A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Sistema de Control Inteligente Adaptable Virgilio López Morales Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo-CITIS, México.

Seminario CITIS, 6 de marzo, 2009

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

... y en consenso?...

Los grandes desafíos del SIGLO XXI

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Virgilio López-Morales

... y en consenso?...

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Virgilio López-Morales

... y en consenso?...

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

... y en consenso?...

... Resultado? Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Introducción Estado del Arte sobre Estimación de parámetros de una planta Modelo Inteligente (difuso) T-S Estimador de Parámetros del Modelo Difuso T-S Ejemplo de diseño de un controlador difuso adaptable Conclusiones Algo en mente ?

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Motivación del estudio Conceptos básicos Adaptación del Controlador Estado del Arte Un Ejemplo de la vida real ??

Porqué control inteligente adaptable? Cuanto más detalles matemáticos del modelo de un sistema, menos se parece al mundo real! (A. Einstein). ∴ expandir las herramientas de modelado de sistemas =⇒ Modelado con un Sistema Inteligente Los sistemas controlados (plantas) en el mundo real están expuestos a la influencia del medio o del tiempo =⇒ Adaptación del controlador. Desarrollo de nuevas herramientas de análisis de sistemas para el desarrollo de un nuevo enfoque de control =⇒ Conjunción de la teoría de control y ciencias computacionales ⊆ SoftComputing Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Motivación del estudio Conceptos básicos Adaptación del Controlador Estado del Arte Un Ejemplo de la vida real ??

1

Sistema (o planta)

2

Controlador

3

Lazo cerrado

4

Modelo difuso T-S

5

Variación de parámetros y/o perturbaciones

6

Método de Lyapunov

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Motivación del estudio Conceptos básicos Adaptación del Controlador Estado del Arte Un Ejemplo de la vida real ??

Sistema (o planta)

Lineal: y1 + y2 = P(u1 + u2 ) = P(u1 ) + P(u2 ), Ej. V=RI No lineal: y = f (u) =⇒ y 1 + y 2 6= f (1) + f (2), Ej. y = sen(u), ∴ y1 + y2 6= sen(u1 + u2) 6= sen(u1) + sen(u2).

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Motivación del estudio Conceptos básicos Adaptación del Controlador Estado del Arte Un Ejemplo de la vida real ??

Controlador

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Motivación del estudio Conceptos básicos Adaptación del Controlador Estado del Arte Un Ejemplo de la vida real ??

Control en lazo cerrado

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Motivación del estudio Conceptos básicos Adaptación del Controlador Estado del Arte Un Ejemplo de la vida real ??

Variaciones de parámetros y/o perturbaciones

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Motivación del estudio Conceptos básicos Adaptación del Controlador Estado del Arte Un Ejemplo de la vida real ??

Modelo Difuso T-S de un sistema no lineal

Si 20 < X < 35 Entonces Usar-modelo-1(lineal) Si 40 < X < 50 Entonces Usar-modelo-2 (lineal)... Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Motivación del estudio Conceptos básicos Adaptación del Controlador Estado del Arte Un Ejemplo de la vida real ??

Método de Lyapunov

Sea el sistema dx dt = f (x) con f (0) = 0. Si puede encontrar una función V(x) definida positiva en una región (es decir que V (0) = 0 y que V (x) > 0 en una U ⊂ R n ), y que su derivada con respecto al tiempo sea menor que cero (negativa), entonces la solución del sistema en el origen es estable.

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Motivación del estudio Conceptos básicos Adaptación del Controlador Estado del Arte Un Ejemplo de la vida real ??

1

En el Controlador Adaptable Directo el sistema difuso es el controlador

2

En el Controlador Adaptable Indirecto el sistema difuso es un modelo aproximado de la planta (modelo difuso) ∴ el controlador se construye suponiendo que el modelo difuso representa la planta. El problema es que las plantas varían sus parámetros o sufren perturbaciones! ∴ Es muy importante la estimación de parámetros para 2.

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Motivación del estudio Conceptos básicos Adaptación del Controlador Estado del Arte Un Ejemplo de la vida real ??

Algoritmos de estimación fuera de línea

Estimación de parámetros de los modelos difusos a partir de mediciones de Entrada-Salida (Modelos de relación, Modelos con base a aproximaciones) Modelos Difusos Cualitativos. Redes Neuronales Pero es necesario tiempo real ! En ésta plática se revisa una metodología para un estimador de parámetros en línea de un modelo difuso T-S.

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Motivación del estudio Conceptos básicos Adaptación del Controlador Estado del Arte Un Ejemplo de la vida real ??

