SUMA DE MONOMIOS Y POLINOMIOS LA NOCIÓN CLÁSICA DEL POLINOMIO Un ejemplo sencillo : Situémonos en el conjunto R, que es del álgebra elemental, y denominemos “x” un número real cualquiera (lo cual, como recordamos, se escribe x  R). He aquí un ejemplo de cálculo susceptible de ser efectuado sobre los números como x. Supongamos que x designa una longitud indeterminada (medida en metros); entonces x 3

2

designará la

superficie de un cuadrado de lado x y x el volumen de un cubo de arista x. Imaginemos que una persona compra : Una curda cuya longitud equivale tres veces a la longitud de x, es decir 3x metros y cuyo precio es de 2 soles el metro; esta cuerda cuesta pues : 3x . 2 = 6x soles 2

Un tablero de contrachapado de superficie 2x (en metros cuadrados), al precio de 12 soles el metro 2

2

cuadrado; por lo tanto, este tablero cuesta 2x . 12 = 24x soles. 3

Un tonel de vino de capacidad igual a x (en metros cúbicos), al precio de 2 soles el litro (de 2000 soles el 3

metro cúbico, puesto que en un metro cúbico hay 1000 litros); cueste 2000x soles. Después de estas compras, le quedan 50 soles se pide expresar la suma que esta persona tenía inicialmente. Es perfectamente evidente que esta suma depende de x y que no se puede conocer, puesto que x es indeterminado; sin embargo puede expresarse en soles bajo la forma : 50 + 6x + 24x

2

+ 2000x

3

(1)

Una expresión como (1) se denomina polinomio de una indeterminada (la indeterminada es x); se representa con frecuencia por P(x), que se lee “P de x” (P es la inicial de la palabra “polinomio”). Las compras de una segunda 2

persona llevarían a establecer, por ejemplo, el polinomio : P1(x) = 30 + 2x - 15x + 50x 2

3

2

El signo “-” delante de 15x significa una deuda equivalente a la suma de 15x soles. Para otra persona 2

podría tenerse : P2(x) = 15 – 2x + 2x , etcétera. Lo que distingue de los polinomio P, P1, P2, ……, no es la presencia de la indeterminada x a la potencia 1, a la potencia 2, etc., sino el conjunto de coeficientes : (50 , 6 , 24 , 2000) para el primer polinomio (30 , 2 , -15 , 50) para el segundo polinomio (15 , -2 , 3) para el tercer polinomio Para terminar, es posible realizar, por supuesto, operaciones con los polinomios como P + P1 o P . P1. Estas observaciones no llevarán a una definición algo más general de los polinomios. En lo que sigue, x definirá siempre la magnitud indeterminada sobre la que se calcula, y los coeficientes se indicarán mediante letras minúsculas como a, b, c, … o -para no agotar demasiado aprisa el alfabeto- mediante minúsculas afectadas por un índice, es decir, por un número entero (0, 1, 2, …). Escrito en caracteres pequeños en la parte inferior y a la derecha de una letra : a1 se lee “a uno” o “a índice 1”. La notación por medio de índices, que ya nos es familiar, atemoriza a veces a los no matemáticos. Sin embargo, no tiene nada de misterioso : simplemente es un medio cómodo de ordenar las letras del alfabeto.

92

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Y

Cuando algún sumando es negativo,

POLINOMIOS

suele incluirse dentro de un paréntesis





para indicar la suma; así :

La Suma o Adición : Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). Así, la suma de a y b es a + b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas dadas : a y b. La suma de a y –b es a – b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones dadas : ay – b.

3a + (-2b) La suma será : 3a – 2b 4.

