Basado en el apunte del curso C´alculo (2do semestre), de Roberto Cominetti, Mart´ın Matamala y Jorge San Mart´ın.

´ Ingenier´ıa Matematica

FACULTAD DE CIENCIAS ´ F´ISICAS Y MATEMATICAS Ingenier´ıa Matem´ atica UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Calculo Diferencial e Integral 07-2 Universidad de Chile

´ SEMANA 15: SERIES NUMERICAS Y SERIES DE POTENCIAS

10.

Series de potencias

Definici´ on 10.1 (Serie de potencias). Una serie de potencias es una serie k en donde el t´ermino general es de la forma ak (x − α) . No es dif´ıcil notar que la convergencia de estas series depende fuertemente del valor de x. Nosotros nos concentraremos en el caso de series de potencias centradas en cero, es decir, consideraremos solamente el caso α = 0. Ejemplo 10.1. P k Consideremos la serie de potencias x . Esta serie corresponde a una serie geom´etrica con raz´ on x. Sabemos que si |x| < 1 esta serie converge absolutamente y que si |x| ≥ 1 diverge. EstoPquiere decir que en el intervalo (−1, 1) podemos definir la funci´on g (x) = xk . En este caso podemos calcular el 1 para x ∈ (−1, 1). valor de la serie de modo que g (x) = 1−x Al analizar el ejemplo anterior parece natural que si la serie converge para x0 lo haga tambi´en para x con |x| ≤ |x0 | y rec´ıprocamente, que si diverge para x0 tambi´en lo haga para valores de x con |x0 | < |x|. La siguiente proposici´on nos acerca a la respuesta. P Proposici´ on 10.1. Si la serie ak xk0Pconverge, se tiene que para cada a ∈ (0, |x0 |) y para todo x ∈ [−a, a] la serie ak xk converge absolutamente. ´ n. Para x ∈ [−a, a] y r = xa la sucesi´ on (|an xn |) es mayorada Demostracio 0  n n n por |an xn | ≤ |an | an ≤ |an | |x0 | xa0 = |an | |x0 | rn . P El t´ermino |an xn0 | es acotado (converge a cero) pues ak xk0 es convergente. n n Entonces, |an x | ≤ M r . El lado derecho es una constante por el t´ermino general de una serie geom´etricaPcon raz´ on r < 1. Usando el criterio de mayoraci´on concluimos que la serie ak xk converge para todo x ∈ [−a, a]. 

10.1. Radio e intervalo de convergencia P Notar que la Proposici´ on 10.1 nos dice que si ak xk0 diverge entonces tambi´en P k diverge la serie ak x para |x| > |x0 |. Definamos n o X R = sup x0 : ak xk0 < +∞ . Este valor es finito si existe alg´ un x para el cual la serie +∞ en otro caso.

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P

ak xk diverge y vale

Serie de potencias

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Definici´ on 10.2 (Radio de convergencia). P Al kvalor R lo llamaremos el radio de convergencia de la serie de potencias ak x .

Radio de convergencia

Definici´ on 10.3 (Intervalo de convergencia). LlamamosPintervalo de convergencia I al conjunto de reales x para los cuales la serie ak xk converge. Tenemos que (−R, R) ⊆ I ⊆ [−R, R].

Intervalo de convergencia

La Proposici´on 10.1 nos asegura que para todo x ∈ (−R, R) la serie converge y para todo x ∈ / (−R, R) la serie diverge. Si aplicamos el criterio del la ra´ız 1 P n-´esima a la serie ak xk obtenemos r = |x| l´ım |an | n . 1 Entonces, ρ = l´ım |an | n es igual a R1 cuando R 6= 0 y vale cero cuando R = +∞, con lo que tenemos una manera de calcular R basada solamente en (an ).

