Flujo de fluidos compresibles La variación de la densidad debe ser considerada en las ecuaciones que representan los sistemas en los que se transportan fluidos compresibles.

En el área de la ingeniería química se presentan pocos casos de los muy variados que existen en el área de estudio de los fluidos compresibles.

1

Flujo de fluidos compresibles Dos parámetros importantes son el número de Mach y el número de Reynolds. A bajas densidades, cuando la trayectoria media libre de las moléculas es apreciable en comparación con las dimensiones de los sólidos o las partículas en contacto se deben involucrar otras ecuaciones que no se presentan en este contexto. 2

Flujo de fluidos compresibles / Definiciones

y

ecuaciones básicas Consideraciones para analizar correspondientes al curso:

los

sistemas

1. Estado estacionario 2. Flujo en una dimensión 3. Gradientes de velocidad despreciables

4. Fricción únicamente en la pared 5. Sin trabajo de eje 6. Energía potencial despreciable 7. Gas ideal con Cp constante

3

Flujo de fluidos compresibles / Definiciones

y

ecuaciones básicas Ecuaciones utilizadas: 1. Ecuación de continuidad 2. Balance total de energía 3. Balance de energía mecánica 4. Ecuación de velocidad del sonido

5. Ecuación de estado del gas ideal

4

Flujo de fluidos compresibles

/ Definiciones y ecuaciones básicas /

Ecuación de continuidad

dm  udS

ln r + ln S+ lnu = constante dr

dS du + + =0 r S u 5

Flujo de fluidos compresibles

/ Definiciones y ecuaciones básicas /

Balance total de energía 2 b

2 a

Q u u = Hb - Ha + m 2 2 2ö æ dQ u = dH + d ç ÷ m è2ø

Análisis de unidades 6

Flujo de fluidos compresibles

/ Definiciones y ecuaciones básicas /

Balance de energía mecánica 2ö æ dp u + d ç ÷ + dhf = 0 r è2ø

2

u fdL dhf = 2 rH

D = 4rH 7

Flujo de fluidos compresibles

/ Definiciones y ecuaciones básicas /

Balance de energía mecánica

D = 4rH Area de Flujo D=4 Perímetro Mojado 8

Flujo de fluidos compresibles

/ Definiciones y ecuaciones básicas /

Balance de energía mecánica 2ö 2 æ dp u u fdL + dç ÷ + =0 r è 2 ø 2 rH

9

Flujo de fluidos compresibles

/ Definiciones y ecuaciones básicas /

Velocidad del sonido

æ dp ö a= ç ÷ è dr øS

10

Flujo de fluidos compresibles

/ Definiciones y ecuaciones básicas /

Velocidad del sonido Es la velocidad de una onda de compresión rarefacción moviéndose adiabáticamente y sin fricción.

Termodinámicamente, el movimiento de una onda de sonido es un proceso isentrópico.

11

Flujo de fluidos compresibles

/ Definiciones y ecuaciones básicas /

Ecuaciones del gas ideal P=

r

RT

M H  H 0  Cp( T  T0 ) 𝑈 = 𝐻 + 𝑃𝑉 = 𝑈0 + 𝑐𝑣 (𝑇 − 𝑇0 )

P



 cte

TP ( 11 /  )  cte

Cp Cp   Cv Cp  R / M 12

Flujo de fluidos compresibles

/ Definiciones y ecuaciones básicas /

Ecuaciones del gas ideal 𝑅𝛾 𝑐𝑝 = 𝛾−1 𝑅 𝑐𝑣 = 𝛾−1 𝑇 𝜌0 𝑆 = 𝑆0 + 𝑐𝑣 ln + 𝑅 ln 𝑇0 𝜌 𝑇 𝑝 𝑆 = 𝑆0 + 𝑐𝑝 ln − 𝑅 ln 𝑇0 𝑝0 RT p a   RT M 

Flujo de fluidos compresibles

/ Definiciones y ecuaciones básicas /

Ecuaciones del gas ideal 2 2 r u u 2 Ma = = g p g TR M

Fluye aire en estado estable entre dos secciones de un tubo largo recto de 4 in de diámetro. Las temperaturas y presiones son T1=540ºR, p1=100 psia y T2=453ºR, p2=18.4 psia. Calcule (a) el cambio en energía interna entre la sección 1 y 2; (b) el cambio en entalpía entre las secciones y (c) el cambio en densidad entre las secciones.

Calcule ahora el cambio en entropía entre ambas secciones.

15

• Calcule la velocidad del sonido a 0ºC, si R=286.9 J/(kg K).

16

Flujo de fluidos compresibles

/ Definiciones y ecuaciones básicas /

Condición asterisco La condición a la que u = a, Ma = 1, es conocida como la condición asterisco, la presión, la temperatura , la densidad y la entalpía se denotan como: p*, T*, *, H*.

