Tarea departamental #1 de Matemáticas Superiores Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte miento, pero no ambas cosas". Determine, si la clase resulta “retante” o no para ellos. (Explique MUY CLARAMENTE su razonamiento)

PROPOSICIONES, RELACIONES Y OPERACIONES 1. Sean p1, p2, … , pn proposiciones primitivas. Sea P una proposición compuesta que contiene al menos una ocurrencia de cada pi, para 1  i  n ( y no contiene otra proposición primitiva ). ¿Cuántas filas se necesitan para construir la tabla de verdad de P? Justifique claramente su respuesta. 2. Diga cual es la diferencia entre una implicación lógica y una equivalencia lógica.

8. Identifica las proposiciones primitivas en las siguientes proposiciones. Bautiza las primitivas con letras como p, q, r y reescribe las proposiciones originales usando estas letras y los conectivos lógicos. a) Ya sea que Cynthia venga a la fiesta y Liliana no, o que Cynthia no venga y Liliana sea feliz. b) Paul irá al cine solo si pasan una comedia. c) Es necesario que Mariana sonría para que su mamá sea feliz. 9. Sean p, q y r las siguientes proposiciones: p: Agustín no cena. q: Agustín no duerme bien c: Al día siguiente Agustín estará desvelado Escribe en forma simbólica: a) “Si Agustín no cena no dormirá bien”. b) “Si Agustín no duerme bien, al día siguiente estará desvelado”. c) “Agustín no cena”. d) “Agustín no duerme bien y al día siguiente estará desvelado”.

3. Explique la diferencia entre una tautología , una contingencia y una falacia, hablando de proposiciones compuestas. 4. ¿ Cuándo se dice que una implicación de la forma p  q es cierta por vacuidad y cuando que es trivialmente verdadera ? 5. ¿Cuándo se dice que dos proposiciones son iguales y cuándo que son lógicamente equivalentes?

10. Construye la tabla de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) (p  q  q)  p; b) (p  q  q)  p c) p  q  p; d) p  q  p; e) (p  q)  p

6. Considere las siguientes proposiciones compuestas : P :  p  ( q  r )  Q:  r  ( p  q )  Utilice tablas de verdad para explicar CLARAMENTE cuales de las siguientes opciones son correctas: A) P  Q , B) Q  P , C) Q  P D) Ninguna de las tres anteriores.

11. Supón que p es una proposición verdadera y que q es una proposición falsa. ¿Para qué valores de verdad de r y s es verdad que r  s  (p  r)  (q  s)?

7. En un salón de clases de la Universidad hay un grupo de 10 estudiantes tomando clase, cuatro de ellos son hombres y seis de ellos son mujeres. Las mujeres de la clase siempre dicen la verdad, mientras que los varones siempre mienten. Al llegar el director de la Facultad a la clase y preguntar a uno de los estudiantes si la clase resulta “retante” para ellos, éste responde de manera algo extraña, le dice: "La clase resulta “retante” para nosotros ó yo nunca

1

12. Use el álgebra de proposiciones (leyes de la lógica) para verificar que la siguiente proposición es una tautología (p, q , r son proposiciones primitivas). ( p  q )  r    r   ( p  q ) 13. Justifica cada paso en la siguiente simplificación: (p  q)  q  (r  q)  (p  q)  q  (p  q)  q  q  (p  q)

Tarea departamental #1 de Matemáticas Superiores Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte  (q  p)  (q  q)  (q  p)  F  q  p  (q  p)

x y

14. Define nand como pq  (p  q). Representa las siguientes proposiciones usando únicamente la conectiva nand: a) p b) p  q e) p  q

z 19. Escriba la proposición dual de cada una de las siguientes proposiciones ( JUSTIFIQUE cada uno de sus pasos ). a) p  ( q  r ). b) p  q.