Tendremos : 7a + (-8b) + (-15a) + 9b + (-4c) + 8 7a – 8b – 15a + 9b – 4c + 8 -8a + b – 4c + 8

Carácter General de la Suma Algebraica : En Aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en Álgebra la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o disminución, ya que hay sumas algebraicas como la del último ejemplo, que equivale a una resta en Aritmética. Resulta, pues, que sumar una cantidad negativa equivale a restar una cantidad positiva de igual valor absoluto. Así, la suma de m y –n es m – n, que equivale a restar de m el valor absoluto de –n que es n. La suma de -2x y -3y es -2x – 3y, que equivale a restar de -2x el valor absoluto de -3y que es 3y.



(minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo. Si

restar

b

Regla General para Restar : Se escribe el minuendo

con

sus

propios

signos

y

a

continuación el sustraendo con los signos cambiados

y

se

reducen

los

términos

semejantes, si los hay.

términos semejantes si los hay.

I.

RESTA DE MONOMIOS 1. De -4 restar 7

SUMA DE MONOMIOS

Escribimos el minuendo -4 con su propio

1. Sumar : 5a, 6b y 8c

2

2

2

3

3a b + 4ab + a b + 7ab + 6b Reduciendo los términos semejantes, queda : 2

4a b + 11ab + 6b

a

continuación

el

-4 – 7 = -1 En efecto : -11 es la diferencia porque sumada con el sustraendo 7 reproduce el minuendo -4 : -11 + 7 = -4

3

2. Sumar : 3a b , 4ab , a b , 7ab y 6b Tendremos : 2

y

la resta será :

El orden de los sumandos no altera la suma. Así, 5a + 6b + 8c es lo mismo que 5a + 8c + 6b o que 6b + 8c + 5a. Esta es la Ley Conmutativa de la suma. 2

signo

sustraendo 7 con el signo cambiado y

Los escribimos unos a continuación de otros con sus propios signos, y como 5a = +5a , 6b = +6b y 8c = +8c la suma será: 5a + 6b + 8c

2

queremos

efecto : a – b + b = a.

con sus propios signos y se reducen los

2

(minuendo)

el sustraendo b reproduce el minuendo a, y en

se escriben unas a continuación de las otras

2

a

efecto : a – b será la diferencia si sumada con

Para sumar dos o más expresiones algebraicas

2

de

(sustraendo), la diferencia será a – b. en

REGLA GENERAL PARA SUMAR

I.

La Resta o Sustración : Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos

 

Suma : 7a , -8b , -15a , 9b , -4c y 8

2. Restar 4b de 2a Escribimos el minuendo 2a con su signo y a continuación el sustraendo 4b con el signo cambiado y la resta será : 2a – 4b

3

3. Sumar : 3a y -2b 93

En efecto : 2a – 4b es la diferencia,

al

sustraendo

porque sumada con el sustraendo 4b

continuación

reproduce el minuendo :

escribimos +4.

-4. del

Por

eso

minuendo

a 7

2a – 4b + 4b = 2a 3 4

2

5. De 7x y

2

3. Restar 4a b de -5a b Escribo

el

minuendo

3 4

restar -8x y

Tendremos : 2

-5a b

y

3 4

a

3 4

3 4

3 4

7x y – (-8x y ) = 7x y + 8x y

2

3 4

continuación el sustraendo 4a b con el

= 15x y

signo cambiado y tengo : 2

2

2

-5a b - 4a b = -9a b

6. De -

2

-9a b es la diferencia, porque sumada

Tendremos : 3 3 1 1 - ab – (- ab) = - ab + ab 2 2 4 4 1 = ab 4

2

con el sustraendo 4a b reproduce el minuendo : 2

2

2

-9a b + 4a b = -5a b 4. De 7 restar -4 Cuando el sustraendo en negativo suele incluirse dentro de un paréntesis

3 1 ab restar - ab 2 4



Carácter General de la Resta Algebraica : En Aritmética

para indicar la operación, de este

la

resta

siempre

implica

disminución, mientras que la resta algebraica

modo distinguimos el signo – que indica

tiene un carácter más general, pues puede

la resta del signo – que señala el

significar disminución o aumento.

carácter negativo del sustraendo. Así :

Hay restas algebraicas, como las de los

7 – (-4) = 7 + 4 = 11

ejemplos 4 y 5 anteriores, en que la diferencia es mayor que el minuendo.

