Skript zur Vorlesung Wertpapieranalyse Dietrich Baumgarten

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11. Juli 2011

Rechtlische Hinweise Das Skript dient ausschlieÿlich Lehrzwecken und wurde von einem unter Einuss von Rotwein stehenden Professor in einsamen Nachtstunden verfasst. Jede darin vertretene Meinung ist unsachlich, alle Aussagen sind falsch, jede Formel ist fehlerhaft. Daher dürfen Sie dieses Skript unter keinen Umständen für nanzielle Entscheidungen heranziehen, die Hochschule Darmstadt und der Autor schlieÿen jede Haftung aus und übernehmen natürlich auch keine Gewähr für die Richtigkeit auch nur einer einzigen Formel dieses Machwerks, denn jeder Fehler ist beabsichtigt und aus wohl durchdachten didaktischen Zwecken eingefügt, um die Aufmerksamkeit des Lesers zu fördern und die Suche nach Fehlern so lustig wie das Finden von Ostereiern zu gestalten.

iii

Inhaltsverzeichnis 1

Zinsrechnung

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

1.11 1.12 1.13 1.14 1.15

1.16 1.17

1.18

iv

Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wofür gibt es Zins? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestimmung des Zinssatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponentielle Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stetige Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfache Zinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einuss der Laufzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auösungen nach Anfangskapital, Zeit und Zinssatz . . . . . . . . . . . . Zinsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 ICMA, ISMA und ISDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2 Die kalendergenaue Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) . . . . . . . 1.10.3 Die Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.4 Zinsmethoden mit kalendergenauer Tagzählung . . . . . . . . . . 1.10.5 Beispiele zu ACT/XXX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.6 Zinsmethoden mit vereinfachter Tagzählung (30E/360 und 30U/360) 1.10.7 Beispiele zu 30/360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.8 Zinsmethode nach PAngV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.9 Abschlieÿende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiele mit Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rendite einer verzinsten Anlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Zinseszinsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die gemischte Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14.1 Beispiele zur gemischten Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . Unterjährige Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15.1 Zinstermin und Zinsperiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15.2 Formel der unterjährigen gemischten Verzinsung . . . . . . . . . . 1.15.3 Beispiele zur unterjährigen gemischten Verzinsung . . . . . . . . . Gestaelte Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bundesschatzbriefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.17.1 Stückzinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.17.2 Rückgabe und Verkauf von Bundesschatzbriefen . . . . . . . . . . 1.17.3 Steuerliche Behandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.18.1 Zeitmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1 2 2 3 4 4 6 7 7 8 8 10 10 11 11 13 14 15 16 17 21 22 22 23 24 24 25 27 29 31 32 32 34 35 35

Inhaltsverzeichnis 1.18.2 Zeit nach PAngV 1.18.3 Zinsformeln . . . 1.19 Aufgaben . . . . . . . . 1.20 Lösungen . . . . . . . . 2

2.1

2.3 2.4 2.5 2.6

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Zinsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Die Excel-Funktion TAGE360 . . . . . . . 2.1.2 Die Excel-Funktion BRTEILJAHRE . . . 2.1.3 Die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) . . . 2.1.4 Die Zinsmethode PAngV . . . . . . . . . . Exponentielle, stetige und einfache Verzinsung . . 2.2.1 Auösungen nach Anfangskapital, Zeit und Das Excel-Feature Zielwertsuche . . . . . . . . . . 2.3.1 Automatischer Aufruf der Zielwertsuche . Gemischte Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . Unterjährige gemischte Verzinsung mit Excel . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Barwert und Rendite von Zahlungsströmen

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 4

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Zinsrechnung mit Excel

2.2

3

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Konto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Barwert . . . . . . . . . . . . . . . . Zahlungsstrom . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Beispiel eines Zahlungsstroms . . Der Barwert eine Zahlungsstroms . . . . Äquivalenz von Zahlungsströmem . . . . Die Nettobarwertfunktion . . . . . . . . Investitionsrechnung . . . . . . . . . . . 3.7.1 Die Kapitalwertmethode . . . . . Der interne Zinssatz . . . . . . . . . . . 3.8.1 Rendite und Efektivverzinsung . Nominale und eektive Zahlungsströme . Numerische Berechnung der Rendite . . 3.10.1 Die Vorzeichenregel von Descartes Allgemeine Nettobarwertfunktionen . . . Barwertberechnung mit Excel . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . .

Regelmäÿige Zahlungsströme

4.1 4.2 4.3

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Arithmetische Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrische Reihen und Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundbegrie der Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 36 37 40 50

50 50 50 51 52 53 56 58 58 59 60 61

63

63 64 65 65 66 67 69 71 71 73 74 74 77 79 80 82 83 85 87

92

92 93 95

v

Inhaltsverzeichnis 4.4 4.5

4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 5

vi

Rentenzahlungen an Zinszuschlagszeitpunkten . . . . . . . . . 4.4.1 Nachschüssige Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Vorschüssige Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstante Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Konstante nachschüssige Renten . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Konstante vorschüssige Renten . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Überperiodische konstante Zahlungen . . . . . . . . . . 4.5.4 Unterperiodische regelmäÿige Zahlungen . . . . . . . . Die Barwertfunktion von konstanten Renten . . . . . . . . . . Arithmetisch veränderliche Renten . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Vorschüssig arithmetisch veränderliche Renten . . . . . 4.7.2 Unterperiodische arithmetisch veränderliche Zahlungen Geometrisch veränderliche Renten . . . . . . . . . . . . . . . . Ewige Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Ewige Rente mit konstanten Raten . . . . . . . . . . . 4.9.2 Ewige geometrisch veränderliche Renten . . . . . . . . Barwertfunktion von geometrisch veränderlichen Renten . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praktikumsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anleihen

5.1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Einteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Nullkuponanleihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Preisformel für Nullkuponanleihen . . . . . . 5.2.2 Treasury Bills (T-Bills) . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Bubills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Finanzierungsschätze des Bundes . . . . . . 5.3 Spot- und Forward Rates . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Die Zinskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Die Diskontierungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Renten der Bundesrepublik Deutschland . . . . . . 5.7.1 Bundesobligationen . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Bundesanleihen . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.3 Strippen von Bundesanleihen . . . . . . . . 5.8 Vergleich von Renten und Nullkuponanlagen . . . . 5.9 Kaufpreis einer Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.1 Stückzinsen und Wertstellung . . . . . . . . 5.9.2 Kaufpreisformeln . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Renditen von Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.1 Beispiele zur Renditeberechnung von Renten

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96 97 98 98 99 100 101 102 104 107 108 109 110 112 112 112 113 114 116 117 122 123

123 124 125 125 127 128 129 129 131 132 135 136 137 137 137 138 139 139 140 141 142

Inhaltsverzeichnis 5.11 5.12

5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 6

5.10.2 Der Current Yield von Renten . . . . . . . . . . . Kurse von Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung der Zinskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.1 Exakte Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.2 Berechnung durch Regression . . . . . . . . . . . Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeitliche Preissensitivität von Anleihen . . . . . . . . . . 5.14.1 Zeitliche Veränderung von Anleihen . . . . . . . . Die modizierte Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15.1 Die modizierte Duration bei Nullkuponanleihen Die Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die modizierte Duration von Portfolios . . . . . . . . . Die Duration als mittlere Bindungsdauer einer Anleihe . Die modizierte Duration von Zahlungsströmen . . . . . Die Duration von Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.20.1 Der Durationsansatz bei Renten . . . . . . . . . . Die Duration als mittlere Bindungsdauer einer Rente . . Die modizierte Duration bei nicht acher Zinskurve . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vermischte Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Moderne Portfoliotheorie (MPT)

6.1 6.2

Rendite und Risiko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einführung in die Portfoliotheorie . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Berechnung der erwarteten Renditen . . . . . . . . . 6.2.3 Berechnung der Varianz und der Standardabweichung 6.2.4 Berechnung der Kovarianzen . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 Berechnung der Korrelationen . . . . . . . . . . . . . 6.2.6 Zufallsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.7 Kovarianz- und Korrelationsmatrix . . . . . . . . . . 6.2.8 Erwartungswert und Varianz von Portfolios . . . . . 6.3 Systematisches und unsystematisches Risiko . . . . . . . . . 6.4 Eziente Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Das Marktportfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Risikoloser Zinssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Marktezienz und Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Bestimmung des Marktportfolios . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Mathematische Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) . . . . . . . . . . 6.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144 144 146 147 147 148 150 150 151 153 154 155 157 158 160 161 162 163 164 166 172 175 185

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185 187 187 187 189 190 192 192 193 194 195 197 199 200 202 203 204 206 207

vii

Inhaltsverzeichnis 6.11 Algorithmen . 6.11.1 Fall 1 . 6.11.2 Fall 2 . 6.11.3 Fall 3 . 6.12 Beispiele . . . 6.13 Aufgaben . . 6.14 Lösungen . .

viii

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209 209 209 209 210 216 219

Abbildungsverzeichnis 1.1 1.2

Vergleich zwischen einfacher (linearer) und exponentieller Verzinsung. . . Konditionen von zwei Bundesschatzbriefen. . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 31

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Zinsmethode PAngV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung des Endkapitals bei verschiedenen Formen der Verzinsung. Berechnung des Endkapitals bei verschiedenen Formen der Verzinsung. Berechnung des Endkapitals bei gemischter Verzinsung. . . . . . . . . . Berechnung des Endkapitals bei gemischter unterjähriger Verzinsung. . Ein universelles Formular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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51 53 54 57 59 60 62

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Die Barwertfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Nettobarwertfunktion aus Sicht der Bank. . . . Die Nettobarwertfunktion als Kapitalwertfunktion. Die Nettobarwertfunktion des Beispiels 3.4. . . . . . Zielwertsuche mit Excel . . . . . . . . . . . . . . . Zielwertsuche mit Excel . . . . . . . . . . . . . . . Nettobarwertfunktion der Schisinvestition. . . . . Graph und Nullstellen von f (x) = 0, 5x4 − 2x − 3 .

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66 70 73 77 82 82 90 91

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Zeitstrahl einer nachschüssigen Rente. . . . . . . . . . . Zeitstrahl einer vorschüssigen Rente. . . . . . . . . . . Zahlungsstrom zum Beispiel 4.11. . . . . . . . . . . . . Ersatzrente einer unterjährigen, nachschüssigen Rente. Ersatzrente einer unterjährigen, vorschüssigen Rente. . Barwertfunktion einer konstanten Rente. . . . . . . . . Ersatzrente einer unterjährigen, nachschüssigen Rente. Ersatzrente einer unterjährigen, nachschüssigen Rente. Barwertfunktion einer konstanten Rente. . . . . . . . .

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97 98 102 102 103 104 110 110 116

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Typische Formen der Zinskurve. . Zahlungsstrom einer Rente. . . . Ein Formular für Bundesanleihen. Arbeitstabelle zur Berechnung der Zahlungsstrom einer Rente. . . . Arbeitstabelle zur Berechnung der Arbeitstabelle mit den Zinskurven

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (modizierten) Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (modizierten) Duration . . . und Diskontierungsfunktionen

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132 141 142 159 160 161 176

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ix

Abbildungsverzeichnis

x

5.8 5.9

Zwei Zinskurven und zugehörige Diskontierungsfunktionen . . . . . . . . 177 Arbeitstabelle zur Berechnung der Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

Risiko-Ertragsdiagramm . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsblatt zur Portfoliotheorie . . . . . . . . . . Abweichungen der Renditen vom Erwartungswert Systematisches und unsystematisches Risiko . . . Ezienzgrenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ezienzgrenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen zum Beispiel 6.1 . . . . . . . . . . Arbeitsblatt des Beispiels . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsblatt der Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . Arbeitsblatt der Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

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186 188 191 196 198 200 211 212 219 222

Tabellenverzeichnis 5.1

Kenndaten einiger Bundesanleihen am 13,5.2011. . . . . . . . . . . . . . 140

6.1 6.2

Vier Aktien im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Marktkapitalisierung der drei Aktien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

xi

1 Zinsrechnung Als Zinsrechnung bezeichnet man alle mathematische Formeln zur Berechnung der Zinsen, die für die Verleihung eines Geldbetrages innerhalb eines Zeitraumes anfallen. Es gibt zwei grundsätzliche Ansätze für die Verzinsung. Der Unterschied besteht in der Behandlung der bereits angefallenen aber noch nicht ausgezahlten Zinsen. Werden die Zinsen immer nur auf das Anfangskapital bezogen, spricht man von einfacher Verzinsung. Werden die Zinsen dagegen nach einer Zinsperiode genannten Zeit dem zu verzinsenden Kapital hinzugeschlagen, erhält der Gläubiger Zinsen auch auf die Zinsen, man spricht von Zinseszinsen. Beide Ansätze können aber auch verknüpft werden, was mit gemischter Verzinsung bezeichnet wird. Zinsen spielen in der Wertpapieranalyse die zentrale Rolle. Über Zinsen werden erzielte Renditen berechnet und der Wert zukünftiger Erträge ermittelt.

1.1 Grundbegrie Bei Geldgeschäften überlässt ein so genannter Gläubiger oder Kapitalgeber dem Schuldner für einen bestimmten als Laufzeit bezeichneten Zeitraum einen Anfangskapital genannten Betrag. Am Ende der Laufzeit wird vom Schuldner das Anfangskapital getilgt und zusätzlich der Zinsbetrag als Belohnung für die Überlassung des Geldes bezahlt. Die Gesamtsumme wird als Endkapital bezeichnet. Der Zinsbetrag ist ein bestimmter Prozentsatz des verliehenen Kapitals. Der auf ein Jahr bezogene Prozentsatz, wofür die Abkürzung p.a. für lateinisch pro anno gilt, wird als Zinssatz r bezeichnet, etwa r = 4%. Die reine Zahl, die vor dem Prozentzeichen steht, wird Zinsfuÿ genannt. Der Zinssatz gibt an, wieviel Prozent des Anfangskapitals nach einem Jahr als Zinsbetrag fällig sind. Bei Anlage von 1.000 Euro zum Zinssatz von r = 4% werden also am Ende des ersten Jahres 40 Euro als Zinswert gut geschrieben. Der Gläubiger heiÿt so, weil er glaubt, dass der Schuldner am Ende der Laufzeit das entliehene Kapital zuzüglich einer Zinsbetrag genannten Belohnung tilgen kann. Beide Parteien können natürliche oder juristische Personen wie Banken und Unternehmen sein. Zwischen Gläubiger und Schuldner besteht ein Schuldverhältnis, das in der Regel vertraglich abgesichert ist. Eine Bank schlieÿt z.B. einen Darlehensvertrag mit dem Nehmer des Darlehens ab. Typische Geschäfte dieser Art ndet man in den folgenden Finanzbereichen. ˆ Spareinlagen bei einer Bank, der Kunde ist Gläubiger, die Bank Schuldner. ˆ Darlehen von einer Bank, der Kunde ist Schuldner, die Bank Gläubiger.

1

1 Zinsrechnung ˆ Anleihen von Staaten oder Unternehmen. Hier sind die Käufer die Gläubiger und die Emittenten (Staat, Unternehmen) die Schuldner.

1.2 Wofür gibt es Zins? Der Zinsbegri ist zentral für alle Bereiche der Finanzen. Zinsen haben etwas anrüchiges, da der Gläubiger sie scheinbar ohne eigene Arbeit erzielt. Zinsen werden aus vier Gründen gefordert: ˆ Inationsausgleich. Der Gläubiger möchte real nach Abzug der Geldentwertung am Ende nicht schlechter als am Anfang da stehen. ˆ Liquiditätsprämie. Der Gläubiger wird für den zeitweisen Verzicht auf die Verfügbarkeit des verliehenen Geldes belohnt. ˆ Risikoprämie. Die Unsicherheit des Gläubigers, ob der Schuldner Zinsen und Tilgung zurückzahlen kann, wird ebenfalls mit den Zinsen bezahlt. ˆ Gewinstreben. Natürlich möchte der Gläubiger durch das Verleihen von Geld auch ein Geschäft machen, das Geld arbeiten lassen, wie es so schön heiÿt. Zur Arbeit verdammt ist aber nur der Schuldner, um Kapital und Zinsen leisten zu können. Inationsausgleich ist ein ehrenwertes Anliegen, die anderen Anliegen stossen dagegen auf wenig Sympathie. Wegen der Risiko- und Zeitabhängigkeit der Zinsen gibt es auch keinen einheitlichen Zinssatz, sondern für jede Risikoklasse und für jede Zeit einen eigenen. Der Zinssatz ist also eine Funktion r = r(t, σ), wobei t der Parameter der Zeit und σ ein noch näher zu kennzeichnendes Maÿ für das Risiko ist. In normalen Zeiten wächst r(t, σ) monoton in t und σ .

1.3 Bestimmung des Zinssatzes Die Höhe des Zinssatzes ist natürlich marktabhängig, berücksichtigt aber auch die Bonität des Schuldners. Nach unseren grundsätzlichen Überlegungen sollte sich der Zinssatz aus vier Komponenten zusammensetzen:

r = rI + rL + rR + rG , wobei jede der einzelnen Zahlen Ination, Liquidität, Risiko und Gewinn berücksichtigt. Die beiden ersten Komponenten hängen kaum vom Schuldner ab, während die Risikound die Gewinnkomponente ganz stark dessen Situation widerspiegeln. Generell gilt, dass

2

1.4 Zinsrechnung das Gewinnstreben mit eingegangenen Risiko wächst. Je dringender also Geld benötigt wird, umso teurer wird es. So muss im Frühjahr 2009 der Bund vertreten durch den Finanzminister rund 6 Prozent weniger Zinsen zahlen als die krisengeschüttelte Automobilindustrie. Daimler geriet dadurch in eine so verzweifelte Lage, dass einem Investor aus dem Nahen Osten rund 10 Prozent des Aktienkapitals für knapp 2 Milliarden Euro überlassen wurde.

1.4 Zinsrechnung Als Zinsrechnung bezeichnet man alle mathematische Formeln zur Berechnung der Zinsen, die für die Verleihung eines Geldbetrages innerhalb eines Zeitraumes anfallen. Im Verlauf der Zeit wurden zwar viele unterschiedliche Formeln entwickelt, aber immer werden folgende vier Gröÿen berücksichtigt: ˆ Das Anfangskapital K0 , also die verliehene Geldsumme. ˆ Der Zinssatz r, d.h. der Prozentsatz, der den auf das Anfangskapital bezogenen Zinsbetrag für ein Jahr festlegt. ˆ Die Laufzeit t, d.h. den Zeitraum für die Überlassung des Anfangskapitals. Zeiten werden in der Finanzmathematik immer mit der Einheit Jahr angegeben. ˆ Das Endkapital Kt , also die am Ende der Laufzeit fällige Geldsumme aus Anfangskapital und Zinsbetrag. Da der Zinssatz inations- und damit zeitabhängig ist, bleibt er nicht für immer konstant. Die Zinsbindung ist die Zeit, wo der Zinsatz unverändert bleibt. Zinssatz und Zinsbindung werden von Gläubiger und Schuldner je nach Marktbedingungen ausgehandelt. Wenn Sie also von einem Freund 5.000 Euro bei einem Zinssatz von 2 % für vier Jahre leihen, sind K0 = 5.000, r = 2% und t = 4. Nur das Endkapital kennen wir noch nicht. Es gibt zwei grundsätzliche Ansätze für die Verzinsung. Der Unterschied besteht in der Behandlung der bereits angefallenen aber noch nicht ausgezahlten Zinsen. Werden diese nach einer bestimmten Zeit dem zu verzinsenden Kapital hinzugeschlagen, erhält der Gläubiger Zinsen auch auf die Zinsen, daher rührt die Bezeichnung Zinseszinsen. Werden die Zinsen immer nur auf das Anfangskapital bezogen, spricht man von einfacher Verzinsung. Beide Ansätze können aber auch verknüpft werden, was mit gemischter Verzinsung bezeichnet wird. Für private Geldgeschäfte sind nur einfache Zinsen erlaubt, während Finanzunternehmen wie Banken auch Zinseszinsen gestattet sind. In unserem Beispiel dürfte Ihr Freund also als Zinsbetrag nur viermal zwei Prozent von 5.000 Euro verlangen, insgesamt 400 Euro.

3

1 Zinsrechnung

1.5 Exponentielle Verzinsung Nach diesen grundsätzlichen Überlegungen soll jetzt eine Formel für die Verzinsung gewonnen werden. Diese soll von der Form

Kt = K0 f (t) sein, wobei die Funktion f (t) den Wert zum Zeitpunkt t eines zum Zeitpunkt 0 verliehenen Euros darstellt. Der Wert jedes anderen Anfangskapitals muss dazu proportional sein. Diese Funktion muss streng monoton wachsend sein und die Bedingung

f (t + s) = f (t)f (s)

(1.1)

erfüllen, denn die Verleihung von K0 über den Zeitraum t + s muss zum selben Endwert führen, wie die Verleihung von K0 über den Zeitraum t und die anschlieÿende Ausleihe des Zwischenbetrags K0 f (t) über die weitere Zeitspanne s. Bezeichnet man mit r die Zuwachsrate für ein Jahr, so gilt

f (1) = 1 + r.

(1.2)

Die einzige Funktion, die die beiden Gleichungen (1.1) und (1.2) erfüllt, ist durch

gegeben. Somit gilt

f (t) = (1 + r)t

(1.3)

Kt = K0 (1 + r)t .

(1.4)

Denition 1.1. Jede Verzinsung, die nach diesem Gesetz erfolgt, heiÿt exponentielle Verzinsung . Die Zahl r ist der Zinssatz und t die Laufzeit. Der Zinsbetrag Zt ist die Dierenz zwischen End- und Anfangskapital.

Wenn Sie also die 5.000 Euro nicht von einem Freund, sondern von einer Bank zu 2 Prozent für vier Jahre bei exponentieller Verzinsung ausleihen, wird am Ende der Betrag

Kt = 1, 024 · 5.000 = 5412, 16 e fällig. Der Zinsbetrag ist 412,16 Euro.

1.6 Stetige Verzinsung Die Gleichung (1.4) auf Seite 4 lässt sich durch die Exponential- und Logarithmusfunktion wie folgt umschreiben: Kt = K0 eln(1+r)t . (1.5) Setzt man

r˜ = ln(1 + r), so ergibt sich

Kt = K0 er˜t .

(1.6)

Lässt man die Tilde über dem Zinssatz weg, erhält man eine weitere Form der Verzinsung.

4

1.6 Stetige Verzinsung Denition 1.2. Werden Anfangs- und Endkapital über die Zinsformel Kt = K0 ert

(1.7)

verknüpft, spricht man von stetiger Verzinsung . Diese Form der Verzinsung ist in den USA gebräuchlich, und wird bei Renditerechnungen verwendet. Stetige Verzinsung und exponentielle Verzinsung sind gleichwertig, was in einem Satz festgehalten werden soll.

Satz 1.1. Die stetige Verzinsung zum Zinssatz r entspricht der exponentiellen Verzinsung zum Zinssatz er − 1. Umgekehrt entspricht der exponentiellen Verzinsung zum Zinssatz r die stetige zum Zinssatz ln(1 + r). Wegen er − 1 > r

für r > 0 führt bei gleichem Zinssatz und sonst gleichen Bedingungen die stetige Verzinsung zu einem höheren Endkapital als die exponentielle. Es sei noch angemerkt, dass in der Literatur der Zinssatz bei exponentieller Verzinsung konform und der bei stetiger Verzinsung kontinuierlich genannt wird. Die stetige Verzinsung selbst wird ebenfalls zuweilen als kontinuierlich bezeichnet. Abschlieÿend ein Beispiel zu den beiden Formen der Verzinsung.

Beispiel 1.1. Welchen Endwert erreicht ein Kapital von 1.000.000 Euro zwischen dem

1.1.2001 und dem 1.1.2006 bei einem Zinssatz von r = 0, 08 mit exponentieller und stetiger Verzinsung? Wie müsste der Zinssatz der exponentiellen Verzinsung sein, damit sich derselbe Endwert wie bei der stetigen Verzinsung ergibt? Das Kapital wird genau fünf Jahre verzinst. Somit ergibt sich bei der exponentiellen Verzinsung Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)5 = 1.469.328, 08 Euro und bei der stetigen Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08·5 = 1.491.824, 70 Euro. Der Endwert von 1.491.824,70 Euro würde bei exponentieller Verzinsung bei einem Zinssatz von r¯ = er − 1 = e0,08 − 1 = 0, 083287068 erreicht.

Bei gleichem Zinssatz ergibt die stetige Verzinsung immer einer höheren Endwert als die exponentielle Verzinsung.

5

1 Zinsrechnung

1.7 Einfache Zinsen Die Grundformel der exponentiellen Verzinsung (1.4) würde zur Abwicklung aller Zinsgeschäfte genügen. Die Berechnung ist mit modernen Taschenrechner problemlos möglich, aber in früheren Zeiten nur mit Logarithmentafeln. Daher wurde die Grundformel linearisiert.

Denition 1.3. Werden Anfangs- und Endkapital über die Zinsformel Kt = K0 (1 + rt) .

(1.8)

verknüpft, spricht man von einfacher Verzinsung . Trägt man Kt über der Zeit ab, ergibt sich eine Gerade, deshalb wird diese Form der Verzinsung auch manchmal lineare Verzinsung genannt. Betrachten wir ein Beispiel mit allen bisher bekannten Zinsformeln.

Beispiel 1.2. Welchen Endwert erreicht ein Kapital von 1.000.000 Euro zwischen dem

1.1.2001 und dem 1.1.2003 bei einem Zinssatz von r = 0, 03 mit exponentieller, stetiger und einfacher Verzinsung? Wie müsste der Zinssatz der stetigen Verzinsung sein, damit sich derselbe Endwert wie bei der exponentiellen Verzinsung ergibt? Das Kapital wird genau zwei Jahre verzinst. Somit ergibt sich bei der exponentiellen Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 03)2 = 1.060.900, 00 Euro und bei der stetigen Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,03·2 = 1.061.836, 55 Euro. Bei der einfachen Verzinsung erhält man

Kt = 1.000.000(1 + 0, 03 · 2) = 1.060.000, 00 Euro. Der Endwert von 1.060.900,00 Euro würde bei stetiger Verzinsung bei einem Zinssatz von

r˜ = ln(1 + r) = 0, 029558802 erreicht. Bei allen Beispielen habe ich bisher immer als Einheit der Zeit ein Jahr verwendet. Das ist so üblich und sei noch einmal festgehalten.

Die Einheit der Zeit ist in der Finanzmathematik in der Regel ein Jahr.

6

1.8 Einuss der Laufzeit

1.8 Einuss der Laufzeit Ist die Laufzeit geringer als ein Jahr, führt die einfache Verzinsung zu höheren Zinserträgen als die exponentielle Verzinsung. Bei Laufzeiten ab einem Jahr dreht sich das zunächst langsam und dann mit wachsender Laufzeit immer deutlicher um. Das verdeutlicht die Abbildung 1.1 auf Seite 7, die das erzielte Endkapital einer Anlage von 1.000 Euro zum Zinssatz von 8 Prozent bei einfacher und exponentieller Verzinsung als Funktion der Laufzeit zeigt. Für kleine Zeitabstände ist der Unterschied zwischen den beiden Formen der Verzinsung gering, daher wird auf dem Geldmarkt, wo die Verleihungszeiten nicht höher als ein Jahr sind, meistens mit linearen Zinsen gerechnet. Vergleich von linearer und exponentieller Verzinsung Endkapital

5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500

Zeit in Jahren

0 0

5

10

15

20

Abbildung 1.1: Vergleich zwischen einfacher (linearer) und exponentieller Verzinsung.

1.9 Auösungen nach Anfangskapital, Zeit und Zinssatz Wir haben bis jetzt drei verschiedene Arten der Verzinsung kennengelernt, und zwar die exponentielle, die stetige und die lineare Verzinsung. Die drei Grundformeln lauten: Exponentielle Verzinsung: Stetige Verzinsung: Einfache Verzinsung:

Kt = K0 (1 + r)t , Kt = K0 ert , Kt = K0 (1 + rt).

(1.9) (1.10) (1.11)

7

1 Zinsrechnung In jeder Formel sind die vier Gröÿen Kt , K0 , r und t beteiligt. Jede Formel lässt sich nach einer der vier Gröÿen auösen. Man kann das Ausgangskapital K0 wie folgt aus den restlichen Gröÿen berechnen:

K0 = Kt (1 + r)−t , K0 = Kt e−rt , Kt . K0 = 1 + rt

(1.12) (1.13) (1.14)

Die Auösungen nach r folgen jetzt.

1/t Kt r= − 1, K0 ln(Kt ) − ln(K0 ) r= , t Kt − K0 r= . K0 t 

(1.15) (1.16) (1.17)

Als letztes gebe ich die Auösungen nach t an.

ln(Kt ) − ln(K0 ) , ln(1 + r) ln(Kt ) − ln(K0 ) t= , r Kt − K0 t= . K0 r t=

(1.18) (1.19) (1.20)

1.10 Zinsmethoden In jeder der drei Zinsformeln gehen der Zinssatz r und die Zeit t zwischen Ein- und Auszahlung ein. Die Einheit der Zeit ist ein Jahr. Die Messung der Zeit erfolgt über die Berechnung der Tage zwischen Anfangs- und Enddatum und anschlieÿender Division durch die Anzahl der Tage in einem Jahr. Das scheint banal zu sein, aber trotzdem gibt es viele verschiedene Methoden zur Berechnung von t, die ich jetzt vorstellen werde. Zunächst noch die formale Denition des Begries Zinsmethode.

Denition 1.4. Jede Zinstagzählmethode , englisch day count convention, legt fest,

wie viel Tage zwischen zwei Daten liegen und welche Zeit ∆t anzurechnen ist. Meist wird nur die verkürzte Bezeichnung Zinsmethode verwendet.

1.10.1 ICMA, ISMA und ISDA Bei der Beschreibung und Festlegung der Zinsmethoden sind drei internationale Organisationen maÿgeblich beteiligt, deren Abkürzungen auch noch leicht zu verwechseln sind.

8

1.10 Zinsmethoden ˆ ICMA: International Capital Market Association. Die International Capital Market Association (ICMA) ist eine selbstregulierende Organisation und Handelsvereinigung, welche Mitglieder aktiv am internationalen Markt vertritt, u.a. globale und lokal tätige Banken, Zentralbanken, Börsen, FondsGesellschaften und Wertpapierhändler. Die Regelwerke und Richtlinien von ICMA werden weltweit beachtet und angewendet. Die ICMA beschreibt sich im Internet wie folgt selbst: It(=ICMA) represents a broad range of capital market interests including global investment banks and smaller regional banks, as well as asset managers, exchanges, central banks, law rms and other professional advisers amongst its member rms. ICMA's market conventions and standards have been the pillars of the international debt market for over 40 years. Der Sitz von ICMA ist in Zürich. Diese Organisation ist wohl die im Zusammenhang mit Zinsmethoden wichtigste. ˆ ISMA: International Securities Market Association Die International Securities Market Association (ISMA) ist eine selbstregulierende Organisation und ein Wirtschaftsverband für den internationalen WertpapierMarkt. Ihre Hauptaufgabe ist die Beaufsichtigung und Regulierung des sich schnell ändernden Marktes durch die Ausgabe von Richtlinien und Empfehlungen. Die ISMA wurde 1969 als Association of International Bond Dealers (AIBD) mit der Zielstellung gegründet, einen Rahmen und ein Regelwerk für den grenzüberschreitenden Eurobond-Markt zu schaen, durch das dieser aufstrebende Markt mit der notwendigen Stabilität funktionieren konnte. Heute hat die ISMA über 450 Mitglieder in fast 50 Ländern. Anfang der 90er Jahre reichte die ISMA ihr Regelwerk, d.h. ihre Gesetze, Verordnungen, Richtlinien und Empfehlungen bei der Europäischen Kommission zur Prüfung ein. Im Dezember 1992 stellte die Kommission fest, daÿ die ISMA-Regeln mit dem EU-Recht kompatibel sind. Die Eektivzinsmethode ist Bestandteil der ISMA Rule 25. (Zitiert nach zinsmethoden.de am 12.3.2010.) ˆ ISDA: International Swaps and Derivatives Association Die International Swaps and Derivatives Association (ISDA) ist eine Handelsorganisation der Teilnehmer am Markt für OTC-Derivate. Ihr Hauptsitz bendet sich in New York. Die ISDA hat einen standardisierten Vertrag, das ISDA Master Agreement, veröentlicht, die zwei Vertragspartner abschlieÿen, bevor sie miteinander Derivate handeln. OTC steht für over the counter und meint Finanzinstrumente, die direkt zwischen den Vertragspartnern abgeschlossen werden, und somit weder nicht standardisiert sind noch an einer Börse gehandelt werden. (Zitiert nach Wikipedia vom 12.2.2010.) Die Bedeutung dieser Organisationen für die Zinsmethoden wird im folgenden drolligen Zitat ersichtlich: The International Capital Markets Association (ICMA) has veried to ISDA that the Day Count Convention formerly known as ACT/ACT (ISMA)

9

1 Zinsrechnung is now known as ACT/ACT (ICMA) and that the two conventions are identical. Ich beschreibe die Zinsmethoden entsprechend des Internetauftritts von ICMA und übernehme deren Bezeichnungen und Abkürzungen.

1.10.2 Die kalendergenaue Zinsmethode

ACT/ACT (ICMA)

Diese Methode wurde also früher ACT/ACT (ISMA) genannt und geistert bis heute unter dieser Bezeichnung durch die Literatur und das Internet. Die Abkürzung ACT steht dabei für actual=taggenau. Hier werden im Anfangsjahr die Tage bis zum Jahresende genau gezählt und dabei der erste Tag mitberechnet und das Ergebnis wird durch die Anzahl der Tage des entsprechenden Jahres geteilt. Dann werden alle ganzen Jahre dazu gezählt. Abschlieÿend werden im Endjahr wieder die restlichen Tage gezählt, das Enddatum aber nicht mit einbezogen, und auch diese Zahl durch die Anzahl der Tage des Endjahrs geteilt. Diese Vorgehensweise berücksichtigt Schaltjahre ohne jede Einschränkung und ist deshalb die einzige in meinen Augen kalendergenaue Zinsmethode.

Beispiel 1.3. Betrachten wir die Zeit vom 25.2.2000 bis zum 31.3.2006. Das Anfangsjahr ist ein Schaltjahr mit 366 Tagen. In diesem Jahr werden alle 311 Tage einschlieÿlich des 25.2. gezählt, das ergibt den Bruch 311/366. Danach folgen fünf ganze Jahre. Im Endjahr wird der 31.3. nicht gezählt, sodass nur 89 Tage zusammenkommen. Somit ist

t=

89 311 +5+ = 6, 093562392. 366 365

Beispiel 1.4. In einer anderen Variante dieses Ansatzes wird der erste Tag nicht gezählt, aber der letzte. Dann wäre bei unveränderten Daten t=

310 90 +5+ = 6, 093569878. 366 365

Weitere Beispiele später.

1.10.3 Die Zinsmethode

ACT/ACT (EXCEL)

Diese Zinsmethode wird in einer Excel-Funktion verwendet und in der Beschreibung act/act genannt, ich werde die Bezeichnung ACT/ACT (EXCEL) verwenden, da ihre Implementation nicht mit der beschriebenen Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) übereinstimmt. Die Ausgestaltung von Microsoft ist sehr eigenwillig und wird im Netz heiÿ diskutiert und ist nach meinem Teststand wie folgt. Zunächst werden die Tage k zwischen Anfangs- und Endtermin kalendergenau gezählt. Die Anzahl der Tage y in einem Jahr wird wie folgt berechnet. 1. Liegen Anfangs- und dem Enddatum im gleichen Jahr, ist in einem Schaltjahr y = 366, und sonst ist y = 365.

10

1.10 Zinsmethoden 2. Liegen Anfangs- und Enddatum in verschiedenen Jahren, aber innerhalb einer Dierenz von höchsten einem Jahr, ist y = 366, wenn innerhalb des Zeitraums ein Schalttag, also der 29.2. fällt, sonst ist y = 365. 3. Liegt zwischen dem Anfangs- und dem Enddatum mehr als ein Jahr, müssen alle Jahre, einschlieÿlich der angebrochenen gezählt werden, das ergibt eine Zahl n. Dann wird die Gesamtzahl der Schaltjahre gezählt, das ergibt eine Zahl m. Dann ist m y = 365 + . n Die Zeit t zwischen Anfangs- und Endatum ist der Bruch t = k/y .

Bemerkung 1.1. Wenn Anfangs- und Enddatum innerhalb eines Jahres liegen oder

sich dazwischen kein Schaltjahr bendet, liefern die Zinsmethoden ACT/ACT (EXCEL) und ACT/ACT /ICMA) das gleiche Ergebnis. Ich werde die Zinsmethoden ACT/ACT (EXCEL) nur selten in Zinsrechnungen verwenden, erwähne sie aber, weil sie in der Excel-Arbeitsblattfunktion BRTEILJAHRE implementiert und in der Beschreibung leider act/act genannt wird, obwohl sie nicht mit ACT/ACT (ICMA) übereinstimmt.

1.10.4 Zinsmethoden mit kalendergenauer Tagzählung Bei den zwei nun folgenden Zinsmethoden werden zunächst die Anzahl der Tage zwischen dem Anfangs- und dem Enddatum kalendergenau berechnet, wobei das Enddatum nicht mitgezählt wird. Diese Zahl wird anschlieÿend durch einen Nenner geteilt, der der Anzahl der Tage in einem Jahr entspricht. Die Anzahl der Tage in einem Jahr wird vereinfacht entweder auf 360 oder 365 auf 365 Tage gesetzt. Dieser seltsame Ansatz stammt aus Frankreich und England. Die Bezeichnungen sind ACT/360 bzw. ACT/365. ˆ Eurozinsmethode: ACT/360. Die Zeit t zwischen Anfangs- und Enddatum ist der Bruch t = k/360, wobei k die Anzahl der kalendergenau gezählten Tage zwischen Anfangs- und Endtermin ist. Diese Zinsmethode wird auch französisch genannt. Diese Zinsmethode wird in Deutschland u.a. bei Floating Rate Notes und am Euromarkt für fast alle Währungen angewandt. ˆ Englische Zinsmethode: ACT/365. Die Zeit t zwischen Anfangs- und Endatum ist der Bruch t = k/365, wobei k die Anzahl der kalendergenau gezählten Tage zwischen Anfangs- und Endtermin ist. Diese in England verbreitete Zinsmethode ist in Deutschland u.a. bei Geldmarktpapieren gebräuchlich.

1.10.5 Beispiele zu ACT/XXX Die vier Methoden mit kalendergenauer Tagzählung seien jetzt an einigen Beispielen veranschaulicht.

11

1 Zinsrechnung Beispiel 1.5. Betrachten wir die Zeit vom 25.3.2000 bis zum 31.10.2000. Bei allen

Methoden muss zunächst die Anzahl der Tage zwischen Anfangs- und Enddatum kalendergenau gezählt werden. Das sind hier 220 Tage. Anfangs- und Enddatum liegen in einem Jahr, deshalb haben ACT/ACT (ICMA) und ACT/ACT (EXCEL) dasselbe Ergebnis, nämlich 220/366, da der Zeitraum innerhalb eines Schaltjahrs liegt. Bei der Eurozinsmethode muss 220 durch 360 und bei der englischen Methode durch 365 geteilt werden. Die Werte für t sind deshalb wie in der Tabelle. ACT/ACT (ICMA)

ACT/ACT (EXCEL)

ACT/360

ACT/365

220/366

220/366

220/360

220/365

Beispiel 1.6. Betrachten wir die Zeit vom 25.3.2001 bis zum 31.10.2001. Das sind wieder 220 Tage. Der Zeitraum liegt innerhalb desselben Jahres, aber nicht in einem Schaltjahr, somit ergibt sich bei ACT/ACT (ICMA) und ACT/ACT (EXCEL) der Wert 220/365. Da weder die Eurozins- noch die französische Methode Schaltjahre berücksichtigen, bleiben die Werte wie im vorigen Beispiel. Die Werte für t sind deshalb wie in der Tabelle. ACT/ACT (ICMA)

ACT/ACT (EXCEL)

ACT/360

ACT/365

220/365

220/36

220/360

220/365

Beispiel 1.7. Betrachten wir die Zeit vom 25.2.2000 bis zum 25.2.2001. Bei der Zinsme-

thode ACT/ACT (ICMA) muss der Zeitraum in die Anteile der beiden Jahre aufgeteilt werden. Im Jahr 2000 sind dies 311 Tage, im Jahr 2001 weitere 55, insgesamt 366 Tage, da der 29.2.2000 zu diesem Zeitraum gehört. Bei der Methode ACT/ACT (EXCEL) wird diese Zahl durch y = 366 geteilt, denn der Zeitraum ist genau ein Jahr und enthält einen Schalttag. Die Werte für t sind deshalb wie in der Tabelle. ACT/ACT (ICMA)

ACT/ACT (EXCEL)

ACT/360

ACT/365

311/366 +55/365

366/366

366/360

366/365

Beispiel 1.8. Betrachten wir die Zeit vom 25.3.2000 bis zum 25.2.2001. Bei der Zinsme-

thode ACT/ACT (ICMA) muss der Zeitraum in die Anteile der beiden Jahre aufgeteilt werden. Im Jahr 2000 sind dies 282 Tage, im Jahr 2001 weitere 55, insgesamt 337 Tage. Der Zeitraum ist geringer als ein Jahr, hat 337 Tage und enthält keinen Schalttag, somit ist bei der Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) y = 365. Die Werte für t sind deshalb wie in der Tabelle. ACT/ACT (ICMA)

ACT/ACT (EXCEL)

ACT/360

ACT/365

282/366+55/365

337/365

337/360

337/365

Beispiel 1.9. Betrachten wir die Zeit vom 25.2.2000 bis zum 26.2.2001. Bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) muss der Zeitraum in die Anteile der beiden Jahre aufgeteilt werden. Im Jahr 2000 sind dies 311 Tage, im Jahr 2001 weitere 56. Der Zeitraum ist nun gröÿer als ein Jahr und hat 367 Tage. Einschlieÿlich der angebrochenen Jahre sind zwei Jahre beteiligt, also ist n = 2. Da 2000 ein Schaltjahr war, ist m = 1 und somit ist bei der Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) y = 365 + 1/2. Alle Werte von t zeigt die folgende Tabelle.

12

1.10 Zinsmethoden ACT/ACT (ICMA)

ACT/ACT (EXCEL)

ACT/360

ACT/365

311/366 +56/365

367/365,5

367/360

367/365

Beispiel 1.10. Betrachten wir die Zeit vom 25.2.2000 bis zum 31.3.2006. Dieser Zeit-

raum enthält fünf ganze Jahre und die angebrochenen Jahre 2000 und 2006 mit 311 bzw 89 Tagen. Somit ist bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) t = 311/366 + 5 + 89/365. Der Zeitraum enthält 2226 Tage verteilt auf n = 7 Jahre, wovon m = 2 Schaltjahre sind, nämlich 2000 und 2004. Somit ist bei der Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) y = (365 + 2/7) = 365, 2857143. Die Werte für t sind deshalb wie in der Tabelle. ACT/ACT (ICMA)

ACT/ACT (EXCEL)

ACT/360

ACT/365

311/366 + 5 +89/365

2226/(365+2/7)

2226/360

2226/365

1.10.6 Zinsmethoden mit vereinfachter Tagzählung (30E/360 und 30U/360) Bei diesen Methoden wird vereinfacht angenommen, dass ein Jahr 360 Tage mit 12 Monaten mit je 30 Tagen hat. Daher rührt die Bezeichnung 30/360. Trotz des gemeinsamen Ansatzes gibt es zwei Versionen, die jetzt vorgestellt werden. Dabei werde ich folgende Bezeichnungen verwenden: ˆ (D1.M 1.Y 1). Das Anfangsdatum t1 etwa der 11.12.2000 mit D1 = 11, M 1 = 12 und Y 1 = 2000. ˆ (D2.M 2.Y 2). Das Enddatum t2 etwa der 1.2.2001 mit D2 = 1, M 2 = 2 und Y 2 = 2001. Aus diesen Angaben müssen jetzt Formeln für den zeitlichen Abstand t = t2 − t1 hergeleitet werden. Obwohl in beiden Fällen jeder Monat mit 30 Tagen und damit das Jahr mit 360 Tagen angesetzt wird, gibt es trotzdem zwei verschiedene Ansätze dazu, ein deutscher (europäischer) und ein amerikanischer. Beide berechnen die Anzahl der Tage wie folgt: k = (Y 2 − Y 1)360 + (M 2 − M 1)30 + (D2 − D1) Hier sind wie beschrieben die (D1.M 1.Y 1) und (D2.M 2.Y 2) Anfangs- und Enddatum und D1 sowie D2 Werte, die von D1 und D2 abhängen. Diese Zahl wird durch 360 geteilt und ergibt den Wert der Zeit t, d.h.

t=

k = (Y 2 − Y 1) + (M 2 − M 1)/12 + (D2 − D1)/360 360

Deutsche Zinsmethode:

30E/360

Diese Zinsmethode wird meist 30E/360 genannt. Die beiden Vorschriften zur Berechnung von D1 und D2 sind ganz einfach

13

1 Zinsrechnung ˆ Falls D1 gleich 31 ist, setze D1 = 30 sonst setze D1 = D1. Es gilt also D1 = min(30, D1). ˆ Falls D2 gleich 31 ist, setze D2 = 30 sonst setze D2 = D2. Es gilt also D2 = min(30, D2). Der 31. Kalendertag spielt also keine Rolle und wird wie der 30. behandelt. Endet oder beginnt der Vertrag im Februar werden die Tage kalendergenau gezählt, der 28. Februar, bzw. im Schaltjahr der 29. Februar sind also dann tatsächlich erst der 28. bzw. 29. Zinstag. Sobald der Februar aber überschritten ist, zählt auch er wie alle anderen Monate mit 30 Tagen. Diese Methode wird in Deutschland u.a. bei Sparbüchern und Termingeldern angewandt. Amerikanische Zinsmethode:

30U/360

Diese Zinsmethode wird meist 30U/360 genannt. Die beiden Vorschriften zur Berechnung von D1 und D2 sind etwas undurchsichtig: ˆ Setze D1 = 30 falls D1 der letzte Tag des Monats ist. Sonst sei D1 = D1. ˆ Setze D2 = D2. Ist aber D2 gleich 31 und D1 gleich 30, so setze D2 = 30. Die erste Bedingung führt nur im Februar zu unterschiedlichen Werten für D1, denn die Amerikaner setzen das Monatsende im Februar auf den Wert 30, die Deutschen aber nie. Deshalb vergehen nach deutscher Rechnung zwischen dem 28.2.2001 und dem 1.3.2001 drei Tage, bei unseren transatlantischen Beschützern aber nur ein Tag. Für D2 ergeben sich unterschiedliche Werte, wenn der Tag des Enddatums die 31 ist, der Tag des Anfangsdatums aber nicht der 30. oder 31. Tag. Also vergehen zinsmäÿig zwischen dem 1.10.2000 und dem 31.12.2000 in Europa 89 Tage, in Amerika dagegen 90 Tage. Amerika, du hast es besser, soll Goethe gesagt haben, der allerdings nie dort war.

1.10.7 Beispiele zu 30/360 Beispiel 1.11. Betrachten wir die Zeit vom 29.2.2000 bis zum 31.3.2001. Hier sind

D1 = 29 und D2 = 31, M1 = 2 und M2 = 3 sowie Y1 = 2000 und Y2 = 2001. Nach deutschem Ansatz ergeben sich D1 = 29 und D2 = 30, während man in den USA D1 = 30 und D2 = 30 erhält. Somit sind nach der Zinsmethode 30E/360 t = (2001 − 2000) + (3 − 2)/12 + (30 − 29)/360 = 391/360 und nach der Zinsmethode 30U/360

t = (2001 − 2000) + (3 − 2)/12 + (30 − 30)/360 = 390/360

14

1.10 Zinsmethoden Beispiel 1.12. Betrachten wir nun die Zeit vom 28.2.2000 bis zum 31.3.2001. Hier sind

D1 = 28 und D2 = 31, M1 = 2 und M2 = 3 sowie Y1 = 2000 und Y2 = 2001. Nach deutschem Ansatz ergeben sich D1 = 28 und D2 = 30, während man in den USA D1 = 28 und D2 = 31 erhält. Somit sind nach der Zinsmethode 30E/360 t = (2001 − 2000) + (3 − 2)/12 + (30 − 28)/360 = 392/360 und nach der Zinsmethode 30U/360

t = (2001 − 2000) + (3 − 2)/12 + (31 − 28)/360 = 393/360.

1.10.8 Zinsmethode nach PAngV In Deutschland ist in der so genannten Preisangabeverordnung (PAngV) eine weitere Zinsmethode vorgeschrieben, die zwar umständlich zu erklären, aber besonders bei regelmäÿigen Zahlungen vorteilhaft ist. Allerdings wird diese Formel niemals zur Berechnung von Zinsen verwendet, sondern nur zur Berechnung des Eektivzinssatzes eines Kredits oder der Rendite einer Investition. Die Vorgaben sind wie folgt: Schaltjahre werden nicht berücksichtigt. Monate mit 31 Tage werden auf 30 Tage zurückgestutzt, in diesen Monaten sind dann sowohl der 30. als auch der 31. Tag das Monatsende. Im Februar sind entsprechend bereits die Tage 28 und 29 das Monatsende und erhalten die Nummer 30. Dann werden für die Zeitspanne t zwischen zwei Zeitpunkten zunächst die Monate gezählt, wobei Monate am Tag des Anfangsdatums beginnen. Für den noch verbleibenden Rest werden die Tage gezählt als Bruchteil eines Jahres hinzugefügt. Schauen wir einige Beispiele an.

Beispiel 1.13. a) Zeit vom 27.4.2000 bis zum bis 28.1.2002. Hier werden zunächst die 21 Monate vom 27.4.2000 bis zum 26.1.2002 veranschlagt, dazu kommt noch ein Tag im Zeitraum vom 27.1.2002 bis zum 28.1.2002, da der letzte Tag selbst nicht mehr zählt. Somit

tP = 21/12 + 1/365 = 1, 752739726. b) Zeit vom 27.4.2000 bis zum bis 8.6.2002. Hier werden zunächst die 25 Monate vom 27.4.2000 bis zum 26.5.2002 veranschlagt, dazu kommen im Mai die vier Tage vom 27.5.2002 bis zum 30.5.2002, da Monatslängen bei PAngV auf 30 Tage festgelegt sind, und noch 7 Tage im Juni 2002, also

tP = 25/12 + 11/365 = 2, 11347032. c) Zeit vom 28.2.2000 bis zum bis 31.5.2002. Aus dem 28.2.2000 wird trotz des Schaltjahrs der 30.2.2000, während der 31.5.2002 auf den 30.5.2002 gestutzt wird. So kommt man auf volle 27 Monate, also

tP = 27/12 = 2, 25.

15

1 Zinsrechnung Die deutsche Zinsmethode PAngV ist wie gesehen für die Rechnung mit Papier und Bleistift ziemlich einfach. Für Excel oder andere Programme wird aber auch eine Formel benötigt, und die sieht schwieriger aus als die der anderen Zinsmethoden. Man geht wie folgt vor: Zunächst wird der Tag von D1 auf D1 geändert: ( D1 D1 < 31 oder D1 < 28 und M1 = 2 D1 = (1.21) 30 D1 = 31 oder D1 ≥ 28 und M1 = 2 Genauso wird D2 berechnet. Die Zeit tP nach PAngV ist dann ( Y 2 − Y 1 + (M 2 − M 1)/12 + (D2 − D1)/365 D2 ≥ D1 tP = Y 2 − Y 1 + (M 2 − M 1 − 1)/12 + (D2 + 30 − D1)/365 D2 < D1

(1.22)

Ich rechne das schon behandelte Beispiel jetzt noch einmal stur nach dieser algorithmischen Vorschrift.

Beispiel 1.14. a) Zeit vom 27.4.2000 bis zum bis 28.1.2002. Hier sind D1 = D1 = 27 und D2 = D2 = 28 mit D2 ≥ D1. Somit

tP = 2002 − 2000 + (1 − 4)/12 + (28 − 27)/365 = 1, 752739726. b) Zeit vom 27.4.2000 bis zum bis 8.6.2002. Hier sind D1 = D1 = 27 und D2 = D2 = 8 mit D2 < D1. Somit

tP = 2002 − 2000 + (6 − 4 − 1)/12 + (8 + 30 − 27)/365 = 2, 11347032. c) Zeit vom 28.2.2000 bis zum bis 31.5.2002. Hier sind D1 = 30 und D2 = 30 mit D2 ≥ D1. Somit

tP = 2002 − 2000 + (5 − 2)/12 + (30 − 30)/365 = 2, 25.

1.10.9 Abschlieÿende Bemerkungen Zum Schluss noch einige Anmerkungen zu den Zinsmethoden. 1. Immer wieder gern wird diskutiert, ob der Anfangs- oder Endtag verzinst wird. Sicher ist nur, dass auf keinem Fall beide Tage eingerechnet werden. Bei Sparbüchern wird in der Regel der letzte Tag und im Wertpapiergeschäft der erste Tag einer Zinsperiode mit verzinst. Bei allen Zinsmethoden mit fester Anzahl von Jahrestagen ist es egal, ob der Anfangs- oder Endtag gezählt wird. Das trit auf alle Zinsmethoden auÿer ACT/ACT (ICMA) zu.

16

1.11 Beispiele mit Zinsrechnung 2. Weder die Bezeichnungen noch die tatsächliche Ausgestaltung der Zinsmethoden ist normiert, daher kann sich hinter 30/360 durchaus 30E/360 oder eine exotische amerikanische Sonderform verbergen. Selbstverständlich sind auch die mit Ländernamen versehenen Methoden keineswegs auf diese Länder beschränkt, noch werden in diesen Ländern ausschlieÿlich diese Methoden verwendet. Die deutsche Zinsmethode wird oft auch europäisch genannt, wie an der Bezeichnung 30E/360 zu erkennen ist. 3. Die Zinsmethode nach PAngV wird niemals zur Berechnung von Zinsen verwendet, sondern wird nur für die Bestimmung von Rendite und Eektivzinssatz eingesetzt.

1.11 Beispiele mit Zinsrechnung Wir kennen bis jetzt drei Arten von Verzinsung, die exponentielle, die stetige und die lineare und fünf Zinsmethoden. Bei gleichem Anfangs- und Enddatum und gleichen Zinssatz r führt ein Kapital K0 zu 15 unterschiedlichen Endwerten Kt . Ich werde das an zwei Beispielen zeigen.

Beispiel 1.15. Man berechne den Endwert und den Zinsbetrag bei exponentieller, ste-

tiger und linearer Verzinsung für ein Kapital von 1.000.000 Euro, das im Zeitraum vom 12.1.2000 bis zum 31.3.2000 bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden, bis auf die nach PAngV. Hier sind D1 = 12 und D2 = 31, M1 = 1 und M2 = 3 sowie Y1 = 2000 und Y2 = 2000. Nach deutschem Ansatz ergeben sich D1 = 12 und D2 = 30, während man in den USA D1 = 12 und D2 = 31 erhält.

a) ACT/ACT (ICMA). Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, also im Januar einschlieÿlich des 12.1.2000 20 Tage, 29 im Februar und 30 im März, also kommen 79 Zinstage zusammen. Diese Zahl muss durch 366 geteilt werden, da das Jahr ein Schaltjahr ist. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)79/366 = 1.016.750, 55 e, Zt = Kt − K0 = 16.750, 55 e und bei stetiger Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08·79/366 = 1.017.417, 71 e, Zt = Kt − K0 = 17.417, 71 e, sowie bei linearer Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 79/366) = 1.017.267, 76 e, Zt = Kt − K0 = 17.267, 76 e.

17

1 Zinsrechnung b) ACT/360. Die Zinstage müssen auch hier kalendergenau gezählt werden, das Jahr aber wird nur mit 360 Tagen angesetzt. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)79/360 = 1.017.032, 09 e, Zt = Kt − K0 = 17.032, 09 e und bei stetiger Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08·79/360 = 1.017.710, 56 e, Zt = Kt − K0 = 17.710, 56 e sowie bei linearer Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 79/360) = 1.017.555, 56 e, Zt = Kt − K0 = 17.555, 56 e. c) ACT/365. Die Zinstage müssen auch hier kalendergenau gezählt werden, das Jahr aber wird nur mit 360 Tagen angesetzt. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)79/365 = 1.016.796, 83 e, Zt = Kt − K0 = 16.796, 83 e und bei stetiger Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08·79/365 = 1.017.465, 84 e, Zt = Kt − K0 = 17.465, 84 e sowie bei linearer Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 79/365) = 1.017.315, 07 e, Zt = Kt − K0 = 17.315, 07 e. d) 30E/360. Bei dieser Zinsmethode ist

t=

360 · (2000 − 2000) + 30 · (3 − 1) + (30 − 12) 78 = 360 360

Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)78/360 = 1.016.814, 69 e, Zt = Kt − K0 = 16.814, 69 e

18

1.11 Beispiele mit Zinsrechnung und bei stetiger Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08·78/360 = 1.017.484, 43 e, Zt = Kt − K0 = 17.484, 43 e sowie bei linearer Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 78/360) = 1.017.333, 33 e, Zt = Kt − K0 = 17.333, 33 e. e) 30U/360. Bei dieser Zinsmethode ist

t=

360 · (2000 − 2000) + 30 · (3 − 1) + (31 − 12) 79 = 360 360

Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)79/360 = 1.017.032, 09 e, Zt = Kt − K0 = 17.032, 09 e und bei stetiger Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08·79/360 = 1.017.710, 56 e, Zt = Kt − K0 = 17.710, 56 e sowie bei linearer Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 79/360) = 1.017.555, 56 e, Zt = Kt − K0 = 17.555, 56 e. Die Unterschiede sind wegen der kurzen Laufzeit noch eher gering. Unabhängig von der Zinsmethode ist der Zinsertrag bei stetiger Verzinsung höher als bei einfacher Verzinsung, diese wiederum führt zu einem höheren Zinsbeitrag als die exponentielle Verzinsung. Nun betrachten wir ein Beispiel mit langer Laufzeit.

Beispiel 1.16. Man berechne den Endwert bei exponentieller, stetiger und linearer

Verzinsung für ein Kapital von 1.000.000 Euro, das im Zeitraum vom 1.3.2001 bis zum 15.11.2008 bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle Zinsmethoden auÿer PAngV. a) ACT/ACT (ICMA). Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, also im Jahr 2001 einschlieÿlich des 1.3.2001 insgesamt 306 Tage und im Jahr 2001 ohne den 31.10.2001 weitere 319 Tage. Dazu kommen 6 volle Jahre. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)(306/365+6+319/366) = 1.810.069, 20 e

19

1 Zinsrechnung und bei stetiger Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08(306/365+6+319/366) = 1.852.980, 21 e sowie bei einfacher Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08(306/365 + 6 + 319/366)) = 1.616.795, 27 e. b) ACT/360 Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, das ergibt 2816 Tage, die dann durch 360 geteilt werden, also t = 2816/360 = 7, 8222222. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)2816/360 = 1.825.778, 31 e und bei stetiger Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08·2816/360) = 1.869.699, 60 e sowie bei linearer Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 2816/360) = 1.625.777, 78 e. c) ACT/365 Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, das ergibt 2816 Tage, die dann durch 365 geteilt werden, also t = 2816/365 = 7, 7150685. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)2816/360 = 1.810.783, 64 e und bei stetiger Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08·2816/360) = 1.853.740, 48 e sowie bei linearer Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 2816/360) = 1.617.205, 48 e. d) 30E/360 und 30U/360. Hier sind D1 = 1 und D2 = 15, M1 = 3 und M2 = 11 sowie Y1 = 2001 und Y2 = 2008. Nach deutschem und amerikanischen Ansatz ergeben sich D1 = 1 und D2 = 15 Bei beiden Zinsmethoden ist somit

t=

360 · (2008 − 2001) + 30 · (11 − 3) + (15 − 1) 2774 = 360 360

Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)2774/360 = 1.809.458, 41 e

20

1.12 Rendite einer verzinsten Anlage und bei stetiger Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08·2774/360) = 1.852.330, 26 e sowie bei linearer Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 2774/360) = 1.616.444, 44 e. Die Laufzeit ist jetzt gröÿer als ein Jahr, daher hat die Wahl der Zinsmethode eine gröÿere Auswirkung auf den Zinsertrag. Unabhängig von der Zinsmethode ist der Zinsertrag bei einfacher Verzinsung immer deutlich geringer als bei exponentieller. Den gröÿten Zinsertrag liefert die stetige Verzinsung.