15. Refute la siguiente proposición y exprese su resultado correctamente en español: “Si Homero aprueba su curso de Pascal y termina su proyecto de estructura de datos, se graduará finalmente“

20. Escribe una proposición en las tres variables p, q, r, de modo que su tabla de verdad tenga como columna principal a la columna marcada con el símbolo “?”: P q r ? V V V F F V V V V F V V F F V V V V F V F V F V V F F V F F F F Escribe, explica como la desarrollaste y verifica que es correcta.

16. Sea n = 9. Determine el valor de n después ejecutar todas las siguientes instrucciones ( El valor de n después de la ejecución del enunciado (1) se convierte en el valor de n para el enunciado (2) y así sucesivamente. La operación Div devuelve la parte entera de un cociente, por ejemplo, 6 Div 2 = 3, 7 Div 2 = 3, 8 Div 3 = 2 ): (1) Si n > 5 entonces ponga n := n + 2; (2) Si ( ( n + 2 = 12 ) o ( n – 3 = 8 ) ), entonces ponga n := 2n +1; (3) Si ( ( n + 3 = 14 ) y ( n Div 6 = 1 ) ), entonces ponga n := n +3; (4) Si ( ( n  21 ) y ( n -7 = 9 ) ), entonces ponga n := n - 4; (5) Si ( ( n Div 5 = 2 ) o ( n + 1 = 20 ) ), entonces ponga n := n+1.

21. Obtenga la proposición que representa a la siguiente red de conmutación. Simplifique su proposición al máximo, mencionando en cada paso la ley o propiedad utilizada. Dibuje la red correspondiente a su proposición final ( la ya simplificada ). p q r

17. Determine todas las asignaciones de valores de verdad ( si es que existen ) para las proposiciones primitivas p, q, r, s, que hacen que la proposición compuesta sea falsa: [ ( p  q )  r ]  ( s  r ).

T1

T2 p

18. Obtenga la proposición que representa a la siguiente red lógica. Simplifique su proposición al máximo, mencionando en cada paso la ley o propiedad utilizada. Dibuje la red correspondiente a su proposición final ( la ya simplificada ).

2

r

r

q 22.Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones. Convenir en que x es un número real y f representa una función real: a) Si f ( x)  x 2 , entonces f ( x)  2 x .

Tarea departamental #1 de Matemáticas Superiores Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte b) Si x = 0 ó x = 1, entonces x  x 2 . c) Si x  3 , entonces 3  x  3 . d) (  es irracional )  (  es real ). e) (e es racional )  (e es un entero ).

la relación: aRb  (por definición) “b tiene la misma edad  2 años que a”, por ejemplo, con un estudiante de 20 años se relacionarán todos los estudiantes que tengan de 18 a 22 años. Demuestre si R es o no una relación de equivalencia en S; de serlo, dé las clases de equivalencia que R genera.

23.Escribir cuatro negaciones diferentes de cada una de las siguientes afirmaciones: a) P: 2 = 3; b) P : e es irracional.

29. Sean m, n números enteros. Definamos la relación R así: m R n  m  n( mod 5 ). Demuestre que R es una relación de equivalencia. Obtenga todas sus clases de equivalencia.

24.Escribir una expresión equivalente a cada una de las siguientes negaciones, que no involucre el símbolo de negación: a)  ( x  y ) .

30. Demuestre si la siguiente relación R en el conjunto S = { 1, 2, 3, 4 } es o no de equivalencia; de serlo, dé las clases de equivalencia: R = { ( 1,1 ), ( 1, 3 ), ( 2, 2 ) , ( 2, 4 ), ( 3, 1 ), ( 3 , 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, 2 ), ( 4, 3 ), ( 4, 4 ) }

b)  ( z 2  1  x) . 25.Expresar cada una de las siguientes afirmaciones en la forma “si P, entonces Q” y PQ, identificando el antecedente y el consecuente: a) No existe factorización de n cuando n es primo. b) r  1 implica que

31. Sea  una relación de equivalencia en un conjunto S. Demuestre que para t y s en S se cumple que si s  t   entonces s  t. 32. Demuestre que la relación de contención entre conjuntos (  ) es una relación de implicación y no una relación de equivalencia.

a . 1 r c) Un entero es un número racional. d) Una condición necesaria para que las líneas l1 y l2 sean paralelas es que l1  l2   . e) 3x  3 y puesto que x = y. lim( a  ar  ...  ar n )  n 

FUNCIONES PROPOSICIONALES E INFERENCIA 33. ¿Cuándo ( bajo qué condiciones ) resulta falso decir que “para toda x real, existe una x natural, tal que se cumple p(x,y) ?

