PROBLEMAS DE FLUIDOS (2011-2012)

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Principio de Arquímedes

FLUIDOS

1. Un sólido metálico se suspende de un dinamómetro y se mide su peso, que resulta ser de 1.25 N. Seguidamente se somete a las siguientes operaciones: 1. El sólido colgado del dinamómetro se sumerge completamente en agua y la lectura es 0.81 N. 2. El sólido colgado del dinamómetro se sumerge completamente en un líquido de densidad desconocida y la lectura del dinamómetro es 0.88 N. Determinar la densidad del sólido y la del líquido desconocido y explicar el fundamento físico. Principio de Arquímedes: Cualquier sólido sumergido en un fluido sufre un empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desalojado. W FE Lectura dinamómetro

Lectura dinamómetro Peso del sólido 1.25 N Sólido sumergido (agua) 0.81 N Sólido sumergido (disolución) 0.88 N

Sólido sumergido en agua: calculamos el empuje, y de ahí el volumen del sólido, puesto que la densidad del agua es conocida. E  W  F  1.25  0.81  0.44 N E 0.44 N W fluido desalojado  E   agua  V  g   4.49 105 m 3 V -3 -2  agua  g 1000 kg  m  9.8 m  s

F Densidad del sólido

E

W

s 

M W /g 1.25 / 9.8    2841 kg  m -3 5 V V 4.49 10

Sólido sumergido en la disolución: sea E’ el empuje que sufre el sólido. E   W  F   1.25  0.88  0.37 N E 0.37  desalojado  E    disolución V  g W fluido  disolución    841 kg2 m -3 5 V  g 4.49 10  9.8

Principio de Arquímedes

FLUIDOS

2. Una esfera hueca (radio interno R1, radio externo R2), hecha de un material de densidad 0, flota en un líquido de densidad L. Cuando el hueco se rellena con un material de densidad m la esfera flota completamente sumergida con su parte superior justamente a ras de la superficie. (a) Calcule la fracción de volumen de la esfera hueca que flota por encima de la superficie antes de rellenarla. (b) Calcule la densidad m. Datos numéricos (a) Volumen y masa de la esfera hueca:

E

0

4 M 0    0 R23  R13 3

4 V0   R23 3

R1

L

VL

E   L VL g

Igualando E con el peso, calculamos VL

4  VL   0 R23  R13 3 L



0,80

R 1 (m) =

0,10

R 2 (m) =

0,20



Por el principio de Arquímedes, la esfera sufre un empuje E igual al peso del fluido dsplazado. Como la esfera flota, E debe ser igual a su peso M0g.

R2

M 0g



 0 (g/cm3) =  L (g/cm3) =



VL es el volumen de la parte sumergida 4 E   L VL g  M 0 g    0 R23  R13 g 3

Fracción sumergida









VL  0 R23  R13 0  R13  1 -    V0  L R23  L  R23  3

1,60

Principio de Arquímedes

FLUIDOS

(b) Cuando el interior de la esfera se rellena con un material de densidad m, la esfera flota con su parte superior justo a ras de agua. El empuje E’ iguala al peso del fluido desplazado. Dicho peso es igual al peso de un volumen de fluido igual al volumen de la esfera.

E'

0

m

E '   L V0 g  M 0  M ' g

R1

M0g  M '

R2

4 4 M '    L R23    0 R23  R13 3 3



L

3 0 (g/cm ) = 0,80 3 L (g/cm ) = 1,60

4 M '    m R13 3

R23  m   0   L -  0  3 R1



4 4 M '    L -  0  R23    0 R13 3 3

La masa del material de relleno es

Igualando las dos expresiones para M’

M '   L V0  M 0

Solución numérica

R1 (m) = 0,10 R2 (m) = 0,20 VL/V0 = 0,44 3 m (g/cm ) = 7,20

4

Principio de Arquímedes

FLUIDOS

3. Un joyero emplea una aleación de plata y oro para fabricar un objeto ornamental cuyo peso total es 4.5 N. Cuando el objeto se cuelga de una balanza de resorte y se sumerge completamente en agua, el peso registrado es de 4.20 N. ¿Cuál es la composición de la aleación? Densidades relativas: plata 10.5; oro 19.3. El empuje E que sufre el objeto sumergido es la diferencia entre el peso W y el peso sumergido WS Según el principio de Arquímedes, el empuje es igual al volumen del peso de agua desplazada V

E  W  WS  4.5  4.2  0.3 N

E   agua  g V  V 

E

 agua  g

0.3 N  3.061·10 5 m 3  30.61 cm3 3 2 1000 kg/m  9.8 m/s

Conociendo el volumen podemos determinar la densidad de la aleación de plata y oro:

 Calculamos la composición por interpolación lineal.

