Spezielle stetige Verteilungen ”Rechteckverteilung oder stetige Gleichverteilung ”Exponentialverteilung ”Normalverteilung ”Approximationen ”Chi-Quadrat-Verteilung ”Studentverteilung ”Fisherverteilung Prof. Mohr / Dr. Ricabal

Spezielle stetige Verteilungen

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Bibliografie ” Bleymüller / Gehlert / Gülicher Verlag Vahlen Statistik für Wirtschaftswissenschaftler ” Bleymüller / Gehlert Verlag Vahlen Statistische Formeln, Tabellen und Programme ” PowerPointPräsentationen (Prof. Mohr/ Dr. Ricabal) ” Vorlesungsskript für Statistik I (Dr. Pu Chen) ” Vorlesungsskript für Statistik II (Prof. Mohr, Private Hanseuniversität Rostock) ” http://www.wiwi.uni-rostock.de/vwl/statistik/download/ba/

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2

Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung Die Dichtefunktion einer Rechtecksverteilung bzw. einer stetigen Gleichverteilung ist über einem (stetigen) Intervall [a, b] konstant, d. h. f(x)

⎧k a ≤ x ≤ b 1 f ( x / a ; b) = ⎨ mit k = b-a ⎩ 0 sonst

k

∫

∞

∫

a

−∞

b x

a

Beweis: a

b

∞

−∞

a

b

f ( x )dx = 1 ⇔ ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = 1 b

∞

b

a

b

a

0dx + ∫ kdx + ∫ 0dx = 1 ⇔ ∫ kdx = 1

−∞

kx a = 1 ⇔ k (b − a ) = 1 ⇒ k = b

1 b−a

Beispiel: Glückrad mit a=0° und b=360° Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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Stetige Gleichverteilung Verteilungsfunktion:

⎧0 ⎪x − a F( x / a; b) = ⎨ ⎪b − a ⎩1

F(x)

1

xb

a

b x

a+b 2

∞

Erwartungswert: E(X) = ∫−∞ x ⋅ f ( x )dx = Varianz:

E(X)

Var (X) = E[X − E (X)] = 2

(b − a )2 12

Aufgabe: Beweisen Sie, dass die vorigen Formeln gelten. Nutzen Sie dabei als Beispiel die Berechnung von k in der vorigen Folie. Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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Beispiel: Stetige Gleichverteilung Eine Person, die selten die Straßenbahn einer Großstadt benutzt, weiß nur, dass diese alle 10 Minuten fährt. Sei X die Wartezeit (in Minuten). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person zwischen 4 uns 7 Minuten warten muss? Wie lange muss die Person durchschnittlich warten? Es gilt: X ~ G (a = 0; b = 10) 7

∞

W (4 ≤ X ≤ 7) = ∫ f ( x )dx =F(7) − F(4)

E(X) = ∫ x ⋅ f ( x )dx =

7 4 3 = − = = 0,3 10 10 10

=

−∞

4

0 + 10 = 5 Minuten 2

⎧1 ⎪ 0 ≤ x ≤ 10 f ( x / 0;10) = ⎨10 ⎪⎩ 0 sonst

F(x)

1

⎧0 x < 0 ⎪x F( x / 0;10) = ⎨ 0 ≤ x ≤ 10 ⎪10 x > 10 ⎩1 Prof. Mohr / Dr. Ricabal

a+b 2

0

4

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7 10 5

Exponentialverteilung Eine stetige Zufallsvariable X ist exponentialverteilt mit dem Parameter λ > 0, wenn sie folgende Dichtefunktion besitzt:

⎧ 0 f E ( x / λ) = ⎨ − λx ⎩λ ⋅ e

für x < 0 für x ≥ 0

λ

f(x)

Verteilungsfunktion:

⎧ 0 FE ( x / λ) = W (X ≤ x ) = ⎨ − λx ⎩1 − e

für x < 0 für x ≥ 0

1

x

F(x)

W (X > x ) = 1 − W (X ≤ x ) = 1 − F( x ) = e − λx

x

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

E(X) =

1 λ

; Var (X) =

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1 λ2

und σ(X) =

1 ⇒ E (X) = σ(X) λ

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x

Bemerkung zur Exponentialverteilung Die Exponentialverteilung spielt eine wichtige Rolle zur Beschreibung von: ” ”

Lebensdauer insbesondere bei Objekten, die wenig altern, für den Zeitraum zwischen zwei aufeinander folgenden Ereignissen einer Poissonverteilung. Ist die Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit poissonverteilt mit dem Parameter µ (durchschnittliche Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit), dann ist die Zeit zwischen zwei aufeinander folgenden Ereignissen exponentialverteilt mit dem Parameter λ = µ (d. h mit dem durchschnittliche Zeit von 1/λ = 1/µ Zeiteinheiten).