26.Traducir las siguientes afirmaciones usando , ,  , ,  . a) Si un triángulo es isósceles, entonces debe tener dos lados iguales, y recíprocamente. b) Si p y q son enteros y q  0 , entonces p/q es un número racional. c) Si a  , entonces a es par o a es impar. d) 2x – 1 = 0 es equivalente a x = ½.

34. Sean p(x), q(x) y r(x) las siguientes proposiciones abiertas: p(x) : x2 - 7x + 10 = 0, q(x) : x2 - 2x - 3 = 0, r(x) : x es negativo. a) Demuestre la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, en las que el universo está formado por todos los números enteros: 1. x,  p(x)  r(x)  2. x :  q(x)  r(x)  3. x :  p(x)  r(x)  b) Determine la respuesta de la parte ( a ) si el universo consta de todos los enteros positivos.

27. En general, ¿ qué es lo que hace una relación de equivalencia con los elementos del conjunto en el que está definida ? 28. Sea S = { todos los estudiantes de la Universidad Anáhuac Norte }. Definamos en S

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Tarea departamental #1 de Matemáticas Superiores Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte 35.Determinar el conjunto solución y el conjunto de verdad para cada una de las siguientes afirmaciones, en base al conjunto universal indicado: a) x  1  3 ; U = { 0, 1, 2, 3 }. b) ( x  1)( x  2)  1 ; U = { -2, -1, 0, 1, 2 }. c) 2 x 2  3 x  1  0 ; U =   . d) 2 x 2  3x  1  0 ; U =  . e) 2 x 2  3 x  1  0 ; U =  . f) 2 x 2  3 x  1  0 ; U =  .

40.Considere la proposición cuantificada x, y : [ x - y = 10 ]. Determine un universo para las x y otro distinto para las y, de modo que la proposición dada sea a) falsa, b) verdadera. Justifique muy claramente sus respuestas.

36.a) ¿Cuál debe ser el conjunto universal para que la proposición abierta x, x = 0 sea verdad? ¿Y cuál debe ser el conjunto universal para que x, x2 + 5x + 6 = 0 sea verdad? b). Si U =  , encuentre el conjunto de verdad de la proposición abierta siguiente:  x, x2  5x  6 = 0. Nótese que a  b significa (a + b)  (a  b). 37.Demuestre que es cierta la implicación x y, p(x, y)  y  x, p(x, y), pero en cambio, la proposición recíproca y  x, p(x, y)  x y, p(x, y) es falsa. Explique por qué pasa eso, usando algún ejemplo concreto. 38.Para n, m números enteros, sea p(n, m) la proposición abierta “n divide a m” la cual se escribe así: nm; por ejemplo 24, 05, 315. La negación se escribe así:3 16 (léase 3 no divide a 16). Formalmente, se dice que n divide a m si y sólo si existe algún entero k tal que m = kn. En los siguientes incisos determina el valor de verdad de cada proposición (las letras representan números enteros): a) p(3, 7) b) p(7, 3) e) x p(x, 0) f) x p(x, x) g) y x, p(x, y) h) y x, p(x, y) j) x y z [p(x, y)  p(y, z)  p(x, z)]

