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TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES Recordamos que una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los números reales A en el conjunto de los números reales de forma que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en R por dicha aplicación.

1. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen. D = {x

/

f (x)}

Conjunto inicial

Conjunto final

Dominio

Conjunto imagen o recorrido

Estudio del dominio de una función  Dominio de la función polinómica. El dominio es R, pues cualquier número real tiene imagen. f(x)= x2 - 5x + 6

D=R

 Dominio de la función racional El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero). 1

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 Dominio de la función irracional de índice impar El dominio será el del radicando.

 Dominio de la función irracional de índice par El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

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 Dominio de la función logarítmica El dominio está formado por todos los valores que hacen que el la función contenida dentro del logaritmo sea mayor que cero.

 Dominio de la función exponencial El dominio es el de la función que aparezca en el exponente.

 Dominio de la función seno y de la coseno. El dominio es R.

 Dominio de la función tangente

 Dominio de la función cotangente

 Dominio de la función secante

 Dominio de la función cosecante

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2. TRASLACIONES DE FUNCIONES. En general si conocemos la gráfica de una función f(x) podemos decir de forma resumida que: a) La gráfica de la función f(x)+a será igual a la de f(x) desplazada verticalmente a unidades hacia arriba. b) La gráfica de la función f(x)-a será igual a la de f(x) desplazada verticalmente a unidades hacia abajo. c) La gráfica de la función f(x+a) será igual a la de f(x) desplazada horizontalmente a unidades hacia la izquierda. d) La gráfica de la función f(x-a) será igual a la de f(x) desplazada horizontalmente a unidades hacia la derecha. e) La gráfica de la función -f(x) será la simétrica respecto al eje X de la gráfica de f(x) , es decir, lo que en la función f(x) está por encima del eje X pasa a estar por debajo y al contrario lo que está en negativo pasa a positivo.

3. ESTUDIO DE LA SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN.  Simetría respecto del eje de ordenadas. Función par Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica: f(−x) = f(x) Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares.

 Simetría respecto al origen. Función impar Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica: f(−x) = −f(x) Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.

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4. PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante. Ejemplo: Hallar los puntos de corte con el eje OX de la función:

5. PUNTO DE CORTE CON EL EJE OY Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0). Ejemplo: Hallar el punto de corte con el ejes OY de la función:

5

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Ejemplo: Hallar los puntos de corte con los ejes de la función:

6. FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES

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Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas pueden ser:  

Funciones explícitas: Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. f(x) = 5x − 2 Funciones implícitas: Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.( despejar la y) 5x − y − 2 = 0

Siguiendo con la clasificación del esquema podemos distinguir: 1. Funciones polinómicas. Son las funciones que vienen definidas por un polinomio de cualquier grado. f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn Su dominio es

, es decir, cualquier número real tiene imagen.

Según el grado del polinomio tendremos diferentes funciones:

FUNCIONES CONSTANTES La función constante es del tipo: y = n

, donde n es un número real cualquiera.

La gráfica de una función constante es una recta horizontal paralela al eje de abscisas o eje x. Por lo tanto su pendiente es cero.

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NOTA: Rectas verticales.Las rectas paralelas al eje de ordenadas o eje y no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo: x=K

FUNCIÓN LINEAL La función lineal es del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

x y = 2x

y = 2x

0 1 2 3 4 0 2 4 6 8

El valor de m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

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Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Como caso especial de función lineal tenemos la Función identidad: f(x) = x (de pendiente uno)

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

FUNCIÓN AFÍN La función afín es del tipo:

y = mx + n

El valor de m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

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n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Ejemplos de funciones afines y = 2x - 1 x

y = 2x-1

0

-1

1

1

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y = -¾x - 1 y = -¾x-1

0

-1

4

x

-4

FUNCIÓN CUADRÁTICA Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. f(x) = ax² + bx +c

Representación gráfica de la parábola Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Si el coeficiente a>0 la parábola será: Si el coeficiente a 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

4. Punto de corte con el eje OY En el eje de ordenadas todos los puntos tienen la primera coordenada cero, por lo que tendremos: f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c

(0,c)

Ejemplo: Representar la función f(x) = x² − 4x + 3. 1. a=1>0 por lo tanto es una parábola abierta hacia arriba. 2. Vértice x v = − (−4) / 2 = 2

y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1

V(2, −1)

3. Puntos de corte con el eje OX x² − 4x + 3 = 0

(3, 0) 3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

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(1, 0)

Estos apuntes están sacados de la página de internet vitutor pero se le han hecho modificaciones. TRASLACIONES DE PARÁBOLAS

Construcción de parábolas a partir de y = x² Partimos de y = x² x

y = x²

-2

4

-1

1

0

0

1

1

2

4

1. Traslación vertical y = x² + k Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades. Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades. El vértice de la parábola es: (0, k). El eje de simetría x = 0.

y = x² +2

y = x² −2 13

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2. Traslación horizontal y = (x + h)² Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades. El vértice de la parábola es: (−h, 0). El eje de simetría es x = −h.

y = (x − 2)²

y = (x + 2)²

3. Traslación oblicua y = (x + h)² + k El vértice de la parábola es: (−h, k). El eje de simetría es x = −h.

y = (x − 2)² + 2

y = (x + 2)² − 2 14

Estos apuntes están sacados de la página de internet vitutor pero se le han hecho modificaciones. DILATACIONES Y CONTRACCIONES DE FUNCIONES

Una función f(k·x) se contrae si K > 1.

Una función f(k·x) se dilata si 0 < K < 1.

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FUNCIONES RACIONALES La expresión viene dada por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

.

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.

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TRASLACIONES DE HIPÉRBOLAS

Las hipérbolas son las más sencillas de representar. Sus asíntotas son los ejes. El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.

A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.

1. Traslación vertical El centro de la hipérbola es ahora: (0, a). Si a>0, la hipérbola se desplaza hacia arriba a unidades.

El centro de la hipérbola es: (0, 3)

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Si a 0, la hipérbola se desplaza a la izquierda b unidades.

El centro de la hipérbola es: (-3, 0)

Si b1. Decreciente si a < 1. Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simétricas respecto del eje OY.

Ecuaciones exponenciales Ejercicios de ecuaciones exponenciales Sistemas de ecuaciones exponenciales Ejercicios de sistemas de ecuaciones de ecuaciones exponenciales Límite de la función exponencial

FUNCIONES LOGARÍTMICAS La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

x 1/8

-3

1/4

-2

1/2

-1

1

0

2

1

4

2

8

3

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x 1/8

3

1/4

2

1/2

1

1

0

2

−1

4

−2

8

−3

Propiedades de las funciones logarítmicas Dominio:

Recorrido:

Es continua. Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a>1. Decreciente si a