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Tema I 1.

EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS

´ meros Naturales. Los n´ 1.1 Los Nu umeros naturales aparecen por la necesidad que tiene el hombre (primitivo) tanto de contar como de ordenar una cierta cantidad de objetos. N := {1, 2, 3, . . .} En los n´ umeros naturales podemos sumar y multiplicar, pero no podemos, en la mayor´ıa de los casos, ni restar ni dividir. Nota: hist´oricamente el cero no es considerado un n´ umero natural. ´ meros Naturales (Axiomas de Peano). 1.2 Propiedades de los Nu (1) El 1 es un n´ umero natural. (2) Para cada n´ umero natural n existe otro n´ umero natural n0 . (1) Si n ∈ N, n0 6= 1. (3) Si n, m ∈ N y n0 = m0 , entonces n = m. (4) Principio de inducci´on matem´atica. Si S es un subconjunto de N tal que: • 1∈S y • si n ∈ S, entonces n0 ∈ S. Se tiene que S = N Nota: Observar que para cada n ∈ N, n0 no es m´as que n + 1. 1.3 Ejemplo. Demuestra que para todo n´ umero natural n se verifica que 2 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n Demo: Consideremos el conjunto S de los n´ umeros naturales para los que la igualdad es cierta. Es claro que 1 ∈ S, ya que 1 = 12 . Supongamos que la igualdad es cierta para n, es decir que n ∈ S y veamos que es cierta para n + 1. Tenemos, por hip´otesis, que 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2

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Observar que el siguiente impar de 2n − 1 es 2n + 1, por tanto, si sumamos en ambos lados de la igualdad 2n + 1 obtenemos 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 es decir, que n + 1 ∈ S. Por tanto aplicando el principio de inducci´on matem´atica, S = N, lo que demuestra que la igualdad es cierta para todo n´ umero natura. ´ n generalizado. Sea S un subconjunto de N 1.4 Principio de induccio tal que: • 1∈S y • si 1, 2, . . . , n ∈ S, entonces n + 1 ∈ S. Entonces S = N ´ meros Enteros. Los denotaremos por Z. Aparecen simetri1.5 Los Nu zando el conjunto de n´ umeros naturales, y a˜ nadi´endoles el cero. Obtenemos la mejor´ıa de que, ahora s´ı, la resta de dos n´ umeros Enteros es un n´ umero Entero. Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} ´ meros Enteros. 1.6 Propiedades de los Nu ? Propiedades respecto de la suma: • Propiedad asociativa: (x + y) + z = x + (y + z)

∀ x, y, z ∈ Z.

• Existencia de elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x

∀ x ∈ Z.

• Existencia de elemento opuesto: para todo x ∈ Z existe −x ∈ Z tal que x + (−x) = (−x) + x = 0. • Propiedad conmutativa: x + y = y + x ∀ x, y ∈ Z. Un conjunto con una operaci´on que verifique las tres primeras propiedades se dice que es un grupo. Si adem´as verifica la cuarta se le denomina grupo abeliano. Por tanto (Z, +) es un grupo abeliano. ? Propiedades respecto del producto: • Propiedad asociativa: (x y) z = x (y z) ∀ x, y, z ∈ Z. • Existencia de elemento neutro: x 1 = 1 x = x ∀ x ∈ Z. • Propiedad conmutativa: x y = y x

∀ x, y ∈ Z.

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Nota: Observar que normalmente los elementos de Z no poseen inverso. ? Propiedades conjuntas: • Propiedad distributiva: (x + y) z = x z + y z

∀ x, y, z ∈ Z.

? Propiedades respecto del orden: para todo x, y, z ∈ Z • Si x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z. • Si x ≤ y y z ≥ 0, entonces x z ≤ y z. • Si x ≤ y, y z ≤ 0, entonces x z ≥ y z. ´ meros Racionales. Ampliando el conjunto de los n´ 1.7 Los Nu umeros Enteros a los Racionales, Q, conseguimos encontrar inversos respecto del producto (naturalmente salvo para el cero). Por lo que en Q vamos a poder sumar, restar, multiplicar y dividir (por n´ umeros no nulos). Los n´ umeros Racionales se definen a partir de una relaci´on de equivalencia en el conjunto de los pares (a, b) ∈ Z × Z∗ , en donde Z∗ denota los Enteros menos el cero. Diremos que dos pares (a, b) y (c, d) est´an relacionados si y s´olo si ad = bc. La clase de equivalencia del elemento (a, b) se denota por ab . Q := {

a | a, b ∈ Z, b 6= 0} b

Tenemos que la suma y el producto de n´ umeros naturales es: La suma:

a b

El producto:

a b

+

c d

×

:= c d

ad+bc bd .

:=

ac bd .

