Tema 3. Problemas rozamiento. Profesorado Grupo A: María Tirado Miranda Grupo B: Jorge Portí Durán Grupo C: Artur Schmitt
Tema 3. Problemas rozamiento. Material elaborado por Jorge Portí Durán y Juan Francisco Gómez Lopera
2.‐Una barra AC homogénea está en equilibrio apoyada en los puntos A y B de una superficie cilíndrica. Suponiendo que la superficie es lisa en A y rugosa en B, determinar las reacciones en A y B sobre la barra, así como el valor mínimo del coeficiente estático de rozamiento en B. Datos: peso de la barra 100kg, longitud L=6m, a=3.2m, =30.
L
a B
A
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Diagrama de fuerzas y reacciones Los contactos se sustituyen por reacciones normales a la superficie en A y a la varilla en B. La figura muestra la barra con las reacciones y algunas dimensiones necesarias. RB
RBy=NB
y
NOTA SOBRE LA REACCIÓN EN B: x
a
NA
C
RBx=FR
R
B
G
A P
Ecuaciones de equilibrio: Rx 0 N A cos P sin FR 0
(1)
Ry 0 N B N A sin P cos 0 (2) M Az 0 a N B P cos
L 0 2
(3)
Nótese que la reacción en B introducida por el rozamiento equivale a la de una articulación, siendo su componente y una normal, siempre positiva, y su componente x, el rozamiento, que puede ser positivo o negativo.
Solución: NA = 10.8kg, NB = 81.2kg, FR = 40.6kg.
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Mínimo valor del coeficiente de rozamiento en B
• Las fuerzas obtenidas aseguran el equilibrio, pero sabemos que la fuerza de rozamiento tiene un máximo determinado por el coeficiente estático de rozamiento, de modo que FR≤ Frmax=µeN. • Esto significa que, conocidos FR y N, µe debe cumplir µe≥ FR /N. • En definitiva, µe debe superar un momento mínimo µmin= FR /N. • En nuestro caso y para el punto B, µmin= FR /NB =40.6/81.2=0.5.
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4.‐ Un cuerpo A de masa m se apoya sobre un segundo cuerpo B de masa mB, que a su vez se apoya sobre una superficie plana. Los coeficientes estáticos y dinámicos de rozamiento entre A y B son eAB y cAC y entre B y la superficie plana son eB y cB. Sobre el cuerpo B se ejerce una fuerza horizontal de módulo F. Determinar: a) el mínimo valor de F para que el sistema deslice y determine la fuerza de rozamiento, FR1, entre A y B en ese preciso instante. b) el mínimo valor de F para que el cuerpo A deslice respecto de B y el rozamiento entre los cuerpos A y B. A
B
F
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a) Estudio del deslizamiento del cuerpo inferior Fd1 genera la situación de deslizamiento inminente del cuerpo B: • Rozamiento máximo entre B y el suelo. • El rozamiento entre A y B no es máximo. • La aceleración del sistema y de cada parte es nula, por tanto, se trata de un PROBLEMA DE EQUILIBRIO
Sistema global A
PA
B
Fd1
PB
NB NB
Cuerpo inferior NA
Cuerpo superior A P A
FRA
B
PB
FRA NA
NB
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NB
Fd1
a) Estudio del deslizamiento del cuerpo inferior Equilibrio del sistema global, situación de deslizamiento inminente: Ry 0
N B PA PB ,
Rx 0
Fd 1 eB N B eB ( PA PB ) eB (mA mB ) g ,
A
PA
B
Fd1
PB
donde g es la aceleración de la gravedad. El sistema se comporta como un solo cuerpo de peso la suma de ambos pesos.
NB NB
Equilibrio del cuerpo superior: Ry 0
N A PA ,
Rx 0
FRA 0.
El cuerpo superior no detecta rozamiento del inferior puesto que éste aún no se ha movido.
A P A FRA NA
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b) Estudio del deslizamiento del cuerpo superior respecto al inferior Cuestiones previas: • Se trata de un problema dinámico en el que una fuerza F provoca movimiento del sistema con una aceleración horizontal, a. • El rozamiento FRB es el valor dinámico, cBNB, puesto que hay movimiento relativo entre B y el suelo. • El rozamiento FRA genera la aceleración en el cuerpo superior, pero, mientras A y B se muevan juntos, se trata de una situación de rozamiento estático entre A y B, es decir, 0≤ FRA ≤ eABNA. • Mayor aceleración implica mayor rozamiento, FRA . • La situación de deslizamiento inminente del cuerpo A respecto del B se produce cuando FRA alcanza su valor máximo, eABNA, y ocurre para F=Fd2.
