Tema 15: Azar y probabilidad 15 15.1 Sucesos aleatorios Ejemplo 1.

2.

3.

4.

5.

Si lanzamos dos monedas, ¿cuál es el espacio muestral? E XX, CC, XC, CX ¿cúal es el suceso al menos una cruz? XC, CX, XX ¿cuál es el suceso salir dos resultados iguales? XX, CC La baraja española consta de 40 cartas divididas en cuatro palos (oros, espadas, bastos, copas). En cada palo hay: as, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, sota, caballo y rey. Usualmente se llaman figuras a la sota, caballo y rey. Lanzamos al aire un dado de seis caras, numeradas 1, 2, 3, 4, 5, 6 y observamos la puntuación obtenida. a. Escribe el espacio muestral E 1, 2, 3, 4, 5, 6 b. Escribe los siguientes sucesos: i. A " obtener un número par" 2, 4, 6 ii. B " obtener más de tres" 4, 5, 6 iii. C " obtener menos de tres" 1, 2 iv. D " obtener más de ocho" Ø v. F " obtener menos de ocho" 1, 2, 3, 4, 5, 6 c. Entre los sucesos B y C. ¿Cuál es el más probable? Es más probable el B pues tiene más sucesos elementales. d. ¿Cuál de los sucesos anteriores es un suceso imposible? El suceso D es un suceso imposible e. ¿Cuál de los sucesos anteriores es un suceso seguro? El suceso F es un suceso seguro. Extraemos una carta de una baraja española y observamos el número y el palo. Expresamos cada carta con un número y una letra (ordenadas de menor a mayor, primero copas, segundo oros, tercero bastos y por último espadas). Por ejemplo: cinco de copas 5 C as de espadas 1 E rey de copas 12 C Escribe los siguientes sucesos: A " obtener tres" 3C, 3O, 3B, 3E B " obtener un rey" 12C, 12O, 12B, 12E C " obtener un basto" 1B, 2B, 3B, 4B, 5B, 6B, 7B, 10B, 11B, 12B D " obtener menos de tres" 1C, 2C, 1O, 2O, 1B, 2B, 1E, 2E Extraemos una bola de esta urna: La urna contiene cinco bolas azules con los números 2,3,4,5,6 y tres bolas rojas con los números 1,2,3. a. Escribe los siguientes sucesos: (ordenados de menor a mayor, primero bolas rojas y después azules) A " extraer una bola roja" R1, R2, R3 B " extraer una bola azul" A2, A3, A4, A5 C " extraer un dos" R2, A2 D " extraer menos de tres" R1, R2, A2 1

¿Cuál de los sucesos anteriores es el más probable? El suceso más probable es el B c. ¿Cuál de los sucesos anteriores es el menos probable? El suceso menos probable es el C. Tareas 15-09-2015: todos los ejercicios de la página 287 b.

15.2 Probabilidad de un suceso Ejemplo: Tomamos una moneda y la lanzamos catorce veces anotando el resultado obtenido en cada caso: F

fr

6 0. 428 57 0. 4 14 0. 571 43 0. 6 C 8 8 14 Tareas 16-09-2015: todos los ejercicios de la página 289 X 6

Ejemplo 1.

2.

Unos niños juegan con dos monedas. Si salen dos caras, gana Carlos, si salen dos cruces gana Antonio, y si sale una cara y una cruz, Berta. ¿Hay alguno que tenga ventaja o es un juego equitativo? No es un juego equitativo, pues Berta tiene dos posibilidades de ganar frente a una que tienen Carlos y Antonio. Ricardo apuesta en un juego con un dado: pone una ficha en un número; si sale ese número se lleva 5 fichas (la suya y otras cuatro) y, si no sale, pierde la ficha. ¿Es equitativo? Si es un juego equitativo, pues las condiciones son siempre iguales para cualquier jugador; tiene una posibilidad entre seis de ganar.

15.3 Ley de Laplace para experiencias regulares Tareas 18-09-15: todas las actividades de la página 290 Tareas 18-09-15: todas las actividades de la página 291

Ejemplo: 1.

Lanzamos al aire tres monedas. Calcula la probabilidad de todos los sucesos elementales del espacio muestral. El espacio muestral es E XXX, XXC, XCX, CXX, CCX, CXC, XCC, CCC Tenemos las siguientes probabilidades: 1 a. P XXX 8 3 b. P DOS CRUCES 8 3 c. P DOS CARAS 8 1 d. P TRES CARAS 8 4 e. P AL MENOS DOS CARAS 8

Página 292 diagrama en árbol de lanzar una moneda y un dado Tareas 21-09-2015: todos los ejercicios de la página 292

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA Indica el espacio muestral de cada una de las siguientes experiencias aleatorias: a. Señalo al azar una provincia en un mapa de Galicia. Lugo, La Coruña, Pontevedra, Orense El espacio muestral es E Tareas 21-09-2015: todos los ejercicios que faltan del 1 2 Lanzamos un dado con forma de dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12 y anotamos 1.