´ meros Racionales. 1.8 Propiedades de los nu Adem´ as de todas las propiedades que tenia Z nos encontramos con que todo elemento no nulo de Q posee inverso. As´ı: ? Propiedades respecto de la suma: • Propiedad asociativa: (x + y) + z = x + (y + z) • Existencia de elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x

∀ x, y, z ∈ Q. ∀ x ∈ Q.

• Existencia de elemento opuesto: para todo x ∈ Q existe −x ∈ Q tal que x + (−x) = (−x) + x = 0.

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• Propiedad conmutativa: x + y = y + x ∀ x, y ∈ Q. ? Propiedades respecto del producto: • Propiedad asociativa: (x y) z = x (y z) ∀ x, y, z ∈ Q. • Existencia de elemento neutro: x 1 = 1 x = x ∀ x ∈ Q. • Existencia de elemento inverso: para todo 0 6= x ∈ Q existe x−1 ∈ Q tal que x x−1 = x−1 x = 1. • Propiedad conmutativa: x y = y x

∀ x, y ∈ Q.

? Propiedades conjuntas: • Propiedad distributiva: (x + y) z = x z + y z

∀ x, y, z ∈ Q.

Nota: A un conjunto con dos operaciones que verifique todas las condiciones anteriores se le denomina Cuerpo. Por tanto Q es un cuerpo. ? Propiedades respecto del orden: para todo x, y, z ∈ Q • Si x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z. • Si x ≤ y y z ≥ 0, entonces x z ≤ y z. • Si x ≤ y, y z ≤ 0, entonces x z ≥ y z. ´ meros Reales. No obstante, nos encontramos con operaciones 1.9 Los Nu √ que no se pueden realizar dentro del conjunto de los n´ umeros Racionales. As´ı, 2 no es un n´ umero Racional. Esto nos lleva a un resultado que no s´olo se cre´ıa cierto, sino que se consider´o evidente hasta tiempos posteriores a Pit´agoras. A saber, dadas dos longitudes a yb longitud a longitud b existe una tercera longitud c ¿ – ? tal que tanto a como b son m´ ultiplos de c? √ Nota: La respuesta es que NO, ya que es falsa para 1 y 2 2. La construcci´on de los n´ umeros Reales a partir de los n´ umeros Racionales no es f´acil, por lo que la vamos a omitir. Para nosotros los n´ umero Reales no ser´a m´ as que el conjunto de todas las medidas posibles. Denotemos por R al conjunto

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de n´ umeros Reales con la suma y el producto usual. En R no solo tenemos que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir (por n´ umeros no nulos), sino que podemos hacer ra´ıces de cualquier orden sobre n´ umero positivos y ra´ıces de orden impar sobre cualquier Real. ´ meros Reales. 1.10 Propiedades de los nu Los n´ umeros Reales tienen todas las propiedades que verificaban los n´ umeros Racionales. Es decir, R tambi´en es un cuerpo. Estas propiedades son: ? Propiedades respecto de la suma: • Propiedad asociativa: (x + y) + z = x + (y + z)

∀ x, y, z ∈ R.

• Existencia de elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x

∀ x ∈ R.

• Existencia de elemento opuesto: para todo x ∈ R existe −x ∈ R tal que x + (−x) = (−x) + x = 0. • Propiedad conmutativa: x + y = y + x ∀ x, y ∈ R. ? Propiedades respecto del producto: • Propiedad asociativa: (x y) z = x (y z) ∀ x, y, z ∈ R. • Existencia de elemento neutro: x 1 = 1 x = x ∀ x ∈ R. • Existencia de elemento inverso: para todo 0 6= x ∈ R existe x−1 ∈ R tal que x x−1 ) = x−1 x = 1. • Propiedad conmutativa: x y = y x

∀ x, y ∈ R.

? Propiedades conjuntas: • Propiedad distributiva: (x + y) z = x z + y z

∀ x, y, z ∈ R.

? Propiedades respecto del orden: para todo x, y, z ∈ R • Si x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z. • Si x ≤ y y z ≥ 0, entonces x z ≤ y z. • Si x ≤ y, y z ≤ 0, entonces x z ≥ y z. ´ meros Complejos. Nos encontramos todav´ıa con ciertas 1.11 Los nu “deficiencias” en el conjunto de los n´ umeros Reales. Por ejemplo no toda ecuaci´on polin´omica tiene soluci´on en R. Como caso particular, X 2 +1 = 0 no tiene soluci´on en R, o lo que es pr´acticamente lo mismo, no existe la ra´ız cuadrada de ning´ un n´ umero negativo.