Beispiele: ” Dauer von Telefongesprächen ” Abstand der Kundenankünfte an einem Bankschalter ” Lebensdauer von Glühlampen oder Aggregaten Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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Beispiel: Exponentialverteilung In einer Versicherung treten im Durchschnitt 4 Großunfälle pro Jahr nach der Poissonverteilung auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zeit zwischen zwei aufeinander folgenden Großunfällen: a) Höchstens 1 Jahr beträgt? b) Zwischen einem halben und einem Jahr liegt? c) Wie groß ist die mittlere Zeitspanne? Sei X die Zeitspanne [in Jahre] zwischen zwei Großunfällen. Es gilt: X ~ E (λ = 4) 1

a ) W(X ≤ 1) = ∫ f ( x )dx = FE (1 / 4) = 1 − e − 4⋅1 = 1 − 0,0183 = 0,9817 −∞

b) W(0,5 ≤ X ≤ 1) = FE (1 / 4) − FE (0,5 / 4) = (1 − e −4⋅1 ) − (1 − e −4⋅0,5 ) = e − 2 − e − 4 = 0,1353 − 0,183 = 0,1170

c) E(X) =

1 1 = Jahr λ 4

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Asymmetrie der Exponentialverteilung Bei einer symmetrischen Verteilung liegen die Werte je zur Hälfte links und rechts des Erwartungswerts (Me = µ). Für die Exponentialverteilung gilt: W(X ≤ E(X)) = W(X ≤ 1/λ) = F(1/λ) = 1 - e-λ·(1/ λ) = 1 - e-1 = 0,6321 ”63,21% der Werte einer Exponentialverteilung liegen links von E(X). Sie ist eine asymmetrische Verteilung. ”Da mehr als die Hälfte der Werte links des Erwartungswerts liegt, ist die Verteilung linkssteil bzw. rechtsschief (Me < µ). ”Die Rechtsschiefe der Exponentialverteilung ist unabhängig von der Größe des Parameters λ. Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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Beispiel: Exponentialverteilung Die Reparaturzeit von Maschinen eines bestimmten Typs sei eine exponentialverteilte Zufallsgröße mit dem Parameter λ = 0,25 h-1. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? a) Die zu erwartende Reparaturzeit einer zufällig ausgewählten Maschine beträgt 4 h. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Reparaturzeit über dem Erwartungswert für die Reparaturzeit liegt, ist unabhängig vom Parameter λ. c) Mehr als 50 % der Reparaturen dauern länger als 3 Stunden. d) Nach höchstens sechs Stunden ist die Reparatur der Maschine mit 90 % Sicherheit beendet.

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Beispiel: Lösung Teil a) bis d) a) E(X) = 1/ λ = 1/(0,25 h-1) = 4 h ⇒ Richtig. b) W(X > E(X)) = 1 - W(X ≤ E(X)) = 1 - FE(E(X)) = 1 - FE(1/ λ) = 1 - (1 - e– λ ·(1/ λ)) = 1 - (1 - e–1) = e–1 = 0,3679 ⇒ Richtig, unabhängig vom Wert λ dauert eine Reparatur in etwa 37 % aller Fälle länger als im Durchschnitt. c) W(X > 3) = 1 - W(X ≤ 3) = 1 - FE(3) = 1 - (1 - e–0,25 · 3) = e–0,75 = 0,472 ⇒ Falsch, über 3 h nehmen nur 47,2 % der Reparaturen in Anspruch, d.h. 53 % der Reparaturen sind in höchstens 3 h erledigt. d) W(X ≤ x) =0,9 =1 - e–0,25 · x ⇒ e–0,25 · x =0,1 ⇒ ln(0,1) =–0,25 · x ⇒ x =9,21 oder: –0,25 · 6 –1,5 W(X ≤ 6) = FE(6) = 1 - e = 1 - e = 1 - 0,223 = 0,777 ⇒ Falsch, mit 90 % Sicherheit ist einer Reparatur erst nach 9,21 h erledigt, nach 6 h sind nur 77,7 % aller Reparaturen erledigt.