A P A
a
FRA NA
NA FRA
B
a Fd2 F
PB
cB NB NB
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b) Estudio del deslizamiento del cuerpo superior respecto al inferior: DESLIZAMIENTO INMINENTE Movimiento del sistema superior con una aceleración horizontal, a: Ry 0
A P A
N A PA (1) eAB N A eAB PA mA a
Rx mA a
a
eAB PA mA
eAB g (2)
FRA NA
Movimiento del sistema inferior: Ry 0
N B N A PB
Rx mB a
N B PA PB
Fd 2 cB N B eAB N A mB a
(3) (4)
NA FRA
B
Resolviendo el sistema: eAB PA mA
eAB g
y Fd 2 eAB cB mA mB g
a Fd2 F
PB
a
a
cB NB NB
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6.‐ El bloque A pesa 50N y el bloque B pesa 25N. Si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es 0.15, determine el valor de para el cual el movimiento es inminente.
A B
Figura 6 Tema 3. Problemas rozamiento. Material elaborado por Jorge Portí Durán y Juan Francisco Gómez Lopera
Esquemas de cuerpo libre y estrategia de resolución T
T
A
NA
PA NB
A
T
PA
B
NA
Sistema superior: 2 ecuaciones y 3 incógnitas
PB NB
Sistema global: 2 ecuaciones y 3 incógnitas
NA
NA
B
NB
Estrategia: Resolver 2 cualesquiera de los sistemas indicados.
T
PB
NB
Cuerpo inferior: 2 ecuaciones y 3 incógnitas
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Resolución T
A
PA
y
Equilibrio del sistema global:
T
B
2T N B PA PB sin 0 (1)
Rx 0
Ry 0
N B PA PB cos 0
(2)
PB
NB
NB
Equilibrio del cuerpo superior:
x
T
Rx 0
T N A PA sin 0
(3)
Ry 0
N A PA cos 0
(4)
A NA
PA
NA
Solución: T=31.0N y =46.4°
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7.‐ El bloque A de peso 200kg se apoya sobre el bloque B de peso 400kg y éste a su vez sobre un plano inclinado. El bloque A se sujeta a una pared mediante un cable paralelo al plano inclinado. Determinar el ángulo para el cual se inicia el deslizamiento de los bloques. El coeficiente de rozamiento en todas las superficies es 0.20.
A B
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Esquemas de cuerpo libre y estrategia de resolución T T A A
PA
B
PA PB
NA
NB
NB
Sistema global: 2 ecuaciones y 3 incógnitas
NA
Sistema superior: 2 ecuaciones y 3 incógnitas NA
B
NA
NB
Estrategia: Resolver 2 cualesquiera de los sistemas indicados.
PB
NB
Cuerpo inferior: 2 ecuaciones y 3 incógnitas
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Resolución T
Equilibrio del sistema global: A B
PA PB
y
NB
T N B PA PB sin 0
(1)
Ry 0
N B PA PB cos 0
(2)
NB
x
Equilibrio del cuerpo superior: T
A
Rx 0
Rx 0
T N A PA sin 0
(3)
Ry 0
N A PA cos 0
(4)
NA
Solución: =21°48’
PA NA
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11.‐ Dos cuñas de 8 y peso despreciable se utilizan para mover y colocar el bloque de 800kg. Si sabemos que el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies de contacto es 0.30, determínese la menor fuerza P que es preciso aplicar a una de las dos cuñas. (Sol. 1966N)
P
800kg 8º 8º
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Esquemas de cuerpo libre y estrategia de resolución P
P
N2
8º
N2
Cuña: 2 ecuaciones y 3 incógnitas
N2
W
8º
N2
N3
N3
N1
Sistema global: 2 N ecuaciones y 3 incógnitas 1
Bloque: 2 ecuaciones y 2 incógnitas
N3
N3
Estrategia: a) Resolver el bloque. b) Resolver cuña o sistema global para obtener P. Tema 3. Problemas rozamiento. Material elaborado por Jorge Portí Durán y Juan Francisco Gómez Lopera
W
N1 N1
Resolución
N3
N3
Equilibrio del bloque:
W
y N1
P
N1
x
N2 N2
8º
Rx 0
N 3 N1 0
(1)
Ry 0
N1 N 3 W 0
(2)
Equilibrio del sistema global ( =8°): N1 N 2 cos N 2 sin 0
Rx 0
Ry 0
N1 P N 2 sin N 2 cos W 0
W
Solución: P=1966 N
N1 N1
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(3) (4)
14.‐ Una cuña de 5 se deberá forzar bajo la base de una máquina de 1400N en B. Si se sabe que el coeficiente de rozamiento estático es 0.2 en todas las superficies, determine la fuerza P necesaria para mover la máquina y determine cómo se moverá la máquina al insertar la cuña. Considere que la máquina está en posición prácticamente horizontal, con la cuña levemente insertada en el punto B, de modo que sólo mantiene contacto puntual en A con el suelo y en B con la cuña.