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Vamos a construirnos un nuevo conjunto de n´ umeros que de soluci´on a este problema, los n´ umeros Complejos. Denotemos por i un n´ umero “imaginario” que 2 verifique que i = −1 y sea C el conjunto: C := {a + bi | a, b ∈ R}. Dado z = a + bi ∈ C diremos que a es la parte real de z mientras que b es su parte imaginaria. Vamos a poder definir una suma y un producto en C: La suma se define:

(a + bi) + (c + di) = (a + c)+)(b + d)i

El producto se define:

(a + bi) . (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Nota: observar que no son suma y productos arbitrarios, ya que la suma se realiza “aplicando la propiedad distributiva y conmutativa” y el producto “aplicando adem´ as el hecho de que i2 = −1”. Nota: Todo n´ umero Real lo podemos ver como un n´ umero Complejo, ya que todo a ∈ R puede verse como a + 0i ∈ C. De ahora en adelante siempre veremos los n´ umeros Reales como un subconjunto de los Complejos. Antes de ver las propiedades que verifican los n´ umeros Complejos veamos algunas definiciones y propiedades. 1.12 Def:. Sea z = a + bi ∈ C. Se define el conjugado de z y se denota por z como z = a − bi. 1.13 Def:. Sea z = a + bi ∈√C. Se define el m´odulo de z, y se representa por |z| como el n´ umero Real, |z| = a2 + b2 Nota: Observar que un n´ umero Complejo es cero si y s´olo si su m´odulo es cero, es decir: dado z = a + bi ∈ C z = 0 ⇐⇒ |z| = 0. 1.14 Lema. Sea z ∈ C un n´ umero Complejo. Entonces zz = |z|2 . Demo. Realmente s´olo tenemos que hacer el producto: z z = (a + bi)(a − bi) = (a2 + b2 ) + 0i = |z|2 por lo que queda demostrado el teorema.

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Las propiedades que verifican los n´ umeros Complejos son: ? respecto de la suma: • Propiedad asociativa. • Existencia de elemento neutro: 0 + 0i = 0 es el neutro de la suma. • Existencia de elemento opuesto: para todo a + bi ∈ C, (−a) + (−b)i es el opuesto. • Propiedad conmutativa. ? Propiedades respecto del producto: • Propiedad asociativa. • Existencia de elemento neutro: 1 + 0i = 1 es el elemento neutro del producto. • Existencia de elemento inverso: para todo 0 6= z = a + bi ∈ C, z −1 =

z a −b = 2 + 2 i 2 |z| a +b a + b2

es el inverso de z. • Propiedad conmutativa. ? Propiedades conjuntas: • Propiedad distributiva. Nota: Los n´ umeros Complejos tambi´en son un Cuerpo. Nota: En los n´ umeros Complejos no hemos dado una noci´on de orden, por lo que no podremos decir si un n´ umero Complejo es mayos o menos que otro. ´ mero Complejo. Vamos a usar el hecho 1.15 La forma polar de un nu de que todo n´ umero Complejo, z = a + bi ∈ C, se puede representar como un 2 vector de R , el plano Real, en donde a es la coordenada en el eje de coordenadas y b es la coordenada en el eje de abscisa.

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As´ı, z queda determinado por el m´odulo de este vector y el ´angulo respecto del eje de coordenadas, al que llamaremos el argumento de z. 1.16 Def:. Cuando un n´ umero Complejo lo demos a partir de su modulo M y argumento α, diremos que z est´a en forma polar, y lo notaremos por Z = Mα . En caso contrario, cuando demos un n´ umero Complejo en la forma z = a + bi diremos que z est´a en forma cartesiana. Nota: Es f´acil, usando nociones b´asicas de trigonometr´ıa, pasar de la forma polar de un n´ umero Complejo a su forma cartesiana y viceversa. z = a + bi,

⇒

z = |z|ArcTan b

z = Mα

⇒

z = M Cosα + M Senα i

a

Nota: Cuando nos encontramos con n´ umeros polares puros, es decir, cuando la parte Real del n´ umero Complejo sea cero, tenemos que calcular la arcotangente de “infinito” (ArcTan 0b ) lo que ser´a interpretado como el ´angulo de noventa grados. Nota: Un n´ umero Complejo en forma polar tiene m´as de una representaci´on, ya que para todo z = Mα , se tiene que Z = Mα+360 = Mα+360k , con k ∈ Z. Ya que en su representaci´ on en el plano Real una o m´as vueltas (sumar o restar un n´ umero de veces 360 grados al argumento) no afecta a su representaci´on. Por otro lado, por definici´on, M es un n´ umero Real positivo. Nos encontramos con que va a ser m´as f´acil multiplicar n´ umeros en forma polar que en forma cartesiana. As´ı, dados z = Mα y z 0 = Mα0 0 tenemos que: z.z 0 = (M Cosα + M Senα i)(M 0 Cosα0 + M 0 Senα0 i) = (M M 0 Cosα Cosα0 − M M 0 Senα Senα0 ) + (M M 0 Cosα Senα0 − M M 0 Cosα0 Senα)i 0 = M M 0 Cos(α + α0 ) + M M 0 Sen(α + α0 )i = M M(α+α 0)

