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SoSe 2015 BS III

Skript zur Vorlesung Baustatik II an der Hochschule Augsburg Hochschule für angewandte Wissenschaften University of Applied Sciences

Prof. Dr.-Ing. Gerhard Zirwas

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Inhalt I. Wiederholungen A. Wiederholung aus TM 1 B. Gelenkträger C. Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften

3 3 4 5

II. Differentialbeziehungen der Baustatik A. Differentialbeziehungen der Baustatik für Kraftgrößen B. Beispiele C. Differentialbeziehungen der Baustatik für Kraft- und Weggrößen D. Beispiele

7 7 8

III. Prinzip virtueller Verschiebungen A. Starre Systeme B. Elsatische Systeme

11

IV. Verformungen und Arbeitssätze A. Arbeiten mit Integraltafeln B. Beispiele 1. Einfeldträger mit Streckenlast 2. Einhüftiger gelenkiger Rahmen mit Streckenlast

15 16 17 17 21

V. Statisch unbestimmte Rechnung A. Anwendung des Arbeitssatzes bei statisch unbestimmten Systemen B. Beispiele 1. Einfach statisch unbestimmtes System 2. Beispiel: 2-fach statisch unbestimmtes System

26 27 28 28 32

VI. Stabilität A. Stabilität und TH II

37 37

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I. Wiederholungen A. Wiederholung aus TM 1 1.1 Auflagerkräfte

Gleichgewichtsbedingungen: Summe der horizontalen Kräfte = 0

ΣH=0

Summe der vertikalen Kräfte = 0

ΣV=0

Summe der Momente = 0

ΣM=0

1.2 Schnittgrößen

Vorzeichenregel: +Q +N

+M

+M

+N +Q

1.3 Statische Bestimmtheit von Fachwerken:

n = s + a - 2k dabei gilt: wenn n = 0, dann ist das System statisch bestimmt.

von Stabwerken:

n = 3s - a - g dabei gilt: wenn n = 0, dann ist das System statisch bestimmt

Es bedeuten: n Grad der statischen Unbestimmtheit s Anzahl der Fachwerkstäbe a Anzahl aller Auflagerbedingungen k Anzahl aller Knoten

Es bedeuten: n Grad der statischen Unbestimmtheit s Anzahl der Scheiben a Anzahl aller Auflagerbedingungen g

Anzahl der Gelenkkräfte

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B. Gelenkträger

Ein Gelenkträger ist ein über mehrere Auflager durchlaufender Träger, der an geeigneten Stellen durch Gelenke unterbrochen ist. Die Zerlegung des Systems ermöglicht die Berechnung der Auflagerkräfte an jedem Teilsystem mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen. Anschließend können mit gewohnter Vorgehensweise die Schnittgrößen ermittelt werden. Dadurch ergeben sich statisch bestimmbare Teilträger.

Ausgangssystem:

Zerlegung des Systems:

Gelenkkräfte:

Teilsystem 1

[s. Übungsaufgabe A01 ]

Gelenkkräfte

Teilsystem 2

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Beispiel: Berechnung von Schnittgrößen

q= 5 kN/m

q= 7 kN/m 2m

2m

1m

1m

Q

M

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C. Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften Die Berechnung statischer Größen vereinfacht sich, wenn ein zu einer Mittellinie symmetrisches System vorliegt und für ein solches System eine symmetrische oder antimetrische Belastung gegeben ist. Zur Wahrung der Symmetrie wird die Zugfaser zur Definition der Vorzeichen der Schnittgrößen symmetrisch zur Mittellinie gelegt. Wie mit Hilfe von Gleichgewichtsbedingungen für das Gesamtsystem und für entsprechend herausgeschnittene Teilsysteme nachgeprüft werden kann, ergit sich in diesem Falle folgendes:

