GUIA 8

Soluciones en series de potencias El Teorema Fundamental de existencia y unicidad de soluciones permite definir una funci´on x = x(t) como la u ´nica soluci´on de un problema de valores iniciales. Un problema de valores iniciales en el punto t = t0 consiste en una ecuaci´on diferencial de orden n   dn x dx dn−1 x = f t, x, , . . . , n−1 dtn dt dt junto con n condiciones de la forma x(t0 ) = x0 ,

dn−1 x dx (1) (n−1) (t0 ) = x0 , . . . , (t0 ) = x0 . dt dtn−1

Muchas de las llamadas funciones especiales, que aparecen en relaci´on con diversos problemas tanto de la matem´atica pura como de la matem´atica aplicada, surgen de forma natural en este contexto. Por ejemplo, las funciones de Bessel y los polinomios de Hermite y de Legendre son soluciones de las respectivas ecuaciones:
d2 x dx 2 2 x = 0, + t + t − p dt2 dt dx d2 x − 2t + λ x = 0, 2 dt dt
2 dx 2 d x 1−t − 2t + λ x = 0. dt2 dt

ecuaci´on de Bessel: t2 ecuaci´on de Hermite: ecuaci´on de Legendre:

Tambi´en las funciones del c´alculo elemental se pueden caracterizar en t´erminos de ecuaciones diferenciales. As´ı, la funci´on exponencial x = et es la u ´nica soluci´on del problema de valor inicial dx = x, x(0) = 1, dt mientras que la funci´on x = sen t puede verse como la soluci´on del problema de valor inicial d2 x + x = 0, dt2

x(0) = 0, x0 (0) = 1.

Se deja al lector la tarea de encontrar un problema de valores iniciales que determina a la funci´on x = cos t. Varias de las funciones especiales, entre ellas las funciones de Bessel y los polinomios de Hermite y Legendre mencionados antes, se obtienen como soluciones de ecuaciones lineales homog´eneas de segundo orden d2 x dx + a(t) + b(t) x = 0, dt2 dt cuyos coeficientes a(t) y b(t) son funciones racionales de t, esto es, son cocientes de polinomios en t. En general no existen m´etodos que permitan calcular las soluciones de estas ecuaciones 1

en t´erminos de funciones elementales. Si en un problema de inter´es pr´actico se requiere del estudio de una de estas funciones soluci´on es necesario recurrir a otras t´ecnicas. El m´etodo de las soluciones en series, utilizado por Newton en sus Philosophia Naturalis Principia Mathematica (1686), es uno de los m´etodos m´as antiguos de la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales. Consiste en determinar los coeficientes c0 , c1 , c2 . . . de modo que la funci´on ∞ X 2 x(t) = c0 + c1 (t − t0 ) + c2 (t − t0 ) + · · · = cn (t − t0 )n (1) n=0

sea soluci´on de una ecuaci´on dada, en un intervalo alrededor del punto t = t0 . Ejemplo 1. Consideremos el problema de valor inicial dx = x, x(0) = 1. dt Si suponemos que la soluci´on buscada x = x(t) tiene una expansi´on en serie de potencias alrededor del punto t0 = 0, entonces ∞ X x(t) = c0 + c1 t + c2 t2 + . . . = cn t n , (2) n=0

para ciertos coeficientes c0 , c1 , c2 , . . .. Derivando t´ermino a t´ermino se obtiene la expansi´on para la derivada ∞ X dx 2 = c1 + 2c2 t + 3c3 t + . . . = n cn tn−1 . dt n=1 Sustituyendo ahora en la ecuaci´on

dx dt 2

− x = 0 obtenemos

c1 + 2c2 t + 3c3 t + · · · − c0 + c1 t + c2 t2 + . . . = 0

Sumando t´erminos se concluye que

2

(c1 − c0 ) + (2c2 − c1 ) t + (3c3 − c2 ) t + . . . =

∞ X n=0

((n + 1) cn+1 − cn ) tn = 0.

Teniendo en cuenta la unicidad de las expansiones en series de potencias, el coeficiente de cada t´ermino tn en la serie anterior debe ser igual a 0; por lo tanto para todo n = 0, 1, 2, . . . se sigue que (n + 1) cn+1 − cn = 0,

de donde se tiene una relaci´on de recurrencia para los coeficientes cn : cn , n = 0, 1, 2, . . . . cn+1 = n+1 cn−2 En consecuancia cn = cn−1 = n(n−1) = · · · = cn!0 . Reemplazando t = 0 en (2) se sigue que n x(0) = c0 de donde la condici´on inicial x(0) = 1 implica c0 = 1, de forma que cn = n!1 para n = 0, 1, 2, . . . y ∞ X t2 t3 tn x(t) = 1 + t + + + . . . = , 2 6 n! n=0 que es el desarrollo en serie de Taylor de la funci´on exponencial. 2

1.