Nota: es decir, si queremos multiplicar n´ umeros Complejos en forma polar se multiplican sus m´odulos y se suman sus argumentos. ´ micas en C. Dada una ecuaci´on 1.17 Soluciones de ecuaciones polino 2 polin´omica de segundo grado ax + bx + c = 0 con a, b, c ∈ R, a 6= 0, tenemos que sus soluciones son: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a

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Cuando s´olo dispon´ıamos de los n´ umeros Reales nos encontr´abamos que cuando 2 b − 4ac < 0 la ecuaci´on “no tenia soluci´on”. Ahora, ya podemos trabajar con los n´ umeros Complejos, por lo que: ? Caso Real con dos ra´ıces distintas: Si b2 − 4ac > 0 √ −b ± b2 − 4ac x= . 2a ? Caso Real con una ra´ız doble: Si b2 − 4ac = 0 −b x= . 2a ? Caso Complejo con dos ra´ıces conjugadas: Si b2 − 4ac < 0 p √ −(b2 − 4ac) −b −b ± b2 − 4ac = ± i. x= 2a 2a 2a Las ecuaciones de grado superior son algo mas dif´ıciles, no obstante todav´ıa podemos resolver algunas m´as. Vamos a calcular las soluciones de la ecuaci´on X n = 1. Sabemos que una primera soluci´on es x = 1. Es m´as, si suponemos que las soluciones son complejas, x = Mα nos encontramos con las ecuaciones: n 1 = 1360k = (Mα )n = Mnα

por lo que M = 1 (s´olo existe un n´ umero Real positivo que verifique que M n = 1) y α = 360 ıamos poner k mayores, pero entonces se n k para k = 1, 2, . . . , n. Podr´ empezar´ıan a repetir las ra´ıces. Por tanto el conjunto de soluciones de la ecuaci´on X n = 1 es: {1 360 , 12 360 , . . . , 1(n−1) 360 } n n n Este conjunto de n´ umeros es importante en matem´aticas, cada uno de sus elementos se denomina una ra´ız n-esima de la unidad. Nota: Si denoto por γ = 1 360 , tenemos que γ k = 1k 360 , por lo que el conjunto de n n 2 n las ra´ıces n-esimas de la unidad es {γ, γ , . . . , γ = 1}. Nota: Las ra´ıces cuadradas de la unidad no son m´as que {1180 , 1360 } = {−1, 1}. Vamos a calcular las soluciones de la ecuaci´on X n = a, con 0 < a ∈ R. √ , el conjunto Sabemos que una primera soluci´on es x = n a. Es m´as, si γ = 1 360 n de las n soluciones es: √ √ √ √ { n aγ, n aγ 2 , . . . , n aγ n = n a}.

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2.

ESPACIOS VECTORIALES

Denotemos por K indistintamente al cuerpo de los Racionales, de los Reales o de los Complejos y sea Kn el producto cartesiano de n copias de K. As´ı: Kn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) | xi ∈ K, para i = 1, 2, . . . , n}. Nota: A los elementos de K los llamaremos escalares y a los elementos de Kn los llamaremos vectores. Tenemos entonces las siguientes operaciones naturales: ? La suma de vectores: dados ((x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Kn definimos la suma como: (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) := (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) ? La multiplicaci´ on por escalares: dados λ ∈ K y (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Kn definimos la multiplicaci´ on por escalares como: λ(x1 , x2 , . . . , xn ) := (λx1 , λx2 , . . . , λxn ) Las propiedades que verifican estas dos operaciones son: Respecto de la suma, Kn es un grupo abeliano. Es decir: Si u, v y w son tres vectores, (1.1) Propiedad asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, w ∈ Kn . (1.2) Existencia de elemento neutro: 0 = (0, 0, . . . , 0) es el elemento neutro para la suma. (1.3) Existencia de elemento opuesto: para todo v ∈ Kn , se tiene que −v es su opuesto. (1.4) Propiedad conmutativa: u + v = v + u ∀ u, v ∈ Kn . Respecto del producto por escalares tenemos: Si λ, µ ∈ K y u, v ∈ Kn , (2.1) λ(u + v) = λu + λv. (2.2) (λ + µ)v = λv + µv. (2.3) 1v = v. (2.4) λ(µv) = (λµ)v.