17

18

Flujo de fluidos compresibles

/ Definiciones y ecuaciones básicas /

Temperatura de estancamiento Se define para un fluido con alta velocidad, como la temperatura de reposo después de un proceso adiabático y sin trabajo de eje.

El estado de estancamiento se asocia con velocidad cero y un valor de entropía que corresponde a la del flujo de fluido. Se usa el subíndice 0. 19

Flujo de fluidos compresibles / Procesos

de flujo

compresible Puede suceder: 1. Expansión isentrópica 2. Flujo adiabático 3. Flujo isotérmico

(Uno de los tres)

20

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isentrópico en boquillas Una boquilla consiste de una sección convergente y una sección divergente unidas por una garganta. La garganta es de longitud corta y con paredes paralelas al eje de viaje del fluido. 𝑑𝑉 𝑑𝐴 1 =− 𝑉 𝐴 1 − 𝑀𝑎2

21

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isentrópico en boquillas La configuración de la boquilla es manipulada por el diseñador al fijar la relación entre el área de flujo y la longitud axial.

22

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isentrópico en boquillas El propósito de la sección convergente es incrementar la velocidad y disminuir la presión del gas.

23

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isentrópico en boquillas En la sección convergente siempre existe flujo subsónico. NO es posible que se genere flujo supersónico en esa región.

24

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isentrópico en boquillas En la garganta puede presentarse flujo sónico.

25

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isentrópico en boquillas En la sección divergente puede presentarse flujo subsónico o supersónico.

26

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isentrópico en boquillas En flujo subsónico se reduce la velocidad y se incrementa la presión. (Medición de flujo) En el flujo supersónico se generan jets, spray, túneles, condensación

27

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isentrópico en boquillas El flujo a través de una boquilla está controlado por las presiones en el reservorio y en el destino del fluido.

28

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isentrópico en boquillas Si pr = p0 no existe flujo: Línea aa’

29

Flujo de fluidos compresibles / Flujo

isentrópico en

boquillas Si la presión en el destino es menor que en el reservorio entonces se presenta flujo con un perfil como el descrito en la línea abc. Obsérvese que en la región de convergencia se recobra la presión.

30

Flujo de fluidos compresibles / Flujo

isentrópico en

boquillas Si la presión en el destino disminuye puede presentarse flujo sónico en la garganta. Según línea ade. Ma = 1. p*/p0 se conoce como razón crítica de presión.

31

Flujo de fluidos compresibles / Flujo

isentrópico en boquillas /

Relaciones de flujo isentrópico Para cambio en las propiedades del gas durante el flujo.

P

r

g

=

P0

r0 g

T T0 = 1-1 g 1-1 g p p0 32

Flujo de fluidos compresibles / Flujo

isentrópico en boquillas /

Relaciones de flujo isentrópico El balance de energía puede aplicarse, primero en forma diferencial: æ 2ö

dP

u = -d ç ÷ r è2ø

Puede integrarse desde el reservorio hasta cierto punto, antes utilizando la relación de estado mostrada. 1g æ 2ö

u P0 ò 0 d çè 2 ÷ø = - r 0 u

dP ò P0 P1 g P

33

Flujo de fluidos compresibles / Flujo

isentrópico en boquillas /

Relaciones de flujo isentrópico Integrando y despejando para la velocidad:

é æ ö1-1 g ù 2g P0 ê P 2 u = 1- ç ÷ ú (g -1) r0 êë è P0 ø úû

34

Flujo de fluidos compresibles / Flujo

isentrópico en boquillas /

Relaciones de flujo isentrópico La anterior expresión de velocidad puede ru2 u2 insertarse en la expresión 2 Ma = = gp

g TR M

1-1 g ù é Resultando 2g P0 r ê æ P ö ú 2 Ma = 1- ç ÷ (g -1) Pr0 êë è P0 ø úû

o

1-1 g é ù æ ö 2 P 2 Ma = êç 0 ÷ -1ú úû (g -1) êëè P ø 35

Flujo de fluidos compresibles / Flujo

isentrópico en boquillas /

Relaciones de flujo isentrópico Explícitamente para la presión: P 1 = 1 (1-1 g ) 2 P0 {1+ é(g -1) 2ù Ma } ë û Si se sustituye Ma =1, se puede conocer la presión crítica para un fluido de interés: 1 (1-1 g )

P æ 2 ö rc = =ç ÷ P0 è g +1 ø *

Para aire, esta relación es 0.528

36

Flujo de fluidos compresibles / Flujo

isentrópico en boquillas /

Relaciones de flujo isentrópico Finalmente para el flux másico: 1g

2gr0 p0 æ p ö G = ur = ç ÷ g -1 è p0 ø

1-1 g

æ pö 1- ç ÷ è p0 ø

37

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isotérmico Se presenta si se transfiere calor por el conducto (paredes) por donde fluye el fluido y si no hay efectos de la fricción que causen un cambio en la temperatura. Además si el conducto no está aislado y existe la misma temperatura dentro y fuera del mismo y el gas fluye a bajas velocidades. 38