1.12 Rendite einer verzinsten Anlage Die verschiedenen Arten der Verzinsung und der Zinsmethoden sind für Laien undurchsichtig, da der angegebene nominale Zinssatz nicht der tatsächlich erzielten Rendite entspricht. Die Berechnung der Rendite ist in Deutschland innerhalb der bereits erwähnten Preisangabeverordnung (PAngV) geregelt. Es sei angenommen, dass der Anleger einmalig am Anfangstermin einen Betrag von K0 einzahlt, der bis zum Endtermin auf Kt angewachsen ist. Dann ist die Rendite der Zinssatz r¯, der bei exponentieller Verzinsung ebenfalls von K0 auf den Endbetrag Kt geführt hätte, wobei die Zeitdierenz zwischen Anfangs- und Endtermin nach der Zinsmethode der PAngV berechnet wird. Nach Formel (1.15) auf Seite 8 gilt somit  1/tP Kt − 1, (1.23) r¯ = K0 wobei tP die Laufzeit nach PAngV ist. Die Rendite wird auch als konformer Zinssatz bezeichnet. Die Rendite wird in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben.

Beispiel 1.17. Eine Bank bietet Ihnen einen so genannten abgezinsten Sparbrief an.

Man legt 1.500 Euro am 31.1.2011 an und erhält 1.600 Euro am 19.7.2012 zurück. Welche Rendite wird erreicht? Bei Renditerechnungen wird immer die Zinsmethode PAngV eingesetzt. Die Zeit tP zwischen den beiden Terminen berechnet sich nach

tP = 2012 − 2011 + (7 − 1 − 1)/12 + (19 + 30 − 30)/365 = 1, 468721461. Damit folgt für die Rendite

 r¯ =

1.600 1.500

1/1,468721461 − 1 = 0, 044921721 ≈ 4, 49 %.

21

1 Zinsrechnung

1.13 Die Zinseszinsformel Die exponentielle Verzinsung war zwar in vergangenen Zeiten für nicht ganzzahlige Werte von t schwer zu berechnen, nicht aber für t = n ∈ N. Dann gilt nämlich

Kn = K0 (1 + r)n = K0 (1 + r) · (1 + r) · · · (1 + r) {z } |

(1.24)

n−mal

Diese Form der Verzinsung wird sehr anschaulich Zinseszinsformel genannt, da sich nach einem Jahr die angesammelten Zinsen mit verzinsen, während bei linearer Verzinsung die Zinsen immer nur auf die Anfangsschuld berechnet werden. Das bereits angesammelte Kapital erhöht sich von Jahr zu Jahr um den Faktor (1.25)

q = (1 + r) ,

der deshalb Aufzinsungsfaktor genannt wird. Die Zinseszinsformel stimmt mit der exponentiellen Verzinsung für alle ganzzahligen Werte überein, dazwischen liefert sie aber keinen Wert.

1.14 Die gemischte Verzinsung Daher kam man auf die geniale Idee, lineare Verzinsung mit Zinseszinsen zu mischen. Dafür wird die Zeitspanne zwischen Anfangs- und Enddatum in drei Teile zerlegt: ˆ Zwischen dem Anfangszeitpunkt und dem Ende des ersten Jahres liege die Zeit tA . ˆ Danach folgen n volle Jahre. ˆ Im letzten Jahr vergehe dann noch die Zeit tE bis zum Endzeitpunkt t. Das Kapital verzinst sich dann wie folgt:

Kt = K0 (1 + rtA ) (1 + r)n (1 + rtE ) .

(1.26)

Zur Bestimmung der Zeiten tA und tE muss eine der vorgestellten Zinsmethoden verwendet. Zunächst werden im Anfangs- und Endjahr Tage k1 und k2 entsprechend der Zinsmethode berechnet und dann durch die Gesamttage y1 und y2 der jeweiligen Jahr geteilt. Damit geht die Gleichung (1.26) über in

 Kt = K0

k1 1+r y1

 (1 + r)

n



k2 1+r y2

 ,

(1.27)

Denition 1.5. Wird ein Kapital wie geschildert verzinst, spricht man von gemischter Verzinsung .

22

1.14 Die gemischte Verzinsung

1.14.1 Beispiele zur gemischten Verzinsung Die beiden Grundformeln (1.26) und (1.27) seien an zwei Beispielen verdeutlicht.

Beispiel 1.18. Welchen Endwert erreicht ein Kapital von 1.000.000 Euro zwischen dem

1.3.2004 und dem 15.4.2007 bei einem Zinssatz von r = 0, 05 mit gemischter und exponentieller Verzinsung, wenn die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) verwendet wird? Wie hoch sind die jeweiligen Renditen? ˆ Exponentielle Verzinsung. Die Zeitspanne t setzt sich aus zwei ganzen Jahren und den unterjährlichen Anteilen von 2004 und 2007 zusammen. Vom 1.3.2004 bis zum Jahresende vergehen bei genauer Zählung k1 = 366 − 31 − 29 = 306 Tage, da wir den 1.3. mit zählen wollen. Im Jahr 2007 kommen k2 = 31 + 28 + 31 + 14 = 104 Tage zusammen, denn der Auszahlungstag wird jetzt nicht mit gezählt. Für die exponentielle Verzinsung wird die Zeitspanne t = 306/366 + 2 + 104/365 = 3, 120997081 benötigt.

Kt = 1.000.000 · 1, 05t = 1.164.479, 21 Euro. Für die Rendite muss zunächst die Zeit tP nach PAngV bestimmt werden. Vom 1.3.2004 bis zum 30.3.2007 vergehen 37 Monate, dazu kommen weitere 14 Tage im April 2007, d.h. tP = 37/12 + 14/365 = 3, 121689498. Damit folgt für die Rendite

 r¯ =

1.164.479, 21 1.000.000

3,121689498 − 1 = 0, 0499886 ≈ 5, 00 %.

Nach PAngV muÿ die Rendite in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden, somit ist r¯ = 5, 00 Prozent. ˆ Gemischte Verzinsung. Mit den obigen Werten für k1 und k2 ergibt sich wegen y1 = 366 und y2 = 365     306 104 2 Kt = 1.000.000 1 + 0, 05 1, 05 1 + 0, 05 = 1.164.951, 56 Euro. 366 365 Die Rendite berechnet sich somit aus  3,121689498 1.164.951, 56 r¯ = − 1 = 0, 050125053 ≈ 5, 01 %. 1.000.000 Nach PAngV muÿ die Rendite in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden, somit ist r¯ = 5, 01 Prozent.

Beispiel 1.19. Man berechne den Endwert bei gemischter Verzinsung für ein Kapital

von 1.000.000 Euro, das im Zeitraum vom 1.3.2001 bis zum 15.11.2008 bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle Zinsmethoden.

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1 Zinsrechnung a) ACT/ACT (ICMA). Die Zeitspanne t setzt sich aus sechs ganzen Jahren und den unterjährigen Anteilen von 2001 und 2008 zusammen. Vom 1.3.2001 bis zum Jahresende vergehen bei genauer Zählung k1 = 365 − 31 − 28 = 306 Tage, da wir den 1.3. mit zählen wollen. Im Jahr 2008 kommen k2 = 366 − 31 − 16 = 319 Tage zusammen, denn der Auszahlungstag wird jetzt nicht mit gezählt. Somit ergibt sich

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08(306/365)) · 1, 086 · (1 + 0, 08(319/366)) = 1.811.372, 19 e b) ACT/360). Bei allen Zinsmethoden ist die Anzahl n der ganzen Zinsperioden gleich. Die Tagzählungen für k1 und k2 unterscheiden sich nicht zwischen den drei verschiedenen Methoden ACT/XXX, nur die Werte von y1 und y2 , diese sind bei ACT/360 immer 360. Somit ergibt sich

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08(306/360)) · 1, 086 · (1 + 0, 08(319/360)) = 1.814.922, 97 e c) ACT/365). Es müssen nur die Werte für y1 und y2 auf 365 verändert werden.

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08(306/365)) · 1, 086 · (1 + 0, 08(319/365)) = 1.811.695, 67 e d) 30E/360. Die Zeitspanne t setzt sich aus sechs ganzen Jahren und den unterjährigen Anteilen von 2001 und 2008 zusammen. Vom 1.3.2001 bis zum Jahresende vergehen der Zinsmethode 30E/360 k1 = 10 · 30 = 300 Tage, da wir den 1.3. mit zählen wollen. Im Jahr 2008 kommen k2 = 10 · 30 + 14 = 314 Tage zusammen, denn der Auszahlungstag wird jetzt nicht mit gezählt. Somit ergibt sich

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08(300/360)) · 1, 086 · (1 + 0, 08(314/360)) = 1.810.776, 41 e

1.15 Unterjährige Verzinsung Der wesentliche Unterschied zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszinsen liegt in der Behandlung der bereits angesammelten Zinsen. Werden diese nach einem Jahr dem Kapital gut geschrieben und danach mitverzinst, erhöht sich der Endbetrag bei längeren Laufzeiten beträchtlich. Dieser Eekt kann noch gesteigert werden, wenn die Zinsgutschrift mehrmals im Jahr erfolgt. Man spricht dann von unterjähriger Verzinsung .

1.15.1 Zinstermin und Zinsperiode Wir benötigen zunächst zwei neue Begrie.

Denition 1.6. Der Tag, an dem bei gemischter Verzinsung die Zinsgutschrift dem Kapital zugeschlagen und danach mitverzinst wird, heiÿt Zinstermin . Der Zeit zwischen zwei Zinsterminen wird als Zinsperiode bezeichnet.

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1.15 Unterjährige Verzinsung Bis jetzt gab es immer nur einen Zinstermin pro Jahr, und zwar am Jahresende. An den Zinsterminen werden die angesammelten Zinsen dem Kapital zugeschlagen und danach mit verzinst. Zwischen zwei Zinsterminen gibt es nur einfache Zinsen. Auf Sparbüchern, bei Hypothekenverträgen und Sparverträgen sind die Zinstermine immer das Ende eines Jahres, bei festverzinslichen Wertpapieren ist der erste Zinstermin der Tag der Emission, z.B. der 5. Mai 1995. Bei unterjährig verzinslichen Anlagen gibt es mehr als einen Zinstermin im Jahr, die Zinsperiode ist somit kleiner als ein Jahr. Man bezeichnet mit m die Anzahl von Zinsperioden innerhalb eines Jahres, die Länge einer Zinsperiode ist daher 1/m. Die üblichen Werte für m stelle ich nun vor. ˆ m = 1. Die Länge einer Periode ist genau ein Jahr. Dies ist in Deutschland bei festverzinslichen Wertpapieren üblich, wobei die Zinstermine immer genau im Jahresabstand auf den Tag der Emission folgen, z.B. immer am 5. Mai eines Jahres liegen. ˆ m = 2. Halbjährliche Zinsperioden sind für Anleihen in Groÿ-Britannien und den USA weit verbreitet. ˆ m = 4. Vierteljährliche Zinsperioden sind bei Anleihen selten, werden aber von Bausparkassen und Hypothekenbanken gerne für Hypothekenkredite verwendet. ˆ m = 12. Monatliche Zinsperioden sind sehr selten. ˆ m = ∞. Lässt man die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr gegen ∞ gehen, ergibt sich als Grenzfall die bereits bekannte stetige Verzinsung . Der Name rührt daher, dass die Zinsen zu jedem Zeitpunkt sofort dem Kapital zugeschlagen und dann mitverzinst werden.

1.15.2 Formel der unterjährigen gemischten Verzinsung Auch bei der unterjährigen gemischten Verzinsung wird ein so genannter nomineller Jahreszinssatz r angegeben. Bei m Zinsperioden pro Jahr gilt dann für den tatsächlichen Periodenzinssatz rrel : r rrel = . m Bis jetzt wurde bei der gemischten Verzinsung immer innerhalb des angebrochenen Anfangs- und des angebrochenen Endjahres mit einfacher Verzinsung gerechnet, während für alle vollen Jahre die Zinseszinsformel verwendet wurde. Diese Vorgehensweise wird beibehalten, aber der Zeitraum der einfachen Verzinsung wird auf die erste bzw. letzte Zinsperiode begrenzt und die Zinseszinsformel erfolgt für die Anzahl der vollen

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1 Zinsrechnung Zinsperioden, wobei als Zinssatz der tatsächliche Periodenzinssatz r/m verwendet wird. Damit ergibt sich die Grundformel der unterjährigen gemischten Verzinsung wie folgt.

r n (1 + rtE ) . Kt = K0 (1 + rtA ) 1 + m 

(1.28)

Hier sind ˆ K0 das Anfangskapital zum Zeitpunkt 0, ˆ r der nominelle Jahreszinssatz, ˆ m die Anzahl von Zinsperioden pro Jahr, ˆ tA die Zeit zwischen dem Anfangszeitpunkt und dem ersten Zinstermin, ˆ tE die Zeit vom letzten Zinstermin bis zum Endzeitpunkt und ˆ n die Anzahl der vollständigen Zinsperioden. Auch hier muss wieder eine Zinsmethode gewählt und entschieden werden, ob der erste oder letzte Tag in die Verzinsung eingeht. Wieder sei verabredet, den ersten Tag zu zählen. Bei den meisten Zinsmethoden spielt es aber sowieso keine Rolle. Die Zeit tA ergibt sich wieder als Bruch der Form k1 /y1 . Dabei ist k1 die Anzahl von Tagen bis zum nächsten Zinstermin und y1 die Anzahl der Tage im Jahr entsprechend der Zinsmethode. Genauso wird tE berechnet. Die Gleichung (1.28) geht dann über in

    r n k2 k1  1+ 1+r , Kt = K0 1 + r y1 m y2

(1.29)

Leider gibt es noch eine weitere Form der Zinsmethode ACT/ACT, welche ACT/ACT

(ISMA) genannt wird. Hier gilt

y1 = m · Länge der ersten angebrochenen Periode. Genauso wird mit y2 verfahren. Ist etwa m = 4, so hat das erste Quartal in gewöhnlichen Jahren eine Periodenlänge von 90 Tagen, fällt der Anfangszeitpunkt in dieses Quartal, ist y1 = 4 · 90 = 360. Das letzte Quartal hat dagegen eine Länge von 92 Tagen, somit wird y1 = 4 · 92 = 368 falls der Anfangszeitpunkt in dieses Quartal fällt. Bei m = 12 schwankt y1 zwischen 12 · 28 = 336 und 12 · 31 = 372.

Denition 1.7. Wird ein Kapital wie geschildert verzinst, spricht man von unterjähriger gemischter Verzinsung .

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1.15 Unterjährige Verzinsung

1.15.3 Beispiele zur unterjährigen gemischten Verzinsung Die unterjährige gemischte Verzinsung möchte ich an zwei Beispielen verdeutlichen.

Beispiel 1.20. Welchen Endwert erreicht ein Kapital von 1.000.000 Euro zwischen dem

1.3.2001 und dem 15.11.2008 bei einem Zinssatz von r = 0, 08 bei vier Zinsterminen pro Jahr? Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden. Die Zinsmethoden spielen nur bei den zwei Faktoren der einfachen Verzinsung eine Rolle. Die Anzahl der vollständigen Perioden ist immer gleich. Da vier Zinstermine vorhanden sind, gilt m = 4, also 1 + r/m = 1, 02. Der nächste Zinstermin nach der Einzahlung wird der 1.4.2001 sein, der letzte Zinstermin vor dem Ende ist der 1.10.2008. Im Jahr 2001 gibt es drei Zinsperioden, dazu kommen sechs volle Jahre und noch die drei Zinsperioden des Jahres 2008, das ergibt n = 3 + 6 · 4 + 3 = 30. Dieser Teil der Lösung ist unabhängig von der Zinsmethode. ˆ ACT/ACT (ICMA). Bei beiden Methoden werden die Tage in den nicht vollständigen Perioden kalendergenau gezählt. Hier sind k1 die genauen Tage bis zum ersten Zinstermin nach der Einzahlung, das sind k1 = 31 Tage. Vom letzten Zinstermin vor der Auszahlung, also dem 1.10.2008 bis zum Tag der Auszahlung, also dem 15.11.2008 vergehen k2 = 31 + 14 = 45 Tage. Bei jeder der beiden Methoden ACT/ACT hat das erste Jahr die Länge y1 = 365 und das letzte die Länge y2 = 366. Damit ergibt sich als Endbetrag somit     45 31 30 1, 02 1 + 0, 08 = 1.841.606, 64 Euro. Kt = 1.000.000 1 + 0, 08 365 366 ˆ ACT/ACT(ISMA). Bei dieser Zinsmethode müssen die Tage und die Längen der Perioden kalendergenau gezählt werden. Die Zinsperiode vom 1.1.2001 bis zum 31.3.2001 hat die Länge p1 = 31 + 28 + 31 = 90 Tage, somit ist y1 = 4 · 90 = 360 und somit tA = 31/360. Die Zinsperiode vom 1.10.2008 bis zum 31.12.2008 hat die Länge p2 = 31 + 30 + 31 = 92, somit ist y2 = 4 · 92 = 368 und somit tE = 45/368. Der Endbetrag wird somit     31 45 30 1, 02 1 + 0, 08 = 1.841.681, 76 Euro. Kt = 1.000.000 1 + 0, 08 360 368 ˆ ACT/360. Hier werden die Tage k1 und k2 durch 360 geteilt:     31 45 30 Kt = 1.000.000 1 + 0, 08 1, 02 1 + 0, 08 = 1.842.078, 25 Euro. 360 360

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1 Zinsrechnung ˆ ACT/365. Hier werden die Tage k1 und k2 durch 365 geteilt:     45 31 30 1 + 0, 08 1, 02 = 1.841.655, 79 Euro. Kt = 1.000.000 1 + 0, 08 365 365 ˆ 30E/360 und 30U/360. Bei beiden Methoden vergehen vom 1.3.2001 bis zum 1.4.2001 k1 = 30 Tage und vom 1.10.2008 bis zum 15.11.2008 k2 = 30 + 14 = 44 Tage. Damit ergibt sich als Endbetrag somit     30 44 30 Kt = 1.000.000 1 + 0, 08 1, 02 1 + 0, 08 = 1.841.266, 49 Euro. 360 360

Beispiel 1.21. Welchen Endwert erreicht ein Kapital von 1.000.000 Euro zwischen dem

1.3.2001 und dem 15.11.2008 bei einem Zinssatz von r = 0, 08 bei zwei Zinsterminen pro Jahr? Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden. Die Zinsmethoden spielen nur bei den zwei Faktoren der einfachen Verzinsung eine Rolle. Die Anzahl der vollständigen Perioden ist immer gleich. Da es nur zwei Zinstermine gibt, gilt m = 2, also 1 + r/m = 1, 04. Der nächste Zinstermin nach der Einzahlung wird der 1.7.2001 sein, der letzte Zinstermin vor dem Ende ist der 1.17.2008. Im Jahr 2001 gibt es noch eine vollständige Zinsperiode, dazu kommen sechs volle Jahre und noch eine Zinsperiode im Jahr 2008, das ergibt n = 1 + 6 · 2 + 1 = 14. Dieser Teil der Lösung ist unabhängig von der Zinsmethode. ˆ ACT/ACT (ICMA) und (EXCEL). Bei beiden Methoden werden die Tage in den nicht vollständigen Perioden kalendergenau gezählt. Hier sind k1 die genauen Tage bis zum ersten Zinstermin nach der Einzahlung, das sind k1 = 31 + 30 + 31 + 30 = 122 Tage. Vom letzten Zinstermin vor der Auszahlung, also dem 1.7.2008 bis zum Tag der Auszahlung, also dem 15.11.2008 vergehen k2 = 31 + 31 + 30 + 31 + 14 = 137 Tage. Bei jeder der beiden Methoden ACT/ACT hat das erste Jahr die Länge y1 = 365 und das letzte die Länge y2 = 366. Damit ergibt sich als Endbetrag somit     137 137 14 1, 04 = 1.831.223, 27 Euro. 1 + 0, 08 Kt = 1.000.000 1 + 0, 08 365 366 ˆ ACT/ACT(ISMA). Bei dieser Zinsmethode müssen die Tage und die Längen der Perioden kalendergenau gezählt werden. Die Zinsperiode vom 1.1.2001 bis zum 1.7.2001 hat die Länge p1 = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 = 181 Tage, somit ist y1 = 2 · 181 = 362 und somit tA = 122/362. Die Zinsperiode vom 1.7.2008 bis zum 31.12.2008 hat die Länge p2 = 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 = 184, somit ist y2 = 2 · 184 = 368 und somit tE = 137/368. Der Endbetrag wird somit     122 137 14 Kt = 1.000.000 1 + 0, 08 1, 04 1 + 0, 08 = 1.831.329, 08 Euro. 362 368

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1.16 Gestaelte Verzinsung ˆ ACT/360. Hier werden die Tage k1 und k2 durch 360 geteilt:     137 122 14 1 + 0, 08 1, 02 = 1.832.773, 34 Euro. Kt = 1.000.000 1 + 0, 08 360 360 ˆ ACT/365. Hier werden die Tage k1 und k2 durch 365 geteilt:     137 122 14 1 + 0, 08 Kt = 1.000.000 1 + 0, 08 1, 02 = 1.831.369, 14 Euro. 365 365 ˆ 30E/360 und 30U/360. Bei beiden Methoden vergehen vom 1.3.2001 bis zum 1.7.2001 k1 = 120 Tage und vom 1.7.2008 bis zum 15.11.2008 k2 = 4 · 30 + 14 = 134 Tage. Damit ergibt sich als Endbetrag somit     134 120 14 1, 02 1 + 0, 08 = 1.830.795, 04 Euro. Kt = 1.000.000 1 + 0, 08 360 360

1.16 Gestaelte Verzinsung Bis jetzt war der Zinssatz r während der gesamten Zeit der Geldanlage fest. Es gibt aber Anlageformen mit zeitlich wechselnden Zinssätzen, meistens im jährlichen Abstand mit steigenden Zinssätzen, um den Kunden langfristig zu binden. Das gilt für Bundesschatzbriefe und vielen Sparbriefe von Banken. Aber auch auf normalen Sparbüchern wird die Verzinsung von Sparguthaben an die marktüblichen Zinssätze angepasst. Formelmäÿig ist so zu rechnen, als ob am ersten Tag, an dem der neue Zinssatz gilt, das bisher erzielte Guthaben abgehoben und dann sofort wieder eingezahlt wird. In jedem Zeitraum mit festen Zinsen wird die ausgewählte Zinsformel vewendet. Das folgende Beispiel behandelt wechselnde Zinssätze auf einem Sparbuch.

Beispiel 1.22. Ein Anleger zahlt am 19.3.2002 bei einem Zinssatz von 3 Prozent 1.000

Euro auf ein Sparbuch ein. Die Bank senkt den Zinssatz am 13.11.2004 auf 2 Prozent. Berechnen Sie den Betrag, den der Kunde am 21.4.2006 bei der Auösung seines Sparbuchs erhält. Verwendet sei die Zinsmethode 30E/360 mit einem Zinstermin am Jahresende. Man berechne ferner die Rendite r¯ der Anlage nach der PAngV. Zunächst wird die Entwicklung der Anlage vom 19.3.2002 bis zum 13.11.2004 bei gemischter Verzinsung mit einem Zinssatz von 3 Prozent ausgerechnet: ˆ Einschlieÿlich des 19.3.2002 gibt es 2002 k1 = 12 + 9 · 30 = 282 Zinstage. ˆ Dazu kommt das ganze Jahr 2003.

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1 Zinsrechnung ˆ Im Jahr 2004 fallen k2 = 12 + 10 · 30 = 312 Zinstage an, da der 13.11.2004 nicht mehr zählt. Somit besteht am 13.11.2004 ein Guthaben von     312 282 1, 03 1 + 0, 03 · = 1.081, 61 Euro. K1 = 1.000 1 + 0, 03 · 360 360 Vom 13.11.2004 bis zum 21.4.2006 vergehen folgende Zeiträume ˆ k1 = 18 + 30 = 48 Tage vom 13.11.2004 bis 1.1.2005. ˆ Das ganze Jahr 2005. ˆ k2 = 3 · 30 + 20 = 110 Tage vom 1.1.2006 bis zum 21.4.2006, denn der letzte Tag zählt nicht mehr. Als Endkapital ergibt sich also 1.112,95 Euro. Nach PAngV vergeht zwischen dem 19.3.2002 und dem 21.4.2006 die Zeit

tP = 2006 − 2002 + (4 − 3)/12 + (21 − 19)/365 = 4, 088812785, die Rendite beträgt somit  (1/4,088812785) 1.112, 95 r¯ = − 1 = 0, 026517931 %. 1.000 Anzugeben wären nach PAngV nur zwei Stellen nach dem Komma, d.h. r¯ = 2, 65 Prozent.

Beispiel 1.23. Welchen Endwert erreicht ein Kapital von 1.000 Euro, das zunächst

zwischen dem 1.2.2000 und dem 31.12.2002 bei einem Zinssatz von r = 0, 04 und danach noch bis zum 15.7.2006 bei einem Zinssatz von r = 0, 03 bei gemischter Verzinsung angelegt wurde? Der einzige Zinstermin ist jeweils das Jahresende, die Zinsmethode sei 30E/360. Danach berechne man die Rendite.

Vom 1.2.2000 bis zum 1.1.2001 vergehen nach der Zinsmethode 30E/360 insgesamt k1 = 330 Tage. Danach folgen zwei ganze Jahre. Ab 2004 wechselt der Zinssatz auf 3 Prozent. Der Zeitraum beginnt mit drei vollen Jahren und schlieÿt mit k2 = 180 + 14 = 194 Tagen. Somit gilt

Kt = 1000(1 + 0, 04 · 330/360)(1, 04)2 (1, 03)3 (1 + 0, 03 · 194/360) = 1.245, 04

Nach PAngV vergeht zwischen dem 1.2.2000 und dem 15.7.2006 die Zeit von tP = 6 + 5/12 + 14/365 = 6, 455023. Somit ergibt sich aus Formel (1.23) 1/6,455023  1.245, 04 − 1 = 3, 45% r¯ = 1.000

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1.17 Bundesschatzbriefe

1.17 Bundesschatzbriefe Das bekannteste Beispiel von gestaelter Verzinsung sind die Bundesschatzbriefe. Man unterscheidet bei den Bundesschatzbriefen zwei Varianten: ˆ Typ A mit sechs Jahren Laufzeit und jährlicher Zinsausschüttung. ˆ Typ B, bei dem Zinsen und Tilgungsleistung erst am Ende der Laufzeit von sieben Jahren in einer Summe ausgezahlt werden. Bundesschatzbriefe werden in verschiedenen Ausgaben verkauft. Dabei existiert kein fester Emissionsrhythmus. Vielmehr werden immer dann neue Bundesschatzbriefe ausgegeben, wenn die Renditen der laufenden Ausgabe nicht mehr den Marktgegebenheiten entsprechen. Steigen zum Beispiel die Renditen für zehnjährige Bundesanleihen deutlich an, werden auch die Nominalzinssätze und Renditen der Bundesschatzbriefe angepasst. Das heiÿt konkret: es wird eine neue Ausgabe mit entsprechend höherer Verzinsung ausgegeben. So heiÿt es launig im Prospekt. Natürlich werden Bundesschatzbriefe immer dann ausgegeben, wenn unsere ewig klamme Bundesregierung frisches Geld braucht. Der Zinssatz und damit die Rendite steigen bei beiden Bundesschatzbrief-Typen über die Laufzeit hinweg an. In der folgenden Abbildung sind die Konditionen der Anfang 2010 ausgegebenen Bundessschatzbriefe zu sehen. Typ A läuft nur sechs Jahre, wobei

1 2 3 4 5 6 7

A 1 2 3 4 5 6 7

B 01.03.2010 01.03.2011 01.03.2012 01.03.2013 01.03.2014 01.03.2015 01.03.2016

C 0,25% 1,00% 1,75% 2,75% 3,50% 4,00% 4,00%

D 1,00250 1,01000 1,01750 1,02750 1,03500 1,04000 1,04000

E 1,0025000 1,0125250 1,0302442 1,0585759 1,0956261 1,1394511 1,1850291

F 0,25% 0,62% 1,00% 1,43% 1,84% 2,20% 2,45%

Abbildung 1.2: Konditionen von zwei Bundesschatzbriefen. die Zinsen jährlich immer zum 1.3. ausgeschüttet werden. Typ B läuft dagegen sieben Jahre und sammelt die Zinsen an, am Ende der Laufzeit, d.h. am 1.3.2017 erhält der treue Kunde für je 100 Euro Nennwert 118,50 Euro ausgezahlt. Man kann aber zu jedem Zeitpunkt das Papier weiterverkaufen. In der Spalte C stehen die jährlichen Zinsen r1 , r2 , . . . , r7 die von lächerlichen 0,25 % zwischen 2010 und 2011 auf 4 % zwischen 2015 und 2016 anwachsen. In der Spalte D sind die jährlichen Aufzinsungsfaktoren q1 = r1 , q2 = r2 , . . . , q7 = r7 zu sehen. In der Spalte E benden sich die Produkte der Aufzinsungsfaktoren p1 = q1 , p2 = q1 · q2 , . . . , p7 = q1 · q2 · · · q7 . Diese Zahlen sind die Werte eines Euro, der bis zum Ende des jeweiligen Jahres angelegt wird. Die bis dahin erzielten Renditen sind in der Spalte F zu sehen. Sie ergeben sich aus der Formel

r¯i = (pi )1/i .

31

1 Zinsrechnung

1.17.1 Stückzinsen Bei Bundesschatzbriefen liegen die Zinstermine immer auf dem Tag der Emission, bei dem betrachteten Beispiel also immer auf dem 1.3. eines Jahres. Als Zinsmethode wird ACT/ACT (ICMA) verwendet. Wird ein Bundesschatzbrief nicht an einem Zinstermin erworben, muss der Käufer dem Verkäufer einen Teil der zum nächsten Zinstermin ausgeschütteten Zinsen erstatten, die sogenannten Stückzinsen . Das liegt daran, dass der Bund zum Zinstermin dem dann aktuellen Eigentümer des Bundesschatzbriefes den Zinsertrag der gesamten Zinsperiode ausschüttet; Stückzinsen sind also gerade der Anteil an diesem Zinsertrag, der beim Kauftermin bereits angefallen war. Betrachten wir den Bundesschatzbrief vom Typ A und nehmen als Kauftermin den 1.6.2010 an. Der Käufer möchte einen Nennwert von 1.000 Euro erwerben. Zwischen dem 1.3. und dem 1.6. liegen nach ACT/ACT (ICMA) 92 Tage, somit fallen Stückzinsen im Wert von 92 = 0, 63 Euro Sz = 1000 · 0, 0025 · 365 an. Der Käufer zahlt somit 1.000,63 Euro und erwirbt den Bundesschatzbrief zum Nennwert von 1.000 Euro. Die bereits vorgeleisteten Zinsen von 63 Cent werden durch die vollständige Ausschüttung des Zinsertrages von 2,50 Euro am 1.3.2011 ausgeglichen. Meist wird aber anders vorgegangen. Der Käufer gibt den Anlagebetrag vor, etwa 2.000 Euro. Dieser Betrag setzt sich aus den Stückzinsen und dem Nennwert zusammen. Sei B der Anlagebetrag und N der Nennwert sowie Sz die Stückzinsen, so gilt

B = N + Sz, k1 d.h. Sz = N · r · y1 B N= , 1 + r · k1/y1 wobei hier k1 die kalendergenau gezählten Tage zwischen dem letzten Zinstermin und dem Kaufdatum sind und y1 die genaue Anzahl von Tagen des entsprechenden Jahres. In unserem Beispiel erwirbt der Käufer bei einem Anlagebetrag von 2.000 Euro in den Bundesschatzbrief Typ A von 2010 zum 1.6.2010 einen Nennwert von

N=

2.000 = 1998, 74 Euro. 1 + 0, 0025 · 92/365

Auf diesen Nennwert beziehen sich die folgenden Zinserträge und die Rückerstattung des Kapitals. Dieser Bundesschatzbrief vom Typ A wird am Jahr 1.3.2016 auslaufen, der Käufer erhält dann seinen Nennwert von 1998, 74 erstattet und bekommt zusätzlich vom 1.3.2011 bis zum 1.3.2016 Zinsen auf diesen Nennwert, wobei die Zinssätze in der Spalte C der auf Seite 31 abgebildeten Excel-Tabelle stehen.

1.17.2 Rückgabe und Verkauf von Bundesschatzbriefen Bundesschatzbriefe dürfen im ersten Jahr nach Ausgabe nicht zurückgegeben werden. Der Bund sichert sich damit den sehr niedrigen Anfangszinssatz. Nach einem Jahr darf

32

1.17 Bundesschatzbriefe der jeweilige Inhaber einen Betrag von 5.000 Euro zurückgeben, egal wie lange er oder sie das Papier schon besitzt. Nach Ablauf von 30 Tagen dürfen weitere 5.000 Euro zurückgegeben werden, usw. Hat man also 100.000 Euro investiert, benötigt man 600 Tage zur vollständigen Rückgabe eines Bundesschatzbriefes. Man kann die Verfügbarkeit erhöhen, wenn man die Anlage auf mehrere Konten mit einer Höchstanlage von 5.000 Euro verteilt. Auch bei der Rückgabe von Bundesschatzbriefen müssen Stückzinsen berücksichtigt werden. Sei wieder der bereits vertraute Bundesschatzbrief vom Typ A vom 1.3.2010 betrachtet und angenommen, dass der Inhaber am 13.11.2012 den Betrag von 4.000 Euro angelegt hat und am 19.1.2015 das Papier an den Bund zurückgibt. Die Rechnung sieht wie folgt aus: 1. Berechnung des Nennwerts Zwischen dem 1.3.2012 und dem 13.11.2012 liegen k1 = 257 Tage, das Jahr 2012 ist ein Schaltjahr mit y1 = 366 Tagen, der Zinssatz des Jahres 2012 ist r = 0, 0175, somit beträgt der Nennwert

N=

4.000 = 3951, 44 Euro. 1 + 0, 0175 · 257/366

2. Berechnung des Rückgabewerts am Rückgabetermin Sowohl 2014 als auch 2015 sind keine Schaltjahre. Zwischen dem 1.3.2014 und dem 19.1.2015 liegen 324 Tage, der Zinssatz hat die Höhe von 0,035 erreicht, der Nennwert verzinst sich einfach auf den Wert 3951, 44 = 4.074, 41 Euro. RG = 1 + 0, 035 · 324/365 Dieser Betrag wird dem Verkäufer gutgeschrieben. Nun sei dieselbe Aktion für eine Bundesschatzbrief vom Typ B durchgerechnet, d.h. angenommen, dass am 13.11.2012 für 4.000 Euro ein Bundesschatzbrief vom Typ B gekauft am 19.1.2015 an den Bund zurück gegeben wird. 1. Berechnung des Nennwerts Bundesschatzbriefe vom Typ B schütten vor dem Ende der Laufzeit keine Zinsen aus, sondern sammeln diese an. Der gesuchte Nennwert N hat am 1.3.2012 den Wert ZW = N · 1, 0025 · 1, 01 = N · 1, 012525. Zwischen dem 1.3.2012 und dem 13.11.2012 liegen k1 = 257 Tage, das Jahr 2012 ist ein Schaltjahr mit y1 = 366 Tagen, der Zinssatz des Jahres 2012 beträgt r = 0, 0175, der Zwischenwert ZW vergröÿert sich somit auf

4.000 = ZW (1 + 0, 0175 · 257/366). Damit ergibt sich

N=

4.000 = 3902, 56 Euro. 1, 012525(1 + 0, 0175 · 257/366)

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1 Zinsrechnung 2. Berechnung des Rückgabewerts am Rückgabetermin Die Jahre 2014 und 2015 sind keine Schaltjahre. Zwischen dem 1.3.2014 und dem 19.1.2015 liegen 324 Tage, der Zinssatz hat die Höhe von 0,035 erreicht, der ursprüngliche Nennwert von N = 3902, 56 hat sich zwischenzeitlich bis zum 1.3.2014 auf den Wert

W = 3902, 56 · 1, 0025 · 1, 01 · 1, 0175 · 1, 0275 = 4131, 16 Euro. erhöht. Dieser Wert wird nun einfach bis zum Kauftermin verzinst und erreicht dann den Rückgabewert

RG = 4131, 16(1 + 0, 035 · 324/365) = 4.259, 72 Euro. Dieser Betrag wird dem Verkäufer gutgeschrieben. Der Rückgabewert ist höher als beim Typ A, weil anders als beim Typ A zwischenzeitlich keine Zinsgutschriften erfolgten. Bundesschatzbriefe dürfen aber privat veräuÿert werden. Der Kaufpreis ist dann natürlich anders als bei der Rückgabe an den Bund frei verhandelbar und richtet sich nach dem allgemeinen Zinsniveau. Bundesschatzbriefe können wegen ihrer hohen Sicherheit auch beliehen werden. Der Bank oder einem anderen Gläubiger dient der Bundesschatzbrief als Sicherheit, der Gläubiger wird aber in der Regel einen höheren Sollzinssatz verlangen als die Zinssätze des Bundesschatzbriefes.

1.17.3 Steuerliche Behandlung Zinserträge müssen versteuert werden. Sie fallen beim Bundesschatzbrief vom Typ A jährlich an und müssen entsprechend jährlich versteuert werden. Da für Erträge aus Kapitaleinkünften ein Freibetrag von 801 Euro gilt, ist die jährliche Ausschüttung meist vorteilhaft, zumal bei den derzeitig niedrigen Zinssätzen. Beim Bundesschatzbrief vom Typ B erhält man sechs Jahre lang keine Zinsen, dafür am Ende des siebten Jahres alle angesammelten Zinsen einschlieÿlich des eingesetzten Kapitals auf einen Schlag. Im Beispiel des Bundesschatzbriefes vom Typ B mit Erstausgabe am 1.3.2010 muss bei einer Anlage im Nennwert von 100.000 Euro ein Zinsertrag von 185.029, 10 − 100.000 = 85.029, 10 Euro versteuert werden. Diese Art der gesammelten Ausschüttung bietet sich an, wenn man weiÿ, dass zum Zeitpunkt der Ausschüttung nur geringe andere Einkünfte zu erwarten sind, etwa bei einem Selbstständigen, der sich ein Jahr Pause von der Arbeit gönnt oder ganz zu arbeiten aufhört.

34

1.18 Zusammenfassung

1.18 Zusammenfassung 1.18.1 Zeitmessung In der Finanzmathematik wird die zeitliche Entwicklung von Guthaben betrachtet. Am Anfang stehen daher Methoden zur Berechnung der Zeit. Im folgenden werden folgende Bezeichnungen verwendet: Bezeichner

Bedeutung

D1 M1 Y1 D2 M2 Y2 t1 = (D1 , M1 , Y1 ) t2 = (D2 , M2 , Y2 ) N act(t1 , t2 )

Anfangstag Anfangsmonat Anfangsjahr Endtag Endmonat Endjahr Anfangsdatum Enddatum Kalendergenaue Zahl von Tagen zwischen t1 und t2 , wobei immer der erste Tag zählt und der letzte nicht. Anzahl der Tage im Jahr Y1 Anzahl der Tage im Jahr Y2 Anzahl der Tage im Jahr Y1 bis zum Jahresende, d.h. k1 = N act(t1 , 1.1.Y1 + 1) Anzahl der Tage im Jahr Y2 vom Jahresanfang bis t2 , d.h. k2 = N act(1.1.Y2 , t2 ) die Anzahl der ganzen Jahre zwischen t1 und t2 min(30, D1) min(30, D2) 30 falls D1 der letzte Tag des Monats ist. Sonst D1/U = D1 D2 wenn D2 < 31 oder D1/U < 30. Sonst D2/U = 30.

y1 y2 k1 k2 n D1/E D2/E D1/U D2/U

Vereinfachte Tagzählung nach 30E/360 (deutsch)

N 360E = (Y 2 − Y 1)360 + (M 2 − M 1)30 + (D2/E − D1/E) Vereinfachte Tagzählung nach 30U/360 (amerikanisch)

N 360U = (Y 2 − Y 1)360 + (M 2 − M 1)30 + (D2/U − D1/U ) Die Zeit t wird damit wie in der folgenden Tabelle berechnet.

1.18.2 Zeit nach PAngV Zunächst wird der Tag von D1 auf D1 geändert: ( D1 D1 < 31 oder D1 < 28 und M1 = 2 D1 = 30 D1 = 31 oder D1 ≥ 28 und M1 = 2

(1.30)

35

1 Zinsrechnung ACT/ACT (ICMA) ( N act/y1 Y2 = Y1 k1 /y1 + n + k2 /y2 Y2 > Y1

ACT/360

ACT/365

30E/360

30U/360

N act/360

N act/365

N 360E/360 N 360U/360

Genauso wird D2 berechnet. Die Zeit tP nach PAngV ist dann ( Y 2 − Y 1 + (M 2 − M 1)/12 + (D2 − D1)/365 D2 ≥ D1 tP = Y 2 − Y 1 + (M 2 − M 1 − 1)/12 + (D2 + 30 − D1)/365 D2 < D1

(1.31)

1.18.3 Zinsformeln Exponentielle Verzinsung: Stetige Verzinsung: Einfache Verzinsung: Gemischte Verzinsung: Renditeformel:

Kt = K0 (1 + r)t Kt = K0 ert Kt = K0 (1  + rt)  Kt = K0 1 + r dy11 1 + 1/tP

r¯ = (Kt /K0 )

−1

(ExpV) (SteV) (EinV)


r n m



1+

r dy22



(GemV) (RenF)

Hier sind K0 und Kt das Anfangs- und Endkapital zu den Zeiten 0 und t. r der nominelle Jahreszinssatz Zinssatz. t die Laufzeit entsprechend der gewählten Zinsmethode. tP die Laufzeit nach PAngV. r¯ die Rendite. m die Anzahl von Zinsperioden pro Jahr. d1 die Anzahl von Tagen vom Anfang bis zum ersten Zinstermin. y1 die Anzahl der Tage im ersten Jahr. d2 die Anzahl von Tagen vom letzten Zinstermin bis zum Ende. y2 die Anzahl der Tage im letzten Jahr. n die Anzahl der vollständigen Zinsperioden. Dabei müssen die Werte von d1 , y1 , d2 und y2 gemäÿ der verwendeten Zinsmethode

berechnet werden.

36

1.19 Aufgaben

1.19 Aufgaben Aufgabe 1. Für die folgenden Zeiträume berechne man für alle vorgestellten Zinsmethoden die jeweils verstrichene Zeit: 24.8.2000 bis zum 13.3.2004, 30.8.2000 bis zum 31.3.2001, 29.8.2000 bis zum 31.3.2002 und 28.2.2000 bis zum 31.3.2002.

Aufgabe 2. Man berechne den Endwert und den Zinsbetrag bei exponentieller, stetiger und einfacher Verzinsung für ein Kapital von 1.000.000 Euro, das im Zeitraum vom 30.03.2000 bis zum 31.10.2001 bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden, bis auf die nach PAngV und berechne jeweils auch die Rendite.

Aufgabe 3. Man berechne den Endwert und den Zinsbetrag bei exponentieller, stetiger und einfacher Verzinsung für ein Kapital von 1.000.000 Euro, das im Zeitraum vom 27.4.2000 bis zum bis 28.1.2002 bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden, bis auf die nach PAngV und berechne jeweils auch die Rendite.

Aufgabe 4. Der Zinssatz r bei stetiger Verzinsung sei so, dass aus 100 Euro innerhalb eines Monats bei der Zinsmethode 30E/360 101 Euro werden. a) Welchen Wert hat r? b) Welchen Wert hat ein Anfangskapital von 1.000 Euro nach zwei Jahren? c) Wie groÿ ist die Rendite r¯ nach PAngV?

Aufgabe 5. Eine Freundin verleiht Ihnen 10.000 Euro für vier Monate und verlangt 10.100 Euro zurück. Sie behauptet, ihre Rendite sei nur 3 Prozent. Wie sehen Sie das?

Aufgabe 6. Eine Bank bietet einen so genannten abgezinsten Sparbrief wie folgt an: Der Kunde zahlt einmalig 900 Euro und erhält nach Ablauf von drei Jahren 1.000 Euro zurück. Wie hoch ist die Rendite?

Aufgabe 7. Jemand legt bei stetiger Verzinsung zu einem jährlichen Nominalzinssatz von 8 Prozent vom 1.1.1987 bis zum 1.1.1992 ein Kapital von 1.000 DM an. a) Warum ist keine Zinsmethode angegegeben? b) Wie hoch ist der Endbetrag? c) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV? d) Durch welchen Zinssatz r würde man mit exponentieller Verzinsung diesen Endbetrag erreichen?

Aufgabe 8. Jemand legt bei stetiger Verzinsung zu einem jährlichen Nominalzinssatz

von 8 Prozent vom 30.6.1986 bis zum 30.9.1991 ein Kapital von 1.000 DM an, wobei die Zinsmethode 30E/360 verwendet wird.

37

1 Zinsrechnung a) Wie hoch ist der Endbetrag? b) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV? c) Durch welchen Zinssatz würde man auf einem Sparbuch mit gemischter Verzinsung diesen Endbetrag erreichen? Rechnen Sie mit der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) und einem Zinstermin am Jahresende.

Aufgabe 9. Jemand legt auf einem Sparbuch mit gemischter Verzinsung und einem Zinstermin am Jahresende zu einem jährlichen Zinssatz von 8 Prozent vom 30.6.1986 bis zum 30.6.1991 ein Kapital von 1.000 DM an. a) Wie hoch ist der Endbetrag bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA)? b) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV? c) Welcher Zinssatz ρ würde bei stetiger Verzinsung mit der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) zum selben Endbetrag führen?

Aufgabe 10. Man berechne das Endkapital bei gemischter Verzinsung für ein Kapital

von 1.000.000, das im Zeitraum vom 30.8.2000 bis zum 12.8.2006 bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Verwenden Sie die alle Zinsmethoden und rechnen Sie mit einer, zwei und vier Zinsperioden.

Aufgabe 11. Jemand legt auf ein Bausparkonto zu einem jährlichen Zinssatz von 2

Prozent vom 21.4.1986 bis zum 31.7.1991 ein Kapital von 1.000 DM an. Rechnen Sie mit vier Zinsperioden und der Zinsmethode 30E/360. a) Wie hoch ist der Endbetrag? b) Wie groÿ ist die Rendite r¯ nach PAngV? c) Welcher Zinssatz würde bei gleicher Zinsmethode aber nur einer Zinsperiode pro Jahr zum selben Endbetrag führen?

Aufgabe 12. Ein Betrag von 1.000 Euro wird zwei Jahre zu einem Nominalzinssatz

von 6 Prozent mit monatlicher Zinsperiode angelegt. Man berechne den Kapitalendwert und die Rendite!

Aufgabe 13. Ein Bausparer zahlt am 1.1.2000 12.000 Euro auf ein Bausparkonto mit vier Zinsperioden. Nach genau vier Jahren hat er 12.996,85 Euro auf seinem Konto. Man berechne den Nominalzinssatz und die Rendite.

Aufgabe 14. Herr XY zahlt am 31.3.2000 auf ein besonders günstiges Sparbuch einer niederländisch-türkischen Bank 8.000 Euro ein und erhält bis zum 30.9.2003 einen Zinssatz von 4 Prozent, von da an bis zum Vertragsende am 31.3.2006 einen Zinssatz von 6 Prozent. Berechnen Sie den Betrag, den der Kunde dann erhält. Verwendet sei die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) mit einem Zinstermin am Jahresende. Man berechne ferner die Rendite r¯ der Anlage nach der PAngV.

38

1.19 Aufgaben Aufgabe 15. Frau XY hatte am 19.3.2000 einen Betrag von 8.000 Euro auf ein Spar-

buch einer Bank mit Sitz auf den Cayman-Inseln eingezahlt, und am 19.3.2005 wieder abgehoben. Der Sparzins betrug anfänglich 4 und stieg danach auf 6 Prozent. Frau XY wollte eine Rendite nach deutscher Rechnung von 5 Prozent erzielen. An welchem Tag musste dafür der Zins gewechselt werden? Die Zinsmethode war ACT/ACT (ICMA).

Aufgabe 16. Frau XY kaufte am 1.5.2011 einen Bundesschatzbrief des Typs B im Wert von 100.000 Euro zu den in Abbildung 1.2 auf Seite 31 gezeigten Konditionen.

a) Welchen Anteil am Kaufpreis nehmen die Stückzinsen ein, wie hoch ist der Nennwert des erworbenen Bundesschatzbriefes? b) Am 13.11.2014 gerät Frau XY in Geldnot und muss den Bundessschatzbrief verkaufen. Wie viel würde der Bund sofort zurücknehmen, wie wäre der weitere Verlauf der Rückgabe an den Bund? c) Der Exmann von Frau XY nutzt deren Notlage aus und kauft den Bundesschatzbrief zu einem Kaufpreis, der ihm eine Rendite von 6 Prozent garantiert, wenn er das Papier bis zum Ende der Laufzeit hält. Wie hoch ist der Kaufpreis? Welche Rendite hat die unglückliche Frau XY erzielt? Wie ist ihre steuerliche Situation?

Aufgabe 17. Ein Portfoliomanager verkündet, dass er in den letzten 10 Jahren durch-

schnittlich 20 Prozent Rendite erzielt hat. Wieso ist diese Aussage nur bedingt wertvoll?

39

1 Zinsrechnung

1.20 Lösungen Aufgabe 1. Für die folgenden Zeiträume berechne man für alle vorgestellten Zinsmethoden die jeweils verstrichene Zeit: 24.8.2000 bis zum 13.3.2004, 30.8.2000 bis zum 31.3.2001, 29.8.2000 bis zum 31.3.2002 und 28.2.2000 bis zum 31.3.2002. Die Lösungen sind im folgenden Excel-Arbeitsblatt zu nden: 17 18

19 20

21 22

23 24

25

A PAngV 24.08.2000 (2004-2000)+ (3-8-1)/12+ (13+30-24)/365 30.08.2000 (2001-2000)+ (3-8)/12+ (30-30)/365 29.08.2000 (2002-2000)+ (3-8)/12+ (30-29)/365 28.02.2000 (2002-2000)+ (3-2)/12+ (30-30)/365

B ACT/ACT ICMA 13.03.2004

C D ACT/ACT EXCEL ACT/360 Nact= 1297

130/366+3+72/366 1297/(365+2/5) 1297/360 31.03.2001 Nact= 213

124/366+0+89/365 31.03.2002

125/366+1+89/365 31.03.2002

308/366+1+89/365

213/365 213/360 Nact= 579

579/(365+1/3) 579/360 Nact= 762

762/(365+1/3)

762/360

E ACT/365

F 30/360E

G 30/360U

(2004-2000) (2004-2000) + (3-8)/12+ + (3-8)/12+ 1297/365 (13-24)/360 (13-24)/360 (2001-2000) (2001-2000) + (3-8)/12+ + (3-8)/12+ 213/365 (30-30)/360 (30-30)/360 (2002-2000) (2002-2000) + (3-8)/12+ + (3-8)/12+ 579/365 (30-29)/360 (31-29)/360 (2002-2000) (2002-2000) + (3-2)/12+ + (3-2)/12+ 762/365 (30-28)/360 (31-28)/360

Aufgabe 2. Man berechne den Endwert und den Zinsbetrag bei exponentieller, stetiger

und einfacher Verzinsung für ein Kapital von 1.000.000 Euro, das im Zeitraum vom 30.03.2000 bis zum 31.10.2001 bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden, bis auf die nach PAngV und berechne jeweils auch die Rendite. a) PAngV. Für die eigentliche Verzinsung wird diese Zinsmethode nie verwendet, sie ist aber in Deutschland zur Berechnung der Rendite zwingend vorgeschrieben. Es ergibt sich 10 − 3 30 − 30 + = 19/12. tP = 2001 − 2000 + 12 365 b) ACT/ACT (ICMA). Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, also im Jahr 2000 einschlieÿlich des 30.3.2000 insgesamt 277 Tage und im Jahr 2001 ohne den 31.10.2001 weitere 303 Tage. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)(277/366+303/365) = 1.129.906, 26 e Zt = Kt − K0 = 129.906, 26 e.  1/tP Kt r¯ = − 1 = 1, 1299062612/19 = 8, 02 % K0

40

1.20 Lösungen und bei stetiger Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08(277/366+303/365) = 1.135.368, 66 e Zt = Kt − K0 = 135.368, 66 e  1/tP Kt r¯ = − 1 = 1, 1353686612/19 = 8, 35 % K0 sowie bei einfacher Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08(277/366 + 303/365) = 1.126.957, 41 e Zt = Kt − K0 = 126.957, 41 e  1/tP Kt − 1 = 1, 1269574112/19 = 7, 84 % r¯ = K0 c) ACT/360. Die Zinstage müssen auch hier kalendergenau gezählt werden, das Jahr aber wird nur mit 360 Tagen angesetzt. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)580/360 = 1.132.007, 71 e Zt = Kt − K0 = 132.007, 71 e.  1/tP Kt r¯ = − 1 = 1, 1320077112/19 = 8, 15 % K0 und bei stetiger Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08·580/360 = 1.137.563, 72 e Zt = Kt − K0 = 137.563, 72 e.  1/tP Kt − 1 = 1, 1375637212/19 = 8, 48 % r¯ = K0 sowie bei einfacher Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 580/360) = 1.128.888, 89 e Zt = Kt − K0 = 128.888, 89 e  1/tP Kt r¯ = − 1 = 1, 1288888912/19 = 7, 96 % K0 d) ACT/365. Die Zinstage müssen auch hier kalendergenau gezählt werden, das Jahr aber wird nur mit 365 Tagen angesetzt. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)580/365 = 1.130.086, 59 e Zt = Kt − K0 = 130.086, 59 e.  1/tP Kt r¯ = − 1 = 1, 1300865912/19 = 8, 03 % K0

41

1 Zinsrechnung und bei stetiger Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08·580/365 = 1.135.557, 01 e Zt = Kt − K0 = 135.557, 01 e.  1/tP Kt r¯ = − 1 = 1, 1355570112/19 = 8, 36 % K0 sowie bei einfacher Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 580/365) = 1.127.123, 29 e Zt = Kt − K0 = 127.123, 29 e  1/tP Kt r¯ = − 1 = 1, 1271232912/19 = 7, 85 % K0 e) 30E/360 und 30U/360. Hier sind D1 = 30 und D2 = 31, M1 = 3 und M2 = 10 sowie Y1 = 2000 und Y2 = 2001. Nach deutschem und amerikanischen Ansatz ergeben sich D1 = 30 und D2 = 30. Bei beiden Zinsmethoden ist

t=

360 · (2001 − 2000) + 30 · (10 − 3) + (30 − 30) 570 = 360 360

Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)570/360 = 1.129.590, 28 e Zt = Kt − K0 = 129.590, 28 e.  1/tP Kt r¯ = − 1 = 1, 1295902812/19 = 8, 00 % K0 und bei stetiger Verzinsung

Kt = 1.000.000e0,08·570/360 = 1.135.038, 61 e Zt = Kt − K0 = 135.038, 61 e.  1/tP Kt r¯ = − 1 = 1, 1350386112/19 = 8, 33 % K0 sowie bei linearer Verzinsung

Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 570/360) = 1.126.666, 67 e Zt = Kt − K0 = 126.666, 67 e  1/tP Kt r¯ = − 1 = 1, 1266666712/19 = 7, 82 % K0

42

1.20 Lösungen Aufgabe 3. Man berechne den Endwert und den Zinsbetrag bei exponentieller, steti-

ger und einfacher Verzinsung für ein Kapital von 1.000.000 Euro, das im Zeitraum vom 27.4.2000 bis zum bis 28.1.2002 bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden, bis auf die nach PAngV und berechne jeweils auch die Rendite. Die Lösungen sind im folgenden Excel-Arbeitsblatt zu nden: A

B

C

D

E

F

G

K_0 r Anfang Ende 1.000.000,00 8,00% 27.04.2000 28.01.2002 ACT/ACT ICMA ACT/ACT EXCEL ACT/360 ACT/365 30/360E 30/360U 5 1 2 3 4 0 249/366+1+27/ 2002-2000+(12002-2000+(1Laufzeit5 formel 365 641/(365+1/3) 641/360 641/365 4)/12+(28-27)/360 4)/12+(28-27)/360 6 Laufzeit 1,7543005 1,7545620 1,7805556 1,7561644 1,7527778 1,7527778 7 Expon. Verz 1.144.551,42 1.144.574,46 1.146.866,46 1.144.715,62 1.144.417,30 1.144.417,30 8 Stet Verz. 1.150.669,60 1.150.693,68 1.153.089,02 1.150.841,20 1.150.529,44 1.150.529,44 9 Einf. Verz 1.140.344,04 1.140.364,96 1.142.444,44 1.140.493,15 1.140.222,22 1.140.222,22 Zeit nach PAngV: 2002-2000+(1-4)/12+(28-27)/360 = 1,7527397 10 11 Expon. Verz 8,01% 8,01% 8,13% 8,02% 8,00% 8,00% 12 Stet Verz. 8,34% 8,34% 8,47% 8,35% 8,33% 8,33% 13 Einf. Verz 7,78% 7,78% 7,89% 7,79% 7,77% 7,77% 1 2 3 4

Aufgabe 4. Der Zinssatz r bei stetiger Verzinsung sei so, dass aus 100 Euro innerhalb eines Monats bei der Zinsmethode 30E/360 101 Euro werden. a) Welchen Wert hat r? Ein Monat entspricht t = 1/12. Zu lösen ist die Gleichung r

101 = 100e 12 d.h.

 r = 12 ln

101 100



= 11, 94 Prozent

b) Welchen Wert hat ein Anfangskapital von 1.000 Euro nach zwei Jahren?

K2 = 1.000e2r = 1.000e2·0,1194 = 1.269, 73 Euro c) Wie groÿ ist die Rendite r¯ nach PAngV? Innerhalb von zwei Jahren werden aus 1.000 Euro 1.269, 73 Euro. Für die Rendite ergibt sich nach Gleichung (1.23) auf Seite 21

r¯ = (1, 26973)1/2 − 1 = 12, 68 Prozent.

Aufgabe 5. Eine Freundin verleiht Ihnen 10.000 Euro für vier Monate und verlangt 10.100 Euro zurück. Sie behauptet, ihre Rendite sei nur 3 Prozent. Wie sehen Sie das?