Soluciones cerca a un punto ordinario

En seguida estableceremos condiciones bajo las cuales una ecuaci´on lineal de segundo orden posee soluciones que pueden escribirse como una serie de potencias y que en consecuencia son susceptibles de ser determinadas mediante el m´etodo de las series que estamos discutiendo. Consideremos la ecuaci´on en forma normal dx d2 x + a(t) + b(t) x = 0. 2 dt dt

(3)

Definici´ on 1. Se dice que t0 es un punto ordinario de la ecuaci´ on (3) si los coeficientes a(t) y b(t) son funciones anal´ıticas en t0 . Es decir, si poseen representaci´ on en serie de potencias alrededor de t = t0 : a(t) =

∞ X n=0

b(t) =

∞ X n=0

an (t − t0 )n ,

| t − t0 |< Ra , Ra > 0,

bn (t − t0 )n ,

| t − t0 |< Rb , Rb > 0.

A un punto que no es ordinario se le llama punto singular 2

Ejemplo 2. En la ecuaci´on ddt2x + x = 0, los coeficientes a(t) ≡ 0, b(t) ≡ 1, son funciones anal´ıticas en todo punto t0 . Sus expansiones en serie de potencias alrededor de t = t0 se reducen al t´ermino constante. Para a(t) se tiene a0 = a1 = · · · = 0. Similarmente, para b(t) se tiene b0 = 1 y b1 = b2 = · · · 0. Ejemplo 3. Para las ecuaciones de Cauchy-Euler

d2 x a dx b + 2 x = 0, + 2 dt t dt t (a y b constantes), el punto t0 = 0 es un punto singular si a 6= 0 o b 6= 0, pues ni a(t) = at ni b(t) = tb2 son funciones anal´ıticas en t0 = 0. Estas funciones ni siquiera est´an definidas en t0 = 0 ni se pueden redefinir alrededor de t = 0 de manera que resulten anal´ıticas. Posteriormente veremos que en general las ecuaciones de Cauchy-Euler no poseen soluciones en series de potencias alrededor de t = 0 fuera de la soluci´on nula. Ejemplo 4. Para la ecuaci´ on de Hermite d2 x dx − 2t + λx = 0, 2 dt dt λ un par´ametro real, todo punto t = t0 de la recta real es un punto ordinario. En efecto, puede verse que a(t) = −2t = −2t0 − 2(t − t0 ), y b(t) = λ, de donde a0 = −2t0 , a1 = −2 y an = 0 para n ≥ 2, en tanto que b0 = λ y bn = 0 para n ≥ 1. 3

Ejemplo 5. La ecuaci´ on de Legendre escrita en forma normal es la ecuaci´on 2t dx λ d2 x − + x = 0, 2 2 dt 1 − t dt 1 − t2

2t λ donde λ es un par´ametro real. De esa forma a(t) = − 1−t 2 y b(t) = 1−t2 . El punto t0 = 0 es un punto ordinario. En efecto, teniendo en cuenta la serie geom´etrica ∞

X 1 = sn , 1 − s n=0

que converge para −1 < s < 1, se tiene que a(t) = −2t

∞ ∞ X X 1 2n = −2t t = − 2t2n+1 , 1 − t2 n=0 n=0 ∞

X λ = λt2n , b(t) = 1 − t2 n=0

−1 < t < 1,

−1 < t < 1.

Por el contrario, los puntos t = 1 y t = −1 son puntos singulares pues los coeficientes a(t) y b(t) no admiten representaci´on en serie de potencias alrededor de t0 = 1 o de t0 = −1. En el caso de la Ecuaci´on de Legendre, como ocurre en general, puede requerir cierto trabajo obtener expl´ıcitamente las series de potencias que representan a(t) y b(t) alrededor de un punto ordinario. Sin embargo, se puede demostrar que si P (t) y Q(t) son polinomios sin ra´ıces comunes y Q(t0 ) 6= 0, entonces la funci´on racional f (t) =

P (t) Q(t)

puede escribirse como una serie de potencias alrededor del punto t0 . Ejemplo 6. La ecuaci´ on de Bessel escrita en forma normal es d2 x 1 dx t2 − p2 + + x = 0, dt2 t dt t2 con a(t) =

1 t

y b(t) =

t2 −p2 . t2

p un par´ametro real,

Su u ´nico punto singular es t0 = 0.