41.Para el universo de los números reales, determine el valor de verdad de la siguiente proposición. Escriba las proposiciones contrapositiva, recíproca e inversa y para cada una de ellas determine su valor de verdad. Si una proposición es falsa dé un contraejemplo. Si una proposición es verdadera, explique CLARAMENTE por qué lo es: x , (x < -2)  (x2 > 4 . 42. Explique por qué es un trabajo excesivo el demostrar un argumento por medio de una tabla de verdad. 43. Escribe el siguiente argumento en forma simbólica, verifica si es o no válido. El universo es el de todos los adultos mayores de 18 años que residen en la ciudad de Las Cruces, como Roxana e Inés: Todos los empleados de la unión de crédito deben saber Cobol. Todos los empleados de la unión de crédito que se encargan de solicitudes de préstamo deben conocer Quattro. Roxana trabaja para la unión de crédito pero no sabe usar Quattro Inés sabe Quattro pero no Cobol Por lo tanto Roxana no se encarga de solicitudes de préstamo e Inés no trabaja para la unión de crédito. 44. Use el método de premisas verdaderas para demostrar o refutar el siguiente argumento, según sea el caso. Premisa 1: pq Premisa 2: rq Premisa 3: r Conclusión sugerida:  p 45. Supongamos ahora que lo que Pedro dijo fue esto: “Amo a Adriana o amo a Beatriz, o a ambas. Además, si amo a Adriana es porque amo a

39.Niega y simplifica: c) x [p(x)  q(x)] d) x [(p(x)  q(x))  r(x)]

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Tarea departamental #1 de Matemáticas Superiores Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte Beatriz también”. a) Averigua si realmente Pedro ama o no a Adriana y b) si ama o no a Beatriz. c) Averigua también si es cierto que ama a ambas o d) si será que no ama a ninguna de las dos mujeres en cuestión.

Paso 13. q  s 49. Suponga que a, b y c son enteros. Demuestre que si ab y dc, entonces adbc. 50. Demuestre que un entero es impar sí y sólo sí es la suma de dos enteros consecutivos.

46. Demuestre por CONTRADICCIÓN el siguiente argumento. Escriba CLARAMENTE su desarrollo y no olvide justificar cada uno de sus pasos. ( p  q )  r r  (st) s  u u  t -----------------p

51. Refute: Un entero x es negativo sí y sólo sí x-1 es negativo. 52. Describa con cuantificadores la existencia única del inverso aditivo en los números reales y demuestre su unicidad. 53. Demuestre que el número real x = 12 7  4 3  12 7  4 3 es racional.

47. Muestre con un contraejemplo que el siguiente argumento no es válido. Escriba CLARAMENTE su desarrollo y no olvide justificar cada uno de sus pasos. p pr p  ( q  r ) q  s --------------- s

Indicación: Haga a = 7  4 3 y b = 7  4 3 . Empiece por calcular (a + b)2. 54. Demuestre, por contradicción, que dos enteros consecutivos no pueden ser impares ( ambos ). 55. Demuestre por casos, que para todo n natural, n2 – n es par.

48. Da las razones de cada paso para justificar el siguiente argumento: pq r  s pr ------------------- q  s

56. Demuestre, empleando el método de la contrapositiva, que si n 2 es un número par, entonces necesariamente n es par. 57. Demuestre que 1.999... = 2, donde la expresión 1.999...indica una cola infinita de nueves, lo que también se puede escribir como

1.9 .

Paso 1. (q  s) Paso 2. (q  s) Paso 3. q  s Paso 4. s Paso 5. r  s Paso 6. r Paso 7. p  q Paso 8. q Paso 9. p Paso 10. p  r Paso 11. r Paso 12. r  r

58. Demuestre que el conjunto de los números irracionales no es cerrado con respecto a ninguna de las cuatro operaciones aritméticas básicas (+, , , ). 59. Demuestra que si x , y son números reales y x + y > 100 entonces x > 50 o bien y > 50. 60. Demuestre que existen dos números irracionales a y b tales que a b es racional.

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Tarea departamental #1 de Matemáticas Superiores Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte 61. Demuestre que 0x  x = 0.

acuerdo al tamaño:  A  B ,  B ,   , A  B,  U .



