´ Estructuras algebraicas. Departamento de Algebra. http://www.departamento.us.es/da

´ G RADO EN M ATEM ATICAS . C URSO 2015/2016

E STRUCTURAS ALGEBRAICAS

Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. 1.1.

Grupo abeliano libre. Bases.

Definici´on 1.1. El grupo Zn con n ≥ 0, se llama grupo abeliano libre de rango n (donde Z0 = {0}). Notaci´on: Sea G un grupo abeliano. Sea a ∈ G y sea m ∈ Z. Escribiremos:  m }| { z    a + a + · · · + a si m > 0       0 si m = 0 ma =       (−a) + · · · + (−a) si m < 0   {z }  | |m|

Observemos que, por definici´on, G = ha1 , . . . , an i si y s´olo si todo elemento a ∈ G puede escribirse como combinaci´on lineal (con coeficientes enteros) de {a1 , . . . , an }. Esto es, ∀a ∈ G, ∃m1 , . . . , mn ∈ Z,

a = m1 a1 + · · · + mn an .

Todas las combinaciones lineales con las que trataremos tendr´an coeficientes enteros, por tanto no volveremos a mencionar esta propiedad ya que todos los grupos considerados en este tema ser´an abelianos. (i)

En el caso particular de Zn , si llamamos ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0) para i = 1, . . . , n, entonces Zn = he1 , . . . , en i Definici´on 1.2. Sea G un grupo abeliano. Diremos que un conjunto S es linealmente independiente, si la u´ nica forma de escribir 0 ∈ G como combinaci´on lineal de elementos de S es con todos los coeficientes nulos. Es decir, si para cualesquiera s1 , . . . , sr ∈ S, m1 s1 + · · · + mr sr = 0

⇒

m1 = · · · = mr = 0

Definici´on 1.3. Sea G un grupo abeliano. Una base de G es un sistema de generadores linealmente independiente. Ejemplos: {(1, 0), (0, 1)} es base de Z2 . {(2, 0), (0, 1)} es linealmente independiente, pero no es sistema de generadores, puesto que los elementos que genera tienen siempre su primera coordenada par. {(¯2, 0), (¯ 0, 1)} es base de Z/Z3 × Z. ´ La demostraci´on del siguiente resultado es an´aloga a la que vimos en Algebra Lineal y Geometr´ıa I: Proposici´on 1.4. Un conjunto S ⊂ G es base si y s´olo si todo elemento se escribe de forma u´ nica como combinaci´on lineal de S. 1

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Gracias al resultado anterior, podemos saber c´omo son las bases en el caso particular del grupo Zn . Proposici´on 1.5. Un conjunto de Zn linealmente independiente tiene como mucho n elementos. ´ : Sea S ⊂ Zn linealmente independiente. Si tuviera m´as de n elementos, D EMOSTRACI ON podr´ıamos tomar s1 , . . . , sn+1 ∈ S y formar una matriz A, de tama˜no n×(n+1), cuyas columnas son estos n + 1  elementos. Pero  entonces el sistema lineal Ax = 0 tendr´ıa alguna soluci´on no nula pn+1 p1 en Q, digamos q1 , . . . , qn+1 . Multiplicando esta soluci´on por q1 · · · qn+1 , tendr´ıamos una soluci´on (m1 , . . . , mn+1 ) 6= (0, . . . , 0) formada por enteros, donde m1 s1 + · · · + mn+1 sn+1 = 0, lo cual es imposible al ser S linealmente independiente. Por tanto, S tiene como mucho n elementos. 2 Proposici´on 1.6. Un sistema de generadores de Zn tiene como m´ınimo n elementos. ´ : Sea S ⊂ G un sistema de generadores de Zn . Los elementos e1 , . . . , en son D EMOSTRACI ON combinaci´on lineal de S con coeficientes enteros (en particular, con coeficientes en Q), por tanto S es sistema de generadores del Q-espacio vectorial Qn , luego tiene al menos n elementos. 2 Corolario 1.7. Toda base de Zn tiene exactamente n elementos. Proposici´on 1.8. Sea S = {a1 , . . . , an } ⊂ Zn un conjunto con n elementos, y sea A la matriz n × n cuyas columnas son los elementos de S. Son equivalentes: 1. S es base. 2. S es sistema de generadores. 3. |A| = ±1. [Trabajo personal: demostrarlo]. Definici´on 1.9. Sea B = {u1 , . . . , un } una base de Zn . Dado un elemento a ∈ Zn , llamaremos coordenadas de a respecto de B, a la n-upla de enteros (m1 , . . . , mn ) tal que a = m1 u1 + · · · + mn un . Escribiremos: aB = (m1 , . . . , mn ) ´ Recordemos del Algebra Lineal c´omo afectan a las coordenadas de un elemento ciertos cambios elementales que efectuaremos en las bases: 1. Si B 0 se obtiene de B al permutar ui y uj , entonces aB0 se obtiene de aB al permutar las coordenadas i y j. Esto se puede escribir1 aB0 = Ei,j aB , donde Ei,j es la matriz que se obtiene de I al permutar las filas i y j. 2. Si B 0 se obtiene de B al cambiar de signo ui , entonces aB0 se obtiene de aB al cambiar de signo la coordenada i. Esto se puede escribir aB0 = Ei (−1)aB , donde Ei (−1) es la matriz que se obtiene de I al cambiar de signo la fila i. 1