Teorema 1 (Soluciones anal´ıticas alrededor de un punto ordinario). Si t0 es un punto ordinario de la ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea (3), entonces para cada par de n´ umeros x0 y v0 dados, la u ´nica soluci´on x = x(t) de (3) que satisface las condiciones iniciales x(t0 ) = x0 y x0 (t0 ) = v0. puede representarse en la forma de una serie de potencias x(t) =

∞ X n=0

cn (t − t0 )n ,

convergente en un intervalo | t − t0 |< R, R > 0. El intervalo t0 − R < t < t0 + R de validez de la expansi´ on de x = x(t) es por lo menos igual al mayor de los intervalos alredededor de t = t0 sobre el cual ambos coeficientes a(t) y b(t) tienen representaci´ on en series de potencias alredededor de t = t0 . 4

Demostraci´ on. La demostraci´on consiste en aplicar en general el m´etodo de las series utilizado en el ejemplo 1. Las relaciones algebraicas que conducen a las relaciones de recurrencia son sencillas, aunque un poco largas. El u ´nico punto delicado es la convergencia de la serie obtenida. Los detalles pueden consultarse en Theory of Ordinary Differential Equations, Coddingnton and Levinson, McGraw Hill, 1955. La ecuaci´ on de Hermite. En el caso de la ecuaci´ on de Hermite d2 x dx − 2t + λ x = 0, 2 dt dt cada punto t0 es un punto ordinario. En particular las expansiones para a(t) y b(t) alrededor de t0 = 0 est´an dadas por a(t) = −2t, b(t) = λ, y son v´alidas en el intervalo −∞ < t < ∞. De acuerdo al teorema 1, todas las soluciones de la ecuaci´on de Hermite son anal´ıticas y su representaci´on en serie de potencias 2

x(t) = c0 + c1 t + c2 t + · · · =

∞ X

cn tn

n=0

converge para todo t real. Los coeficientes c0 , c1 , c2 , . . . se determinan sustituyendo las expansiones en series de potencias de las funciones x(t), x0 (t) y x00 (t) en la ecuaci´on de Hermite: x0 (t) = c1 + 2c2 t + . . . =

∞ X

n cn tn−1 ,

n=1 ∞ X

x00 (t) = 2c2 + 6c3 t + . . . =

n=2

n (n − 1) cn tn−2 .

Substituyendo ahora en la ecuaci´on de Hermite se obtiene 00

0

x − 2t x + λ x = =

∞ X

n=2 ∞ X n=0

n−2

n (n − 1) cn t

∞ X n=1

n−1

n cn t

+λ

n=1

(n + 2) (n + 1) cn+2 tn −

= 2c2 + λc0 + = 0.

− 2t

∞ X

∞ X n=1

2n cn tn +

∞ X

cn tn

n=0 ∞ X

λcn tn

n=0

((n + 2) (n + 1) cn+2 − (2n − λ) cn ) tn

Para que esta serie se anule en un intervalo abierto sus coeficientes deben ser todos nulos, as´ı que (2n − λ) λ cn , n = 1, 2, . . . . (4) c2 = − c0 , y cn+2 = 2 (n + 2) (n + 1) 5

La relaciones de de recurrencia anteriores determinan los coeficientes cn , n ≥ 2, en t´erminos de c0 y c1 como sigue: λ c2 = − c0 , 2 2·1−λ c1 , c3 = 2·3 2·2−λ λ (2 · 2 − λ) c4 = c2 = − c0 , 3·4 2·3·4 2·3−λ (2 · 1 − λ) (2 · 3 − λ) c5 = c3 = c1 , 4·5 2·3·4·5 y en general se tiene λ (2 · 2 − λ) · · · (2 (2k − 2) − λ) c0 ≡ h2k c0 , k = 1, 2, . . . (2k)! (2 · 1 − λ) · · · (2 (2k − 1) − λ) c1 ≡ h2k+1 c1 k = 1, 2, . . . . = (2k + 1)!

c2k = − c2k+1

(5) (6)

Si adem´as hacemos h0 = 1 y h1 = 1 se puede escribir x(t) =

∞ X k=0

2k

c2k t

+

∞ X

2k+1

c2k+1 t

= c0

∞ X

2k

h2k t

k=0

k=0

!

+ c1

∞ X

2k+1

h2k+1 t

k=0

!