43

1 Zinsrechnung Die Formel (1.23) auf Seite 21 für die Rendite ergibt hier wegen tP = 1/3 und damit 1/tP = 3 3  10.100 − 1 = 1, 013 − 1 = 3, 03 Prozent. r¯ = 10.000 Die Freundin hat bei einfacher Verzinsung tatsächlich nur 3 Prozent Zinsen verlangt. Da unterjährig aber die einfache Verzinsung etwas günstiger für den Gläubiger ist als die exponentielle Verzinsung, ergibt sich der etwas höhere Wert für die Rendite.

Aufgabe 6. Eine Bank bietet einen so genannten abgezinsten Sparbrief wie folgt an: Der Kunde zahlt einmalig 900 Euro und erhält nach Ablauf von drei Jahren 1.000 Euro zurück. Wie hoch ist die Rendite? Die Rendite beträgt

 r¯ =

1.000 900

1/3 − 1 = 0, 035744169 ≈= 3, 57 %.

Aufgabe 7. Jemand legt bei stetiger Verzinsung zu einem jährlichen Nominalzinssatz von 8 Prozent vom 1.1.1987 bis zum 1.1.1992 ein Kapital von 1.000 DM an.

a) Warum ist keine Zinsmethode angegegeben? Da Anfangs- und Endtermin am Jahresanfang liegen, ergeben sich bei jeder Zinsmethode genau fünf Jahre als Verzinsungszeitspanne. b) Wie hoch ist der Endbetrag?

RE = 1.000e0,08·5 = 1491, 82 DM. c) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV? Zwischen beiden Terminen liegen genau fünf Jahre. Die Formel (1.23) auf Seite 21 für die Rendite ergibt deshalb

 r¯ =

1.491, 82 1.000

1/5

− 1 = 8, 33 Prozent.

d) Durch welchen Zinssatz r würde man mit exponentieller Verzinsung diesen Endbetrag erreichen? Da es sich um volle Jahre handelt, ist die Auösungsformel (1.15) auf Seite 8 der exponentiellen Verzinsung identisch mit der Renditeformel, also ergibt sich r = r¯ = 8, 33 Prozent

Aufgabe 8. Jemand legt bei stetiger Verzinsung zu einem jährlichen Nominalzinssatz

von 8 Prozent vom 30.6.1986 bis zum 30.9.1991 ein Kapital von 1.000 DM an, wobei die Zinsmethode 30E/360 verwendet wird.

44

1.20 Lösungen a) Wie hoch ist der Endbetrag? Bei der Zinsmethode 30E/360 ist t = 5, 25, für den Endbetrag ergibt sich

RE = 1.000e0,08·5,25 = 1.521, 96 DM. b) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV? Zwischen den beiden Terminen liegen nach PAngV genau 5,25 Jahre. Die Rendite r¯ ist deshalb Lösung der Gleichung:

 r¯ =

1.521, 96 1.000

1/5,25

− 1 = 8, 33 Prozent.

c) Durch welchen Zinssatz würde man auf einem Sparbuch mit gemischter Verzinsung diesen Endbetrag erreichen? Rechnen Sie mit der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) und einem Zinstermin am Jahresende. Bei einer Anlage auf dem Sparbuch zählt der erste Tag, aber nicht der letzte. Im Anfangsjahr sind daher der 30.6 und die kompletten Monate von Juli bis Dezember anzusetzen, also 1+4·31+2·30 = 185 Tage. Im Endjahr sind dagegen nur 365−93 = 272 Zinstage vorhanden. Es ergibt sich in DM:     272 185 4 r (1 + r) 1 + r . 1.521, 96 = 1.000 1 + 365 365 Diese Gleichung muss numerisch gelöst werden, etwa mit der Zielwertsuche von Excel. Es ergibt sich r = 8, 30 Prozent.

Aufgabe 9. Jemand legt auf einem Sparbuch mit gemischter Verzinsung und einem

Zinstermin am Jahresende zu einem jährlichen Zinssatz von 8 Prozent vom 30.6.1986 bis zum 30.6.1991 ein Kapital von 1.000 DM an. a) Wie hoch ist der Endbetrag bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA)? Bei einer Anlage auf dem Sparbuch zählt der erste Tag, aber nicht der letzte. Im Anfangsjahr sind daher der 30.6 und die kompletten Monate von Juli bis Dezember anzusetzen, also 1+4·31+2·30 = 185 Tage. Im Endjahr sind dagegen nur 365−185 = 180 Zinstage vorhanden. Es ergibt sich in DM:     180 185 4 0, 08 (1, 08) 1 + 0, 08 = 1.471, 50. RE = 1.000 1 + 365 365 b) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV? Zwischen den beiden Terminen liegen nach PAngV genau 5 Jahre. Die Rendite r¯ ist deshalb Lösung der Gleichung:

 r¯ =

1.471, 50 1.000

1/5

− 1 = 8, 03 Prozent.

45

1 Zinsrechnung c) Welcher Zinssatz ρ würde bei stetiger Verzinsung mit der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) zum selben Endbetrag führen? Zwischen beiden Terminen liegen bei dieser Zinsmethode genau fünf Jahre. Nach Formel (1.16) auf Seite 8 gilt für den gesuchten Zinssatz ρ:

ρ=

ln(1.471, 50) − ln(1.000) = 7, 73 Prozent. 5

Aufgabe 10. Man berechne das Endkapital bei gemischter Verzinsung für ein Kapital

von 1.000.000, das im Zeitraum vom 30.8.2000 bis zum 12.8.2006 bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Verwenden Sie die alle Zinsmethoden und rechnen Sie mit einer, zwei und vier Zinsperioden. Ich habe das Arbeitsblatt von Abbildung 2.6 auf Seite 60 um die Berechnung der Rendite erweitert. Eingestellt sind vier Zinsperioden, die Werte für eine und zwei Zinsperioden stehen darunter. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Eingaben

Zinstermin k1 y1 n Zinstermin k2 y2 ngesamt Kgemischt Renditen m=1 m=2

B K0 1.000.000,00

C Anfang 30.08.2000

D Ende 12.08.2006

ACT/ACT (ICMA) ACT/360 ACT/365 01.10.2000 01.10.2000 01.10.2000 32 32 32 366 360 365 23 23 23 01.07.2006 01.07.2006 01.07.2006 42 42 42 365 360 365 2173 2173 2173 1.602.546,59 1.602.935,16 1.602.577,09

E r 8,00%

30E/360 30U/360 01.10.2000 01.10.2000 31 31 360 360 23 23 01.07.2006 01.07.2006 41 41 360 360 2142 2142 1.602.228,63 1.602.228,63

Zeit nach PAngV (2006-2000)+ (8-8-1) /12 +(12+30-30)/365 8,2492% 8,2536% 8,2495% 8,2456% 1.582.914,90 1.584.636,01 1.583.029,34 8,0251% 8,0449% 8,0265% 1.595.734,66 1.596.638,73 1.595.850,03 8,1717% 8,1820% 8,1730%

F m 4

5,94954 8,2456%

1.582.937,32 1.582.937,32 8,0254% 8,0254% 1.595.251,55 1.595.251,55 8,1662% 8,1662%

Aufgabe 11. Jemand legt auf ein Bausparkonto zu einem jährlichen Zinssatz von 2 Prozent vom 21.4.1986 bis zum 31.7.1991 ein Kapital von 1.000 DM an. Rechnen Sie mit vier Zinsperioden und der Zinsmethode 30E/360. a) Wie hoch ist der Endbetrag? Der nächste Zinstermin beginnt am 1.7.1986, bis dahin vergehen nach der Zinsmethode 30E/360 noch k1 = 70 Tage. Der letzte Zinstermin vor dem Endtermin ist der 1.7.1991, dazwischen liegen n = 20 Zinsperioden. Vom 1.7.1991 bis zum Ende

46

1.20 Lösungen vergehen noch k2 = 90 Tage, denn der 31.7.1991 wird auf den 30.7.1991 degradiert und zählt nicht mit. Der Endwert ist somit 0, 02 · 29 0, 02 · 70 )1, 00520 (1 + ) = 1.110, 98 Euro. Kt = 1000(1 + 360 360 b) Wie groÿ ist die Rendite r¯ nach PAngV? Zwischen dem 21.4.1986 und dem 31.7.1991 verging nach PAngV die Zeit

tP = 1991 − 1986 + (7 − 4)/12 + (30 − 21)/365. Die Rendite beträgt deshalb

r¯ = (1, 07131)1/5,274657534 − 1 = 2, 0153 %. c) Welcher Zinssatz würde bei gleicher Zinsmethode aber nur einer Zinsperiode pro Jahr zum selben Endbetrag führen? Gesucht ist der Zinssatz i, welcher die Gleichung

i · 209 i · 250 )(1 + i)4 (1 + ) 360 360 löst. Durch geschickte Raterei kommt man schnell auf die brauchbare Näherung i = 2, 0134 Prozent. 1.110, 98 = 1000(1 +

Aufgabe 12. Ein Betrag von 1.000 Euro wird zwei Jahre zu einem Nominalzinssatz von 6 Prozent mit monatlicher Zinsperiode angelegt. Man berechne den Kapitalendwert und die Rendite! Hier ist

Kt = 1.000 (1 + 0, 06/12)24 = 1.127, 16 Euro, also r¯ = (1, 12716)1/2 − 1 = 0, 061677917 ≈ 6, 17 %.

Aufgabe 13. Ein Bausparer zahlt am 1.1.2000 12.000 Euro auf ein Bausparkonto mit vier Zinsperioden. Nach genau vier Jahren hat er 12.996,85 Euro auf seinem Konto. Man berechne den Nominalzinssatz und die Rendite. Anfangs- und Endtermin liegen auf einem Zinstermin, dazwischen liegen n = 16 Zinsperioden. Somit gilt für den Nominalzinssatz die Gleichung

12.996, 85 = (1 + r/4)16 = 12.000, d.h



1/16

r = 4 (12.996, 85/12.000)

 − 1 = 0, 02.

Für die Rendite erhält man

r¯ = (12.996, 85/12.000)1/4 − 1 = 0, 020150501 also r¯ = 2, 02 Prozent.

47

1 Zinsrechnung Aufgabe 14. Herr XY zahlt am 31.3.2000 auf ein besonders günstiges Sparbuch einer

niederländisch-türkischen Bank 8.000 Euro ein und erhält bis zum 30.9.2003 einen Zinssatz von 4 Prozent, von da an bis zum Vertragsende am 31.3.2006 einen Zinssatz von 6 Prozent. Berechnen Sie den Betrag, den der Kunde dann erhält. Verwendet sei die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) mit einem Zinstermin am Jahresende. Man berechne ferner die Rendite r¯ der Anlage nach der PAngV. Es wird so gerechnet, als werde zunächst vom 31.3.2000 bis zum 30.9.2003 ein Betrag von 8.000 Euro zum Zinssatz von 4 Prozent angelegt. Das ergibt als Zwischenergebnis

Kz = 8.000(1 +

0, 04 · 272 0, 04 · 276 )1, 042 (1 + ) = 9.179, 51 Euro. 366 365

Dieser Betrag wird jetzt vom 30.9.2003 bis zum Ende mit 6 Prozent verzinst. Daraus folgt 0, 06 · 89 0, 06 · 93 )1, 062 (1 + ) = 10.624, 98 Euro. Kt = 9.179, 51(1 + 365 365 Zwischen dem 31.3.2000 und dem 31.3.2006 liegen nach PAngV genau sechs Jahre, die Rendite von Herrn XY beträgt deshalb

r¯ = (10.624, 98/8.000)1/6 − 1 = 0, 048430538 . Da Renditen als Prozentwert mit zwei Nachkommastellen ausgezeichnet werden müssen, ergibt sich r¯ = 4, 84 Prozent. An diese Gepogenheiten sind ausländische Geldinstitute nur gebunden, wenn das Angebot in Deutschland erfolgt.

Aufgabe 15. Frau XY hatte am 19.3.2000 einen Betrag von 8.000 Euro auf ein Spar-

buch einer Bank mit Sitz auf den Cayman-Inseln eingezahlt, und am 19.3.2005 wieder abgehoben. Der Sparzins betrug anfänglich 4 und stieg danach auf 6 Prozent. Frau XY wollte eine Rendite nach deutscher Rechnung von 5 Prozent erzielen. An welchem Tag musste dafür der Zins gewechselt werden? Die Zinsmethode war ACT/ACT (ICMA). Die Frauen mit ihren Sonderwünschen. Zwischen dem 19.3.2000 und dem 19.3.2005 liegen nach PAngV genau fünf Jahre. Die Renditeformel

r¯ = (Kt /K0 )1/tP − 1 aufgelöst nach Kt ergibt

Kt = K0 (1 + r¯)tP ,

woraus der von Frau XY gewünschte Endbetrag

Kt = 8.000 (1, 05)5 = 10210, 25 Euro folgt. Der Zinswechsel muss im Jahr 2002 oder im Jahr 2003 erfolgen. Ich versuche es mit dem Jahr 2002 und nenne den unbekannten Tag x mit 1 ≤ x ≤ 365. Dann gilt

Kt = K0 (1 +

48

0, 04 · 288 0, 04 · x 365 − x 0, 06 · 77 )1, 04(1 + )(1 + 0, 04 · )1, 062 (1 + ). 366 365 365 365

1.20 Lösungen Dies ist eine quadratische Gleichung für x mit der Lösung x = 269, 1599537. Da nur ganze Zahlen in Frage kommen, wähle ich x = 269, also den 27.9.2002. Der tatsächliche Endbetrag ist dann sogar 10.210,35 Euro.

Aufgabe 16. Frau XY kaufte am 1.5.2011 einen Bundesschatzbrief des Typs B im Wert von 100.000 Euro zu den in Abbildung 1.2 auf Seite 31 gezeigten Konditionen.

a) Welchen Anteil am Kaufpreis nehmen die Stückzinsen ein, wie hoch ist der Nennwert des erworbenen Bundesschatzbriefes? b) Am 13.11.2014 gerät Frau XY in Geldnot und muss den Bundessschatzbrief verkaufen. Wie viel würde der Bund sofort zurücknehmen, wie wäre der weitere Verlauf der Rückgabe an den Bund? c) Der Exmann von Frau XY nutzt deren Notlage aus und kauft den Bundesschatzbrief zu einem Kaufpreis, der ihm eine Rendite von 6 Prozent garantiert, wenn er das Papier bis zum Ende der Laufzeit hält. Wie hoch ist der Kaufpreis? Welche Rendite hat die unglückliche Frau XY erzielt? Wie ist ihre steuerliche Situation?

Aufgabe 17. Ein Portfoliomanager verkündet, dass er in den letzten 10 Jahren durch-

schnittlich 20 Prozent Rendite erzielt hat. Wieso ist diese Aussage nur bedingt wertvoll? Unerfahrene Kunden nehmen an, dass der Wert des Portfolios in den letzten 10 Jahren um den Faktor (1, 2)10 = 6, 1917 gestiegen ist. Es gilt aber nur, dass das arithmetische Mittel ra r1 + r2 + ... + r10 = 0, 2, ra = 10 also 20 Prozent beträgt. Der tatsächliche Vermögenszuwachs ergibt sich aber aus dem geometrischen Mittel:

(1 + rg )10 = (1 + r1 )(1 + r2 )...(1 + r10 ). Wie sich zeigen lässt, gilt

rg ≤ ra , wobei Gleichheit nur dann auftritt, wenn alle ri gleich sind. Das klassische Beispiel r1 = 100 Prozent, r2 = −50 Prozent ergibt

rg = 0,

ra = 25.

Durchschnittlich wurde in den zwei Jahren eine Rendite von 25 Prozent erzielt, aber kein Wertzuwachs.

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2 Zinsrechnung mit Excel In diesem Kapitel zeige ich, wie Excel in der Zinsrechnung eingesetzt werden kann. Es werden die für die Finanzmathematik wichtigen Arbeitsblattfunktionen vorgestellt und das Excel-Feature Zielwertsuche beschrieben. Mit diesen Hilfsmitteln lassen sich alle Verfahren der Zinsrechnung in Formeln von Excel umsetzen.

2.1 Zinsmethoden 2.1.1 Die Excel-Funktion TAGE360 Wegen der groÿen Bedeutung der beiden Zinsmethoden 30E/360 und 30U/360 gibt es in Excel eine Funktion, die die Zinstage berechnet. Diese Funktion hat drei Parameter, der erste ist das Anfangsdatum, der zweite das Enddatum und der dritte ist eine logische Variable mit den Werten WAHR oder FALSCH. Soll nach der Zinsmethode 30E/360 gezählt werden, muss der dritte Parameter den Wert WAHR bekommen, während für 30U/360 FALSCH zu wählen ist. Steht etwa in der Zelle A1 als Datumswert 29.2.2008 und in der Zelle B1 als Datumswert 12.3.2008, so liefern die Formeln =TAGE360(A1:B1;WAHR und =TAGE360(A1:B1;FALSCH die Werte 13 und 12.

2.1.2 Die Excel-Funktion BRTEILJAHRE Nun benötigt man meistens die Zeitspanne zwischen zwei Datumsangaben und nicht nur die Anzahl der Zinstage. Die Entwickler von Excel haben deshalb eine Funktion namens BRTEILJAHRE geschrieben, welche die Zeitdierenz entsprechend der vorgestellten Zinsmethoden mit Ausnahme von PAngV und ACT/ACT (ICMA) berechnet. Diese Funktion wird in der Hilfe von Excel wie folgt beschrieben. BRTEILJAHRE(Ausgangsdatum;Enddatum;Basis) Wichtig Datumsangaben sollten mithilfe der Funktion DATUM oder als Ergebnisse anderer Formeln oder Funktionen eingegeben werden. Verwenden Sie z. B. für den 23. Mai 2008 DATUM(2008;5;23). Es können Probleme auftreten, wenn Datumsangaben als Text eingegeben werden. ˆ Ausgangsdatum: ist ein Datum, das dem Anfangsdatum entspricht. ˆ Enddatum: ist ein Datum, das das Enddatum angibt. ˆ Basis: gibt an, welche Zinsmethode verwendet wird. Es sind fünf Werte möglich.

50

2.1 Zinsmethoden     

Lässt man den dritten Parameter ganz weg oder 0: 30U/360 (amerikanisch), 1: ACT/ACT (EXCEL), 2: ACT/360 (Eurozins), 3: ACT/365 (Englisch), 4: 30E/360 (Deutsch).

Faszinierend an Microsoft-Produkten ist, dass sich nie etwas ändert, auÿer der verdammten neuen Oberäche mit den Multifunktionsleisten. Diese Funktion liefert die nutzlose Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL), aber nicht die international normierte Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) und bleibt auch die in Deutschland häug gebrauchte Zinsmethode nach PAngV schuldig.

2.1.3 Die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) Die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) wurde von den amerikanischen Entwicklern von Excel nicht berücksichtigt. Ich gebe deshalb in der abgebildeten Tabelle ein Schema zur Berechnung an.

1 2 3 4 5 6

A t1 27.04.2000 29.02.2000 28.02.2000 01.10.2002 01.03.2001

B t2 28.01.2002 08.05.2002 31.05.2002 31.10.2002 15.11.2008

C k1 249 307 308 30 306

D y1 366 366 366 365 365

E n 1 1 1 0 6

F k1 27 127 150 0 319

G y2 365 365 365 365 366

H Formel 249/366+1+27/365 307/366+1+127/365 308/366+1+150/365 30/365+0+0/365 306/365+6+319/366

I ∆t 1,754300 2,186743 2,252489 0,082192 7,709941

Abbildung 2.1: Die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) In den Zellen A2 und B2 stehen Anfangs- und Enddatum. In den Zelle C2 bis G2 benden sich die Formeln zur Berechnung von k1 , y1 , n, k2 und y2 . Für die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) müssen die Tage im Anfangsjahr ermittelt werden. Die Formel steht in der Zelle C2 und lautet =MIN(B2-A2;DATUM(JAHR(A2)+1;1;1)-A2)

Liegt das Enddatum im selben Jahr wie das Anfangsdatum, vergehen im Anfangsjahr nur B2 − A2 Tage, sonst aber müssen alle Tage einschlieÿlich des Jahresendes gezählt werden. Diese Zahl k1 muss durch die Gesamtzahl y1 der Tage des ersten Jahrs geteilt werden =DATUM(JAHR(A2);12;31)-(DATUM(JAHR(A2)-1;12;31))

In der Zelle E2 steht die Anzahl n der ganzen Jahre, also die Formel =MAX(0;JAHR(B2)-JAHR(A2)-1)

51

2 Zinsrechnung mit Excel Die Tage des Endjahrs stehen in der Zelle F2 und ergeben sich aus der Formel =WENN(JAHR(B2)>JAHR(A2);B2-DATUM(JAHR(B2);1;1);0)

Die Tage des letzten Jahres müssen durch die Gesamtzahl der Tage dieses Jahrs geteilt werden, d.h durch =DATUM(JAHR(B2);12;31)-(DATUM(JAHR(B2)-1;12;31))

Die Formel für die Zeitdauer nach ACT/ACT (ICMA) lautet damit =C2/D2+E2+F2/G2

und steht in Zelle I2. Die drei Formeln lassen sich zu einer einzigen Mammutformel vereinigen, die ohne Zwischenergebnissen auskommt. Dafür muss in der letzten Formel jeder Bezug auf C2, D2, E2, F2 und G2 durch die entsprechende Formel ersetzt werden, was man am besten auÿerhalb von Excel mit einem Editor durchführt. Es ergibt sich dann folgende Monsteranweisung: =WENN(JAHR(B2)-JAHR(A2)=0; (B2-A2)/(DATUM(JAHR(A2);12;31)-DATUM(JAHR(A2)-1;12;31)); JAHR(B2)-JAHR(A2)-1+ (DATUM(JAHR(A2)+1;1;1)-A2) /(DATUM(JAHR(A2);12;31)-DATUM(JAHR(A2)-1;12;31)) +(B2-DATUM(JAHR(B2);1;1)) /(DATUM(JAHR(B2);12;31)-DATUM(JAHR(B2)-1;12;31)))

Alle Formeln lassen sich am Ausfüllkästchen bequem nach unten ziehen. Nur für Excel-Füchse sei bemerkt, dass ich mir auch die in der Zelle H2 stehende Formel von Excel habe bilden lassen. Diese Formel ist aus der Sicht von Excel eine Zeichenfolge. Excel erlaubt, zwei Zeichenfolgen durch den Operator & zu verbinden. Die Formel für die Zelle H2 lautet somit: =C2&"/"&D2&"+"&E2&"+"&F2&"/"&G2

2.1.4 Die Zinsmethode PAngV Die deutsche Zinsmethode nach PAngV wurde von den amerikanischen Entwicklern von Excel nicht berücksichtigt. Ich gebe in der abgebildeten Tabelle ein Schema zur Berechnung an. In den Zellen A2 und B2 stehen Anfangs- und Enddatum. In den Zelle C2 und D2 benden sich die Formeln zur Berechnung von D1 bzw. D2. =WENN(ODER(TAG(A2)=31;UND(TAG(A2)>27; MONAT(A2)=2));30;TAG(A2)) (*) =WENN(ODER(TAG(B2)=31;UND(TAG(B2)>27; MONAT(B2)=2));30;TAG(B2)) (**)

In der Zelle E2 steht die Formel zur Berechnung der Zeitdierenz, in der Zelle F2 der zugehörige Wert. =WENN(D2>=C2;JAHR(B2)-JAHR(A2)+(MONAT(B2)-MONAT(A2))/12+(D2-C2)/365; JAHR(B2)-JAHR(A2)+(MONAT(B2)-MONAT(A2)-1)/12+ (D2 +30- C2)/365)

52

2.2 Exponentielle, stetige und einfache Verzinsung

1 2 3 4 5

A t1 27.04.2000 29.02.2000 28.02.2000 01.10.2002

B t2 28.01.2002 08.05.2002 31.05.2002 31.10.2002

C D1 27 30 30 1

D D2 28 8 30 30

E Formel 2002-2000+(1-4)/12+(28-27)/365 2002-2000+(5-2-1)/12 + (8+30-30)/365 2002-2000+(5-2)/12+(30-30)/365 2002-2002+(10-10)/12+(30-1)/365

F ∆t 1,752740 2,188584 2,250000 0,079452

Abbildung 2.2: Die Zinsmethode PAngV. Die drei Formeln lassen sich zu einer einzigen Mammutformel vereinigen. Dafür muss in der letzten Formel jeder Bezug auf C2 durch die mit (*) markierte Formel ersetzt werden und jeder Bezug von D2 wird durch die Formel (**) überschrieben. Dann ergibt sich folgende Monsteranweisung: WENN(WENN(ODER(TAG(B2)=31;UND(TAG(B2)>27; MONAT(B2)=2));30; TAG(B2))>= WENN(ODER(TAG(A2)=31;UND(TAG(A2)>27; MONAT(A2)=2));30; TAG(A2));JAHR(B2)-JAHR(A2)+(MONAT(B2)-MONAT(A2))/12 + (WENN(ODER(TAG(B2)=31;UND(TAG(B2)>27; MONAT(B2)=2));30;TAG(B2)) - WENN(ODER(TAG(A2)=31; UND(TAG(A2)>27; MONAT(A2)=2));30;TAG(A2))) / 365; JAHR(B2)-JAHR(A2)+(MONAT(B2)-MONAT(A2)-1)/12 + (WENN(ODER(TAG(B2)=31;UND(TAG(B2)>27; MONAT(B2)=2));30;TAG(B2)) + 30 WENN(ODER(TAG(A2)=31;UND(TAG(A2)>27; MONAT(A2)=2));30;TAG(A2)))/365)

Alle Formeln lassen sich am Ausfüllkästchen bequem nach unten ziehen. Nur für Excel-Füchse sei bemerkt, dass ich mir auch die in der Zelle E2 stehende Formel von Excel habe bilden lassen. Diese Formel ist aus der Sicht von Excel eine Zeichenfolge. Excel erlaubt, zwei Zeichenfolgen durch den Operator & zu verbinden. Die Formel für die Zelle E2 lautet: = JAHR(B2) & "-" & JAHR(A2) & "+(" & WENN(D2>=C2; MONAT(B2)&"-" & MONAT(A2)& ")/12+(" & D2& "-" & C2& ")/365"; MONAT(B2)&"-" & MONAT(A2)& "-1)/12 + (" & D2& "+30-" & C2& ")/365")

2.2 Exponentielle, stetige und einfache Verzinsung Werden diese drei Verzinsungsarten mit den einschlieÿlich ACt/ACT (EXCEL) sechs unterschiedlichen Zinsmethoden kombiniert, erhält man 18 Formeln zur Berechnung des Endkapitals bei gegebenen Werten von Anfangskapital, Zinssatz sowie Anfangs- und Enddatum, diese Plackerei überlässt man besser einem Excel-Arbeitsblatt. Die kalendergenauen Tage zwischen dem Anfangs- und dem Enddatum, die in den Zellen B2 und C2 stehen, werden mit der Formel = C2-B2

53

2 Zinsrechnung mit Excel A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Werte t texcel Index Kexp Kstetig Keinf Tage 2816

B Anfang 01.03.2001

C Ende 15.11.2008

D r 0,08

ACT/ACT (ICMA) 7,7099409

ACT/ACT (EXCEL) ACT/360 7,7097878 7,8222222 7,7097878 7,8222222 1 2 1.810.069,20 1.810.047,88 1.825.778,31 1.852.980,21 1.852.957,53 1.869.699,60 1.616.795,27 1.616.783,03 1.625.777,78 Jahre

Schaltjahre 8 2 Schaltjahr1 Schaltjahr2 2004 2008

E K0 1.000.000,00

ACT/365 7,7150685 7,7150685 3 1.810.783,64 1.853.740,48 1.617.205,48

F

G

30E/360 30U/360 7,7055556 7,7055556 7,7055556 7,7055556 4 0 1.809.458,41 1.809.458,41 1.852.330,26 1.852.330,26 1.616.444,44 1.616.444,44

Anfangstage Ganze Jahre 306 6

Endtage 319

Abbildung 2.3: Berechnung des Endkapitals bei verschiedenen Formen der Verzinsung. in der Zelle A13 berechnet. Dieser Wert ist der Zähler für die Zeiten in den Zellen C5 bis E5. Für die Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) wird die Gesamtzahl von beteiligten Jahren benötigt. Dieser Wert steht in Zelle B13 und wird über die Formel =JAHR(C2)-JAHR(B2) + 1

bestimmt. Die Anzahl der Schaltjahre steht in der Zelle C12, die Berechnung erfogt über zwei Zwischenergebnisse. In der Zelle B15 bendet sich das erste auf das Anfangsjahr folgende Schaltjahr. Die Formel lautet: =JAHR(B2)-REST(JAHR(B2)-1;4) + 3

Schaltjahre sind durch vier teilbar. Die Excel-Funktion REST liefert den ganzzahligen Rest bei Division. Im Beispiel hat JAHR(B2) den Wert 2001 und somit ist JAHR(B2) − 1 = 2000, der Rest nach Division von 2000 durch 4 ist 0. Wird 0 − 3 zu 2001 hinzugefügt ergibt sich das nachfolgende Schaltjahr 2004. In der Nachbarzelle C15 steht das letzte Schaltjahr vor dem Jahr des Anfangsdatums. Die Formel lautet: =JAHR(C2)-REST(JAHR(C2);4)

Die Anzahl der Schaltjahre zwischen dem Anfangs- und Endjahr ergibt sich dann aus der in der Zelle C13 stehenden Formel =WENN(UND(B15=JAHR(B2));(C15-B15)/4+1;0)

Für die Zeit nach der Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) erhält man die in der Zelle B5 bendliche Formel =A13/(365+C13/B13)

54

2.2 Exponentielle, stetige und einfache Verzinsung Für die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) müssen die Tage im Anfangsjahr ermittelt werden. Die Formel steht in der Zelle E13 und lautet =MIN(C2-B2;DATUM(JAHR(B2)+1;1;1)-B2)

Liegt das Enddatum im selben Jahr wie das Anfangsdatum, vergehen im Anfangsjahr nur C2 − B2 Tage, sonst aber müssen alle Tage einschlieÿlich des Jahresendes gezählt werden. Die Tage des Endjahrs stehen in der Zelle G13 und ergeben sich aus der Formel =WENN(JAHR(C2)>JAHR(B2);End-DATUM(JAHR(C2);1;1);0)

In der Zelle F13 steht die Anzahl der ganzen Jahre, also die Formel =MAX(0;JAHR(C2)-JAHR(B2)-1)

Die Tage in den angebrochenen Jahre müssen durch die Gesamtzahl der Tage des jeweiligen Jahrs geteilt werden. Zählt man diese Brüche zur Anzahl der ganzen Jahre, ergibt sich in der Zelle C5 die längliche Formel für die Zeit entsprechend der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) =E13/(DATUM(JAHR(B2);12;31)-(DATUM(JAHR(B2)-1;12;31))) +F13+G13/(DATUM(JAHR(C2);12;31)-(DATUM(JAHR(C2)-1;12;31)))

Die beiden Formeln für die Zeit nach den Methoden ACT/360 bzw. ACT/365 benden sich in den Zellen D5 und E5 und lauten =A13/360 =A13/365

Für die deutsche und amerikanischen Zinsmethoden werden nicht die kalendergenauen Tage, sondern wie beschrieben je eine Form der 30/360 Methode benötigt. Die Excel Funktion TAGE360 rechnet die Tage nach dieser Methode aus, Sie müssen dann noch durch 360 teilen. Für die deutsche Zinsmethode 30E/360 habe ich in der Zelle F5 die Formel =TAGE360(B2;C2;WAHR)/360

eingegeben und für die amerikanische Zinsmethode 30U/360 in die Zelle G5 =TAGE360(A2;B2;FALSCH)/360

Ich habe hier zu Übungszwecken die Zinsmethoden ACT/ACT (EXCEL), ACT/360, ACT/365 und 30E/360 sowie 30U/360 ohne die dafür maÿgeschneiderte Funktion BRTEILJAHRE erstellt. In der Zeile 6 habe ich diese Funktion verwendet. Sie liefert dieselben Ergebnisse wie die direkte Rechnung in der Zeile darüber, mit Ausnahme der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA). Achten Sie auf den dritten Parameter der Funktion, da dieser die Zinsmethode auswählt. In der Zeile 6 stehen somit die Formeln =BRTEILJAHRE(B2;C2;i), wobei i die Werte der Zeile 7 hat, in den Zellen B6 bis G6 stehen also nacheinander =BRTEILJAHRE(B2;C2;1) bis =BRTEILJAHRE(B2;C2;4) und dann noch =BRTEILJAHRE(B2;C2;0). Die Zinsmethoden ACT/ACT (ICMA) und PAngV müssen aber selbst gestrickt werden. Nach der Quälerei mit der Zeit kommen jetzt die drei Grundformeln der Verzinsung. Für die exponentielle Verzinsung in Zelle B7 sorgt die Formel

55

2 Zinsrechnung mit Excel =$D$2*(1+$E$2)^B6

denn in der Zelle $D$2 steht das Anfangskapital, in B6 die Zeit und in der Zelle $E$2 der Zinssatz. Die Dollarzeichen sorgen dafür, dass diese Formel nach rechts gezogen werden kann, in der Zelle C7 steht dann =$D$2*(1+$E$2)^C6

Das kann dann bis zur Spalte G fortgesetzt werden. Die Grundformeln für die stetige und einfache Verzinsung lauten =$D$2*exp($E$2)*B6) =$D$2*(1+$E$2)*B6)

und stehen in den Zellen B8 und B9 und können wie beschrieben am Ausfüllkästchen bis zur Spalte G nach rechts gezogen werden. =WENN(JAHR(EDat)-JAHR(ADat)=0;(EDat-ADat)/ (DATUM(JAHR(ADat);12;31)-DATUM(JAHR(ADat)-1;12;31)); JAHR(EDat)-JAHR(ADat)-1+(DATUM(JAHR(ADat)+1;1;1)-ADat)/ (DATUM(JAHR(ADat);12;31)-DATUM(JAHR(ADat)-1;12;31)) + (EDat-DATUM(JAHR(EDat);1;1))/ (DATUM(JAHR(EDat);12;31)-DATUM(JAHR(EDat)-1;12;31)))

2.2.1 Auösungen nach Anfangskapital, Zeit und Zinssatz Die drei Zinsformeln kann man nach jeder einzelnen Gröÿe auösen. ich werde dies an einigen Beispielen zeigen.

Beispiel 2.1. Welches Kapital ist nötig, um im Zeitraum vom 25.02.2000 bis zum 10.06.2001 bei linearer Verzinsung und einem Zinssatz von 4 Prozent zu einem Endkapital von 4.200 Euro zu gelangen? Verwenden Sie die Zinsmethode 30E/360.

Ich möchte der nützlichen Excel-Funktion BRTEILJAHRE die Berechnung der Zeit überlassen. Also schreibe ich in ein Excel-Arbeitsblatt in die Zellen A1 und B1 die beiden Datumswerte und gebe in die Zelle C1 die Formel =BRTEILJAHRE(A1;B1;4)

ein. In die Zelle D1 kommt dann nach der Formel (1.14) von Seite 8 =4200/(1+0,04*C1)

Ihr Arbeitsblatt sollte dann die folgenden Werte aufweisen. A1

B1

C1

D1

25.02.2000

10.06.2001

1,291666667

3.993,66

Man benötigt also 3.993,66 Euro für den geforderten Endwert.

56

2.2 Exponentielle, stetige und einfache Verzinsung Beispiel 2.2. Bei welchem Zinssatz wächst ein Kapital von 4.000 Euro im Zeitraum vom 25.02.2000 bis zum 10.06.2001 bei stetiger Verzinsung auf ein Endkapital von 4.200 Euro an? Verwenden Sie die Zinsmethode ACT/360.

Die Zellen A1 und B1 bleiben unverändert, wegen der Zinsmethode ACT/360 steht aber jetzt in der Zelle C1 die Formel =BRTEILJAHRE(A1;B1;2)

In die Zelle D1 kommt dann nach der Formel (1.16) von Seite 8 =(LN(4200)-LN(4000))/C1

Ihr Arbeitsblatt sollte dann die folgenden Werte aufweisen. A1

B1

C1

D1

25.02.2000

10.06.2001

1,308333333

0,037291845

Der Zinssatz ist also ungefähr 3,729 Prozent.

Beispiel 2.3. Wie muss das Enddatum gewählt werden, damit ein am 25.02.2000 an-

gelegtes Kapital von 4.000 Euro bei einem Zinssatz von 5 Prozent bei exponentieller Verzinsung auf ein Endkapital von 4.300 Euro anwächst? Verwenden Sie die Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL). Diesmal habe ich ein etwas aufwändigeres Arbeitsblatt angelegt, siehe Abbildung 2.4 auf Seite 57.

Abbildung 2.4: Berechnung des Endkapitals bei verschiedenen Formen der Verzinsung. In die Zelle A2 kommt das Anfangsdatum, also der 25.2.2000. In die Zelle B2 schreibe ich eine erste Vermutung. Da 4.000 Euro in einem Jahr 200 Euro Zinsen abwerfen, wird der Zeitraum ungefähr 1,5 Jahre sein, also setze ich in die Zelle B2 das Datum 25.8.2001. Wegen der Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) steht jetzt in der Zelle C2 die Formel

57

2 Zinsrechnung mit Excel =BRTEILJAHRE(A1;B1;1)

Excel berechnet dafür den Wert 1,496580. In die Zelle H2 kommt dann nach der Formel (1.18) von Seite 8 =(LN(F2)-LN(E2))/LN(1+D2)

Dann ergibt sich in dieser Zelle der Wert 1,48228. Die Schätzung 25.8.2001 war nicht schlecht, aber noch zu hoch, daher muss ich den Wert solange um einen Tage verkleinern, bis die Zelle C2 den Wert der Zelle H2 hat. Die beste Übereinstimmung ergibt sich für den 20.8.2001. Dann hat die Zelle C2 den Wert 1,482900137. Eine bessere Übereinstimmung ist nicht zu erzielen, der 20.8.2001 wird das Enddatum sein. Das dann erreichte Endkapital ist aber nicht genau 4.300 Euro, sondern

Kt = 4.000 · 1, 051,482900137 = 4.300.13 Euro.

2.3 Das Excel-Feature Zielwertsuche Nun werden Sie einwenden, dass die Sucherei ziemlich umständlich ist, vor allem wenn man nicht schon am Anfang gut geraten hat. Das haben auch die Entwickler von Excel bedacht und für solche Probleme eine Lösung bereit gestellt, die so genannte Zielwertsuche . Dafür wird ein kleiner Dialog benötigt, der in den älteren Versionen von Excel über die Menüfolge Extras|Zielwertsuche geönet wird. Ab der Version Excel 2007 klicken Sie auf der Registerkarte Daten in der Gruppe Datentools auf Was wäre wenn Analyse und wählen dann Zielwertsuche. In der Abbildung 2.4 auf Seite 57 ist dies zu sehen. Es önet sich das abgebildete Dialogfeld Zielwertsuche mit seinen drei Eingabefelder. Die Zielzelle ist die Zelle, die einen bestimmten Wert erhalten soll, das ist hier die Zelle C2. Der gewünschte Zielwert ist der Wert der Zelle H2, hier 1,48228. Die veränderbare Zelle ist die Zelle, die den Wert der Zielzelle bestimmt, das ist hier die Zelle B2 mit dem Enddatum. Um es Excel nicht zu leicht zu machen, habe ich hier mit dem 20.2.2001 sehr ungenau geraten, daher liegen die Werte in den Zellen C2 und H2 noch weit auseinander. Nach Drücken der Schaltäche OK ermittelt Excel denjenigen Wert von B2, der in der Zelle C2 zum gewünschten Wert führt, in diesem Fall den 20.08.2001 21:57:25. Excel versucht die Lösung genau zu ermitteln und gibt neben dem Datum noch eine Tageszeit an. Die Lösung selbst muss aber ein reines Datum sein, in Frage kommen nur der 20.8.2001 und der 21.8.2001. Der 20.8.2001 liefert mit dem Endwert von 4.300,13 Euro die beste Näherung an den gewünschten Endwert von 4.300 Euro.

2.3.1 Automatischer Aufruf der Zielwertsuche Mit VBA lässt die Zielwertsuche auch automatisieren. Önen Sie über Alt + F11 den Visual Basic Editor und suchen im Navigationsfenster den Eintrag Tabelle1. Önen Sie dann das Ereignis SelectionChange und schreiben folgenden Code.

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2.4 Gemischte Verzinsung Private Sub Worksheet_SelectionChange(ByVal Target As Range) Range("C2").GoalSeek Goal:=Range("H2").Value, _ ChangingCell:=Range("B2") End Sub

2.4 Gemischte Verzinsung A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Werte k1 y1 tA n k2 y2 tE Kgemischt

B K0 1.000.000,00

C Anfang 01.03.2001

D Ende 15.11.2008

E r 0,08

F

ACT/ACT ACT/360 ACT/365 30E/360 30U/360 306 306 306 300 300 365 360 365 360 360 0,838356164 0,85 0,838356164 0,833333333 0,833333333 6 6 6 6 6 319 319 319 314 314 366 360 365 360 360 0,871584699 0,886111111 0,873972603 0,872222222 0,872222222 1.811.372,19 1.814.922,97 1.811.695,67 1.810.776,41 1.810.776,41

Abbildung 2.5: Berechnung des Endkapitals bei gemischter Verzinsung. Auch die öde Rechnerei der gemischten Verzinsung kann Excel erleichtern. Ich gehe zunächst von einem Zinstermin am Jahresende aus. Die wichtigsten Formeln des abgebildeten Arbeitsblatts gebe ich nun an. In der Zelle B5 stehen die Tage im Anfangsjahr. Stimmt dieses mit dem Endjahr überein, gibt es nur die Tage D2 − C2, sonst alle restlichen Tage des Jahres. Dieselben Werte stehen in den Zellen C5 und D5. =WENN(JAHR(D2)-JAHR(C2)=0;(D2-C2);DATUM(JAHR(C2)+1;1;1)-C2) In der Zelle E5 stehen die Tage im Anfangsjahr, wobei nach deutscher Zinsmethode gezählt wird, das übernimmt die Excel-Funktion TAGE360 mit drittem Parameter WAHR. In der Zelle F5 steht die gleiche Formel, nur hat hier der dritte Parameter den Wert FALSCH. =WENN(JAHR(D2)-JAHR(C2)=0;TAGE360(C2;D2;WAHR); TAGE360(C2;DATUM(JAHR(C2)+1;1;1);WAHR)) In der Zelle B6 werden die kalendergenauen Tage des Anfangsjahrs ermittelt.

59

2 Zinsrechnung mit Excel = DATUM(JAHR(C2);12;31)-DATUM(JAHR(C2)-1;12;31) Ähnliche Formeln stehen in den Zellen B9 und B10. Die Formel der Zelle B8 berechnet die Anzahl vollständiger Jahre. =MAX(0;JAHR(D2)-JAHR(A2)-1) In der Zelle B12 steht dann die Formel der gemischten Verzinsung. Um sie nach rechts ziehen zu können, wurden die Dollarzeichen für die Variablen des Anfangskapitals und des Zinssatzes verwendet. =$A$2*(1+$E$2*B5/B6)*(1+$E$2)B8*(1+$E$2*B9/B10)

2.5 Unterjährige gemischte Verzinsung mit Excel Für die unterjährige gemischte Verzinsung habe ich das auf Seite 60 abgebildete Arbeitsblatt angelegt. Die Zellen B2 bis F2 enthalten die Eingaben. Zur besseren Lesbarkeit der Formeln habe ich diesen Zellen Namen gegeben, und zwar Anf und End für die Zellen C2 und D2 mit Anfangs- und Enddatum und m für die Zelle F2, wo die Anzahl der Perioden steht. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Eingaben

Zinstermin k1 y1 n Zinstermin k2 y2 ngesamt Kgemischt Renditen

Zeit nach 16 PAngV

B K0 1.000.000,00

C Anfang 30.08.2000

D Ende 12.08.2006

E r 8,00%

F m 1

ACT/ACT (ICMA) ACT/360 ACT/365 30E/360 30U/360 01.01.2001 01.01.2001 01.01.2001 01.01.2001 01.01.2001 124 124 124 121 121 366 360 365 360 360 5 5 5 5 5 01.01.2006 01.01.2006 01.01.2006 01.01.2006 01.01.2006 223 223 223 221 221 365 360 365 360 360 2173 2173 2173 2142 2142 1.582.914,90 1.584.636,01 1.583.029,34 1.582.937,32 1.582.937,32 8,0251% 8,0449% 8,0265% 8,0254% 8,0254%

5,949543379

Abbildung 2.6: Berechnung des Endkapitals bei gemischter unterjähriger Verzinsung. Bei unterjähriger Verzinsung muss zunächst der nächste Zinstermin gefunden werden. Bei m Zinsperioden hat jede Zinsperiode die Länge 12/m, bei vier Zinsperioden ist etwa

60

2.6 Aufgaben jede Zinsperiode drei Monate lang. Die Anfangstage der Perioden sind dann der 1.1, 1.4, 1.7 und 1.10, die Monatszahl verringert um 1 ist glatt durch die Periodenlänge 12/m teilbar und der Anfangstag ist der erste dieses Monats. Die beiden Bedingungen lauten für sich TAG(Anf) = 1 REST(MONAT(Anf)-1;12/m) = 0

und müssen durch die UND-Funktion verbunden werden und bilden dann das erste Argument der WENN-Funktion =WENN(UND(TAG(Anf)=1;REST(MONAT(Anf)-1;12/m)=0);Anf;XXX)

An die Stelle von XXX kommt die Anweisung für den nächsten Zinstermin, wenn das Anfangsdatum nicht auf den Periodenanfang fällt. Diese Anweisung ist ziemlich lang: DATUM(JAHR(Anf)+WENN(m-1 < MONAT(Anf)*m/12;1;0); WENN(m-1 0 sein, wird die Nettobarwertfunktion durch den Term (1 + r)−t0 geteilt. Die so veränderte Funktion hat dieselben Nullstellen wie die Nettobarwertfunktion, ich kann also t0 = 0 voraussetzen. Nullstellen von Funktionen müssen in der Regel numerisch gefunden werden. Das bekannteste Verfahren ist das das Newtonsche Näherungsverfahren, auch als NewtonRaphsonsche Methode bezeichnet, (benannt nach Sir Isaac Newton 1669 und Joseph Raphson 1690). Ich übernehme hier ganz leicht verändert die Darstellung des deutschen Wikipedia vom April 2010. Im Falle einer Gleichung mit einer Variablen lassen sich zu einer gegebenen stetig dierenzierbaren Funktion f : R → R Näherungswerte zu Lösungen der Gleichung f (x) = 0, d. h. Näherungen der Nullstellen dieser Funktion nden. Die grundlegende Idee dieses Verfahrens ist, die Funktion in einem Ausgangspunkt zu linearisieren, d. h. ihre Tangente zu bestimmen, und die Nullstelle der Tangente als verbesserte Näherung der Nullstelle der Funktion zu verwenden. Die erhaltene Näherung dient als Ausgangspunkt für einen weiteren Verbesserungsschritt. Diese Iteration erfolgt bis die Änderung in der Näherungslösung eine festgesetzte Schranke unterschritten hat. Das Iterations-Verfahren konvergiert im günstigsten Fall asymptotisch mit quadratischer Konvergenzordnung, die Zahl der korrekten Dezimalstellen verdoppelt sich dann in jedem Schritt. Die abstrakte Form des Verfahrens mit Benutzung der Ableitung

xn+1 = xn −

f (xn ) f 0 (xn )

stammt von Thomas Simpson. Das Newton-Verfahren ist ein so genanntes lokal konvergentes Verfahren. Die Konvergenz der in der Newton-Iteration erzeugten Folge zu einer Nullstelle ist also nur garantiert, wenn der Startwert, d. h. das 0-te Glied der Folge, schon ausreichend nahe an der Nullstelle liegt. Es gibt aber auch globale Konvergenzkriterien. Eines davon beschreibt der folgende Satz.

Satz 3.2. Im Intervall I = (a, b) gelte durchweg f 0 < 0 sowie f 00 > 0 oder umgekehrt durchweg f 0 > 0 sowie f 00 < 0 und f (a)f (b) < 0. Dann gibt es in I genau eine Nullstelle ξ der Funktion f (x). Liegt der Startwert x0 ∈ I = (a, b) links von der Nullstelle ξ ∈ I , so konvergiert die Folge im Newton-Verfahren stets, und zwar streng monoton wachsend.

78

3.10 Numerische Berechnung der Rendite Alle Voraussetzungen des Satzes 3.2 treen auf die Barwertfunktion N P V (r) im Intervall (0, ∞) zu, wenn C0 > 0 und Ci < 0 für i > 0 mit

C0
0 n X N P V 0 (r) = − Ci · ti (1 + r)−t1 −1 > 0 i=1

N P V 00 (r) =

n X

Ci · ti · (ti + 1) (1 + r)−t1 −2 < 0

i=1

Im umgekehrten Fall C0 < 0 und Ci > 0 für i > 0 sowie

|C0 |
−1 gilt, also bedeutet eine einziger Vorzeichenwechsel in der Koezientenfolge genau eine Nullstelle der Nettobarwertfunktion im Bereich r > −1. Gilt darüberhinaus s X i=0

|Ci |
0, denn N P V (0) und N P V (∞) haben verschiedenes Vorzeichen. Die gesammelten Informationen über Nettobarwertfunktionen fasse ich in einem Satz zusammen.

Satz 3.4. Eine Nettobarwertfunktion hat genau eine positive Nullstelle, wenn es es bei der Folge der Zahlungen nur einen Vorzeichenwechsel gibt und die Bedingung (3.13) gilt. Tritt der Vorzeichenwechsel unter dieser Voraussetzung direkt nach der ersten Zahlung C0 ein, konvergiert das Newtonverfahren mit jedem nichtnegativen Startwert gegen diese Nullstelle.

3.11 Allgemeine Nettobarwertfunktionen Sobald die Folge der Zahlungen mehrmals das Vorzeichen wechselt, gibt es keine globalen Konvergenzkriterien, denn die Nettobarwertfunktion kann in diesen Fällen mehr als eine Nullstelle haben, wie etwa der Zahlungsstrom [(1.000, 0), (−2.150, 1), (1.155, 2)]. Hier werden am Anfang und am Ende des zweiten Jahres Einnahmen in Höhe von 1.000 Euro und 1.155 Euro erzielt, während am Ende des ersten Jahres 2.150 Euro abieÿen. Die Barwertfunktion lautet

N P V (r) = 1.000 − 2.150(1 + r)−1 + 1.155(1 + r)−2

80

3.11 Allgemeine Nettobarwertfunktionen und hat die Nullstellen 0, 05 und 0, 01. Das können sie ohne Numerik nachvollziehen, denn aus N P V (r) = 0 folgt mit v = (1 + r)−1 eine quadratische Gleichung für v . In den meisten Anwendungen der Finanzmathematik hat die Nettobarwertfunktion nur einen Vorzeichenwechsel in der Koezientenfolge. Es gibt aber auch Investitionen in Betriebsstätten, die neben den anfänglichen Kosten zum Erwerb auch auch beim Abriss oder Stillegung am Ende der Betriebszeit wieder Geldabüsse nach sich ziehen. Man denke dabei etwa an Atomkraftwerke, wobei deren Inhaber diese Belastungen gerne an den Staat weitergeben. Dann hat der Zahlungsstrom mindestens zwei Vorzeichenwechsel. Ich zeige dies an einem Beispiel.

Beispiel 3.5. Mister Burns erwirbt ein mit Chemikalien verseuchtes Gelände für zwei

Mio. Dollar. Er lässt das Gelände von einem Bauunternehmer sanieren und bebauen, wofür er pauschal nach einem Vierteljahr acht Mio. Dollar zahlt. Nach einem Jahr stöÿt er die entstandene Siedlung für 16 Mio. Dollar ab und rechnet in vier Jahren mit Entschädigungszahlungen von sieben Mio. Dollar. Die Zahlungsströme sehen Sie in einer Tabelle, alle Angaben in Mio. Dollar. Zeit

0

1/4

Ausgaben Einnahmen vollständig

2

8

7

−8

16 16 −7

−2

1

4

Hier lautet die Nettobarwertfunktion in Mio. Dollar

N P V (r) = −2 − 8 (1 + r)−0,25 + 16 (1 + r)−1 − 7 (1 + r)−4 . Die Koezientenfolge dieser Nettobarwertfunktion hat zwei Vorzeichenwechsel, es gibt daher zwei oder keine Nullstellen mit r > −1. Die obere Kurve der Abbildung 3.8 ist der Graph dieser Nettobarwertfunkton, es sind zwei Nullstellen zu erkennen. Zwischen ungefähr 11 und 53 Prozent ist die Nettobarwertfunktion positiv. Die untere Kurve ist der Graph der folgenden Nettobarwertfunktion

N P V (r) = −2, 5 − 8 (1 + r)−0,25 + 16 (1 + r)−1 − 7 (1 + r)−4 . Sie unterscheidet sich nur durch die höhere Zahlung am Anfang. Diese verhindert, dass die Nettobarwertfunktion jemals positiv wird, die Nettobarwertfunktion hat somit keine Nullstelle. Bleiben wir beim ursprünglichen Wert von zwei Mio. Dollar Erwerbspreis. Die Nettobarwertfunktion wird erst ab etwa 11 Prozent positiv, Mister Burns ist aber dank vortreicher Mitarbeiter wie Homer Simpson an Renditen von 20 Prozent gewöhnt. Er lässt seinen treuen Verehrer Waylon Smithers den Kapitalwert von 314.019.39 Dollar ausrechnen und geht das Geschäft ein, zumal er mit einem Alter von 104 Jahren um die Entschädigungen herumkommen kann. Nach vier Jahren wird dieser Kapitalwert bei einer Verzinsung von 20 Prozent auf 651.150,61 Dollar angewachsen sein, der Mehrverdienst im Vergleich zum üblichen Atomkraftwerksgeschäft.

81

3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen 0,5

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

N -0,5 P V (

-1

r ) -1,5

-2

Zinssatz r

Abbildung 3.5: Zielwertsuche mit Excel Waylon Smithers rechnet zur Probe auch noch mal anders, alle Angaben in Mio. Dollar. Der Kaufpreis beträgt 2, die Sanierungskosten in einem Vierteljahr 8, diese mit 20 Prozent abgezinst ergeben die Anschaungskosten von 9,643542338. Dieser Betrag würde im Kerngeschäft der Kernkraft mit 20 Prozent jährlichem Zugewinn am Ende des vierten Jahres auf 19,99684939 angewachsen sein. Stattdessen wird in einem Jahr 16 kassiert und zu 20 Prozent ins Atomkraftwerk gesteckt. Nach drei Jahren ist dieser Betrag dann auf 27,648 angewachsen, wovon 7 abgezogen wird. Die Dierenz zwischen den verbliebenen 20,648 und 19,99684939 ist dann exakt wieder der Mehrgewinn von 0,65115061.

3.12 Barwertberechnung mit Excel

Abbildung 3.6: Zielwertsuche mit Excel

82

3.13 Zusammenfassung Die Berechnung von Barwerten kann mit Excel sehr einfach durchgeführt werden. Sie tragen zunächst in der ersten Spalte die Daten ein, im Beispiel von eben der 30.9.85, der 31.12.85, der 30.6.86 und der 31.12.86. Direkt daneben werden die Beträge des Zahlungsstroms eingesetzt. In der dritten Spalte werden dann die Zeitdierenzen zum Anfangszeitpunkt aufgelistet. Ich habe hier nach ACT/ACT (ICMA) gerechnet. In der nächsten Spalte stehen die mit (1 + r)−t diskontierten Beträge, wobei der Zinssatz r hier in der Zelle B1 steht. Die korrekte Formel von Zelle D3 lautet somit

= B3 ∗ (1 + $B$1)(−C3) Diese Formel müssen Sie dann am Ausfüllkästchen nach unten ziehen. Die Summe der diskontierten Beträge ergibt den Nettobarwert zum Zinsatz r. Ich habe dafür die ExcelFunktion Summe verwendet. Zum Zinssatz von r = 0, 08 ergab dies einen Nettobarwert von 133,41 DM. Excel kann aber mehr. Im Menü Extras gibt es den Menüpunkt Zielwertsuche, der den abgebildeten kleinen Dialog önet. Sie müssen die Zielzelle angegeben, das ist die Zelle D8 mit dem Nettobarwert und den Zielwert, also 0. Die veränderbare Zelle ist die Zelle B1 mit dem Zinssatz. Nach der Zielwertsuche steht in dieser Zelle dann die Rendite. Ab Excel 2007 erreichen Sie die Zielwertsuche durch Klicken der Registerkarte Daten, wo sich in der Gruppe Datentools die Was-wäre-wenn-Analyse mit der Zielwertsuche bendet.

3.13 Zusammenfassung Ein Zahlungsstrom ist eine Folge von Zahlungen und den Zeitpunkten ihrer Verbuchung, also eine Folge von Paaren (Ci , ti ), wobei Ci der zum Zeitpunkt ti verbuchte Wert der i-ten Zahlung ist. Ein Zahlungsstrom heiÿt vollständig, wenn er alle Zahlungen einer Anlage oder Schuld beschreibt. Er besteht dann aus zwei Zahlungsströmen (Aj , tj ) und (Ek , tk ), welche die Ausgaben und Einnahmen beschreiben. Die Ausgaben werden in (Ci , ti ) mit negativem Vorzeichen geführt. Barwert: Barwert eines Zahlungsstroms: Äquivalenz von Zahlungsströmen Nettobarwert eines vollständigen Zahlungsstroms: Interner Zinssatz: Interner Zinssatz:

P V (r) = (1 + r)−t C P P V (r) = ni=0 (1 + r)−ti Ci PJ

j=0

(1 + r)−tj Ai =

N P V (r) =

Pn

i=0

PK

k=0

(1 + r)−tk Bk

(1 + r)−ti Ci

Pn (1 + r¯)−ti Ci = 0 Pi=0 P J ¯)−tj Ai = K ¯)−tk Ek j=0 (1 + r k=0 (1 + r

(PV) (PVStrom) (Äqui) (NPVStrom) (IRR1) (IRR2)

Der interne Zinssatz wird bei Investitionen Rendite r¯ und bei Darlehen eektiver Zinnsatz ref f genannt. Der interne Zinssatz muss mit numerischen Vefahren berechnet werden.

83

3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen Die Äquivalenz von Zahlungsströmen bezieht sich auf einen gegebenen Zinssatz r. Die Äquivalenz kann durch Einsetzen überprüft werden.

84

3.14 Aufgaben

3.14 Aufgaben Aufgabe 1. Eine Händlerin macht die beiden folgenden Angebote zur Finanzierung des am 31.10.95 fälligen Kaufpreises von 19.000 DM. Man berechne jeweils den Eektivzinssatz nach PAngV.

a) Rückzahlungen von 6.000 DM, 7.000 DM und 8.000 DM am 31.3.96, 31.3.97 und 31.10.99 b) Rückzahlungen von 6.000 DM, 7.000 DM und 8.000 DM am 31.1.96, 31.3.97 und 31.12.99

Aufgabe 2. Sie können eine Yacht zum Geburtstag Ihres Schatzes auf zwei unterschiedliche Weisen bezahlen, die in der folgenden Tabelle angezeigt sind: Datum

1.1.97

1.1.98

1.1.99

Weise 1 Weise 2

10 1

7 13

6 12

Alle Angaben in Millionen Euro. Wie entscheiden Sie sich? Bitte mit nanzmathematischer Begründung!