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Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung Sei X ~ E(λ). Seien A = (X > t0 +t) und B = (X >t0) zwei Ereignisse, die mit Hilfe von X dargestellt werden. Zu berechnen ist die bedingte Wahrscheinlichkeit W(A|B). Es gilt:

W (X > x ) = 1 − W (X ≤ x ) = 1 − F( x ) = e − λx

W (A | B) =

=

e

−λ( t +t 0 )

e

− λt 0

W (A ∩ B) W (X > t + t 0 ) = W (B) W (X > t 0 )

A

B 0

t0

t0+ t

X

= e − λ ( t + t 0 ) − ( − λt 0 ) = e − λ ( t + t 0 − t 0 ) = e − λt = W ( X > t )

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Glühbirne eine Lebensdauer t überschreitet, hängt nicht von der Zeit t0, die sie schon überlebt hat, sondern nur von der Dauer t ab. Die Verteilung „vergisst“ einfach, was vorher passiert ist. Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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Wichtigkeit der Normalverteilung Die Nomalverteilung ist sowohl in der Theorie als auch in der Praxis die wichtigste statistische Verteilung. Einige Gründe dafür sind: ” Viele empirische Beobachtungen, insbesondere bei Massendaten, genügen approximativ einer Normalverteilung (z. B. Körpergröße und Gewichte erwachsener Personen, Laufleistung von Autoreifen, etc). Es wirken dabei viele Faktoren mit relativen geringem Einfluss unabhängig von einander. ” Die Normalverteilung kann zur Approximation diskreter Verteilungen verwendet werden (Binomial-, Hypergeometrische-, Poission-Verteilung). ” Der Mittelwert ⎯x einer Stichprobe vom Umfang n ist für hinreichend großen n approximativ normalverteilt (Zentraler Grenzwertsatz), unabhängig von der Ausgangverteilung. ” Aus der Normalverteilung lassen sich andere wichtige Verteilungen herleiten: z. B. die t-Verteilung, F-Verteilung und die χ2-Verteilung. Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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Normalverteilung Eine Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern µ und σ2 mit σ > 0, wenn die Dichtefunktion folgender Gleichung genügt:

f n ( x / µ; σ 2 ) =

1 2πσ 2

⋅e

1 ⎛ x −µ ⎞ − ⎜ ⎟ 2⎝ σ ⎠

Für X~N(µ; σ2) gilt:

1

Erwartungswert: E(X) = µ

2

für alle - ∞ < x < ∞ f(x)

2πσ2

Varianz: Var(X) = σ2 Standardabweichung: σ(X) = σ Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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x

µ 14

Normalverteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariable hat die Gestalt: x

Fn ( x / µ; σ ) = W (X ≤ x ) = ∫ f n ( v / µ; σ ) ⋅ dv = 2

x

2

−∞

∫

−∞

Sie stellt die Fläche unter der Dichtefunktion dar, die links von x liegt.

1 2πσ 2

⋅e

1 ⎛ v −µ ⎞ − ⎜ ⎟ 2⎝ σ ⎠

2

⋅ dv

F(x) 1

0,5

0 x

µ Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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Kurvendiskussion für die Dichte 1

f n ( x / µ; σ 2 ) =

⋅e

2πσ 2

1 ⎛ x −µ ⎞ − ⎜ ⎟ 2⎝ σ ⎠

2

”

Symmetrisch um µ: f ( x − µ) = f ( x + µ)

”

Maximum an der Stelle x = µ mit f (µ) =

”

Wendepunkte an den Stellen x1 = µ - σ und x2 = µ + σ mit

f (µ ± σ) = ”

1 2πσ

2

e

−

1 2

1

1 2πσ2

f(x)

2πσ2

Glockenform x

µ Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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Wirkung der Änderung von µ Eine Änderung von µ bewirkt eine Lageverschiebung entlang der x-Achse X1~N(2; 1)

0.0

0.0

0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

0.3

0.4

0.4

X1~N(0; 1)