El signo – delante del paréntesis está

Los ejemplos 4, 5 y 6 nos dicen que restar

para indicar la resta y este signo no

una cantidad negativa equivale a sumar la

tiene más objeto que decirnos, de

misma cantidad positiva.

acuerdo con la regla general para restar, que debemos cambiar el signo

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.

Si el polinomio es de 4º grado. Hallar “m” : P(x) =

1+m

7 x

+

2+m

6x

3.

monomios es correcta :

3+m

5x

+

Indicar cuál de las siguientes sumas de I.

2.

a) 0

b) 2

d) 3

e) 4

II.

c) 1

2

2

2

2

2

2

3

3

2

3

4

9

3x + 2x + bx = 7x

, b > 30

7x + 2x + 5x = 14x

III. 3x + 5x + 7x = 15x

Sumar los siguientes monomios : 2 3 5

a) Sólo I

b) Sólo II

d) I y III

e) Ninguna

c) I y II

M(x, y) = ax y z

2 3 4

N(x, y) = bx y z

5

a) a + b 5

b) az + bz 4

d) az – bz

94

Indicar su coeficiente :

5

c) a – b

4.

Si

al

2 3

ax y

sumar

2 3

+ bx y a  b  7c A= 9

los

siguientes 2 3

monomios

resulta 2cx y . Indicar :

4

e) az + bz

a) 1

b) 2

d) 3

e) 2c

c) c

5.

2

Se tiene : M(x) = 3x + 2x + 1

10.

2

2 3

Si al polinomio : P(x) = 3x y + 5x 8 4

N(x) = 7x + 2x + 3

resta 2x y 2

m+3 4

y se le

el grado disminuye. Indicar el

valor de “m”.

Se sabe que : 2M(x) + 3N(x) = ax + bx + c. Indicar : a + b + c a) 10

b) 28

d) 48

e) 58

c) 38 11.

6.

3 2

2

2

7.

e) 5

c) 2

Se realizan las siguientes sumas de términos

M=

x

b

c

b

pqr pqr

3 3

3x y

2

8x + mx + nx

3 2

2x y + px y

ax y

A

B

3 3

d) 6

a

2

3 2

b) 1

semejantes : px + qx + rx = 5pqrx . Indicar

Del grafico, relacionar A con B

ax y + 7x y

a) 0

3 3

12.

a) 3

b) 5

d) 9

e) 6

Hallar la expresión equivalente más simple de : A=

Indicar la suma de cada una de las siguientes

c) 7

3(x  7 y)  4(2x  5y)  6x 3(x  y)  4(x  3y)  2(x  2y)  6y

sumas de monomios : I.

2

2

2

3

2

3x y + 5xy + 7x y + 5x + 20xy + 3xy

2

a) x + y

b) x/y

d) 1

e) 1/5

c) x – y

2

+ 7x y II.

2

2

2

8ab + 7a b + 22ab + 50ab + 3a b + 4ab

2

13.

En

la a

+ 3ab

mx +

3

2

2

3

2

2

III. 3m + 3k + 5pm + 20m + 32k + 7mp + 2

3

8pm + 2m IV.

2

2

2

2

2

2

3p y + 5px + 7p y + 5x p + 10px + 13p y 2

siguiente

adición

de

monomios

m 4-a b-3 x = bx . Indicar : 4

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

:

m a b2

c) 3

+ 7x p 14. 8.

Dados los polinomios : P(x) = 3x + 2

Indicar la suma de los siguientes monomios y polinomios :

Q(x) = 5x + 3 Hallar : E=

9.