Aufgabe 3. Ein Financier aus Palermo verleiht am 15.11.2009 10.000 Euro. In den

folgenden drei Monaten erhält er jeweils zum Monatsanfang 200 Euro Zinsen, dazu an Weihnachten eine erste Tilgungsrate von 3.000 Euro. Die Zahlung am 1.3.2010 blieb zunächst aus, doch am 15.3.2010 konnte die Witwe des Schuldners zur Zahlung der restlichen 7.000 Euro überredet werden. Welchen Nettobarwert hat diese Investition bei einem Vergleichszinssatz von 20 Prozent? Bestimmen sie danach die Rendite r¯ der Investition!

Aufgabe 4. Beim Kauf einer Waschmaschine im Wert von 1.000 Euro schlägt der Händ-

ler zwei Raten von je 530 Euro zahlbar nach 6 und nach 12 Monaten vor. Bestimmen Sie die Nettobarwertfunktion und den eektiven Jahreszins des vorgeschlagenen Ratenkaufs. Eine Bank bietet dem Käufer einen Eektivzins von 7 Prozent an. Wie hoch ist der Barwert dieses Angebots? Welche konstante Rate wäre bei der Bank nach 6 und nach 12 Monaten jeweils zu zahlen?

Aufgabe 5. Die weltbekannte Schifahrtslinie Scrap Lines International (SLI) kann ein

Handelsschi für 8 Millionen Dollar kaufen, wobei jährlich 1 Million Dollar Reingewinn übrig bleiben. Am Ende des 5. und in der Mitte des 10. Jahres werden Reparaturen für 2 Millionen Dollar fällig. Am Ende des 15. Jahres kann das Schi eine Ladung zu den Bermudainseln übernehmen, die Versicherung ersetzt 1,5 Millionen Dollar für das spurlos verschwundene Schi. a) Wie hoch ist der Nettobarwert der Investition, wenn andere Anlagen von SLI 8 Prozent Zins erwirtschaften?

85

3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen b) Man bestimme die Rendite r¯ der Investition!

Aufgabe 6. Zeigen Sie mit Hilfe von Satz 3.3, dass die Funktion x 7→ f (x) = 0, 5x4 −

2x − 3 nur eine positive Nullstelle hat. Weisen Sie Mit Satz 3.3 weiterhin nach, dass das Newtonverfahren für jeden Startwert x0 > 1 gegen diese Nullstelle konvergiert. Führen Sie dann mit Excel das Newtonverfahren mit dem Startwert x0 = 1, 3 solange durch, bis keine Änderung mehr erzielt wird. Überprüfen Sie dann mit der Zielwertsuche Ihr Ergebnis. Zeichnen Sie dann bitte den Graph der Funktion mit Excel als PunktDiagramm. Weisen Sie abschlieÿend nach, dass die Funktion auch nur genau eine negative Nullstelle hat und bestimmen Sie diese mit der Zielwertsuche.

86

3.15 Lösungen

3.15 Lösungen Aufgabe 1. Eine Händlerin macht die beiden folgenden Angebote zur Finanzierung des am 30.10.95 fälligen Kaufpreises von 19.000 DM. Man berechne jeweils den Eektivzinssatz nach PAngV.

a) Rückzahlungen von 6.000 DM, 7.000 DM und 8.000 DM am 31.3.96, 31.3.97 und 31.10.99 b) Rückzahlungen von 6.000 DM, 7.000 DM und 8.000 DM am 31.1.96, 31.3.97 und 31.12.99 Nach PAngV kann hier monatsweise gerechnet werden, da alle Termine auf einen 30. oder 31. Tag fallen. Der Efektivzinssatz ref f ist derjenige Zinssatz, der zu einem Barwert von 0 für den Zahlungsstrom führt. Man zinst also mit exponentieller Verzinsung auf den 30.10.95 ab und erhält für das 1. Angebot folgende Funktion für die Nettobarwertfunktion in Tausend DM:

N P V (r) = 19 − 6(1 + r)−5/12 − 7(1 + r)−17/12 − 8 (1 + r)−4 , deren Nullstelle die Eektivverzinssung ref f ist. Die Lösung ist: ref f = 4, 98 Prozent. Entsprechend folgt für das 2. Angebot

N P V (r) = 19 − 6(1 + r)−3/12 − 7(1 + r)−17/12 − 8 (1 + r)−(4+1/6) mit der Nullstelle ref f = 4, 97 Prozent, sodass das 2. Angebot etwas günstiger ist.

Aufgabe 2. Sie können eine Yacht zum Geburtstag Ihres Schatzes auf zwei unterschiedliche Weisen bezahlen, die in der folgenden Tabelle angezeigt sind: Datum

1.1.97

1.1.98

1.1.99

Weise 1 Weise 2

10 1

7 13

6 12

Alle Angaben in Millionen Euro. Wie entscheiden Sie sich? Bitte mit nanzmathematischer Begründung! Wir berechnen für jeden Zahlungsstrom den Barwert in Abhängigkeit des jeweiligen Kalkulationszinssatzes r

P V 1(q) = 10 + 7q −1 + 6q −2 , P V 2(q) = 1 + 13q −1 + 12q −2 , q = 1+r

87

3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen Man sieht sofort, dass für r = 0 d.h. q = 1 der erste Barwert geringer ist, P V 1(1) = 23, P V 2(1) = 26. Für q → ∞ wird dagegen P V 1 gröÿer als P V 2. Die beiden Barwerte werden bei

10 + 7q −1 + 6q −2 = 1 + 13q −1 + 12q −2 , 10q 2 + 7q + 6 = 1q 2 + 13q + 12, −9q 2 + 6q + 6 = 0 √ gleich groÿ. Die einzige positive Lösung ist q = 31 + 13 7 = 1, 215250437. Somit bleibt die erste Zahlungsweise bis zu einem Kalkulationszinssatz von r = 21, 53 Prozent günstiger, weswegen man sich für diese Zahlungsweise entscheiden sollte.

Aufgabe 3. Ein Financier aus Palermo verleiht am 15.11.2009 10.000 Euro. In den

folgenden drei Monaten erhält er jeweils zum Monatsanfang 200 Euro Zinsen, dazu an Weihnachten eine erste Tilgungsrate von 3.000 Euro. Die Zahlung am 1.3.2010 blieb zunächst aus, doch am 15.3.2010 konnte die Witwe des Schuldners zur Zahlung der restlichen 7.000 Euro überredet werden. Welchen Nettobarwert hat diese Investition bei einem Vergleichszinssatz von 20 Prozent? Bestimmen sie danach die Rendite r¯ der Investition! Der Lösungsweg bendet sich im folgenden Excel-Arbeitsblatt.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D E r Zinsmethode Zeiten Zahlungen Zeitdifferenz 20,0000% PAngV 15.11.2009 -10000,00 0 01.12.2009 200,00 16/365 Barwert Rendite 24.12.2009 3000,00 1/12+9/365 115,06 25,49% 01.01.2010 200,00 1/12+16/365 01.02.2010 200,00 2/12+16/365 15.03.2010 7000,00 4/12

F Barwert -10000,00 198,41 2941,51 195,42 192,47 6587,25 115,06

NPV(r)=-10.000+200(1+r)^(-16/365)+3000(1+r)^(-(1/12+9/365)) +200(1+r)^(-(1/12+16/365))+200(1+r)^(-(2/12+16/365))+7000(1+r)^(-4/12)

Aufgabe 4. Beim Kauf einer Waschmaschine im Wert von 1.000 Euro schlägt der Händ-

ler zwei Raten von je 530 Euro zahlbar nach 6 und nach 12 Monaten vor. Bestimmen Sie die Nettobarwertfunktion und den eektiven Jahreszins des vorgeschlagenen Ratenkaufs. Eine Bank bietet dem Käufer einen Eektivzins von 7 Prozent an. Wie hoch ist der Barwert dieses Angebots? Welche konstante Rate wäre bei der Bank nach 6 und nach 12 Monaten jeweils zu zahlen? Die Nettobarwertfunktion lautet

N P V (r) = 1.000 − 530(1 + r)−0,5 − 530(1 + r)−1 .

88

3.15 Lösungen Setzt man x = (1 + r)−0,5 , so ergibt sich

N P V (x) = 1.000 − 530x − 530x2 . Die Lösungen der Gleichung N P V (x) = 0 sind p x1,2 = −0, 5 ± 0, 25 + 1.000/530. Hier kommt nur die positive Lösung p x1 = −0, 5 + 0, 25 + 1.000/538 = 0, 961777156 in Betracht. Aus x = (1 + r)−0,5 folgt 1 + r = x−2 = 1, 0811, d.h der eektive Zinssatz beträgt 8,11 %. Setzt man r = 0, 07 in die Nettobarwertfunktion ein, ergibt sich ein Wert von -7,70 Euro. Der Käufer würde also 7,70 Euro sparen, wenn er zur Bank geht. Die Rate R der Bank muss die Gleichung 0 = 1.000 − R(1, 07)−0,5 − R(1, 07)−1 erfüllen, d.h. R = 525, 95.

Aufgabe 5. Die weltbekannte Schifahrtslinie Scrap Lines International (SLI) kann ein

Handelsschi für 8 Millionen Dollar kaufen, wobei jährlich 1 Million Dollar Reingewinn übrig bleiben. Am Ende des 5. und in der Mitte des 10. Jahres werden Reparaturen für 2 Millionen Dollar fällig. Am Ende des 15. Jahres kann das Schi eine Ladung nach Bermuda übernehmen, die Versicherung ersetzt 1,5 Millionen Dollar für das spurlos verschwundene Schi. a) Wie hoch ist der Barwert der Investition, wenn andere Anlagen von SLI 8 Prozent Zins erwirtschaften? Der Zahlungsstrom besteht aus der Anfangsinvestition von acht Millionen Dollar und den beiden Reparaturen, diese Werte müssen negative Vorzeichen erhalten. 15 Jahre werden 1 Million Dollar erwirtschaftet, die im Jahr i mit 1, 08−i abzuzinsen sind. Dazu kommt die Erstattung der Versicherung. Kalkuliert man mit dem Zinssatz r, so bezeichnet n X N P V (r) = (1 + r)−ti Ci i=0

den Nettobarwert der Investition. Ist dieser positiv, so ist die Investition protabel. Hier ist r = 8 Prozent anzusetzen:

N P V (r) = −8 +

15 X

(1 + r)−i − 2 (1 + r)−5 − 2 (1 + r)−9,5 + 1, 5 (1 + r)−15 ,

i=1

1 − (1 + r)−15 − 2 (1 + r)−5 − 2 (1 + r)−9,5 + 1, 5 (1 + r)−15 . N P V (r) = −8 + r

89

3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen

Nettobarwertfunktion 6 4 2 0 0%

10%

20%

30%

40%

-2 -4 -6

Abbildung 3.7: Nettobarwertfunktion der Schisinvestition. Für r = 0, 08 folgt N P V (0, 08) = −1.291.554, 73 Dollar, die Investition lohnt sich also nicht. Die Firma würde bei dieser Investition keinen Verlust erleiden, sondern nur im Vergleich mit einer Anlage zu 8 Prozent den Betrag von 1.291.554,73 Dollar weniger verdienen. b) Man bestimme die Rendite r¯! Die gesuchte Rendite r¯ ist die Nullstelle der Nettobarwertfunktion, d.h. es ist folgende Gleichung zu lösen:

0 = −8 +

1 − (1 + r¯)−15 − 2 (1 + r¯)−5 − 2 (1 + r¯)−9,5 + 1, 5 (1 + r¯)−15 , r¯

woraus sich r¯ = 5, 05 Prozent ergibt

Aufgabe 6. Zeigen Sie mit Hilfe von Satz 3.3, dass die Funktion x 7→ f (x) = 0, 5x4 −

2x − 3 nur eine positive Nullstelle hat. Weisen Sie Mit Satz 3.3 weiterhin nach, dass das Newtonverfahren für jeden Startwert x0 > 1 gegen diese Nullstelle konvergiert. Führen Sie dann mit Excel das Newtonverfahren mit dem Startwert x0 = 1, 3 solange durch, bis keine Änderung mehr erzielt wird. Überprüfen Sie dann mit der Zielwertsuche Ihr Ergebnis. Zeichnen Sie dann bitte den Graph der Funktion mit Excel als PunktDiagramm. Weisen Sie abschlieÿend nach, dass die Funktion auch nur genau eine negative Nullstelle hat und bestimmen Sie diese mit der Zielwertsuche.

90

3.15 Lösungen

D E F 1 1,300000 3,042669 2,421207 2 3,042669 2,421207 2,067230 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -1 11 12

G H I J K L 2,067230 1,939796 1,923939 1,923708 1,92370813 1,92370813489718 1,939796 1,923939 1,923708 1,923708 1,92370813 1,92370813489718 15

1,92370813489718 0,00000000000000

y=0,5x^4 -2x -3

10 5 0 0

1

2

3

-5

Abbildung 3.8: Graph und Nullstellen von f (x) = 0, 5x4 − 2x − 3 .

91

4 Regelmäÿige Zahlungsströme Sehr oft bestehen Zahlungsströme aus Zahlungen, die nach bestimmten Regeln in immer gleichen zeitlichen Abständen erfolgen, dem Zahlungsintervall. Die einfachste Regel besteht darin, dass die Zahlungen alle gleich hoch sind, dann spricht man von einer Rente . Bilden die Zahlungen eine geometrische Folge, spricht man von einer geometrisch veränderlichen Rente . Bilden die Zahlungen eine arithmetische Folge, spricht man von einer arithmetisch veränderlichen Rente . Normalerweise werden Rentenzahlungen nur endlich oft geleistet, es gibt aber auch so genannte ewige Renten, die niemals aufhören. Berechnet werden Barwert, Endwert, Laufzeit und Höhe der Rentenzahlungen, wobei wegen der Regelmäÿigkeit des Zahlungsstroms geschlossene Formeln vorliegen. In der gewöhnlichen Rentenrchnung werden nur Zeitrenten betrachtet, das sind Renten, deren Auszahlung nicht vom Leben einer Person abhängt, sondern über den verabredeten Zeitraum ausgezahlt werden. Leibrenten werden von Versicherungsunternehmen angeboten, wobei die Zahlungen nur solange laufen, wie der Versicherungsnehmer am Leben ist. Hier werden nur Zeitrenten betrachtet.

4.1 Arithmetische Folgen und Reihen Die regelmäÿigen Zahlungsströme sollen also arithmetische oder geometrische Folgen sein. Daher führe ich diese Folgen zunächst ein. Bei einer arithmetischen Folge ist die Dierenz d zweier aufeinander folgenden Glieder konstant. Es gilt also:

bk = bk−1 + d, bk = b1 + (k − 1) d, bk = b0 + k · d.

(4.1) (4.2) (4.3)

Wir benötigen folgende Summenformeln: n X k=1 n X k=1

bk = b1 + b2 + · · · + bn = n

b1 + b n , 2

(4.4)

bk = b1 + b2 + · · · + bn = n

2b1 + (n − 1) d . 2

(4.5)

Die Summe einer arithmetischen Folge mit n Gliedern ist also das arithmetische Mittel des ersten und des letzten Elements multipliziert mit der Anzahl der Folgenglieder.

92

4.2 Geometrische Reihen und Folgen Ob wahr oder nicht, jedenfalls wird vom sechsjährigen Karl Friedrich Gauÿ folgende Geschichte aus seiner Zeit in der Grundschule berichtet. Der Lehrer musste das Schulhaus verlassen und beschäftigte seine Schüler mit der Aufgabe die Zahlen von 1 bis 100 zusammen zu zählen. Der Lehrer hatte noch nicht die Tür erreicht, als der kleine Karl schon die Lösung krähte. Er hatte die Folge einfach einmal von 1 bis 100 und dann unmittelbar darunter von 100 bis 1 geschrieben. Zusammen ergab das 100 · 101, also das Doppelte der gesuchten Lösung. Auf diese Weise lässt sich auch die allgemeine Summenformel (4.4) herleiten. Als Beispiel sei die Summe aller durch sechs teilbaren Zahlen zwischen 1 und 1.000 zu berechnen. Man rechnet leicht nach, dass 996 die gröÿte ganze Zahl kleiner als 1.000 ist. Teilt man 996 durch 6, ergibt sich n = 166 und damit

6 + 996 = 83.166. 2 Nun ein nanzmathematisches Beispiel. Jemand legt Ende März bis Ende Dezember einschlieÿlich 200 Euro auf ein Sparkonto ein. Wie hoch ist der Endbetrag am 31.12. bei einem Zinssatz von 4 Prozent. Die Zinsmethode sei 30E/360, der einzige Zinstermin am Jahresende. Hier liegen zehn Zahlungen vor. Die Märzzahlung verzinst sich bis zum Jahresende bei einfacher Verzinsung von 200 Euro auf b1 = 200(1 + 0, 04 · 9/12) = 206 Euro, die Aprilzahlung auf b2 = 200(1 + 0, 04 · 8/12) usw. Die letzte Zahlung b10 = 200 am Jahresende bleibt unverzinst. Die Zahlungsfolge ist arithmetisch mit d = 0, 04/12. Nach Formel (4.4) ist der Endbetrag die folgende arithmetische Summe: s166 = 166

b1 + b2 + · · · + b10 = 10

b1 + b10 = 5(206 + 200) = 2.030 Euro 2

4.2 Geometrische Reihen und Folgen Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient q zweier aufeinander folgenden Glieder konstant. Es gilt also:

bk = qbk−1 , bk = b0 q k .

(4.6) (4.7)

Gilt b0 = 1, so folgen b1 = q und allgemein bk = q k . Wir benötigen folgende Summenformel: qn − 1 . (4.8) sn = q n−1 + q n−2 + · · · + q + 1 = 1 + q + q 2 + q 3 + · · · + q n−1 = q−1 Beachten Sie bitte, dass in der Finanzmathematik die Summation beim Term q n−1 aufhört. In den meisten Formelsammlungen verläuft die Folge dagegen bis zum Term q n . Wegen q 0 = 1 und q 1 = q lässt sich die Formel (4.8) kompakter mit dem Summensymbol schreiben: n n−1 X X qn − 1 k−1 sn = q = qj = . (4.9) q−1 j=0 k=1

93

4 Regelmäÿige Zahlungsströme Die Formel (4.8) lässt sich verblüend einfach beweisen. Multipliziert man sn mit q und zieht sn davon ab, erhält man

(q − 1) sn = q n − 1, woraus sofort (4.8) folgt. Teilt man die Gleichung (4.8) durch q n , ergibt sich

q −n sn = q −1 + q −2 + · · · + q −n =

1 − q −n . q−1

(4.10)

Dieser Ausdruck wird so häug gebraucht, dass auch er eine eigene Abkürzung erhält, nämlich an . es gilt deshalb n X 1 − q −n an = . (4.11) q −k = q−1 k=1

Für q wird manchmal die Abkürzung v verwendet und als Diskontierungsfaktor bezeichnet. Die Formeln (4.10) bzw. (4.11) lauten dann −1

1

2

n

an = v + v + · · · + v =

n X k=1

vk = v

1 − vn . 1−v

(4.12)

Die wie eben eingeführten Term sn und an kommen sehr häug vor, sie werden als nachschüssiger Rentenendwertfaktor bzw. nachschüssiger Rentenbarwertfaktor bezeichnet.

Die Stärke des Wachstums von geometrischen Folgen verdeutlicht eine kleine Geschichte aus dem alten Persien. Der König war dank seines Hofarztes von einer schweren Krankheit genesen und wollte ihm einen Wunsch erfüllen. Dieser bat auf das erste Feld eines Schachbretts ein Weizenkorn, auf das zweite dann zwei Körner, danach vier, acht, 16 usw. Da ein Schachbrett 64 Felder hat, hätte der König

s64 = 1 + 2 + 22 + · · · + 263 =

264 − 1 = 264 − 1 ≈ 1, 84 · 1019 2−1

Körner liefern müssen. Er zog es aber vor, den unverschämten Weiÿkittel köpfen zu lassen. Wegen der Bedeutung der Formeln (4.8) und (4.10) füge ich noch zwei weitere Beispiele an.

Beispiel 4.1. Welchen Wert hat die Summe √ √ √ 2 + 2 + 2 2 + 4 + 4 2 + 8 + 8 2 + 16 √ √
8 Hier ist q = 2 und wegen 16 = 2 folgt s=1+

√

√ q9 − 1 16 2 − 1 s = 1 + q + q + q + ··· + q = = √ = 52, 213203. q−1 2−1 2

94

3

8

4.3 Grundbegrie der Rentenrechnung Beispiel 4.2. Welchen Wert hat die Summe t=

√

√ √ √ 2 + 2 + 2 2 + 4 + 4 2 + 8 + 8 2 + 16

Natürlich ist t = s√ − 1 = 51, 213203. Zum Üben soll aber wieder (4.8) verwendet werden. Auch hier ist q = 2, aber die Reihe beginnt nicht mit q 0 = 1 sondern mit q . Somit gilt


q 8 − 1 √ 16 − 1 t = q + q2 + · · · + q8 = q 1 + q + q2 + · · · + q7 = q = 2√ = 51, 213203. q−1 2−1

Beispiel 4.3. Welchen Wert hat die Summe 1 1 1 1 1 1 1 1 u= √ + + √ + + √ + + √ + 2 2 2 2 4 4 2 8 8 2 16 √ Auch hier ist q = 2 und somit u=q

−1

+q

−2

+q

−3

+ ··· + q

−8

√
−8 1− 2 1 − q −8 = = √ = 2, 263325. q−1 2−1

Beispiel 4.4. Welchen Wert hat die Summe 1 1 1 1 1 1 1 1 v =1+ √ + + √ + + √ + + √ + 2 2 2 2 4 4 2 8 8 2 16 Natürlich gilt v = u + 1 √ = 3, 263325. Zum Üben soll aber wieder (4.10) verwendet werden. Auch hier ist q = 2, aber die Summe beginnt bei q 0 = 1. Somit ist


1 − q −9 v = q 0 + q −1 + q −2 + · · · + q −8 = q q −1 + q −2 + · · · + q −9 = q = 3, 263325. q−1

4.3 Grundbegrie der Rentenrechnung Denition 4.1. Ein Zahlungsstrom (Ak , tk ) wird Rente genannt, wenn die Zeitabstände

konstant sind und die Zahlungen eine arithmetische oder eine geometrische Folge bilden. Eine Zeitrente wird für eine gewisse Zeit geleistet, eine Leibrente endet mit dem Tod einer Person. Der konstante Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen wird Rentenperiode genannt. Deshalb gilt ∆ = tk+1 − tk . Der Zeitraum [t0 , tn ] wird also in n Intervalle gleicher Länge unterteilt, wobei man in der Regel von t0 = 0 ausgeht. Die Anzahl n der Intervalle wird etwas unlogisch Laufzeit genannt, obwohl die tatsächlich verstrichene Zeit n · ∆ ist. Man lässt auch den Grenzfall n = ∞ zu und spricht dann von einer ewigen Rente . In jedem der n Intervalle erfolgt genau eine Zahlung, und zwar am Anfang oder am Ende, abhängig davon wird die Rente vorschüssig oder nachschüssig genannt. Der Sonderfall konstanter Zahlungen wird für sich betrachtet, obwohl konstante Folgen sowohl geometrisch als auch arithmetisch sind.

95

4 Regelmäÿige Zahlungsströme Eine Zeitrente wird in einem vertraglich vereinbarten Zeitraum bezahlt und ist anders als eine Leibrente nicht an das Leben einer Person gekoppelt. Die Zahlungen einer Leibrente erfolgen nur solange, wie der Empfangsberechtigte lebt. Zeitrenten werden in der Finanzmathematik und Leibrenten vorrangig in der Verrsicherungsmathematik untersucht. In beiden Fällen geht es zunächst darum, wie eine Rente in eine einmalige Zahlung am Anfang bzw. am Ende umgerechnet werden kann. Wird umgekehrt eine einmalige Zahlung in eine Zeit- oder Leibrente umgewandelt, spricht man von einer Verrentung. Die zugehörigen nanzmathematischen Methoden nennt man Rentenrechnung. In der Finanzmathematik werden ausschlieÿlich Zeitrenten betrachtet, Leibrenten sind Gegenstand der Versicherungsmathematik. Der Begri Rente wird in der Finanz- und Versicherungsmathematik für alle regelmäÿigen Zahlungsströme verwendet, egal, ob es sich um Ein- oder Auszahlungen handelt. Der Schuldner eines Ratenkreditsa zahlt seiner Bank deshalb eine Rente. In der Umgangssprache versteht man unter einer Rente die Zahlungen einer gesetzlichen oder privaten Altersvorsorge.

4.4 Rentenzahlungen an Zinszuschlagszeitpunkten Grundlage der Rentenrechnung ist die Zinsrechnung. Bei der vorrangig verwendeten gemischten Verzinsung gibt es m jährliche Zinszuschlagszeitpunkte, wo der angesammelte Zins dem Kapital zugeschlagen wird und von da ab selbst mit verzinst wird. Die Zeit zwischen zwei Zinszuschlagszeitpunkten heiÿt Zinsperiode, ihre Länge ist 1/m. Der Nominalzinssatz wird mit i bezeichnet, damit ist der Aufzinsungsfaktor in einer Periode q = 1 + i/m, d.h. ein Kapital K , das an einem Zinszuschlagstermin eingezahlt wird, erreicht nach k Zinsperioden den Wert Kq k . Im Folgenden wird von gemischter Verzinsung mit m jährlichen Zinsterminen ausgegangen, und dass die Rentenzahlungen an Zinszuschlagszeitpunkten erfolgen, d.h. die Rentenperiode ∆ hat dieselbe Länge 1/m wie die Zinsperiode oder ist ein ganzzahliges Vielfaches der Zinsperiode. Abhängig davon, ob die Rentenzahlungen immer am Periodenanfang oder am Periodenende erfolgen, spricht man von einer vorschüssigen bzw. nachschüssigen Rente. Vorrangiges Ziel der Rentenrechnung ist die Umrechnung von Renten in Einmalzahlungen und umgekehrt. Dabei kommt es entscheidend auf den Zeitpunkt an, für den die Umrechnung durchgeführt wird. Zwei Zeitpunkte stechen dabei hervor, der End- und der Anfangszeitpunkt. Der Rentenendwert ist deshalb die Summe aller auf den Endzeitpunkt aufgezinsten Zahlungen. Da die Zahlungen nach- oder vorschüssig erfolgen können, unterscheidet man zwischen nach- und vorschüssigem Rentenendwert. Das ist insofern verwirrend, als man glauben könnte, eine Rente habe beides, sowohl einen nach- wie einen vorschüssigen Endwert. Gemeint ist aber der Endwert einer nachschüssigen bzw. der Endwert einer vorschüssigen Rente. Der Rentenbarwert ist entsprechend die Summe aller auf den Anfangszeitpunkt abgezinsten Zahlungen. Da die Zahlungen nach- oder vorschüssig erfolgen können, unterscheidet man zwischen nach- und vorschüssigem Rentenbarwert. Der Rentenbarwert ist

96

4.4 Rentenzahlungen an Zinszuschlagszeitpunkten der am Anfang zu zahlende Einmalbetrag, der in die entsprechende Rente umgewandelt werden kann. Die folgende Tabelle fasst die wichtigsten Bezeichnungen zusammen. Laufzeit, Anzahl der Zahlungen Rentenperiode Anzahl der Zinsperioden pro Jahr Nominalzinssatz Aufzinsungsfaktor Diskontierungsfaktor Zahlung zum Zeitpunkt tk = k · ∆ Nachschüssiger Rentenendwert Nachschüssiger Rentenbarwert Vorschüssiger Rentenendwert Vorschüssiger Rentenbarwert

n ∆ m i q = 1 + i/m v = 1/q = 1/(1 + i/m) Ak REN RAN REV RAV

4.4.1 Nachschüssige Renten Zunächst werden nur Renten betrachtet, wo die Rentenperiode mit der Zinsperiode übereinstimmt. Das Intervall [0, n/m] wird in n Perioden der Länge 1/m eingeteilt. In jedem Intervall erfolgt genau eine Zahlung, wobei man von einer nachschüssigen Rente spricht, wenn die Zahlungen am Ende der Perioden erfolgen. Den entsprechenden Zeitstrahl zeigt die Abbildung 4.1.

A1

A2

···

Ak

· · · An−1 An -t

0

1 m

2 m

···

k m

···

n−1 m

n m

Abbildung 4.1: Zeitstrahl einer nachschüssigen Rente. Bei einer nachschüssige Rente mit Zahlungen A1 , A2 , . . ., An verzinst sich die erste Zahlung über n − 1 Perioden mit dem Faktor q n−1 , die zweite nur noch über n − 2 Perioden mit dem Faktor q n−2 und die letzte gar nicht meht. Der Endwert der Zahlungen zum Zeitpunkt t = n/m ergibt sich dann aus folgender Summe: n X n−1 n−2 REN = A1 q + A2 q + · · · + An−1 q + An = Ak q n−k . (4.13) k=1

Diesen Wert REN nennt man in der Finanzmathematik nachschüssigen Rentenendwert . Bei allen Renten besteht zwischen dem Rentenendwert und dem Rentenbarwert die Beziehung RAN = q −n REN . (4.14)

97

4 Regelmäÿige Zahlungsströme Den nachschüssigen Rentenbarwert RAN der Rente erhält man daher durch Abzinsen des Endwerts auf den Anfangszeitpunkt

RAN = q

−n

REN = A1 q

−1

+ A2 q

−2

+ · · · + An q

−n

=

n X

Ak q −k .

(4.15)

k=1

4.4.2 Vorschüssige Renten Bei einer vorschüssigen Rente erfolgen die Zahlungen A0 , A1 , . . ., An−1 an den Periodenanfängen. Den entsprechenden Zeitstrahl zeigt die Abbildung 4.2.

A0

A1

A2

0

1 m

2 m

···

Ak

···

k m

· · · An−1 -t

···

n m

n−1 m

Abbildung 4.2: Zeitstrahl einer vorschüssigen Rente. Der Endwert der Zahlungen zum Zeitpunkt t = n/m ergibt sich dann aus folgender Summe: n−1 X n n−1 REV = A0 q + A1 q + · · · + An−1 q = Ak q n−k , (4.16) k=0

denn die erste Zahlung verzinst sich über n Perioden mit dem Faktor q n , die zweite nur noch über n − 1 Perioden mit dem Faktor q n−2 und die letzte nur noch mit q . Diesen Wert REV nennt man in der Finanzmathematik vorschüssigen Rentenendwert . Den vorschüssigen Rentenbarwert RAV der Rente erhält man durch Abzinsen des Endwerts auf den Anfangszeitpunkt

RAV = q

−n

REV = A0 + A1 q

−1

+ A2 q

−2

+ · · · + An−1 q

−n+1

=

n−1 X

Ak q −k .

(4.17)

k=0

4.5 Konstante Renten Konstante Renten sind regelmäÿige Zahlungen in gleicher Höhe und gleichem Abstand.

Beispiele dafür sind festverzinsliche Wertpapiere, Sparverträge mit einheitlichen Einzahlungen und Annuitätenkredite, wobei hier der Schuldner der Bank eine Rente bezahlt. Ich werde konstante Renten nur als Renten bezeichnen. Die bereits hergeleiteten Formeln vereinfachen sich wegen Ak = A = const stark. Zunächst werden nachschüssige konstante Renten betrachtet.

98

4.5 Konstante Renten

4.5.1 Konstante nachschüssige Renten Für den nachschüssigen Rentenendwert REN und den nachschüssigen Rentenbarwert ergibt sich


qn − 1 = Asn , REN = A q n−1 + q n−2 + · · · + q + 1 = A q−1
1 − q −n RAN = A q −1 + q −2 + · · · + q −n = A = Aan . q−1

(4.18) (4.19)

Daher heiÿen die Faktoren sn und an nachschüssiger Rentenendwert - und nachschüssiger Rentenbarwertfaktor . Meistens, aber nicht immer, hat der Aufzinsungsfaktor q die einfache Form q = 1 + i/m. Dann vereinfachen sich die beiden Formeln wegen q − 1 = i/m zu
n 1 + mi − 1 REN = A , (4.20) i m

RAN = A

1− 1+ i m


i −n m

.

(4.21)

Der Rentenendwert ist wie bei allen Renten um den Faktor q n gröÿer als der Rentenbarwert.

Beispiel 4.5. Jemand zahlt fünf Jahre lang jeweils zum Quartalsende 400 Euro in einen

Bausparvertrag ein. Die Zinsperiode sei ein Vierteljahr, der jährliche Nominalzinssatz 2 Prozent. Wie hoch ist der Endbetrag?

= 1, 005. Wegen n = m · t liegen n = 4 · 5 = 20 Hier ist m = 4, t = 5 und q = 1 + 0,02 4 Zahlungen vor. Der Endbetrag wird somit REN = 400

1, 00520 − 1 = 8.391, 65 Euro. 0, 005

Beispiel 4.6. Jemand zahlt zehn Jahre lang jeweils in der Mitte und am Ende des Jah-

res A = 2.000 Euro in einen Sparvertrag ein. Die Zinsperiode sei ein halbes Jahr, der Nominalzinssatz 4 Prozent. Welchen Endbetrag hat der Sparvertrag?

= 1, 02. Wegen n = m · t liegen n = 2 · 10 = 20 Hier ist m = 2, t = 10 und q = 1 + 0,04 2 Zahlungen vor. Der Endbetrag ist somit REN = 2.000

1, 0220 − 1 = 48.594, 74 Euro. 0, 02

Beispiel 4.7. Jemand möchte zehn Jahre lang jeweils in der Mitte und am Ende des

Jahres 2.000 Euro von seiner Bank erhalten. Die Zinsperiode sei ein halbes Jahr, der Nominalzinssatz 4 Prozent. Welchen einmaligen Betrag RAN wird die Bank am Anfang

99

4 Regelmäÿige Zahlungsströme verlangen? Die ist die Umkehrung des vorigen Beispiels. Gesucht ist der Rentenbarwert. Wir können ihn durch Abzinsung des Rentenendwerts von 48.594, 74 Euro mit q = 1, 02−20 oder über die Formel (4.21) ermitteln:

RAN = 48.594, 74 · 1, 02−20 = 32.707, 87 Euro, 1 − 1, 02−20 RAN = 2.000 = 32.707, 87 Euro. 0, 02

4.5.2 Konstante vorschüssige Renten Im Gegensatz zu den nachschüssigen Renten wird angenommen, dass die n Zahlungen der Höhe A jeweils am Periodenanfang erfolgen. Somit erhält man


qn − 1 = Aqsn , REV = A q n + q n−1 + · · · + q = Aq q−1
1 − q −n RAV = A 1 + q −1 + · · · + q −n+1 = Aq = Aan . q−1

(4.22) (4.23)

Daher heiÿen die Faktoren qsn und qan vorschüssiger Rentenendwert - und vorschüssiger Rentenbarwertfaktor . Eine vorschüssige Rente mit Rate A entspricht einer nachschüssigen Rente mit der Zahlung Aq . Zwischen vorschüssigen und nachschüssigen Rentenendwert sowie zwischen vorschüssigen und nachschüssigen Rentenbarwert bestehen somit folgende Zusammenhänge

REV RAV

= q · REN , = q · RAN .

(4.24) (4.25)

Falls q = 1 + i/m gilt, vereinfacht sich das zu


n  1 + mi − 1 i , =A 1+ i m m
−n   i 1 − 1 + mi =A 1+ . i m m 

REV RAV

(4.26) (4.27)

Beispiel 4.8. Jemand zahlt fünf Jahre lang jeweils zum Quartalsanfang 400 Euro in einen Bausparvertrag ein. Die Zinsperiode sei ein Vierteljahr, der jährliche Nominalzinssatz 2 Prozent. Wie hoch ist der Endbetrag REV ?

Fast alles stimmt mit dem Beispiel 4.5 überein, nur erfolgen die Zahlungen bereits zum Anfang der Zinsperioden. Alles verschiebt sich dadurch um ein Vierteljahr nach vorne, d.h. der Endbetrag des Beispiels 4.5 ist bereits am Anfang des letzten Quartals erreicht und wird sich noch ein weiteres Vierteljahr mit q = 1 + 0,02 = 1, 005 verzinsen. Das 4

100

4.5 Konstante Renten ergibt den Endbetrag von 8.433, 60 = 1, 005 · 8.391, 65 Euro. Dasselbe Ergebnis stellt sich auch über die Formel (4.26) für den vorschüssigen Rentenendwert ein:
20   1 + mi −1 i 1, 00520 − 1 = 8.433, 60. REV = A 1 + = 400 · 1, 005 i m 0, 005 m

Beispiel 4.9. Jemand zahlt zehn Jahre lang jeweils am Anfang und in der Mitte des

Jahres 2.000 Euro in einen Sparvertrag ein. Die Zinsperiode sei ein halbes Jahr, der jährliche Nominalzinssatz 4 Prozent. Welchen Endbetrag REV hat der Sparvertrag? Fast alles stimmt mit dem Beispiel 4.6 überein, nur erfolgen die Zahlungen bereits zum Anfang der Zinsperioden. Alles verschiebt sich dadurch um ein halbes Jahr nach vorne, d.h. der Endbetrag des Beispiels 4.6 ist bereits am Anfang des letzten halben Jahrs er= 1, 02 verzinsen. Das reicht und wird sich noch ein weiteres Halbjahr mit q = 1 + 0,04 2 ergibt den Endbetrag von 49.566, 63 = 1, 02 · 48.594, 74 Euro. Dasselbe Ergebnis stellt sich auch über die Formel (4.26) für den vorschüssigen Rentenendwert ein:

REV = 2.000 · 1, 02

1, 0220 − 1 = 49.566, 63 Euro. 0, 02

4.5.3 Überperiodische konstante Zahlungen In manchen Fällen ist die Rentenperiode ein ganzzahliges Vielfaches k der Zinsperiode, etwa bei halbjährlichen Zahlungen in einen Bausparvertrag mit vier Zinsperioden. Dann ist der Aufzinsungsfaktor innerhalb einer Zinsperiode 1+r/m und der Aufzinsungsfaktor innerhalb einer Rentenperiode q˜ = q k . Für den Rentenendwert und den Rentenbarwert müssen dann die Formeln (4.18), (4.19) bzw. (4.22), (4.23) verwendet werden, aber mit q˜ statt q .

Beispiel 4.10. Jemand zahlt zehn Jahre lang jeweils am Anfang und in der Mitte des

Jahres 2.000 Euro in einen Sparvertrag ein. Die Zinsperiode sei ein Vierteljahr, der Nominalzinssatz 4 Prozent. Welchen Endbetrag REV hat der Sparvertrag? Zwar hat das Jahr hier vier Zinsperioden und damit erfolgt zwischen zwei Zinsterminen = 1, 01. Die Zahlungen sind aber im Abstand eine Aufzinsung um den Faktor q = 1+ 0,04 4 von einem halben Jahr, deshalb verzinst sich zwischen zwei Zahlungen jeder Betrag um den Faktor q˜ = q 2 = 1, 0201. Da es in den zehn Jahren zwanzig vorschüssige Zahlungen gibt, ist der Endbetrag somit

REV = 2.000 · 1, 0201

1, 020120 − 1 = 49.620, 89 Euro. 0, 0201

Beispiel 4.11. Bei einem Sparvertrag ist eine erste Zahlung am 31.12.2003 in Höhe

von 35.00 Euro fällig. Für jedes Jahr mit ungerader Jahreszahl wird dieser Betrag zum Jahresende bezahlt, während in den anderen Jahren nur 2.500 Euro am Jahresende gezahlt werden. Insgesamt erfolgen 10 Zahlungen. Wie hoch ist der Endwert am 31.12.2012

101

4 Regelmäÿige Zahlungsströme unmittelbar nach der letzten Rate und wie hoch der Barwert dieses Zahlungsstroms am 1.1.2003, wenn der Zins 8 Prozent beträgt? Die Abbildung 4.3 verdeutlicht diesen Zahlungsstrom:

3500 2500 3500 2500 3500 2500 3500 2500 3500 2500 -

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t

10

Abbildung 4.3: Zahlungsstrom zum Beispiel 4.11. Dieser Zahlungsstrom besteht aus zwei Renten. Der Endwert der ersten ist mit q = 1, 08:

R1,10 = 3.500 q + q 3 + q 5 + q 7 + q 9 = 3.500q 1 + q 2 + q 4 + q 6 + q 8 , 5

R1,10

(q 2 ) − 1 = 3.500q 2 = 26.326, 54 Euro. q −1

Entsprechend ergibt sich: 5

R2,10

(q 2 ) − 1 = 17.411, 73 Euro. = 2.500(1 + q + q + q + q ) = 2.500 2 q −1 2

4

6

8

Insgesamt ergeben sich 43.738, 27 Euro als End- und 43.738, 27q −10 = 20.259, 28 Euro als Barwert.

4.5.4 Unterperiodische regelmäÿige Zahlungen Nun soll die Zinsperiode ein ganzzahliges Vielfaches J der Rentenperiode sein, etwa bei monatlichen Zahlungen in einen Bausparvertrag mit vier Zinsperioden. Dann hat die Zinsperiode die Länge 1/m und die Rentenperiode die Länge 1/mJ . Innerhalb einer Zinsperiode kommt es also zu J Zahlungen der Höhe A. Diese Zahlungen werden bis zum nächsten Zinstermin einfach verzinst und ergeben zusammengenommen einen Betrag Ae . Man nennt diesen Ausdruck die zur unterjährigen Zahlungsfolge gehörende Ersatzrente . Den Fall nachschüssiger Zahlweise verdeutlicht der Zeitstrahl der Abbildung 4.4.

A

A

A

A

Ae A

1 mJ

2 mJ

k mJ

J−1 mJ

1 m

-t

0

···

Abbildung 4.4: Ersatzrente einer unterjährigen, nachschüssigen Rente. Die Berechnung von Rentenendwert und Rentenbarwert geschieht in zwei Schritten:

102

4.5 Konstante Renten 1. Zunächst wird die Ersatzrente Ae bestimmt. 2. Dann werden die Formeln der nachschüssigen konstanten Rente mit der Ersatzrente durchgeführt.
Die Zahlung A zum Zeitpunkt k/mJ verzinst sich bis zum Zeitpunkt 1/m auf A 1 + J−k i . Jm Durch Summation aller J Terme ergibt sich Ae .       J −2 1 J −1 i +A 1+ i + ··· + A 1 + i + A, Ae = A 1 + Jm Jm Jm   J −1 Ae = AJ 1 + i + 1 /2, Jm denn es handelt sich um eine arithmetische Summe mit J Gliedern, deren Wert das J -fache des Mittelwerts des ersten und des letzten Elements ist. Vereinfacht ergibt sich:   J −1 i . (4.28) Ae = A J + 2 m In Abbildung 4.5 ist der Fall vorschüssiger unterjähriger Zahlungen dargestellt.

Ae A

A

A

A

A

0

1 mJ

2 mJ

k mJ

J−1 mJ

-t

···

1 m

Abbildung 4.5: Ersatzrente einer unterjährigen, vorschüssigen Rente. Hier ergibt sich die Ersatzrente zu       J −1 1 J i +A 1+ i + ··· + A 1 + i , Ae = A 1 + Jm Jm Jm   AJ J 1 Ae = 1+ i+1+ i ), 2 Jm Jm woraus sofort

  J +1 i Ae = A J + 2 m

(4.29)

folgt. Aber auch bei einer vorschüssigen unterperiodischen Rente müssen die Formeln

der nachschüssigen Rentenrechnung auf die Ersatzrente angewendet werden.

Beispiel 4.12. Jemand zahlt zehn Jahre lang jeweils am Anfang und in der Mitte des

Jahres 2.000 Euro in einen Sparvertrag ein. Die Zinsperiode sei ein Jahr, der Nominalzinssatz 4 Prozent. Welchen Endbetrag hat der Sparvertrag?

103

4 Regelmäÿige Zahlungsströme Hier liegen 20 vorschüssige unterjährige Zahlungen vor, wobei je zwei zur Ersatzrente zusammengefasst werden, da m = 1 und J = 2 sind. Die Ersatzrente wird 10-mal geleistet. Das ergibt zunächst   3 Ae = 2.000 2 + 0, 04 = 4.120 Euro. 2 Der Endbetrag wird somit

REN = 4.120

1, 0410 − 1 = 49.465, 16 Euro. 0, 04

Beispiel 4.13. Jemand zahlt fünf Jahre lang monatlich nachschüssig 2.000 Euro in

einen Sparvertrag ein. Die Zinsperiode sei ein Vierteljahr, der Nominalzinssatz 4 Prozent. Welche Werte haben der Rentenendwert und der Rentenbarwert?

Hier ist t = 5, m = 4 und J = 3, also liegen n = t · m · J = 60 Zahlungen vor. Jeweils drei unterjährige Zahlungen werden zur Ersatzrente zusammengefasst.   3 − 1 0, 04 = 2.000(3 + 0, 005) = 6.010 Euro. Ae = 2.000 3 + 2 4 Der Endbetrag wird somit

REN = 6.010

1, 0120 − 1 = 132.334, 21 Euro. 0, 01

4.6 Die Barwertfunktion von konstanten Renten Ich werde jetzt die Barwertfunktion P V (r) einer konstanten Rente bestimmen. Bitte verwechseln Sie diese nicht mit dem Rentenbarwert! Der Rentenbarwert ist ein Betrag, der bei gegebenen Nominalzinssatz i verrentet werden kann. Die Barwertfunktion ermittelt für beliebige Kalkulationszinssätze den Barwert. Der Kalkulationszinssatz wird zur Unterscheidung vom Nominalzinssatz mit r bezeichnet. Wie in der Abbildung 4.6 zu sehen, soll die regelmäÿige Zahlung A an einem beliebigen Zeitpunkt t1 beginnen und dann n-mal bis zum Zeitpunkt tn weitergehen.

P V (r)

A

A

A

A

A -

0

t1

t2

···

tk

···

tn−1

tn

Abbildung 4.6: Barwertfunktion einer konstanten Rente. Die Rentenperiode sei ∆, somit ist

tn − tk = (n − k)∆.

104

t

4.6 Die Barwertfunktion von konstanten Renten Die Barwertfunktion zinst die Zahlungen exponentiell mit dem Zinssatz r ab:

P V (r) = A

n X

(1 + r)

−tk

= A (1 + r)

−tn

n n X X −tn tn −tk = A (1 + r) (1 + r)∆(n−k) (1 + r) k=1

k=1

k=1

Darauf kann für q = (1 + r)∆ die Summenformel der geometrischen Reihe angewendet werden. Das ergibt dann

P V (r) = A (1 + r)−tn

(1 + r)n∆ − 1 . (1 + r)∆ − 1

(4.30)

Diese Formel für die Berechnung des Barwerts einer Rente bildet die Grundlage für viele weitere Formeln. Ich fasse deshalb zusammen, welche Gröÿen benötigt werden:

n ∆ tn

Anzahl der Zahlungen Rentenperiode Zeitpunkt der letzten Zahlung

Diese Formel wird meist bei der Berechnung von Nettobarwertfunktionen benützt. Eine Rente allein ist kein vollständiger Zahlungsstrom, daher steht in (4.30) auch nur P V (r) auf der linken Seite. Eine Rente ergänzt um eine weitere Zahlung mit entgegengesetztem Vorzeichen am Anfangs- oder am Endzeitpunkt ergibt einen vollständigen Zahlungsstrom. Erfolgt zunächst eine Einzahlung der Höhe K0 am Anfang, die zur Auszahlung der Rente wie in Abbildung 4.6 führt, so ergibt sich als Nettobarwertfunktion

N P V (r) = K0 − A (1 + r)−tn

(1 + r)n∆ − 1 . (1 + r)∆ − 1

(4.31)

Wird dagegen zunächst eine Rente angespart, die zum Endzeitpunkt mit einem Betrag Kn ausgeglichen wird, so kommt man auf   (1 + r)n∆ − 1 −tn N P V (r) = (1 + r) Kn − A . (4.32) (1 + r)∆ − 1 Bei einem Darlehen zahlt die Bank zunächst eine Betrag Kef f aus und verlangt als Gegenleistung bei einem Hypothekenkredit die Rückzahlungen in Form einer konstanten Rente mit Rate A und der Begleichung der Restschuld RS zum Endzeitpunkt tn . Aus der Sicht der Bank führt dies zur folgenden Nettobarwertfunktion.   (1 + r)n∆ − 1 −tn . (4.33) N P V (r) = −Kef f + (1 + r) RS + A (1 + r)∆ − 1 Die Nullstelle der jeweiligen Nettobarwertfunktion wird als interner Zinssatz bezeichnet. Bei Investitionen ist der interne Zinssatz die Rendite, bei Krediten der eektive Zinssatz.

Beispiel 4.14. Jemand zahlt vom 31.3.2000 bis zum 30.6.2006 jeweils 1.000 Euro vier-

teljährig nachschüssig auf ein Bausparkonto ein. Der Zinssatz ist nominal 2 Prozent, die Zinstermine sind vierteljährlich.

105

4 Regelmäÿige Zahlungsströme a) Welchen Endbetrag hat der Sparer, wenn von Gebühren abgesehen wird? Die erste Zahlung erfolgt am 30.6.2000, die letzte am 30.6.2006, insgesamt also

n = 3 + 5 · 4 + 2 = 25. Der Quartalszinssatz ist r = 0, 02/4 = 0, 005. Somit ergibt sich für den Endbetrag

REN = 1.000

1, 00525 − 1 = 26.559, 12 Euro. 0, 005

b) Man bestimme die Barwertfunktion Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz r? Was ergibt sich speziell für 1, 5 und 3, 5 Prozent? Für die Barwertfunktion P V (r) werden die Anzahl n der Raten, die Rentenperiode ∆ und die Zeitspanne tn benötigt. Hier sind n = 25, ∆ = 1/4 und tn = 25/4. Damit folgt (1 + r)25/4 − 1 . P V (r) = 1.000(1 + r)−25/4 (1 + r)1/4 − 1 Für r = 0, 015 ergibt sich 23.827, 68 Euro und für r = 0, 035 entsprechend 22.398, 49 Euro. c) Wie hoch ist die Rendite nach PAngV? Die Ausgaben sind die Raten der Rente, die einzige Einnahme ist der Rentenendwert. Die Nettobarwertfunktion ist somit   (1 + r)25/4 − 1 −25/4 N P V (r) = (1 + r) 26.559, 12 − 1.000 . (1 + r)1/4 − 1 Die Rendite der Rente ist die Nullstelle r¯ der Nettobarwertfunktion. Diese Nullstelle ist r¯ = 2, 015 Prozent.

Beispiel 4.15. Ein Sparer vereinbart mit seiner Bank folgenden Sparplan, bei dem er 10 Jahre lang monatliche, nachschüssige Zahlungen von 1.000 Euro leistet. Der Zinssatz für die ersten 5 Jahre ist 5 Prozent und für die letzten 5 Jahre 7 Prozent. Die Zinsmethode ist 30E/360 und die Zinsperiode ein Jahr. ˆ Wie hoch ist der Endbetrag? In den ersten 5 Jahren hat die Ersatzrente den Betrag   11 Ae,1 = 1.000 12 + 0, 05 = 12.275 Euro. 2 Am Ende der ersten 5 Jahre erreicht das Sparguthaben den Wert

REN,1 = 12.275

106

1, 055 − 1 = 67.827, 12 Euro. 0, 05

4.7 Arithmetisch veränderliche Renten Dieser Betrag verzinst sich jetzt weitere 5 Jahre bei einem Zinssatz von 7 Prozent auf 67.827, 12 · 1, 075 = 95.131, 05 Euro. In den zweiten 5 Jahren hat die Ersatzrente den Betrag

Ae,2

  11 = 1.000 12 + 0, 07 = 12.385 Euro. 2

Am Ende der zweiten 5 Jahre erreicht dieser Teil der Ansparung den Wert

REN,2 = 12.385

1, 055 − 1 = 68.434, 94 Euro. 0, 05

Das gesamte Guthaben erreicht somit den Endwert von 163.565, 99 Euro. ˆ Wie hoch ist der Nettobarwert dieses Vertrags in Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz r? Was ergibt sich speziell für 4, 5 Prozent? Für den Nettobarwert N P V (r) werden der Endwert als einzige Einnahme und die Rentenzahlungen als Ausgaben verbucht. Die Höhe der Rentenrate ist A = 1.000, die Anzahl ist n = 120, für die Rentenperiode gilt ∆ = 1/12 und es ist tn = 10. Damit erhält man für N P V (r) wegen n∆ = 10 den Ausdruck: 10

(1 + r) − 1 √ N P V (r) = (1 + r)−10 163.565, 99 − 1.000 12 1+r−1

! .

Der Barwert zum Zinssatz 0, 045 ergibt 8.429, 22. ˆ Wie hoch ist die Rendite nach PAngV? Die gesuchte Rendite r¯ ist der interne Zinssatz der Zahlungsfolge, d.h. r¯ ist die Nullstelle der Nettobarwertfunktion. Somit gilt folgende Bedingung für die Rendite r¯: !

0 = (1 + r¯)

−10

(1 + r¯)10 − 1 √ 163.565, 99 − 1.000 12 1 + r¯ − 1

mit der Lösung r¯ = 6, 14 Prozent. Die Rendite liegt zwischen den beiden Nominalzinssätzen, ist aber nicht identisch mit deren arithmetischen Mittel.

4.7 Arithmetisch veränderliche Renten Gesucht sind Barwert, Endwert und Nettobarwertfunktion einer Rente, bei der sich die Zahlung nach jeder Periode um den festen Betrag d verändert. Dabei sei A die Höhe der ersten Zahlung. Es müssen nachschüssige und vorschüssige Renten betrachtet werden.

107

4 Regelmäÿige Zahlungsströme

4.7.1 Vorschüssig arithmetisch veränderliche Renten Für den Rentenendwert folgt aus (4.13) auf Seite 97

REN

n n X X
n−k n−1 n−2 = (A + (k − 1)d)q =A q +q + ··· + 1 + d (k − 1)q n−k ,

REN =

k=1 n X

k=1

(A + (k − 1)d)q n−k = Asn + d

k=1

n X

(k − 1)q n−k .

k=1

Für die Teilsumme

tn =

n X

(k − 1)q n−k = 1q n−2 + 2q n−3 + · · · + n − 1

k=1

gilt

qtn − tn = q n−1 + q n−2 + · · · q + 1 − n = qsn − n,

also

qsn − n q−1 und damit gelangt man zur folgenden Gleichung für den Rentenendwert der arithmetisch veränderlichen Rente   nd d REN = A + sn − . (4.34) q−1 q−1 Für den nachschüssigen Rentenbarwert muss diese Gleichung durch q n geteilt werden. Dann ergibt sich   d ndq −n RAN = A + an − . (4.35) q−1 q−1 tn =

Im Sonderfall der Rentenrechnung gilt q = 1 + i/m und damit
n 1 + mi − 1 . sn = i

(4.36)

m

sowie

an =

1− 1+


i −n m

i m

(4.37)

.

Die Formeln (4.34) und (4.35) sind allgemeiner werden noch öfter benötigt, ich halte sie daher in einem Satz fest.

Satz 4.1. Sei q 6= 1 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt für beliebige Zahlen A und d n X

(A + (k − 1)d)q

k=1 n X

n−k

 = A+

d q−1



−k

 = A+

d q−1



(A + (k − 1)d)q

k=1

108

qn − 1 q−1



1 − q −n q−1

−

nd , q−1

 −

ndq −n , q−1

(4.38) (4.39)

4.7 Arithmetisch veränderliche Renten Für die Nettobarwertfunktion muss die Zahlungsfolge der Rentenzahlungen mit dem Faktor p = (1 + r)1/m abgezinst werden, das ist der Barwert der Ausgaben für den Kalkulationszinssatz r. Dafür gilt die Formel 4.39, wobei aber q durch p zu ersetzen ist. Die einzige Einnahme ist der Rentenendwert, durch Abzinsen auf den Anfangszeitpunkt erhält man für die Nettobarwertfunktion den Ausdruck

N P V (r) = (1 + r)−n/m REN    1 − (1 + r)−n/m nd(1 + r)−n/m d √ √ + √ . − A+ m m m 1+r−1 1+r−1 1+r−1

(4.40)

Beispiel 4.16. Jemand zahlt fünf Jahre lang jeweils zum Quartalsende einen Betrag in einen Bausparvertrag ein. Die erste Zahlung hat den Wert von 400 Euro und steigert sich danach von einer Periode auf die andere um 100 Euro. Die Zinsperiode sei ein Vierteljahr, der jährliche Nominalzinssatz i = 2 Prozent. Wie hoch ist der Rentenendwert und der Rentenbarwert? Welche Form hat die Nettobarwertfunktion? Welcher Wert ergibt sich für r = 4 Prozent? Wie hoch ist die Rendite? = 1, 005 sowie d = 100 und A = 400. WeHier ist m = 4, t = 5 und q = 1 + 0,02 4 gen n = m · t liegen n = 4 · 5 = 20 Zahlungen vor. Der Endbetrag wird somit REN = (400 + 100/0, 005)

1, 00520 − 1 100 · 20 − = 27.973, 95 Euro. 0, 005 0, 005

Der Barwert berechnet sich durch Abzinsen des Endwerts um den Faktor 1, 005−20 . Es ergibt sich RAN = 25318, 19 Euro. Für die Nettobarwertfunktion folgt wegen m = 4 und n = 20

N P V (r) = 27.973, 95(1 + r)−5    1 − (1 + r)−5 20 · 100(1 + r)−5 100 √ √ . − 400 + √ + 4 4 4 1+r−1 1+r−1 1+r−1 Für r = 0, 04 erhält man -816,12 Euro. Der Nettobarwert ist negativ, da der Nominalzinssatz nur bei 2 Prozent liegt. Die Rendite ist die Nullstelle der Nettobarwertfunktion, die Excel-Zielwertsuche ergibt r¯ = 2, 01505, also fast 2,02 Prozent. Die Rendite ist wegen der vier Zinstermine geringfügig gröÿer als der Nominalzinssatz.

4.7.2 Unterperiodische arithmetisch veränderliche Zahlungen Oft tritt in der Finanzmathematik der Fall auf, dass innerhalb einer Zinsperiode J regelmäÿige Zahlungen der Höhe A+(j −1)d in gleichem Abstand nach- oder vorschüssig geleistet werden, z.B. monatlich oder quartalsweise. Den nachschüssigen Fall verdeutlicht der Zeitstrahl der Abbildung 4.4. neu Das Jahr wird in m Zinsperioden eingeteilt, jede Zinsperiode hat dann die Länge 1/m. Innerhalb der Zinsperiode erfolgen dann J Zahlungen zu den Zeitpunkten j/ (mJ), wobei

109

4 Regelmäÿige Zahlungsströme 1 mJ

0

2 mJ

J−1 mJ

···

1 m

t

-

A + (J − 2)d

A+d

A

A + (J − 1)d Aen

Abbildung 4.7: Ersatzrente einer unterjährigen, nachschüssigen Rente.

A + (k − 1)d

A

A + (J − 2)d

Ae A + (J − 1)d t

1 mJ

0

···

k mJ

···

J−1 mJ

1 m

Abbildung 4.8: Ersatzrente einer unterjährigen, nachschüssigen Rente.