B
A
1m
P
0.4m 1400N
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Cuestiones previas • Consideraremos la máquina horizontal, pero sólo hay contacto en A con el suelo y en B con la cuña. • Alcanzada la situación de movimiento inminente se sabe que la cuña se desplazará, pero se desconoce a priori el movimiento que describirá el bloque. • Tenemos dos posibilidades: 1. A partir de una fuerza P1, la cuña y el bloque presentan un contacto muy rugoso en B y se produce desplazamiento del bloque en A. 2. A partir de una fuerza P2, el bloque y el suelo presentan un contacto muy rugoso en A y la cuña se introduce debajo del bloque en B, donde se produce deslizamiento. • Resueltos ambos casos posibles, sucederá aquel que corresponda a un menor valor de la fuerza P. • Analizaremos el resultado para encontrar posibles contradicciones en el caso que no sucede.
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a) Caso 1: A partir de P1, se produce deslizamiento en A, pero no en B. NB
FRB P1
B
A
A
NC
NA 1m
NA
1m
NC
Sistema global: 2 ecuaciones y 3 incógnitas
NA
0.4m
P1
FRB
NA
0.4m W=1400N
B
NB
W=1400N
Bloque: 3 ecuaciones y 3 incógnitas
B
NC
Cuña: 2 ecuaciones y 4 incógnitas
Nótese que sólo se pueden calcular momentos en el esquema central, donde se conoce la posición de todas las fuerzas Estrategia 1: a) Resolver el bloque: Rx =0, Ry =0 y MBz =0. b) Resolver el sistema global, Rx =0, Ry =0, para obtener P1.
NC
Solución para P1
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Resolución Equilibrio del bloque ( =8°): FRB B
A
M Bz 0 -1.4 N A 0.4 W 0 Rx 0 Ry 0
NA y 1m
0.4m
(1)
N A N B sin FRB cos 0
NA=400N NB=1001.4N FRB=‐59.95N
(2)
N A N B cos FRB sin W 0 (3)
NB
W=1400N
NA x
Equilibrio del sistema global ( =8°): P1
B
A
NC
NA 1m
NA
0.4m W=1400N
Ry 0
N A W NC 0
(4)
Rx 0
N A P1 NC 0
(5)
NC=1000N P1=280N
NC
Conclusión parcial. • La situación 1 ocurriría a partir de P1=280N. • Hay que ver si antes ocurre el caso b). • Podríamos haber resuelto esta parte de forma más eficiente. Tema 3. Problemas rozamiento. Material elaborado por Jorge Portí Durán y Juan Francisco Gómez Lopera
a) Caso 1: A partir de P1, se produce deslizamiento en A, pero no en B. Estrategia 2, más eficiente Si la cuña y el cuerpo no deslizan, el sistema bloque‐cuña se comporta como un solo cuerpo. Resolviendo el sistema bloque‐cuña, deberíamos obtener la solución sin necesidad de descomponerlo en dos cuerpos.
Equilibrio del bloque‐cuña: Ry 0
N A NC W 0
Rx 0
P1 N A N C 0 (2)
y
(1)
NC
NA 1m
x
Solución:
P1
B
A
NA
0.4m W=1400N
NC
De (1), N A N C 1400 N .
Sustituyendo en (2), P1 N A N C 280N.
El resultado muestra que es como si hubiera una sola normal y un solo rozamiento, consecuencia directa del movimiento del sistema como un solo cuerpo rígido. Tema 3. Problemas rozamiento. Material elaborado por Jorge Portí Durán y Juan Francisco Gómez Lopera
b) Caso 2: A partir de P2, se produce deslizamiento en B, pero no en A. P2
B
A
1m
NA
NB
FRA 1m
0.4m W=1400N
NC
P2
B
A
NC
FRA
NB
NB
NA
0.4m
NB
NC
NC
W=1400N
Bloque: 3 ecuaciones y 3 Sistema global: 2 ecuaciones y 4 incógnitas incógnitas
B
Cuña: 2 ecuaciones y 3 incógnitas
Nótese que sólo se pueden calcular momentos en el esquema central, donde se conoce la posición de todas las fuerzas
Estrategia 1: a) Resolver el bloque: Rx =0, Ry =0 y MBz =0. b) Resolver el sistema global, Rx =0, Ry =0, para obtener P2.