62. Se requiere demostrar por inducción matemática que a 2 n 1  b 2 n 1 es divisible entre a + b. 63. Demuestre por medio del principio de inducción matemática, cada una de las siguientes fórmulas, relativas al conjunto de los números naturales: n n(n  1)(4n  1) c)   2i  12i  3 i 1

68.¿Es necesario determinar el conjunto de verdad de una proposición lógica, con objeto de determinar el valor de verdad de dicha proposición? Explique su respuesta.

l) 4 n  15n  1 siempre es divisible entre 9. n

 n  1 m) n !    si n > 1.  2  n  1  n2 ñ)   1   2 (k  1)  2  n  1 k 1 

p) sen nx  n sen x , si n es un entero positivo y x es cualquier número real. n n n q)  a  b      a ni bi , donde i 0  i 

n!  n  . Sugerencia: Demuestre    i  i !(n  i)! k k   k  1 primero que      .  r   r  1  r  r)

67. A) ¿ Qué necesita un elemento para pertenecer a la unión de 100 conjuntos diferentes ? B) ¿ Cuándo se dice que un elemento pertenece a la intersección de dos, tres o n conjuntos? C) ¿ Dónde está un elemento del universo que no está dentro de cierto subconjunto A de éste universo ?

69.Determinar la verdad o falsedad de las siguientes expresiones: a) { x : x2 = 3 y x es par } = . b) {  } = . c)   { 0 }. d) { 0 }  . 70.Efectuar las operaciones siguientes: a) { x : x < 0 }  { x : x < -1 } b) { x : x < 0 }  { x : x < -1 } 71.i) Expresar los siguientes conjuntos escribiendo sus elementos a)  0   x x   y x  3k donde k  

 cos  i sen  n  cos n  i sen n .

b) 1   x x   y x  3k  1 donde k  

3

64. Sea f: B  B la función booleana tal que f(0,0,0) =1, f(0,0,1)=1, f(1,1,0)=1 y f(a,b,c)=0 para los demás (a,b,c)  B3. Escriba la expresión booleana en forma canónica en términos mínimos para ésta función 65. Para cada una de las expresiones booleanas en x,y,z escriba la función booleana correspondiente y escriba la forma canónica en términos mínimos: a) xy; b) xy  z.

CONJUNTOS, RELACIONES Y OPERACIONES 66. Sea U un universo finito con A, B  U. Ordene la siguiente lista, en orden creciente de

6

c)  2   x x   y x  3k  2 donde k   ii) En base a los conjuntos determinados en i), obtener los conjuntos siguientes: a) 1   0 b) 1   2 d)  0  1   2 72. i) En términos de la notación de intervalo, determinar los siguientes intervalos: a) (,3)  [2, ) c) [1,2)  [1,4) e) [n, n]  [( n  1), n  1] , donde n es entero. f) [n, n]  [( n  1), n  1] , donde n es entero. ii) Los intervalos determinados en i) expresarlos gráficamente sobre el eje numérico.

Tarea departamental #1 de Matemáticas Superiores Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte 81. ¿Cuáles son verdaderas?    {} {} {}

73.Si A es un conjunto, entonces P(A) es el conjunto de partes (conjunto potencia) de A y P(P(A)) es el conjunto de partes (potencia) de P(A). Determinar: a) P (1,2) y P( P 1,2) b) P (0) y P( P 0) c) P() y P( P())

82. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son no vacíos? a) {xN│2x + 7 = 3} b) {xR│x2 + 5 = 4}

74. Determine los conjuntos A y B si sabe que : A \ B = { 1, 3, 7, 11 }; B \ A = { 2, 6, 8 }; A  B = { 4, 9 }.

c) {xN│x2 + 4 = 6}

75. Escriba la expresión dual de [( A  B )  C]  ( A \ C ).

83. Demuestre cada una de las siguientes propiedades relativas a la diferencia de conjuntos: a) (A \ B) \ C = A \ (B  C); c) A \ (A \ B) = A  B; e) (A \ B)  B = . B \ A  Ac. f) A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C).