5P(x)  3Q(x)  19

b.

b) 20

d) 40

e) 50

t2 = 5

los

términos m+3

3x

:

=

7

2m-5

6x

, se sabe que : t1 + t2 =

Indicar el calor de 2m + 1 a) 15

b) 16

d) 18

e) 19

2

,

3 pt2.

3

2

3

3

3

2

3

2

3

3

2

3

3

2

-7m n + 4n , m + 6mn – n , -m + 7m n + 5n

c) 30

t1

3

x + xy + y , -5x y + x – y , 2x – 4xy – 5y

x

a) 10

Sean

a.

3

4

2

4

6

3

2

2

c.

x – x + x , x – 4x + 5 , 7x – 4x + 6

d.

a + a + 6, a – 3a + 8 , a – a – 14

e.

x + x – 9 , 3x – 7x + 6 , -3x – 4x + 5

f.

a + a , a + 5 , 7a + 4a , -8a – 6

g.

x – x y , -5x y + 6xy

5

5

3

4

3

3

2

2 2

2

2

2

4

3

2

3

3

3

, -4xy

4

+ y ,

2 2

-4x y – 6 c) 17

h.

2

2

2

2

2

xy + x , -7y + 4xy – x , 5y – x + 6xy , 2

-6x – 4xy + y

2

95

i.

3

2

3

2

2

3

3

a – 8ax + x , 5a x – 6ax – x , 3a – 2

3

3

2

3.

monomios es correcta :

3

5a x – x , a + 14ax – x j.

2

2

3

3

2

3

3

-8a m + 6am – m , a – 5am + m , -4a + 2

2

2

2

4a m – 3am , 7a m – 4am – 6 k.

5

3 2

4

4

2 3

4

5

4

l.

5

3 2

x – x y – xy , 2x y + 3x y – y , 3x y – 5

5

4xy – y , x + 5xy + 2xy 5

6

2

4

3

2

5

2

3

2 2

3

2 2

- 3b

4

3

m. a – b , -a b + a b – ab , -3a + 5a b – 2 2

3

4a b , -4a b + 3a b n.

3

3

2

4

2

2

3

4.

3

m – n + 6m n , -4m n + 5mn + n , m – 3

2

3

x

x-2

x-1

2

o.

a – 3a

, 5a

+ 6a

x-3

, 7a

x-4

+a

x+2

x

x+3

4a q.

x+1

x+3

– a +a

x+2

– 5a

, -3a x-1

,a

x-2

–a

x-1

– a

x-2

+a

x

, -a + 5.

3

3 2

3

a) Sólo I

b) Sólo II

d) I y II

e) Ninguna

8

c) Sólo III

2

2

Si al sumar los siguientes monomios mx + nx

mnp p

a) 1

b) 2

d) p

e) 2p

c) 3

Se tiene : P(x) = 3x + 2

m+n

5 1 2 1 2 xy x + y 4 3 6

a -

3

3 2

Se sabe que : P(x) + 2Q(x)  mx + n. Hallar :

6. s.

3 2

Q(x) = 5x + 3

1 2 1 2 1 a + ab b 20 12 3

,

3 2

x+2

+a

3 5 2 2 2 1 1 2 1 2 x y + xy , - xy x + y 4 2 3 8 6 6

r.

ax y + bx y + cx y = (a + b + c)x y

,a

2 2 1 1 2 5 2 1 2 1 a + ab b , a ab + b , 10 2 3 5 6 6 -

II.

x-1

– 13a a

15

2

x-3

p.

5

resulta px . Calcular : E =

3

n + 6mn , -2m – 2m n + n x-3

5

3x + 6x + 7x = 16x 2

– 4a – 5a + 6 4

5

I.

III. mx + nx + px = (m + n + p)x

a + a + a , a + a + 6 , 3a + 5a - 8 , -a 4

Indicar cuál de las siguientes sumas de

3 2 5 2 1 2 3 3 ab + b , a b ab – 2b , 2 8 6

a) 1

b) 2

d) 20

e) 21

c) 10

En el siguiente grafico, relacionar las sumas de A con los resultados de B.