1 ≤ j ≤ J gilt. Die Zahlung A+(j
−1)d zum Zeitpunkt j verzinst sich bis zum Zeitpunkt J−j 1/m auf A + (j − 1)d 1 + Jm r . Durch Summation ergibt sich Aen . Man nennt diesen Ausdruck die zur unterjährigen Zahlungsfolge gehörende Ersatzrente . Da die Zahlungen sich bis zum nächsten Zinstermin einfach verzinsen, ergibt sich am Ende der Zinsperiode der Endbetrag Aen

 X    J J −j J −j r = A 1+ r + S. = (A + (j − 1)d) 1 + Jm Jm j=1 j=1 J X

mit J X

  J J  r X J −j dr X r =d 1+ S= ((j − 1)d) 1 + (j − 1) − j(j − 1) Jm m j=1 mJ j=1 j=1  dr r J(J − 1)/2 − (J − 1)J(J + 1)/3 S =d 1+ m mJ
S = d (1/2 + r/6m) J 2 − (1/2 + r/2m) J + r/3m 

J −1 r Ae = A J + 2 m




+ d (1/2 + r/6m) J 2 − (1/2 + r/2m) J + r/3m .

(4.41)

4.8 Geometrisch veränderliche Renten Gesucht sind Barwert, Endwert und Nettobarwertfunktion eines Zahlungsstroms (Ak = Ag k−1 , tk ), d.h nach jeder Periode erhöht sich die Zahlung um den festen faktor g , wobei A die Höhe der ersten Zahlung festlegt. Für den Rentenendwert folgt aus (4.13) auf Seite

110

4.8 Geometrisch veränderliche Renten 97


REN = A g n−1 + g n−2 q + g n−3 q 2 + · · · + q n−1 , REN = A

n−1 X

g n−k−1 q k = Ag n−1

k=0

REN

n−1 X k=0

(q/g)k = Ag n−1

(q/g)n − 1 , q/g − 1

qn − gn =A . q−g

Im Sonderfall q = g ergibt sich REN = ng n−1 . Ich halte dies noch einmal fest.

qn − gn , q−g = Ang n−1

REN = A

q 6= g

(4.42)

REN

q = g.

(4.43)

Für den nachschüssigen Rentenbarwert muss diese Gleichung durch q n geteilt werden. Dann ergibt sich

1 − (g/q)n , q−g = Ang n−1 q −n

RAN = A

q 6= g

(4.44)

RAN

q = g.

(4.45)

Beispiel 4.17. Jemand zahlt fünf Jahre lang jeweils zum Quartalsende einen Betrag in

einen Bausparvertrag ein. Die erste Zahlung hat den Wert von 400 Euro und steigert sich danach von einer Periode auf die andere um 100 Euro. Die Zinsperiode sei ein Vierteljahr, der jährliche Nominalzinssatz i = 2 Prozent. Wie hoch ist der Rentenendwert und der Rentenbarwert? Welche Form hat die Nettobarwertfunktion? Welche Wert ergibt sich für r = 4 Prozent? Wie hoch ist die Rendite?

= 1, 005 sowie d = 100 und A = 400. WeHier ist m = 4, t = 5 und q = 1 + 0,02 4 gen n = m · t liegen n = 4 · 5 = 20 Zahlungen vor. Der Endbetrag wird somit REN = (400 + 100/0, 005)

1, 00520 − 1 100 · 20 − = 27973, 95 Euro. 0, 005 0, 005

Der Barwert berechnet sich durch Abzinsen des Endwerts um den Faktor 1, 005−20 . Es ergibt sich RAN = 25318, 19 Euro. Für die Nettobarwertfunktion folgt wegen m = 4 und n = 20

N P V (r) = (1 + r)−5 27973, 95    100 1 − (1 + r)−5 20 · 100(1 + r)−5 √ √ − 400 + √ + . 4 4 4 1+r−1 1+r−1 1+r−1 Für r = 0, 04 erhält man -816,12 Euro. Der Nettobarwert ist negativ, da der Nominalzinssatz nur bei 2 Prozent liegt. Die Rendite ist die Nullstelle der Nettobarwertfunktion, die Excel-Zielwertsuche ergibt r¯ = 2, 01505, also fast 2,02 Prozent. Die Rendite ist wegen der vier Zinstermine geringfügig gröÿer als der Nominalzinssatz.

111

4 Regelmäÿige Zahlungsströme

4.9 Ewige Renten Renten ohne Endtermin werden unbegrenzt, also laienhaft gesprochen unendlich oft gezahlt und als ewige Renten bezeichnet. Rein rechnerisch kann man das auch zulassen. Rentenendwerte gibt es dann natürlich nicht, wohl aber Rentenbarwerte, die man durch Grenzwertberechnung erhält. Der Rentenbarwert bildet den Grundstock, dessen Erträge die ewige Rente nanzieren. Der Nobelpreis wurde von seinem Stifter auf diese Weise begründet. Die Formeln für die Rentenbarwerte hängen von der Anzahl n der Zahlungen ab. Der Rentenbarwert einer ewigen Rente entsteht durch den Grenzübergang n → ∞. Dazu muss man lediglich wissen, dass für jede Zahl q > 1 die Potenzen q −n gegen 0 konvergieren. Grundsätzlich werden nur nachschüssige ewige Renten, da eine Zahlung am Anfang gleich mit dem Rentenbarwert verrechnet werden kann. Als Bezeichnung werde ich RA∞ verwenden

4.9.1 Ewige Rente mit konstanten Raten Ewige konstante Renten sind sehr einfach zu berechnen. Sei i der Nominalzinsatz und m die Anzahl der Zahlungen pro Jahr. Der Rentenbarwert der ewigen Rente muss gerade als Zinsertrag die konstante Rate abwerfen, d.h.

RA∞ =

A . i/m

(4.46)

Dieser Wert ist natürlich auch der Grenzwert für n → ∞ des in (4.21) bestimmten endlichen nachschüssigem Rentenbarwerts. Finden innerhalb einer Zinsperiode J Zahlungen der Höhe A statt, muss in der Formel (4.46) A durch Ae ersetzt werden, d.h.
i A J + J−1 2 m RA∞ = . (4.47) i/m

Beispiel 4.18. In einem Anfall von Sentimentalität legt Herr Burns bei den Lehman

Brothers einen Betrag von 2 Millionen Dollar an, womit eine monatliche ewige konstante Rente zugunsten von Waylon Smithers und dessen Erben(!) nanziert wird. Der Zinssatz ist 4 Prozent mit zwei Zinsterminen pro Jahr. Welche Rate ergibt sich? Hier sind m = 2 und J = 6 sowie RA∞ = 2.000.000 und damit

A=

RA∞ i/m = i J + J−1 2 m

4.9.2 Ewige geometrisch veränderliche Renten Durch den Einuss der Geldentwertung verliert eine Rente mit der Zeit an Realwert. Daher werden Rentenzahlungen manchmal dynamisiert, d.h. sie wachsen jedes Jahr um einen Faktor (1 + g). Es sei angenommen, dass eine solche dynamische Rente bei einem

112

4.10 Barwertfunktion von geometrisch veränderlichen Renten Zinssatz r ewig bezahlt wird. Die Zahlung am Ende des k -ten Jahres ist somit A(1+g)k−1 . Der Barwert dieser ewigen dynamischen Rente beträgt:

RA =

∞ X

A(1 + g)k−1 (1 + r)−k =

k=1

A . r−g

(4.48)

Ist g = 0, spricht man von einer ewigen Rente , deren Barwert ist somit Ar . Wie teuer ewige dynamische Renten werden, sei an folgendem zur Nachahmung empfohlenem Beispiel gezeigt. Ein dankbarer, wie Dagobert Duck im Geld schwimmender ehemaliger Hörer meiner Vorlesung, möchte eine Professur für Wertpapieranalyse einrichten. Bei einer Bank kann er einen Einmalbetrag mit 6 Prozent ewig verzinsen. Die erste Spende betrage nachschüssig eine Million Euro und steige danach jährlich um 3 1.000.000 Prozent. Dann muss der Stifter 0.06−0.03 = 33, 33 Millionen Euro bei der Bank am Anfang des ersten Jahres einzahlen.

4.10 Barwertfunktion von geometrisch veränderlichen Renten Für die Nettobarwertfunktion muss die Zahlungsfolge der Rentenzahlungen mit dem Faktor p = (1 + r)1/m abgezinst werden, das ist der Barwert der Ausgaben für den Kalkulationszinssatz r. Dafür gilt die Formel 4.34, wobei aber q durch p zu ersetzen ist. Die einzige Einnahme ist der Rentenendwert, durch Abzinsen auf den Anfangszeitpunkt erhält man für die Nettobarwertfunktion den Ausdruck

N P V (r) = (1 + r)−n/m REN    1 − (1 + r)−n/m nd(1 + r)−n/m d √ √ . + − A+ √ m m m 1+r−1 1+r−1 1+r−1

(4.49)

Beispiel 4.19. Jemand zahlt fünf Jahre lang jeweils zum Quartalsende einen Betrag in

einen Bausparvertrag ein. Die erste Zahlung hat den Wert von 400 Euro und steigert sich danach von einer Periode auf die andere um 100 Euro. Die Zinsperiode sei ein Vierteljahr, der jährliche Nominalzinssatz i = 2 Prozent. Wie hoch ist der Rentenendwert und der Rentenbarwert? Welche Form hat die Nettobarwertfunktion? Welche Wert ergibt sich für r = 4 Prozent? Wie hoch ist die Rendite? Hier ist m = 4, t = 5 und q = 1 + 0,02 = 1, 005 sowie d = 100 und A = 400. We4 gen n = m · t liegen n = 4 · 5 = 20 Zahlungen vor. Der Endbetrag wird somit

REN = (400 + 100/0, 005)

1, 00520 − 1 100 · 20 − = 27973, 95 Euro. 0, 005 0, 005

Der Barwert berechnet sich durch Abzinsen des Endwerts um den Faktor 1, 005−20 . Es ergibt sich RAN = 25318, 19 Euro. Für die Nettobarwertfunktion folgt wegen m = 4 und

113

4 Regelmäÿige Zahlungsströme n = 20 N P V (r) = (1 + r)−5 27973, 95    100 1 − (1 + r)−5 20 · 100(1 + r)−5 √ √ − 400 + √ + . 4 4 4 1+r−1 1+r−1 1+r−1 Für r = 0, 04 erhält man -816,12 Euro. Der Nettobarwert ist negativ, da der Nominalzinssatz nur bei 2 Prozent liegt. Die Rendite ist die Nullstelle der Nettobarwertfunktion, die Excel-Zielwertsuche ergibt r¯ = 2, 01505, also fast 2,02 Prozent. Die Rendite ist wegen der vier Zinstermine geringfügig gröÿer als der Nominalzinssatz.

4.11 Zusammenfassung 1. Bei einer arithmetischen Folge ist die Dierenz d zweier aufeinander folgenden Glieder konstant. Es gilt also: (4.50) (4.51) (4.52)

bk = bk−1 + d, bk = b1 + (k − 1) d, bk = b0 + k · d.

Die Summe einer arithmetischen Folge mit n Gliedern ist das arithmetische Mittel des ersten und des letzten Elements multipliziert mit der Anzahl der Folgenglieder. n X k=1 n X

bk = b1 + b 2 + · · · + b n = n

b1 + bn , 2

(4.53)

bk = b1 + b 2 + · · · + b n = n

2b1 + (n − 1) d . 2

(4.54)

k=1

2. Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient q zweier aufeinander folgenden Glieder konstant. Es gilt also: (4.55) (4.56)

bk = qbk−1 , bk = b0 q k .

Gilt b0 = 1, so folgen b1 = q und allgemein bk = q k . Wir benötigen folgende Summenformel: 2

sn = 1 + q + q + · · · + q

n−1

=

n−1 X

qk =

k=0

an = q −1 + q −2 + q −3 · · · + q −n =

n X k=1

114

qn − 1 , q−1

q −k =

1 − q −n . q−1

(4.57) (4.58)

4.11 Zusammenfassung 3. Konstante Renten sind regelmäÿige Zahlungen in gleicher Höhe und gleichem Abstand. Sind die Zahlungszeitpunkte Zinstermine und gibt es m Zinstermine im Jahr so gilt für den nachschüssigen Rentenendwert REN und den nachschüssigen

Rentenbarwert

REN = A RAN = A

1+


i n m i m

1− 1+

−1

(4.59)

= Asn ,


i −n m

i m

(4.60)

= Aan .

Daher heiÿen die Faktoren sn und an nachschüssiger Rentenendwert - und nachschüssiger Rentenbarwertfaktor . Der Zeitstrahl einer nachschüssigen konstanten Rente sieht wie folgt aus:

A

A

A

A

A

1 m

2 m

k m

n−1 m

n m

-t

0

···

4. Unter denselben Voraussetzungen gilt für vorschüssige Renten
n   1 + mi − 1 i , REV = A 1 + i m m
−n   i 1 − 1 + mi RAV = A 1 + . i m m

(4.61) (4.62)

Der Zeitstrahl einer vorschüssigen konstanten Rente sieht wie folgt aus:

A

A

A

A

A -t

0

1 m

2 m

···

k m

n−1 m

n m

5. Eine unterperiodische konstante Rente liegt vor, wenn die Zinsperiode ein ganzzahliges Vielfaches J der Rentenperiode ist. Dann hat die Zinsperiode die Länge 1/m und die Rentenperiode die Länge 1/mJ . Innerhalb einer Zinsperiode kommt es also zu J Zahlungen der Höhe A. Diese Zahlungen werden bis zum nächsten Zinstermin einfach verzinst und ergeben zusammengenommen einen Betrag Ae . Man nennt diesen Ausdruck die zur unterjährigen Zahlungsfolge gehörende Ersatzrente . Die Berechnung von Rentenendwert und Rentenbarwert geschieht in zwei Schritten: a) Zunächst wird die Ersatzrente Ae bestimmt. b) Dann werden die Formeln der nachschüssigen konstanten Rente mit der Ersatzrente durchgeführt.

115

4 Regelmäÿige Zahlungsströme Bei nachschüssiger Zahlungsweise ergibt sich:   J −1 i Ae = A J + . 2 m

(4.63)

Bei vorschüssiger Zahlungsweise ergibt sich:   J +1 i Ae = A J + . 2 m

(4.64)

6. Die Barwertfunktion P V (r) einer konstanten Rente mit Rentenperiode ∆, die an einem beliebigen Zeitpunkt t1 beginnt und dann n-mal bis zum Zeitpunkt tn weitergeht, lautet wie folgt:

P V (r) = A (1 + r)−tn

(1 + r)n∆ − 1 . (1 + r)∆ − 1

(4.65)

Der Zeitstrahl sieht so aus

P V (r)

A

A

0

t1

t2

A

A

A

tn−1

tn

-

···

tk

···

t

Abbildung 4.9: Barwertfunktion einer konstanten Rente.

4.12 Aufgaben Aufgabe 1. Jemand zahlt vom 31.3.2000 bis zum 30.6.2006 jeweils 1.000 Euro viertel-

jährig nachschüssig auf ein Bausparkonto ein. Der Zinssatz ist nominal 2 Prozent, die Zinsperiode ein Monat. a) Welchen Endbetrag hat der Sparer, wenn von Gebühren abgesehen wird?

b) Die Rente und der Rentenendwert bilden einen vollständigen Zahlungsstrom, wenn die Rentenzahlungen als Ausgaben und der Endwert als Einnahme betrachtet werden. Wie hoch ist der Nettobarwert dieses Zahlungstroms in Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz r? Was ergibt sich speziell für 1, 5 und 3, 5 Prozent? c) Wie hoch ist die Rendite nach PAngV?

Aufgabe 2. Unter sonst gleichen Angaben wie in der vorigen Aufgabe sei die Zinsperiode

ein Jahr. Welchen Endbetrag hat der Sparer, wenn von Gebühren abgesehen wird?

116

4.13 Lösungen Aufgabe 3. Jemand vereinbart mit seiner Bank den folgenden Sparplan. Zunächst am 31.1.2000 eine Einmalzahlung von 100.000 Euro. Danach ab dem vom 31.1.2000 bis zum 30.6.2006 monatliche Zahlungen von jeweils 1.000 Euro. Der Zinssatz für die Einmalzahlung ist 8 Prozent und für die Monatszahlungen 6 Prozent, die Zinsmethode 30E/360 und die Zinsperiode ein Jahr. a) Welchen Endbetrag hat der Sparer, wenn von Gebühren abgesehen wird? b) Wie hoch ist der Nettobarwert dieses Sparvertrags in Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz r? Was ergibt sich speziell für 7 und 9 Prozent? c) Wie hoch ist die Rendite nach PAngV?

Aufgabe 4. Bei einer Bausparkasse sind monatliche Zahlungen von 1 Prozent der Bausparsumme zu leisten. Der Guthabenzins liegt bei 3 Prozent p.a., wobei die Zinstermine an den Quartalsenden liegen. Geben Sie für eine Bausparsumme von 60.000 DM den Kontostand am 31.12.1986 an, wenn die erste Zahlung am 1.7.82 und die letzte am 1.12.86 erfolgte. Sonstige Kosten wie Kontoführungsgebühren bleiben unberücksichtigt. Aufgabe 5. Bei einem Sparvertrag ist erstmalig am 30.6 eine Rate von 500 Euro und

danach jeweils am Monatsende in gleicher Höhe zu entrichten. Insgesamt sind 50 Raten vorgesehen. Wie hoch ist der Endwert bei einem Zinssatz von 8 Prozent bei der Zinsmethode 30/360 und jährlichem Zinstermin.

4.13 Lösungen Aufgabe 1. Jemand zahlt vom 31.3.2000 bis zum 30.6.2006 jeweils 1.000 Euro viertel-

jährig nachschüssig auf ein Bausparkonto ein. Der Zinssatz ist nominal 2 Prozent, die Zinsperiode ein Monat. a) Welchen Endbetrag hat der Sparer, wenn von Gebühren abgesehen wird? Wegen der monatlichen Zinsperiode und den vierteljärlichen Zahlungen verzinst sich eine Annuität A von einem Quartal auf das nächst mit dem Aufzinsungsfaktor q = (1 + r/12)3 . Damit ergibt sich für den Endbetrag


q 25 − 1 = 26.561, 82 Euro. E = 1.000 1 + q + q 2 + ·q 24 = q−1 b) Die Rente und der Rentenendwert bilden einen vollständigen Zahlungsstrom, wenn die Rentenzahlungen als Ausgaben und der Endwert als Einnahme betrachtet werden. Wie hoch ist der Nettobarwert dieses Zahlungstroms in Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz r? Was ergibt sich speziell für 1, 5 und 3, 5 Prozent?

117

4 Regelmäÿige Zahlungsströme Hier liegen n = 25 Zahlungen der Höhe A = 1.000 vor. Die Rentenperiode ist ∆ = 1/4, der Endzeitpunkt tn = 25/4. Also ergibt sich

N P V (r) = (1 + r)−25/4 (26.561, 82 · −1.000

(1 + r)25/4 − 1 . (1 + r)1/4 − 1

Die gesuchten Werte sind 373,97 und -975,47. c) Wie hoch ist die Rendite nach PAngV? Hier ergibt sich für die Nullstelle r¯ = 2, 018 Prozent.

Aufgabe 2. Unter sonst gleichen Angaben wie in der vorigen Aufgabe sei die Zinsperiode ein Jahr. Welchen Endbetrag hat der Sparer, wenn von Gebühren abgesehen wird?

Hier müssen drei Teilberechnungen vorgenommen werden. Im Jahr 2000 werden am 30.6., 30.9 und 31.12 jeweils 1.000 Euro eingezahlt, die sich einschlieÿlich Zinsen am Jahresende 2000 auf

B1 =

3 (1.000 + 1.000(1 + 0, 01)) = 3.015 Euro. 2

summiert haben. Dieser Betrag muss 5-mal mit Zinseszinsen und dann noch ein halbes Jahr einfach verzinst werden. Somit ist der Endbetrag

E1 = B1 · 1, 025 · 1, 01 = 3.362, 09 Euro. Im Jahr 2006 gehen am 31.3. und 30.6 zwei Zahlungen ein, deren Gesamtbetrag

E2 = 1.000 + 1.000 · 1, 005 = 2.005 Euro ist. In den Jahren 2001 bis 2005 bilden die Zahlungen eine unterjährige Rente. Die Ersatzrente Ae ergibt sich wegen m = 1 und J = 4 aus

3 Ae = 1.000(4 + 0, 02) = 4.030 Euro. 2 Der Rentenendwert am Ende des Jahres 2005 ist folglich

REN = 4.030

1, 025 − 1 = 20972, 28 Euro. 0, 02

Der Rentenendwert muss dann noch ein halbes Jahr einfach verzinst werden:

E3 = 20972, 28 · 1, 01 = 21.182, 00 Euro. Die Gesamtsumme der Ei ergibt den Endbetrag E = 26.549, 09 Euro. Der restlich Teil der Aufgabe ist wie bisher zu lösen.

118

4.13 Lösungen Aufgabe 3. Jemand vereinbart mit seiner Bank den folgenden Sparplan. Zunächst am 31.1.2000 eine Einmalzahlung von 100.000 Euro. Danach ab dem vom 31.1.2000 bis zum 30.6.2006 monatliche Zahlungen von jeweils 1.000 Euro. Der Zinssatz für die Einmalzahlung ist 8 Prozent und für die Monatszahlungen 6 Prozent, die Zinsmethode 30E/360 und die Zinsperiode ein Jahr. a) Welchen Endbetrag hat der Sparer, wenn von Gebühren abgesehen wird? Der Einmalbetrag wird mit 8 Prozent verzinst. Es wird die Formel der gemischten Verzinsung benutzt, um den Endbetrag davon zu berechnen:

  11 E1 = 100.000 1 + 0, 08 · 1, 085 · 1, 04 = 164.016, 20. 12 Für die Monatszahlungen muss zunächst die äquivalente Jahresrate Aen bestimmt werden Hier sind m = 1 und J = 12 und somit

Ae = 1.000 (12 + 5, 5 · 0, 06) = 12.330. Diese Rente dauert fünf Jahre, der Rentenendwert muss dann noch ein halbes Jahr einfach verzinst werden:

E2 = 12.330

1, 066 − 1 1, 03 = 88.585, 85. 0, 06

Als letztes müssen die sechs Zahlungen im Jahr 2006 beachtet werden. Diese erfolgen vom 31.1. bis zum 30.6. Hierfür gilt:

   5 = 6.075 E3 = 6/2 1.000 + 1.000 1 + 0, 06 12 Die Gesamtsumme ist E = E1 + E2 + E3 = 258.677, 05 Euro. b) Wie hoch ist der Nettobarwert dieses Sparvertrags in Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz r? Was ergibt sich speziell für 7 und 9 Prozent? Der Nettobarwert ergibt sich durch Abzinsen des Endwertes und der Raten auf den Anfangszeitpunkt. Zwischen dem 31.1.2000 und dem 30.6.2006 sind nach PAngV sechs Jahre und fünf Monate vergangen, also ist tn = 77/12. Insgesamt wurden n = 6 · 12 + 6 = 78 Raten bezahlt. Die erste Rate wird mit der Einmalzahlung verrechnet. Somit sind Delta = 1/12, n = 77 und damit 77 − 12

N P V (r) = −101.000 + (1 + r)

  (1 + r)77/12 − 1 258.677, 05 − 1.000 . (1 + r)1/12 − 1

Für 7 Prozent ergibt sich 4.288, 95 und für 9 Prozent −11.134, 40.

119

4 Regelmäÿige Zahlungsströme c) Wie hoch ist die Rendite nach PAngV? Hier ist die Nullstelle r¯ der Nettobarwertfunktion gesucht: ! 77 12 77 (1 + r¯) − 1 . 0 = −101.000 + (1 + r¯)− 12 258.677, 05 − 1.000 1 (1 + r¯) 12 − 1 Die gesuchte Nullstelle ist r¯ = 7, 53 Prozent.

Aufgabe 4. Bei einer Bausparkasse sind monatliche Zahlungen von 1 Prozent der Bausparsumme zu leisten. Der Guthabenzins liegt bei 3 Prozent p.a., wobei die Zinstermine an den Quartalsenden liegen. Geben Sie für eine Bausparsumme von 60.000 DM den Kontostand am 31.12.1986 an, wenn die erste Zahlung am 1.7.82 und die letzte am 1.12.86 erfolgte. Sonstige Kosten wie Kontoführungsgebühren bleiben unberücksichtigt. Die Quartalsenden sind am 30.9.1982, 31.12.1982, 31.3.1983, · · · , 31.12.1986. Ein Prozent der Bausparsumme ergibt eine Monatsrate von 600 DM. Insgesamt 18 Zinsperioden. Ich fasse immer die Zahlungen zu Anfang der Monate zusammen:

2 1 3 ) + 600(1 + 0, 03 ) + 600(1 + 0, 03 ), 12 12 12 6 = 600(1 + 0, 03 ) = 600 · 3, 015 = 1.809. 12

Ae = 600(1 + 0, 03 Ae

Der Aufzinsungsfaktor ist

q = (1 + 0, 03/4) = 1, 0075. Der Rentenendwert berechnet sich damit wie folgt:

Rend = 1.809(1 + q + q 2 + · · · + q 17 ) = 1.809

1, 007518 − 1 = 34.723, 25 Euro. 0, 0075

Aufgabe 5. Bei einem Sparvertrag ist erstmalig am 30.6 eine Rate von 500 Euro und

danach jeweils am Monatsende in gleicher Höhe zu entrichten. Insgesamt sind 50 Raten vorgesehen. Wie hoch ist der Endwert bei einem Zinssatz von 8 Prozent bei der Zinsmethode 30/360 und jährlichem Zinstermin. Im ersten Jahr erfolgen 7 Zahlungen, und zwar am 30.6, 31.7,· · · , 31.12. Diese haben am Jahresende folgenden Wert:

sn1 = 7/2(500(1 + 0, 08 · 0, 5) + 500) = 7(500 + 500 · 0, 02) = 3.570. Dieser Wert ist dreimal mit Zinseszins und im letzten Jahr mit einfachen Zinsen für 7 Monate aufzuzinsen. Endbeitrag:   7 3 E1 = 3.570 · 1, 08 1 + 0, 08 = 4.707, 04. 12

120

4.13 Lösungen Im zweiten, dritten und vierten Jahr erfolgen 12 Zahlungen, und zwar am 31.1, 28.2, usw. bis zum 31.12. Deren Endwert am Jahresende ist:     11 Aen = 12/2 500 1 + 0, 08 + 500 = 500 (12 + 5, 5 · 0, 08) = 6.220. 12 Am Ende des vierten Jahres ergibt sich als Zwischenwert:
Aen · s3 = 6.220 1, 083 − 1 /0, 08 = 20.192, 61. Im letzten Jahr wird dieser Betrag noch einfach verzinst. Endbetrag:   7 E2 = 20.192, 61 1 + 0, 08 = 21.134, 93. 12 Im fünften Jahr erfolgen 7 Zahlungen, und zwar am 31.1, 28.2, bis zum 31.7. Diese haben am 31.7. folgenden Wert:

E3 = 7/2(500(1 + 0, 08 · 0, 5) + 500) = 7(500 + 500 · 0, 02) = 3.570. Insgesamt ergibt sich: E1 + E2 + E3 = 29.411, 97 Euro als Endwert.

121

4 Regelmäÿige Zahlungsströme

4.14 Praktikumsaufgabe Erstellen Sie das abgebildete Formular. Es löst folgende Darlehensform. Der Schuldner benötigt einen Betrag Kef f und entscheidet sich für einen Disagiosatz d, die Nominalschuld ist dann K0 . Dann wird der Nominalzinssatz i festgelegt. Das Jahr wird in m Zinsperioden eingeteilt, der Schuldner kann J unterperiodische Zahlungen der Höhe A leisten, und zwar nach- oder vorschüssig. Die Laufzeit n wird in Anzahl von Zinsperioden angegeben. sind wie abgebildet n = 20 und m = 4 sowie J = 3 beträgt die Zeit t = n/m = 5 Jahre, in dieser Zeit werden n · J = 60 Zahlungen der Höhe A = 1.000 geleistet. Das Arbeitsblatt ermittelt die Werte der Zellen A8-D8, die Nettobarwertfunktion ist aus der Sicht des Gläubigers. 1 2 3 4 5 6 7 8

A Auszahlung 57.000,00

B Disagiorate 5,00%

J (Anzahl Raten/ZP) 3

n (Anzahl) 20,0000

K0 nominal 60.000,00

Ae 3.015,00

C Rentenrate A 1.000,00

D Zinssatz i 3,00%

E m (Anzahl ZP) 4

Kalkulationszinssatz r nachschüssig 6,00% Nein Rest 4.875,02

NPV( r) -1.433,28

Beachten Sie, dass die Restschuld aus dem Nominalzinssatz und der Nominalschuld berechnet wird, die Nettobarwertfunktion dagegen aus dem Kalkulationszinssatz r und der tatsächlichen Auszahlung Kef f . Lösen Sie folgende Probleme und Fragen. a) Was bedeutet der Wert von −1.433, 28 für den Gläubiger, wenn er mit 6 Prozent Rendite kalkuliert? b) Welche Rendite wird erzielt, welcher eektiven Zinssatz muss angegeben werden? c) Welche Disagiorate muss der Gläubiger wählen, um bei sonst gleichen Eingabewerten eine Rendite von 6 Prozent zu erreichen? Welche Werte haben die Nominal- und die Restschuld? d) Schneidern Sie ein Angebot mit einer Laufzeit von genau 5 Jahren, monatlich nachschüssiger Zahlweise, jährlicher Zinsperiode, Restschuld von 5.000 Euro und Rendite von 6 Prozent, Auszahlung(!) von 60.000 Euro und Nominalzinsssatz von 4 Prozent. e) Schneidern Sie ein Angebot mit einer Laufzeit von genau 5 Jahren, monatlich nachschüssiger Zahlweise, monatlicher Zinsperiode, Restschuld von 0 und Rendite von 6 Prozent, Auszahlung(!) von 60.000 Euro und Disagiosatz von 10 Prozent.

122

5 Anleihen Anleihen dienen der öentliche Hand und privaten Unternehmen zur Beschaung von Fremdkapital. Anleihen werden in handliche Stücke mit gleichem Nennwert geteilt, wobei alle Stücke dieselben Rechte haben und vom jeweiligen Inhaber weiter verkauft werden können. Der Käufer einer Anleihe erhält in einer genau festgelegten Weise Zinsen und am Ende die Rückzahlung. Anleihen gibt es in verschiedenen Formen. Bei den Renten erfogen die Zinsleistungen im gleichen zeitlichen Abstand und in gleicher Höhe, daher der Name. Die am Markt vorherrschenden Bundesanleihen, Kommunalobligationen und Pfandbriefe werden als Renten begeben. Bei den Nullkuponanleihen (engl: Zerobonds) werden keine Zinszahlungen geleistet, dafür liegt der Ausgabepreis unter der Rückzahlung. Die Preise von Anleihen verlieren mit ansteigenden Marktzinsen an Wert und protieren umgekehrt von sinkenden Marktzinsen. Die Abhängigkeit des Preises von den Marktzinsen umgehen die ebenfalls zu den Anleihen gezählten variabel verzinslichen Anleihen, die so genannten Floater , wo der Zinssatz alle drei oder sechs Monate nach einer bestimmten Regel an einen Marktzins wie den Euribor oder die Inationsrate angepasst wird. In diesem Kapitel werden die verschiedenen Anleiheformen beschrieben und es wird untersucht, wie sich die Preise der Anleihen bilden und sich wechselnden Marktumständen anpassen. Das Risiko der Zahlungsunfähigkeit wird hier nicht betrachtet, da dafür fortgeschrittene mathematische Modelle nötig sind.

5.1 Grundlagen Im Unterschied zu den von Banken oder Versicherungen vergebenen Krediten werden Anleihen in viele gleiche Teile gestückelt, die von jedem Bürger erworben und in der Regel zu jeder Zeit wieder über die Börse veräuÿert werden können. Im Gegensatz zu den Teilhaberpapieren wie Aktien erwirbt der Käufer keine Eigentumsrechte, sondern Gläubigerrechte, die Vorrang vor Dividendenzahlungen haben und bei Nicht-Bedienung zum Konkurs führen können. Die Erstausgabe einer Anleihe wird als Begebung, Ausstellung oder Emission bezeichnet, der Ausgeber als Begeber, Aussteller oder Emittent . Die wichtigsten Emittenten sind Staaten, internationale Organisationen wie Weltbank oder UNO, Banken und Unternehmen, sie verschaen sich mit Anleihen Fremdkapital zur Finanzierung von Investitionen. Gedeckt sind solche Anleihen durch die Steuerkraft der Regierungen, die Sicherheiten der Banken, z.B. über Hypotheken bei Pfandbriefen und die Ertragskraft der Unternehmen. Die wichtigsten staatlichen Schuldner in Deutschland sind Bund, Länder und Gemeinden, wobei Anleihen des Bundes am meisten beachtet werden. Das Ansehen eines Schuldners wird Bonität genannt und durch spezialisierte Unternehmen geschätzt. An-

123

5 Anleihen leihen sind meist langfristige Schuldverschreibungen, wobei der Anleger folgende Punkte beachten muss: ˆ Den Nennwert oder Nominalwert , in der Regel ein glatter Betrag wie 100 oder 1.000 Euro, bei den marktbeherrschenden Bundesanleihen seit 1999 nur noch ein Cent. ˆ Die Fälligkeit . An diesem Termin wird der Nennwert vom Schuldner zurückerstattet, manchmal mit einem Auf- oder Abschlag, die Zeit bis dahin nennt man Laufzeit . ˆ Die Mindeststückelung. Anleihen werden in so genannte Stücke geteilt, wobei alle Stücke gleich sind und einen bestimmten Nominalwert haben. Der Nominalwert eines Stückes wird als Mindeststückelung bezeichnet. ˆ Die Art der Leistungen des Emittenten, also Zinsen und Rückzahlungen. ˆ Die Bonität des Emittenten, also dessen Zahlungsfähigkeit, was heute ja selbst für Staaten zu berücksichtigen ist. ˆ Die Liquidität der Anleihe, also die Möglichkeit sich schnell und unkompliziert von der Anleihe wieder zu trennen. ˆ Die Währung. Anleihen können in Euro, Dollar und vielen anderen Währungen begeben werden. Für einen deutschen Anleger entsteht bei nicht in Euro begebenen Papieren ein Währungsrisiko.

5.1.1 Einteilung Anleihen werden nach Art der Zinszahlung und der Tilgung eingeteilt. ˆ Bei Nullkuponanleihen werden die Zinsen in den Kaufpreis eingerechnet, sodass dieser je nach Laufzeit deutlich unter dem Rückzahlungsbetrag liegt. ˆ Bei den Renten werden Zinsen jährlich oder halbjährlich in gleicher Höhe gezahlt und am Ende der Nennwert erstattet. ˆ Bei Floater richten sich die jährlich oder halbjährlich geleisteten Zinsen nach einem variablen Leitzins wie dem EURIBOR aus. Auch hier wird der Nennwert am Ende erstattet. ˆ Bei Sparbriefen und Bundesschatzbriefen wachsen in einer im Voraus genau festgelegten Weise die Zinssätze, wobei je nach den Vertragsbedingungen die Zinsen periodisch ausgezahlt oder angesammelt werden. Abhängig davon erfogt am Ende die Rückzahlung allein oder zusätzlich mit den angesammelten Zinsen. Finanzmathematisch wird untersucht, welche Einussfaktoren die Preise der Anleihen bestimmen und wie sich die Änderungen der Werte dieser Faktoren auf die Preise auswirken.

124

5.2 Nullkuponanleihen

5.2 Nullkuponanleihen Bei Nullkuponanleihen verpichtet sich der Emittent an einem Fälligkeit genannten Datum den Nennwert auszuzahlen. Der Preis wird deshalb unter dem Nennwert liegen, der Reingewinn ist die Dierenz zwischen Nennwert und Kaufpreis. Die Zeit bis zur Fälligkeit heiÿt Laufzeit, während der Laufzeit sind Nullkuponanleihen in der Regel handelbar, der Gewinn und Verlust ist bei vorzeitigem Verkauf die Dierenz zwischen Erwerbs- und Verkaufspreis. Diese Form nennt man in den USA pure discount bonds oder zero coupon bonds. Nullkuponanleihen ähneln den schon sehr lange schon verbreiteten Handelswechseln, die ein zukünftiges Zahlungsversprechen darstellen und an Banken vor der Fälligkeit zu einem diskontierten Betrag verkauft werden können. Der Nennwert ist meistens 100 oder ein Vielfaches davon. Der Preis einer Nullkuponanleihe wird über den Kurs festgelegt, einem Prozentsatz, der bezogen auf den des Nennwert den Preis ergibt. Bei einem Nennwert von 1.000 Euro und einem Kurs von 99 sind für 5 Stücke somit 4.950 Euro zu entrichten. Am Fälligkeitstermin wir der Nennwert von 5.000 Euro vollständig an den Käufer ausgezahlt.

Wie Sie sehen, wird der Kurs meistens ohne das Prozentzeichen angegeben, streng genommen ist der Kurs daher der Zinsfuÿ und nicht der Zinssatz. Sie können den Kurs aber auch als Preis eines Stückes mit Nennwert 100 ansehen. Zur weiteren Verwirrung trägt bei, dass unsere amerikanischen Freunde Kurse gerne auf 1.000 Dollar beziehen, Sie müssen den Kurs dann als Promillewert ohne Promillezeichen % interpretieren.

5.2.1 Preisformel für Nullkuponanleihen Nullkuponanleihen sind durch folgende Gröÿen vollständig beschrieben. In Klammern sind die entsprechenden englischen Bezeichnungen gesetzt. ˆ Der Kaufpreis (purchase price, cost value) P wird vom Käufer am Abrechnungstag (commitment date, settlement date) bezahlt. ˆ Der Nennwert (par value, face value) F wird am Fälligkeitstermin (maturity date) zurückgezahlt. Der Nennwert ist in Europa in der Regel 100 und in den USA 1.000, kann aber grundsätzlich jeden Wert annehmen. ˆ Die Laufzeit (time to maturity) T ist die Zeitspanne zwischen Erwerb und Fälligkeit. Als Zinsmethode zur Berechnung der Zeit T wird meistens ACT/ACT ICMA oder PAngV verwendet. ˆ Der Zinssatz r0T , der abhängig ist von der Zeit zwischen Erwerb (0) und Fälligkeit (T ). Als Grundregel gilt, dass der Zinssatz umso höher ist, je länger die Laufzeit T ist. Der Zinssatz bezieht sich auf die exponentielle Verzinsung und ist daher auch die Rendite der Nullkuponanleihe. Auf den sonst bei Renditen üblichen Querstrich wird verzichtet. Der Zahlungsstrom einer Nullkuponanleihe besteht also aus der Sicht des Käufers nur aus zwei Paaren ((-P,0),(F,T)), wie der abgebildete Zahlungsstrahl verdeutlicht.

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5 Anleihen −P

F -

0

t

T

Die Zusammenhang zwischen Kaufpreis P , Nennwert F . Laufzeit T und Rendite r0T erfolgt über die Grundformeln der exponentiellen Verzinsung.

F = (1 + r0T )T P P = (1 + r0T )−T F,   T1 F r0T = − 1. P

(5.1) (5.2) (5.3)

Da die Grundformel (5.3) auch zur Berechnung der Rendite herangezogen wird, ist der Zinssatz r0T auch gleichzeitig die Rendite r¯. Für kurze Laufzeiten gilt näherungsweise

r0T

  T1 F −P F −1≈ = . P PT

Wird mit n die Anzahl der Tage bis zur Fälligkeit bezeichnet, so ergibt sich daraus die Näherungsformel für die Rendite

r0T ≈

F − P 365 . P n

(5.4)

Manche Lehrbücher verwenden dabei 360 statt 365. Betrachten wir nun einige Beispiele:

Beispiel 5.1. Beginnen wir mit einer Nullkuponanleihe, die in genau zwei Jahren mit

1.000 Dollar zurückgezahlt wird und einen Zinssatz von r02 = 12 Prozent hat. Zur Berechnung des Kaufpreises verwenden wir die Grundformel (5.2): P = (1 + 0, 12)−2 1.000 = 797, 19 Dollar.

Beispiel 5.2. Betrachten wir nun eine Nullkuponanleihe einer Bank, deren Kaufpreis

am 1.12.1990 5.995 DM betrug und die am 1.6.2000 mit 10.000 DM zurückgezahlt wurde. Man bestimme die Rendite r0T .

Nach PAngV beträgt die Laufzeit genau 9, 5 Jahre. Somit ergibt sich aus (5.3):

 r09,5 =

10.000 5.995

1  9,5

− 1 = 5, 53 Prozent.

Beispiel 5.3. Eine Nullkuponanleihe mit 100 Tagen Restlaufzeit und einem Nennwert

von 10.000 Dollar kostet 9.888,89 Dollar. Wie hoch ist die Rendite r0T exakt und näherungsweise?

126

5.2 Nullkuponanleihen Der Zinssatz r0T wird über die Formel (5.2) berechnet:

 r0T =

10.000 9.888, 89

 365 100

− 1 ≈ 4, 16 Prozent.

Wegen der kurzen Laufzeit kann auch die Näherungsformel (5.4) benutzt werden. Dann ergibt sich:   10.000 − 9.888, 89 365 ≈ 4, 10 Prozent. r0T ≈ 9.888, 89 100 Die tatsächliche Rendite ist also etwas gröÿer als der Näherungswert.

5.2.2 Treasury Bills (T-Bills) Treasury Bills (T-Bills) sind Schuldverschreibungen des Schatzamtes der USA mit einer

Laufzeit bis zu einem Jahr. Diese Anlagen gelten für amerikanische Anleger als risikolos und haben daher eine besonders geringe Verzinsung. Sie sind weltweit die wichtigsten Nullkuponanleihen. Wie für alle Wertpapiere gibt es einen Primärmarkt zur Emission und einen Sekundärmarkt für die privaten Anleger. Die T-Bills werden im Primärmarkt über eine Auktion vom amerikanischen Schatzamt platziert. Der Sekundärmarkt ist sehr liquid, die kleinste Einheit hat einen Nennwert von 10.000 Dollar. Die Laufzeiten sind 13, 26 und 52 Wochen. Für kurze Laufzeiten kann die Grundformel (5.2) durch

P = (1 − yd T ) F

(5.5)

angenähert werden, wobei der Zinssatz hier mit yd bezeichnet wird. Diese Formel wird von Banken zur Diskontierung von Wechseln benutzt, der Zinsatz yd heiÿt daher Bank Discount Rate . Dieser Zinssatz wird auch für die Preisquotierungen von US-Treasury Bills verwendet. Dabei wird als Zinssmethode (engl.: daycount-convention) ACT/360 verwendet. Veröentlicht wird also nicht der zu zahlenden Preis, sondern mit der Bank Discount Rate yd derjenige Diskontierungsfaktor, der nach bankenüblicher Rechnung den Nennwert F auf den eigentlichen Kaufpreis P abzinst. Löst man die Gleichung (5.5) nach yd auf, ergibt sich F − P 360 , (5.6) yd = F n wobei folgende Bezeichnungen verwendet wurden: ˆ yd : Bank Discount Rate, also die veröentlichte Angabe. ˆ F : Nennwert (face value). ˆ P : Preis zum Erwerbszeitpunkt 0. ˆ n: Anzahl der Tage bis zur Fälligkeit vom Tage des Erwerbs an gezählt.

127

5 Anleihen Beispiel 5.4. Ein US-T-Bill mit 100 Tagen Restlaufzeit und einem Nennwert von 10.000 wird mit 4, 00 quotiert. Wie hoch sind der Preis und die Rendite r0T ? Zur Berechnung des Preises wird die Formel (5.5) benutzt:   100 = 9.888, 89. P = 10.000 1 − 0, 04 360 Der Zinssatz r0T wird über die Formel (5.3) berechnet:

 r0T =

10.000 9.888, 89

365  100

− 1 = 4, 1625149 Prozent.

Die tatsächliche Rendite ist also etwas gröÿer als die zur Preisquotierung verwendete Bank Discount Rate. Beachten Sie bitte, dass zwar zur Preisquotierung die Zinsmethode ACT/360 verwendet wird, bei der Berechnung des Zinssatzes aber ACT/ACT (ICMA).

Beispiel 5.5. Zunächst betrachten wir eine Nullkuponanleihe in Form eines amerikani-

schen T-Bills, die am 15.5.2006 zum Preis 980 Dollar erworben und am 15.12.2006 zum Nennwert von 1.000 Dollar zurückgezahlt wurde. Man berechne Rendite genähert und exakt. Auÿerdem gebe man die Quotierung an, also die Bank Discount Rate yd . Hier ist n = 16 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 15 = 214. Setzt man dies in die Formel (5.4) ein, so folgt:

r0T ≈

(1.000 − 980) 365 = 3, 48 Prozent. 980 214

Rechnet man mit der korrekten Formel (5.2), so ergibt sich

 r0T =

1.000 980

 365 214

− 1 = 3, 51 Prozent.

Für die Quotierung yd muss die Formel (5.6) verwendet werden:

yd =

1.000 − 980 360 = 3, 36. 1.000 214

Für den Zinssatz wird also die Zinsmethode ACT/ACT ICMA verwendet, für die Quotierung dagegen ACT/360!

5.2.3 Bubills Bubills sind die deutsche Version der T-Bills, also Nullkuponanleihen mit anfänglicher Laufzeit von 6, 9 und 12 Monaten. Die deutsche Bundesbank bezeichnet die Bubills als Unverzinsliche Schatzanweisungen. Die Mindeststückelung beträgt 0,01 Euro, der Ausgeber ist die Bundesrepublik Deutschland, vertreten durch die Finanzagentur. Das

128

5.3 Spot- und Forward Rates angestrebte Emissionsvolumen liegt zwischen 3 und 6 Mrd Euro. Bei Ausgabe dürfen nur bestimmte institutionelle Anleger mitsteigern, die so genannte Bietungsgruppe Bundesemissionen. Diese Versteigerung wird als Tenderverfahren bezeichnet, die genauen Regeln werden von der Deutschen Bundesbank festgelegt. Die Angebote müssen auf einen Nennbetrag von mindestens 1 Mio EUR oder einem ganzen Vielfachen davon lauten und sollten eine Rendite enthalten. Gebote ohne Angabe einer Rendite sowie mehrere Gebote zu unterschiedlichen Renditen sind möglich. Die Gebote werden in der Reihenfolge der Renditen zugeteilt, wobei alle Gebote, die unter einer vom Bund gesetzten Rendite liegen, voll zugeteilt und alle Gebote, die über einer Grenze liegen, abgelehnt werden. Gebote ohne Angabe einer Rendite werden zur gewogenen Durchschnittsrendite der akzeptierten Renditegebote zugeteilt. Bubills werden nicht in den Börsenhandel eingeführt und in der Regel von institutionellen Anlegern und ausländischen Zentralbanken übernommen. Mitte Mai 2011 hat die Deutsche Bundesbank eine 6-monatige Unverzinsliche Schatzanweisung im Volumen von 5 Mrd EUR emittiert. Die gewogene Durchschnittsrendite lag in Folge der durch die Griechenlandkrise bedingten Flucht in Bundesanleihen bei sensationell niedrigen 1,1796 %. Angebote ohne Angabe einer Rendite wurden also zu dieser Rendite erfüllt.

5.2.4 Finanzierungsschätze des Bundes Finanzierungsschätze des Bundes sind ein Bundeswertpapiere mit einer Laufzeit von einem oder zwei Jahren. Da eine vorzeitige Rückgabe nicht möglich ist und diese Papiere auch nicht an der Börse gehandelt werden, stellen sie eine Festgeldanlage dar. Sie werden vom Bund als monatliche Daueremission begeben. Verkauf und Verwahrung übernimmt wie bei allen Bundeswertpapieren die Finanzagentur des Bundes gebührenfrei. Die Mindestanlage beträgt 500 e, der Anlagehöchstbetrag 250.000 e pro Tag und Person. Wie bei allen Nullkuponanleihen ist der Nennwert geringer als der Kaufpreis. Der Abschlag wird wie bei den T-Bills durch einen Zinssatz, den so genannten Verkaufszinssatz vz , bestimmt. Nennwert F , Kaufpreis P , Laufzeit T und Verkaufszinssatz vz hängen wie bei den T-Bills wie folgt zusammen

P = F (1 − vz T ), wobei T nur die Werte 1 oder 2 annehmen kann. Bei einem Nennwert von 500 Euro, einer Laufzeit von 2 Jahren und einem Verkauszinssatz von 1,23 % ergibt sich ein Kaufpreis von 487, 70 = 500(1 − 2 · 1, 23).

5.3 Spot- und Forward Rates Für Anleihen gibt es keinen einheitlichen Zinssatz, da die Anleger sowohl die Laufzeit als auch die Bonität des Schuldners berücksichtigen und mit abnehmender Bonität und zunehmender Laufzeit höhere Zinsen fordern. Für eine bestimmte Risikoklasse wie z.B. Bundesanleihen hängen die Zinsen von drei Daten ab: (vgl. das Buch von Elton und Gruber [5])

129

5 Anleihen ˆ Dem Tag t0 , an dem die Vereinbarung getroen wird. ˆ Dem Tag t1 , an dem das Darlehen ausgezahlt wird. ˆ Dem Tag t2 , an dem die Zinsbindung endet. Der dafür geltende Zinssatz sei mit t0 rt1 t2

bezeichnet. Beginnt die Zinsbindung am Tag der Vereinbarung, ist also t0 = t1 , so nennt man den Zinssatz Spot-Rate , ist dagegen t0 < t1 , spricht man von einer Forward-Rate . Einen solchen Zinssatz setzt man fest, wenn etwa am 1.1.2006 eine Vereinbarung getroen wird, zum 1.1.2007 für 6 Jahre einen Betrag für 5 Prozent Zinsen zu verleihen. Meistens setzt man den Zeitpunkt t0 der Vertragsvereinbarung auf 0 und schreibt verkürzt rt1 t2 . Im Falle von Spot-Raten ist dann auch t1 = 0 und für t2 verwendet man nur t, schreibt also verkürzt r0t für die Spot-Rate. Trägt man r0t über t auf, ergibt sich die so genannte Zinskurve . Die Zinskurve spielt bei Anleihen eine entscheidende Rolle. Daher gibt es viele Methoden zu ihrer Berechnung. In normalen Zeiten sollte die Zinskurve monoton in t wachsen, da bei längeren Laufzeiten der Gläubiger länger auf die Rückzahlung warten muss. Es gab aber auch schon Zeiten, wo die Spot-Rates bei wachsender Laufzeit elen. Man spricht dann von einer inversen Zinskurve. Mit Hilfe der Zinskurve, also bei Kenntnis aller Spot-Rates r0t , lässt sich für Nullkuponanleihen aus der Formel der exponentiellen Verzinsung

F = (1 + r0t )t P der Nennwert durch den Preis und der Preis durch den Nennwert

P = (1 + r0t )−t F ausdrücken. Seien z.B. fünf Nullkuponanleihen mit Laufzeiten von einem bis fünf Jahre im Umlauf und die Spot-Rates r0t wie in der folgenden Tabelle. Dann lassen sich bei einem Nennwert von F = 1.000 sofort die in der vierten Zeile stehenden Kurse Pt bestimmen:

1 r0t Pt Hier ist z.B.

0, 10 909, 09

Restlaufzeit in Jahren 2 3 4

0, 11 811, 62

0, 12 711, 78

0, 12 635, 52

P3 = 1, 12−3 · 1.000.

Dieses Beispiel ist dem schon zitierten Buch [5] entnommen.

130

5 0, 14 519, 37

5.4 Die Zinskurve Aus der Tabelle der Spot-Rates r0t für t = 1, . . . , 5 lassen sich auch die Forward-Raten rij für i, j = 1, . . . , 5 ermitteln. Forward Rates sind Zinssätze von heute abgeschlossenen und in der Zukunft beginnenden Geschäften, die jedoch von der aktuellen Zinsstruktur determiniert werden. Ich zeige dies am Beispiel r24 . Dieser Zinssatz wird heute für ein Darlehen festgelegt, dass in genau zwei Jahren bis zum vierten Jahr währt. Aus der Sicht des Anlegers muss der Endwert einer Anlage zur Spot-Rate r04 mit dem Wert übereinstimmen, der sich ergibt, wenn zunächst ein Euro für zwei Jahre zur Spot-Rate r02 angelegt und danach für weitere zwei Jahre zur Forward-Rate r24 wird. Somit gilt die Beziehung (1 + r04 )4 = (1 + r02 )2 (1 + r24 )2 , woraus sofort

r24 =

1, 122 (1 + r04 )2 −1= − 1 = 0, 13009 (1 + r02 ) 1, 11

folgt. Dieses Vorgehen zur Bestimmung der Forward Rates aus den Spot-Rates heiÿt Duplikationsansatz . Für beliebige Zeitpunkte 0 < t1 < t2 gilt zwischen den Spot-Rates und den Forward-Rates folgender Zusammenhang

(1 + r0t2 )t2 = (1 + r0t1 )t1 (1 + rt1 t2 )t2 −t1 .

(5.7)

5.4 Die Zinskurve Meist gelten für unterschiedliche Laufzeiten unterschiedliche Spot-Rates. Die Gesamtheit aller Spot-Rates bezeichnet man als Zinsstruktur. Die Zinskurve beschreibt die SpotRates in Abhängigkeit von der Laufzeit t. Es ist also eine Funktion t 7→ r0t , die auf dem Intervall [0, T ] deniert ist, wobei T je nach Land zwischen 30 und 50 Jahren ist. Bei jeder Form der Zinskurve werden die kurzfristigen Zinssätze durch die Politik der Zentralbanken bestimmt. Versorgen diese den Markt mit Liquidität, ist also die Geldpolitik locker, werden die kurzfristigen Renditen niedrig sein und hoch, wenn die Zentralbanken die Liquidität knapp halten. Die Zinsen für lange Bindungsdauern spiegeln die Erwartung der Marktteilnehmer über die künftige wirtschaftliche Entwicklung wider. Droht eine Ination, werden Renditen am langen Ende hoch sein, da die Inationserwartung in die Renditen eingepreist wird. Ist die Angst vor Teuerung gering, werden die langfristigen Zinsen sich nur wenig von den kurzfristigen unterscheiden. Die Zinskurve ändert sich von Tag zu Tag. Es gibt theoretisch alle möglichen Formen, aber meistens tritt eine der folgenden Formen auf, die in der Abbildung 5.1 zu sehen sind: ˆ normale (steigende) Zinskurve. ˆ ache Zinskurve. ˆ inverse (fallende) Zinskurve.

131

5 Anleihen rt [%]

normal

6

6 gebuckelt

4

ach invers

2

-

10

20

30

t [Jahre]

Abbildung 5.1: Typische Formen der Zinskurve. ˆ gebuckelte Zinskurve. Jede der typischen Formen der Zinskurve lässt sich ökonomisch deuten. Die normale Zinskurve ist monoton mit der Bindungsdauer steigend, denn die längere Bindungsdauer wird mit einer Liquiditätsprämie und einer Risikoprämie belohnt. Das eingegangene Risiko kann sich beispielsweise in Form einer steigenden Ination zeigen oder gar in einem Ausfall des Schuldners. Die Liquiditätsprämie belohnt den Verzicht über die Verfügung des investierten Kapitals. Im normalen Fall sind die also Zinsen für kurzfristig gebundenes Kapital niedriger als für längerfristige Verpichtungen. Bei einer achen Zinskurve haben die Zinssätze unabhängig von der Bindungsdauer einen festen Wert. Der Markt erwartet dann leicht fallende Zinsen. Von einer inversen Zinskurve spricht man, wenn die kurzfristigen Zinssätze höher sind als die langfristigen. Das tritt nur sehr selten auf und weist darauf hin, dass die Marktteilnehmer mit stark fallenden Zinsen rechnen, z.B. durch Leitzinssenkungen der Zentralbank. Das würde zu Kurssteigerungen besonders bei längerfristigeren Anlagen führen und diese damit vorab schon verteuern, was die entsprechenden Zinsen nach unten drückt. Inverse Zinskurven bedeuten meist nichts Gutes und werden als starker Indikator für eine bevorstehende Rezession gedeutet, da eine Rezession mit fallenden Zinsen verknüpft ist. Manchmal tritt die inverse Zinskurve in besonderen wirtschaftlichen Umständen wie etwa bei der Wiedervereinigung Deutschlands auf. Natürlich kann die Zinskurve jede beliebige Form annehmen. Manchmal kommt es zu einer Buckelform , z.B. wenn die kurzfristige Liquidität von der Notenbank knapp gehalten wird oder wie Anfang 2008 in einer Vertrauenskrise, in der die Banken sich nur sehr restriktiv gegenseitig Geld verliehen.

5.5 Die Diskontierungsfunktion Der Diskontierungsfaktor D(t) für die Laufzeit t gibt den Barwert einer Geldeinheit zum Zeitpunkt t an. Die Diskontierungsfunktion t 7→ D(t) beschreibt den Diskontierungsfak-

132

5.5 Die Diskontierungsfunktion tor in Abhängigkeit von der Laufzeit. Zwischen Diskontierungsfaktor D(t) und Spot-Rate r0t besteht unter der Annahme exponentieller Verzinsung folgender Zusammenhang:

D (t) = (1 + r0t )−t .

(5.8)

Während die Zinskurve Buckel haben kann, ist die Diskontierungsfunktion immer monoton fallend, denn ein späterer Euro ist weniger wert als ein früher, und natürlich muss D(0) = 1 sein, da ein gegenwärtiger Euro nicht diskontiert wird. Wenn man zur Laufzeit t eine Nullkuponanleihe kennt, so ist der Diskontierungsfaktor D(t) direkt aus deren Preis Pt und Nennwert F zu bestimmen:

Pt . F Löst man dann noch (5.8) nach r0t auf, ergibt sich

(5.9)

D (t) =

r0t = D (t)−1/t − 1.

(5.10)

Werden die Preise der Nullkuponanleihen als Kurse mit Nennwert F = 100 oder F = 1.000 angegeben, erhält man 1/t  100 [0] − 1, (5.11) r0t = Pt wobei Pt der Kurs des Diskontpapieres mit Restlaufzeit t ist. Betrachten wir dazu eine Tabelle von Nullkuponanleihen mit Laufzeiten von 0, 25 bis 5, 25 Jahren:

0, 25 Pt D(t) r0t

99, 0242 0, 990242 0, 04

Restlaufzeit in Jahren 1, 25 2, 25 3, 25

95, 2156 0, 952156 0, 04

90, 5708 0, 905708 0, 045

82, 7477 0, 827477 0, 06

4, 25

5, 25

79, 6484 0, 796484 0, 055

77, 4027 0, 774027 0, 05

Hier wurden zunächst aus den Kursen der Nullkuponanleihen die Diskontierungsfunktion und dann die entsprechenden Werte der Zinskurve bestimmt. In der Praxis ist die Bestimmung der Zinskurve nicht so einfach, da es nicht genug Diskontpapiere für alle Laufzeiten gibt. Die Zinstruktur dieses Beispiels ist gebuckelt, da die Zinsen zunächst bis zum Zeitpunkt t = 3, 25 ansteigen und dann wieder abnehmen. Trotzdem ist die Diskontierungsfunktion streng monoton fallend.