76. Represente mediante un diagrama de Venn la siguiente operación con conjuntos : [ ( A  B )C ]  ( A \ C ). 77. Si A = [ 0 , 3 ] , B = ( 1 , 8 ] , C = [ -2 , 5 ) y el universo son todos los números reales, determine lo siguiente: ( Explique claramente ) a) ( A  B ) \ C; b) ( A  B )  C 78. Demuestra que la cardinalidad de la diferencia de dos conjuntos se obtiene mediante la fórmula siguiente, donde \ significa diferencia de conjuntos, y n(A) es la cardinalidad o el número de elementos del conjunto A: n(A \ B) = n(A)  n(A  B). 79. Demuestra con rigor el siguiente teorema interesante: Si U es el conjunto universal y A, B, C  U, entonces (A \ B)  C si y sólo si (A \ C)  B.

c. Demuestre A  A = ; 85. Sea el universo LOS NÚMEROS REALES y sea el conjunto de índices los enteros positivos. Para cada n entera positiva, sea An = [ -2n, 3n ].

80. Simplifique lo más que se pueda cada una de las siguientes expresiones, empleando para ello propiedades de conjuntos previamente establecidas: c) (A  B)  (Ac  B)  (Ac  Bc). c cc d) [[(AB)C] B ] e)

C

C

84. La diferencia simétrica dos conjuntos: A  B = (A \ B)  (B \ A): contiene a todos los elementos x que están exactamente en uno de los dos conjuntos A o B (pero no en ambos). Algunos autores usan otros símbolos para denotar esta operación de conjuntos, tales como A  B, o bien A  B. El estudiante debe estar atento a la notación que use su profesor a. Demuestre 1ue que A  B = (A  B) \ (A  B). b. Demuestre que la diferencia simétrica es asociativa, es decir: A  (B  C) = (A  B)  C = A  B  C.



Determine lo siguiente a) A3 ; b)  A n n 1

86. Si U = { Atletas de una Delegación } M = { Atletas que les gusta la música } D = { Atletas que les gusta la danza } T = { atletas que les gusta el teatro }

C

A (AB ) (ABC ) ( A  B  C  DC )  . . .

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Tarea departamental #1 de Matemáticas Superiores Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte Escriba en lenguaje ordinario lo que se representa encartesiano de N X N. La relación deberá de tener el siguiente diagrama: más de 6 elementos. U D

91. Describa en notación de conjuntos, el siguiente conjunto de puntos:

M

3

T -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 87. Al interrogar una delegación deportiva formada por 250 atletas sobre su afición respecto al Teatro, la Danza o la Poesía, se encontró que 125 prefieren el Teatro, 180 prefieren la Danza, 65 la Poesía, 100 Teatro y Danza, 25 Teatro y Poesía, 40 Danza y Poesía y 20 tenían las tres preferencias. Determinar cuántos de estos atletas tienen: a) Al menos una de las tres aficiones. b) Ninguna de las tres aficiones. c) Exactamente dos de las tres preferencias. 88. Sea U = Z. Sean p(x), q(x) y r(x) las siguientes proposiciones abiertas. p(x) : x2 - 8x + 15 = 0, q(x) : x es impar, r(x) : x es positivo. Use CONJUNTOS DE VERDAD para demostrar si se cumple o no A) x  ( r(x)  q(x) )  p(x)  B) x  r(x)  q(x)  p(x)  89. Sean P, Q y R respectivamente, los conjuntos de verdad de ciertas proposiciones p(x), q(x) y r(x), dadas en cierto universo U. Explique muy claramente, en términos de los conjuntos de verdad, cuándo ( bajo qué condiciones ) son verdaderas las siguientes proposiciones: 1. x,  p(x)  q(x) ] 2. x,  q(x)  ( r(x)  p(x) )  3. x,  ( p(x)  r(x) )  q(x)  90. Defina una relación que sea reflexiva y simétrica a partir de los elementos del producto

8