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2.1 Def:. Sea F un cuerpo. Diremos que un conjunto V con dos operaciones, (V, +, .), es un espacio vectorial sobre F si verifica que : • La suma es una operaci´on interna, es decir, + : V × V → V verificando de (1.1) a (1.4) y • El producto es una operaci´on externa, es decir, . : F × V → V verificando de (2.1) a (2.4). Nota: Siguiendo la notaci´on anterior, a los elementos de V los llamaremos vectores y a los elemento de F los llamaremos escalares. 2.2 Teorema [3, Teorema 3.1]. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Sean u, v ∈ V y λ, µ ∈ F. Entonces: (i) 0v = 0. (ii) λ0 = 0. (iii) (−λ)v = −(λv) = λ(−v). (iv) Si λv = λu y λ 6= 0, entonces u = v. (v) Si λv = µv y v 6= 0, entonces λ = µ. (vi) Si λv = 0, entonces λ = 0 ´o v = 0. :Demo:(i). Vamos a jugar con el hecho de que 0 + 0 = 0 y la propiedad (2.2). 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v por tanto, si restamos en ambos lados 0v, es decir, sumamos el opuesto de 0v, y aplicamos la propiedad asociativa, tenemos que: 0 = 0v + (−0v) = (0v + 0v) + (−0v) = 0v + (0v + (−0v)) = 0v + 0 = 0v. (ii). Es una demostraci´on bastante sim´etrica. Vamos a jugar con el hecho de que 0 + 0 = 0 y la propiedad (2.1). λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0 por tanto, si restamos en ambos lados −λ0, es decir, sumamos el opuesto de λ0, y aplicamos la propiedad asociativa, tenemos que: 0 = λ0 + (−λ0) = (λ0 + λ0) + (−λ0) = λ0 + (λ0 + (−λ0)) = λ0

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(iii). (iv). (v) y (vi) pueden ser encontrados en [3, Teorema 3.1]. 3. SISTEMA INDEPENDIENTE, SISTEMA GENERADOR, BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL 3.1 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea X = {v1 , v2 , . . . , vk } un subconjunto de vectores de V . Se define una combinaci´on lineal de elementos de X como cualquier vector v = λ1 vi + λ2 v2 + . . . + λn vn con λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ F. 3.2 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea X = {v1 , v2 , . . . , vk } un subconjunto de V . Se dice que X es un conjunto de vectores linealmente independientes si la u ´nica combinaci´on lineal de elementos de X que da cero es cuando todos los escalares son cero. Es decir: X es un conjunto de vectores independientes si y s´olo si Si λ1 vi + λ2 v2 + . . . + λn vn = 0

⇒

λi = 0, para i = 1, 2, . . . , n.

Caso contrario diremos que X es un conjunto de vectores dependientes. 3.3 Ejemplo 1. Sea V = (R2 , +, .) espacio vectorial sobre el cuerpo de los Reales. Entonces {(1, 2), (1, 1)} es un conjunto de vectores linealmente independientes. Si λ(1, 2) + µ(1, 1) = 0 obtenemos que (λ + µ, 2λ + µ) = (0, 0), con lo que igualando por coordenadas obtenemos las ecuaciones: λ + µ =0 2λ + µ =0 lo que implica que (resolviendo este sistema de ecuaciones) λ = µ = 0. 3.4 Ejemplo 2. Sea V = (R5 , +, .) espacio vectorial sobre el cuerpo de los Reales. Entonces {(1, 2, 3, 4, 5), (1, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 0, 1)} es un conjunto de vectores independientes. Si λ(1, 2, 3, 4, 5) + µ(1, 1, 1, 1, 1) + γ(0, 0, 0, 0, 1) = 0 obtenemos que (λ + µ, 2λ + µ, 3λ + µ, 4λ + µ, 5λ + µ + γ) = (0, 0, 0, 0, 0),

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con lo que igualando por coordenadas obtenemos el siguiente sistema: λ 2λ 3λ 4λ 5λ