,

(7)

con c0 y c1 constantes que dependen de las condiciones iniciales. Se tiene en efecto que x(0) = c0 y x0 (0) = c1 . En vista del teorema 1, estas series son convergentes en (−∞, ∞). Podemos verificar directamente este hecho. En efecto, de acuerdo con las relaciones (5) y (6), si escribimos ∞ ∞ X X 2k u(t) ≡ h2k t , v(t) ≡ h2k+1 t2k+1 , k=0

k=0

se observa que

4 − λk h2k+2 (2 (2k) − λ) (2 (2k) − λ) (2k)!
= = = , h2k (2k + 2)! (2k + 1) (2k + 2) 2 + k1 (2k + 2)

de donde l´ımk→∞ hh2k+2 = 0. Teniendo en cuenta el criterio del cociente puede concluirse 2k que el radio de convergencia de la serie u(t) es ∞. De manera similar se demuestra que el radio de convergencia de la serie v(t) es ∞. Se observa que cada una de las soluciones puede expresarse como combinaci´on lineal de u(t) y v(t) : x(t) = c0 u(t) + c1 v(t). Es decir, las funciones u(t) y v(t) forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on de Hermite. 6

Un caso interesante de la ecuaci´on de Hermite se da cuando el par´ametro λ es un entero positivo par, digamos λ = 2p. En ese caso la relaci´on de recurrencia (4) muestra que cp+2 = cp+4 = · · · = 0. Si adem´as p es par y se toma c1 = 0 la soluci´on x = (t) dada en (7) se reduce a un polinomio de grado p: x(t) = c0

p/2 X k=0


h2k t2k = c0 h0 + h2 t2 + · · · + hp tp .

(8)

An´alogamente, si p es impar y se toma c0 = 0 en (7) la soluci´on x = x(t) se reduce a un polinomio de grado p. (p−1)/2

x(t) = c1

X k=0


h2k+1 t2k+1 = c1 h1 t + h3 t3 + · · · + hp tp .

(9)

Si adem´as los respectivos coeficientes c0 y c1 se escojen de manera que el coeficiente del t´ermino en tp sea 2p , las correspondientes soluciones polin´omicas reciben el nombre de Polinomios de Hermite de grado p y se denotan por Hp (t). A continuaci´on se muestran algunos de estos polinomios H0 (t) = 1, H2 (t) = −2 + 4t2 ,

H1 (t) = 2t, H3 (t) = −12t + 8t3 .

Ejercicios 1. Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on
1 + t2 x00 − 4t x0 + 6x = 0

en la forma c0 x1 (t) + c1 x2 (t),  donde  x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) son series de potencias. t3 2 R. x(t) = c0 (1 − 3t ) + c1 t − 3

2. Resuelva la ecuaci´ on de Airy

d2 x + tx = 0 dt2 en t´erminos de series de potencias alrededor del punto t = 0. Determine directamente el radio de convergencia de las series obtenidas. Halle adem´as la soluci´on que satisface x(0) = 1 y x0 (0) = 1.

3. Halle la soluci´on general de la ecuaci´on
1 + t2 x00 + 2t x0 − 2x = 0

en t´erminos de una serie de potencias alrededor de t = 0 ¿puede identificar esta serie en t´erminos de funciones elementales?   1 4 1 6 1 8 2 R. x(t) = c0 1 + t − t + t − t + · · · + c1 t = c0 (1 + t arctan t) + c1 t. 3 5 7 7

4. Para la ecuaci´on de Legendre (1 − t2 )

dx d2 x − 2t + α(α + 1)x = 0, 2 dt dt

α un par´ametro real, a) halle dos soluciones linealmente independientes en forma de serie de potencias alrededor de t = 0 y determine el radio de convergencia de estas series. b) Muestre que si α = N es un n´ umero entero existe una soluci´on polin´omica de grado N . c) Tomando α = 3, determine la soluci´on que satisface x(0) = 0 y x0 (0) = 1.

2.