Symmetrisches System symmetrische Belastung A v = Bv Nli = Nre A

AH = BH Mli = Mre

Vli = -Vre

B

Symmetrisches System antimetrische Belastung Av = -Bv Nli = -Nre A

AH = -BH Mli = -Mre

Vli = Vre

B

Sonderfälle I.) Bei unterschiedlich ausgebildeten Auflagern

AH = 0 A

B

AH = 0 A

B

Die unter I.) dargestellten Systeme sind wegen der unterschiedlich ausgebildeten Auflager A und B zwar nicht symmetrisch zur Mittelline. Da jedoch AH gleich null ist (wenn nur vertikale Lasten angreifen oder horizontale Kräfte gleich groß sind) können die Systeme für die dargestellten Lastfälle wie symmetrische Systeme behandelt werden.

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II.) Bei Einzellasten die an der Mittellinie vom Stabwerk angreifen AH = 0 A

B

Eine Einzellast, die in der Mittellinie wirkt, wie es unter II.) dargestellt ist, ist eine symmetrische Bealstung.

III.) Bei Einzellasten die senkrecht zur Mittellinie wirkend mittig am Stabwerk angreifen, sowie ein mittig am Stabwerk angreifendes Lastmoment AH = 0 A

B

B

A

Bei Einzellasten die senkrecht zur Mittellinie wirkend mittig am Stabwerk angreifen, sowie ein mittig am Stabwerk angreifendes Lastmoment ergeben jeweils eine antimetrische Belastung

IV.) In Mittellinie liegender Stab mit symmetrischer Belastung

A

Eine symmetrische Belastung liefert für einen in der Mittellinie liegenden Stab V=0 und M=0, für ein in der Mittellinie liegendes Auflager sind die senkrecht zur Mittellinie wirkende Auflagerjkraft und das Einspannmoment gleich null.

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II. Differentialbeziehungen der Baustatik A. Differentialbeziehungen Schnitt am differentiellen Element dx

R=

dx

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II. Differentialbeziehungen der Baustatik A. Differentialbeziehungen der Baustatik für Kraftgrößen Kraftgrößen: N(x), q(x), σ(x)

A

σ

N

σ(x) =

N A

... Spannung

Spannung: - Spannung ist die auf die Fläche A bezogene Normalkraft N - ein Maß für die Materialbeanspruchung

GG am Element:

q(x)

N

N + dN dx

Σ H = 0: dN = - q(x) dx N´ = - q(x)

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B. Differentialbeziehungen der Baustatik für Kraft- und Weggrößen

Kraftgrößen: N(x), q(x), σ(x)

Weggrößen: Verformungen u(x) ... Verschiebung eines Punktes

A

dx

Vorher:

σ

2

1

u1 N

u2

x1 x2

σ(x) =

N A

... Spannung

Spannung: - Spannung ist die auf die Fläche A bezogene Normalkraft N - ein Maß für die Materialbeanspruchung

Belastet: 1 u1

dx + du

u2

x2 = x1 + dx u2 = u1 + du du = u2 - u1

GG am Element:

2

...Längenänderung des Elements

q(x)

N

N + dN dx

u´(x) = Σ H = 0: dN = - q(x) dx N´ = - q(x)

du =: ε(x) dx ... Dehnung

Dehnung: - Dehnung ist die auf die Ausgangslänge dx bezogene Längenänderung du

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Materialgesetz: Zusammenhang σ ↔ ε

σ σ + αT T E

.ε

E σ=

{

{

ε=

ε = εσ + εT Dehnung infolge:

Spannung

ε Temperatur

E ... Elastizitätsmodul α T... Temperaturdehnungskoeffizient

Einsetzen:

u´(x) = ε(x) =

N(x) + αT T EA

Ableiten für den Fall T = const. führt zur DGL 2. Ordnung des längsbeanspruchten Stabes:

EA u´´(x) = -q(x) Lösung durch Integration und Bestimmung der Integrationskonstanten.