+ + + + +

µ µ µ µ µ +

γ

=0 =0 =0 =0 =0

lo que implica que (resolviendo este sistema de ecuaciones) λ = µ = γ = 0. 3.5 Ejemplo 3. Mientras que (1, 2), (1, 0), (0, 1) es un conjunto de vectores dependientes. Ya que 1 (1, 2) − 1 (1, 0) − 2 (0, 1) = 0. ´ n. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sean S 3.6 Proposicio y T subconjuntos de V tales que S ⊂ T . Entonces: • Si T es un conjunto de vectores independientes, S es un conjunto de vectores independientes. • Si S es un conjunto de vectores dependientes, entonces T es un conjunto de vectores dependientes. Demo: En primer lugar vamos a nombrar los elementos de cada uno de estos conjuntos. Sea S = {v1 , v2 , . . . , vk } y T = {{v1 , v2 , . . . , vk , vk+1 , . . . , vn } (1). Consideremos una combinaci´on lineal de elementos de S igual a cero, λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk = 0, con λi ∈ F. Tenemos que demostrar que la u ´nica posibilidad para que esto suceda es que todos los escalares son nulos. Consideremos entonces una combinaci´ on lineal de elementos de T simplemente sumando el vector nulo de la siguiente forma, 0 = λ1 v1 +λ2 v2 +. . .+λk vk +0vk+1 +. . .+0vn . Aplicando ahora que T es un conjunto de vectores independientes tenemos que λi = 0, para i = 1, 2, . . . , n, lo que demuestra el apartado. (2). Se deja como ejercicio. Nota: Todo conjunto que contenga al vector cero es un conjunto de vectores dependientes. ´ n. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Sea S 3.7 Proposicio conjunto de vectores independientes de V y v ∈ V . Si v no se puede escribir como combinaci´ on lineal de elementos de S, entonces S ∪ {v} es un conjunto de vectores independientes.

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Demo: Nombremos los elementos de S = {v1 , v2 , . . . , vn }. Supongamos que existen unos escalares, λ1 , λ2 , . . . , λn , λn+1 ∈ F tales que λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λn vn + λn+1 v = 0. Tenemos dos posibilidades: (a). Si λn+1 6= 0. Entonces, si despejamos λn+1 v tenemos: λn+1 v = −λ1 v1 − λ2 v2 − . . . − λn vn y si ahora multiplicamos toda la igualdad por λ−1 n+1 tenemos que: v=−

λ2 λn λ1 v1 − v2 − . . . − vn λn+1 λn+1 λn+1

una contradicci´ on ya que v no era combinaci´on lineal de elementos de S. Por tanto, este caso (a) no puede darse. (b). Tenemos entonces que λn+1 = 0. Pero entonces la combinaci´on lineal anterior es: λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λn vn = 0, lo que implica, al ser S un conjunto de vectores independientes, que λi = 0, para i = 1, 2, . . . , n. Por tanto TODOS los escalares son cero, lo que prueba que S ∪ {v} es un conjunto de vectores independientes. Nota: Observar que esto nos da una forma de, dado un conjunto de vectores linealmente independientes, construir un conjunto de vectores linealmente independientes mayor. Resultado que tendremos que usar a lo largo del curso. 3.8 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Se dice que un subconjunto G = {v1 , v2 , . . . , vk } es un sistema generador para V si todo elemento de V es combinaci´ on lineal de elementos de G. 3.9 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Se dice que un subconjunto B = {v1 , v2 , . . . , vk } es una base de V si es tanto un conjunto de vectores independientes como un sistema generador para V . 3.10 Ejemplo. Sea V = (Fn , +, .) espacio vectorial sobre un cuerpo F. Entonces B = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 0, 1)} es una base para V , llamada la base can´ onica de Fn . 3.11 Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea B = {v1 , v2 , . . . , vk } una base de V . Entonces para todo vector v ∈ V existen unos

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u ´nicos escalares, λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ F tales que v = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λn vn . Es decir, existe una u ´nica combinaci´ on lineal de elementos de B que es v. Demo: Sea v ∈ V . Sabemos que como B es una base de V , en particular es un sistema de generadores de V , por lo que existen unos escalares λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ F tales que v = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . , λk vk . Demostremos que adem´as estos escalares son u ´nicos. Supongamos que existen otros escalares, µ1 , µ2 , . . . , µk ∈ F tales que v = µ1 v1 + µ2 v2 + . . . + µk vk . Tenemos entonces que λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk = µ1 v1 + µ2 v2 + . . . , µk vk por lo que si pasamos todo a un lado λ1 v1 + λ2 v2 + . . . , λk vk − µ1 v1 − µ2 v2 − . . . − µk vk = 0 y reordenamos (λ1 − µ1 )v1 + (λ2 − µ2 )v2 + . . . , (λk − µk )vk = 0. Aplicando ahora que B tambi´en es un conjunto de vectores independientes, tenemos que λ1 = µ1 , λ2 = µ2 , . . . , λk = µk . 3.12 Def:. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F, sea B = {v1 , v2 , . . . , vk } una base de V y sea v ∈ V . Entonces a los u ´nicos escalares λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ F tales que v = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . , λk vk se les denomina las coordenadas de v respecto de B, que denotaremos por (λ1 , λ2 , . . . , λn ). Nota: No se debe confundir las coordenadas de un vector respecto de una base con el propio vector. 3.13 Teorema(sin demo). Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Sea S un conjunto de vectores independientes y G un sistema de generadores de V tales que S ⊂ G. Entonces existe una base B de V tal que S ⊂ B ⊂ G. 3.14 Corolario. Todo espacio vectorial posee base. 3.15 Teorema de Steinitz (sin demo). Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea {e1 , e2 , . . . , en } una base de V . Si v = λ1 e1 + . . . + λn en y λi 6= 0. Entonces {e1 , e2 , . . . , ei−1 , v, ei+1 , . . . , en } es tambi´en una base de V . Es decir, podemos cambiar cada vi por v siempre que el escalar λi 6= 0.