El m´ etodo de Frobenius

Cuando las ecuaciones del tipo (3) tienen singularidades las soluciones no son en general anal´ıticas en esos puntos, tal como lo muestra el siguiente ejemplo Ejemplo 7. La ecuaci´on diferencial 2 2d x t 2 dt

dx 1 − x=0 (10) dt 4 P n no posee soluciones no nulas de la forma x(t) = ∞ n=0 cn t . Para verificar esto, supongamos por contradicci´on que si existen soluciones forma. Derivando x(t) P∞ t´ermino a t´ermino P∞ de esta n−2 n−1 00 n (n − 1) c t , que n c t y x (t) = se obtienen las expresiones x0 (t) = n n n=2 n=1 reemplazadas en (10) dan +t

∞ ∞ ∞ X X X 1 1 n n t x (t) + t x (t) − x = cn tn n (n − 1) cn t + n cn t − 4 4 n=2 n=1 n=0     ∞ X 1 1 1 2 = − c0 + 1 − c1 t + cn tn = 0. n − 4 4 4 n=2 2

00

0

Para que esta serie se anule en un intervalo, sus coeficientes deben ser todos iguales a cero. Esto implica cn = 0 para todo n = 0, 1, . . . . Por tanto, la u ´nica soluci´on en serie de potencias en este caso es la soluci´on nula. El ejemplo anterior es un caso particular de la ecuaci´ on de Cauchy-Euler : t2

d2 x dx + b x = 0. + at 2 dt dt

(11)

Estas ecuaciones tienen soluciones de la forma x(t) = tr . En efecto el exponente r se puede hallar reemplazando x(t) = tr en (11): t2 x00 (t) + a t x0 (t) + b x = t2 r (r − 1) tr−2 + a t r tr−1 + b tr
= tr r2 + (a − 1) r + b = 0. 8

Es decir, los valores de r est´an determinados por la ecuaci´on de ´ındices r2 + (a − 1) r + b = 0.

(12)

Si esta ecuaci´on tiene ra´ıces que no sean n´ umeros enteros positivos las correspondientes r soluciones x = t no son anal´ıticas en t = 0. Por ejemplo, la ecuaci´on de ´ındices de (10) est´a dada por r2 − 14 = 0, de donde la soluci´on general de esta ecuaci´on en el intervalo (0, ∞) puede escribirse como 1

1

x(t) = c1 t 2 + c2 t− 2 donde c1 y c2 son constantes reales arbitrarias.

Definici´ on 2. Un punto sigular t0 de la ecuaci´ on (3) se llama singular regular si (t − t0 ) a(t) 2 y (t−t0 ) b(t) son funciones anal´ıticas en t0 , es decir, si estas funciones pueden representarse mediante series de potencias en t − t0 : (t − t0 ) a(t) = (t − t0 )2 b(t) =

∞ X n=0

∞ X n=0

αn (t − t0 )n ,

| t − t0 |< Ra , Ra > 0,

βn (t − t0 )n ,

| t − t0 |< Rb , Rb > 0.

Resulta claro que si t0 es un punto singular regular entonces la ecuaci´on dx d2 x + a(t) + b(t) x = 0. 2 dt dt puede escribirse en la forma (t − t0 )2 con α(t) =

∞ X n=0

d2 x dx + (t − t0 ) α(t) + β(t) x = 0, 2 dt dt n

αn (t − t0 )

y β(t) =

∞ X n=0

βn (t − t0 )n .

(13)

(14)

Los coeficientes α0 , β0 y β1 no son simult´aneamente nulos pues en tal caso t0 ser´ıa un punto regular. Ejemplo 8. Para la ecuaci´ on de Bessel t0 = 0 es un punto singular regular (ver ejemplo 6). Lo mismo es cierto para las ecuaciones de Cauchy-Euler (ver ejemplo 3). En la ecuaci´ on de Legendre (ver ejemplo 5) t0 = 1 y t0 = −1 son puntos singulares regulares. En 1873, F. G. Frobenius tuvo la idea de buscar soluciones en intervalos (t0 , t0 + R), (t0 − R, t0 ) a los lados de un punto singular regular t0 .

9

Teorema 2 (Frobenius). Si las expansiones dadas (14) son ambas v´alidas en el intervalo (t0 − R, t0 + R), entonces la ecuaci´ on (13) tiene al menos una soluci´on de la forma r

x(t) = |t − t0 |

∞ X n=0

cn (t − t0 )n ,

con c0 6= 0,

(15)

v´alida en cada uno de los intervalos (t0 , t0 + R) y (t0 − R, t0 ), en donde el exponente r es una de las ra´ıces de la ecuaci´ on de ´ındices r2 + (α0 − 1) r + β0 = 0.