-4

-2

0

2

4

-2

0

x

2

4

6

x

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Wirkung der Änderung von σ

0.4

Eine Änderung von σ bewirkt eine Formänderung (Wölbung flacher oder höher)

f (µ) =

1 2πσ2

0.2

0.3

X1~N(0; 1)

0.0

0.1

X2~N(0; 22)

-4 Prof. Mohr / Dr. Ricabal

-2

0 x

2

4

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Standardisierung Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern µ und σ2. Die lineare Transformation Z = (X – µ)/σ heißt Standardisierung. Es kann bewiesen werden, dass Z auch einer Normalverteilung mit E(Z) = 0 und Var (Z) = 1 genügt. Es gilt dann: Dichtefunktion: 1

− z2 1 f N (z) = ⋅e 2 2π

Verteilungsfunktion: z

FN (z) =

∫

−∞

1

− v2 1 ⋅ e 2 ⋅ dv 2π

W ( Z ≤ −z) = W ( Z ≥ z) = 1 − W ( Z < z) = 1 − W( Z ≤ z) Prof. Mohr / Dr. Ricabal

FN (−z) = 1 − FN (z)

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Ablesen aus der Standardnormalverteilung - Tabellen Zu bestimmen sind: a) W(Z ≤ 1,645) ⇒ FN (1,645) = 0,9500

(Tabelle 12, Seite 125)

b) z , für die W(Z ≤ z) = FN(z) = 0,975 gilt. ⇒ z = 1,96 (Tabelle 12, Seite 126) c) W(-1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = FN(1,96) - FN(-1,96) = FN(1,96) – [1- FN(1,96) ] =2 FN(1,96) -1 = 2.0,975 – 1 = 0,95 (Tabelle 12, Seite 126) oder direkt aus der Tabelle 14 W(-1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 d) W(-z ≤ Z ≤ z) = 0,90 ⇒ z = Prof. Mohr / Dr. Ricabal

(Tabelle 14, Seite 131)

1,64 + 1,65 = 1,645 (Tabelle 14, Seite 131) 2

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Berechnung von Wahrscheinlichkeiten einer Normalverteilung Zur Berechnung von entsprechenden Wahrscheinlichkeiten liegt die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung tabellarisch vor. Jede beliebige Normalverteilung lässt sich in die Standardnormalverteilung umrechnen.

X ~ N(µ; σ 2 ) ⇒ Z = W (X ≤ a ) = W (

X−µ ~ N(0;1) σ

X −µ a −µ a −µ a −µ ≤ ) = W(Z ≤ ) = FN ( ) σ σ σ σ

a −µ X −µ b−µ ) ≤ ≤ σ σ σ a −µ b−µ b−µ a −µ = W( ≤Z≤ ) = FN ( ) − FN ( ) σ σ σ σ W (a ≤ X ≤ b ) = W (

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Beispiel a): Normalverteilung Das Gewicht von Schokoladetafel ist approximativ normalverteilt mit µ = 100 [g] und σ2 = 25 [g2], d. h. X ~ N(100; 25). Man berechne:

112,6 − 100 ) 5

a) W (X ≤ 112,6) = Fn (112,6 / 100; 25) = FN (

= FN (2,52) = 0,9941 (Tabelle 12, Seite 127)

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Beispiel b): Normalverteilung Das Gewicht von Schokoladetafeln ist approximativ normalverteilt mit µ = 100 [g] und σ2 = 25 [g2]. Man berechne: b)

92 − 100 ) 5 = FN (−1,6) = 1 − FN (1,6) = 1 − 0,9452 = 0,0548 W (X ≤ 92) = Fn (92 / 100; 25) = FN (

(Tabelle 12, Seite 125)

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Beispiel b): Normalverteilung Das Gewicht von Schokoladetafeln ist approximativ normalverteilt mit µ = 100 [g] und σ2 = 25 [g2]. Man berechne: c)

W (90 ≤ X ≤ 106) = Fn (106 / 100; 25) − Fn (90 / 100; 25) 106 − 100 90 − 100 ) − FN ( ) = FN (1,2) − FN (−2) 5 5 = FN (1,2) − [1 − FN (2)] = 0,8849 − [1 − 0,9772] = 0,8621

= FN (

(Tabelle 12, Seite 124 und 126)