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3.16 Teorema(sin demo). Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Si V posee una base con n elementos entonces todas las bases de V poseen n elementos. 3.17 Def:. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Se define la dimensi´ on de V , y se representa por dimF (V ), como el n´ umero de elementos de cualquiera de sus bases. 3.18 Ejemplo:. Sea F un cuerpo y consideremos el espacio vectorial (Fn , +, .) con sus operaciones usuales. Entonces, como la base can´onica tiene n n elementos, dimF (F ) = n ´ n. 3.19 Proposicio dimensi´ on n. Entonces:

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F de

(1) Todo conjunto de vectores independientes con n elementos es base. (2) Todo sistema de generadores de V con n elementos es base. Demo: (1). Sea S un conjunto de vectores independientes de n elemento. Por el Teorema (3.16), existe B una base de V tal que S ⊂ B(⊂ V ), y por el Teoremas (3.13) B tiene tambi´en n elementos. Por tanto S = B, es una base de V . (2). Queda como ejercicio. 4.

SUBESPACIOS VECTORIALES

4.1 Def:. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Se dice que un subconjunto W de V es un subespacio vectorial de V si W con la suma y el producto inducido tiene estructura de espacio vectorial. Nota: Tenemos entonces que para que un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre un cuerpo F sea un subespacio vectorial debe de cumplir: (1) . Dados dos vectores w1 y w2 en W , w1 + w2 ∈ W . (2) . Dados λ ∈ F y w ∈ W , λw ∈ W . Y adem´as se verifiquen las 8 propiedades de espacio vectorial, a saber: Respecto de la suma: (1.1) Propiedad asociativa: (w1 + w2 ) + w3 = w1 + (w2 + w3 ) ∀ w1 , w2 , w3 ∈ W . (1.2) Existencia de elemento neutro, es decir, exista un elemento en W que haga de neutro.

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(1.3) Existencia de elemento opuesto, es decir, para cada elemento de W exista otro elemento de W que haga de neutro. (1.4) Propiedad conmutativa: w1 + w2 = w2 + w1

∀ w1 , w2 ∈ W .

Respecto del producto por escalares tenemos: si λ, µ ∈ F y w1 , w2 ∈ W , (2.1) λ(w1 + w2 ) = λw1 + λw2 . (2.2) (λ + µ)w1 = λv + µw1 . (2.3) 1w1 = w1 . (2.4) λ(µw1 ) = (λµ)w1 . No obstante, la propiedad (2.3) se verifica para todo elemento de V , por tanto tambi´en se verificar´ a para todo elemento de W . Por la misma raz´on siempre se verifican: (1.1), (1.4), (2.1), (2.2) y (2.4). Es m´as, si suponemos que se verifican (1) y (2), y W 6= ∅, dado w ∈ W y 0 ∈ F, por (2), 0w = 0 ∈ W , con lo que si que existe el elemento neutro en W , es m´as, es el mismo que en V . Y (−1)w = −w ∈ W , con lo tambi´en tenemos el opuesto de cada elemento de W . Por tanto, y resumiendo la informaci´on tenemos: 4.2 Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea W un subconjunto no vacio de W . Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) W es un subespacio vectorial de V . (2) – para todo par de vectores w1 , w2 ∈ W , w1 + w2 ∈ W y – para todo escalar λ ∈ F y todo vector w ∈ W , λw ∈ W . (3) Para todo par de vectores w1 , w2 de W y todo par de escalares λ, µ de F se tiene que λw1 + µw2 ∈ W . 4.3 Ejemplo. Sea (R3 , +, .) como espacio vectorial sobre los Reales. Entonces W = {(x, x, y) | x, y ∈ R} es un subespacio vectorial de R3 . 4.4 Ejemplo. Sea (R4 , +, .) como espacio vectorial sobre los Reales. Entonces W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x + 3y + 4z + t = 0} es un subespacio vectorial de R4 . 4.5 Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea W un subespacio de V . Entonces dimF (W ) ≤ dimF (V ). Demo: Como W tiene estructura de espacio vectorial, podemos considerar BW = {w1 , w2 , . . . , wk } una base de W . Observar que BW es un conjunto de vectores

