TERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 10 Problema 1.- Se considera la ecuación x3 + x2 + mx − 6 = 0. Utilizando el Teorema de Bolzano demostrar que: (i) Si m > −3 la ecuación tiene al menos una raíz real menor que 2. (ii) Si m < −3 la ecuación tiene al menos una raíz real mayor que 2.

SOLUCIÓN Sea f (x) = x3 + x2 + mx − 6. Dicha función es continnua por ser polinómica, por lo que podemos aplicar el teorema de Bolzano en cualquier intervalo cerrado en el que haya cambio de signo. (i) Si m > −3 consideramos el intervalo [0, 2]. Entonces,  f (0) = −6 < 0   =⇒ existe x0 ∈ (0, 2) tal que f (x0 ) = 0. f (2) = 6 + 2m > 0  

(ii) Si m < −3 consideramos el intervalo [2, −m], ya que −m > 3. Entonces,  f (0) = −6 < 0   =⇒ existe x0 ∈ (2, −m) tal que f (x0 ) = 0. f (−m) = −m3 − 6 > 21 > 0  

Problema 2.- Dar un intervalo en el que se pueda asegurar que existe una raíz de la ecuación x − 1 = sen x.

SOLUCIÓN Sea g(x) = x − 1 − sen(x). La función es continua por ser diferencia de funciones elementales que lo son. ) g(0) = −1 < 0 =⇒ existe x0 ∈ (0, π) tal que g(x0 ) = 0. g(π) = π − 1 > 0

Problema 3.- Encontrar la raíz de f (x) = ex + x − 3 con un error más pequeño que media décima.

SOLUCIÓN Sea f (x) = ex + x − 3. Se trata de una función continua por lo que podemos aplicar el método de la bisección. x1 = 0 f (x1 ) = −2 x3 =

f (x3 ) = −0,8513

f (x4 ) = −0,1330

f (x4 ) = −0,1330

x2 = 1 f (x2 ) = 0,7183

x5 = 0,875 f (x5 ) = 0,2739

x3 + x5 = 0,8125 =⇒ ε < 0,0625 2 f (x6 ) = 0,066 x3 = 0,75

f (x4 ) = −0,1330 x7 =

f (x2 ) = 0,7183

x3 + x2 = 0,875 =⇒ ε < 0,125 2 f (x5 ) = 0,2739 x3 = 0,75

x6 =

x2 = 1

x 3 + x2 = 0,75 =⇒ ε < 0,25 2 f (x4 ) = −0,1330 x3 = 0,75

x5 =

f (x2 ) = 0,7183

x1 + x2 = 0,5 =⇒ ε < 0,5 2 f (x3 ) = −0,8513 x3 = 0,5

x4 =

x2 = 1

x6 = 0,8125 f (x6 ) = 0,066

x3 + x6 = 0,78575 =⇒ ε < 0,03125 2 f (x7 ) = −0,0202

La raíz de la función es 0.78575 con un error más pequeño que 0.03125.

TERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 20 Problema 1.- Se considera la ecuación x3 − 3x + 1 = 0. Utilizando el Teorema de Bolzano demostrar que la ecuación anterior tiene al menos una raíz.

SOLUCIÓN Sea f (x) = x3 −3x+1. Dicha función es continnua por ser polinómica, por lo que podemos aplicar el teorema de Bolzano en cualquier intervalo cerrado en el que haya cambio de signo. ) f (0) = 1 > 0 =⇒ existe x0 ∈ (−2, 0) tal que f (x0 ) = 0. f (−2) = −1 < 0

Problema 2.- Dar un intervalo en el que se pueda asegurar que existe una raíz de la ecuación x3 − 1 = arctan(x).

SOLUCIÓN Sea g(x) = x3 −1−arctan(x). La función es continua por ser diferencia de funciones elementales que lo son.   g(0) = −1 < 0 √ =⇒ existe x0 ∈ (0, 3) tal que g(x0 ) = 0. √ √ g( 3) = 3 3 − 1 − π/3 > 0 

Problema 3.- Encontrar una raíz de f (x) = cos(x) − 2x − 2 con un error más pequeño que media décima.

SOLUCIÓN Sea f (x) = cos(x) − 2x − 2. Se trata de una función continua por lo que podemos aplicar el método de la bisección. x1 = −1 f (x1 ) = 0,5403 x3 =

f (x1 ) = 0,5403

f (x3 ) = 0,2316

f (x5 ) = 0,061

x3 = −0,5 f (x3 ) = −0,1224

x3 = −0,5 f (x3 ) = −0,1224

x5 + x3 = −0,5625 =⇒ ε < 0,0625 2 f (x6 ) = −0,0291 x5 = −0,625

f (x5 ) = 0,061 x7 =

f (x3 ) = −0,1224

x4 + x3 = −0,625 =⇒ ε < 0,125 2 f (x5 ) = 0,061 x5 = −0,625

x6 =

x3 = −0,5

x1 + x3 = −0,75 =⇒ ε < 0,25 2 f (x3 ) = 0,2316 x4 = −0,75

x5 =

f (x2 ) = −1

x1 + x2 = −0,5 =⇒ ε < 0,5 2 f (x3 ) = −0,1224 x1 = −1

x4 =

x2 = 0

x6 = −0,5625 f (x6 ) = −0,0291

x5 + x6 = −0,59375 =⇒ ε < 0,03625 2 f (x7 ) = 0,0163

La raíz de la función es -0.59375 con un error más pequeño que 0.03125.

TERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 40 Problema 1.- Se considera la ecuación t2 + ln (t) = 0. Utilizando el Teorema de Bolzano demostrar que la ecuación anterior tiene al menos una raíz en el intervalo (0, +∞).

SOLUCIÓN Sea g(x) = t2 + ln (t). La función es continua en (0, +∞) por lo que podemos aplicar el teorema de Bolzano en cualquier intervalo cerrado en el que haya cambio de signo. ) g( 1e ) = −1 + e12 < 0 1 =⇒ existe x0 ∈ ( , 1) tal que g(x0 ) = 0. e g(1) = 1 > 0

Problema 2.- Dar dos intervalos en el que se puedan localizar dos raíces de la ecuación x2 = x sin(x) + cos(x).

SOLUCIÓN Sea f (x) = x2 − x sin(x) − cos(x). La función es continua en IR por lo que podemos aplicar el teorema de Bolzano en cualquier intervalo cerrado en el que haya cambio de signo. ) f (−π) = π 2 + 1 > 0 =⇒ existe x1 ∈ (−π, 0) tal que f (x1 ) = 0. f (0) = −1 < 0 f (0) = −1 < 0 f (π) = π 2 + 1 > 0

) =⇒ existe x2 ∈ (0, π) tal que f (x2 ) = 0.

Problema 3.- Encontrar una raíz de f (x) = sin(x)−ex +2 con un error más pequeño que media décima.

SOLUCIÓN Sea f (x) = sin(x) − ex + 2. Se trata de una función continua por lo que podemos aplicar el método de la bisección. x1 = 1 f (x1 ) = 0,1232 x3 =

f (x1 ) = 0,1232

f (x1 ) = 0,1232

f (x1 ) = 0,1232

x4 = 1,25 f (x4 ) = −0,5414

x5 = 1,125 f (x5 ) = −0,1779

x1 + x5 = 1,0625 =⇒ ε < 0,0625 2 f (x6 ) = −0,02 x5 = 1

f (x1 ) = 0,1232 x7 =

f (x3 ) = −1,4842

x1 + x4 = 1,125 =⇒ ε < 0,125 2 f (x5 ) = −0,1779 x1 = 1

x6 =

x3 = 1,5

x 1 + x3 = 1,25 =⇒ ε < 0,25 2 f (x4 ) = −0,5414 x1 = 1

x5 =

f (x2 ) = −4,4798

x1 + x2 = 1,5 =⇒ ε < 0,5 2 f (x3 ) = −1,4842 x1 = 1

x4 =

x2 = 2

x6 = 1,0625 f (x6 ) = −0,02

x1 + x6 = 1,03125 =⇒ ε < 0,03125 2 f (x7 ) = 0,0534

La raíz de la función es 1.03125 con un error más pequeño que 0.03125.

TERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 30 Problema 1.- Se considera la ecuación x4 + 2x2 − x − 1 = 0. Utilizando el Teorema de Bolzano demostrar que la ecuación anterior tiene al menos una raíz.

SOLUCIÓN Sea g(x) = x4 +2x2 −x−1. La función es continua por ser diferencia de funciones elementales que lo son. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Bolzano. ) g(0) = −1 < 0 =⇒ existe x0 ∈ (0, 1) tal que g(x0 ) = 0. g(1) = 1 > 0

Problema 2.- Dar un intervalo en el que se pueda localizar una raíz de la ecuación et = 2 − t2 .

SOLUCIÓN Sea g(t) = et − 2 + t2 . La función es continua por ser diferencia de funciones elementales que lo son. Podemos aplicar el Teorema de Bolzano a cualquier intervalo cerrado. ) g(0) = −1 < 0 =⇒ existe x0 ∈ (0, 1) tal que g(x0 ) = 0. g(1) = e − 1 > 0

Problema 3.- Encontrar una raíz de f (x) = x + arctan(x) − 1 con un error más pequeño que media décima.

SOLUCIÓN Sea f (x) = x + arctan(x) − 1. Se trata de una función continua por lo que podemos aplicar el método de la bisección. x1 = 0 f (x1 ) = −1 x3 =

f (x3 ) = −0,0364

f (x3 ) = −0,0364

f (x3 ) = −0,0364

x4 = 0,75 f (x4 ) = 0,3935

x5 = 0,625 f (x5 ) = 0,1836

x3 + x5 = 0,5625 =⇒ ε < 0,0625 2 f (x6 ) = 0,0749 x3 = 0,5

f (x3 ) = −0,0364 x7 =

f (x2 ) = 0,7854

x3 + x4 = 0,625 =⇒ ε < 0,125 2 f (x5 ) = 0,1836 x3 = 0,5

x6 =

x2 = 1

x 3 + x2 = 0,75 =⇒ ε < 0,25 2 f (x4 ) = 0,3935 x3 = 0,5

x5 =

f (x2 ) = 0,7854

x1 + x2 = 0,5 =⇒ ε < 0,5 2 f (x3 ) = −0,0364 x3 = 0,5

x4 =

x2 = 1

x6 = 0,5625 f (x6 ) = 0,0749

x3 + x6 = 0,53125 =⇒ ε < 0,03125 2 f (x7 ) = 0,0196

La raíz de la función es 0.53125 con un error más pequeño que 0.03125.