiendo si es capaz de explicar el nuevo conocimiento adquirido.  La motivación del alumno es inherente a este tipo de aprendizaje, por tanto no manipulable por el profesor.

Ausubel afirma que el punto de partida de todo aprendizaje son los conocimientos y experiencias previas. En palabras del propio Ausubel “el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe”.  Teoría del aprendizaje significativo. Conviene aclara que el término significativo se utiliza como contrario a memorístico.  El aprendizaje adquiere significado si se relaciona con el conocimiento previo.  El alumno construye sus propios esquemas de conocimiento.  Relaciona los nuevos conocimientos con los conocimientos previos.  El aprendizaje no se produce si no hay interés por parte del alumno.

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Por lo expresado, podemos establecer los principios del constructivismo como sigue:  El sujeto construye el conocimiento de manera activa, interactuando con el objeto de estudio.  El nuevo conocimiento adquiere significado cuando se relaciona con el conocimiento previo.  El contexto social y cultural de la persona influye en la construcción del significado.  Aprender implica participar de forma activa y reflexiva.

La motivación es una atracción hacia un objetivo que supone una acción por parte del sujeto y permite aceptar el esfuerzo requerido para conseguir ese objetivo. La motivación está compuesta de necesidades, deseos, tensiones, incomodidades y expectativas. La ausencia de motivación hace complicada la tarea del profesor. No existe una colección de reglas fijas que garanticen que el ambiente de clase sea lo más motivador posible, pero sí que podemos enumerar una serie de pautas generales que pueden servir:  Explicar a los alumnos los objetivos educativos que tenemos previstos para la sesión determinada.  Justificar la utilización de los conocimientos que les intentamos transmitir con las actividades que les vamos a plantear.  Plantearles las actividades de forma lógica y ordenada.

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 Proponerles actividades que les hagan utilizar distintas capacidades de su resolución.  Fomentar la comunicación entre los alumnos realizando tareas en grupo.  Plantear el razonamiento y la comprensión como la mejor herramienta para la resolución de actividades.  Aplicar los contenidos y conocimientos adquiridos a situaciones próximas y cercanas para los alumnos.

4.4. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO Este proyecto está destinado a la unidad didáctica “Derivadas. Aplicación de derivadas” de 1º de Bachillerato de Ciencias Naturales. Se pretende que los alumnos comprendan mejor los conceptos del tema haciendo uso de actividades relacionadas con la vida real e interpretando los resultados que obtengan. Consiste en introducir a los alumnos ciertos contenidos de la unidad, y que por grupos realicen actividades, con ayuda del programa informático GeoGebra en algunos casos, para lograr una comprensión más profunda y además descubrir nuevos conceptos. Se presentarán a los alumnos una serie de actividades que deberán resolver por grupos. Mediante la realización de dichas actividades los alumnos podrán extraer conclusiones que les ayuden a comprender y descubrir los conceptos de la unidad didáctica. Una vez finalizada la actividad, los grupos deberán entregar un dossier con las actividades desarrolladas y conclusiones.

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Se formarán cinco grupos de dos personas cada uno. Ya que los alumnos de esta clase componen un grupo bastante homogéneo, todos los alumnos llevan un ritmo de aprendizaje similar y provienen de diversas localidades, se les deja total libertad en la composición de los grupos. Es importante que los grupos sean pequeños para que todos los alumnos trabajen. En este caso al ser una clase tan reducida los grupos están formados por dos personas, pero en un aula con mayor número de estudiantes se podría adaptar a grupos de 3 ó 4 personas.

El proyecto consiste en la realización de tres actividades:  La primera actividad consiste en que cada grupo realice fotografías en las que puedan verse reflejadas funciones, las lleven a clase y allí se haga un análisis completo de ellas.  La segunda actividad consiste en que cada grupo lleve a clase recortes de periódicos o papeles impresos de periódicos digitales en los que aparezcan datos sobre el paro en el último año. Con esta actividad se pretende que los alumnos lleguen a darse cuenta de que con las preguntas que se están haciendo, están viendo la Tasa de Variación Media y la Tasa de Variación Instantánea.  La tercera actividad consiste en realizar unas cajas recortando cuadrados en las esquinas de unas láminas de plástico duro tamaño DIN-A4 que el profesor entregará. Mediante pruebas los alumnos deberán hacer una estimación de los centímetros de los cuadrados que se deben cortar para que la capacidad de la caja obtenida sea la mayor posible. También

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deberán dar una solución algebraica y otra mediante GeoGebra. Las soluciones obtenidas se deberán comparar entre sí. Los alumnos dispondrán de horas de clase para trabajar sobre ello. También deberán trabajar en casa buscando información y terminando lo que no les dé tiempo a realizar en clase. La entrega del dossier con las actividades se deberá realizar el día del examen.