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independientes de V , por lo que aplicando el Teorema (3.13), existe una base BV de V tal que BW ⊂ BV ⊂ V . Lo que implica que la dimensi´on de V que es el n´ umero de elementos de BV es mayor o igual que la dimensi´on de BW , que es el n´ umero de elementos de BW . 4.6 Subespacio generado por un conjunto de vectores. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea X = {v1 , v2 , . . . , vk } un conjunto de vectores de V . Se define el subespacio generado por X y se representa por < X > como el menor subespacio de V que contiene a X. ´ n. El subespacio generado por un conjunto X coincide con: 4.7 Proposicio < X >= {λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λn vn ∈ V | λi ∈ F, para i = 1, 2, . . . , n} es decir con el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de X. Demo: Es claro que el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de X est´a contenido en el subespacio vectorial generado por X. Veamos pues que este conjunto es un subespacio vectorial. Dadas λ1 v1 + λ2 v2 . . . + λn vn y µ1 v1 + µ2 v2 + . . . + µn vn dos combinaciones lineales de elementos de X y λ ∈ F, tenemos que: (λ1 v1 + . . . + λn vn ) + (µ1 v1 + . . . + µn vn ) = (λ1 + µ1 )v1 + . . . + (λn + µn )vn λ(λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λn vn ) = (λλ1 )v1 + (λλ2 )v2 + . . . + (λλn )vn que claramente son combinaciones lineales de elementos de X. Por tanto est´e es el subespacio vectorial generado por X. ´todos para calcular bases de subespacios. Sea V 4.8 Distintos me un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea W un subespacio de V . Supongamos que W viene dado a partir de un sistema de generadores, es decir existe un conjunto X = {v1 , v2 , . . . , vk } ⊂ V tal que W =< X >. Sabemos, por el Teorema (3.13) que dado un conjunto de generadores, en este caso X, de un espacio vectorial, en este caso W , existe una base BW tal que BW ⊂ X. El proceso para conseguir esta base es: 1). Tomamos un vi1 que sea no nulo. 2). Tomamos vi2 que sea independiente con vi1 . Si no existe nuestra base es vi1 .

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3). Tomamos vi3 que sea independiente con {vi1 , vi2 }. Si no existe nuestra base es {vi1 , vi2 }. 2). Tomamos vi4 que sea independiente con {vi1 , vi2 , vi3 }. Si no existe nuestra base es {vi1 , vi2 , vi3 }. 4). ETC... Si nos dan un subespacio a partir de “ecuaciones”, resolveremos ´estas dando las soluciones a partir de par´ametros. Al asignar a los par´ametros los valores 1, 0, 0, ..., 0, 1, 0, 0..., 0, 0, 1, 0, 0... obtendremos la base buscada. 4.9 Ecuaciones para un subespacio vectorial de Fn . Sea W un subespacio vectorial de Fn , con F un cuerpo. Supongamos que tenemos una base v1 , v2 , . . . , vk de W . v1 = (a11 , a12 , . . . , a1n ) v2 = (a21 , a22 , . . . , a2n ) .. . vk = (ak1 , a12 , . . . , akn ) Se definen las ecuaciones vectoriales de W como: (x1 , . . . , xn ) = λ1 (a11 , . . . , a1n ) + λ2 (a21 , . . . , a2n ) + . . . + λk (ak1 , . . . , akn ) Si despejamos por coordenadas obtenemos las ecuaciones param´ etricas: x1 = λ1 a11 + λ2 a21 + . . . + λk ak1 x2 = λ1 a12 + λ2 a22 + . . . + λk ak2 .. . xn = λ1 a1n + λ2 a2n + . . . + λk akn Si nos deshacemos de los par´ametros obtenemos las ecuaciones cartesianas, el proceso aqu´ı consiste en, simplemente, aplicar el m´etodo de sustituci´on para la resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales.

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5.

´ DE LA TEOR´ıA MATERIAS CONVENIENTES PARA LA ASIMILACION

(1) Para trabajar con los n´ umeros complejos se necesitan nociones b´asicas de trigonometr´ıa. (2) Para todo lo relacionado con conjuntos independientes de vectores, sistema generador, ecuaciones de un subespacio vectorial, ser´a muy u ´til conocer resultados b´asicos en la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales como puede ser el Teorema de Cramer, y por ende, el estudio de las matrices sobre un cuerpo y la resoluci´on de determinantes.

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BIBLIOGRAF´IA [1] F. M. Hall: ”An introduction to Abstract Algebra”, Cambridge University Press, 1980. [2] M. Spivak: ”Calculus, C´alculo Infinitesimal”, Editorial Reverte, S. A., 1992. [3] P. Alberca, D. Mart´ın: ”M´etodos Matem´aticos”, Ediciones Aljibe, 2001.