3 3 1 3 1 2 a – a b b 2 4 5

2

2xy

2

3mx + 5x 5xy + mnxy

2

8x y 2

ax y + bx y

7x

A

B

2

2

TAREA DOMICILIARIA

1.

Si el polinomio es de 5º grado. Hallar “p” : P(x) =

3

1+p

3x

+

2+p

6x

a) 0

b) 2

d) 1

e) 4

4+p

7 x

+

7.

Indicar la suma de cada una de las siguientes sumas de monomios.

c) 3

I.

3 3

2

2

96

b) 3y + 5y e) 3y

2

3

c) 3x + 5y

2

IV.

2

2

2 2

2

3

2

4pq + 7p q + 10pq + 8p + 33p q + 16pq + 18p

2

3

2

mn + mn + m n + 3mn + 4mn + 5n m + 7nm

III.

3 2

N(x) = 5x y

d) 5y

2

2

Sumar los siguientes monomios : M(x) = 3x y

a) 8

2

21a b II.

2.

2

3ab + 5a b + 7ab + 3a b + 4ab + 7ab +

2

3 2

2

2

3p y + 22xy + 21xy + 3xy + 22p y + 35xy

8.

Dados los polinomios : M(x) = 3x + 27

d) 3x/y

e) 2x/y

N(x) = 18x + 3 Hallar : E =

9.

6M(x)  N(x)

13.

3

En

la

siguiente

adición

de

monomios

:

c a c 6-a b-2 x + x = bx . Hallar : (a + b + c) 3 2

a) 50

b) 51

d) 53

e) 54

Sean los términos : t1 =

c) 52

4

5+n

x

5

3

, t2 =

4

12

x

se

14.

a) 14

b) 12

d) 20

e) 24

c) 10

Sumar :

sabe que : t1 + t2  3t1. Indicar el valor de n+1

10.

a) 2

b) 4

d) 8

e) 10 2

3

m+5

Si al polinomio : Q(x) = 5x + 7x + 8x 10

resta 2x

se le

el grado absoluto disminuye.

Indicar el valor de : E =

11.

c) 6

a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

m 1 c) 2

m,n

b.

m . –n

c.

-3a , 4b

d.

5b , -6a

e.

7 , -6

f.

-6 , 9

g.

-2x , 3y

h.

3x + x , -4x + 5 , -x + 4x – 6

i.

x – 3xy + y , -2y + 3xy – x , x + 3xy –

n

p

p

E=

abc abc

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a – 3ab + b , -5ab + a – b , 8ab – b – 2

2a

2

2

2

k.

-7x + 5x – 6 , 8x – 9 + 4x , -7x + 14 – x

l.

a – 4a + 5 , a – 2a + 6 , a – 7a + 4

3

2

b) 4

d) 7

e) 9

c) 6

Hallar la expresión equivalente más simple de :

3

2

3

2

2

3

4x 2  5xy  7x 2  6xy  3x 2

b) 2

c) 1

3

3

2

2

3

2

n.

a – b ,5a b – 4ab , a – 7ab – b

o.

1 2 1 1 1 2 x + xy , xy + y 2 3 2 4

p.

a +

q.

x +

4(x 2  y 2 )  3(x 2  y 2 )  (x 2  7 y 2 )

a) 2y/x

2

3

m. –x + x – 6 , x – 7x + 5 , -x + 8x – 5

a) 2

E=

2

2

Se realizan las siguientes sumas de términos m

3

y j.

semejantes : ax + bx + cx = 7abcx . Indicar

12.

a.

r.

2

2

3

1 1 1 2 1 1 2 ab , - ab + b , - ab b 2 4 2 4 5 2 2 2 5 1 2 xy , - xy + y , - xy + y 3 3 6 6

2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x y , - xy + y , xy + y 10 2 3 4 5 6

97