Aqu´ı los vectores se consideran vectores columnas. De hecho, consideraremos los vectores como filas o columnas seg´un convenga, y en el caso en que se usen en un producto de matrices, la elecci´on ser´a la u´ nica posible.

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3. Si B 0 se obtiene de B al sustituir uj por uj − mui , donde m ∈ Z, entonces se tiene: a = m1 u1 + · · · + mi ui + · · · + mj uj + · · · + mn un = m1 u1 + · · · + (mi + m mj )ui + · · · + mj (uj − mui ) + · · · + mn un Es decir, si aB = (m1 , . . . , mi , . . . , mj , . . . , mn ) entonces aB0 = (m1 , . . . , mi + m mj , . . . , mj , . . . , mn ). B0

Por tanto, si se obtiene de B al restar a uj , m veces ui , entonces aB0 se obtiene de aB al sumar a la coordenada i, m veces la coordenada j. Esto se puede escribir aB0 = Ei,j (m)aB , donde Ei,j (m) es la matriz que se obtiene de I al sumar a la fila i, m veces la fila j. Observemos que si hacemos este tipo de transformaciones, llamadas transformaciones elementales, a una base, obtenemos otra base de Zn . Es importante notar que las matrices descritas anteriormente tienen todas determinante ±1. Como aplicar una transformaci´on elemental a una base equivale a multiplicar el vector de coordenadas de cualquier vector por una de estas matrices, se sigue que aplicar varias de estas transformaciones elementales seguidas equivale a multiplicar por varias de estas matrices, lo que finalmente multiplica (por la izquierda) el vector de coordenadas de cualquier vector, por una matriz de determinante ±1.

1.2.

Grupos abelianos finitamente generados

En esta secci´on vamos a qu´e estructura tiene cualquier grupo abeliano finitamente generado. Esto nos permitir´a, por ejemplo, deducir cu´antos grupos abelianos finitos hay de un cierto orden no isomorfos. Teorema 1.10. Sea {u1 , . . . , un } una base de Zn . Dado un grupo abeliano cualquiera G, y n ´ elementos cualesquiera α1 , . . . , αn ∈ G, existe un unico homomorfismo de grupos f : Zn → G tal que f (ui ) = αi para todo i = 1, . . . , n. ´ : Dado a ∈ Zn , sabemos que a se escribe de forma u´ nica como a = m1 u1 + D EMOSTRACI ON . . .+mn un . Definimos entonces f (a) = m1 α1 +· · ·+mn αn . Esta es una aplicaci´on bien definida (puesto que la escritura de cada a ∈ Zn es u´ nica), y es muy sencillo demostrar que se trata de un homomorfismo. Adem´as f (ui ) = αi para todo i = 1, . . . , n. Para ver la unicidad, consideremos un homomorfismo g que cumple las propiedades del enunciado. Dado a = m1 u1 +· · ·+mn un , al ser g un homomorfismo de grupos tendremos g(a) = m1 g(u1 )+ · · · + mn g(un ) = m1 α1 + · · · + mn αn , luego g es precisamente f . 2 Teorema 1.11. Todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un cociente de Zn . ´ : Si G = hα1 , . . . , αn i, tomamos f : Zn → G tal que f (ei ) = αi para i = D EMOSTRACI ON 1, . . . , n. Observemos que f es sobreyectiva porque hα1 , . . . , αn i = G. Por tanto, por el primer teorema de isomorf´ıa: Zn / ker(f ) ∼ = im(f ) = G. 2 El teorema anterior nos dice que estudiar los grupos abelianos finitamente generados es equivalente a estudiar los grupos cocientes de la forma Zn /H. Teorema 1.12. Todo subgrupo de Zn est´a finitamente generado. Es m´as, admite un sistema de generadores con a lo sumo n elementos. 3