Beispiel 5.6. Mit Hilfe der Diskontierungsfunktion kann der Wert eines Portfolios be-

rechnet werden, das nur aus Nullkuponanleihen besteht. Unter der Annahme der obigen Zinsstruktur sei der Wert eines Portfolios zu bestimmen, dass aus 1.000 Nullkuponanleihen mit der Restlaufzeit von 3, 25 Jahren und aus 500 Nullkuponanleihen mit der Restlaufzeit von 5, 25 Jahren besteht. Der Nennwert sei einheitlich 100. Der Wert W des Portfolios ergibt sich zu

W = 1.000 · 82, 7477 + 500 · 77, 4027 = 121.449, 05 Euro.

133

5 Anleihen Beispiel 5.7. Nun sei umgekehrt eine Investorin zu beraten, die 600.000 Euro zu glei-

chen Teilen auf Nullkuponanleihen mit den Restlaufzeiten von 1,25, 2,25 und 5,25 Jahren verteilen will.

Hier gilt es je 200.000 Euro auf drei Nullkuponanleihen mit Kursen von 95, 2156, 90, 5708 und 77, 4027 zu verteilen. Deshalb sind 200.000/95, 2156 = 2.100, 50 Stück von der ersten, 200.000/90, 5708 = 2.208, 21 von der zweiten und 200.000/77, 4027 = 2.583, 89 von der letzten Nullkuponanleihe zu erwerben. Man kann die Aufteilung etwa auf 2.100, 2.208 und 2.584 runden. Das kostet dann W0 = 2.100 · 95, 2155 + 2.208 · 90, 5708 + 2.584 · 77, 4057 = 599.949, 21 Euro. Zinskurven sind nicht statisch, sondern ändern sich durch das Wechselspiel von Angebot und Nachfrage täglich. Die Kunst des Portfoliomanagers besteht darin, zukünftige Verläufe der Zinskurve vorherzusehen. Welche Mehrgewinne mit der richtigen Zusammenstellung des Portfolios zu erzielen sind, zeigt das nächste Beispiel.

Beispiel 5.8. Unter der Annahme, dass in einem halben Jahr die Zinskurve ach bei

r0t = 0, 05 steht, berechne man den neuen Wert des Portfolios. Welche Rendite erzielt die reiche Dame, wenn sie dann alle Anleihen wieder verkauft. Wie hätte sie investieren müssen, wenn sie die neue Form der Zinskurve geahnt hätte? Die ursprüngliche Buckelform hat sich also in diesem halben Jahr zu einer achen Form geglättet, da sich die Zinsen im kurzfristigen Bereich stark erhöht haben. Der neue Wert des Portfolios ist

W0,5 = 2.100 · 1, 05−0,75 · 100 + 2.208 · 1, 05−1,75 · 100 + 2.584 · 1, 05−4,75 · 100 = 610.132, 18, denn die Restlaufzeiten haben sich um ein halbes Jahr veringert und die neue Diskontierungsfunktion lautet D(t) = 1, 05−t . Die Rendite ist 2  2  610.132, 18 W0,5 −1= − 1 = 3, 42 Prozent. r¯ = W0 599.949, 21 Der starke Anstieg der kurzfristigen Zinsen hat die Rendite gehörig gedrückt. Hätte die Dame die neue Form der Zinskurve geahnt, wäre es sinnvoll gewesen, nur die Nullkuponanleihe mit der höchsten Verzinsung zu kaufen, also diejenige mit der Laufzeit 3, 25. Bei einem Kurs von 82, 7477 werden dann 7.251 Stücke zum Gesamtpreis von K0 = 7.251 · 82, 7477 = 600.003, 57 Euro gekauft. Nach einem halben Jahr sind diese Nullkuponanleihen K0,5 = 7.251 · (1, 05)−2,75 · 100 = 634.055, 60 Euro wert. Das ergibt eine satte Rendite von 2  2  634.055, 60 K0,5 −1= − 1 = 11, 67 Prozent. r¯ = K0 600.003, 57 Das Beispiel zeigt sehr schön, dass man auch auf dem Anleihenmarkt viel Geld gewinnen und verlieren kann und dass dies davon abhängt, ob man die Entwicklung der Zinskurve richtig vorhersieht.

134

5.6 Renten

5.6 Renten Renten sind die wichtigste Form der Anleihen. Die am Markt vorherrschenden Bundesan-

leihen, Kommunalobligationen und Pfandbriefe werden als Renten begeben. Jedes Stück hat einen Nennwert und einen Kupon genannten Zinssatz, eine festgelegte Laufzeit und einen oder zwei Termine im Jahr für die Zinsauschüttung. An diesen Terminen zahlt der Emittent Zinsen auf den Nennwert in einer durch den Kupon festgelegten Höhe. Am Ende der Laufzeit wird das Schuldverhältnis durch Rückzahlung des Nennwerts aufgelöst. Die Zinserträge werden in Deutschland in der Regel einmal und in den USA zweimal im Jahr ausgezahlt. Da die Höhe der Zinsleistungen während der ganzen Laufzeit unveränderlich bleibt, werden Renten auch als festverzinsliche Wertpapiere bezeichnet. Das ist etwas unglücklich, da dieser Begri auch anstelle von Anleihen verwendet wird und ähnlich wie das amerikanische xed income alles meint, was nicht Eigentümerrechte verbrieft. Fixed income refers to any type of investment which is not equity, that obligates the borrower/issuer to make payments on a xed schedule, even if the amount of the payments may be variable. Wikipedia (englisch), 15.5.2011. In den angelsächsischen Ländern ist equity der Sammelbegri für jede Art von Eigentümerrechten, xed income genau das Gegenteil, also der Oberbegri für alle Arten von Gläubigerrechten. Kurz und gut, Sie sollte Renten immer Renten und nie festverzinsliche Wertpapiere nennen, aber die Doppeldeutigkeit dieses Begris kennen. Die seltsame Bezeichnung Kupon kommt daher, dass in der guten alten Zeit ein Wertpapier aus Mantel und Bogen bestand. Der Mantel verbrieft die Rechte des Gläubigers, der Kupon berechtigt zur Einlösung der Zinsen. An jedem Zinstermin wurde ein Kupon abgeschnitten und beim Emittent oder dessen Bank eingereicht, Besitzer von Anleihen werden daher in altmodischen Zeitungen wie der FAZ noch immer gerne als Kuponschneider bezeichnet. Bei der Neuemission einer Renten wird der Kupon so gewählt, dass der Nennwert auch der Kaufpreis ist. Renten haben eine lange Laufzeit von fünf bis fünfzig Jahre und sollen zwischenzeitlich übertragbar sein. Da der Kupon unveränderlich ist, muss der Preis sich anpassen und somit vom Nennwert abweichen. Gegen Ende wird der Preis sich aber wieder dem Nennwert nähern, da der Nennwert zurückgezahlt wird. Die Preisndung in Abhängigkeit von den Konditionen der Rente und den Zinsen am Markt wird in diesem Abschnitt behandelt. Zuvor noch ein Beispiel einer typischen Rente.

Beispiel 5.9. Der Bund begab am 20.10.1990 eine Rente mit einer Laufzeit von zehn

Jahren und einem Kupon von 9. Emittent und Ausgabezeitpunkt führen zur Bezeichnung Bund 90 für diese Anleihe, der Sammelbegri für Anleihen dieser SArt ist Bundesanleihe. Der Finanzminister zahlte pro Stück zum Nennwert 100 DM vom 20.10.1991 bis zum 20.10.2000 in jedem Jahr einen Betrag 9 DM aus und tilgte die Schuld am 20.10.2000 zum Nennwert von 100 DM. Der Kupon wurde bei der Ausgabe so festgelegt, dass sich am Markt ein Kaufpreis etwa in der Höhe des Nennwerts bildete. Das Zinsniveau war 1990 sehr hoch wegen der gewaltigen Kosten der deutschen Vereinigung. Am 1.10.1993

135

5 Anleihen hatte ein Stück vom Bund 90 im Nennwert von 100 DM einen Preis von 128,18 DM da seit 1990 die Zinsen stark gefallen waren, der Kupon aber unverändert bei 9 blieb. Fassen wir zusammen: Renten sind Anleihen mit periodischen Zinsleistungen in gleicher Höhe und Rückzahlung zum Nennwert. Jedes Stück einer Rente hat folgende Merkmale: ˆ Den Nennwert oder Nominalwert F , in der Regel ein glatter Betrag wie 100 oder 1.000 Euro, bei den marktbeherrschenden Bundesanleihen seit 1999 nur noch ein Cent. ˆ Die Fälligkeit . An diesem Termin wird der Nennwert vom Schuldner zurückerstattet, manchmal mit einem Auf- oder Abschlag, die Zeit bis dahin nennt man Laufzeit T . ˆ Den tatsächlichen Preis P . Dieser weicht in der Regel vom Nennwert ab. ˆ Dem Kupon p. So wird die auf einen Nennwert von 100 bezogene Zinsleistung genannt. Zinsleistungen beziehen sich immer auf den Nennwert. Bei einem Kupon von 5 und einem Nennwert von 5.000 Euro beträgt die Zinsleistung somit 250 Euro. ˆ Die jährlichen Zinstermine und die Zinsperiode ∆. An den Zinsterminen erfolgt die Ausschüttung der Zinsen, der Abstand zwischen zwei Zinsterminen ist die Zinsperiode. Die Zinsperiode hat in der Regel die Werte 1 oder 1/2. Bei nur einem Zinstermine fällt dieser auf den Tag der Fälligkeit, der eventuell vorhandene zweite liegt ein halbes Jahr später.

5.7 Renten der Bundesrepublik Deutschland Die meisten deutschen Anleihen werden von der Bundesregierung begeben. Zuständig für die Abwicklung sind die Deutsche Bundesbank und die Finanzagentur. Die Finanzagentur ist eine privatwirtschaftliche GmbH im Alleinbesitz der Bundesrepublik Deutschland, vertreten durch das Bundesministerium der Finanzen. Sie ist der zentrale Dienstleister für die Kreditaufnahme und das Schuldenmanagement des Bundes. Die Finanzagentur führt die Emission von Bundeswertpapieren aus und übernimmt im Privatkundengeschäft deren Verwaltung. Bundeswertpapiere können bei der Finanzagentur weitgehend kostenfrei erworben, verwahrt und verwaltet werden. Dafür muss ein so genanntes Schuldbuchkonto eingerichtet werden, das die erworbenen Wertpapiere verzeichnet. Das Schuldbuchkonto lässt sich online bei der Deutsche Finanzagentur einrichten und kostenfrei führen. Sie erreichen die Finazagentur postalisch oder über das Internet: Bundesrepublik Deutschland - Finanzagentur GmbH Lurgiallee 5 D-60295 Frankfurt/Main

136

5.7 Renten der Bundesrepublik Deutschland www.deutsche-nanzagentur.de

5.7.1 Bundesobligationen Bundesobligationen sind Renten mit einer Laufzeit von fünf Jahren ab Emissionszeit-

punkt und einer jährlichen Zinszahlung, der Emittent ist natürlich der Bund. Sofort nach der Erstausgabe werden Bundesobligationen an der Börse gehandelt, die international übliche Abkürzung ist Bobl. Man kann sie bei der Finanzagentur kaufen, benötigt dazu aber ein Schuldbuchkonto. Beim An- und Verkauf über die Börse fallen neben den Bankgebühren noch Eektenprovision, Börsengebühr und Maklercourtage an, wird die Transaktion von der Finanzagentur abgewickelt, entsteht an Kosten nur eine Eektenprovision der Deutschen Bundesbank von 0,4 %. Als Nennwert ist jeder Betrag möglich, da die Mindeststückelung seit 1999 ein Cent ist.

5.7.2 Bundesanleihen Bundesanleihen werden ebenfalls von der Bundesrepublik Deutschland begeben und sind an der Börse gehandelte Renten mit einer Laufzeit von 10 bis 30 Jahren, wobei 10 Jahre die Regel sind. Die Zinszahlung erfolgt jährlich, die Rückzahlung zum Nennwert. Die gebräuchliche Abkürzung ist Bund, gefolgt vom Jahr der Emission. Die Emissionstermine sind meistens der 4.1. oder der 4.7. eines Jahres. Wegen der langen Laufzeit haben Bundesanleihen ein hohes Kursrisiko bei Verkauf weit vor der Fälligkeit, wenn die Kapitalmarktzinsen ansteigen. Kauf und Verkauf von Bundesanleihen erfolgen über die Börse, Privatanleger müssen eine Bank dafür betrauen und neben deren Gebühren noch Eektenprovision, Börsengebühr und Maklercourtage tragen. Anders als bei Bundesobligationen können Bundesanleihen nicht direkt über die Finanzagentur erworben werden. Erworbene Titel können aber in ein bestehendes Schuldbuchkonto bei der Finanzagentur übertragen werden, wofür die ausführende Bank aber Gebühren verlangen kann.

5.7.3 Strippen von Bundesanleihen Unter Stripping einer Rente versteht man das Trennen von Kapitalbetrag und Zinsansprüchen, man überführt damit eine Rente in viele unabhängige Nullkuponanleihen. Genauer beschreibt den Vorgang die Bundesbank in ihrem Bericht vom Juli 1997. Teile davon habe ich stark gekürzt wie folgt zusammengefasst: Der Kapital-Strip und die einzelnen Zins-Strips werden separat gehandelt. Sie stellen wirtschaftlich Nullkuponanleihen dar. So lässt sich beispielsweise eine 10 Jahre laufende Bundesanleihe zerlegen in einen Kapital-Strip als Nullkuponanleihe mit Laufzeit 10 Jahre und zehn Zins-Strips als Nullkuponanleihen mit Laufzeiten von einem Jahr bis 10 Jahren. Dadurch werden Anlagemöglichkeiten in allen Laufzeitbereichen bis 30 Jahre geschaen , obwohl

137

5 Anleihen der Bund nur Renten mit 30, 10, 5 und 2 Jahre sowie 6 Monate ausgibt. Mit Strips können nun auch Anlegerwünsche nach zum Beispiel 27- oder 15jähriger Laufzeit befriedigt werden, und in den kürzeren Fristen, für die Restläufer am Markt sind, wird das Angebot dadurch verbreitert, also genau das, was internationale institutionelle Anlegern vom Bund erwarten.

5.8 Vergleich von Renten und Nullkuponanlagen Diesen Vergleich habe ich ebenfalls im Monatsbericht vom Juli 1997 der Deutschen Bundesbank gefunden und zitiere ihn ohne Einrückung. Nullkuponanleihen haben nur eine Auszahlung bei Endfälligkeit und befreien so den Investor vom Problem der Wiederanlage von Kuponzahlungen. Nullkuponanleihen sind daher ideal für Investoren, die künftige Zahlungsströme exakt steuern möchten. Dies gilt zum Beispiel für den Fall, dass eine Versicherungsleistung oder Pensionsverpichtung zu einem festgelegten Zeitpunkt durch Einmalzahlung erbracht werden muss. Bei den üblichen Kuponanleihen stellt sich regelmäÿig das erwähnte Problem der Wiederanlage von Zinszahlungen zu im Voraus nicht bekannten Zinssätzen. Bei kupontragenden Anleihen ist es nur mit kalkulatorischen Annahmen über die Wiederanlage der Kuponzahlungen möglich, schon zum Zeitpunkt der Investition die rechnerische Eektivverzinsung einer Anleihe zu ermitteln. Da die Wiederanlagerendite im Voraus nicht bekannt ist, wird die im Kaufzeitpunkt errechnete Rendite bis Endfälligkeit von der erst ex post feststellbaren tatsächlichen Rendite abweichen. Bei Nullkuponanleihen wird dagegen die im Kaufzeitpunkt errechnete Rendite auch tatsächlich realisiert, sofern die Anleihe bis zur Fälligkeit gehalten wird. Bei Nullkuponanleihen ist die Duration immer gleich der Restlaufzeit. Dadurch reagiert ihr Kurs stärker auf Zinsänderungen als der Kurs von kupontragenden Anleihen gleicher Restlaufzeit, die aufgrund der periodisch anfallenden Zinszahlungen eine geringere Duration aufweisen. Wegen dieser Hebelwirkung sind Nullkuponanleihen daher besonders attraktiv für risikobereite Investoren. Da Nullkuponanleihen bei gleicher Laufzeit eine höhere Duration und damit eine gröÿere Konvexität) als kupontragende Anleihen aufweisen, lässt sich mit Nullkuponanleihen die Zinsreagibilität von Portfolios besonders eektiv steuern. Für inländische Privatanleger können Nullkuponanleihen auch unter steuerlichen Gesichtspunkten interessant sein. Da der für die Einkommensteuer beziehungsweise den Zinsabschlag maÿgebende Kapitalertrag grundsätzlich aus der Dierenz zwischen Erwerbs- und Verkaufspreis (bzw. Einlösungsbetrag) ermittelt wird, kann ein Anleger den Kapitalertrag durch Auswahl einer Nullkuponanleihe mit der entsprechenden Fälligkeit beziehungsweise durch ihren Verkauf in einen Zeitraum fallen lassen, in dem es für ihn steuerlich günstig ist. Er kommt zudem in den Genuss eines Steuerstundungseekts. Nullkuponanleihen eignen sich so zum Beispiel in besonderer Weise zur Altersvorsorge, weil im Ruhestand der Spitzensteuersatz in aller Regel unter dem Spitzensteuersatz des Erwerbslebens liegt.

138

5.9 Kaufpreis einer Rente

5.9 Kaufpreis einer Rente Der Käufer einer Rente erhält periodisch Zinsen und am Ende wird die Schuld zum Nennwert getilgt. Der Nominalzinssatz wird oft Kupon genannt und wurde bei der Ausgabe so festgelegt, dass ein Kaufpreis etwa in der Höhe des Nennwerts erzielbar war. Mit der Zeit verändert sich aber die Zinskurve und damit der Wert des Rentenpapiers. Steigen die Zinsen über den Wert des Kupons, werden andere Marktteilnehmer das Papier nur mit einem Abschlag kaufen, während bei fallenden Zinsen der Verkäufer einen Zuschlag zum Nennwert fordern wird. Die Preise von Renten bilden sich täglich am Rentenmarkt durch Angebot und Nachfrage, veröentlicht werden aber Kurse , die den Prozentsatz angeben, der für eine Einheit mit Nennwert 1 zu zahlen ist. Die Kurse sind aber nicht direkt proportional zum Kaufpreis, da sie nicht den Anteil an der noch ausstehenden Zinszahlung enthalten, der dem bisherigen Besitzer zusteht.

5.9.1 Stückzinsen und Wertstellung Wird eine Rente nicht an einem Zinstermin erworben, muss der Käufer dem Verkäufer einen Teil der zum nächsten Zinstermin ausgeschütteten Zinsen erstatten, die so genannten Stückzinsen . Das liegt daran, dass der Emittent zum Zinstermin dem dann aktuellen Eigentümer der Rente den Zinsertrag der gesamten Zinsperiode ausschüttet; Stückzinsen sind also gerade der Anteil an diesem Zinsertrag, der beim Kauftermin bereits angefallen war. Die Stückzinsen werden über die Formel der einfachen Verzinsung nach der Zinsmethode ACT/ACT ICMA bestimmt. Betrachten wir wieder die Anleihe Bund 90 bei Kauf im Nennwert von 100 EUR. Dann fallen am 1.10.93 Stückzinsen im Wert von

9·

346 = 8, 53 365

an, so dass insgesamt ein Betrag von P = 116.65 + 8.53 = 125, 18 DM zu zahlen ist. Der Kaufpreis ergibt sich also aus der Summe von Kurs und den Stückzinsen. Stückzinsen werden im Kurs nicht aufgeführt, da sie in vorhersehbarer Weise täglich bis zum nächsten Zinstermin wachsen. Deshalb sind nur durch die Angabe der Kurse ohne Stückzinsen Vergleiche möglich und tatsächliche Wertveränderungen zu erkennen. In der folgenden Tabelle sind für den 13.5.2011 die Kennzahlen einiger Renten des Bundes aufgeführt. In der letzten Spalte stehen die um die Stückzinsen erhöhten Kurse. Es ist ein Auszug einer Tabelle, die täglich unter www.deutsche-nanzagentur.de veröentlicht wird. Die Abkürzungen Bund und BO stehen für Bundesanleihen und Bundesobligationen. Gleich die erste Zeile lieÿ mich zweifeln, denn ich erhielt für die auf den Nennwert von 100 bezogenen Stückzinsen SZ ein anderes Ergebnis

SZ = 4, 5 ·

129 = 1, 59, 365

139

5 Anleihen

WKN 113521 114155 113449 113534 113514

Tabelle 5.1: Kenndaten einiger Bundesanleihen am 13,5.2011. Kupon Bezeichnung Fälligkeit Kurs Rendite Kurs + Stückzinsen 4,500 2,500 5,625 4,000 6,250

Bund 03 BO S 155 Bund 86 Bund 07 Bund 00

04.01.2013 10.10.2014 20.09.2016 04.01.2018 04.01.2030

104,565 101,250 114,900 107,340 134,870

1,64 2,11 2,60 2,77 3,64

106,205 102,750 118,583 108,798 137,147

da nach meiner Rechnung 129 Tage zwischen der letzten Kuponzahlung am 4.1.2011 und dem 13.5.2011 liegen. Bilde ich aber die Dierenz zwischen 106,205 und 104,565, so erhalte ich 1,64. Am 17.5..2011 lag der Kurs der Anleihe Bund 03 bei 104,505, der Kurs einschlieÿlich Stückzinsen bei 106,169 und die Rendite vor Steuern bei 1,67. Nach meiner Rechnung waren nun Stückzinsen für 133 Tage fällig und damit Stückzinsen in Höhe von 1,64 zu leisten, während die Tabelle auf 1,664 kommt. Die höheren Stückzinsen rühren daher, dass zwischen Kaufdatum und Abwicklung des Geschäfts, der so genannten Wertstellung , zwei Bankarbeitstage liegen. Bei Kauf an einem Montag, Dienstag oder Mittwoch wird das Geschäft zum Kaufkurs zwei Tage später abgewickelt, daher werden zwei Tage mehr für die Stückzinsen angerechnet. Bei Kauf an einem Donnerstag oder Freitag verzögert sich die Wertstellung sogar um vier Tage. Ein am 13.5.2011, einem Freitag, abgeschlossener Verkauf des Bund 03 wird also mit dem Kurs vom 13.5.2011 und Stückzinsen bis zum 17.5.2001 durchgeführt.

5.9.2 Kaufpreisformeln In der Regel geht ein Käufer von Anleihen nicht von einem Nennwert F , sondern von einem Anlagebetrag P aus, den er bereit ist zu investieren. Der Betrag P enthält die Stückzinsen und zieht den Erwerb von Anleihen zum Nennwert F nach sich. Die späteren Zahlungen für Kupon und Tilgung richten sich natürlich nach dem Nennwert. Es gilt

P = F (C + pδ),

(5.12)

wobei C der Kurs, p der Kupon und δ die Zeit zwischen der vorangegangenen Zinszahlung und dem Tag der Wertstellung sind. Löst man diese Gleichung nach F auf, ergibt sich

F =

140

P . C + pδ

(5.13)

5.10 Renditen von Renten

5.10 Renditen von Renten Neben dem Kurs wird bei Renten auch immer die Rendite angegeben, inzwischen auch in der deutschen Literatur manchmal yield to maturity genannt. Die Rendite wird über die Methode des internen Zinssatzes berechnet, wobei Zeitabstände entsprechend der PAngV bestimmt werden. Bezogen auf einen Nennwert von 100 treten bei einer Rente folgende Zahlungen auf: Kurs (Clean Price): Kupon: Zeit bis zur nächsten Kuponzahlung (nach ACT/ACT oder PAngV) Abgelaufene Zeit der Zinsperiode (nach ACT/ACT) Kurs plus Stückzinsen (Dirty Price) Restlaufzeit (Nach PAngV) Anzahl oener Kuponzahlungen Nennwert: Kaufpreis:

C p τ δ DP = C + pδ T = τ + n−1 m n F P

Kaufpreis und Nennwert hängen über die Formel (5.12) zusammen. Der Kurs C wird auch als Clean Price und der um die Stückzinsen erhöhte Kurs wird als Dirty Price bezeichnet. Es ergibt sich folgender Zahlungsstrom:

−P

Fp m

Fp m

···

Fp m

···

Fp m

Fp m

+F -t

−δ

0

τ

τ+

1 m

···

τ+

k−1 m

···

τ+

n−2 m

τ+

n−1 m

Abbildung 5.2: Zahlungsstrom einer Rente. Bei m Kuponzahlungen im Jahr hat die Rentenperiode die Länge ∆ = 1/m und jede Auszahlung den Wert F p/m. Eigentlich müsste die Summe von τ und δ die Rentenperiode 1/m ergeben, aber es kann zu geringfügigen Abweichungen kommen, wenn unterschiedliche Zinsmethoden verwendet werden, etwa ACT/ACT für δ und PAngV für τ . Der Barwert setzt sich aus dem Barwert der Rente, der Rückzahlung zum Nennwert von F am Ende der Laufzeit T und dem Kaufpreis −P zusammen: ! n/m (1 + r) − 1 p · +1 (5.14) N P V (r) = −P + F (1 + r)−T m (1 + r)1/m − 1 Bei Bundesanleihen ist m = 1. Die Nullstelle der Nettobarwertfunktion ist die Rendite der Anleihe. Ich habe für den Sonderfall m = 1 ein Excelformular erstellt, dass die Netoobarwertfunktion und alle dafür nötigen Hilfsgröÿen bestimmt. Die Nullstelle der Nettobarwertfunktion wird über die Zielwertsuche durchgeführt. Abgebildet ist Bund 03 mit einem Kupon von p = 0, 045 und Fälligkeit 4.1.2013 sowie dem Kurs von C = 104, 52% am 18.5.2011, dem Handelstag. Dies war ein Dienstag, somit

141

5 Anleihen 1 2 3 4 5 6 7 8

A Kaufpreis 10.619,67

B Kurs 104,52000%

Voriger Zinstermin Wertstellung 04.01.11 20.05.11 Nennwert 10.000,00

Stückzinsen 167,67

C Kupon p 4,50%

D Fälligkeit 04.01.13

E Handelstag 18.05.11

F Kalkulationszinssatz r 2,00000%

n 2

T 1,621689

δ 0,372603

Kontrolle 1,994292

Zinsen 450,00

NPV( r) -55,43

Kurs + Stückzinsen (%) 106,19671%

Abbildung 5.3: Ein Formular für Bundesanleihen. wird das Geschäft am 20.5.2011 abgewickelt. Der dem Kauf vorhergehende Zinstermin war der 4.1.2011. Der Verkäufer erhält noch bis zum 20.5.2011 Stückzinsen, wobei als Zinsmethode ACT/ACT verwendet wird. Dies ergibt die Zeit δ = 136/365 = 0, 372603, da zwischen beiden Terminen 136 Tage liegen. Bei einem Nennwert von 100 % sind dann Stückzinsen im Wert von δp = 1, 67671% fällig, die dem Kurs zugeschlagen werden und den dirty price ergeben. Dieser Wert ist der prozentuale Preis bezogen auf den Nennwert, im Beispiel 106,19671 %. Zum Kauf im Nennwert von 10.000 Euro sind dann 10.619.67 Euro zu zahlen. Die Gegenleistung besteht in zwei Zinszahlungen von 450 Euro am 4.1.2012 und am 4.1.2013 sowie der Rückzahlung des Nennwerts von 10.000 Euro am 4.1.2013. Für die Rendite wird die Restlaufzeit T vom Tag der Wertstellung bis zur Fälligkeit benötigt. Diese müsste in Deutschland nach PAngV berechnet werden, also T = 19/12 + 14/365 = 1, 621689498. Eigentlich müssten sich T und δ zu n addieren, da aber zwei verschiedene Zinsmethoden verwendet wurden, kommt nicht genau n heraus, siehe die Zelle F5. Viele Anwender sind nicht so pingelig wie ich und verwenden T = n − δ , etwa der Renditerechner der Börse Stuttgart, wo auch die Stückzinsen falsch berechnet werden. Die Finanzagentur rechnet meiner Meinung nach auch falsch, dort werden die Stückzinsen nur bis zum Handelstag berücksichtigt. In der Zelle D8 steht der Nettobarwert bezogen auf den Kaufpreis für den Kalkulationszinssatz von hier 2 %. Der negative Wert von ungefähr 55 Euro besagt, dass die Rendite geringer als 2 % ist. Die Nettobarwertfunktion ist in diesem Beispiel # " (1 + r)2 − 1 −1,621689 +1 . N P V (r) = −10.619, 67 + 10.000 (1 + r) 0, 0450 r Die Rendite ist die Nullstelle der Nettobarwertfunktion, die Zielwertsuche von Excel liefert als Lösung r¯ = 1, 663%. Ein vergleichbares Rechenformular ist unter https://www.boerse-stuttgart.de/de/toolsundservices/renditerechner/rechner.html zunden.

5.10.1 Beispiele zur Renditeberechnung von Renten Beispiel 5.10. In der folgenden Tabelle sind zwei Renten des Bundes mit einer Restlaufzeit von jeweils genau drei Jahren gegenübergestellt. Die erste Rente ist eine zehnjährige,

142

5.10 Renditen von Renten am 20.9.1986 emittierte Anleihe, Bund 86, mit einem Kupon von 5,50, die zweite eine Bundesobligation, Serie 97 von 1991, die am 20.9.1991 ausgegeben wurde und wie die zehnjährige Anleihe am 20.9.1996 zur Tilgung fällig wird. Es sei an dieser Stelle nochmals daran erinnert, dass Bundesanleihen am Anfang eine Laufzeit von zehn Jahren und Bundesobligationen eine Laufzeit von fünf Jahren haben. Man berechne jeweils die Renditen. Rente

Kurs am 16.9.93

Kupon

Rendite

99,80 107,50

5,50 8,50

5,57 5,71

Bund 86 Serie 97 von 91

Der 16.9.1993 war ein Donnerstag, die Wertstellung erfolgte also am Montag, den 20.9.1993, dem Zinstermin. Also sind keine Stückzinsen zu zahlen. Die Nettobarwertfunktionen lauten bezogen auf einen Nennwert von 100 Euro ! # " 3 (1 + r) − 1 + 100 Bund 86, N P V (r) = −99, 80 + 100 (1 + r)−3 0, 0550 r " ! # (1 + r)3 − 1 −3 N P V (r) = −107, 5 + 100 (1 + r) 0, 0850 + 100 Serie 97 von 91, r und sind in der Tabelle eingetragen. Verblüenderweise sind die Renditen geringfügig unterschiedlich, obwohl der Emittent jeweils der Bund ist und die Restlaufzeiten auf den Tag genau gleich lang sind. Beide Papiere unterscheiden sich aber beim Kurs und bei den Kuponzahlungen. Oensichtlich rühren die unterschiedlichen Renditen von den Höhen der Kuponzahlungen und dem Verlauf der Zinskurve. Darauf komme ich später noch.

Beispiel 5.11. Verfolgen wir nun die oben beschriebene Rente Bund 86 bis zum Freitag den 1.10.1993, wo sie einen Kurs von 99,85 hatte. Ein Käufer investiert genau 20.000 Euro. Berechnet werden sollen die Nettobarwertfunktion, der spezielle Wert für 6,5 % und die Rendite. Da nun der Erwerbstag nicht zufällig ein Zinstermin ist, gehen in die Gleichung für die Nettobarwertfunktion (5.14) noch die Stückzinsen ein. Der letzte Zinstermin war der 20.9.1993, der Valutatag der 5.10.1993 und somit fallen für 15 Tage Stückzinsen von S = 5, 50 ·

15 = 0, 22603% 365

an, wodurch der dirty price

C + S = 99, 85 + 0, 22603 = 100, 07603% wird. Für 20.000 Euro wird somit ein Nennwert von

F = 20.000/1, 0007603 = 19.984, 81 DM

143

5 Anleihen erworben. Die Restlaufzeit T nach PAngV ist

T = 35/12 + 15/365 = 2, 957762557 Es stehen noch n = 3 Kuponzahlungen aus. Die Nettobarwertfunktion ist somit

" −2,957762557

N P V (r) = −20.000 + 19.984, 81 (1 + r)

# (1 + r)3 − 1 +1 . 0, 0550 r

Setzt man wie gefordert den Wert 6,5 % ein, erhält man

N P V (0, 065) = −492, 67 DM, d.h. es ergibt sich beim Kauf der Rente ein Verlust von 492,67 DM im Vergleich zu einer Anlage zu 6,5 %. Somit muss die Rendite kleiner als 6,5 % sein. Die Rendite ist die Nullstelle der Nettobarwertfunktion, die Zielwertsuche von Excel liefert als Lösung r¯ = 5, 556% ergibt.

5.10.2 Der Current Yield von Renten Neben der Rendite wird bei Renten oft noch der so genannte current yield angegeben. Dieses Maÿ ist nicht sehr aussagekräftig, wegen seiner Verbreitung sei es aber doch erwähnt. Man deniert den current yield als Verhältnis des Kupons zum Kurs. Am 20.9.93 hatte die Anleihe Bund 86 einen Kurs von 99,8 und einen Kupon von 5,5, die Bundesobligation 97 von 91 einen Kurs von 107,5 und einen Kupon von 8,5. Somit ist für 5,5 = 5.51 Prozent und für die Obligation entsprechend den Bund 86 der current yield 99,8 8,5 = 7, 90 Prozent. Der current yield weicht hier weit von der Rendite ab, weil der 107,5 Kursverlust den die Obligation bei gleich bleibenden Marktzinsen erleidet hier nicht berücksichtigt wird! Dieses Maÿ ist also mit groÿer Vorsicht zu interpretieren und darf nicht mit der Rendite verwechselt werden.

5.11 Kurse von Renten Bisher wurde der Kaufpreis einer Rente als Ergebnis des Spiels von Angebot und Nachfrage aufgefasst. Jetzt soll untersucht werden, wie sich der Preis am Markt bildet. Da das Marktgeschehen weitgehend von Anlegern wie Banken und deren Groÿkunden beherrscht wird, verzichte ich auf die zweitägige Frist zwischen Handelstag und Wertstellung und berechnen die Stückzinsen nur bis zum Handelstag. Auÿerdem wird als einzige Zinsmethode ACT/ACT vorgesehen. Ich werde den Kurs inklusive Stückzinsen Kaufkurs (Dirty Price) nennen, die Bezeichnungen C , DP , δ , T und p gelten wie bisher für Kurs (Clean Price), Kaufkurs (Dirty Price), abgelaufene Zeit der gegenwärtigen Zissperiode, Restlaufzeit und Kupon.

Kurs, Kaufkurs und Kupon werden im folgenden immer auf einen Nennwert von 100 bzw. 1.000 bezogen, es wird also in Zinsfüÿen und nicht in Zinssätzen gerechnet!

144

5.11 Kurse von Renten In der Tabelle des Abschnitts 5.10.1 auf Seite 142 sind zwei Renten des Bundes mit einer Restlaufzeit von jeweils genau drei Jahren gegenübergestellt. Verblüenderweise sind die Renditen geringfügig unterschiedlich, obwohl der Emittent jeweils der Bund ist und die Restlaufzeiten auf den Tag genau gleich lang sind. Beide Papiere unterscheiden sich nur beim Kurs und bei den Kuponzahlungen. Oensichtlich rühren die unterschiedlichen Renditen von den Höhen der Kuponzahlungen und dem Verlauf der Zinskurve. Es sei an die Diskussion über die Zeitabhängigkeit der Zinsen erinnert. Für jede Zeit t gibt es einen Spot-Rate genannten Zinssatz r0t , womit eine zum Zeitpunkt t fällige Zahlung abgezinst wird. Für die beiden Anleihen sind aus der Sicht des 20.9.93 noch drei Zahlungstermine im Abstand von genau einem Jahr zu berücksichtigen. Die eine Rente hat einen Kurs von 99,80 und einen Kupon von 5,50, während die andere einen Kurs von 107,50 und einen Kupon von 8,50 hat. Da an Zinsterminen keine Stückzinsen anfallen, sind die Kurse auch gleichzeitig die Kaufkurse. Kaufkurse, Kupon und die Spot-Rates r01 , r02 sowie r03 hängen damit wie folgt zusammen:

99, 8 = 5, 50 (1 + r01 )−1 + 5, 50 (1 + r02 )−2 + 105, 50 (1 + r03 )−3 , 107, 5 = 8, 50 (1 + r01 )−1 + 8, 50 (1 + r02 )−2 + 108, 50 (1 + r03 )−3 . Die Kaufkurse leiten sich also von der Zinskurve ab. An deren Stelle wird aus mathematischen Gründen meistens die Diskontierungsfunktion

D(t) = (1 + r0t )−t verwendet. Verfolgen wir die Rente Bund 86 weiter bis zum 1.10.1993. Der Kurs war auf 99,85 11 = 0, 17 an, wodurch der gestiegen und es fallen für elf Tage Stückzinsen von 5, 50 · 365 Kaufkurs (99, 85 + 0, 17) = 100, 02 wird. Für die Kursgleichung werden die Spot-Raten 11 11 11 r0t für t = 1 − 365 ≈ 0, 97, t = 2 − 365 ≈ 1, 97 und t = 3 − 365 ≈ 2, 97 benötigt. Verwendet man die Diskontierungsfunktion D (t) so gilt

100.02 = 5, 50 · (D (0, 97) + D (1, 97)) + 105, 50 · D (2, 97) . Die allgemeine Vorgehensweise zur Berechnung des Kaufkurses und des Kurses eines Rentenpapiers ist wie folgt. 1. Bestimme entsprechend der in den Vertragsbedingungen festgelegten Zinsmethode die Zeit δ vom letzten Zinstermin zum Kauftag. 2. Zähle die Anzahl n der noch oenen Kuponzahlungen. Dann gelten für den Kaufkurs DP und den Kurs C :

DP =p [D(1 − δ) + D(2 − δ) + · · · + D(n − 1 − δ)] + [p + F ] D(n − δ) C =P − p · δ,

(5.15) (5.16)

wobei F den Nennwert und p den auf den Nennwert bezogenen Kupon des Rentenpapiers bezeichnen. Die Stückzinsen ergeben sich aus S = p · δ , die Restlaufzeit ist T = n − δ .

145

5 Anleihen Beispiel 5.12. Betrachten wir nun die folgenden Werte einer Zinskurve:

0, 25 r0t D(t)

0, 04 0, 990242

Restlaufzeit in Jahren 1, 25 2, 25 3, 25

0, 04 0, 952156

0, 045 0, 905708

0, 06 0, 827477

4, 25 0, 055 0, 796484

Es wird der Kaufkurs und der Kurs einer Rente mit Kupon von p = 5 und einer Restlaufzeit von 4,25 Jahren berechnet. Der Nennwert ist oensichtlich F = 100. Zusätzlich wird die Rendite und der current yield ermittelt. Hier sind Stückzinsen für ein Dreivierteljahr zu zahlen, da der Erwerbszeitpunkt einviertel Jahr vor dem nächsten und ein ein Dreivierteljahr nach dem vorhergehenden Zinstermin liegt. Somit sind δ = 0, 75 sowie S = 5 · 0, 75 = 3, 75. Für eine Rente mit einem Kupon von p = 5, einem Nennwert von 100 und einer Restlaufzeit von T = 4, 25 Jahren ergibt sich für den Kaufkurs DP und den Kurs C :

DP = 5 (0, 990242 + 0, 952156 + 0, 905708 + 0, 827477) + 105 · 0, 796484 = 102, 008735 C = DP − pδ = 98, 258735 Die Rendite r¯ ist Nullstelle der Nettobarwertfunktion "

N P V (r) = −102, 08735 + 100 (1 + r¯)−4,25

(1 + r¯)5 − 1 +1 0, 05 r¯

#

mit der Lösung r¯ = 5, 463 Prozent. Für den current yield rcy ergibt sich:

rcy =

5 = 5, 0886 Prozent. 98, 258735

Das ist weit entfernt von der tatsächlichen Rendite. Wir halten folgende wichtige Ergebnisse fest: ˆ Der Kurs einer Rente wird durch die Spot-Raten r0t bzw. durch die Diskontierungsfunktion D(t) bestimmt. ˆ Die Rendite berechnet sich danach aus dem Kaufpreis.

5.12 Berechnung der Zinskurve Die Zinskurve t 7→ r0t spielt bei Renten eine so überragende Rolle, dass im folgenden Abschnitt eine einfache Methode ihrer Berechnung vorgestellt wird.

146

5.12 Berechnung der Zinskurve

5.12.1 Exakte Berechnung In einem Markt mit ausreichend vielen Nullkuponanleihen könnten die Spot-Raten aus den Kursen errechnet werden. Betrachten wir dazu ein weiteres Mal die schon vertrauten Anleihen Bund 86 und die Obligation Serie 97, und zwar am 20.9.93, einem gemeinsamen Zinstermin: Datum

20.9.93

Anleihe

Kurse

Bund 86 Serie 97

99, 8 107, 5

20.9.94

20.9.95

20.9.96

Einnahmen

5, 5 8, 5

5, 5 8, 5

Rendite

105, 5 108, 5

5,574 5,709

Beide Renten haben eine Restlaufzeit von jeweils genau drei Jahren und der der Emittent ist jeweils der Bund, trotzdem sind die Renditen geringfügig unterschiedlich. Oensichtlich rühren die unterschiedlichen Renditen von den Höhen der Kuponzahlungen und dem Verlauf der Zinskurve. Für jede Zeit t gibt es einen Spot-Rate genannten Zinssatz r0t , womit eine zum Zeitpunkt t fällige Zahlung abgezinst wird. Für die beiden Anleihen sind aus der Sicht des 20.9.93 noch drei Zahlungstermine im Abstand von genau einem Jahr zu berücksichtigen. Wir benötigen also r01 , r02 und r03 . Dann ergibt sich aus den obigen Werten:

99, 8 = 5, 50 (1 + r01 )−1 + 5, 50 (1 + r02 )−2 + 105, 50 (1 + r03 )−3 , 107, 5 = 8, 50 (1 + r01 )−1 + 8, 50 (1 + r02 )−2 + 108, 50 (1 + r03 )−3 . Liegen die Termine nicht wie hier zufällig auf Zinsterminen, müssen in den Gleichungen noch die Stückzinsen berücksichtigt werden. In unserem Beispiel, wo man zwei Papiere mit gleichen Restlaufzeiten hat, kann man die längste Spot-Rate, in diesem Fall r03 , direkt berechnen. Die erste Gleichung wird mit 8,50, die zweite mit 5,50 multipliziert und dann von der ersten subtrahiert. Dann fallen die mittleren Terme weg, und es ergibt sich:

99, 8 · 8, 50 − 107, 5 · 5, 50 = (8, 50 · 105, 50 − 5, 50 · 108, 50) (1 + r03 )−3 , 257, 05 = (1 + r03 )−3 300, wofür man die Spot-Rate r03 = 5, 285 Prozent erhält. Findet man noch je zwei Renten des Bundes mit Restlaufzeiten von genau zwei bzw. genau einem Jahr, so kann man entsprechend r02 und r01 bestimmen. Soviele Renten gibt es aber nicht eimal in den USA. Die Spot-Raten müssen durch Regression aus den Kursen aller am Markt vorhandenen Anleihen berechnet werden.

5.12.2 Berechnung durch Regression Wie schon erwähnt, berechnet man nicht r0t , sondern zuerst die Diskontierungsfunktion D (t). Dazu betrachtet man eine groÿe Zahl von Renten des Bundes mit allen möglichen

147

5 Anleihen Restlaufzeiten. Für jede Rente ist am Ende des Börsentages der Kurs bekannt, zu diesem addiert man noch die Stückzinsen und erhält so den Kaufpreis Pi der Rente i. Für diese Rente seien noch ni Zinstermine ti,k mit Kuponzahlungen pi und die Tilgung zum Zeitpunkt ti,ni oen. Dann gilt

Pi = p i

ni X

D (ti,k ) + 100 · D (ti,ni )

k=1

Man überlegt sich leicht, dass D (t) eine monoton fallende Funktion ist. Daher setzt man an 1 1 D (t) = a0 + a1 + a2 2 t t woraus sich ! ! ni ni X X 100 p 100 p + a1 + + a2 + ε i Pi = (ni pi + 100) a0 + ti,k ti,ni t2i,k t2i,ni k=1

k=1

ergibt. Dabei wurde der Fehlerterm εi eingeführt, da die Anzahl der Renten weit gröÿer als drei ist. Die Koezienten am lassen sich dann durch lineare Regression bestimmen. Für die bereits erwähnte Rente Bund 86 war am 1.10.1993 ein Kaufpreis von 100, 02 fällig, ni = 3 und ti,1 = 0, 97, ti,2 = 1, 97 sowie ti,3 = 2, 97 . Die entsprechende Gleichung lautet daher     1 1 1 100 100, 02 = a0 (3 · 5, 5 + 100) + a1 5, 5 + + + 0, 97 1, 97 2, 97 2, 97     1 1 100 1 + + +a2 5, 5 + + εi 2 2 2 0, 97 1, 97 2, 97 2, 972 Vereinfacht ergibt sich

100, 02 = 116, 5 · a0 + 44, 2551208 · a1 + 19, 52927308 · a2 + εi Führt man diese Rechnung für alle im Markt bendlichen Anleihen durch, hat man ein überbestimmtes Gleichungssystem für die Koezienten a0 , a1 und a2 , das man durch die Methoden der kleinsten Fehlerquadrate löst. In der Praxis wird man einen allgemeineren Ansatz für die Diskontierungsfunktion D(t) vornehmen, hier sollte nur das Grundprinzip erläutert werden.

5.13 Arbitrage Unter Arbitrage versteht man einen risikofreien Gewinn ohne Einsatz von Kapital. Arbitragegewinne könnten z.B. durch falsch festgesetzte Wechselkurse dadurch entstehen, dass man einen Euro nacheinander in andere Währungen umtauscht und am Ende beim Rücktausch mehr als einen Euro besitzt. Ein Beispiel von Arbitrage bei Anleihen sei an den bereits mehrfach erwähnten Renten Bund 86 und Serie 97 von 91 und einer Nullkuponanleihe des Bundes zum 20.9.93 in folgender Tabelle veranschaulicht

148

5.13 Arbitrage Datum

20.9.93

Anleihe

Kurse

Bund 86 Serie 97 Zero

99, 80 107, 50 85, 68

20.9.94

20.9.95

20.9.96

Einnahmen

5, 5 8, 5

5, 5 8, 5

105, 5 108, 5 100

Arbitragemöglichkeiten lassen sich bei Anleihen wie in obiger Tabelle immer ganz leicht daran erkennen, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, eine der Spot-Rates zu berechnen und jede Berechnung zu einem anderen Wert führt. Sind dagegen alle Werte bis auf Rundungsfehler gleich, liegt keine Arbitragesituation vor. Die Daten der Tabelle führen zu folgenden Gleichungen:

99, 80 = 5, 50 (1 + r01 )−1 + 5, 50 (1 + r02 )−2 + 105, 50 (1 + r03 )−3 , 107, 50 = 8, 50 (1 + r01 )−1 + 8, 50 (1 + r02 )−2 + 108, 50 (1 + r03 )−3 , 85, 68 = 100, 00 (1 + r03 )−3 . Die erste Gleichung wird mit 8,50, die zweite mit 5,50 multipliziert und dann von der ersten subtrahiert. Dann fallen die mittleren Terme weg, und es ergibt sich

257, 05 = 300, 00 (1 + r03 )−3 , 85, 68 = 100, 00 (1 + r03 )−3 . Löst man diese Gleichungen nach r03 auf, erhält man

1/3 300 − 1, = 257, 05  1/3 100 = − 1. 85, 68 

r03 r03

Kommen sehr unterschiedliche Werte heraus, gibt es Arbitrage. Das ist hier nicht der Fall, da sich jedesmal ungefähr 5,28 Prozent ergibt. Auch ohne die Auösung nach r03 lässt sich auf Arbitrage schlieÿen. Durch die Kombination des Kaufs von 8,5 Stück von Bund 86 bei gleichzeitigem Verkauf von 5,5 Stück der Serie 97 von 91 wird eine Nullkuponanleihe gebildet, deren Endwert 300 ergibt, denn

300 = 8, 5 · 105, 5 − 5, 5 · 108, 5. Bei dieser Kombination heben sich die zwischenzeitlichen Kupons gerade auf. Diese Technik wird Bond-Stripping genannt, obwohl es sich ja eigentlich um Kupon-Stripping handelt, was aber weniger anzüglich klingt. Der Preis P dieser nachgebildeten Nullkuponanleihe muss somit

P = 8, 5 · 99, 8 − 5, 5 · 107, 5 = 257, 05

149

5 Anleihen sein. Teilt man Anschafungs- und Endpreis durch 3, wird eine Nullkuponanleihe mit Nennwert 100 erzeugt, deren Preis muss dann mit dem Preis der normalen Nullkuponanleihe übereinstimmen. Wäre aber der Preis der Nullkuponanleihe deutlich unter 85,68, etwa 85, könnten aufmerksame Marktteilnehmer das ausnutzen. Durch den Verkauf 8,5 Stück der Rente Bund 86 und gleichzeitigem Kauf von 5,5 Stück der Obligation sowie drei Stück der Nullkuponanleihe wird ein Gewinn von

G = 8, 5 · 99, 80 − 5, 5 · 107, 50 − 3 · 85 = 2, 05 erzielt. Da sich in der Folgezeit Einnahmen und Ausgaben gegenseitig aufheben, wird somit ohne Einsatz von Geld Gewinn gemacht, was man im blumigen Jargon der Amerikaner free lunch nennt, also ein freies Mittagsessen. Wäre umgekehrt der Preis der Nullkuponanleihe deutlich höher als 85,68, könnte man risikolos ohne Geld einzusetzen durch Kauf des Bund 86 bei gleichzeitigem Verkauf der Bundesobligation und der Nullkuponanleihe Gewinne erzielen. Ein funktionierender Markt wird Arbitragegewinne nur für eine sehr kurze Dauer zulassen. In der Praxis sind Arbitragemöglichkeiten auch schwerer zu erkennen, da nur in Ausnahmefällen die Zinstermine unterschiedlicher Anleihen auf denselben Termin fallen. Bei Kenntnis der Diskontierungsfunktion ist eine falsch gepreiste Anleihe daran zu erkennen, dass der Marktpreis sich deutlich vom theoretischen Preis unterscheidet, der wie beschrieben über die Diskontierungsfunktion ermittelt wird. Danach muss über lineare Optimierung eine Kombination von Anleihen bestimmt werden, womit die falsch gepreiste Anleihe nachgebildet wird. Auf diese Weise wird sich dann im Spiel von Angebot und Nachfrage innerhalb kurzer Zeit wieder ein angemessener Preis einstellen.

5.14 Zeitliche Preissensitivität von Anleihen Kurse von Renten ändern sich durch die Faktoren Zeit und Zins. Zunächst sei der Einuss der Zeit untersucht.

5.14.1 Zeitliche Veränderung von Anleihen Bleiben über einen Zeitraum t die Zinsen unverändert und sei vereinfacht die Zinskurve waagrecht, d.h. seien alle Spot-Rates gleich, so ändert sich der Preis einer zum Zeitpunkt T fälligen Nullkuponanleihe von

P0 = 100 (1 + r)−T auf

Pt = 100 (1 + r)−T +t .

Eine Rente ändert ihren Preis ebenfalls von

DP0 = C0 + Sz(0) = p

n X i=1

150

(1 + r)−ti + 100 (1 + r)−T

5.15 Die modizierte Duration auf

DPt = Ct + Sz(t) = p

n X

(1 + r)−ti +t + 100 (1 + r)−T +t ,

i=1

wobei DP0 und DPt die Kaufkurse an den Zeitpunkten 0 bzw. t sind und vorausgesetzt wird, dass zwischen beiden Zeitpunkten kein Zinstermin liegt. Man nennt diese Art von Kursänderungen bei gleich bleibenden Zinsen erwartete Änderungen des Kurses. Sei beispielsweise eine Rente mit einer Kuponhöhe von 5 und einer Restlaufzeit von T = 3 betrachtet. Bei einem Marktzins von r0t = 8 Prozent für alle Spot-Rates ergibt sich ein Kaufkurs von

DP0 = 5

3 X

(1, 08)−i + 100 · 1, 08−3 = 92, 26870904.

i=1

Ein Jahr später ist der Kaufkurs auf

DP1 = 5

2 X

(1, 08)−i + 100 · 1, 08−2 = 94, 65020576

i=1

gestiegen. Der Preis einer Nullkuponanleihe steigt im gleichen Zeitraum bei gleichen Bedingungen von P0 = 100 · 1, 08−3 = 79, 38 auf P1 = 100 · 1, 08−2 = 85, 73. In beiden Fällen ist die Rendite 8 Prozent: 94, 65020576 + 5 = 1, 08 92, 26870904 und

85, 73 = 1.08 79, 38

Bei einer achen Zinskurve und über die Zeit konstanten Zinsen ändern sich die Kurse von Anleihen in einem beliebigen Zeitraum ∆t gerade so, dass die Rendite mit dem Marktzins übereinstimmt.

5.15 Die modizierte Duration Wie aber ändern sich die Preise, wenn die Marktzinsen steigen oder fallen? Der Preis eines Zahlungstroms (Ci , ti ) ist abhängig von der Zinskurve t 7→ r0t :

P =

n X

Ci (1 + r0ti )−ti .

(5.17)

i=1

Der Preis ist abhängig vom gesamten Verlauf der Zinskurve, bei steigenden Zinsen fällt der Preis, bei fallenden Zinsen steigt er dagegen an. Gesucht werden einfache Maÿe, welche die Auswirkung von Zinsänderungen auf die Preise von Anleihen näherungsweise

151

5 Anleihen beschreiben. Zunächst wird vereinfachend angenommen, dass die Zinskurve ach ist, also die Funktionsgleichung t 7→ r0t = r = const hat. Eine Zinsänderung soll die ache Zinskurve lediglich parallel auf r0t = r +∆r verschieben, und zwar in sehr kurzer Zeit. Solche Zinssprünge gehen in der Regel von den Zentralbanken aus, die bei Inationsgefahr die Zinsen erhöhen und in Krisenzeiten wie im Herbst 2008 massiv die Zinsen herabsetzen. Bei einer achen Zinskurve ist der Preis eine Funktion der einheitlichen Spotrate r0t = r. Die Gleichung (5.17) vereinfacht sich auf

P (r) =

n X

Ci (1 + r)−ti .

(5.18)

i=1

Diese Funktion beschreibt den Preis der Anlage in Abhängigkeit der zeitunabhängigen Spotrate r0t = r. Daher werden Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen, mit einem einheitlichen Zinssatz abgezinst. Sie ist für r > −1 analytisch und lässt sich über die erste Ableitung linearisieren.

P (r + ∆r) ≈ P (r) + P 0 (r)∆r

(5.19)

Je gröÿer die Zinsänderung |∆r| ist, desto stärker wirkt sich der Approximationsfehler aus. Um diesen zu verringern, kann man das zweite Glied der Taylorreihenentwicklung mit berücksichtigen. In der Regel ist r der gegenwärtige Zinssatz, der sich aus ökonomischen Gründen in sehr kurzer Zeit auf r + ∆r verändert. Die Grundgleichung (5.19) wird zur besseren nanzmathematischen Deutung wie folgt umgeformt:

P (r + ∆r) ≈ P (r) − Dmod (r)P (r)∆r P 0 (r) . Dmod (r) = − P (r)

(5.20) (5.21)

Der Ausdruck Dmod wird modizierten Duration genannt. Er ist ein Proportionaltätsfaktor, der die Änderung des Preises einer Anleihe proportional zum alten Preis und der Zinsänderung näherungsweise beschreibt:

∆P = P (r + ∆r) − P (r) ≈ −Dmod (r)P (r)∆r.

(5.22)

Die Näherungen (5.20) und (5.22) werden im Folgenden häug verwendet und Durationsansatz genannt. Das Minuszeichen bei der Denition der modizierten Duration wurde gewählt, weil bei steigenden Zinsen ein Verlust eintritt, der proportional zur modizierten Duration ist. Die Funktion P (r) ist meistens konvex, daher wird durch die Linearität der Approximation der Wertverlust bei steigendem Zinsniveau überschätzt und der Wertzuwachs bei sinkendem Zinsniveau unterschätzt. Es wird später gezeigt werden, dass für festverzinsliche Wertpapiere die modizierte Duration eng mit der Restlaufzeit zusammenhängt. Daher sind festverzinsliche Wertpapiere mit groÿer Restlaufzeit besonders zinssensitiv, d.h. sie leiden stark unter einem Anstieg der Zinsen, bieten aber auch bei fallenden Zinsen besonders hohe Gewinne.

152

5.15 Die modizierte Duration Über die Gleichung (5.22) kann ein Anleger bei Kenntnis der modizierten Duration seines Portfolios die Auswirkungen von Zinsänderungen auf den Wert seines Portfolios abschätzen. Versicherungsunternehmen verwenden dieselbe Gleichung, um die Auswirkung eines Zinsschocks auf die Zahlungsfähigkeit zu simulieren. Für Versicherungsunternehmen ist allerdings der Schock nicht der Anstieg der Zinsen, sondern deren extremer Rückgang, da Versicherungsunternehmen gegenüber ihren Kunden eine hohe Last an zukünftigen Leistungen haben, deren Barwert bei einem Zinsrückgang ansteigt. Die so genannte modizierte Duration Dmod beschreibt also die Auswirkung der Änderung des Marktzinssatzes r auf den Preis einer Anleihe. Damit die modizierte Duration eine realistische Abschätzung der Wertänderung eines festverzinslichen Wertpapiers in Abhängigkeit vom Zinssatz r liefert, werden folgende Annahmen vorausgesetzt: ˆ Die Zinskurve ist ach, ihre Funktionsgleichung lautet t 7→ r0t = r = const. Die Spot-rates sind von der Laufzeit unabhängig. ˆ Nach der Änderung des Marktzinses ist die Zinskurve wieder ach, die Zinskurve wird also nur parallel auf die Form t 7→ r0t = r + ∆r verschoben.

Bei stark mit der Laufzeit sich ändernden Zinskurven ist die modizierte Duration also wenig aussagekräftig.

5.15.1 Die modizierte Duration bei Nullkuponanleihen Nullkuponanleihen sind die einfachsten festverzinslichen Wertpapiere. Sie haben eine Restlaufzeit T und einen Nennwert F , der in Europa 100 und in den USA 1.000 ist. Es gilt die Formel für den heutigen Wert

P (r) = F (1 + r)−T . Für die Ableitung P 0 (r) ergibt sich

P 0 (r) = −F · T (1 + r)−T −1 und somit folgt

Dmod = −

T P 0 (r) = . P (r) 1+r

(5.23)

Bis auf den Nenner 1 + r ist die modizierte Duration identisch mit der Restlaufzeit. Daher rührt die englische Bezeichnung Duration , die sich auch in Deutschland durchgesetzt hat. Für die zweite Ableitung P 00 (r) ergibt sich

P 00 (r) = F · T · (T + 1) (1 + r)−T −2 > 0 und somit folgt, dass für Nullkuponanleihen die Barwertfunktion P (r) konvex ist.

153

5 Anleihen

5.16 Die Duration Die modizierte Duration ist bei Nullkuponanleihen also bis auf den Wert q = 1 + r im Nenner identisch mit der Restlaufzeit. Historisch hat Macaulay aus diesem Grund auch zunächst die Duration eingeführt und mit D bezeichnet. Der Zusammenhang zwischen beiden Formen der Duration ist D . (5.24) Dmod = 1+r Bei Nullkuponanleihen ist die Duration D genau die Restlaufzeit, es gilt also D = T . Dieses Ergebnis ist so wichtig, dass es als Satz festgehalten wird.