Ejemplo 10.2. Dependiendo de la serie se puede tener que I = (−R, R) , I = (−R, R], I = [−R, R) o I = [−R, R]. P k Caso. I = (−R, R). (−1) xk . Para x ∈ (−1, 1) podemos aplicar el criterio de Leibnitz y concluir que la serie converge. En x = 1 la serie diverge y lo mismo ocurre para x = −1. Entonces, el radio de convergencia de la serie es R = 1 y su intervalo de convergencia es (−1, 1). P 1 P k+1 xk . Para x = −1 la serie es − k que diCaso I = (−R, R]. (−1) Pk k+1 1 verge. Para x = 1 la serie es (−1) que converge. Luego el radio de k convergencia es R = 1 y el intervalo de convergencia es (−1, 1]. P xk Caso I = [−R, R). k . Hacerlo como ejercicio. R = 1, I = [−1, 1). P xk n Caso I = [−R, R]. on xn2 k2 . Para x > 1 la serie diverge pues la sucesi´ diverge a infinito. Para x = 1 la serie converge por lo P que su radio de conk vergencia es R = 1. Adem´ as para x = −1 la serie (−1) k12 converge absolutamente.

´ y derivacion ´ 10.2. Series de potencias, integracion P Dada una serie de potencias ak xk con intervalo de convergencia I, es posible definir naturalmente la funci´on f :I

−→

x 7−→ f (x) =

P

ak xk = l´ım

n P

n→∞ k=0

ak xk .

(10.1)

Mostraremos a continuaci´on que esta funci´on es integrable y derivable, y de manera f´acil a partir de la serie de potencias original.

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Veamos primero el siguiente teorema:

P Teorema 10.1. Sea ak xk una serie de potencias con radio de convergencia mayor que cero. Definiendo la funci´ on f como en (10.1), se tiene que ella es continua en int(Dom f ).

´ n. Como Dom f es un intervalo, entonces probar que f es contiDemostracio nua en int(Dom f ) es equivalente a probar que ∗ +,

∀q ∈ int(Dom(f )) ∩ ∗ +.

Sea entonces q ∈ int(Dom f ) ∩

f es continua en(−q, q).

Definimos, para n ∈

fn (x) =

n X

, la funci´on:

ak xk .

k=0

Luego |fn (x)| ≤ Sean Sn =

n P

n X

k=0

|ak xk | =

ak q k y S =

k=0

x ∈ [−q, q], se tiene

n X

|ak ||x|k ≤

k=0

P∞

k=0

n X

k=0

|ak |q k =

|ak q k |. Para n, m ∈

n X

k=0

|ak q k |.

tales que n > m y

m X k ak x |fm (x) − fn (x)| = ≤ ≤

k=n+1 m X

k=n+1 m X k=n+1

|ak ||xk | |ak q k | = Sm − Sn .

En resumen, hemos probado que ∀x ∈ [−q, q], ∀n ∈

, ∀m > n,

|fm (x) − fn (x)| ≤ Sm − Sn .

Haciendo m → ∞, se deduce que ∀x ∈ [−q, q], ∀n ∈

,

|f (x) − fn (x)| ≤ S − Sn .

Usando esto probemos que f es continua en x0 ∈ (−q, q), es decir ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ (−q, q)

|x − x0 | ≤ δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| ≤ ε.

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(10.2)

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Veamos que para cualquier n ∈

,

|f (x) − f (x0 )| = |f (x) − fn (x) + fn (x) − fn (x0 ) + fn (x0 ) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0 )| ≤ |S − Sn | + |fn (x) − fn (x0 )| + |S − Sn | ≤ 2|S − Sn | + |fn (x) − fn (x0 )|

Sea entonces n0 ∈

tal que |S − Sn0 | ≤ 3ε , luego |f (x) − f (x0 )| ≤

2ε + |fn0 (x) − fn0 (x0 )|. 3

Ahora, como fn0 (x) es un polinomio de grado ≤ n0 , entonces fn0 (x) es continua en x0 , por lo tanto ε ∃δ > 0, ∀x ∈ , |x − x0 | ≤ δ ⇒ |fn (x) − fn (x0 )| ≤ . 3 Con este δ > 0, se tiene lo buscado, es decir ∀x ∈ (−q, q),

|x − x0 | ≤ δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| ≤ ε. 