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´ : Sea H ≤ Zn . Es bien conocido que si n = 1 entonces H = hmi para un cierto D EMOSTRACI ON entero m, por tanto el resultado es cierto para n = 1. Supongamos que n > 1 y que el resultado es cierto para n − 1. Sea π1 : Zn → Z la proyecci´on sobre la primera coordenada, esto es, π1 (a1 , . . . , an ) = a1 para todo (a1 , . . . , an ) ∈ Zn . Observemos que π1 (H) ≤ Z. En efecto, dados a, b ∈ π1 (H) existen (a, a2 , . . . , an ), (b, b2 , . . . , bn ) ∈ H, luego (a − b, a2 − b2 , . . . , an − bn ) ∈ H y por tanto a − b ∈ π1 (H). Tenemos entonces π1 (H) = hai para un cierto a ∈ Z. Es decir, la primera coordenada de todo elemento de H es un m´ultiplo de a. Adem´as, debe existir alg´un elemento u0 = (a, a2 , . . . , an ) ∈ H, cuya primera coordenada sea a. Observemos que ker(π1 ) = {(0, a2 , . . . , an ) ∈ Zn } es claramente isomorfo a Zn−1 . Por tanto H ∩ ker(π1 ), que es un subgrupo de ker(π1 ), es isomorfo a un subgrupo de Zn−1 . Pero entonces, por hip´otesis de inducci´on tenemos H ∩ ker(π1 ) = hu1 , . . . , ur i, con r ≤ n − 1. Ya s´olo queda observar que H = hu0 , u1 , . . . , ur i, ya que dado u = (m a, c2 , . . . , cn ) ∈ H, tenemos u−mu0 ∈ H ∩ ker(π1 ) = hu1 , . . . , ur i, luego u ∈ hu0 , u1 , . . . , ur i. Observemos adem´as que el n´umero de elementos en este sistema de generadores es r + 1 ≤ n, como quer´ıamos demostrar. 2

1.3.

Forma normal de Smith

Sea H ≤ Zn . Acabamos de demostrar que podemos escribir H = ha1 , . . . , as i, donde ai = (a1i , . . . , ani ). Estudiaremos H y Zn /H usando la matriz   a11 · · · a1s  ..  A =  ... .  an1 · · ·

ans

cuyas columnas son estos generadores de H. Haremos transformaciones elementales por filas y columnas para simplificar A, y as´ı conocer la estructura de Zn /H. Para ello debemos interpretar qu´e implica hacer una transformaci´on elemental por filas o por columnas. Transformaciones elementales por columnas. Una transformaci´on elemental por columnas de una matriz A consiste en una de las siguientes acciones: 1. Intercambiar dos columnas. 2. Cambiar una columna de signo. 3. Sumar a una columna un m´ultiplo (entero) de otra. Hay dos observaciones importantes que hacer: La primera es que al aplicar una transformaci´on elemental por columnas a la matriz A (cuyas columnas son unos generadores de H), simplemente estamos cambiando el sistema de generadores de H. La segunda observaci´on es que aplicar una transformaci´on elemental por columnas equivale a multiplicar la matriz A, por la derecha, por una matriz elemental Ei,j , Ei (−1) o Ei,j (m) (de tama˜no s × s). Por tanto, al aplicar varias transformaciones elementales por columnas seguidas estamos multiplicando la matriz A, por la derecha, por una matriz con determinante ±1. Transformaciones elementales por filas. Una transformaci´on elemental por filas de una matriz A consiste en una de las siguientes acciones: 4