(16)

Demostraci´ on. La demostraci´on consiste en suponer la existencia de una soluci´on x(t) de la forma (15) y reemplazar las expresiones en series de potencias de x(t), x0 (t) y x00 (t) en la ecuaci´on (13) para obtener la ecuaci´on de ´ındices y las relaciones que determinan a los coeficientes cn de la serie de P potencias que define a la soluci´on x(t). Finalmente se demuestra ∞ n que las serie de potencias ecnicas avanzadas del n=0 cn t converge, pero eso requiere t´ an´alisis matem´atico. Ejemplo 9. La ecuaci´on t2 x00 (t) − t x0 (t) + x = 0 es del tipo Cauchy-Euler. Se deja al lector la tarea de verificar que {t, ln t} es un conjunto fundamental de soluciones en (0, ∞). Obs´ervese sin embargo que la soluci´on x(t) = ln t, t > 0 no puede expresarse en la forma (15) con t0 = 0, lo que no contradice el Teorema 2.  Ejemplo 10. Se puede verificar que t sen 1t , t cos 1t es un conjunto fundamental de soluciones de d2 x t4 2 + x = 0 dt en el intervalo (0, ∞). Ninguna de estas soluciones se puede expresar de la forma (15) con t0 = 0. N´otese que t0 = 0 es un punto singular no regular de la ecuaci´on, por lo que no hay contradicci´on con el teorema 2. La ecuaci´ on de Bessel. Ilustraremos la demostraci´on del teorema anterior en el caso de la ecuaci´on de Bessel
d2 x dx t2 2 + t (17) + t2 − p2 x = 0, dt dt donde p es un par´ametro real no negativo. Supongamos que existe una soluci´on de la forma ∞ X

r

x(t) = t

n

cn t =

n=0

∞ X

cn tn+r ,

n=0

con c0 6= 0,

definida en le intervalo (0, ∞). Derivando t´ermino a t´ermino se obtienen las expresiones 0

x (t) =

∞ X

n+r−1

(n + r) cn t

00

y x (t) =

n=0

∞ X n=0

10

(n + r) (n + r − 1) cn tn+r−2 .

Reemplazando en (17) tenemos t2

∞

X
dx d2 x 2 2 x = + t + t − p (n + r) (n + r − 1) cn tn+r dt2 dt n=0 + = tr

∞ X

n+r

(n + r) cn t

n=0 ∞ X n=0

2

+ t −p

2

∞
X

cn tn+r

n=0 ∞ X

(n + r) (n + r − 1) cn tn +

− = 0.

∞ X

p2 cn tn +

n=0

∞ X

cn tn+2

n=0

(n + r) cn tn

!n=0

Teniendo en cuenta que tr > 0 en un intervalo del tipo (0, R) con R > 0, se deduce que ∞ X n=0

n

(n + r) (n + r − 1) cn t +

∞ X n=0

n

(n + r) cn t −

∞ X

2

n

p cn t +

n=0

∞ X

cn tn+2 = 0,

n=0

equivalentemente ∞ X n=0

2

(n + r) − p

2




n

cn t +

∞ X n=0

n+2

cn t

=

∞ X

2

(n + r) − p

2




n

cn t +

∞ X

cn−2 tn

n=0 n=2

= r2 − p2 c0 + (1 + r)2 − p2 c1 t ∞ X

+ (n + r)2 − p2 cn − cn−2 tn n=2

= 0.

Se tiene entonces
r2 − p2 c0 = 0,
(1 + r)2 − p2 c1 = 0,
(n + r)2 − p2 cn − cn−2 = 0,

(18) (19) n = 2, 3, . . . .

(20)

La condici´on c0 6= 0 y (18) implican

r2 − p2 = 0. Esta es precisamente la ecuaci´on de ´ındices, la cual tiene dos ra´ıces r = p y r = −p. Investigaremos primero la mayor de las ra´ıces, r = p. Reemplazando r = p en (19) y (20) obtenemos (1 + 2p) c1 = 0 y n (n + 2p) cn + cn−2 = 0, de donde se concluye que c1 = 0 y que cn = −

cn−2 , n (n + 2p) 11

n = 2, 3, . . . .

(21)

En consecuencia cn = 0 si n es impar mientras que si n es par cn se puede escribir en t´erminos de c0 : −1 c0 2 · 2(1 + p) −1 (−1)2 c4 = c2 = c0 4(4 + 2p) (4 · 2) 22 (1 + p)(2 + p)

c2 =

y en general, c2n =

(−1)n c0 , n!(2n )2 (1 + p) (2 + p) · · · (n + p)

para n = 1, 2, · · · . Sin embargo c0 puede escogerse arbitrariamente. De esta manera llegamos a la soluci´on buscada p

x(t) = t

∞ X n=0

(−1)n c0 t2n . n! (2n )2 (1 + p) (2 + p) · · · (n + p)

(22)