Solución para P2
Tema 3. Problemas rozamiento. Material elaborado por Jorge Portí Durán y Juan Francisco Gómez Lopera
Resolución Equilibrio del bloque ( =8°): NB B
A
y
FRA 1m
0.4m
NB
M Bz 0
1.4 N A 1 W 0
Rx 0
FRA N B sin N B cos 0
Ry 0
(1) (2)
N A N B cos N B sin W 0 (3)
W=1400N
NA
NA=400N NB=1039.0N FRA=350.4N
Equilibrio del sistema global ( =8°): x P2
B
A
Ry 0
N A W NC 0
(4)
Rx 0
FRA P2 NC 0
(5)
NC=1000N P2=550.4N
NC
FRA 1m
NA
0.4m W=1400N
NC
Conclusión: • La situación 1 ocurriría a partir de P1=280N, mientras que la situación 2 ocurriría a partir de P2=550.4N. • Resultado: el sistema se mueve como una sola pieza, deslizando en A y C, a partir de P=280N. Tema 3. Problemas rozamiento. Material elaborado por Jorge Portí Durán y Juan Francisco Gómez Lopera
Conclusiones finales • Se han resuelto dos posibles problemas, obteniéndose que sucede a) pero no b). • Sólo uno es posible, por lo que debe haber contradicciones en el caso b) que indiquen que no se alcanza esta situación. Busquémoslas. • Hemos hallado que el caso b) requiere las siguientes fuerzas: NA=400N, FRA=350.4N, NB=1039.0N, NC=1000N y P2=550.4N. • Sabemos que el rozamiento máximo en A es: FRAmax=µNA=0.2∙400=80N. • Es claro que FRA no puede alcanzar el valor requerido de 350.4N. • Esta contradicción no aparece en el caso a). • En efecto, la resolución completa del caso a) daría las siguientes fuerzas: NA=400N, NB=1001.4N, FRB=‐59.95N, NC=1000N y P1=280N. • El valor negativo de FRB no es problema, sólo indica sentido contrario. • El valor máximo del rozamiento en B es, FRBmax=µNB=0.2∙1001.4=200.3N. • Este rozamiento máximo es superior al valor requerido de 59.95N, lo que confirma que ocurre a) y no b).
Tema 3. Problemas rozamiento. Material elaborado por Jorge Portí Durán y Juan Francisco Gómez Lopera
15.‐ Los bloques A y B de la figura pesan 250N y 300N, respectivamente. El coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es 0.34. Determine el mayor ángulo que permite el equilibrio y la tensión del cable para ese ángulo.
A B Tema 3. Problemas rozamiento. Material elaborado por Jorge Portí Durán y Juan Francisco Gómez Lopera
Diagramas de cuerpo libre y resolución Opción 1. Suposición inicial: El cuerpo A pesa menos que el B, por lo que a priori parece que el cuerpo B tiende a descender y el A tiende a ascender. Con esta suposición tenemos: T
T T
Equilibrio global:
A
PA
NB
B
PB
NB
y x
A
NA
T
PA
3T N B PA PB sin 0
Rx 0
Ry 0
N B PA PB cos 0
(1) (2)
Equilibrio parcial: Rx 0
T N A PA sin 0
(3)
Ry 0
N A PA cos 0
(4)
NA
Solución: NA=103.1N, NB=226.7N, T=‐192.7N, α=‐65.66°. Tanto la tensión como el ángulo son negativos. Esto no es coherente, de modo que la suposición de que A asciende y B desciende era incorrecta. Observando nuevamente el problema, parece razonable que las dos tensiones produzcan el ascenso de B a pesar de que éste pese más que A. Repitamos el problema con esta hipótesis. Tema 3. Problemas rozamiento. Material elaborado por Jorge Portí Durán y Juan Francisco Gómez Lopera
Diagramas de cuerpo libre y resolución Opción 2. Suposición inicial: El cuerpo A tiende a descender y el cuerpo B tiende a ascender. T
T T
A
PA
NB
B
Ry 0
N B P PA PB cos 0
(1) (2)
PB
NB
y x
T
A
NA
3T N B PA PB sin 0
Rx 0
PA
Rx 0
T N A PA sin 0
(3)
Ry 0
N A PA cos 0
(4)
NA
Solución: NA=103.1N, NB=226.7N, T=192.7N, α=65.65°. Los datos ahora son coherentes y representan la solución del problema. El cuerpo A desciende a partir de 65.65°.