Satz 5.1. Für die Duration D und die modizierte Duration Dmod einer Nullkuponanleihe mit Restlaufzeit T gelten bei einer achen Zinskurve (5.25)

D=T , T Dmod = . 1+r

(5.26)

Verwendet man die Duration, muss die Formel (5.22) wie folgt abgewandelt werden

∆P = P (r + ∆r) − P (r) ≈ −D(r)P (r)

∆r . 1+r

(5.27)

Daraus ergibt sich durch Umstellen

∆r P (r + ∆r) − P (r) ≈ −D(r) . P (r) 1+r

(5.28)

Interpretiert man ∆P = P (r + ∆r) − P (r) als die relative Änderung des Wertes und ∆q = ∆r als die relative Änderung des Aufzinsungsfaktors q = 1 + r, so ergibt sich folgende Beziehung ∆q ∆P ≈ −D(r) (5.29) P q Die Duration ist ein Proportionalitätsfaktor, der angibt, wie stark eine relative Änderung des Aufzinsungsfaktors den Barwert des Preises relativ ändert. Steigen die Zinsen, fallen die Kurse, und zwar umso höher, je länger die Restlaufzeit der Nullkuponanleihe ist. Die Veränderung einer Nullkuponanleihe mit einer Restlaufzeit von sechs Jahren ist bei sonst gleichen Bedingungen dreimal höher als die Veränderung einer Nullkuponanleihe mit einer Restlaufzeit von zwei Jahren. Ein Beispiel soll das verdeutlichen.

Beispiel 5.13. Ein Anleger besitztje eine Nullkuponanleihe im Wert von 2.000.000 Euro

mit einer Restlaufzeit von zwei bzw. sechs Jahren, die Zinskurve sei ach bei r0t = 4 Prozent. Wie verändern sich die Werte dieser Anleihen, wenn die Zinsen auf r0t = 4, 20 Prozent steigen bzw. auf r0t = 3, 80 Prozent fallen? Welche Näherungen liefert der Durationsansatz?

154

5.17 Die modizierte Duration von Portfolios Verlust und Gewinn bei einer Änderung um ∆r = ±0, 002 werden zunächst für die Laufzeit von zwei Jahren berechnet.

∆P = 2.000.000(1, 042 · 1, 042−2 − 1) = −7670, 18 Euro. ∆P = 2.000.000(1, 042 · 1, 038−2 − 1) = +7714, 55 Euro. Entsprechend ergibt sich bei einer Laufzeit von sechs Jahren:

∆P = 2.000.000(1, 046 · 1, 042−6 − 1) = −23233, 05 Euro. ∆P = 2.000.000(1, 046 · 1, 038−6 − 1) = +22922, 39 Euro. Die Duration einer Nullkuponanaleihe ist gerade ihre Restlaufzeit, hier also zwei bzw. sechs Jahre. Da der Zinssatz vor der Veränderung 0,04 war, haben die modizierten Durationen die Werte D2mod = 2/1, 04 = 1, 9231 bzw. D6mod = 6/1, 04 = 5, 7692. Der Durationsansatz (5.22) liefert eine gute Abschätzung für die Wertveränderung. Für die Nullkuponanleihe mit zweijähriger Restlaufzeit ergibt sich beim Anstieg der Zinsen um ∆r = 0, 002 ∆P ≈ −1, 9231 · 2.000.000 · 0, 002 = −7.692, 30 Euro. Wegen seiner Linearität liefert der Durationsansatz beim Zinsrückgang um denselben Absolutwert einen Gewinn in gleicher Höhe wie den Verlust, also einen ungefähren Gewinn von 7.692, 30 Euro. Da die modizierte Duration der Nullkuponanleihe mit sechs Jahren Restlaufzeit dreimal so groÿ wie bei einer Restlaufzeit von zwei Jahren ist, sind auch die Veränderungen mit ±23.076, 92 Euro dreimal so groÿ.

5.17 Die modizierte Duration von Portfolios Denition 5.1. Jeder Besitz von mehr als einem Wertpapier wird ein Portfolio genannt. Groÿe Anleger besitzen Portfolios mit einer Vielzahl von Anleihen mit unterschiedlichen Werten für die modizierte Duration. Es ist deshalb wichtig, aus den einzelnen Werten die modizierte Duration des Portfolios zu berechnen. Das ist sehr einfach, da die mit dem Marktanteil gewichteten einzelnen modizierten Durationen gerade die modizierte Duration des Portfolios ergeben. Das soll zunächst für ein Portfolio, bestehend aus zwei Einzelanlagen P1 (r) und P2 (r), gezeigt werden. Aus

P (r) = P1 (r) + P2 (r) erhält man sofort

DPmod = −

P 0 (r) + P20 (r) P10 (r) P20 (r) P 0 (r) =− 1 =− − . P (r) P1 (r) + P2 (r) P1 (r) + P2 (r) P1 (r) + P2 (r)

Daraus folgen wegen

P 0 (r) = −D1mod (r)P (r), P 0 (r) = −D2mod (r)P (r)

155

5 Anleihen die Gleichungen

P1 (r) P2 (r) D1mod + D2mod , P1 (r) + P2 (r) P1 (r) + P2 (r) mod mod mod DP = x1 D1 + x2 D2 , wobei P1 x1 = , P1 + P2 P2 x2 = P1 + P2

DPmod =

die relativen Anteile der Einzelwerte am Portfolio sind. Diese Herleitung lässt sich leicht auf ein Portfolio mit n Anleihen P1 , P2 ,. . . , Pn verallgemeinern. Es gilt dann der folgende Satz.

Satz 5.2. Die modizierte Duration DPmod eines Portfolios P (r) = P1 (r) + P2 (r) + · · · + Pn (r)

ist die gewichtete Summe der einzelnen modizierten Durationen, also DPmod = x1 D1mod + x2 D2mod + · · · + xn Dnmod , wobei Pi , i = 1, 2, . . . , n xi = P1 + P 2 + · · · + Pn

(5.30) (5.31)

die relativen Anteile der Einzelwerte am Portfolio sind. Für ein Portfolio aus n Nullkuponanleihen mit Preisen Pi , Restlaufzeiten Ti und relativen Anteilen Pi xi = , P1 + P 2 + · · · + Pn erhält man daher wegen

Dimod =

Ti 1+r

die modizierte Duration des Portfolios als die Summe der gewichteten einzelnen modizierten Durationen : Pn xi Ti DPmod = i=1 . (5.32) 1+r Da sich Duration und modizierte Duration nur um den Faktor 1 + r unterscheiden, folgt für die Duration eines Portfolios aus Nullkuponanleihen

DP =

n X i=1

156

xi Ti .

(5.33)

5.18 Die Duration als mittlere Bindungsdauer einer Anleihe Beispiel 5.14. Ein Anleger besitzt je eine Nullkuponanleihe im Wert von 2.000.000 Eu-

ro mit einer Restlaufzeit von zwei bzw. sechs Jahren, die Zinskurve sei ach bei r0t = 4 Prozent. Wie verändert sich der Wert seines Portfolios, wenn die Zinsen auf r0t = 4, 20 Prozent steigen bzw. auf r0t = 3, 80 Prozent fallen. Die einzelnen Durationen haben die Werte D1 = 2 und D2 = 6. Aus

2.000.000 = 0, 5, 2.000.000 + 2.000.000 2.000.000 x2 = = 0, 5, 2.000.000 + 2.000.000

x1 =

ergibt sich für die Duration des Portfolios DP

DP = x1 · D1 + x2 · D2 = 4 und damit für die modizierte Duration des Portfolios DPmod

DPmod =

DP 4 = = 3, 8462. 1+r 1, 04

Der Durationsansatz (5.22) liefert auch hier eine gute Abschätzung für die Wertveränderung:

∆P ≈ −Dmod (r)P (r)∆r. ∆P ≈ +3, 8462 · 4.000.000 · 0, 002 = +30.769, 23 Euro für ∆r = −0, 002. ∆P ≈ −3, 8462 · 4.000.000 · 0, 002 = −30.769, 23 Euro für ∆r = +0, 002. Da das Portfolio aus den beiden in Beispiel 5.13 auf Seite 154 betrachteten Nullkuponanleihen besteht, können Verlust und Gewinn auch genau berechnet werden. Es ergeben sich als Verlust -30947,60 Euro bzw. als Gewinn 30592,57 Euro.

5.18 Die Duration als mittlere Bindungsdauer einer Anleihe Bisher wurde die Duration verwendet, um kurzfristige Wertveränderungen eines Portfolios von Anleihen zu ermitteln. Die Duration hat aber noch eine zweite Bedeutung. Bei festverzinslichen Wertpapieren führt ein Zinsanstieg kurzfristig zu Verlusten, da die Kurse fallen. Dafür werden die zukünftigen Erträge höher verzinst. Nach einer gewissen Zeit gleicht die verbesserte Wiederanlage die Kursverluste wieder aus. Umgekehrt verhält es sich bei einem Zinsrückgang. Die Duration ist der Zeitpunkt, wo sich alle Eekte von Zinsänderungen gegenseitig aufheben, also Wertverluste durch verbesserte Wiederanlage ausgeglichen bzw. Gewinne durch geringere Wiederanlage geschmälert werden. Diese Idee wurde im Jahr 1938 durch Frederic Macaulay entwickelt, daher wird die Duration auch Macaulay-Duration genannt.

157

5 Anleihen Im Beispiel 5.14 von eben sollte dies nach vier Jahren der Fall sein. Zur Bestätigung sei der Wert des Portfolios für zwei Zinsfälle berechnet. Bei unveränderten Zinsen wächst der Wert des Portfolios auf

P = 4.000.000 · 1, 044 = 4.679.434, 24 Euro an. Haben sich die Zinsen auf 5 Prozent erhöht, hat die Nullkuponanleihe mit ursprünglich sechs Jahren Restlaufzeit noch eine Restlaufzeit von zwei Jahren und einen Wert von

P2 = 2.000.000 · 1, 046 · 1, 05−2 = 2.295.363, 30 Euro. Die ursprünglich zweijährige Nullkuponanleihe hatte nach zwei Jahren einen Wert von 2.000.000 · 1, 042 , der dann zum erhöhten Zinssatz von fünf Prozent wieder angelegt werden kann. Das ergibt

P1 = 2.000.000 · 1, 042 · 1, 052 = 2.384.928, 00 Euro. Die Summe von P1 und P2 ergibt mit 4.680.291,30 Euro fast denselben Wert wie P . Zur Übung sollten Sie nun selber berechenen, was passiert, wenn die Zinsen auf drei Prozent fallen.

5.19 Die modizierte Duration von Zahlungsströmen Ein Zahlungsstrom besteht aus mehreren Einzelzahlungen Ci , welche zu unterschiedlichen Zeitpunkten ti erfolgen. Jeder Zahlungsstrom kann als ein Portfolio von Nullkuponanleihen angesehen werden. Der Preis des Zahlungsstroms in Abhängigkeit des Zinses r ist: n X P (r) = Ci (1 + r)−ti . (5.34) i=1

Zur Berechnung der modizierten Duration muss diese Funktion nach r abgeleitet werden. n X 0 P (r) = − ti Ci (1 + r)−ti −1 . (5.35) i=1

Für die modizierte Duration der allgemeinen Anleihe ergibt sich somit wegen

Dmod = − die Gleichung

P 0 (r) P (r)

Pn −ti −1 i=1 ti Ci (1 + r) D = P (5.36) n −ti . i=1 Ci (1 + r) Durch Multiplikation mit dem Faktor 1 + r erhält man die Macaulay Duration: Pn −ti i=1 ti Ci (1 + r) D = Pn (5.37) −ti . i=1 Ci (1 + r) mod

158

5.19 Die modizierte Duration von Zahlungsströmen In beiden Formeln steht im Nenner der Preis des Zahlungsstroms, der meist ohnehin zu berechnen ist. Deshalb muss zur Berechnung der beiden Formen der Duration somit nur noch der Zähler ermittelt werden. Sehr bequem geht die Bestimmung mit Excel, wie das Arbeitsblatt für das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel 5.15. Eine amerikanische Rente (Bond) mit einer Laufzeit von fünf Jahren

zahle halbjährlich $50 und habe einen Rückzahlungswert von $1.000. Die Zinskurve sei waagrecht mit r0t = 10%. Man berechne Kaufpreis, Duration und die modizierte Duration. A 1 ti 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

B

C

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

r= 0,1

D

(1+r)(-ti)C(ti)

C(ti) 50 50 50 50 50 50 50 50 50 1050

ti(1+r)(-ti)C(ti)

47,67313 45,45455 43,33921 41,32231 39,39928 37,56574 35,81753 34,15067 32,56139 651,96739 1009,25120

23,83656 45,45455 65,00881 82,64463 98,49820 112,69722 125,36135 136,60269 146,52625 3259,83695 4096,46721

D = 4,05892 D = 3,68992 mod

Abbildung 5.4: Arbeitstabelle zur Berechnung der (modizierten) Duration Wie in der abgebildeten Arbeitstabelle gut zu sehen, wird der Zinssatz in einer Zelle, hier die Zelle B14 eingetragen. In den Spalten A und B stehen die Zeiten und die Beträge des Zahlungsstroms. In den Zelle C2 und D2 stehen die Formeln

= (1+$B$14)(-A2)*B2 = C2*A2 die sich am Ausfüllkästchen nach unten ziehen lassen. Die Summe der Spalte C ist der Barwert des Zahlungsstroms und die Summe der Spalte D ist der Zähler für die Formel der Duration. In den Zellen D14 und D15 stehen die Ergebnisse für Duration und modizierte Duration, also die Formeln

= D12/C12 = D14/(1+$B$14) Der Preis ist somit $1.009,25, die Duration und die modizierte Duration haben die Werte 4,058917364 bzw. 3,689924876.

159

5 Anleihen

5.20 Die Duration von Renten Eine Rente mit Kupon p und Nennwert F hat vor der Rückzahlung des Nennwerts n Kuponzahlungen der Höhe p/m, wobei m die Anzahl der Auszahlungen pro Jahr ist, der zugehörige Zahlungsstrom sieht wie folgt aus:

−P

Fp m

Fp m

Fp m

···

···

Fp m

Fp m

+F -t

−δ

0

τ

τ+

1 m

···

τ+

k−1 m

···

τ+

n−2 m

τ+

n−1 m

Abbildung 5.5: Zahlungsstrom einer Rente. Dabei bezeichnet τ die Zeitspanne vom Kaufzeitpunkt bis zum nächsten Zinstermin. Wegen tk = k/m + τ für k = 0, . . . , n − 1 gilt.

+ τ ) (1 + r)−k/m−τ −1 + ((n − 1)/m + τ ) (1 + r)−(n−1)/m−τ −1 F . D = −k/m−τ F p Pn−1 + (1 + r)−(n−1)/m−τ F k=0 (1 + r) m (5.38) Durch Multiplikation mit dem Faktor 1 + r erhält man die Macaulay Duration: F p Pn−1 (k/m + τ ) (1 + r)−k/m−τ + ((n − 1)/m + τ ) (1 + r)−(n−1)/m−τ F D = m k=0 . (5.39) −k/m−τ −(n−1)/m−τ F p Pn−1 (1 + r) + (1 + r) F k=0 m mod

Fp m

Pn−1

k=0 (k/m

Ich würde mir diese Formeln nicht merken, sondern auch hier die beiden Formen der Duration wie in der vorigen Arbeitstabelle berechnen. In dem bereits erwähnten Buch von Elton und Gruber [5] wurde die Duration von Renten mit Restlaufzeiten von 3, 5 und 10 Jahren für verschiedene Kuponhöhen bei einem Marktzins von r = 10 Prozent in der folgenden Tabelle zusammengestellt, wobei von einer jährlichen Kuponzahlung ausgeggangen wurde: Kupon 4 10 14

Restlaufzeit 3 5 10 2.88 2.74 2.66

4.57 4.17 3.99

7.95 6.76 6.36

Man sieht deutlich, dass Renten eine geringere Duration als ihre Restlaufzeit haben, und zwar umso geringer je höher der Kupon ist. Dies ist einleuchtend, da eine hohe Kuponzahlung die Rückzahlungen nach vorne verschiebt. Je geringer umgekehrt der Kupon ist, umso mehr ähnelt die Rente eine Nullkuponanleihe, wodurch sich die Duration der Restlaufzeit annähert.

Beispiel 5.16. Betrachten wir eine Rente mit Kupon 8 und einer Restlaufzeit von 10

Jahren bei einem Marktzins von r = 10 Prozent und einem Nennwert von 100. In den

160

5.20 Die Duration von Renten A 1 ti

B

Ci

2 1 8 3 2 8 4 3 8 5 4 8 6 5 8 7 6 8 8 7 8 9 8 8 10 9 8 11 10 108 12 13 14 r = 0,1 15

C

D

(-ti)

(-ti

7,27273 6,61157 6,01052 5,46411 4,96737 4,51579 4,10526 3,73206 3,39278 41,63868 87,71087

7,27273 13,22314 18,03156 21,85643 24,83685 27,09475 28,73685 29,85647 30,53503 416,38675 617,83056

D=

7,04395

Dmod =

6,40359

(1+r)

Ci ti (1+r) )Ci

E

F

ti

G

Ci

0,75 1,75 2,75 3,75 4,75 5,75 6,75 7,75 8,75 9,75

H

(1+r) 8 8 8 8 8 8 8 8 8 108

I

(-ti)

Ci ti (1+r)(-ti)Ci

7,47359 6,82520 6,23306 5,69229 5,19844 4,74743 4,33555 3,95941 3,61590 44,57959 92,66047

5,60519 11,94410 17,14091 21,34609 24,69258 27,29774 29,26500 30,68543 31,63913 434,65103 634,26719

D=

6,84507

Dmod =

6,25120

r = 0,095

Abbildung 5.6: Arbeitstabelle zur Berechnung der (modizierten) Duration ersten vier Spalten der in Abbildung 5.6 gezeigten Arbeitstabelle werden die Werte von Preis, Duration und modizierter Duration berechnet. Die Werte sind auf zwei Stellen gerundet 87,71, 7,04 und 6,40. Verfolgen wir nun diese Rente ein Vierteljahr und nehmen an, dass die Spot-Rates auf den neuen Marktzins von r = 9, 5 Prozent gefallen seien. Der Kupon bleibt davon natürlich unberührt, die Restlaufzeit ist auf 9,75 Jahre gefallen. Die Berechnungen sind in den Spalten F bis I zu sehen. Die Werte von Preis, Duration und modizierter Duration sind auf zwei Stellen gerundet 92,66, 6,85 und 6,22. Da für der Kaufpreis die Stückzinsen von S = 0, 25 · 8 = 2 enthält, hat die Rente nun einen Kurs von

C = P − S = 92, 66 − 2 = 90, 66. Ich habe hier auch noch die Rendite ausgerechnet, die ein Anleger erzielt hätte, der das Papier ein Vierteljahr zuvor zum Preis von 87,71 erworben und nun abgestoÿen hätte. Der starke Rückgang der Marktzinsen von 10 auf 9,5 Prozent führte zur sagenhaften Rendite von 4  92, 66 − 1 = 24, 56 %! r¯ = 87, 71

5.20.1 Der Durationsansatz bei Renten Die modizierte Duration liefert eine gute Abschätzung für die Veränderung des Preises, wenn sich innerhalb einer sehr kurzen Zeit der Zinssatz der Spot-Rates dramatisch verändert.

161

5 Anleihen Beispiel 5.17. Betrachten wir eine Rente mit Kupon 8 und einer Restlaufzeit von 10 Jahren bei einem Marktzins von r = 10 Prozent. Der Preis der Rente beträgt

P (r = 0, 1) = 8

10 X

1, 10−i + 100 · 1, 10−10 = 87, 71.

i=1

Fallen die Zinsen über Nacht auf 9 Prozent, wird der neue Preis auf

P (r + ∆r = 0, 09) = 8

10 X

1, 09−i + 100 · 1, 09−10 = 93, 58

i=1

steigen, d.h. man erhält einen Gewinn von 5,87. Man entnimmt der obigen Tabelle, dass die Duration gerade D = 7, 04 ist. Damit erhält man für die modizierte Duration den Wert

Dmod = D/(1 + r) = 7, 04/1, 1 = 6, 4. Wegen ∆r = −0, 01 folgt aus der Abschätzung (5.20) auf Seite 152

P (0, 09) ≈ P (0, 1) − Dmod P (0, 1)∆r = 87, 71 − 6, 4 · 87, 71 · 0, 01 = 93, 32. Dieser Wert ist geringfügig höher als der tatsächliche Kurs, da wegen der Konvexität der Barwertfunktion Gewinne bei fallenden Zinsen durch die Näherung immer unterschätzt werden. Steigen die Zinsen dagegen auf 11 Prozent, wird der neue Preis auf

P (0, 11) = 8

10 X

1, 11−i + 100 · 1, 11−10 = 82, 33

i=1

fallen, d.h. man erleidet einen Verlust von 5,38. Aus der Näherungsform

P (0, 11) ≈ P (0, 1) − Dmod P (0, 1)∆r ergibt sich wegen ∆r = 0, 01 die Abschätzung P (0, 11) ≈ 82, 09. Dieser Wert ist geringfügig kleiner als der tatsächliche Preis, da wegen der Konvexität der Barwertfunktion Verluste bei steigenden Zinssen durch die Näherung immer überschätzt werden.

5.21 Die Duration als mittlere Bindungsdauer einer Rente Bei festverzinslichen Wertpapieren führt ein Zinsanstieg kurzfristig zu Verlusten, da die Kurse fallen. Dafür werden die zukünftigen Zahlungen (Kupons) höher verzinst. Nach einer gewissen Zeit gleicht die verbesserte Wiederanlage der Kuponzahlungen die Kursverluste wieder aus. Umgekehrt verhält es sich bei einem Zinsrückgang. Die Duration ist der Zeitpunkt, wo sich alle Eekte von Zinsänderungen gegenseitig aufheben, also Wertverluste durch verbesserte Wiederanlage ausgeglichen bzw. Gewinne durch geringere Wiederanlage geschmälert werden. Das soll an der Anleihe des vorigen Beispiels verdeutlicht werden.

162

5.22 Die modizierte Duration bei nicht acher Zinskurve Beispiel 5.18. Die betrachtete Rente hat einen Kupon von 8 bei einem Marktzins von r = 10 Prozent und eine Duration von ungefähr D = 7. Der Preis der Rente beträgt P =8

10 X

1, 10−i + 100 · 1, 10−10 = 87, 71.

i=1

Kauft man zu diesem Preis eine Nullkuponanleihe, so wächst diese in 7 Jahren auf 87, 71· 1, 107 = 170, 92. Dieser Betrag ist bei einer Nullkuponanleihe garantiert, unabhängig von der weiteren Entwicklung der Marktzinsen. Für die Rente betrachten wir nun drei Fälle, nämlich gleich bleibende Zinsen von r = 10 Prozent, ein Anstieg der Zinsen auf r = 12 Prozent und ein Fall auf r = 8 Prozent. Nach 7 Jahren setzt sich der Wert des Vermögens aus dem Preis der Rente und den zum Marktzins wieder angelegten Kuponzahlungen zusammen, d.h.

P7 = 8

3 X

−i

(1 + r)

+ 100 (1 + r)

i=1

−3

(1 + r)7 − 1 . +8 r

Für r = 8, 10, 12 Prozent ergeben sich die Endwerte 170, 92, 171, 10 sowie 171, 38. Man sieht, dass in allen drei Fällen der erreichte Endwert dem des Nullkupons gleicher Duration nahe kommt. Legt man also sein Geld in Form von Anleihen gerade so lange wie die Duration an, wird der Endwert unempndlich gegenüber von Zinsveränderungen.

5.22 Die modizierte Duration bei nicht acher Zinskurve Die Annahme der achen Zinstrukturkurve wird zugunsten einer zeitabhängigen aufgegeben, d.h. zu jedem Zeitpunkt ti gibt es einen Zinssatz ri . In Formel (5.36) wird der konstante Zinssatz r durch die zeitabhängigen Zinssätze ri ersetzt: Pn −ti −1 mod i=1 ti Ci (1 + ri ) (5.40) D = Pn −ti , i=1 Ci (1 + ri ) wobei Ci die Zahlung zum Zeitpunkt ti und ri den zugehörigen risikolosen Zins der Zinskurve bezeichnen. Diese Berechnung der modizierten Duration unterscheidet sich von der bisherigen lediglich durch die zeitabhängigen Zinsen.

Beispiel 5.19. Als Beispiel sei die folgende Zahlungsfolge Ci betrachtet: Zeit in Jahren

r0t Ci

1

2

3

0, 02 1000

0, 03 2000

0, 04 3000

Hier ergibt sich

Dmod =

1 · 1000 · (1, 02)−2 + 2 · 2000 · (1, 03)−3 + 1 · 3000 · (1, 04)−3 = 2, 2259 1000 · (1, 02)−1 + 2000 · (1, 03)−2 + 3000 · (1, 04)−3

163

5 Anleihen

5.23 Zusammenfassung 1. Für jeden zukünftigen Zeitpunkt t gibt es einen Spot-Rate genannten Zinssatz r0t , der der Rendite einer Nullkuponananleihe mit dieser Laufzeit entspricht. Die Funktion t 7→ r0t heiÿt Zinskurve. Die Zinskurve kann prinzipiell jede Form haben, ist aber normalerweise monoton steigend. 2. Für je zwei zukünftige Zeitpunkte 0 < t1 < t2 gibt es einen Forward-Rate genannten Zinssatz rt1 t2 , der heute für einen Kredit ausgemacht wird, der von t1 bis t2 läuft. Zwischen den Spot-Rates und den Forward-Rates gilt der Zusammenhang

3. Die Funktion

(1 + r0t2 )t2 = (1 + r0t1 )t1 (1 + rt1 t2 )t2 −t1 .

(5.41)

D(t) = (1 + r0t )−t

(5.42)

heiÿt Diskontierungsfunktion . Die Zahl D(t) gibt den heutigen Wert eines zum Zeitpunkt t fälligen Euros an. Die Diskontierungsfunktion ist immer streng monoton fallend mit D(0) = 1. Aus der Diskontierungsfunktion lassen sich die Spot-Rates über die Beziehung r0t = D(t)−1/t − 1 (5.43) bestimmen. 4. Bei Nullkuponanleihen verpichtet sich der Emittent an einem Fälligkeit genannten Datum den Nennwert auszuzahlen. Der Preis wird deshalb unter dem Nennwert liegen, der Reingewinn ist die Dierenz zwischen Nennwert und Kaufpreis. Zwischen dem Preis P und dem Nennwert genannten Rückzahlungspreis F bestehen folgende Zusammenhänge

P = (1 + r0t )−t F, P = D(t)F,

(5.44) (5.45)

F = (1 + r0t )t P, P F = . D(t)

(5.46) (5.47)

5. Die weltweit wichtigste Sorte von Nullkuponanleihen sind die vom amerikanischen Schatzamt herausgegebenen Treasury Bills , kurz T-Bills mit allen Laufzeiten zwischen einem Tag und einem Jahr. Die Preise müssen aus der Quotierung berechnet werden. Die Quotierung entspricht der Bank Discount Rate yd . Es gelten folgende Formeln:

P = (1 − yd T ) F, F − P 360 yd = . F n

164

(5.48) (5.49)

5.23 Zusammenfassung 6. Eine Rente hat einen Nennwert F , der am Ende der Laufzeit getilgt wird. Die Zinszahlungen der Höhe p heiÿen Kupon und werden an festen Terminen ausgezahlt. Liegt der Kauftermin zwischen zwei Kuponzahlungsterminen, muss der Käufer dem Verkäufer für die abgelaufene Zeit Stückzinsen S zahlen. Bei Renten liegt der Tag der Wertstellung oft zwei Arbeitstage nach dem Kauftermin. Wenn Kauftermin und Wertstellungstermin übereinstimmen, kann man vereinfacht bei einem jährlichen Zinstermin wie folgt vorgehen: Zähle entsprechend der in den Vertragsbedingungen festgelegten Zinsmethode die Tage k vom letzten Zinstermin zum Kauftag und die Anzahl n der noch oenen Kuponzahlungen. Dann gelten für die Stückzinsen S , den Kaufkurs DP und den Kurs C :

k S = p , y Anzahl der Tage des Jahres, y        k k k +D 2− + ··· + D n − 1 − DP = p D 1 − y y y   k + (p + F ) D n − , y C = DP − S.

(5.50)

(5.51) (5.52)

7. Mit denselben Bezeichnungen wie eben gilt für die Nettobarwertfunktion N P V (r)   (1 + r)n − 1 −n+ ky N P V (r) = −DP + (1 + r) p +F , (5.53) r und die Rendite r¯ erfüllt die Gleichung

0 = −DP + (1 + r¯)

−n+ ky

  (1 + r¯)n − 1 +F . p r¯

(5.54)

8. Die so genannte modizierte Duration Dmod beschreibt die Auswirkung der Änderung des Marktzinsatzes r auf den Preis einer Anleihe. Die Duration D ist die Zeit, nach derem Ablauf die Anlage trotz eventuellen Zinsänderungen den erwarteten Wert hat. Zwischen beiden Gröÿen besteht der Zusammenhang

Dmod =

D , 1+r

(5.55)

wobei r den als konstant angenommenen Zinssatz der Spot-Rates bezeichnet. 9. Die Duration D einer Nullkuponanleihe ist gerade die Restlaufzeit T , entsprechend gilt Dmod = T /(1 + r). 10. Die modizierte Duration DPmod eines Portfolios

P (r) = P1 (r) + P2 (r) + · · · + Pn (r)

165

5 Anleihen ist die gewichtete Summe der einzelnen modizierten Durationen, also

DPmod = x1 D1mod + x2 D2mod + · · · + xn Dnmod , wobei Pi , i = 1, 2, . . . , n xi = P 1 + P2 + · · · + Pn

(5.56) (5.57)

die relativen Anteile der Einzelwerte am Portfolio sind. 11. Für die Duration D und modizierte Duration Dmod eines Zahlungsstroms (Ci , ti ) gelten die Formeln Pn ti Ci (1 + r)−ti D = Pi=1 (5.58) n −ti ., C (1 + r) i Pni=1 −ti −1 i=1 ti Ci (1 + r) Dmod = P (5.59) n −ti . C (1 + r) i i=1 12. Die modizierte Duration wird verwendet, um ein Zinsänderungsszenario zu modellieren. Dabei ist r der vergangene und r + ∆r mit |∆r| 0 ∀x ∈ Rn , x 6= 0.

(6.18)

i=1 j=1

Im Eingangsbeispiel ist die Kovarianzmatrix   8, 5898 0, 7969 13, 6758 V =  0, 7969 12, 4375 10, 1406 . 13, 6758 10, 1406 31, 2461

193

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT) Somit wird die Bedingung 6.17 für positive Denitheit:

8, 5898x21 + 12, 4375x22 + 31, 2461x23 + 2(0, 7969x1 x2 + 13, 6758x1 x3 + 10, 1406x2 x3 ) ≥ 0,

(6.19)

wobei der Wert 0 nur für den dreidimensionalen Nullvektor (0, 0, 0)T angenommen wird. Nun können Sie so viele Vektoren in (6.19) einsetzen wie Sie wollen und immer die Richtigkeit der Bedingung bestätigen, aus der Sicht eines pingeligen Mathematikers ist dies kein Beweis. Es gilt aber folgender Satz:

Satz 6.1. Eine Kovarianzmatrix ist genau dann positiv denit, wenn sie invertierbar ist. Ist sie nicht invertierbar, gilt die Bedingung (6.17) zwar auch, aber der Wert 0 kann auch für Vektoren erreicht werden, die verschieden vom Nullvektor sind. Genauso wie die Kovarianzen zur Kovarianzmatrix V = (σi,j ) lassen sich natürlich auch die Korrelationen zur Korrelationsmatrix R = (ρi,j ) zusammenfassen. Es gilt

σi,j = σi σj ρi,j bzw.

ρi,j =

σi,j , σi σj

und somit

ρi,i = 1. Im Eingangsbeispiel ist die Korrelationsmatrix   1, 0000 0, 0771 0, 8348 R = 0, 0771 1, 0000 0, 5144 . 0, 8348 0, 5144 1, 0000 In der Hauptdiagonalen einer Korrelationsmatrix haben wegen σi,i = σi2 alle Elemente den Wert 1.

6.2.8 Erwartungswert und Varianz von Portfolios Anleger können aus den vorhandenen einzelnen Wertpapieren Ai eine Anlagemischung, ein so genanntes Portfolio zusammenstellen. Bei einem gewünschten Betrag von w Euro werden die Beträge wi auf die einzelnen Anlagen investiert. Ein Portfolio ist also vollständig durch den Portfoliovektor

v = (v1 , v2 , . . . , vn )T bestimmt. Oft wird nur das relative Verhältnis der einzelnen Aktien betrachtet, dann wird v1 + v2 + · · · + vn = 1 (6.20)

194

6.3 Systematisches und unsystematisches Risiko vorausgesetzt. Auch hier wird immer diese Bedingung für Portfoliovektoren stillschweigend gefordert. Die Renditen Ri der einzelnen Anlagen werden zu einem Zufallsvektor

R = (R1 , R2 , . . . , Rn )T zusammengefasst. Die Zufallsvariable der Rendite eines Portfolios mit Portfoliovektor v wird mit Rv bezeichnet. Es gilt oensichtlich

Rv = v1 R1 + v2 R2 + · · · + vn Rn . Die Zufallsvariablen Rv und Rw der Renditen von Portfolios mit Portfoliovektoren v und w haben Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen, die sich durch E(R) und die Kovarianzmatrix V ausdrücken lassen, und zwar gilt:

E(Rv ) = vT E(R),

(6.21)

V ar(Rv ) = vT V v,

(6.22)

Cov(Rv , Rw ) = v V w.

(6.23)

T

Diese Formeln lassen sich auch ausschreiben, verlieren dann aber ihre Eleganz:

E(Rv ) = v1 E(R1 ) + v2 E(R2 ) + · · · + vn E(Rn ), !! n n−1 n X X X V ar(Rv ) = vi2 σi2 + 2 , vi vj σi,j Cov(Rv , Rw ) =

i=1 n X n X

i=1

(6.24) (6.25)

j=i+1

vi wj σi,j .

(6.26)

i=1 j=1

Betrachten wir als Beispiel die Daten des Eingangsbeispiels und wählen die Portfoliovektoren v = (0.1, 0.4, 0.5)T sowie w = (0.5, 0.3, 0.2)T so folgen:

E(Rv ) = 0, 1 · 7, 6875 + 0, 4 · 9, 75 + 0, 5 · 13, 5625 = 11, 45, V ar(Rv ) = 8, 5898 · 0, 12 + 12, 4375 · 0, 42 + 31, 2461 · 0, 52 + 2(0, 7969 · 0, 1 · 0, 4 + 13, 6758 · 0, 1 · 0, 5 + 10, 1406 · 0, 4 · 0, 5) = 15, 375, Cov(Rv , Rw ) = 8, 5898 · 0, 1 · 0, 5 + 0, 7969 · 0, 1 · 0, 3 + 13, 6758 · 0, 1 · 0, 2 + 0, 7969 · 0, 4 · 0, 5 + 12, 4375 · 0, 4 · 0, 3 + 10, 1406 · 0, 4 · 0, 2 + 13, 6758 · 0, 5 · 0, 5 + 10, 1406 · 0, 5 · 0, 3 + 31, 2461 · 0, 5 · 0, 2 = 11, 2547. Ich werde wegen der besseren Lesbarkeit innerhalb von Vektoren anstatt des Kommas einen Punkt als Dezimalzeichen verwenden.

6.3 Systematisches und unsystematisches Risiko Der groÿe Vorteil der Anlagenmischung besteht in der Verteilung des Risikos, was man Diversikation nennt. Wären die Aktien alle gegenseitig unabhängig voneinander, lieÿe

195

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT) Risikoverminderung durch Diversifikation 40 35 30

Risiko in %

1 25 20 15 10

Systematisches Risiko

5 0 0

5

10

15

20

Anzahl von Aktien im Portfolio

Abbildung 6.4: Systematisches und unsystematisches Risiko sich das Risiko sogar ganz ausschalten. Das ist aber nicht der Fall, da alle Aktien in der Regel leicht bis stark korreliert sind, auch dann, wenn die Geschäftsfelder weit auseinander liegen. Das liegt an den gemeinsamen äuÿeren Bedingungen wie Konjunktur, Geschäftsklima, Rohstopreise und politische Lage. Eine bedeutende Schlussfolgerung aus (6.25) ist, dass bei einer groÿen Anzahl von Aktien nur die Kovarianzen in die Berechnung der Varianz des Portfolios eingehen. Das sieht man besonders deutlich am Beispiel einer Diversikation zu gleichen Anteilen, d.h. xi = 1/n. Die Portfoliovarianz wird dann: ! !! n−1 n n X X X σi,j σi2 +2 . V ar(Rx ) = 2 2 n n i=1 j=i+1 i=1 Wenn die Menge der Aktien steigt, also für n → ∞ wird der erste Term mit den Varianzen gegen 0 verlaufen, d.h. die Standardabweichungen der einzelnen Wertpapiere sind unbedeutend. Umso mehr gewinnen die Kovarianzen an Bedeutung. Der zweite Term konvergiert für n → ∞ gegen den Durchschnitt der n(n − 1) Kovarianzen. Man kann also durch die Diversikation den Einuss der Varianz jedes einzelnen Wertpapieres ausschalten, nicht aber die gegenseitigen Kovarianzen. Der für n → ∞ nicht verschwindende Restterm entspricht dem systematischem Risiko , das auch durch Diversikation nicht auszuschalten ist, während der erste Term dem

196

6.4 Eziente Portfolios unsystematischen Risiko entspricht, dem man durch Diversikation entgehen kann. Das

unsystematische Risiko entspringt also dem Besitz einer bestimmten Aktie, während das systematische Risiko aus dem Aktienbesitz als solchen herrührt. Wie die Abbildung 6.4 zeigt, haben gut diversizierte Portfolios nur noch ein geringes unsystematisches Risiko. Durch den Wettbewerb werden Besitzer von gut diversizierten Portfolios eine geringere Risikoprämie fordern, als Besitzer von Einzelanlagen. Das drückt den Preis der einzelnen Aktien auf den Wert, der dem unsystematischen Risiko entspricht. Da Besitzer von Einzelanlagen aber auch noch dem unsystematischen nur dieser Aktie betreendem Risiko ausgesetzt sind, erzielen sie eine zu geringe Rendite bezogen auf das eingegangene Risiko. Der Markt als Ganzes kann darauf aber keine Rücksicht nehmen und belohnt Aktienbesitzer nur für die Übernahmme von systematischen Risiko, das der durchschnittlichen Kovarianz entspricht. Soweit die Theorie. Die Beobachtung von lebenden Aktienbesitzern zeigt, dass diese meist nur wenig diversizieren, da sie an ihre überlegene Intelligenz glauben, oder einem Bauchgefühl nachgeben oder vermeintlichen Börsengurus folgen. Nun spielen zumindest in Deutschland Privatpersonen keine Rolle, es könnte also sein, das Fonds sich an die Regeln der Diversikation halten.

6.4 Eziente Portfolios Portfolios werden als ezient bezeichnet, wenn sie bei gegebener Rendite die kleinste Varianz aufweisen. Wenn man zu jeder sinnvollen Rendite E(R) das entsprechende eziente Portfolio Rx berechnet, erhält man die so genannte Ezienzgrenze , englisch efcient frontier . Dazu wird in einem kartesischen Koordinatensystem auf der Abszisse das Risiko, also die Standardabweichung σR aufgetragen und auf der Ordinate der Erwartungswert E(R) der Rendite R. Diese Diagramme werden Risiko-Ertrags-Diagramme genannt. Ich habe die Ezienzgrenze für das Eingangsbeispiel berechnet und in der Abbildung 6.5 dargestellt. Jeder Punkt der Ezienzgrenze ist aus einem Optimierungsproblem hervorgegangen. Man gibt sich die gewünschte Rendite E(R) vor und löst dann das quadratische Minimierungsproblem (QM) Min z = vT V v unter den Nebenbedingungen v1 + v2 + · · · + vn = 1, E(R1 )v1 + E(R2 )v2 + · · · + E(Rn )vn ≥ E(R), vi ≥ 0.

(6.27) (6.28) (6.29) (6.30)

Hier sind die Nebenbedingungen linear, aber die Zielfunktion ist quadratisch. Die Nebenbedingung (6.28) sorgt dafür, dass alle Portfolios vergleichbar sind, d.h. alle kosten genau einen Euro. Die Nebenbedingung (6.29) erzwingt die gewünschte Rendite und die Nebenbedingung (6.30) schlieÿt Portfolios aus, in denen negative Anteile vorkommen. Man kann zeigen, dass das Minimierungsproblem eine eindeutige Lösung hat, wenn V

197

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT) Effizienzgrenze und Kapitalmarktlinie 14 12

Rendite

10

Einzelaktien Effizienzgrenze Kapitalmarktlinie Marktportfolio

8 6 4 2 0 0

1

2

3

4

5

6

Risiko

Abbildung 6.5: Ezienzgrenze positiv denit ist und

E(R) ≤ rmax := Max (E(Ri )). i=1,...,n

Die Ezienzgrenze wird rechts oben durch das Portfolio mit dem gröÿtem einzelnen Erwartungswert der Rendite abgeschlossen. Dieses Portfolio wird mit HER bezeichnet, die Abkürzung für Highest Expected Return. Nach unten bildet das Portfolio mit der kleinsten Varianz die Grenze, dieses Portfolio ist die Lösung von (QM) ohne die Bedingung (6.29). Dieses Portfolio hat natürlich den den kleinsten Erwartungswert rmin der Rendite aller ezienten Portfolios. Auch dieses Portfolio hat eine Bezeichnung, und zwar MVP, was für Minimum Variance Portfolio steht. Zwischen rmin und rmax kann man in der Bedingung (6.29) theoretisch jeden Wert einsetzen, praktisch wird man nur eine wenige √ nehmen. Dann erhält man eine Punktschar ( zi , ri ), wobei zi die Lösung von (QM) für E(R) = ri ist. Diese Punktschar wird mit einem geeigneten graschen Verfahren, z.B. Interpolation durch Spline als Graph dargestellt. Auf diese Weise habe ich die Abbildung 6.5 erstellt. In dem kleinen Beispiel mit nur drei Einzelanlagen war die Berechnung der Ezienzgrenze kein Problem. In der realen Welt gibt es aber unzählig viele Wertpapiere, dann ist das Berechnen der Ezienzgrenze kaum noch möglich. Um das zu zeigen, seien beispielsweise nur n = 50 Wertpapiere zu betrachten, wesentlich weniger als selbst ein vergleichsweise kleiner Markt wie der deutsche zu bieten hat, ganz zu schweigen von den USA oder Japan. In die Rechnung gehen 50 Renditen und Varianzen sowie n(n − 1)/2 = (50 · 49)/2 = 1225 Kovarianzen ein.

198

6.5 Das Marktportfolio

6.5 Das Marktportfolio Der Begri des Marktportfolios spielt bei allen Kapitalmarktmodellen eine entscheidende Rolle. Dieses Portfolio enthält sämtliche verfügbaren Anlagen entsprechend ihrer Marktkapitalisierung, es ist also unabhängig von der Meinung einzelner Investoren, sondern spiegelt die Erwartungen aller Investoren wider. Der relative Anteil xi des i-ten Anlage entspricht also dem relativen Anteil der Kapitalisierung aller Wertpapiere dieser Anlage im Bezug auf die Kapitalisierung der Wertpapiere aller Aktiengesellschaften. In Deutschland hatte beispielsweise die Allianz im August 2008 eine Marktkapitalisierung von ungefähr 52 Mrd. Euro, die Marktkapitalisierung der 30 im deutschen Aktienindex DAX vertretenen Unternehmen betrug ungefähr 620 Mrd. Euro, so dass die Allianz im Marktportfolio mit einem Anteil von 52/620 ≈ 8% vertreten ist. Zur weiteren Verdeutlichung des Marktportfolios kehren wir zum Eingangsbeispiel zurück. In der Tabelle 6.2 sind von jeder Gesellschaft die Anzahl der Aktien, der Preis einer Aktie und deren Gesamtwert aufgeführt. Tabelle 6.2: Marktkapitalisierung der drei Aktien Aktie

Anzahl

Preis

Kapitalisierung

Gewicht

A B C

2.163 53.570 12.400

1.000 100 200

2.163.000 5.357.000 2.480.000

0,2163 0,5357 0,2480

Die ersten AG hat 2.163 Aktien ausgegeben, der Wert einer einzelnen beträgt derzeit 1.000 Euro, daher beträgt der Gesamtwert, also die Marktkapitalisierung 2.163.000 Euro. Die zweite AG hat 53.570 Aktien ausgegeben, der Wert einer einzelnen beträgt derzeit 100 Euro, daher beträgt der Gesamtwert, also die Marktkapitalisierung 5.357.000 Euro. Genauso summieren sich die 12.400 Aktien im Einzelwert von 200 Euro zum Gesamtwert von 2.480.000 Euro. Der gesamte Marktwert aller Aktien beträgt 10.000.000 Euro. Der relative Anteile der ersten AG am Gesamtwert aller AG berechnet sich somit wie folgt:

x1 =

2.163.000 Kapitalisierung der ersten AG = = 0, 2163. Gesamtkapitalisierung 10.000.000

Ensprechend ergeben sich

5.357.000 = 0, 5357, 10.000.000 2.480.000 x3 = = 0, 2480. 10.000.000 x2 =

Diese drei Werte benden sich in der letzten Spalte der Tabelle 6.2.

Jedes Portfolio, dessen relativen Anteile an den Einzelanlagen an der Marktkapitalisierung ausgerichtet ist, heiÿt Marktportfolio. Ich werde den Buchstaben x für Marktportfolios reservieren.

199

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT)

6.6 Risikoloser Zinssatz Neben dem Marktportfolio spielt der so genannte risikolose Zinssatz eine überragende Rolle in allen Kapitalmarktmodellen. Es handelt sich dabei um die Verzinsung festverzinslicher Wertpapiere des jeweiligen Staates mit kurzer Restlaufzeit. Der riskolose Zinssatz wird meist mit rf bezeichnet. Für politisch und ökonomisch stabile Staaten wie etwa den Mitgliedern der EU wird die Tilgung dieser Titel als gesichert unterstellt, diese Wertpapiere gelten daher als risikolos und haben den geringsten Ertrag aller Wertpapiere. Jedes andere Wertpapier hat eine höhere Rendite, da die Investoren einem höheren risiko ausgesetzt sind und eine so genannte Risikoprämie als Aufschlag zum sicheren Zinssatz fordern. In der Abbildung 6.6 ist die Ezienzgrenze eines Aktienmarktes zu sehen. Sie verläuft zwischen dem Portfolio mit kleinster Varianz (Minimum Variance Portfolio) und dem mit gröÿter Rendite (Highest Expected Return). Die Ezienzgrenze wird in der Regel von Portfolios gebildet, aber nicht alle Portfolios sind ezient und liegen dann unterhalb der Ezienzgrenze. Die ezienten Portfolios ergeben sich als Lösungen quadratischer Optimierungsprobleme. Von Tobin stammt die Idee, jede Investition in zwei Teile zu separieren, und zwar in die Anlage zum risikolosen Zins und in ein unsicheres Wertpapierportfolio. Die Aufteilung hängt von der individuellen Risikoneigung des Investors ab. Der Investor kann Teile seiner Anlage zum risikolosen Zinssatz anlegen oder zu diesem Zinsatz sich Geld leihen und in das Aktienportfolio investieren. Wie gut an Abbildung 6.6 zu erkennen ist, sollte dabei als Aktienportfolio das Tangentialportfolio gewählt werden, das vom Punkt (0, rf ) die Ezienzgrenze tangential berührt.

Effizienzgrenze und Kapitalmarktlinie 16 Erwartete Rendite HER

12 Marktportfolio 8

Kapitalmarktlinie MVP

4

Portfolios

rf

Einzelanlagen Risiko

0 0

2

4

6

8

10

Abbildung 6.6: Ezienzgrenze

200

12

14

16

6.6 Risikoloser Zinssatz Da die Ezienzgrenze nach oben gewölbt, also konkav ist, maximiert dieses Portfolio die Steigung xT E(R) − rf √ , (6.31) m(x) = xT V x √ denn das gesuchte Portfolio hat das Risiko xT V x und die die erwartete Rendite xT E(R). Die Verbindungslinie zwischen dem Portfolio (0, rf ) und (σM , µM ) wird Kapitalmarktlinie genannt. Dabei wurden die Abkürzungen

µM = E(M ) = xT E(R), √ σM = Std(M ) = xT V x

(6.32) (6.33)

verwendet. Wir werden im folgenden zeigen, dass dieses Tangentialportfolio gerade das Marktportfolio M ist, daher wurde der Index M gewählt. Die Gleichheit von Tangential- und Marktportfolio ist der Kern des so genannten Capital Asset Pricing Model (CAPM), dem Ziel dieses Kapitels. Somit lautet die Geradengleichung der Kapitalmarktlinie:   µm − rf σP . (6.34) µP = rf + σm Ich werden jetzt zeigen, dass die Kapitalmarktlinie gerade den Portfolios entspricht, die aus der sicheren Anlage und dem Marktportfolio gebildet werden. Sei dazu die konstante Zufallsvariable Rf eingeführt, die immer den Wert rf hat. Jede Mischung P aus dem Marktportfolio und der sicheren Anlage hat damit die Form

P = (1 − α)Rf + αM.

(6.35)

Somit gelten für Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von P :

µP :=E(P ) = (1 − α)rf + αµM , 2 σP2 :=V ar(P ) = α2 σM , σP :=Std(P ) = ασM , also σP . α= σM

(6.36)

(6.37)

Setzt man (6.37) in (6.36) ein, ergibt sich gerade (6.34). Hierbei sind vier Fälle möglich: ˆ α = 0: Das Portfolio besteht nur aus der sicheren Anlage. ˆ 0 < α < 1: Das Portfolio besteht nur aus einer echten Mischung der sicheren Anlage und dem Marktportfolio. In das Marktportfolio wird der Anteil α investiert und der Anteil 1 − α in die sichere Anlage. ˆ α = 1: Das Portfolio besteht nur aus dem Marktportfolio.

201

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT) ˆ 1 < α: Das Portfolio besteht nur aus dem Marktportfolio, in das der Anteil α investiert wird. Gleichzeitig wird der Anteil 1−α zum sicheren Zinssatz rf geliehen. Damit kann das Risiko beliebig erhöht werden. Der erste Fall entspricht dem Schnitt der Kapitalmarktlinie mit der vertikalen Achse, der zweite gilt für alle Punkte zwischen diesem Schnittpunkt und dem Marktportfolio, der dritte ist das Marktportfolio und der vierte Fall ist das Geradenstück rechts oberhalb des Marktportfolios. Die Kapitalmarktlinie entspricht also allen Portfolios, die ein Investor einnehmen kann, der sich entsprechend der Portfoliotheorie angepasst benimmt. Daher rührt auch die Bezeichnung.

6.7 Marktezienz und Gleichgewicht Aus der Abbildung 6.6 geht klar hervor, dass es bei gegebenen Risiko die höchste erwartete Rendite durch Mischungen aus dem Tangentialportfolio und der risikolosen Anlage zu erzielen ist, wobei durch Leihen zum risikolosen Zinssatz das Risiko theoretisch beliebig groÿ werden kann. Nun wird aber behauptet, dass das Tangentialportfolio gerade das Marktportfolio ist. Das steht in allen Lehrbüchern, ist empirisch kaum zu belegen und wird mit Annahmen begründet, die auf reale Investoren oft nicht zutreen. Dabei spielt der Begri Gleichgewicht, oder englisch-lateinisch Equilibrium eine herrausragende Rolle. Am Wertpapiermarkt stellt es sich angeblich durch Ezienz oder Durchschaubarkeit ein. Dabei werden folgende Annahmen getroen: ˆ Alle Investoren handeln auf der Basis von erwarteter Rendite und Risiko, wählen also bei gegebenen Risiko das Portfolio mit gröÿter erwarteter Rendite. ˆ Jeder Anleger mischt sein Portfolio aus dem Tangentialportfolio und der risikolosen Anlage, wobei zum gleichen Zinssatz auch Borgen möglich ist. ˆ Der Markt ist perfekt. Allen Teilnehmern stehen dieselben Informationen zur Verfügung, jeder hat unbeschränkten Marktzugang und die zukünftigen Erwartungen sind bezugnehmend auf Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen gleich. Unter diesen Vorraussetzungen muss (angeblich) das Tangentialportfolio das Marktportfolio sein, da das Spiel von Angebot und Nachfrage zu einer gerechten Bewertung alle Anlagen führt. Halten wir noch einmal fest: In einem ezienten Markt für risikobehaftete Anlagen wird jeder Teilnehmer eine Mischung aus 1. der risikolosen Anlage zum Zinssatz rf 2. und dem Marktportfolio M

202

6.8 Bestimmung des Marktportfolios zusammenstellen. Sehr risikofreudige Anleger werden zum Zinssatz rf Geld aufnehmen, um verstärkt im Marktportfolio M zu investieren. Die Gerade, welche im Ertrags-Risiko-Diagramm die Punkte (0, rf ) und (σM , µM ) verbindet, heiÿt Kapitalmarktlinie . Hierbei sind ˆ rf der risikolose Zinssatz, ˆ σM das Risiko und ˆ µM die erwartete Rendite des Marktportfolios.

6.8 Bestimmung des Marktportfolios Die Kapitalmarktlinie beginnt also im Punkt (0, rf ) und ist Tangente an die Ezienzgrenze im Punkt (σM , µM ), d.h. von allen Portfolios P mit Risiko σP und erwarteter Rendite µP hat die Kapitalmarktlinie die gröÿte Steigung unter den Verbindungsgeraden von (0, rf ) nach (σP , µP ), also ergibt sich die Kapitalmarktlinie als Lösung des Maximierungsproblems, das ich im folgenden (TP) nennen werde, wobei TP für Tangentialportfolio steht: Max m(v) =

vT E(R) − rf √ , vT V v

unter den Nebenbedingungen v1 + v2 + · · · + vn = 1.

(6.38) (6.39) (6.40)

Hierbei bezeichnen Ri , i = 1, 2, . . . , n, die Renditen der Anlagen Ai und E(Ri ) die entsprechenden Erwartungswerte, die man zum Erwartungswertvektor E(R) zusammenfasst sowie V die Kovarianzmatrix. Jeder Vektor v, der die Nebenbedingung (6.40) efüllt, heiÿt zulässige Lösung des Opti-

mierungsproblems. Unter allen zulässigen Vektoren wird derjenige gesucht, der die Zielfunktion (6.38) maximiert, ich werde ihn die Lösung des Optimierungsproblems nennen und mit x bezeichnen. Für die Lösung dieses Problems benötigen wir den Vektor 1 = (1, 1, . . . , 1)T , der aus lauter Einsen besteht, wie das Abiturzeugnis von Franz-Josef Strauss. Für einen beliebigen Vektor z = (z1 , z2 , . . . , zn )T gilt für den Vektor

x = z/1T z die Bedingung (6.40), d.h. die Summe der Komponenten von x ist 1. Das folgt aus der Gleichung 1T z = z1 + z2 + · · · + zn . Das Marktportfolio hat dann den folgenden Portfoliovektor x als Lösung des Maximierungsproblems (TP): V −1 (E(R) − rf 1) . (6.41) x = T −1 1 V (E(R) − rf 1)

203

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT)

6.8.1 Mathematische Herleitung Maximierungsprobleme wie (TP) werden mathematisch unter dem Begri Optimierung mit Nebenbedingungen zusammengefasst. Dafür gibt es eine geniale Lösungsmethode, und zwar werden die Nebenbedingungen der Zielfunktion hinzugefügt, wobei jede Nebenbedingung noch mit einem so genannten Lagrangeschen Multiplikator multipliziert wird, auf diese Weise ergibt sich die so genannte Lagrangefunktion , die nicht nur von den ursprünglichen Variablen, sondern auch noch von den Multiplikatoren abhängig ist. Das Problem (TP) hat nur eine Nebenbedingung, die Lagrangefunktion lautet somit:

L(x, λ) :=


xT E(R) − rf √ + λ 1 − xT 1 . xT V x

Der Gradient bezogen auf den Vektor x muss gleich dem Nullvektor sein, d.h.
V x xT E(R) − rf E(R) gradx L(x, λ) = √ − λ1 − = 0. √ 3 xT V x T x Vx

(6.42)

(6.43)

Dabei ist zu beachten, dass

gradx xT E(R) = E(R), und gradx xT V x = 2V x gelten. Multipliziert man (6.43) mit

√ σM =

xT V x

und setzt α = λσM , so ergibt sich


V x xT E(R) − rf E(R) − α1 − = 0. xT V x

(6.44)

Multipliziert man diese Gleichung von links mit xT und beachtet xT 1 = 1, erhält man
T T x V x x E( R ) − r f = 0. xT E(R) − α − xT V x Somit gilt α = rf . Setzt man dies in (6.44) ein, ergibt sich

xT E(R) − rf V x = E(R) − rf 1. xT V x Führt man den Vektor

z=

(6.45)

xT E(R) − rf x xT V x

ein, so muss z das lineare Gleichungssystem

V z = E(R) − rf 1

204

(6.46)

6.8 Bestimmung des Marktportfolios erfüllen. Der gesuchte Vektor x ergibt sich wegen

x1 + x2 + · · · + xn = 1 durch

xi =

zi

1T z

, mit 1T z = z1 + z2 + · · · + zn .

(6.47)

Aus (6.46) und (6.47) folgt die folgende Formel für den Vektor des Marktportfolios:

x=

V −1 (E(R) − rf 1) . 1T V −1 (E(R) − rf 1)

(6.48)

Diese Formel ist für theoretische Zwecke nützlich, zum konkreten Berechnen sollte zunächst das Gleichungssystem (6.46) gelöst werden und die Komponenten von x dann entsprechend von (6.47) berechnet werden. In unserem Eingangsbeispiel sei ein risikoloser Zinssatz von rf = 4, 50 % angenommen. Dann muss zur Berechnung des Portfoliovektors x des Marktportfolios zunächst das Gleichungssystem

8, 5898z1 + 0, 7969z2 + 13, 6758z3 = 7, 6875 − 4, 50 0, 7969z1 + 12, 4375z2 + 10, 1406z3 = 9, 7500 − 4, 50 13, 6758z1 + 10, 1406z2 + 31, 2461z3 = 13, 5625 − 4, 50 gelöst werden. Das ergibt

z1 = 0, 121484565, z2 = 0, 30079778, z3 = 0, 139243843, z = 0, 561526188. Teilt man die Komponenten zi durch z und rundet auf vier Nachkommastellen, ergibt sich tatsächlich der Vektor des Marktportfolios.