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B. Beispiele Gegeben: Statisch bestimmt gelagerter Stab EA = const q(x) = qo x/L

qo a

b

x L

Gesucht: - Auflagerreaktionen - Schnittkräfte - Verformungen u(x)

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III. Prinzip virtueller Verschiebungen

Das aus der Mechanik bekannte Prinzip lautet: Ein Körper oder Körpersystem befindet sich im Gleichgewicht, wenn infolge einer virtuellen, d.h. mit den Bewegungsmöglichkeiten verträglichen (kleinen) Verrückung die Gesamtarbeit aller am System wirkenden Kräfte gleich Null ist. Dabei ist es gleichgültig, wodurch die virtuelle Verrückung hervorgerufen wird. Bei einem statischen System kann man z.B. eine virtuelle Verrückung erzeugen, indem eine innere Fessel / Auflagerfessel "geschnitten" wird und das System dadurch einen zusätzlichen Freiheitsgrad erhält. Dem jetzt labilen System kann an einer Stelle eine mögliche virtuelle Verschiebung eingeprägt werden, ohne die einzelnen Systemteile zu deformieren. Unter Betrachtung der Lagerung und der Gelenkstellen ergeben sich aus rein geometrischen Beziehungen zwangsläufig die Verschiebungen aller anderen Punkte eines Systems. Für den Gleichgewichtszustand muss die Summe der Arbeit aller am System wirkenden Kraftgrößen an der virtuellen Verrückung (virtuelle Arbeit) gleich Null sein. δ W = Kraft * virtuelle Verschiebung bzw. Moment * virtuelle Verdrehung = 0

Auf diese Weise kann man Auflagerreaktionen und Schnittgrößen statisch bestimmter Systeme ermitteln. Es handelt sich beim Prinzip der virtuellen Arbeit um ein unabhängigen Gleichgewichts-Prinzip.

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Beispiel: Brücke

F1

F2

Lösung: 1. Abzählkriterium 2. s = ________ a = ________ g =_________ n = ____________________________ 3. Virtuelle Verschiebungsfigur F1

4. Virtuelle Arbeit δ W = _______________________________

______________________________________

[s. Übungsaufgaben A02]

F2

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IV. Verformungen und Arbeitssätze VORGEHEN:

1. Am Ort und in Richtung der gesuchten Verformungsgröße wird eine virtuelle Hilfskraft mit der Größe 1kN bzw. 1 kNm (Einzelkraft, Einzelmoment, Doppelkraft oder Doppelmoment) aufgebracht. Aus dieser Belastung ergeben sich virtuelle Schnittgrößen, die Stabkräfte usw.

2. Die tatsächliche Belastung (F, p, T, ΔT) wird aufgebracht mit realen Verzerrungen usw. ("tatsächlicher Lastzustand") 3. Die Anwendung des Arbeitssatzes liefert die gesuchte Verschiebungsgröße ARBEITSGLEICHUNG:

(L)

(L)

analog ohne Ableitung (L)

Torsion (L)

(Fachwerkstäbe)

(F = Federkraft)

(Mφ = Moment in der Drehfeder)

Dabei sind:

Summe über alle Stäbe;

L

Länge des Einzelstabes

Schnittgrößen aus den realen äußeren Belastungen Schnittgrößen aus den virtuellen Kräften 1

Bemerkung: Bei konstanten EA und EI kann die Auswertung der Integrale mit Hilfe einer Integraltafel ausgeführt werden (s. Seite 15).

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Integraltafel

B. Arbeiten mit Integraltafeln

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C. Beispiele

1. Einfeldträger mit Streckenlast Gegeben: EI = 733,4 kNm2 Gesucht: Durchbiegung in Feldmitte

q = 2,5 kN/m

EI 3,6 m

Lösungsschritte:

1. Virtueller Zustand 1

EI

M

2. Realer Zustand

EI

M

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3.