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1. Intercambiar dos filas. 2. Cambiar una fila de signo. 3. Sumar a una fila un m´ultiplo (entero) de otra. En este caso, observemos que aplicar una transformaci´on elemental por filas equivale a aplicar una transformaci´on elemental a la base de Zn , es decir, se trata simplemente de un cambio de base. Adem´as, aplicar una transformaci´on elemental por filas equivale a multiplicar la matriz A, por la izquierda, por una matriz elemental Ei,j , Ei (−1) o Ei,j (m) (de tama˜no n × n). Por tanto, al aplicar varias transformaciones elementales por filas seguidas estamos multiplicando la matriz A, por la izquierda, por una matriz con determinante ±1. Por tanto, para estudiar H y Zn /H, podemos transformar la matriz A, por filas y columnas, para simplificarla lo m´aximo posible. El resultado ser´a una matriz cuyas columnas son un sistema de generadores de H, escrito respecto de una cierta base de Zn . Veamos cu´anto se puede simplificar la matriz A. Teorema 1.13 (Forma normal de Smith). matriz n × s de enteros S, de la forma  d1  ..  .   0 S=  0   ..  .

´ Sea A una matriz n × s de enteros. Existe una unica ··· .. . ··· ··· ···

0

0 .. .

0 ··· .. .

dr 0 · · · 0 0 ··· .. .. . . 0 0 ···

 0 ..  .   0   0   ..  .  0

donde d1 , . . . , dr > 0 y di |di+1 para todo i = 1, . . . , r − 1, tal que S se obtiene de A mediante transformaciones elementales de filas y columnas. ´ : Veamos primero la existencia, dando un procedimiento para calcular S. TomeD EMOSTRACI ON mos A. Permutando filas y columnas colocamos en la posici´on (1, 1) el elemento no nulo de menor valor absoluto, digamos m. Podemos considerar que m > 0, ya que si fuera m < 0 cambiamos de signo su columna. Si un elemento a1j de la primera fila no es un m´ultiplo de m, sabemos que a1j = qm + m0 , con 0 < m0 < m. Restando a la columna j, q veces la columna 1, obtenemos m0 en la posici´on (1, j). Permutando entonces las columnas 1 y j, obtenemos m0 < m en la posici´on (1, 1). An´alogamente, si alg´un elemento de la primera columna no es m´ultiplo del de la posici´on (1, 1), podemos disminuir el elemento de la posici´on (1, 1) mediante transformaciones elementales por filas. Como este proceso debe parar (m no puede disminuir indefinidamente), en alg´un momento tendremos un elemento m en la posici´on (1, 1) que divide a todos los de su fila y columna. Entonces, haciendo transformaciones de tipo 3, se obtiene una matriz   m 0 ··· 0  0      ..  .  M 0 Ahora, si un elemento en la posici´on (i, j) no es m´ultiplo de m, podemos sumarle a la fila 1 la fila i. Obtendremos un elemento en la primera fila que no es m´ultiplo de m, y podremos reducir m como antes. 5

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Repetimos el proceso hasta que m no se pueda disminuir m´as, y obtendremos una matriz de la forma:   d1 0 · · · 0  0     ..   .  M 0 con d1 dividiendo a todo elemento de M . Si tuvi´eramos s = 1 (una sola columna), ya habr´ıamos terminado. Si s > 1, por inducci´on en s podemos aplicar transformaciones por filas y columnas, cambiando M , hasta obtener   d1 · · · 0 0 · · · 0  .. . . ..  . .  . . .. .. .     0 · · · ds 0 · · · 0     0 ··· 0 0 ··· 0     .. .. .. ..   . . . .  0