Puede verificarse, por ejemplo empleando el criterio de la raz´on, que la serie en la expresi´on anterior converge para todo t real (ver ejercicios). En este punto de la discusi´on es conveniente introducir una funci´on que simplificar´a la escritura de las soluciones de la ecuaci´on de Bessel. La funci´on en cuesti´on es la funci´on gamma de Euler. Esta funci´on se define para valores s > 0 mediante Z ∞ e−t ts−1 dt, Γ(s) ≡ 0

y para valores no enteros s < 0 se define en forma recurrente mediante la f´ormula Γ(s) =

Γ(s + 1) . s

La funci´on gamma generaliza la noci´on de factorial de un n´ umero entero. En efecto, no es dif´ıcil probar que esta funci´on satisface las identidades Γ(p + 1) = p Γ(p) Γ(m + 1) = m!

p real positivo m entero positivo

Como consecuencia se tiene (1 + p) (2 + p) · · · (n + p) =

Γ(1 + p) . Γ(1 + n + p)

La expresi´on (22) puede entonces reescribirse como  2k  2n ∞ ∞ X X t (−1)n (−1)n Γ(1 + p) t = c0 Γ(1 + p) tp . x(t) = c0 t Γ(1 + n + p) n! 2 Γ(1 + n + p) n! 2 n=0 n=0 p

12

(23) (24)

1 J_0 J_1 J_2

0.8

J_0(x), J_1(x), J_2(x)

0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 0

10

5

15 x

20

25

30

Figura 1: Funciones de Bessel de primer orden J0 ,J1 ,J2 1 en la expresi´on anterior se tienen las llamadas funciones de Cuando se toma c0 = 2p Γ(p+1) Bessel de primera especie de orden p, que se denotan Jp (t). Esto es  2n+p ∞ X (−1)n t Jp (t) ≡ n! Γ(p + n + 1) 2 n=0

La figura 1 muestra los gr´aficos de J0 , J1 y J2 . Se observa que estas funciones oscilan de modo que hacen recordar a las funciones trigonom´etricas sen t y cos t. Investigaremos ahora si existen soluciones de la ecuaci´on de Bessel asociadas a la ra´ız r = −p; esto es, si existen soluciones de la forma −p

x(t) = t

∞ X

cn tn ,

n=0

con c0 6= 0.

Reemplazando r = −p en (18), (19) y (20) se obtienen las condiciones 0 c0 = 0, (1 − 2p) c1 = 0, n (n − 2p) cn − cn−2 = 0,

n = 2, 3, . . . .

(25) (26) (27)

Consideremos primero el caso en el que 2p no es un entero. En estas circunstancias las relaciones (25), (26) y (27) implican que c1 = c3 = · · · = 0 mientras que c2n =

(−1)n c0 . n! · 22n (1 − p) (2 − p) · · · (n − p) 13

(28)

J_(-3/2) J_(-1/2)

J_(-3/2)(x),

J_(-1/2)(x)

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

0

5

10

15 x

20

25

30

Figura 2: Funciones de Bessel de orden negativo J−0,5 ,J−3,5 Si se toma c0 =

1 2p Γ(1−p)

se obtiene una segunda soluci´on J−p (t) =

∞ X n=0

(−1)n n! Γ(n − p + 1)

 2n−p t . 2

(29)

Puesto que J−p (t) no est´a acotada cerca a t = 0 mientras que Jp (t) si lo est´a, se sigue que J−p (t) y Jp (t) son linealmente independientes y por tanto forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on de Bessel. La figura 2 muestra los gr´aficos de algunas funciones de Bessel con orden negativo. ¿Qu´e ocurre si 2p es un entero, digamos si 2p = N ? N´otese que en este caso, en virtud de (25), (26) y (27) y si N > 1 se tendr´ıa que cN −2 = 0. Ahora, si p no es un n´ umero entero (de manera que N es impar) se sigue que c1 = c3 = · · · = cN −2 = 0. N´otese sin embargo que las relaciones (28) correspondiente al t´ermino c2n , k = 1, 2, . . . siguen siendo v´alidas. De este modo la funci´on J−p definida en (29) sigue proporcionando una segunda soluci´on para la ecuaci´on de Bessel y las funciones Jp (t) y J−p (t) forman un conjunto fundamental de soluciones. Finalmente, cuando p sea un entero de modo que N es un n´ umero par, se sigue de la relaci´on (27), que cN −2 = 0. Iterando hacia atr´as esta misma relaci´on se concluye que cN −2 = cNP on de la forma −4 = · · · = c0 = 0 lo que significa que no existe una soluci´ n x(t) = t−p ∞ c t , con c = 6 0, en el caso en el que p sea entero. As´ ı, para tales valores 0 n=0 n de p el m´etodo de Frobenius no proporciona un conjunto fundamenta de soluciones. Una segunda soluci´on podr´ıa obtenerse a partir de Jp (t) empleando el m´etodo de reducci´on de orden. Alternativamente puede procederse como sigue. Si p no es entero se define la 14