Bemerkung 6.1. Der beschriebene Algorithmus löst tatsächlich immer das Maximie-

rungsproblem (TP) und führt somit auch immer zum Tangentialportfolio. Die sehr viel weiter gehende Behauptung ist aber, dass das Tangentialportfolio mit dem Marktportfolio übereinstimmt. Diese Behauptung entzieht sich aber mathematischen Beweisen und wurde lediglich mit volkswirtschaftlichen Argumenten begründet. Dass in dem von mir vorgestellten Beispiel auch Markt- und Tangentialportfolio übereinstimmen ist nicht das Lesen einer Messe wert, da ich einfach zunächst das Tangentialportfolio wie beschrieben berechnet habe und dann die Marktpreise der Aktien so festgesetzt habe, dass Marktund Tangentialportfolio übereinstimmen. Kurz gesagt: Das Maximierungsproblem (TP) liefert immer das Tangentialportfolio an die Ezienzgrenze, wobei der Punkt (0, rf ) der Ausgangspunkt ist. Das lässt sich mathematisch präzise herleiten, aber damit ist nicht die Überstimmung von Markt- und Tangentialportfolio mathematisch bewiesen, wird aber als ökonomisch plausibel angenommmen.

205

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT)

6.9 Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) Das CAPM Modell zeigt die Preisbildung eines Wertpapiers in Abhängigkeit von Rendite und Risiko, d.h. das CAPM Modell kann im Rahmen der Erwartungswert-VarianzTheorie detaillierte Preise für jedes Wertpapier ermitteln. Dem CAPM liegt allerdings die Annahme zugrunde, dass Marktportfolio und Tangentialportfolio übereinstimmen. Dann erfüllt der Vektor des Marktportfolios die folgende im vorigen Abschnitt unter (6.45) bewiesene Gleichung:

xT E(R) − rf V x = E(R) − rf 1. xT V x Der Term

(6.49)

2 V ar(M ) = σM = xT V x

beschreibt die Varianz des Marktportfolios M = Rx , während

E(M ) = xT E(R) die erwartete Rendite des Marktportfolios ist, also ist

xT E(R) − rf = E(M ) − rf die Überschussrendite des Marktportfolios über dem risikolosen Zinssatz rf . Der Vektor     x1 V ar(R1 ) + x2 Cov(R1 , R2 ) + · · · + xn Cov(R1 , Rn ) Cov(R1 , M )  x1 Cov(R2 , R1 ) + x2 V ar(R2 ) + · · · + xn Cov(R2 , Rn )   Cov(R2 , M )      Vx= =  .. ..     . .

x1 Cov(Rn , R1 ) + x2 Cov(Rn , R2 ) + · · · + xn V ar(Rn )

Cov(Rn , M )

enthält die Kovarianzen des Marktportfolios M = Rx mit den n einzelnen Zufallsvariablen der Renditen der Aktien. Somit erhält man aus (6.49):

E(M ) − rf xT E(R) − rf Vx= V x = E(R) − rf 1. T x Vx V ar(M )

(6.50)

Betrachtet man von dieser Vektorbeziehung die Komponente i und ersetzt die i-te Komponente von V x durch Cov(Ri , M ), ergibt sich nach Umstellen:

E (Ri ) − rf =βi (E (M ) − rf ) , mit Cov(Ri , M ) βi = . V ar(M )

(6.51) (6.52)

Fasst man die βi zu einem Vektor β zusammen, erhält man

β=

206

Vx . xT V x

(6.53)

6.10 Zusammenfassung Die drei letzten Formeln bilden das so genannte Capital Asset Pricing Model , abgekürzt mit CAPM. Dieses Model verknüpft die Überschussrendite E (Ri ) − rf der i-ten Anlage linear mit der Überschussrendite E (M ) − rf des Marktportfolios. Der Proportionalitätsfaktor heiÿt βi , weil er genauso berechnet wird wie der Steigungsfaktor bei linearer Regression. Darauf komme ich noch. Man spricht von Überschussrenditen, da man die Überschüsse über dem sicheren Zinssatz betrachtet. Hat etwa der Markt eine Überschussrendite von 2 Prozent und eine einzelne Aktie einen Betawert von 1,2, so sollte nach dem CAPM diese Aktie eine Überschussrendite von 2, 4 = 1, 2 · 2 haben. Das CAPM gilt wegen der Bilinearität der Kovarianz nicht nur für einzelne Aktien, sondern auch für beliebige Portfolios mit Portfoliovektor w = (w1 , w2 , . . . , wn )T , also

P = w1 R1 + w2 R2 + · · · + wn Rn .

(6.54)

Der Beta-Faktor des Portfolios ist dann gerade der mit dem Portfoliovektor w gewichtete Mittelwert der einzelnen Beta-Faktoren:

βP = wT β = w1 β1 + w2 β2 + · · · + wn βn .

(6.55)

Da der Beta-Faktor des Marktportfolios 1 ist, gilt insbesondere

βM = 1 = xT β = x1 β1 + x2 β2 + · · · + xn βn ,

(6.56)

wobei x = (x1 , x2 , . . . , xn )T der Portfoliovektor des Marktportfolios ist. Die mit dem Portfoliovektor des Marktportfolios gewichteten Beta-Faktoren der Einzelaktien ergeben aufsummiert gerade den Wert 1. Aus (6.53) folgt wegen Cov(P, M ) = wT V x die Beziehung

βP =

Cov(P, M ) . V ar(M )

(6.57)

Das CAPM lautet damit

E (P ) − rf = βP (E (M ) − rf ) .

(6.58)

6.10 Zusammenfassung Betrachtet wird eine bestimmte Auswahl von Anlagen Ai , i = 1, 2, . . . , n. Die zugehörigen Renditen führen zu den Zufallsvariablen R1 , R2 , . . . Rn . Daraus bildet man

R = (R1 , R2 , . . . , Rn )T E(R) = (E(R1 ), E(R2 ), . . . , E(Rn ))T V = [Vi,j ] = [σi,j ] = [Cov(Ri , Rj )]

Vektor der Renditen

(6.59)

Erwartungswertvektor Kovarianzmatrix

(6.60) (6.61)

207

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT) Für jedes Portfolio mit Portfoliovektor w = (w1 , w2 , . . . , wn )T gelten die Gleichungen

E(Rw ) = wT E(R),

(6.62)

V ar(Rw ) = w V w.

(6.63)

T

Die Kovarianz zwischen zwei Portfolios mit Portfoliovektoren v und w ergibt sich aus

Cov(Rv , Rw ) = vT V w.

(6.64)

Das Marktportfolio M enthält sämtliche Anlagen entsprechend ihrer Marktkapitalisierung. Der zugehörige Portfoliovektor wird mit x bezeichnet. Dieser wird in drei Schritten aus den erwarteten Renditen der Einzelanlagen und dem risikolosen Zinssatz rf berechnet. Die Gleichung (6.65) erfordert die Lösung eines Gleichungssystems, wobei alle Komponenten des Vektors 1 den Wert 1 haben.

V z = E(R) − rf 1

(6.65)

z = 1 z = z1 + z2 + · · · + zn zi xi = z

(6.66)

T

(6.67)

Für Erwartungswert und Varianz des Marktportfolios gelten

µM = E(M ) = xT E(R), 2 σM = V ar(M ) = xT V x =

(6.68)

x (E(R) − rf 1) T

z

=

E(M ) − rf . z

(6.69)

Die Beta-Faktoren βi der einzelnen Aktien bilden einen Vektor β . Der Vektor β der Betafaktoren und der Vektor E(R) der erwarteten Renditen sind über das CAPM verbunden

E(R) − rf 1 = β(E(M ) − rf ), 1 (E(R) − rf 1). β= E(M ) − rf

(6.70) (6.71)

Das CAPM lautet komponentenweise

E(Ri ) − rf = βi (E(M ) − rf ).

(6.72)

Der Vektor β der Betafaktoren und der Portfoliovektor x des Marktportfolios hängen über die Beziehung Vx β= T . (6.73) x Vx zusammen. Auch für jedes Portfolio P = Rw mit Portfoliovektor w = (w1 , w2 , . . . , wn )T gilt das CAPM, wobei sich der Beta-Faktor βP des Portfolios aus

βP = wT β = w1 β1 + w2 β2 + · · · + wn βn

208

(6.74)

6.11 Algorithmen ergibt. Der Betafaktor des Portfolios P lässt sich aber auch wahrscheinlichkeitstheoretisch deuten: Cov(P, M ) . (6.75) βP = V ar(M ) Das CAPM lautet dann (6.76)

E(P ) − rf = βP (E (M ) − rf ) .

6.11 Algorithmen 6.11.1 Fall 1 Falls E(R), rf und die Kovarianzmatrix V bekannt sind, werden der Portfoliovektor x, Erwartungswert und Varianz des Marktportfolios über die Formeln (6.65) bis (6.69) bestimmt. Der Vektor β der Betafaktoren ergibt sich aus (6.71)

6.11.2 Fall 2 Falls β , rf , E(M ) und die Kovarianzmatrix V bekannt sind, werden der Vektor x des Marktportfolios und der Vektor E(R) der erwarteten Renditen wie folgt berechnet. Es wird zunächst das lineare Gleichungssystem

Vu=β

(6.77)

gelöst. Dann erhält man den Portfoliovektor des Marktportfolios aus ui . xi = u1 + u2 + · · · un

(6.78)

Die erwarteten Renditen liefert das CAPM (6.79)

E(Ri ) = rf + βi (E(M ) − rf ). Für Erwartungswert und Varianz des Marktportfolios gelten

µM = E(M ) = xT E(R), 2 σM = V ar(M ) = xT V x =

(6.80)

x β T

u

x (E(Ri ) − rf 1) T

=

u(E(M ) − rf )

=

1 . u

(6.81)

6.11.3 Fall 3 Sind der Portfoliovektor x und die erwartete Rendite E(M ) des Marktportfolios sowie rf und die Kovarianzmatrix V bekannt, wird der Vektor β aus

Vx xT V x berechnet. Die erwarteten Renditen liefert wieder das CAPM β=

E(Ri ) = rf + βi (E(M ) − rf ).

(6.82)

(6.83)

209

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT)

6.12 Beispiele Beispiel 6.1. In unserem Eingangsbeispiel sind die erwarteten Renditen, der risikolose

Zinssatz rf = 0, 045 und die Kovarianzmatrix gegeben. Die wichtigsten Daten und die Rechnungen zeigt das Excel-Arbeitsblatt der Abbildung 6.7. Zunächst wird das Gleichungssystem

8, 5898z1 + 0, 7969z2 + 13, 6758z3 = 7, 6875 − 4, 50 0, 7969z1 + 12, 4375z2 + 10, 1406z3 = 9, 7500 − 4, 50 13, 6758z1 + 10, 1406z2 + 31, 2461z3 = 13, 5625 − 4, 50 gelöst. Das ergibt

z1 = 0, 121484565, z2 = 0, 30079778, z3 = 0, 139243843, z = 0, 561526188. Teilt man die Komponenten zi durch z und rundet auf vier Nachkommastellen, ergibt sich tatsächlich der Vektor x = (0.2163, 0.5357, 0.2480)T des Marktportfolios. Die entsprechende erwartete Rendite des Marktportfolios ist

E (RM ) = xT E (R) = 0, 2163 · 7, 6875 + 0, 5357 · 9, 7500 + 0, 2480 · 13, 5625 = 10, 2492. Die Varianz des Marktportfolios ist nach Formel (6.69) auf Seite 208 2 σm = (E(M ) − rf )/z = 10, 2387.

Abschlieÿend wird dann der Vektor β der Beta-Faktoren aus der CAPM-Formel (6.71) auf Seite 208 berechnet:     (7, 6875 − 4, 50)/(10, 2492 − 4, 5) 0, 5544 β = (E(R) − rf 1)/(E(M ) − rf ) =  (9, 7500 − 4, 50)/(10, 2492 − 4, 5)  = 0, 9132 . (13, 5625 − 4, 50)/(10, 2492 − 4, 5) 1, 5763 Zur Probe bilden wir den mit den Marktanteilen xi gewichteten Mittelwert der BetaFaktoren, also das Skalarprodukt xT β :

xT β = 0, 2163 · 0, 5544 + 0, 5357 · 0, 9132 + 0, 2480 · 1, 5763 = 1 und erhalten, von Rundungsfehlern abgesehen, wie erhot den Wert 1.

Beispiel 6.2. Zur Lösung habe ich das in Abbildung 6.7 gezeigte Excel-Arbeitsblatt

erstellt. Zunächst muss das Gleichungssystem

V z = E(R) − rf 1 gelöst werden. Dazu lasse ich Excel die Inverse der Kovarianzmatrix berechnen. Dafür werden die Zellen von B7 bis D9 markiert, also der Bereich, wohin die Inverse kommen soll. In die Eingabezeile von Excel kommt die Anweisung MINV(B2:D4), da in diesem

210

6.12 Beispiele Bereich die Kovarianzmatrix V steht. Der Befehl ist ein so genannter Matrixbefehl und verlangt zum Ausführen das gleichzeitige Drücken der drei Tasten ⇑ , Strg und ←- , also der Umschalt-, Steuerungs- und Eingabetasten. Wenn Sie das richtig machen, erscheint der Befehl in geschweiften Klammern und die Inverse der Kovarianzmatrix wird erstellt. In der Zelle E2 steht der risikolose Zinssatz, daneben in den Zellen F2 bis F4 die drei erwarteten Renditen. Durch Subtraktion des risikolosen Zinsatzes von den erwarteten Renditen ergibt sich der Vektor E(R) − rf 1 im Bereich G2:G4. Achten Sie bei der Subtraktion auf den Absolutbezug zur Zelle E2. Für den Vektor z gilt

z = V −1 (E(R) − rf 1). Auch dies berechnet Excel mit einem Matrixbefehl. Zunächst werden die drei Zellen F7:F9 markiert, danach kommt ins Eingabefeld der Befehl MMULT(B7:D9;G2:G4), dann werden wieder die drei Tasten ⇑ , Strg und ←- gleichzeitig gedrückt. Der Vektor z steht jetzt im Bereich F7:F9, die Summe seiner Komponenten steht in der Zelle B12. Der Marktvektor x ist im Bereich G7:G9 zu sehen und ergibt sich durch Teilen der Komponenten von z durch die Gesamtsumme der Komponenten. Die Rendite des Marktportfolios ist das Skalarprodukt xT E(R) und erscheint in Zelle C12. Zur Berechnung ist wieder ein Matrixbefehl nötig, und zwar MMULT(MTRANS(G7:G9);F2:F4). Die Varianz des Marktportfolios ist das Skalarprodukt σ 2 = xT V x. Ich habe diese Formel in der Zelle F12 verwendet und in der Zelle D12 die vereinfachte Formel

σ 2 = (E(M ) − rf )/z, Umgesetzt als Excel-Formel ergibt sich in Zelle D12 die Formel =(C12-E2)/B12. Den Vektor der Beta-Faktoren β erhält man durch Division des Vektors E(R) − rf 1 durch E(M )−rf . Die Probe xT β = 1 in Zelle G12 ist durch eine weitere Matrixformel realisiert. A 1

B

C V

D

2 3 4 5 6 7 8 9 10

8,589800 0,796900 13,675800 0,796900 12,437500 10,140600 13,675800 10,140600 31,246100

11 12

z E(M) Var(M) 0,561521 10,249237 10,238683

V-1 0,866233 0,344869 -0,491057 0,344869 0,246633 -0,230984 -0,491057 -0,230984 0,321893

E rf 4,500000

F E( R)

G E( R)-rf1

H

7,687500 3,187500 9,750000 5,250000 13,562500 9,062500 z x β 0,121478 0,216338 0,554421 0,300795 0,535679 0,913165 0,139248 0,247983 1,576296 T xβ Var(M) 10,238683 1,000000

Abbildung 6.7: Berechnungen zum Beispiel 6.1

211

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT) Beispiel 6.3. Es werden wieder nur drei Aktien betrachtet, deren Betafaktoren die Werte 1,2171, 0,9128 und 0,760700 haben. Der risikolose Zinssatz liegt bei 2 %, das Marktportfolio hat als erwartete Rendite den Wert 5,2865 %. Die Kovarianzmatrix lautet   0, 14 0, 04 0, 035 V =  0, 04 0, 11 0, 03  . 0, 035 0, 03 0, 1 Berechnen werden soll der Portfoliovektor x und die erwartete Rendite sowie die Varianz des Marktportfolios. A

B

C V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,14 0,04 0,035

D 0,04 0,11 0,03

0,035 0,03 0,1

V-1

E rf

F E(M)

2,000000 5,286501

G β

H

1,217100 0,912800 0,760700

8,393933 -2,451693 -2,202369 -2,451693 10,617079 -2,327031 -2,202369 -2,327031 11,468938

u 6,303009 4,937141 3,919805

x E( R) 0,415767 6,000000 0,325670 4,999918 0,258563 4,500041

u 15,159954

Var(M) 0,065963

xβ 0,999990

Var(M) 0,065963

T

Abbildung 6.8: Arbeitsblatt des Beispiels Zur Lösung habe ich das in Abbildung 6.8 gezeigte Excel-Arbeitsblatt erstellt. Hier liegt der zweite Fall der drei Algorithmen vor. Wie im vorigen Beispiel wird zunächst die Inverse V −1 der Kovarianzmatrix ermittelt. Der im Bereich F7:F9 stehende Vektor u löst das Gleichungssystem V u = β und wird durch u = V −1 β bestimmt. Der Portfoliovektor des Marktportfolios ergibt sich aus u durch Division jeder Komponente durch die Summe der Komponenten, die ich mit u bezeichne. Die Varianz des Marktportfolios ist wegen (6.81) durch 1/u gegeben. Da der sichere Zinssatz, die erwartete Rendite des Marktportfolios und die Betavektoren gegeben sind, folgen die erwarteten Renditen der Einzelanlagen aus dem CAPM.

Beispiel 6.4. In Minimalistan gibt es nur drei Aktiengesellschaften, allesamt Töchter

deutscher Unternehmen, und zwar von Siemens (SIE), der Deutschen Bank (DEU) und des RWE. Die Nennwerte aller Aktien sind 50 DM (Minimalistan liegt vergessen von der Welt tief im Balkan und hält treu an der guten alten DM fest), wobei es von SIE 1.000, von DEU 1.000 und vom RWE 800 Aktien gibt. Die Kurse in DM betragen 830, 700 und 600. a) Welchen Gesamtert M P haben die am Markt erhältlichen Aktien?

M P = 1.000 · 830 + 1.000 · 700 + 800 · 600, M P = 2.010.000.

212

6.12 Beispiele b) Sie besitzen 20.000 DM wollen Ihr Portfolio proportional zum Marktportfolio einrichten. Wie disponieren Sie? Die Anteile der einzelnen AGs am Markt sind: 83 1.000 · 830 = , xS = 2.010.000 201 70 1.000 · 700 = , xD = 2.010.000 201 800 · 600 48 xR = = . 2.010.000 201 Somit werden 20.000 · 83 nS = = 9, 950248756, 201 · 830 20.000 · 70 nD = = 9, 950248756, 201 · 700 20.000 · 48 nR = = 7, 960199005. 201 · 600 Rundet man auf, so kauft man je 10 Aktien von SIE und DEU und 8 von RWE im Gesamtwert von 8.300 + 7.000 + 4.800 = 20.100 DM. c) Die Varianzen der Gesellschaften seien 0,14, 0,11 und 0,1 und die Kovarianzen seien Cov(SIE, DEU ) = 0, 05, Cov(SIE, RW E) = 0, 02 und Cov(DEU, RW E) = 0, 03. Man bestimme die Korrelationsmatrix und die Beta-Faktoren der einzelnen Aktien. Es gilt

Cov(SIE, DEU )

Cor(SIE, DEU ) = p

=√

V ar(SIE)V ar(DEU ) var(SIE) Cor(SIE, SIE) = p = 1. var(SIE)var(SIE)

0, 05 = 0, 4029114819, 0, 14 · 0, 11

Die anderen Werte der Korrelationsmatrix bestimmt man entsprechend:

0, 02 =√ = 0, 169030851, 0, 14 · 0, 1 V ar(SIE)V ar(RW E) Cov(DEU, RW E) 0, 03 Cor(DEU, RW E) = p =√ = 0, 286038777. 0, 11 · 0, 1 V ar(DEU )V ar(RW E) Cor(SIE, RW E) = p

Cov(SIE, RW E)

Damit ergibt sich die folgende Korrelationsmatrix   1 0, 402911482 0, 169030851 1 0, 286038777 . R = 0, 402911482 0, 169030851 0, 286038777 1 Bezeichnet man die Zufallsvariable der Rendite der einzelnen Aktien mit S , D und R, so gilt für das Marktportfolio M :

M=

83 70 48 S+ D+ R. 201 201 201

213

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT) Deren Varianz berechnet sich aus der Kovarianzmatrix (nicht Korrelationsmatrix) V wie folgt: 2 σM = xT V x 1 (83, 70, 48). Für die Varianz des Marktportfolios und die drei Betamit xT = 201 Faktoren wird der Vektor y = V x benötigt:     0, 14 · 83 + 0, 05 · 70 + 0, 02 · 48 0, 08 1  0, 05 · 83 + 0, 11 · 70 + 0, 03 · 48 = 0, 066119403 . y=Vx= 201 0, 02 · 83 + 0, 03 · 70 + 0, 1 · 48 0, 042587065

Die Varianz des Marktportfolios ist 2 = xT V x = xT y σM 70 48 83 · 0, 08 + · 0, 066119403 + · 0, 042587065 = 0, 06623152893. = 201 201 201 Damit folgt für den Vektor der Beta-Faktoren     0, 08/0, 06623152893 1, 207883938 y β = 2 = 0, 066119403/0, 06623152893 = 0, 998307061 . σM 0, 042587065/0, 06623152893 0, 643002893

Als Probe muss der mit den Anteilen des Marktportfolios gewichtete Mittelwert der Beta-Faktoren den Wert 1 ergeben, also muss gelten

70 48 83 · 1, 207883938 + · 0, 998307061 + · 0, 643002893, 201 201 201 was bis auf Rundungsfehler auch stimmt. 1=

d) Die sichere Anlage in Minimalistan betrage

rf = 0, 05 das Marktportfolio erbringe 0,07. Wie hoch sind die erwarteten Renditen der einzelnen Aktien nach dem CAPM? Stellt man die Grundformel des CAPM nach E (Ri ) um, ergibt sich

E (Ri ) = rf + βi (E (RM ) − rf ) . Somit muss gelten

E (R1 ) = 0, 05 + 1, 207883938(0, 07 − 0, 05) = 0, 074157679, E (R2 ) = 0, 05 + 0, 998307061(0, 07 − 0, 05) = 0, 069966141, E (R3 ) = 0, 05 + 0, 643002893(0, 07 − 0, 05) = 0, 062860058. Als Probe muss sich aus den einzelnen Renditen die Rendite des Marktportfolios ergeben, also muss gelten

70 48 83 · 0, 074157679 + · 0, 069966141 + · 0, 062860058, 201 201 201 was bis auf Rundungsfehler auch stimmt. 0, 07 =

214

6.12 Beispiele e) Ein anders Portfolio habe die relativen Anteile w = (0.5, 0.3, 0.2)T . Welche erwartete Rendite und welches Risiko hat dieses Portfolio? Für die erwartete Rendite erhält man

E (Rw ) = 0, 074157679 · 0, 5 + 0, 069966141 · 0, 3 + 0, 062860058 · 0, 2 = 0, 07064069. Für das Risiko, also die Standardabweichung des Portfolios muss zunächst die Varianz

wT V w = 0, 14 · 0, 52 + 0, 11 · 0, 32 + 0, 1 · 0, 22 + 2(0, 05 · 0, 5 · 0, 3 + 0, 02 · 0, 5 · 0, 2 + 0, 03 · 0, 3 · 0, 2) = 0, 0715 berechnet werden. Die Quadratwurzel davon ergibt das Risiko mit dem Wert 0, 26739. f) Welche Kovarianz und welche Korrelation hat dieses Portfolio mit dem Marktportfolio? Für die Kovarianz zweier Portfolios mit Portfoliovektoren w und x gilt

Cov (Rw , Rx ) = wT V x. In diesem Fall ist y = V x und somit gilt

Cov (Rw , Rx ) = 0, 5 · 0, 08 + 0, 3 · 0, 066119403 + 0, 2 · 0, 042587065 = 0, 068353234. Die Korrelation der beiden Portfolios ergibt sich durch Division der Kovarianz durch das Produkt der einzelnen Standardabweichungen, also Cov (Rw , Rx ) Cor (Rw , Rx ) = p V ar (Rw ) V ar (Rx ) 0, 068353234 =√ = 0, 993284492. 0, 06623152893 · 0, 068353234 g) Man berechne den Beta-Faktor dieses Portfolios. Der Beta-Faktor eines Portfolios mit Portfoliovektor w ist gerade der mit den Komponenten des Portfoliovektors gewichtete Mittelwert der einzelnen Beta-Faktoren, also

βRw = wT β = 0, 5 · 1, 207883938 + 0, 3 · 0, 998307061 + 0, 2 · 0, 643002893 = 1, 03203466. h) Ein Anleger möchte eine Rendite von 6,5 % erzielen und sucht das passende Portfolio mit minimalem Risiko. Welches Optimierungsproblem muss er lösen? Das Optimierungsproblem lautet Min

z = vT V v = 0, 14v12 + 0, 11v22 + 0, 1v32 + 0, 1v1 v2 + 0, 04v1 v3 + 0, 06v2 v3 , unter den Nebenbedingungen v1 + v2 + v3 = 1, 0, 074157679v1 + 0, 069966141v2 + 0, 062860058v3 ≥ 0, 065, vi ≥ 0.

215

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT)

6.13 Aufgaben Aufgabe 1. Praktikumsaufgabe: Man erstelle eine Excel-Arbeitsmappe, womit die Aufgabe 4 in der Art des Beispiels 6.2 auf Seite 210 gelöst wird.

Aufgabe 2. Abhängig von der Konjunktur ergeben sich die jährlichen Renditen der bei-

den einzigen Aktiengesellschaften eines kleinen Landes aus der folgenden Tabelle. Der sichere Zinssatz sei rf = 0, 10. Berechnen Sie die erwarteten Renditen, die Kovarianzmatrix und die Korrelationsmatrix, den Portfoliovektor des Marktportfolios sowie die Betawerte der beiden Aktien und dann den Betawert des Portfolios, das je zur Hälfte aus beiden Aktien besteht. Von diesem Portfolio mögen Sie ferner Rendite, Varianz und Risiko berechnen und abschlieÿend Kovarianz und Korrelation der beiden Portfolios. Konjunktur

Wahrscheinlichkeit

Rendite A

Rendite B

Gut Normal Schlecht

0,35 0,50

0,25 0,20 -0,25

0,60 0,10 -0,30

Aufgabe 3. In einem sehr kleinen Land gibt es nur zwei Aktiengesellschaften (AG)

mit den Namen A und B. Die Beta-Faktoren und die Standardabweichungen der beiden Aktien benden sich in der folgenden Tabelle: Aktie

Beta-Faktor

Standardabweichung

A B

1,14285714 0,85714286

0,173205080 0,141421356

Die Korrelation zwischen den Renditen R1 und R2 beträgt 0,40824829. Das Marktportfolio hat eine erwartete Rendite von 6,5 Prozent, der sichere Zinssatz hat den Wert 3 Prozent. a) Geben Sie die Korrelationsmatrix an! b) Berechnen Sie die Kovarianzmatrix! Wenn Sie es richtig machen, sollten Sie mit zwei Stellen nach dem Komma auskommen. c) Bestimmen Sie den Portfoliovektor und die Varianz des Marktportfolios. Weisen Sie nach, dass der Beta-Faktor des Marktportfolios wirklich 1 ist. d) Bestimmen Sie die Renditen der beiden Aktien! Auch hier bitte auf zwei Nachkommastellen runden. e) Ein anders Portfolio habe die relativen Anteile w = (0.9, 0.1)T . Berechnen Sie die erwartete Rendite, das Risiko und den Beta-Faktor dieses Portfolios!

216

6.13 Aufgaben f) Welche Kovarianz und welche Korrelation hat dieses Portfolio mit dem Marktportfolio? g) Ein Anleger möchte eine Rendite von 6,5 Prozent erzielen und sucht das passende Portfolio mit minimalem Risiko. Welches Optimierungsproblem muss er lösen? Können Sie die Lösung angeben? h) Bestimmen Sie das Portfolio mit dem kleinsten Risiko.

Aufgabe 4. In einem kleinen Land gibt es nur drei Aktiengesellschaften (AG) mit den Namen A, B und C. Anzahl, Kurs und Anzahl der drei Aktien benden sich in der linken Tabelle, die Kovarianzmatrix steht rechts daneben. Aktie

Anzahl

Kurs

A B C

200 100 50

50 400 1000



 0, 2 0, 05 0, 02 V = 0, 05 0, 08 0, 03 0, 02 0, 03 0, 18

a) Welchen Marktwert hat das Marktportfolio? Sie besitzen 10.000 e und wollen proportional zum Marktportfolio investieren. Wie gehen Sie vor? b) Bestimmen Sie die Varianz des Marktportfolios und die Beta-Faktoren der drei Aktien. c) Die Rendite des Marktportfolios sei 0,07, der sichere Zinssatz betrage 0,03. Bestimmen Sie die Renditen der drei Aktien! d) Ein anders Portfolio habe die relativen Anteile w = (0.5, 0.3, 0.2)T . Welche erwartete Rendite und welches Risiko hat dieses Portfolio? e) Welche Kovarianz und welche Korrelation hat dieses Portfolio mit dem Marktportfolio? f) Welchen Beta-Faktor hat dieses Portfolio? g) Ein Anleger möchte eine Rendite von 7,5 % erzielen und sucht das passende Portfolio mit minimalem Risiko. Bestimmen Sie das zugehörige Optimierungsproblem und nden Sie die Lösung mit dem Solver von Excel. h) Die AG B führe eine Kapitalerhöhung wie folgt durch: Für 10 alte Aktien können 3 neue zum Kurs von 300 e bezogen werden. Wie hoch ist der Kurs der Aktie unmittelbar nach Ablauf des Bezugsrechts? Wie hoch war das Bezugsrecht? Welchen Marktwert hat die AG nach erfolgter Kapitalerhöhung? Welchen Bereinigungsfaktor müssen die Chartisten nun ansetzen?

217

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT) Aufgabe 5. Man löse das folgende Maximierungsproblem mit Hilfe der Multiplikatorenmethode von Langrange und deute es geometrisch.

Maximiere f (x, y, z) = xyz, unter der Nebenbedingung xy + xz + yz = 12.

Aufgabe 6. Eine Matrix P heiÿt Projektionsmatrix, wenn P symmetrisch und idempotent ist, also die Bedingungen P T = P und P P = P erfüllt. Man zeige, dass jede Projektionsmatrix positiv semidenit ist, dass alle Eigenwerte 0 oder 1 sind und der Rang von P gleich der Spur von P ist. Auÿerdem beweise man, dass mit P auch I − P eine Projektionsmatrix ist. Bestimmen Sie die (einzige) Projektionsmatrix vom Rang 1, die den Vektor 1 als Eigenvektor hat.

Aufgabe 7. Man bestimme die Menge aller Vektoren des Rn , die bezüglich des Skalarprodukts < x, y >= xT y orthogonal zum Einsvektor 1 sind und zeige, dass diese Vektoren einen Vektorraum der Dimension n − 1 bilden.

218

6.14 Lösungen

6.14 Lösungen Aufgabe 2. Abhängig von der Konjunktur ergeben sich die jährlichen Renditen der

beiden einzigen Aktiengesellschaften eines kleinen Landes aus den Werten des Bereichs A1:D4 des abgebildeten Arbeitsblatts. Der sichere Zinssatz sei rf = 0, 10. Berechnen Sie die erwarteten Renditen, die Kovarianzmatrix und die Korrelationsmatrix, den Portfoliovektor des Marktportfolios sowie die Betawerte der beiden Aktien und abschlieÿend den Betawert des Portfolios, das je zur Hälfte aus beiden Aktien besteht. Die Lösungen nden Sie in der folgenden Exceltabelle:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

A Konjunktur

B C D Wahrsch. Rendite A Rendite B 0,35 0,25 0,6 0,5 0,2 0,1 0,15 -0,25 -0,3

gut normal schlecht E(Ri) Var(Ri) Std(Ri) E(Ri)-rf 0,05 0,115

0,215 0,09828 0,31349

z 0,12804 1,11612

z1+z2 x 1,24416 0,1029128 0,8970872

T

w

0,0415 0,09828

V-1 0,78074 89,0782199 -37,61442944 1 -37,6144294 26,05818907 E(M) 0,20831067

0,5 0,5

βP Var(P) Std(P) 0,1825 0,0525075 0,2291452 0,7616978

Cov(M,P) 0,06631224

1

G V

0,02875 0,0415

Vw 0,035125 0,06989

0,461635047 1,061760607 E(P)

1 0,78074

F 0,1

R

0,15 0,02875 0,16956

xβ

β=(E(Ri)-rf )/(E(M)-r f)

E rf

Var(M) Std(M) 0,08705526 0,295051277

Cor(M,P) 0,9808114

Abbildung 6.9: Arbeitsblatt der Aufgabe 2 Die nicht angegebene Wahrscheinlichkeit muss 0,15 sein, da sich Einzelwahrscheinlichkeiten immer zu 1 aufsummieren. Die Erwartungswerte der Renditen sind

E(R1 ) = 0, 35 · 0, 25 + 0, 50 · 0, 20 + 0, 15 · (−0, 25) = 0, 15, E(R2 ) = 0, 35 · 0, 60 + 0, 50 · 0, 10 + 0, 15 · (−0, 30) = 0, 215. Die Varianzen ergeben sich aus

V ar(R1 ) = 0, 35 · 0, 252 + 0, 50 · 0, 202 + 0, 15 · (−0, 25)2 − 0, 152 = 0, 02875, V ar(R2 ) = 0, 35 · 0, 602 + 0, 50 · 0, 102 + 0, 15 · (−0, 30)2 − 0, 2152 = 0, 09828. Die Wurzeln aus den Varianzen führen zu den Standardabweichungen. Für die Kovarianz σ1,2 = Cov(R1 , R2 ) gilt

σ1,2 = 0, 35 · 0, 25 · 0, 60 + 0, 50 · 0, 20 · 0, 10 + 0, 15 · (−0, 25) · (−0, 30) − 0, 15 · 0, 215 = 0, 04150.

219

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT) Für die Korrelation ρ1,2 = Cor(R1 , R2 ) muss die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen geteilt werden:

ρ1,2 =

0, 04150 σ1,2 = = 0, 78074. σ1 σ2 0, 16956 · 0, 31349

Die Kovarianzmatrix V ist damit

  0, 02875 0, 04150 V = . 0, 04150 0, 09828 Für die Korrelationsmatrix folgt

 R=

 1 0, 78074 . 0, 78074 1

Die Inverse V −1 der Kovarianzmatrix erhält man über den Matrixbefehl MINV(Bereich). Sie müssen also zunächst den Bereich F7:G8 markieren, dann ins Eingabefeld den Befehl MINV(F3:G4) schreiben und die Eingabe mit der Tastenkombination ⇑ Strg ←beenden. Der Vektor z ergibt sich aus der Gleichung

z = V −1 (E(R) − rf 1) , wobei der Vektor E(R) − rf 1 hier in den Zellen A11 und A12 steht. Die Berechnung übernimmt Excel durch den Matrixbefehl MMULT(F7:G8;A11:A12). In der Zelle C11 steht die Summe z der Komponenten von z. Den Portfoliovektor x des Marktportfolios erhält man dann durch Division der Komponenten von z durch die Summe der Komponenten. Sie nden ihn in den Zellen D11 und D12. Die Rendite E(M ) des Marktportfolios ist das Skalarprodukt der Vektoren x und E(R). Rechts daneben steht die Varianz V ar(M ) = xT V x des Marktportfolios. Nach Gleichung (6.69) auf Seite 208 gilt V ar(M ) = (E(M ) − rf )/z . Für die Betawerte muss der Vektor E(R) − rf 1 durch E(M ) − rf geteilt werden. Das Ergebnis steht in den Zellen A15 und A16. Zur Probe habe ich das Skalarprodukt von x und β gebildet, was den Betawert des Marktportfolios ergibt, der 1 sein muss und ist. Die Rendite eines Portfolios mit Portfoliovektor w = (w1 , w2 )T ergibt sich aus

E(P ) = w1 · E(R1 ) + w2 · E(R2 ) = 0, 5 · 0, 15 + 0, 5 · 0, 215 = 0, 1825. Für die Varianz σP2 muss der Ausdruck wT V w berechnet werden. Daher wurde zunächst der Vektor V w bestimmt, der in den Zellen E15:E16 steht. Der Betawert dieses Portfolios errechnet sich aus

βP = w1 · β1 + w2 · β2 = 0, 5 · 0, 46164 + 0, 5 · 1, 06176 = 0, 76170. Schlieÿlich ergibt sich die Kovarianz zwischen dem Marktportfolio und dem Portfolio mit dem Portfoliovektor w = (0.5, 0.5) aus

Cov(M, P ) = xT V w = 0, 102912809 · 0, 035125 + 0, 897087191 · 0, 06989 = 0, 06631.

220

6.14 Lösungen Teilt man diesen Wert durch das Produkt der beiden Standardabweichungen, erhält man die Korrelation zwischen den beiden Portfolios. Zur Probe wird das CAPM benutzt, um über die Betawerte die Renditen der beiden Aktien zu erhalten. Es muss also gelten

0, 150 = E(R1 ) = rf + β1 (E(M ) − rf ) = 0, 10 + 0, 46164(0, 2083 − 0, 1), 0, 215 = E(R2 ) = rf + β2 (E(M ) − rf ) = 0, 10 + 1, 06176(0, 2083 − 0, 1), was tatsächlich der Fall ist. So hat denn durch Gottes Segen und des Menschen Fleiÿ alles seine Richtigkeit und ich kann beruhigt zum Badesee fahren.

Aufgabe 3. In einem sehr kleinen Land gibt es nur zwei Aktiengesellschaften (AG)

mit den Namen A und B. Die Beta-Faktoren und die Standardabweichungen der beiden Aktien benden sich in der folgenden Tabelle: Aktie

Beta-Faktor

Standardabweichung

A B

1,14285714 0,85714286

0,173205080 0,141421356

Die Korrelation zwischen den Renditen R1 und R2 beträgt 0,40824829. Das Marktportfolio hat eine erwartete Rendite von 6,5 Prozent, der sichere Zinssatz hat den Wert 3 Prozent. a) Geben Sie die Korrelationsmatrix an! Die Korrelationsmatrix lautet:   1 0, 40824829 R= . 0, 40824829 1 b) Berechnen Sie die Kovarianzmatrix! Wenn Sie es richtig machen, sollten Sie mit zwei Stellen nach dem Komma auskommen. Die Varianzen der Renditen R1 und R2 der beiden AG egeben sich durch Quadrierung der Standardabweichungen zu σ12 = 0, 1732050802 = 0, 03 und σ22 = 0, 1414213562 = 0, 02. Für die Kovarianz σ1,2 = Cov(R1 , R2 ) gilt

σ1,2 = Cor(R1 , R2 )σ1 σ2 = 0, 40824829 · 0, 173205080 · 0, 141421356 = 0, 01. Die Kovarianzmatrix V ist damit

  0, 03 0, 01 V = . 0, 01 0, 02 c) Bestimmen Sie den Portfoliovektor und die Varianz des Marktportfolios. Weisen Sie nach, dass der Beta-Faktor des Marktportfolios wirklich 1 ist.

221

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT) d) Bestimmen Sie die Renditen der beiden Aktien! Auch hier bitte auf zwei Nachkommastellen runden. e) Ein anders Portfolio habe die relativen Anteile w = (0.9, 0.1)T . Berechnen Sie die erwartete Rendite, das Risiko und den Beta-Faktor dieses Portfolios! f) Welche Kovarianz und welche Korrelation hat dieses Portfolio mit dem Marktportfolio? Für diese Teile der Lösungen habe ich ein Arbeitsblatt erstellt.

A

B

C V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D rf

E E(M)

F β

G w

H βP

0,030000

0,065000

1,142857 0,900000 1,11428571 0,857143 0,100000

V-1 u 40,000000 -20,000000 28,571428 -20,000000 60,000000 28,571429

x 0,500000 0,500000

E( R) 0,070000 0,060000

E(P) 0,069

Vw 0,028000 0,011000

u 57,142857

Var(P) 0,026300

Std(P) Cov(M,P) 0,162173 0,019500

Cor(M,P) 0,90894522

0,03 0,01

0,01 0,02

Var(M) 0,017500

Std(M) 0,132288

Abbildung 6.10: Arbeitsblatt der Aufgabe 3 Der Portfoliovektor x des Marktportfolios und der Vektor β der Beta-Faktoren hängen wie folgt zusammen: Vx . β= T x Vx Somit ist der Vektor u = V −1 β bis auf einen Faktor identisch mit x. Aus

x1 + x2 = 1 folgt damit

ui für i = 1, 2. u1 + u2 der Kovarianzmatrix V ist   40 −20 −1 V = . −20 60 xi =

Die Inverse V −1

Dabei habe ich folgende nur für Matrizen mit je zwei Zeilen und Spalten geltende Matrixgleichung benutzt:  −1   1 a b d −b = . c d ad − bc −c a

222

6.14 Lösungen Damit ist

u = (40 · 1, 14285714 − 20 · 0, 85714286, −20 · 1, 14285714 + 60 · 0, 85714286)T , u = (28, 5714284, 28, 5714288)T , und somit gerundet

x = (0, 5, 0, 5)T .

Die Varianz des Marktportfolios M = Rx ist

V ar(M ) = xT V x = 0, 52 (0, 03 + 0, 02 + 2 · 0, 01) = 0, 0175. Für das Risiko erhält man p p Std(M ) = V ar(M ) = 0, 0175 = 0, 13228756555323. Der Beta-Faktor eines Portfolios mit Portfoliovektor x ist gerade der mit den Komponenten des Portfoliovektors gewichtete Mittelwert der einzelnen Beta-Faktoren, also gilt für das Marktportfolio

βM = βRx = xT β = 0, 5 · 1, 14285714 + 0, 5 · 0, 85714286 = 1. Stellt man die Grundformel des CAPM nach E (Ri ) um, ergibt sich

E (Ri ) = rf + βi (E (RM ) − rf ) . Somit gelten

E (R1 ) = 0, 03 + 1, 14285714(0, 065 − 0, 03) = 0, 07, E (R2 ) = 0, 03 + 0, 85714286(0, 065 − 0, 03) = 0, 06. Als Probe muss sich aus den einzelnen Renditen die Rendite des Marktportfolios ergeben, also muss gelten

0, 065 = 0, 5 · 0, 07 + 0, 5 · 0, 06, was auch stimmt. Die erwartete Rendite des Portfolios mit Portfoliovektor w = (0.9, 0.1)T ergibt sich aus E (Rw ) = wT E (R) = 0, 07 · 0, 9 + 0, 06 · 0, 1 = 0, 069. Die Varianz dieses Portfolios ist wT V w, daher wird zunächst der Vektor V w = (0, 028, 0.011)T bestimmt. Damit folgt

V ar(P ) = wT V w = 0, 9 · 0, 028 + 0, 1 · 0.011 = 0, 0263. Für das Risiko erhält man p p Std(P ) = V ar(P ) = 0, 0263 = 0, 162172747402269.

223

6 Moderne Portfoliotheorie (MPT) Der Beta-Faktor eines Portfolios mit Portfoliovektor w ist gerade der mit den Komponenten des Portfoliovektors gewichtete Mittelwert der einzelnen Beta-Faktoren, also βP = wT β = 0, 9 · 1, 14285714 + 0, 1 · 0, 85714286 = 1, 1143. Für die Kovarianz Cov(M, P ) = Cov(Rx , Rw ) der beiden Portfolios gilt

Cov(M, P ) = xT V w = 0, 5 · 0, 028 + 0, 5 · 0.011 = 0, 0195. Die Korrelation ist damit

Cor(M, P ) =

0, 0195 Cov(M, P ) = = 0, 9089. Std(M )Std(P ) 0, 132288 · 0, 162173

g) Ein Anleger möchte eine Rendite von 6,5 Prozent erzielen und sucht das passende Portfolio mit minimalem Risiko. Welches Optimierungsproblem muss er lösen? Können Sie die Lösung angeben? Das Optimierungsproblem lautet Minimiere

z = vT V v = 0, 03v12 + 0, 02v22 + 0, 02v1 v2 , unter den Nebenbedingungen v1 + v2 = 1, 0, 07v1 + 0, 06v2 ≥ 0, 065, vi ≥ 0. Die Lösung ist natürlich das Marktportfolio, da das Marktportfolio die geforderte Rendite hat und ezient ist! h) Bestimmen Sie das Portfolio mit dem kleinsten Risiko. Das Optimierungsproblem lautet Minimiere

z = vT V v = 0, 03v12 + 0, 02v22 + 0, 02v1 v2 , unter den Nebenbedingungen v1 + v2 = 1, vi ≥ 0. Hier wird keine Bedingung an die Rendite gestellt, es gilt lediglich das Risiko zu minimieren. Die optimale Lösung sei mit w bezeichnet. Setzt man w2 = 1 − w1 in die Zielfunktion ein, erhält man Minimiere

z = 0, 03w12 + 0, 02 (1 − w1 )2 + 0, 02w1 (1 − w1 ) = 0, 03w12 − 0, 02w1 + 0, 02, unter der Nebenbedingung 0 ≤ w1 ≤ 1.

224

6.14 Lösungen Bildet man die Ableitung der Zielfunktion und setzt diese 0, ergibt sich

0, 06w1 − 0, 02 = 0, d.h. w1 = 1/3 und w2 = 2/3. Die minimale Varianz ist 0,01, das minimale Risiko 0,1. Die Rendite dieses M V P genannten Portfolios ist

E(M V P ) =

0, 06 0, 07 +2 = 0, 633, 3 3

d.h. dieses Portfolio hat trotz des geringeren Risikos eine höhere Rendite als die zweite Einzelanlage, ein typischer Eekt von Diversikation.

Aufgabe 4. In einem kleinen Land gibt es nur drei Aktiengesellschaften (AG) mit den Namen A, B und C. Anzahl, Kurs und Anzahl der drei Aktien benden sich in der linken Tabelle, die Kovarianzmatrix steht rechts daneben. Aktie

Anzahl

Kurs

A B C

200 100 50

50 400 1000



 0, 2 0, 05 0, 02 V = 0, 05 0, 08 0, 03 0, 02 0, 03 0, 18

a) Welchen Marktwert hat das Marktportfolio? Sie besitzen 10.000 e und wollen proportional zum Marktportfolio investieren. Wie gehen Sie vor? Der Marktwert des Marktportfolios beträgt

M W = 200 · 50 + 100 · 400 + 50 · 1000 = 10.000 + 40.000 + 50.000 = 100.000 Man muss 20 Stück von A, 10 von B und 5 von C kaufen. b) Bestimmen Sie die Varianz des Marktportfolios und die Beta-Faktoren der drei Aktien. Die relativen Anteile der drei Aktien am Marktwert bilden den Portfoliovektor x = (0.1, 0.4, 0.5)T . Für die Varianz des Marktportfolios und die drei Beta-Faktoren wird der Vektor y = V x benötigt.     0, 2 · 0, 1 + 0, 05 · 0, 4 + 0, 02 · 0, 5 0, 05 y = V x = 0, 05 · 0, 1 + 0, 08 · 0, 4 + 0, 03 · 0, 5 = 0, 052 . 0, 02 · 0, 1 + 0, 03 · 0, 4 + 0, 18 · 0, 5 0, 104 Die Varianz des Marktportfolios ist 2 σM = xT V x = xT y = 0, 05 · 0, 1 + 0, 052 · 0, 4 + 0, 104 · 0, 5 = 0, 0778.

Damit folgt für den Vektor der Beta-Faktoren     0, 05/0, 0778 0, 64267 y β = 2 = 0, 052/0, 0778 = 0, 66838 . σM 0, 104/0, 0778 1, 33676

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6 Moderne Portfoliotheorie (MPT) Als Probe muss der mit den Anteilen des Marktportfolios gewichtete Mittelwert der Beta-Faktoren den Wert 1 ergeben, also muss gelten

1 = 0, 64267 · 0.1 + 0, 66838 · 0, 4 + 1, 33676 · 0, 5, was bis auf Rundungsfehler auch stimmt. c) Die Rendite des Marktportfolios sei 0,07, der sichere Zinssatz betrage 0,03. Bestimmen Sie die Renditen der drei Aktien! Stellt man die Grundformel des CAPM nach E (Ri ) um, ergibt sich

E (Ri ) = rf + βi (E (RM ) − rf ) . Somit gelten

E (R1 ) = 0, 03 + 0, 64267(0, 07 − 0, 03) = 0, 05571, E (R2 ) = 0, 03 + 0, 66838(0, 07 − 0, 03) = 0, 05674, E (R3 ) = 0, 03 + 1, 33676(0, 07 − 0, 03) = 0, 08347. Als Probe muss sich aus den einzelnen Renditen die Rendite des Marktportfolios ergeben, also muss gelten

0, 07 = 0, 05571 · 0, 1 + 0, 05674 · 0, 4 + 0, 08347 · 0, 5, was bis auf Rundungsfehler auch stimmt. d) Ein anders Portfolio habe die relativen Anteile w = (0.5, 0.3, 0.2)T . Welche erwartete Rendite und welches Risiko hat dieses Portfolio? Für die erwartete Rendite erhält man

E (Rw ) = 0, 05571 · 0, 5 + 0, 05674 · 0, 3 + 0, 08347 · 0, 2 = 0, 06157. Für das Risiko, also die Standardabweichung des Portfolios muss zunächst die Varianz wT V w = 0, 087 berechnet werden. Die Quadratwurzel davon ergibt das Risiko mit dem Wert 0, 29496. e) Welche Kovarianz und welche Korrelation hat dieses Portfolio mit dem Marktportfolio? Für die Kovarianz zweier Portfolios mit Portfoliovektoren w und x gilt

Cov (Rw , Rx ) = wT V x. In diesem Fall ist y = V x und somit gilt

Cov (Rw , Rx ) = 0, 5 · 0, 05 + 0, 3 · 0, 052 + 0, 2 · 0, 104 = 0, 0614 Die Korrelation der beiden Portfolios ergibt sich durch Division der Kovarianz durch das Produkt der einzelnen Standardabweichungen, also

0, 0614 Cov (Rw , Rx ) =√ = 0, 7463 Cor (Rw , Rx ) = p 0, 0778 · 0, 087 V ar (Rw ) V ar (Rx )

226

6.14 Lösungen f) Man berechne den Beta-Faktor dieses Portfolios. Der Beta-Faktor eines Portfolios mit Portfoliovektor w ist gerade der mit den Komponenten des Portfoliovektors gewichtete Mittelwert der einzelnen Beta-Faktoren, also

βRw = wT β = 0, 5 · 0, 64267 + 0, 3 · 0, 66838 + 0, 2 · 1, 33676 = 0, 789201. g) Ein Anleger möchte eine Rendite von 7,5 % erzielen und sucht das passende Portfolio mit minimalem Risiko. Bestimmen Sie das zugehörige Optimierungsproblem und nden Sie die Lösung mit dem Solver von Excel. Im abgebildeten Arbeitsblatt bendet sich die vom Excel-Solver gefundene Lösung A 1 2 3 4 5 6 7 8 9

V=

B 0,2 0,05 0,02

C 0,05 0,08 0,03

D 0,02 0,03 0,18

0,071489 0,040147 0,242629 0,043561 w= Vw = 0,685882 0,132167 1,000000

E

F

G E ( R)T

H

0,055710 0,056740 0,083470 T E ( R) w = 0,075000

wTVw = 0,104091

Das Optimierungsproblem lautet Minimiere

z = vT V v = 0, 2v12 + 0, 08v22 + 0, 18v32 + 0, 1v1 v2 + 0, 04v1 v3 + 0, 06v2 v3 , unter den Nebenbedingungen v1 + v2 + v3 = 1, 0, 05571v1 + 0, 05674v2 + 0, 08347v3 ≥ 0, 075, vi ≥ 0. h) Die AG B führe eine Kapitalerhöhung wie folgt durch: Für 10 alte Aktien können 3 neue zum Kurs von 300 e bezogen werden. Wie hoch ist der Kurs der Aktie unmittelbar nach Ablauf des Bezugsrechts? Wie hoch war das Bezugsrecht? Welchen Marktwert hat die AG nach erfolgter Kapitalerhöhung? Welchen Bereinigungsfaktor müssen die Chartisten nun ansetzen? Für 10 Aktien zum Kurs von 400 kommen 3 Aktien zum Kurs von 300, Gesamtwert 4.900, der sich auf 13 Aktien verteilt, also hat jede einzelne Aktie einen Wert von 376,92. Das Bezugsrecht war 23,08 pro Aktie. Der neue Marktwert ist 100 · 400 + 30 · 300 = 49.000. Der Bereinigungsfaktor ist f = 376, 92/400 = 0, 9423. Oder mit

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6 Moderne Portfoliotheorie (MPT) Formeln

10/3 · 400 + 300 BV · Kvor + BK = = 376, 92, BV + 1 10/3 + 1 Kex 376, 92 f= = = 0, 9423, Kvor 400 BezR = Kvor − Kex = 400 − 376, 92 = 23, 08. Kex =

Aufgabe 5. Man löse das folgende Maximierungsproblem mit Hilfe der Multiplikatorenmethode von Langrange und deute es geometrisch.

Maximiere f (x, y, z) = xyz, unter der Nebenbedingung xy + xz + yz = 12.

Aufgabe 6. Eine Matrix P heiÿt Projektionsmatrix, wenn P symmetrisch und idempotent ist, also die Bedingungen P T = P und P P = P erfüllt. Man zeige, dass jede Projektionsmatrix positiv semidenit ist, dass alle Eigenwerte 0 oder 1 sind und der Rang von P gleich der Spur von P ist. Auÿerdem beweise man, dass mit P auch I − P eine Projektionsmatrix ist. Bestimmen Sie die (einzige) Projektionsmatrix vom Rang 1, die den Vektor 1 als Eigenvektor hat.

Aufgabe 7. Man bestimme die Menge aller Vektoren des Rn , die bezüglich des Skalarprodukts < x, y >= xT y orthogonal zum Einsvektor 1 sind und zeige, dass diese Vektoren einen Vektorraum der Dimension n − 1 bilden.

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Literaturverzeichnis [1] U. Perina, Kursbuch Geld, Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt am Main, 1990 [2] R. Brealey and S. Myers, Principles of Corporate Finance, McGraw-Hill, Inc, New York, 1991. [3] V. Loomann, Richtig rechnen bei Finanzgeschäften; Kredite, Finanzierungen, Kapitalanlagen, Frankfurter Allgemeine Zeitung, Frankfurt am Main, 1988. [4] H. Schierenbeck und B. Rolfes, Eektivzinsrechnung in der Bankenpraxis, Zeitschrift für betriebswirtschaftliche Forschung, 38 (1986), 766-778. [5] Elton, E. and Gruber, M., Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, John Wiley & Sons, 1991,New York

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Index Abgeld, 75 Abrechnungstag, 125 Anfangskapital, 1 Anlage inezient, 186 Anleihe current yield, 144 Kurs, 139 Anleihen, 123, 124 Arbitrage, 148 Aufzinsungsfaktor, 22 Auszahlugskurs, 75 Bank Discount Rate, 127 Barwert, 64 Bond-Stripping, 149 Bonität, 123 BRTEILJAHRE, 50 Bundesanleihen, 137 Bundesobligationen, 137 Capital Asset Pricing Model, 207 Darlehen Nennwert, 75 Disagio, 75 Diskontierungsfaktor, 94 Diskontierungsfunktion, 164 Diversikation, 195 Duplikationsansatz, 131 Duration, 153, 165 Duration: modizierte, 153, 165 Durationsansatz, 152, 166 Eektivverzinsung, 74 ecient frontier, 197 Ezienzgrenze, 197

230

Emission, 123 Emittent, 123 Endkapital, 1 Ersatzrente, 102, 110, 115 Erwartungswert, 185 Erwartungswertoperator, 188 Fälligkeit, 124, 136 Fälligkeitstermin, 125 Finanzierungsschätze, 129 Floater, 123, 124 Folge arithmetische, 92, 114 geometrischen, 93, 114 Forward-Rate, 130, 164 Gläubiger, 1 HER, 198, 200 ICMA, 9 Investition, 71 ISDA, 9 ISMA, 9 Kapitalmarktlinie, 201, 203 Kapitalwert, 69, 71 Kapitalwertfunktion, 71 Kapitalwertmethode, 71 Kaufkurs, 144 Konto, 63 Korrelation, 192 Korrelationsmatrix, 194 Kovarianz, 191 Kovarianzmatrix, 193 Kupon, 135, 136, 165 Lagrangefunktion, 204

Index Laufzeit, 1, 124, 125, 136 Leibrente, 95 Marktportfolio, 199 modizierten Duration, 152 MVP, 200 Nennwert, 124, 125, 136 einer Rente, 135 Nettobarwert, 69 Nominalwert, 124, 136 Nullkuponanleihe, 125, 164 Nullkuponanleihen, 123, 124 Portfolio, 155, 187, 194 Portfolio:ezient, 197 Portfoliovektor, 194 Preisangabeverordnung, 21 present value, 64 Rendite, 21, 74 Rente, 92, 95, 123 arithmetisch veränderliche, 92 ewige, 95, 112, 113 ewige dynamische, 113 geometrisch veränderliche, 92 Laufzeit, 95 nachschüssige, 95 vorschüssige, 95 Renten nachschüssige, 97 vorschüssige, 98 Rentenbarwert, 96 nachschüssig, 96 nachschüssiger, 98, 99, 115 vorschüssig, 96 vorschüssiger, 98 Rentenbarwertfaktor nachschüssiger, 94, 99, 115 vorschüssiger, 100 Rentenendwert, 96 nachschüssig, 96 nachschüssiger, 97, 99, 115 vorschüssig, 96 vorschüssiger, 98

Rentenendwertfaktor nachschüssiger, 94, 99, 115 vorschüssiger, 100 Rentenperiode, 95 Risiko, 185, 189, 190 systematisches, 196 unsystematisches, 197 Risiko-Ertrags-Diagramm, 197 Risikoprämie, 200 Schuldner, 1 Spot-Rate, 130, 164 Stückzinsen, 32, 139, 165 Standardabweichung, 185, 190 TAGE360, 50, 55 Tenderverfahren, 129 Treasury Bill, 127 Treasury Bills, 164 Varianz, 189 Verkaufszinssatz, 129 Verzinsung einfache, 6 exponentielle, 4 gemischte, 22 lineare, 6 stetige, 5, 25 unterjährige, 24 unterjährige gemischte, 26 Zinseszins, 22 Volatilität, 189, 190 Wertstellung, 140 Zahlungsstrom, 65, 83 äquivalent, 68 vollständige, 69 Zeitrente, 95 Zielwertsuche, 58 Zinsbetrag, 1 Zinsbindung, 3 Zinseszinsformel, 22 Zinsfuÿ, 1 Zinskurve, 130, 131

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Index Buckelform, 132 ache, 132 inverse, 132 normale, 132 Zinsmethode, 8 30E/360, 13 30U/360, 14 ACT/360, 11 ACT/365, 11 ACT/ACT (EXCEL), 10 ACT/ACT (ICMA), 10 ACT/ACT (ISMA), 26 Amerikanische, 14 Deutsche, 13 Englische, 11 Euro-, 11 PAngV, 15 Zinsperiode, 24 Zinsrechnung, 3 Zinssatz, 1, 4 interner, 73 konformer, 21 Zinstagzählmethode, 8 Zinstermin, 24

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