Gracias a este teorema, tenemos que la funci´on definida por la serie de potencias es integrable en int(I). Para ver que adem´ as es f´acil integrarla, debemos probar el siguiente resultado: P Proposici´ on 10.2. Sea ak xk una serieP de potencias de radio de convergencia R > 0. Entonces para todo p ∈ , la serie k p ak xk tiene radio de convergencia R. P ´ n. Sea q ∈ (0, R), luego ak q k converge absolutamente. Gracias Demostracio al Teorema 9.1, la sucesi´ on (ak q k ) est´ a acotada, digamos |ak q k | ≤ C. Luego para cualquier x ∈ (−q, q), k k p p k kx p x |k ak x | = k ak q k ≤ Ck . q q P p k Consideremos entonces la serie k z , llamando z = xq . Usando el criterio de la ra´ız n-´esima, tenemos  √ p √ k k kp z k = z k −→ z. k→∞

P p Es decir, si |z| < 1 entonces k z converge. Por lo tanto, k ak xk converge absolutamente si q). Px p∈ (−q, Como la serie k ak xk converge para todo x ∈ (0, R), luego si el radio de convergencia de esta serie es R∗ , entonces R∗ ≥ R. P −p p Aplicando el mismo razonamiento, a la serie de potencias k · k ak xk = P −p k p ∗ k a ˜k x (con a ˜k = k ak ), obtenemos que R ≥ R . De donde se concluye el resultado.  P

p k

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P Observaci´ on: Gracias a este u ´ltimo resultado, si ak xk tiene radio de P ak xk+1 en radio de convergencia convergencia R > 0, entonces k+1 tiene tambi´ R > 0. P Lo mismo sucede para la serie de potencias k≥1 kak xk−1 .

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Probemos entonces que para integrar la funci´on definida por una serie de potencias, basta integrar el t´ermino general de la serie.

P Teorema 10.2. Sea ak xk una serie de potencias, con radio de convergencia R > 0. Entonces la funci´ on f definida como en (10.1), es integrable en (−R, R) y Z x X Z x X ak xk+1 ( ak tk )dt = f (t)dt = ∀x ∈ (−R, R), . k+1 0 0

´ n. Gracias al Teorema 10.1, f es integrable. Demostracio Definimos, para n ∈ , como en el Teorema 10.1: fn (x) =

n X

ak xk .

k=0

Se tiene que Z

x

fn (t)dt =

Z

n X

x

0

0

k=0

k




ak t dt =

n X ak xk+1

k=0

k+1

−→

n→∞

X ak xk+1 k+1

.

Esto gracias a la observaci´ on de la Proposici´on 10.2. Sea entonces x ∈ (−R, R) y veamos Z x Z x Z x f (t)dt (f (t) − f (t))dt f (t)dt − ≤ n n 0 0 0 Z x ≤ |f (t) − fn (t)|dt 0

Y usando (10.2) en la demostraci´ on del Teorema 10.1, Z ≤

x

0

Luego, Z

0

x

fn (t)dt →

Z

|S − Sn |dt ≤ |x||S − Sn | → 0.

x

f (t)dt

Z

y

0

0

x

fn (t)dt →

X ak xk+1 k+1

,

y por unicidad del l´ımite, Z

0

x

f (t)dt =

X ak xk+1 k+1

. 