4.5. TEMPORALIZACIÓN Este proyecto se encuadrará dentro de la unidad didáctica “Derivadas. Aplicación de derivadas” que constará de 12 sesiones en total tal y como hemos visto el apartados anteriores. A continuación se detalla la incidencia del trabajo de innovación en la unidad:

 Sesión 1: En la primera sesión se les explicará a los alumnos que se van a realizar una serie de actividades a lo largo de la unidad por parejas, por tanto deberán formarlas a su gusto. Se pide a los grupos que deben realizar fotos sobre paisajes, atracciones de parques temáticos, elementos de la naturaleza, objetos de su hogar, etc, en las que puedan verse reflejadas funciones. También deberán hacer una búsqueda por periódicos (tanto nacionales como regionales) sobre los datos del paro en el último año. Deberán traer

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los recortes del periódico en papel o un papel impreso en el caso de que la búsqueda haya sido en el periódico digital.

 Sesión 2: En una segunda sesión se realizará la actividad de las fotografías. Dicha actividad consistirá en que cada grupo elija dos de sus fotografías explicando el porqué de su elección y analizando las características que observen. Como es muy probable que alguna de las fotografías refleje edificios o elementos arquitectónicos, se les preguntará a los alumnos acerca de las características de los mismos (estilo, época,…). Más adelante deberán encontrar una función que se asemeje a dichas características y la representen mediante el GeoGebra.

 Sesión 3: En una tercera sesión se realizará la actividad del periódico. Cada grupo expondrá su recorte con los datos del paro que haya buscado. Los alumnos deberán hacerse preguntas acerca de qué les sugieren los datos que observan. Se realizará un debate entre cada grupos analizando los datos. Las preguntas sobre las que más pueden discutir son: •

¿Cuál ha sido la variación del paro en total?



¿Cuándo fue mayor la disminución del paro? ¿Por qué crees que ha ocurrido? ¿Con que acontecimiento coincide? Con esta pregunta pueden sacar conclusiones diferentes dependiendo de

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la región escogida como pueden ser época de vacaciones, vendimias, ferias, etc. •

¿Cuál es la variación media total?



¿Cuál fue el peor mes para el desempleo? ¿Por qué crees que ha ocurrido?

Finalmente cada grupo expondrá sus conclusiones acerca de los resultados obtenidos y se abrirá un debate que permitirá llegar a nuevas hipótesis y enriquecerá la actividad.

 Sesión 4: En una cuarta sesión se realizará la actividad de la caja. Dispondrán de láminas de plástico duro de tamaño DIN-A4 que el profesor entregará a cada grupo. Con las mismas se pretende construir cajas realizando cortes cuadrados en las esquinas y doblando las solapas que se generan. Se pide que la capacidad de la caja sea la mayor posible, ¿Cuántos cm deberán cortar en cada esquina para conseguirlo? a) Una vez tenga cada grupo las cajas formadas, sin realizar ningún cálculo previo y solamente usando la intuición deberán:

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Estimar cuál debe ser el tamaño de los cortes



Comprobar con agua qué cantidad le cabe a cada una de las cajas



Dar una solución aproximada

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b) A continuación deberán resolver el problema algebraicamente. c) Con ayuda del GeoGebra deberán representar gráficamente el problema anterior y extraer las conclusiones que se desprendan del dibujo generado. d) Por último se compararán los resultados obtenidos en cada apartado. Como esta actividad no dará tiempo a realizarla completamente, se deberá terminar en casa.

 Sesión 5: El día del examen cada grupo entregará un dossier que contenga el desarrollo de cada actividad.

4.6. EVALUACIÓN Criterios de evaluación: La evaluación del proyecto tendrá en cuenta lo siguiente:  La creatividad de las soluciones aportadas  La calidad de los resultados obtenidos  La presentación del trabajo  La actitud diaria durante el desarrollo del trabajo  La participación en clase

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Criterios de calificación: El peso que tiene el proyecto de innovación sobre la nota final de la unidad didáctica correspondiente es del 30%.