···

0

0 ···

0

con d1 , d2 , . . . , dr > 0 y d2 |d3 | · · · |dr . Queda probar que d1 |d2 . Pero d1 divid´ıa a todo elemento de M , y esta propiedad se preserva al aplicar transformaciones elementales a M , por tanto d1 |d2 , y hemos probado la existencia de S. Veamos la unicidad. En primer lugar, el n´umero r es precisamente el rango de A (porque las transformaciones elementales no var´ıan el rango), luego r est´a determinado por la matriz original. Veamos que para todo i = 1, . . . , r, se tiene: ∆i (A) = mcd ({menores de orden i de A}) = d1 · · · di , y por tanto d1 , . . . , dr tambi´en estar´an determinados por A. Para ello basta observar que una transformaci´on elemental preserva el mcd de los menores de orden i de una matriz, y por tanto ∆i (A) = ∆i (S). Es f´acil ver que ∆i (S) = d1 · · · di , y esto termina la demostraci´on. 2 Corolario 1.14. Dado H ≤ Zn , existe una base B = {u1 , . . . , un } de Zn y unos enteros positivos d1 |d2 | · · · |dr , tales que H = hd1 u1 , d2 u2 , . . . , dr ur i. ´ : Basta transformar la matriz H en su forma normal de Smith, e interpretar el D EMOSTRACI ON resultado. 2 Una observaci´on importante: Si al transformar la matriz A en su forma de Smith S, vamos aplicando las mismas transformaciones por filas a la matriz In×n , y las mismas transformaciones por columnas a la matriz Is×s , obtendremos dos matrices P y Q, con determinante ±1, tales que P AQ = S Estas matrices P y Q son invertibles como matrices de enteros. Es decir, existe P −1 ∈ GLn (Z) y existe Q−1 ∈ GLs (Z). Es m´as, por construcci´on, las columnas de P −1 forman precisamente la base B = {u1 , . . . , un } descrita en el corolario anterior, y las columnas de AQ son los generadores de H respecto de la base original.

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Es interesante observar que para conocer las primeras r columnas de P −1 no es necesario calcular la inversa de P . Basta con darse cuenta de que las primeras r columnas de AQ son precisamente d1 u1 , . . . , dr ur , luego podemos calcular cada ui simplemente dividiendo por di la columna i de AQ, para i = 1, . . . , r. Proposici´on 1.15. En las condiciones anteriores, Zn /H ∼ = Z/Zd1 × Z/Zd2 × · · · × Z/Zdr × Zn−r ´ : Consideremos D EMOSTRACI ON n−r

Zn

f:

(m1 , . . . , mn )B

z }| { −→ Z/Zd1 × · · · × Z/Zdr × Z × · · · × Z 7−→ (m1 , . . . , mr , mr+1 , . . . , mn )

La aplicaci´on f est´a claramente bien definida, y es un homomorfismo de grupos sobreyectivo. Adem´as  mi = ki di ∀i = 1, . . . , r f ((m1 , . . . , mn )B ) = (0, . . . , 0, 0, . . . , 0) ⇔ mi = 0 ∀i = r + 1, . . . , n Es decir, ker(f ) = {(k1 d1 , . . . , kr dr , 0, . . . , 0)B ; k1 , . . . , kr ∈ Z} = h(d1 , 0, . . . , 0)B , (0, d2 , 0, . . . , 0)B , . . . , (0, . . . , 0, dr , 0, . . . , 0)B i = hd1 u1 , d2 u2 , . . . , dr ur i = H. Y por el primer teorema de isomorf´ıa: Zn /H = Zn / ker(f ) ∼ = im(f ) = Z/Zd1 × · · · × Z/Zdr × Zn−r 2 Teorema 1.16 (de estructura de los grupos abelianos finitamente generados). Todo grupo abeliano ´ finitamente generado es isomorfo a un unico grupo de la forma Z/Zdt × Z/Zdt+1 × · · · × Z/Zdr × Zn−r con 1 < dt |dt+1 | · · · |dr . ´ : Sabemos que todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a Zn /H D EMOSTRACI ON para alg´un H ≤ Zn . Ahora basta aplicar el resultado anterior, y observar que si alg´un di = 1 (necesariamente estos di , si existen, ser´an los primeros) entonces Z/Zdi = Z/Z = {0}. La unicidad proviene de la unicidad de la forma normal de Smith. 2 La escritura de un grupo abeliano finitamente generado G como en el teorema de estructura, se llama descomposici´on can´onica de G como producto directo de grupos c´ıclicos, y los enteros d1 , . . . , dr se llaman factores invariantes. Terminaremos este tema con un u´ ltimo resultado sobre los subgrupos de Zn . Ya hemos visto que pueden ser generados con a lo sumo n elementos. Pero adem´as podemos dar una propiedad mucho m´as fuerte: Todo subgrupo de un grupo libre es libre. Demostraremos esta propiedad s´olo para los grupos libres finitamente generados, usando la forma normal de Smith: Teorema 1.17. Todo subgrupo de Zn es isomorfo a Zr para alg´un r ≤ n. [Trabajo personal: demostrarlo]. 7