Caso utópico Modelo de Jesús: J = a1 ∗ Egoista + a2 ∗ Centrado + a3 ∗ Servicial + a4 ∗ Inteligencia donde a1 = 0.6, a2 = 0.3, a3 = 0.1, a4 = 0.7

Modelo de Mary: M = b1 ∗ Egoista + b2 ∗ Centrado + b3 ∗ Servicial + b4 ∗ Inteligencia donde b1 = 0.1, b2 = 0.4, b3 = 0.5, b4 = 0.8

Variación en los Parámetros cambian la dinámica de una planta ! pero además hay PERTURBACIONES por ejemplo. Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Motivación del estudio Conceptos básicos Adaptación del Controlador Estado del Arte Un Ejemplo de la vida real ??

Y CAMBIABAN SUS COMPORTAMIENTOS REPENTINAMENTE !! Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Motivación del estudio Conceptos básicos Adaptación del Controlador Estado del Arte Un Ejemplo de la vida real ??

Observaciones 1

Las plantas a controlar además de estar expuestas a perturbaciones, tienen parámetros que normalmente varían en función de variables del entorno (humedad, temperatura, tiempo,radiación solar, concentraciones diferentes, etc.) ∴ Controlador adaptable

2

Los modelos que se proponen para una planta debería de ser no solamente analíticos sino además, integrar información lingüística valiosa de los expertos ∴ Modelos difusos

3

La estimación de parámetros de la planta, debería ser en línea para la utilización en áreas donde se requiere tiempo real.

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Sistema Inteligente o Modelo Formal T-S

R i : Si x1 está M1i y · · · y xn está Mni Entonces

x˙ =

Pl

i =1

wi (x){Ai x+Bi u} Pl i =1 wi (x)

d x dt

= Ai x + Bi u

∴ Modelo Final donde wi (x) es el grado en que el i-ésimo

modelo está participando. Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

parametrización del modelo difuso Convergencia del Estimador con Función Lyapunov Adecuación para cumplir con Función Lyapunov Resultado obtenido Estructura a bloques

Truco: modificar Pn el modelo difuso de la Planta w (x)((A −As )·x+Bi ·u) x˙ = As · x + i =1 i Pn iw (x) i =1 Pni i =1

Estimador xˆ˙ = As · xˆ +

ˆ ˆ wi (x)(( Pn Ai −As )·x+Bi ·u) i =1 wi (x)

Para poder medir si funciona bien el estimador xˆ delPestado x defina P ˜i ˜ wi A ˙ P Pwi Bi u ε = x − xˆ es decir ε˙ = x˙ − xˆ = As · ε − wi x − wi donde ˜i = A ˆ i − Ai , B ˜i = B ˆ i − Bi A

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

parametrización del modelo difuso Convergencia del Estimador con Función Lyapunov Adecuación para cumplir con Función Lyapunov Resultado obtenido Estructura a bloques

Ahora bien, lo que se requiere es que ε = 0 es decir que ˜ i → 0, B ˜ i → 0 Estimador OK! A

Propongamos entonces una función V(x) P P ˜ T PB ˜ ˜T PA ˜ A B V = εT Pε + li=1 tr( i r1i i ) + li=1 tr( i r2i i ) donde tr es la traza, r1i , r2i > 0 son escalares, y P = P T .

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

parametrización del modelo difuso Convergencia del Estimador con Función Lyapunov Adecuación para cumplir con Función Lyapunov Resultado obtenido Estructura a bloques

Obtenga P ˜˙ T P A ˜i A i + V˙ = ε˙T Pε + εT P ε˙ + N i=1 tr( r1i ˙ ˙ T T PN ˜ PB ˜ PB ˜i ˜ B B i + i r2i i ) i=1 tr( r2i

˜˙ T

˜

˜i ˜ T P Ai P Ai A A i r 1i r1i

)+

donde ε˙T Pε + εT P ε˙ = P P P P T ˜ i / wi )x −2εT P( wi B ˜ i / wi )u εT (AT wi A s P +PAs )ε−2ε P(

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

parametrización del modelo difuso Convergencia del Estimador con Función Lyapunov Adecuación para cumplir con Función Lyapunov Resultado obtenido Estructura a bloques

Utilizando las propiedades de la Traza, se tiene: P A˜ Ti PFi wi A˜ Ti P B˜ iT PGi wi B˜ iT P Pεx T + V˙ = −εT Pε + 2tr( − P wi Pεu T ) r1i − r2i wi Note que la elección obvia para hacer V˙ negativa es XA ˜ T PFi i

r1i

XB ˜T ˜ T PGi ˜T wi A wi B i = P i Pεx T , y = P i Pεu T wi r2i wi

Es decir que ˆ˙ i = Fi = r1i Pwi εx T , y B ˆ˙ i = Gi = r2i Pwi εu T A wi wi

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

parametrización del modelo difuso Convergencia del Estimador con Función Lyapunov Adecuación para cumplir con Función Lyapunov Resultado obtenido Estructura a bloques