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isotérmico Aun en grandes conductos pueden aplicarse estas deducciones y consideraciones. dp vdv  gdz   dF  0 Ecuación de Energía:  2 fv 2 dL Si dz = 0, entonces: vdv  Vdp  0 D 

El gasto másico:

v m G  v   V A 39

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isotérmico 2

dV dp 2 fG Sustituyendo v por GV: G   dL  0 V V D 2

Usando la ecuación de estado:

1 pV  RT M

Sustituyendo por la presión e integrando:

G

2 V2

V 1

dV M  V 2 RT

P2

P1

2

G pdp  2 f D

L2

L1 dL  0 40

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isotérmico Integrando y reacomodando:





2 V M G G 2 ln 2  p 22  p12  2 f L  0 V1 2 RT D

p1 V2  p 2 V1



4 fLG RT 2G RT p1 p p   ln DM M p2 2

2 1

2 2

41

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isotérmico El Balance de Energía queda como: 2

2G RT p p  M 2 1

2 2

 L p1  2 f D  ln p  2  Análisis de unidades

Ecuación 3.21. Levenspiel O., Engineering Flow and Heat Exchange. Plenum Press. New York (Fanning) Ecuación 6.49. Mc Cabe, W. L., Unit Operations of Chemical Engineering 7th Ed. McGraw-Hill’s. New York 2005 (Fanning) Ecuación 20-30 d. Foust, A. S., Principles of Unit Operations 2nd Ed., JWS, 1987, New York, (Darcy) 42

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

isotérmico Sistema 1 - Ejemplo. Se transporta aire a 20 C en una tubería de acero comercial de diámetro interno 0.1524 m, la presión de entrada es 500 kPa y de salida es 300 kPa. La longitud de la tubería es 168 m. Calcular el gasto másico.

43

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

adiabático El proceso de flujo es adiabático y sin fricción. Es un fenómeno que ocurre si el flujo es “muy rápido”, de tal forma que no tiene oportunidad para la transferencia de calor con los alrededores. El análisis isentrópico puede aplicarse a flujos de alta velocidad sobre cortas distancias en las que la transferencia de calor y la fricción pueden despreciarse. 44

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

adiabático Aplicando relaciones termodinámicas para procesos adiabáticos en gases ideales a la ecuación del balance de energía:  1   2 2  v2  v1 P1    p2    1     2 1   1 p1     

ó

 1   2 2  v2  v1 P2   p1     1   2  2   1  p2   

45

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

adiabático v = velocidad g = gravedad p = presión  = Cp/Cv  = densidad

46

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

adiabático Considere que se transporta aire adiabáticamente, con velocidades respectivas en los puntos de entrada y salida: V1 = 30.5 m s-1, V2 = 150 m s-1, la presión en la entrada del sistema: P1 = 350x 103 Pa, con peso específico = 0.028x103 N m-3 Calcular P2 47

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

adiabático Resolución:

 1   2 2  v2  v1 P1    P2    1    2 1   1   P1    

 P2  1     P1 

 1 

 v22  v12  v1   1     2  P1 

48

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Flujo

adiabático  P2     P1 

 1 



2 2  1 v  v 1   1   v  v    1 2 1 1  1 * P  P 1  2 1  2 P1  2 P  1   2 2

1 1

2 2 3      1.4  1  150  30 . 5 0 . 028 x 10 3   P2  350 x10 1    3  2  9.8 * 350 x10  1.4   

1.4 1.4 1

P2 = 320x103 Pa 49

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores Los equipos para mover gases y vapores a traves de otros equipos y ductos reciben el nombre de compresores, ventiladores o sopladores, dependiendo de la caída de presión o presión de trabajo.

Los ventiladores tienen presiones de descarga de 0.01 a 0.15 atm. (centrífugos o axiales) 50

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores Los sopladores (son de 1 etapa) con presiones de descarga de 0.15 atm a 1 atm. Las relaciones de compresión son de 4. Los compresores manejan presiones de salida hasta de 55 atm.

51

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores Ventiladores Un ventilador es esencialmente una bomba para gas; la diferencia es el grado de compresibilidad respecto a los líquidos. Su aplicaron es en secadores, hornos, quemadores, acondicionamiento de aire, eliminación de humo.