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Approximationen Die Normalverteilung kann unter bestimmten Bedingungen als Approximation von einigen anderen Verteilungen genutzt werden. X~H(N; n; M)

X~B(n; θ)

θ = M/N

X~P(µ)

µ≥9

n ≥ 30 n θ (1- θ) ≥ 9

0,1 ≤ θ ≤ 0,9 n ≥ 30 n/N < 0,05

µ=nθ σ2 = n θ (1- θ)

µ=nθ σ2 = n θ (1 – θ) (N-n)/N-1)

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σ2 = µ

X~N(µ;

σ2)

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Yates Korrektur Wenn eine diskrete durch eine stetige Verteilung (hier die Normalverteilung) approximiert werden soll, ist eine Stetigkeitskorrektur vorzunehmen:

Fdiskret ( x ) ≈ Fn ( x + 0,5 / µ; σ 2 ) = FN ( ⇨ FB ( x / n; θ) ≈ FN (

x + 0,5 − µ ) σ

⇨ FH ( x / N; n; M ) ≈ FN ( ⇨ FP ( x / µ) ≈ FN ( Prof. Mohr / Dr. Ricabal

mit

x + 0,5 − µ ) σ

Yates-Korrektur

µ = nθ und σ = nθ(1 - θ)

M N-n x + 0,5 − µ ) mit θ = ; µ = nθ; σ 2 = nθ(1 - θ) N N -1 σ

x + 0,5 − µ ) σ

mit σ 2 = µ ⇒ σ = µ

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Beispiel: Approximation der Hypergeom. Verteilung durch die Normalverteilung Von 2000 Studierenden eines Fachbereiches bestreiten 600 ihr Studium vollständig aus eigenen Mitteln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 30 zufällig und ohne Zurücklegen ausgewählten Studenten 9 bis 12 zu dieser Gruppe gehören? (1) Exakter Ansatz: Hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N = 2000, M = 600 und n = 30 (2) Approximation der Hypergeometrischen Verteilung durch die Normalverteilung. Approximationsregeln: n ≥ 30; n < 0,05 N = 400; θ = M/N = 600/2000 = 0,3; 0,1 ≤ θ ≤ 0,9 (Fortsetzung in der nächste Folie) Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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Beispiel: Approximation der Hypergeom. Verteilung durch die Normalverteilung (1) Exakter Ansatz: Hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N = 2000, M = 600 und n = 30

W (9 ≤ X ≤ 12) = 0,48644 (genaue berechnung mit R) (2) Approximation der Hypergeometrischen Verteilung durch die Normalverteilung. θ = 600/2000 = 0,3; µ = n·θ = 30·0,3 = 9; σ2 = n·θ·(1 – θ) (N-n)/(N-1)= 30·0,3·0,7·1970/1999= 6,21

W (9 ≤ X ≤ 12) = FH (12 / N; n; M ) − FH (8 / N; n; M ) 12 + 0,5 − 9 8 + 0,5 − 9 ) − FN ( ) = FN (1,406) − FN (−0,201) 2,49 2,49 = FN (1,406) − [1 − FN (0,201)] = 0,9201 − (1 − 0,5797) = 0,4998 ≈ FN (

(Tabelle 12, S. 126 bzw. S. 122 ) Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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Beispiel: Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung In einer Klinik sollen in einem bestimmten Monat 80 Säuglinge zur Welt kommen. Unter der Annahme, dass der Anteil weiblicher Geburten an allen Geburten langfristig bei 0,49 liegt, berechne man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 80 Säuglingen 35 bis 40 Mädchen befinden. (1) Exakter Ansatz: Binomialverteilung mit den Parametern n=80 und θ=0,49 (2) Approximation durch die Normalverteilung Regel: n·θ·(1-θ) = 80·0,49·(1 - 0,49) = 19,992 ≥ 9 Parameter: µ = n·θ = 80·0,49 = 39,2 und σ² = n·θ·(1-θ)= 19,992.