2

el número obtenido. a. ¿Cuál es el espacio muestral? E 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 b. Describe los sucesos: A " menos de 5" 1, 2, 3, 4 B " más de 4" 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 C " número par" 2, 4, 6, 8, 10, 12 D " no múltiplo de 3" 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11 Tareas 21-09-2015:3,4,5 9 Metemos las piezas de un juego de ajedrez en una bolsa y elegimos una al azar. Recuerda qué piezas de ajedrez componen el juego. b ¿Qué probabilidad hay de sacar una torre? ¿Y un caballo blanco? ¿Y uno de los reyes? nº de casos favorables 4 1 P Torre 32 8 nº de casos posibles nº de casos favorables 2 1 P caballo blanco 32 16 nº de casos posibles nº de casos favorables 2 1 P Re y 32 16 nº de casos posibles ATENCIÓN: Supón que las figuras de ajedrez son piezas de la misma forma, tamaño y textura. 6 Lanzamos un dado correcto. Calcula las probabilidades de que el resultado sea: f Menor que 7 nº de casos favorables 6 P 7 1 Es un suceso seguro 6 nº de casos posibles Tareas 23-09-15: todos los ejercicios que faltan del 6 7 Se extrae al azar una bola de la siguiente bolsa. tres bolas amarillas una bola roja dos bolas azules dos bolas verdes 1 2 3 3 1 2 2 8 Tareas 23-09-15: todos los ejercicios que faltan del 7 8 El profesor ha traído estos libros a clase: c

P roja o azul

Título

nº de libros

La isla del tesoro

11

El principito

8

De la Tierra a la Luna

6

El Conde de Montecristo 5 Si se asignan al azar, calcula la probabilidad de que el libro que me toque: 11 8 5 4 c P no sea de la Tierra a la Luna 5 11 8 5 6 Tareas 23-09-15: todos los ejercicios que faltan del 8 9 Metemos las piezas de un juego de ajedrez en una bolsa y elegimos una al azar. Recuerda qué piezas componen el juego de ajedrez: ATENCIÓN: supón que las figuras de ajedrez son piezas de la misma forma, tamaño y textura. b ¿Qué probabilidad hay de sacar una torre? 3

4 1 32 8 ¿Y un caballo blanco? 2 1 P caballo blanco 32 16 ¿Y uno de los reyes? 1 2 P rey 16 32 Tareas 23-09-15: todos los ejercicios que faltan del 9 10 Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos A, B, C y D, de la actividad 2. nº de casos favorables 4 1 PA 12 3 nº de casos posibles nº de casos favorables 8 2 PB 12 3 nº de casos posibles nº de casos favorables 6 1 PC 12 2 nº de casos posibles nº de casos favorables 8 2 PD 12 3 nº de casos posibles Tareas 23-09-15: 11 12 Tiramos un dado y hacemos girar una ruleta: P torre

Calcula la probabilidad de que la suma de los resultados sea más de 10. Los resultados que son más de 10 son: i. 2 9 11, 3 8 11, 4 7 11, 6 5 11 4 casos ii. 3 9 12, 4 8 12, 5 7 12 3 casos iii. 4 9 13, 5 8 13, 6 7 13 3 casos iv. 5 9 14, 6 8 14 2 casos v. 6 9 15 1 caso Hay 4 3 3 2 1 13 casos favorables El número de casos posibles es 6 8 48 (seis caras del dado y ocho números de la ruleta) nº de casos favorables 13 P suma más de 10 48 nº de casos posibles Tareas 23-09-15: todos los ejercicios que faltan del 12 13 De una urna con tres bolas verdes y dos rojas, extraemos dos bolas. Calcula la probabilidad de que: c Las dos bolas sean rojas. P dos bolas rojas P primera bola roja P segunda bola sea roja 1 2 1 5 4 10 Tareas 24-09-15: todos los ejercicios que faltan del 13 d