W 4.5 N   15000 kg/m 3  15 g/cm 3 2 5 3 g  V 9.8 m/s  3.061·10 m  g/cm 3  19.3

tan  

19.3  10.5 15.0  10.5  100  0 x 0

15.0

x



10.5

% Oro 0%

x

100%

15.0  10.5 100  51% 19.3  10.5 5

Fluidos en reposo

FLUIDOS

4. Un submarinista experto en misiones de rescate de pecios tiene que sumergirse a 45 m de profundidad para examinar los restos de un galeón hundido. Si la máxima descompresión a la que es prudente someterse sin que haya efectos fisiológicos adversos es de 0.15 bar/minuto, ¿cuánto tiempo debe invertir y cómo debe realizar el viaje de regreso a la superficie una vez concluido su trabajo? Densidad del agua del mar  = 1.030 g/cm3. Superficie, Patm

A 45 m de profundidad la sobrepresión respecto a la superficie es h = 45 m

p  p atm  p    g  h kg m p  1000 3  9.8 2  45 m  454230 Pa  4.54 bar m s Cuando regrese a la superficie ha de sufrir una descompresión de 4.54 bar. Para hacerlo a razón de 0.15 bar/min deberá invertir un tiempo de

Fondo, P

t

p 4.54   30 min 0.15 0.15

La máxima distancia que debe subir en 1 minuto es 0.15 0.15 y max    1.5 m   g 1030  9.8 El regreso deberá hacerlo subiendo 1.5 m, deteniéndose un minuto, y repitiendo esta secuencia 30 veces hasta llegar a la superficie.

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Fluidos en reposo

FLUIDOS

5. Considerando que la atmósfera es un fluido en reposo a una temperatura constante y que el aire es un fluido compresible cuya densidad es proporcional a la presión a la que está sometido, determinar la presión a las alturas de 670 m, 4000 m y 8800 m por encima del nivel del mar. Datos: densidad del aire al nivel del mar 0 = 1.25 kg/m3; presión estándar a nivel del mar p0 = 1013 mb; aceleración de la gravedad g = 9.8 m/s2. p  dp



Altura y, p

y Nivel del mar, p0

¿Cuánto cambia la presión cuando la altura aumenta dy?

p  p0    g  y

dy

0

Fluido de densidad es proporcional a la presión significa que

  CTE  p  0  CTE  p0

 p   0 p0 p

 dp    0 g p dy dp  g  dy p0

dp    0  g  dy p p0



0



0 y  g y 0 p0

 p  ln    0  g  y p0  p0 

CTE

dp    0  g dy p p0

 0

   p  exp  0  g  y  p0  p0 

0 1.25 kg/m3 g   9.8 m/s2  1.209·10 4 m -1  0.1209 km -1 5 p0 1.013·10 Pa

p   0  0  p p0 p0



y

p0

ln p  pp

dp     g  dy

   p  p0 exp  0  g  y   p0 

p  1013 exp 0.1209  y  p en mb, y en km 7

Fluidos en reposo

FLUIDOS Valores de presión pedidos y A  670 m  0.670 km

p  1013 exp 0.1209  y 

p

p en mb, y en km

p A  1013  e 0.12090.67  924 mb

1000

y B  4000 m  4 km

pA

pB  1013  e 0.12094  625 mb

Presión en mb

800

pB

yC  8800 m  8.8 km

600

pC  1013  e 0.12098.8  350 mb

yA 400

pE yB

200

yC

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

y

Altura en km

8

Ecuación de Bernoulli

FLUIDOS

M

6. Un cilindro de sección S lleno de agua está cerrado por su parte superior mediante un pistón hecho con un material muy ligero que ajusta muy bien y sobre el que hay una pesa de masa M. Por debajo del nivel del agua, a una profundidad h, hay una llave que al abrirse permite el paso del agua a través de un conducto de sección efectiva A. Datos numéricos: M  20 kg; S  400 cm 2 ; A  1 cm 2 ; h  60 cm

h

a) Determinar la velocidad de salida del agua en el momento en que se abre la llave. b) Calcular el flujo de agua (en kg/s) y el caudal (en litro/s) en el instante en que se abre la llave. Sean 1 y 2 los puntos señalados en la figura, entre los que aplicaremos Bernoulli Punto 1