funci´on Yp (t) =

cos p π Jp (t) − J−p (t) sen p π

Es claro que Yp (t) y Jp (t) forman un conjunto fundamental para la correspondiente ecuaci´on de Bessel. Ahora si p = n es un n´ umero entero se define Yn (t) = l´ım Yp (t). p→n

Se demuestra en textos especializados (ver [1]) que Yn (t) es una soluci´on de la ecuaci´on de Bessel y que cualquier soluci´on x = x(t) de la ecuaci´on de Bessel en (0, ∞) es de la forma x(t) = c0 Jp (t) + c1 Yp (t),

0 < t < ∞,

donde c0 y c1 son constantes. Las funciones Yp se denominan funciones de Bessel de segunda especie de orden p. Las funciones Jp (t) y Yp (t) han sido extensamente estudiadas por la importancia que tienen en varios modelos matem´aticos. Existen acerca de estas funciones verdaderos tratados como el de G. Watson [3], res´ umenes muy bien logrados como el de I. Stegun y M., Abramowitz [2] y presentaciones elementales como las de Simmons [4]. Las funciones de Bessel se R encuentran integradas a programas como Mathematica . Ejercicios 1. Halle los puntos singulares de las ecuaciones diferenciales siguientes y determine si son regulares. Suponga que α es constante a) (1 − t2 ) x00 − 2t x0 + α (α + 1) x = 0,

d ) t3 (t − 1) x00 − 2(t − 1) x0 + 3t x = 0,

c) t x00 + sen t x = 0,

f ) t2 (t2 − 1) x00 − t (1 − t) x0 + 2x = 0,

b) t2 x00 + (1 − t) x0 = 0,

e) t x00 + cos t x0 + t2 x = 0,

2. Demuestre directamente la convergencia de las funciones de Bessel de primera especie. 2

+ 4x = 0, t > 0. 3. Halle la soluci´on general de t2 ddt2x + t dx dt 4. Dada la ecuaci´oP n t x00 + 2x0 − t x = 0, t > 0, encuentre todas las soluciones de la n forma x(t) = tr ∞ ıbalas en t´erminos de funciones n=0 cn t con c0 6= 0. Si es posible escr´ elementales. ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental? 5. Hallar todas las soluciones de t x00 + (1 − t) x0 + 2x = 0, t > 0, de la forma x(t) = P n tr ∞ n=0 cn t . ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental? 6. Resolver 2t x00 + (1 + t) x0 − 2x = 0, t > 0.

7. Halle la soluci´on general en t´ermino de funciones de Bessel; a) t2 x00 + t x0 + (36t4 − 1) x = 0, t > 0. Sug. s = 3t2 15

√ b) t2 x00 + x0 + x = 0, t > 0. Sug. s = 2 t √ 8. Muestre que x(t) = t J1/2 (t) es soluci´on de x00 + x = 0. Deduzca que para alguna √ t. constante c se tiene J1/2 (t) = c sen t 9. Para la ecuaci´on t x00 + x0 + t x = 0, halle la soluci´on sobre 0 < t < ∞ que satisface x(1) = 0, x0 (1) = 1. Muestre que no hay ninguna soluci´on que satisfaga x(0) = 0 y x0 (0) = 1. 2

10. Muestre que la sustituci´on s = 1t transforma la ecuaci´on t4 ddt2x + x = 0 en la ecuaci´on 2 s ddsx2 − 2 dx + s x = 0. Determine si el punto s = 0 es ordinario, singular regular o ds singular no regular. Resuelva la ecuaci´on mediante los m´etodos tratados en esta gu´ıa. Ver ejemplo 10.

Referencias [1] Rabenstein, A.: Introduction to ordinary Differential Equations. Academic Press, New York, 1966. [2] Stegun, I., Abramowitz, M.: Pocketbook of Mathematical Functions (Abridged edition), Verlag Harri Deutsch, 1984 [3] Watson, G. A: Treatise on the Theory of Bessel Functions. University Press, Cambridge, 1962. [4] Simmons, G. F.: Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas hist´oricas, McGrawHill, Mexico, 1993.

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