4

14 Extraemos dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de estos sucesos: f Una figura y una no figura

P una figura y una no figura P primero sale figura y después no figura P primero no figura y después figura 28 12 28 12 28 40 39 40 39 65 Tareas 24-09-15: todos los ejercicios que faltan del 14 15 Lanzamos una moneda; si sale cara, tomo una carta de una baraja; y si sale cruz, no sigo jugando. ¿Qué probabilidad hay de obtener oros o figura? P oros o figura P sale cara en la moneda P oros o figuras 1 19 19 2 40 80 Tareas 24-09-15: 16 17 Encima de la mesa tenemos estas cuatro cartas de una baraja española (40 caras) cinco de espadas as de oros cuatro de bastos dos de oros Sacando otra carta al azar del mazo: b ¿Cuál es la probabilidad de obtener una escalera? Para tener la escalera nos hace falta un tres de cualquier palo. 4 1 P tres 36 9 Tareas 24-09-15: todos los ejercicios que faltan del 17 Tareas 24-09-15: 18 19 Lanzamos cuatro monedas. Halla la probabilidad de obtener: c Alguna cara P alguna cara P una cara P dos caras P tres caras P cuatro caras 4 6 4 1 15 16 16 16 16 16 El resultado es dicha fracción pues sólo si salen todos cruces no aparecen las caras, esto sucede sólo para XXXX. Tareas 24-09-15: todos los ejercicios que faltan del 19 Tareas 24-09-15:20 21 En una familia de 4 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que todos sean varones? nº de casos favorables P cuatro hijos varones nº de casos posibles 1 1 1 1 P 1º varón P 2º varón P 3º varón P 4º varón 2 2 2 2 Tareas 28-09-15: todos los ejercicios que faltan del 21 Tareas 28-09-15: 22 (hacer la tabla de multiplicar), 23 (hacer la tabla de diferencias), 24 25 En un centro escolar hay 1000 alumnos repartidos como indica esta tabla: chicos chicas usan gafas

187

113

no usan gafas 413

287

Se elige al azar uno de ellos. Di cuál es la probabilidad de que: 413 287 7 d P no use gafas 1000 10 113 113 f P sabiendo que es chica, use gafas 113 287 400 Tareas 28-09-15: todos los que faltan del 25 Tareas 28-09-15: 26 (hacer la tabla) 27 Hoy hay tres partidos de baloncesto, de fútbol y de tenis. De los 40 amigos que hay en casa, 21 5

prefieren fútbol y 5, tenis. Hay 10 chicos que quieren baloncesto, 9 chicas que quieren fútbol y 3 chicas que prefieren ver el tenis. Si elegimos una persona al azar, calcula la probabilidad de que: Hacemos una tabla distribuyendo preferencias deportivas y género: tenis fútbol baloncesto chico 2

12

10

24

chica 3

9

4

16

21

14

40

5 f

Sabiendo que prefiere ver tenis, que sea un chico

P

2 5

Tareas 28-09-15: todos los que faltan del 27 28 Una botella contiene 20 bolas de colores negro, rojo y verde. No sabemos cuántas de cada color, no podemos verlo, porque la botella es opaca. Solo podemos ver, cuando la tumbamos, el color de la bola que queda junto al tapón, que es transparente. Durante unos días hacemos 1000 veces la experiencia de agitar, inclinar la botella y anotar el color de la bola que se ve. Al final, hemos obtenido estos resultados: f bolanegra 461 f bolaroja 343 f bolaverde 196 Podemos averiguar, con cierta seguridad, cuántas bolas hay de cada color. Hagámoslo con las negras: 461 0. 461 F bolanegra 1000 n donde n es el número de bolas negras P bola negra 20 Aplicando la Ley de los grandes números: Como F bolanegra P bola negra entonces tendremos que: n n 0. 461 20 9. 22 9 0, 461 20 Estimamos que el número de bolas negras es 9 ¿Cuántas bolas de cada color hay en la botella? No tenemos más que repetir el proceso anterior para los otros dos colores: 343 F bolaroja 0. 343 1000 r donde r es el número de bolas rojas P bola roja 20 Aplicando la Ley de los grandes números: Como F bolaroja P bola roja entonces tendremos que: r 0, 343 r 0. 343 20 6. 86 20 Estimamos que el número de bolas rojas es 7 196 F bolaverde 0. 1 96 1000 v donde v es el número de bolas verdes P bola verde 20 Aplicando la Ley de los grandes números: Como F bolaverde P bola verde entonces tendremos que: v 0, 196 v 0. 196 20 3. 92 20 Estimamos que el número de bolas verdes es 4

OBSERVA:7

4 9 20 COMO NO PODÍA SER DE OTRA MANERA!!!!!! Tareas 01-10-15: 30,31,33,34,36,37 32 En cada mano del juego Piedra, papel o tijera puedes ganar, empatar o perder. Si me juego un refresco, ¿qué probabilidad tengo de ganarlo a la primera? 1 P refresco en una partida 3 ¿Que probabilidad tengo de ganarlo en la segunda partida? P refresco en segunda partida P 1ª partida empate, 2ª partida ganas 6

P 1ª partida empate

P(2ª partida ganas

1 3

1 3

1 9

¿Y a la tercera y ganarlo? P refresco en tercera P 1ª partida empate P 2ªpartida empate P(3ª partida ganas 1 1 1 1 3 3 3 27 35 En un laboratorio, para que un medicamento salga al mercado tiene que pasar tres controles. La probabilidad de superar el primero es 0.89; la de superar el segundo es 0.93 y la de superar el tercero 0.85. ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo producto no sea apto para salir al mercado? P NO APTO 1 P APTO 1 0. 89 0. 93 0. 85 0. 296 46 Serás no apto en el momento que falles al menos un test, entonces no apto es lo contrario de ser apto, para lo cual tienes que pasar los tres controles.

EXAMEN 09-10-15

7