Berechnen des Arbeitssatzes unter Verwendung z.B. einer Integraltafel

l

[s. Übungsaufgaben A02-A06 ]

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1.1 Lösung / Beispiel: Einfeldträger mit Streckenlast [Schritt-für-Schritt Anleitung für Bsp 1] Beispiel: Durchbiegung in Feldmitte [EI = 733,4 kNm2]

q = 2,5 kN/m

EI 3,6 m

1.Virtuelle Last 1 wird in Feldmitte in Richtung der Verformungsgröße aufgebracht. 1

EI

2. Schnittgrößen des realen und virtuellen Zustands ermitteln. Realer Zustand: (Einwirkung aller tatsächlicher Belastungen aus dem Ausgangssystem) Virtueller Zusatnd: (Einwirkung der Lastgröße 1) Virtueller Zustand:

1 EI

M

M [kNm] = 0,9 kNm

Realer Zusatnd:

EI

M

M [kNm] = 4,05 kNm

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3. Berechnen des Arbeitssatzes unter Verwendung z.B. einer Integraltafel Die Anwendung des Arbeitssatzes/der Arbeitsgleichung liefert die gesuchte Verschiebungsgröße f.

(L) l

LL Ll

s. Integraltafel

7

7

Um die Integrale, die sich aus der Arbeitsgleichung ergeben, einfacher lösen zu können, kann man die auf Seite 9 dargestellte Integraltafel benutzen. Dabei ist darauf zu achten, dass die in der Tabelle aufgelisteten Werte noch mit der Länge L zu multiplizieren sind.

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2. Einhüftiger gelenkiger Rahmen mit Streckenlast Gegeben: q= 8 kN/m EA → ∞ Gesucht: Die Schnittgrößen

Lösungsschritte:

1. Realer LF q

F

M

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2. Virtueller LF

1

M

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3. Berechnen des Arbeitssatzes unter Verwendung z.B. einer Integraltafel

l

4. Sonderfall f = 0

5. Ergebnis

M

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2.1 Lösung / Beispiel: Einhüftiger gelenkiger Rahmen mit Streckenlast

Biegelinie F=1 kN

1 kN

Biegelinie F=10 kN

10 kN

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2.1 Lösung / Beispiel: Einhüftiger gelenkiger Rahmen mit Streckenlast

Lastbild: q=8 kN/m

F

Momentenlinie:

17,2 kNm

-15,6 -15,6 kNm

M

5,2 kN

Biegelinie F=5,2 kN

5,2 kN

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V. Statisch unbestimmte Rechnung Das Kraftgrößenverfahren (KGV) ist ein allgemeines Rechenverfahren der Baustatik zur Berechnung statisch unbestimmter Systeme. Ein statisch unbestimmtes System hat mindestens eine Auflagerreaktion (Auflagerkräfte und Schnittgrößen) mehr als Gleichgewichtsbedingungen (Summe Vertikalkräfte, Summe Horizontalkräfte, Summe der Momente um beliebigen Pol), d. h. der Freiheitsgrad des Systems ist kleiner gleich 1. Daher reichen die Gleichgewichtsbedingungen nicht zur Berechnung der Auflagerreaktionen aus. Die zusätzlichen Bedingungen werden aus den Verformungen abgeleitet. VORGEHENSWEISE: 1. Das Tragwerk wird durch Entfernen von Bindungen in ein statisch bestimmtes Hauptsystem überführt. Die inneren Bindungen werden durch Einfügen von gedachten Gelenken (häufig Momentengelenke, aber auch Querkraft- und Normalkraftgelenke) reduziert, die äußeren durch Lösen einzelner oder mehrerer Auflagerbindungen. 2. Hierbei ist darauf zu achten, dass man kein kinematisches (verschiebliches) System erzeugt, denn an diesem kann weder gerechnet werden (das im nächsten Schritt zu bildende Gleichungssystem wird unlösbar infolge Determinante ≠ 0), noch ist es sinnvoll zu bauen. Auf die Abzählformeln ist nicht immer Verlass, da sehr wohl auch kinematische Systeme diese Formeln zu Null erfüllen können. Die Unverschieblichkeit muss entweder aus dem Erkennen vom Grundtragwerken (Balken auf zwei Stützen, ggf. mit Auskragung; Schleppträger; Dreigelenkrahmen) und/oder Aufbauprinzipien (1. und 2. Bildungsgesetz für Fachwerke), oder über einen Widerspruch bei der Konstruktion der Verschiebungfigur (Polplan) hergeleitet werden. 3. Vorteilhaft ist auch, wenn das erzeugte Hauptsystem dem Ausgangssystem im Tragverhalten möglichst ähnlich ist (also z. B. nicht aus einem Durchlaufträger mit fünf Feldern durch Wegnahme der innenliegenden vier Lager einen Balken auf zwei Stützen machen, sondern durch Einfügen von Gelenken über den innenliegenden Lagern einen Balken auf zwei Stützen mit anhängenden vier Schleppträgern). 4. Durch die Wegnahme von Bindungen wird die Verträglichkeit verletzt; das bedeutet, im Hauptsystem stellen sich Verformungen ein, die im Ausgangssystem unmöglich sind. Um diesen Widerspruch zu lösen, wird für jede gelöste Bindung eine Kraftgröße eingeführt. Diese muss die am Hauptsystem errechnete Verformung gerade wieder zurückführen, so dass die Verträglichkeit wieder hergestellt wird. Im Prinzip wird also für jede überzählige Bindung eine Verformungsbedingung formuliert, um daraus die Bindungskraft zu gewinnen, d. h. es wird ein lineares Gleichungssystem mit den Kraftgrößen als Unbekannten aufgestellt. 5. Wenn das lineare Gleichungssystem gelöst ist und damit die Kraftgrößen gefunden sind, kann das ganze Tragwerk mittels der Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden. Kraftgrößenverfahren ZUSAMMENFASSUNG: Das reale System ist: Es wird ersetzt durch: indem: Last- u. Eigenspannungszustände erfüllen unmittelbar: Das Gleichungssystem besteht aus: Die Unbekannten sind: Die Lösung ergibt sich aus der Summe von:

n-fach statisch unbestimmt ein statisch bestimmtes Hauptsystem n Bindungen gelöst werden Gleichgewichtsbedingungen Verformungsbedingungen Kraftgrößen xi der Eigenspannungszustände Lastspannungszustand und n Eigenspannungszuständen

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A. Anwendung des Arbeitssatzes bei statisch unbestimmten Systemen 1. Statische Unbestimmtheit prüfen mit dem Abzählkriterium (s.a. Seite...) bei Fachwerken:

n = s + a - 2k

bei Stabwerken:

n = 3s - a - g

2. Wahl eines statisch bestimmten Hauptsystems (n=0). Entfernung von n Lagerungsbedingungen (äußere Unbestimmtheit) oder Einführung von Gelenken (innere Unbestimmtheit), so dass ein statisch bestimmtes Ersatzsystem (Hauptsystem) entsteht. Lagerungsbedingungen oder gelöste Bindungen werden durch ihre zugehörigen statisch unbestimmten Reaktionen = n Kraftgrößen xn (Virtuelle Hilfskraft (mit der Größe 1) an der Stelle x) ersetzt. z.B. 1-fach statisch unbestimmtes Tragwerk, n=1 mögliche Hauptsysteme

F

F x1= 1 x1 =1

F

F

x1 =1

3. Berechnung des Lastspannungszustands (LSZ): Ermittlung der Auflager- und Schnittgrößen am Hauptsystem infolge der tatsächlichen Belastung aus dem Ausgangssystem.