El proyecto se calificará del siguiente modo:  Un 70% de la nota corresponderá a las soluciones de las actividades aportadas por los grupos. Se tendrán en cuenta diversos aspectos como son la presentación del dossier y que las soluciones presentadas sean correctas, originales e imaginativas).  Se valorará con un 20% la participación en clase y las habilidades comunicativas de los alumnos.  El 10% restante corresponderá a la valoración que haga el profesor acerca de la actitud individual de cada alumno frente al proyecto y la correcta colaboración interna de cada grupo.

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4.7. MATERIALES Los materiales necesarios para la realización del proyecto son:  Cámara de fotos ó teléfono móvil que realice fotografías.  Equipos informáticos con conexión a internet.  GeoGebra.  Láminas de plástico duro tamaño DIN-A4.  Botellas de agua.  Periódicos.  Impresora.

4.8. CONCLUSIONES Llevando a cabo este proyecto de innovación, se cumplen los objetivos descritos anteriormente. Logramos que los alumnos profundicen y amplíen sus conocimientos acerca de la unidad didáctica utilizando métodos novedosos e innovadores. Mediante la realización de este proyecto conseguimos centrar el foco del aprendizaje en la figura del alumno. Son ellos los que deben extraer conclusiones de las actividades propuestas y en algunos casos relacionar conceptos matemáticos con las conclusiones obtenidas a partir de la realización de las actividades. De esta forma conseguimos aumentar la autoestima del alumno y afianzar más profundamente las nociones extraídas.

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Al introducir cambios en la rutina de las clases, tales como trabajar con ejemplos sacados de la vida real o utilizar herramientas informáticas, conseguimos captar la atención de los alumnos y que aumente su motivación en la asignatura de matemáticas. Otra medida que hemos tomado para aumentar la motivación de los alumnos consiste en que realicen las actividades formando equipos de trabajo. El trabajo en grupo es fundamental ya que fomenta la mejora de las habilidades comunicativas y sociales de los alumnos. Hemos de destacar que la implementación del aprendizaje por proyectos en una unidad didáctica requiere mucho trabajo y tiempo por parte del profesor. Se ve limitado por la densidad del currículo académico. Uno de los problemas que se debe controlar es la posibilidad de que dentro de los grupos puede haber alumnos que se aprovechen del trabajo de sus compañeros, el profesor debe ser consciente de este hecho y controlar la evolución del trabajo y la aportación que cada miembro hace al grupo. Dentro del currículo de las matemáticas, encontramos unidades didácticas a las que se podría adaptar un proyecto con estas características y considero que puede resultar muy beneficioso para los alumnos.

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5. REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA  Ley Orgánica 2/2006 de 3 de Mayo, de Educación (LOE).  Decreto 5/2011, de 28 de enero, por el que se aprueba el Reglamento Orgánico de los Institutos de Educación Secundaria en la Comunidad Autónoma de La Rioja.  Apuntes de las asignaturas cursadas en el máster.  Hidalgo.S; Maroto.A; Palacios.A. “¿Por qué se rechazan las matemáticas? Análisis evolutivo y multivariante de actitudes relevantes hacia las matemáticas”. Revista Educación, nº334 (2004).  Ormrod, J. E., Educational Psychology: Developing Learners, Fourth Edition. 2003, p. 227.  Proyecto Educativo del Centro (PEC) del centro IES Francisco Tomás Y Valiente.  Reglamento de Organización y Funcionamiento (ROF) del centro IES Francisco Tomás y Valiente.  Programación General Anual (PGA) del centro IES Francisco Tomás Y Valiente.  Programación General Anual de la especialidad de Matemáticas del centro IES Francisco Tomás Y Valiente.  Proyecto Algaida. MATEMÁTICAS 3º E.S.O. Editorial: Bruño.  Mª José Ruiz y otros. MATEMÁTICAS 1. Editorial: EDITEX.  Proyecto Algaida. MATEMÁTICAS 1º E.S.O. Editorial: Bruño.  www.iestomasyvaliente.edurioja.org

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 www.brunodigital.es  www.cidead.es  www.recursostic.educacion.es/descartes/web  www.santillana.es/recursos.html  www.educarioja.org/educarioja  www.vitutor.com  www.e-ducativa.catedu.es

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6. ANEXOS Anexo I: Resumen Derivadas

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Anexo II: Hojas de actividades de desarrollo y aprendizaje de derivadas

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Anexo III: Actividades de refuerzo de derivadas

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Anexo IV: Actividades de ampliación de derivadas

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Anexo V: Examen de derivadas

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