52

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores Cálculo de trabajo y potencia v12 P1 v 22 P2  W   2  2  El comportamiento de un ventilador centrífugo varía con la temperatura, el número de revoluciones por minuto y la densidad del gas. Es necesario tener esto en consideración, ya que los catálogos de los fabricantes toman como base 20 ªC y 1 atm de presión. 53

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores Un compresor es una bomba para un gas, con Psalida/ Pentrada significativamente mayor a 1.0. Si la presión cambia en menor proporción la bomba es llamada soplador o ventilador. Los ventiladores y sopladores trabajan como las bombas centrífugas y su comportamiento se predice como el de esas bombas. 54

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores El trabajo de un pistón simple es

W=

ò F dx = ò PAdx = ò PdV = ò ^

dP

r

En términos de la Primera Ley de la Termodinámica (ecuación del Balance de Energía):

W=

ò

Pb

dp

Pa

r 55

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores Si la compresión es adiabática, se utilizan las relaciones de procesos adiabáticos, resultando: éæ ö1-1 g ù Pag ê Pb W= ç ÷ -1ú úû (g -1) ra êëè Pa ø

56

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores Si la compresión es isotérmica: W = ò V dP Pb ^

Pa

Usando las relaciones de estado del gas ideal W= ò

Pb Pa

dP RT = r M

ò

Pb Pa

dP RT Pb = In P M Pa 57

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores EJEMPLO: Un compresor con 100% de eficiencia se requiere para comprimir aire de 1 a 3 atm. La temperatura de entrada 68º F. Calcular el trabajo por libra mol para un compresor isotérmico y para un compresor adiabático.

58

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores Compresor Isotérmico: P2 Btu W = RTIn =1.987 x528º RIn3 P1 lbmol º R

Btu kJ kJ W =1,153 = 2.68 = 92.36 lbmol mol kg

59

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores Compresor adiabático: 0.4 æ æ 1.4 ö 1.4 ö Btu W =1.987 x528º Rç ÷ç 3 -1÷ è 0.4 øè lbmol º R ø

Btu kJ kJ W =1, 354 = 3.146 =108.5 lbmol mol kg

60

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores La diferencia entre las dos respuestas es debida al incremento en la temperatura del gas en el compresor adiabático. De g

1-g 1

T1 P

g

1-g 2

= T2 P

Se obtiene que T2 = 722.7 ºR

61

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores Para el caso de la compresión isotérmica se incrementó la densidad 3 veces, y en el caso de la compresión adiabática se incrementó 2.192 veces. En el segundo caso no se requiere servicio de enfriamiento.

62

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores Otro ejemplo. Se comprime aire de 1 a 10 atm. La temperatura de entrada es 68ºF ¿Cuánto es el trabajo por mol para: a) Un compresor isotérmico b) Un compresor adiabático c) Un compresor adiabático de dos etapas en el cual el gas se comprime adiabáticamente a 3 atm y luego es enfriado a 68ºF y posteriormente se comprime de 3 a 10 atm. 63

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores a) Compresor Isotérmico Btu Btu W =1.987 x528º RIn10 = 2, 416 lbmol º R lbmol

kJ W = 5.614 mol 64

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores b) Compresor Adiabático 0.4 æ ö æ ö Btu 1.4 W =1.987 x528º Rç ÷ç10 1.4 -1÷ è 0.4 øè lbmol º R ø

Btu kJ W = 3, 418 = 7.96 lbmol mol

65

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores c) Compresión por etapas:

0.4 é 0.4 ù æ 1.4 öê 1.4 æ 10 ö1.4 ú Btu W =1.987 x528º Rç ÷ê3 -1+ ç ÷ -1ú è3ø lbmol º R è 0, 4 ø ë û

Btu kJ W = 2,862 = 6.6 lbmol mol

66

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores Ejemplo Se debe comprimir aire a 70 F y presión atmosférica a 4000 psig, el flujo es de 125 ft3 min-1 (STD), ¿Cuál es la potencia del compresor o de los compresores con etapas de enfriamiento?  1 /    nRT1  P2    W  1   1  P1    67

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores





PV 1atm  0.05899m / s n    2.6319mol / s 8.314273.15K  RT 3

1.41 / 1.4 7    2.6319mol / s 8.314294.2611K 1.40  2.768035 x10 Pa    W  1 1.40  1  101325Pa  

W = 89 410.27 Watts = 119.9011 hp 68

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores T P

11 / 



T0 11 / 

P0 294.2611K 711/ 1.4 T 2.7680 x10 Pa  1461.715K 11/ 1.4 101325 Pa





N =1 69

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores P2 rc   273.1839 P1

(Relación de compresión)

N=2 P1 = 14.61 psia P2 = P3 = 4014.69 psia 70

Flujo de fluidos compresibles

/ Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores  Pn 1   r    P1 

1/ n

 4014.69  r    14.69 

1/ 2

 16.53

P2 = 242.825 psia. 71