4. Berechnung der n Eigenspannungszustände (ESZ1, ESZ2, ...ESZn): Ermittlung der Auflager- und Schnittgrößen am Hauptsystem infolge der Kraftgrößen xi = 1, i = 1, 2,...n [(N1, Q1, M1), ...(Nn, Qn, Mn)] 5. Ermittlung der Verformungen/Einflussgrößen δik bzw δi0 Die Berechnung wird mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte durchgeführt, wobei der Zustand i als virtueller und der Zusatnd k bzw. 0 als wirklicher Zustand anzunehmen ist. [Es gilt: δ ik = δ ki] bei einem ESZ: δ11, δ10 [δ 11: Überlagerung von ESZ1 + ESZ1, δ 10: ESZ1 + LSZ] bei zwei ESZ: δ11, δ22, δ12, δ10, δ20 [δ22: ESZ2 + ESZ2, δ12: ESZ1 + ESZ2, δ20: ESZ2 + LSZ] 6. Aufstellen und lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS) für die Unbekannten x1...xn δ10 + x1 δ11 + x2 δ12 + ... + xn δ1n = 0 δ20 + x1 δ21 + x2 δ22 + ... + xn δ2n = 0 : : : : : δn0 + x1 δn1 + x2 δn2 + ... + xn δnn = 0

.

Lösen des LGS: - Invertieren der Koeffizientenmatrix

7. Ermittlung der endgültigen Auflager- und Schnittgrößen des statisch unbestimmten Systems mittels Superposition: N = N0 + x1N1 + x2N2 + ... + xnNn Q = Q0 + x1Q1 + x2Q2 + ... + xnQn M = M0 + x1M1 + x2M2 + ... + xnMn

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B. Beispiele 1. Einfach statisch unbestimmtes System Gegeben: Ein statisch unbestimmt gelagerter Balken der Länge L=10 m unter der Einzellast F= 20 kN Gesucht: Die Schnittgrößen unter der Last F mit dem Arbeitssatz.

1.Statisch bestimmtes Hauptsystem HS F

B

2. Schnittgrößen des LSZ und ESZ, sowie des virtuellen Zustands. Realer Zustand: (LF aller tatsächlicher Belastungen am HS) Virtueller Zustand: (Einwirkung der Lastgröße 1 bei wL) RealeMomene:

Virtuelles Moment:

F = 20 kN 1

B

M

M

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3. Berechnen des Arbeitssatzes unter Verwendung z.B. einer Integraltafel f = wL l

4. Sonderfall wL = 0

5. Ergebnis

M

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1.1 Lösung / Beispiel: 1-fach statisch unbestimmtes System

Biegelinie: B= 5 kN

20 kN

5 kN

Biegelinie: B= 8,64 kN

20 kN

8,64 kN

Biegelinie: B= 10 kN 20 kN

10 kN

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1.1 Lösung / Beispiel: 1-fach statisch unbestimmtes System

Lastbild 20 kN

4m

6m

-

- 8,64

- 8,64

+

11,36

11,36

Querkraftlinie

V

+

34,56

- 33,6

Momentenlinie

M

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2. Beispiel: 2-fach statisch unbestimmtes System Gegeben: Einhüftiger Rahmen.

[q= 8 kN/m, EA → ∞] Gesucht:

1

Die Schnittgrößen ermittelt durch KGV.

1. Abzählkriterium: n=

2. Statisch bestimmtes HS (n=0)

3. Lastspannungszustand

Mo

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4. Eigenspannungszustand 1, mit x1= 1

M1

5. δik bzw δi0 δ11 =

δ12 =

δ22 =

δ10 =

δ20 =

Eigenspannungszustand 2, mit x2= 1

M2

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6. LGS 0 0 δ10 + x1 δ11 + x2 δ12 + ... + xn δ1n = 0

x1

.

x2

re. S.

δ11 = .......................

δ12 = .......................

- δ10 =

δ21 = .......................

δ22 = .......................

- δ20 =.......................

.......................