Dada una planta representada por Pn wi (x){Ai x + Bi u} x˙ = i=1 Pn i=1 wi (x) El modelo de estimación xˆ˙ = As · xˆ +

Pn

ˆ

A − As )x i=1 wi (x)(( Pn i i=1 wi (x)

ˆ i u) +B

en conjunto con la ley adaptable ˆ˙ i = Fi = r1i Pwi εx T , y B ˆ˙ i = Gi = r2i Pwi εu T A wi wi garantizan que |ε(t)| −→ 0 conforme t −→ 0 Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Virgilio López-Morales

parametrización del modelo difuso Convergencia del Estimador con Función Lyapunov Adecuación para cumplir con Función Lyapunov Resultado obtenido Estructura a bloques

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Modelo difuso de una planta no lineal Controlador difuso por retro de estado Utilización del estimador de parámetros Diagrama a bloques de una implementación completa

Sistema SISO No lineal representado por R i : Si x1 está M1i y x˙ está M2i y · · · y x n−1 está Mni Entonces x˙ = Ai x + Bi u i = 1, 2, · · · , l donde ˙ x] = [xn , xn−1 , · · · , x1 ] y la entrada x T = [x (n−1) , x (n−2) , · · · , x, u ∈ R 1 se pueden medir. Además     i i an an−1 · · · a2i a1i bi  1  0  0 ··· 0 0       0   1 · · · 0 0  , Bi =  Ai =   0   ..   ..  .. ..  .   . . 0 0  . 0 0 ··· 1 0 0

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Modelo difuso de una planta no lineal Controlador difuso por retro de estado Utilización del estimador de parámetros Diagrama a bloques de una implementación completa

Las reglas difusas T-S pueden ser inferidas de la sig. forma Pl T P (n) i =1 wi (x){ai x+bi u} Pl x = = li=1 hi (x){aiT x + bi u} i =1

wi (x)

donde P hi (x) = (wi (x)/ ri=1 wi (x)).

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Modelo difuso de una planta no lineal Controlador difuso por retro de estado Utilización del estimador de parámetros Diagrama a bloques de una implementación completa

Para la planta no lineal representada por el modelo difuso existe un controlador (C.W.Park, H.K.Kang, Y.Yee and M.Park, Proc. I.E.E.C.T. 2002) de la sig. forma: Pr P wi (x)(adT − aiT ) · x adT · x − ri=1 wi (x)aiT · x Pr = i=1 Pr u= i=1 wi (x)bi i=1 wi (x)bi ad ∈ R n es elegida t.q. x (n) = adT · x es asintóticamente estable.

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Modelo difuso de una planta no lineal Controlador difuso por retro de estado Utilización del estimador de parámetros Diagrama a bloques de una implementación completa

Ley de controlador por retro de estado con estimador propuesto

Pr u=

T aiT ) i=1 wi (x)(ad − ˆ Pr ˆ i=1 wi (x)bi

Virgilio López-Morales

·x

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Virgilio López-Morales

Modelo difuso de una planta no lineal Controlador difuso por retro de estado Utilización del estimador de parámetros Diagrama a bloques de una implementación completa

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Modelo difuso de una planta no lineal Controlador difuso por retro de estado Utilización del estimador de parámetros Diagrama a bloques de una implementación completa

Estructura de control completa

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones 1

Al problema de que los sistemas a controlar están expuestos a perturbaciones, y tienen parámetros que normalmente varían en función de variables del entorno aplicamos un Controlador adaptable

2

El modelo que se propone para una planta integra información lingüística dado que esta expresado como un Modelo difuso

3

La estimación de parámetros del sistema se realiza a través de una ley de adaptación en línea para la utilización en áreas donde se requiere tiempo real.

4

Este conjunto de técnicas (SoftComputing) sintetizan un Sistema de control inteligente adaptable. Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

x˙ 1 = x2 , x˙ 2 =

gsin(x1 )−amlx22 (2x1 ) 2−acos(x1 )u 4l 3−amlcos 2 (x1 )

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Regla 1: Si x está cerca de 0 Entonces x¨ = a1T x + b1 u, Regla 2: Si x está cerca de ± π2 Entonces x¨ = a2T x + b2 u,

SIMULACIÓN IN SITU

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable

A manera de Prólogo Agenda Introducción Modelo Inteligente (Difuso) T-S Estimador de parámetros del modelo difuso T-S Ejemplo de diseño de control difuso adaptable Conclusiones

Virgilio López-Morales

Sistema de Control Inteligente Adaptable