1 1 P1   c12   g h1  P2   c22   g h2 2 2

Velocidad c1: la suponemos nula pues S >> A, y eso quiere decir que la bajada del pistón será muy lenta. Presión P1: debe ser igual a la atmosférica más la ejercida por la pesa; despreciamos el peso del pistón al ser muy ligero. Mg P1  Patm  S Altura h1: tomando como nivel de referencia el del orificio de salida, es evidente que h1 = h.

M S

1 A

h 2

9

Ecuación de Bernoulli

FLUIDOS

Punto 2

M

Velocidad c2: es la incógnita a determinar. Presión P2: es igual a la presión atmosférica ya que se trata de un extremo abierto.

S

1 A

h

Altura h2: tomando como nivel de referencia el del orificio de salida, es evidente que h2 = 0. La ecuación de Bernoulli queda

Patm 

Mg 1 1   c12   g h  Patm   c22   g h2 S 2 2 0 0

 M   h  Velocidad de salida: c2  2 g  S  Flujo másico: m   A c2

2

DATOS ENUNCIADO A M (kg) = 20

B 40

C 20

D 40

2

400

500

400

500

2

1 60

0,5 50

1 90

0,5 80

2

0,04

0,05

0,04

0,05

5,0E-05 0,50

1,0E-04 0,90

5,0E-05 0,80

S (cm ) = A (cm ) = h (cm) = S (m ) = 2

A (m ) = 1,0E-04 h (m) = 0,60 DATO CONOCIDO

m Flujo volumétrico: V   A c2  Con los datos del enunciado multiplicamos por 103 para obtener el resultado en litro/s)

3

r (kg/m ) =

1000

1000

1000

1000

c 2 (m/s) =

4,64 0,46 0,46

5,05 0,25 0,25

5,24 0,52 0,52

5,60 0,28 0,28

 (kg/s)  m  V (litro/s) 

10

Ecuación de Bernoulli

FLUIDOS

7. Se hace pasar flujo sanguíneo arterial de un animal de laboratorio por un venturímetro cuya parte ancha tiene un área igual al de la arteria (0.08 cm2) y cuya parte estrecha tiene un área igual a la mitad de la anterior. La caída de presión observada es de 117 Pa. Determinar la diferencia de alturas en el venturímetro y la velocidad de la sangre en la arteria ( = 1.06 g/cm3).

1 1 P1  c12  gy1  P2  c22  gy2 2 2

h z1 z2 c2

c1 R y1

R

1

1 P1  P2   c22  c12 2



2

2

1



y2

P1  Patm  gz1

P1  P2  g  z1  z2   gh

P2  Patm  gz2

Por continuidad c1 < c2

Esto implica P1 > P2

h

Como P1 > P2, z1-z2 = h > 0 El fluido asciende más sobre la parte ancha de la conducción Ec. Continuidad: S1  c1  S 2  c2 2  1   S1  P1  P2      1 c12  2   S2   

c2 

S1  c1 S2

La altura h es proporcional a la diferencia de presiones P1 - P2 c1 

P1  P2 2  1   S1      1  2   S2   

P1  P2 g

h  0.0113 m  11.3 mm

h  0.271 m/s

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Problema para resolver

FLUIDOS

8. Una arteria de 0.5 cm de diámetro conduce un flujo de sangre de 4 cm3/s. Determinar: (a) Si circula o no en régimen laminar. (b) La pérdida de presión que sufre en un tramo de 10 cm de longitud. (c) ¿Cuál es la resistencia al flujo en ese tramo? Datos de la sangre: densidad 1,060 g/cm3, viscosidad 410-3 Pa·s.

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