DN = D1 =

→ x1 = D2 =

→ x2 =

7. Endgültige Schnittgrößen 0 0 M = M0 + x1M1 + x2M2 + ... + xnMn Mendg, A

=

Mendg, q

=

Mendg, 1

=

Mendg, B

=

=

M 0 + x 1 M1 + x 2 M2

Ergebnis: 1

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2.1 Lösung / Beispiel: 2-fach statisch unbestimmtes System

LSZ:

q = 8 kN/m

+ 25 kNm

Mo

ESZ 1: x1

x1

M1

ESZ 2: 3x2

-

M2 x2

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Lösung / Beispiel: 2-fach statisch unbestimmtes System (Verformungen)

Biegelinie LSZ: q = 8 kN/m

Biegelinie ESZ 1: x1

Biegelinie ESZ 2:

x2

Hochschule Augsburg - Fakultät A+B - Studiengang: Bauingenieurwesen Prof. Dr.-Ing. Gerhard Zirwas - [email protected] - www.hs-augsburg.de Vorlesung: STATIK III 37/40

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VI. Stabilität A. Stabilität und TH II 1. Allgemeines / Knicklast Unter Knicken versteht man in der Technischen Mechanik den Verlust der Stabilität bis hin zum schlagartigen und gewaltsamen Versagen von geraden bzw. leicht gekrümmten Stäben oder Balken unter der Wirkung von Druckkräften, deren Wirkungslinie in der Stabachse liegt, und/oder von Biegemomenten. Knickgefährdet sind besonders technische Konstruktionen wie Säulen und Stützen.

Der Verlust der Stabilität äußert sich mit der Belastung rasch wachsenden Formänderungen des Stabes oder des Balkens ab einer bestimmten Belastung (Knicklast), und zwar mit * einem seitlichen Ausweichen der Stabachse oder Balkenachse (Biegeknicken) oder * einem Verdrehen des Stab- bzw. Balkenquerschnitts (Drillknicken) oder * einem seitlichen Ausweichen der Stabachse oder Balkenachse und einem Verdrehen des Stab- bzw. Balkenquerschnitts (Biegedrillknicken, früher auch als Kippen bezeichnet) Die Knicklast ist abhängig von * der Art der Beanspruchung (Verlauf der Druckkräfte und/oder Biegemomente über die Stablänge), * Länge des Stabes oder des Balkens, * Querschnittsform des Stabes oder des Balkens, konstante oder über die Stabachse veränderlicher Flächenträgheitsmomentes, * Materialeigenschaften des Stabes (bei elastischem Material: Elastizitätsmodul und Fließgrenze), * Einspannung bzw. Auflagerung oder Stützung des Stabes oder Balkens Annahmen: * die Stäbe haben konstante Querschnitte und eine konstante Längskraft N (N ist als Druck positiv) * nur Momentenverformungen werden berücksichtigt

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Differentialbeziehungen: Biegung A) EI * w´´´´= 0

...THEORIE I. ORDNUNG

B) EI * w´´´´ + No * w´´= 0

...THEORIE II. ORDNUNG

(TH I) (TH II)

Beispiel: Kragarm Gegeben: EA → ∞ Gesucht: Knicklast F

Lösung: 1.) Ansatz für w(x) zur DGL nach TH II w(x)= C*(cos(α x)-1) L

...Lösungsansatz

EI

w´´= .................................................. x w(x)

2.) einsetzen in DGL:

w´´´´= ................................................

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3.) Randbedingungen

L

4.) Ergebnis:

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ZUSAMMENFASSUNG: Mit der Knicklänge sk werden unterschiedliche Randbedingungen berücksichtigt. Insgesamt werden 4 Lagerungsfälle unterschieden

Knicklänge sk:

1. Fall

2. Fall NKi

Knicklast Nki:

3. Fall

4. Fall NKi

NKi

NKi

Es bedeuten:

ANMERKUNG: Eingespannt in einem größeren System (z.B. elastische Einspannung) ergeben sich andere Knicklängen sk