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Beispiel: Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (1) Exakter Ansatz: Binomialverteilung mit den Parametern n = 80 und θ = 0,49. (Genaue Berechnung mit R) W(35 ≤ X ≤ 40) = 0.05757102 + 0.06914167 + 0.07899811 +0.08588701 + 0.08886650 + 0.08751607 = 0,4679804 (2) Approximation durch die Normalverteilung Parameter: µ=n·θ=80 · 0,49= 39,2 und σ²=n · θ · (1-θ)= 19,992

W (35 ≤ X ≤ 40) = FB (40 | n; θ) − FB (34 | n; θ) 40,5 − µ 34,5 − µ ) − FN ( ) σ σ = FN (0,291) − FN (−1,051) = 0,6145 − (1 − 0,8534) = 0,4679 ≈ Fn (40,5 | µ; σ 2 ) − Fn (34,5 | µ; σ 2 ) = FN (

(Tabelle 12, S. 122 bzw. S. 124 ) Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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Drei Sigma Regel Wie groß ist der Anteil der Realisierungen einer normalverteilten Zufallsgröße in den zentralen Schwankungsintervallen [µ - k·σ , µ + k·σ] für k = 1, 2, 3? ” W(µ - σ ≤ X ≤ µ + σ) = W(-1 ≤ Z ≤ 1) = 0,6827*

* (Tabelle 14, S. 131)

” W(µ – 2·σ ≤ X ≤ µ + 2·σ) = W(-2 ≤ Z ≤ 2) = 0,9545* ” W(µ – 3·σ ≤ X ≤ µ + 3·σ) = W(-3 ≤ Z ≤ 3) = 0,9973* Im einfachen zentralen Schwankungsintervall liegen 68,27 %, im doppelten ca. 95,45 % und im dreifachen fast alle möglichen Realisierungen (99,73%) einer normalverteilten Zufallsvariablen. Dies gilt unabhängig von den beiden Parametern der Normalverteilung. Es ist als („3-σ-Regel“) bekannt. Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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Drei Sigma Regel. Grafische Darstellung

” W(µ - σ < X < µ + σ) = W(-1 ≤ Z ≤ 1) = 0,6827

” W(µ – 2·σ < X < µ + 2·σ) = W(-2 ≤ Z ≤ 2) = 0,9545 -4

-2

0

68,27 %

2

4

x

” W(µ – 3·σ < X 1 für ν > 2

Für ν = 1 existiert kein Erwartungswert und für ν ≤ 2 keine Varianz. Für ν → ∞ geht die Studentverteilung in die Srtandardnormalverteilung über. Ab ν ≥ 30 kann die Studentverteilung in guter Näherung durch die Standardnormalverteilung approximiert werden. Werte von t zu gegebenen zweiseitigen symmetrischen Flächenanteilen sind tabelliert (Tabelle 17). Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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F-Verteilung Sind U1 und U2 allegemein zwei voneinander unabhängige Zufallsvariable, die Chi-QuadratVerteilungen mit ν1 bzw. ν2 Freiheitsgarden besitzen, dann genügt, wie R. A. Fischer gezeigt hat, der Quotient

U1 ν F= 1 U2 ν2 einer sogenannten F-Verteilung mit ν1 und ν2 Freiheitsgraden. Die Anzahl der Freiheitsgrade sind die Parameter der Verteilung Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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Dichtefunktion der F-Verteilung Die Dichtefunktion der F-Verteilung lautet:

füt f > 0

0.0

0.1

0.2

df(x, 9, 6) 0.3 0.4 0.5

0.6

df(x, 6, 9) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0.7

ν1 ν1 + ν 2 ν1 ⎧ −1 ⎪ Γ( 2 ) ⎛ ν1 ⎞ 2 f2 ⎜ ⎟ ⋅ ⎪ ν1 + ν 2 f F (f / ν1 ; ν 2 ) = ⎨ Γ( ν1 ) ⋅ Γ( ν 2 ) ⎜⎝ ν 2 ⎟⎠ ν1 2 + ( 1 f ) ⎪ 2 2 ν2 ⎪ 0 für f ≤ 0 ⎩

0

5

10

15

0

x

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5

10

15

x

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Erwartungswert und Varianz der F-verteilung Für ν2 > 2 ergibt sich der Erwartungswert E(F) = ν2 / (ν2 – 2) und für ν2 > 4 erhält man die Varianz Var(F) = [2 ν22 (ν1 + ν2 – 2) ] / [ν1(ν2 – 2)² (ν2 – 4)] Für unterschiedliche Freiheitsgrade ν1 und ν2 sind die Prozentpunkte der F-Verteilung tabelliert (Tabellen 18 und 19). Prof. Mohr / Dr. Ricabal

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