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Adem´ as, gracias a este u ´ltimo teorema, se tiene la misma propiedad para el caso de la derivada. P Teorema 10.3. Sea ak xk una serie de potencias, con radio de convergencia R > 0. Entonces la funci´ on f definida como en (10.1), es derivable en (−R, R) y X ∀x ∈ (−R, R), f ′ (x) = kak xk−1 . k≥1

P ´ n. Gracias al Teorema 10.2, la serie de potencias k≥1 kak xk−1 Demostracio es integrable en (−R, R) y ∀x ∈ (−R, R). Z x X X X
xk = ak xk = f (x) − a0 . kak tk−1 dt = ak k k 0 k≥1

k≥1

k≥1

Luego 

f ′ (x) = 

Z

0

x

X

k≥1

′ X
ak ktk−1 dt = kak xk−1 . k≥1

 Los resultados anteriores nos dicen que el radio de convergencia de una serie y el de la serie derivada son iguales. M´as a´ un, lo mismo es cierto para la serie derivada por lo que tambi´en ser´a cierto para las derivadas de cualquier orden. Entonces la funci´on f (x) que se obtiene de la serie de potencias es infinitamente derivable y todas sus derivadas tienen el mismo radio de convergencia. Adem´ as se tiene que X f (j) (x) = k (k − 1) · · · (k − j) ak xk−j , k≥j

es decir, la serie que se obtiene al derivar t´ermino a t´ermino la serie de la funci´on f representa la derivada de orden j de f . De aqu´ı que, f (j) (0) = aj j!, y entonces el t´ermino aj de la serie que representa a f debe ser serie de Taylor para f en torno a cero.

f (j) (0) j! ,

es decir, aquel de la

Ejemplo 10.3. 1. Consideremos f (x) = ex . Sabemos que f (j) (0) = e0 = 1 para todo P∞ k j ≥ 0. Entonces la serie candidata es k=0 xk! . Dado cualquier x0 ∈ P∞ xk xk+1 k! x0 0 se tiene que k=0 k!0 existe pues (k+1)!x k = k+1 → 0. Esto dice que el 0 radio de convergencia es infinito y entonces la serie converge para todo x ∈ . Utilizando las f´ormulas del residuo para el desarrollo de Taylor P xk es posible probar que para todo x ∈ , ex = k! . De modo que no es P xk−1 P xk novedoso que la serie derivada k k! sea igual a k! . 176

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√ 2. Busquemos una serie que represente a la funci´on f (x) = 1 + x. Se −1 −3 tiene que f ′ (x) = 12 (1 + x) 2 , f ′′ (x) = − 21 12 (1 + x) 2 y en general f (j) (x) = (−1)

j+1

113 (2j − 1) − 2j+1 ··· (1 + x) 2 222 2

1·3···(2j−1) Luego f (j) (0) = (−1) y el t´ermino aj = 2j P j+1 1·3···(2j−1) j . La serie aj x converge para |x| < 1 pues (−1) 2j j! j+1

1·3···(2j+1) 2j+1 (j+1)! 1·3···(2j−1) 2j j!

|x| =

(2j+1) 2(j+1)

|x| → |x|. De modo que el radio de convergencia

es R = 1 y el intervalo es I = (−1, 1) pues la sucesi´ on ak no converge a cero.

´ 10.3. Algebra de series de potencias Las series de potencias se pueden sumar y multiplicar y los radios de convergencia de las series resultantes estar´an determinados por aquellos de las series originales.

P P Teorema 10.4. Dadas dosP series de potencias ak xk y bk xk convergentes k para x0 . Entonces la serie (ak + bk ) x converge para todo x ∈ (− |x0 | , |x0 |) P P P Pk k y se tiene que (a + b ) x = ak xk + bk xk . Adem´ as, si ck = P aj bk−j k k P laPserie
P ck xk converge para todo x ∈ (− |x0 | , |x0 |) y se tiene que ck xk =
k k ak x bk x . ´ n. Se deja como ejercicio. Demostracio

Ejemplo 10.4. P k   P k  Pk x x Calculemos el producto k! k! . El coeficiente ck = P P (2x)k 2k 2x ck xk = k! . Entonces, k! = e . Natural.

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1 1 j! (k−j)!

=

◭ Ejercicio