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I E S MO N E L O S

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EVALUACIÓN DE LA

5º

Y

6ª

UNIDADES

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES (2ª

3º

1.-

DE LA

PARTE)

ESO

En un test de 30 preguntas deben responderse todas y se obtiene 0´75 puntos por cada respuesta correcta y se resta 0´25 puntos por cada respuesta incorrecta. Calcule cuántos aciertos y cuántos fallos se produjeron en una calificación de 10´5.

SOLUCIÓN:

Denotamos por x al número de preguntas con respuesta correcta. En este caso, el número de respuestas falladas debe ser 30  x . La puntuación que aportan las x preguntas acertadas es 0´75 x . La puntuación que restan las 30  x preguntas falladas es 0´25 ( 30  x ) . Por lo tanto, la ecuación que resuelve el problema es 0´75 x  0´25 ( 30  x )  10´5 Procedamos con su resolución: 0´75 x  0´25 ( 30  x )  10´5



x  10´5  7´5

Por lo tanto, se han acertado 18 preguntas y se han fallado 12.

0´75 x  7´5  0´25 x  10´5 

x  18



2.-

Si la base de un rectángulo disminuye 80 centímetros y la altura aumenta 20 centímetros, se convierte en un cuadrado. Si la base disminuye 60 centímetros y la altura aumenta 20 centímetros, su área disminuye 400 centímetros cuadrados. Calcule las medidas de los lados.

SOLUCIÓN:

Denotamos por x a la longitud, en centímetros, de la base. Denotamos por y a la longitud, en centímetros, de la altura. El hecho de que si la base disminuye en 80 centímetros y la altura aumenta en 20 centímetros se tendrá un cuadrado, determina la ecuación x  80  y  20 . El hecho de que si la base disminuye en 60 centímetros y la altura aumenta en 20 centímetros su área disminuye en 400 cm 2, determina la ecuación x  y  ( x  60 )  ( y  20 )  400 . Por lo tanto, el sistema que resuelve el problema es

 x  80  y  20 .   x  y  ( x  60 )  ( y  20 )  400

Procedamos a resolverlo obteniendo previamente su forma normal:  x  80  y  20



x  y  20  80

x  y  ( x  60 )  ( y  20 )  400



 20 x  60 y   800

1



20

Así obtuvimos el siguiente sistema equivalente:





x  y  100 x  y  x  y  20 x  60 y  1200  400 1

(  20 x  60 y ) 

20

 (  800 )



 x  3 y   40



x  y  100     x  3 y   40

Procedemos a su resolución por el método de eliminación.  x  y  100     x  3 y   40

  y  3 y  100  40



2 y  60



y

 y  3 y  100  40

Sólo resta calcular el valor de x , y para ello, substituimos x  y  100



y  30

x  30  100

en la ecuación 

x  y  100 :

x  100  30  130

Así, hemos obtenido que la base del rectángulo mide 130 centímetros y su altura mide 30 centímetros.

60  30 2

3.-

Se mezcló un bidón de aceite de soja, de 1´6 € el litro, con un barril que contenía 400 litros de aceite de oliva de 3´2 € el litro. Calcule cuántos litros se añadieron de aceite de soja sabiendo que el litro de mezcla cuesta 2´6 €.

SOLUCIÓN:

Si denotamos por del problema.

x

a la cantidad de litros de aceite de soja que contenía el bidón, la siguiente tabla nos ayudará en la resolución litros

Precio: €/litro

TOTAL

Aceite de soja

x

1´6

1´6 x

Aceite de oliva

400

3´2

400  3´2  1280

400  x

2´6

MEZCLA

Por lo tanto, la ecuación que resuelve el problema es

1´6 x  1280 ( 400  x )  2´6

1´6 x  1280  ( 400  x )  2´6 .

Procedamos con su resolución. 1´6 x  1280  ( 400  x )  2´6

1´6 x  1280  1040  2´6 x



1´6 x  2´6 x  1040  1280



 x   240





x  240

Por lo tanto, se añadieron 240 litros de aceite de soja.

4.-

Se mezclan 15 quilogramos de arroz de 1 € el quilo, con 25 quilogramos de arroz de otra clase superior. Calcule el precio del quilo de arroz de la clase superior sabiendo que el quilo de la mezcla cuesta 1´3 €.

SOLUCIÓN:

Si denotamos por del problema.

x

al precio, en euros, de un quilo de arroz de clase superior, la siguiente tabla nos ayudará en la resolución quilos

Precio: €/kg

TOTAL

Arroz de calidad inferior

15

1

15  1  15

Arroz de calidad superior

25

x

25 x

40

MEZCLA

Por lo tanto, la ecuación que resuelve el problema es

25 x  15

1´3

40  1´3  52

25 x  15  52 .

Procedamos con su resolución. 25 x  15  52



25 x  52  15



Por lo tanto, un quilo de arroz de calidad superior cuesta 1´88 euros.

25 x  47



x

47 25

 1´88

5.-

Para pagar un artículo que costaba 3 €, utilicé nueve monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. Calcule cuantas monedas de cada clase utilicé.

SOLUCIÓN:

Si denotamos por

x

al número de monedas de 20 céntimos, el número de monedas de 50 céntimos debe ser

9x.

Por lo tanto, en céntimos, se tiene la siguiente ecuación que representa la cantidad total de céntimos: 20 x  50 ( 9  x )  300 .

Procedamos con su resolución: 20 x  50 ( 9  x )  300



 30x  300  450

 30 x   150



20 x  450  50 x  300 

x

150 30

 5

Por lo tanto, pagué con 5 monedas de 20 céntimos y cuatro de 50 céntimos.

6.-

Un fabricante de lámparas obtiene un beneficio de 0´3 € por cada pieza que sale del taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0´4 € por cada pieza defectuosa que debe retirar. En una jornada fabricó 2.100 lámparas, obteniendo un beneficio de 484´4 €. Calcule cuantas lámparas válidas y cuantas defectuosas se fabricaron ese día.

SOLUCIÓN:

Si denotamos por 2100  x .

x

al número de lámparas válidas, de forma evidente, el número de lámparas defectuosas en esa jornada fueron

La cantidad que aportaron las x lámparas válidas es 0´3 x . La cantidad que restan las 2100  x lámparas defectuosas es 0´4 ( 2100  x ) . Por lo tanto, la ecuación que resuelve el problema es 0´3 x  0´4 ( 2100  x )  484´4 Procedamos con su resolución: 0´3 x  0´4 ( 2100  x )  484´4 0´7 x  484´4  840





0´3 x  840  0´4 x  484´4

0´7 x  1324´4



x

1324´4 0´7

Por lo tanto, en esa jornada se fabricaron 1892 lámparas válidas y 208 lámparas defectuosas.



 1892

7.-

Una empresa aceitera envasó 3000 litros de aceite en 1200 botellas de dos y de cinco litros. Calcule cuantas botellas de cada clase se utilizaron.

SOLUCIÓN:

Si denotamos por

x

al número de botellas de dos litros, de forma evidente, el número de botellas de cinco litros fue

1200  x .

La cantidad de litros que se envasan en las x botellas de dos litros es 2 x . La cantidad de litros que se envasan en las 1200  x botellas de cinco litros es 5 ( 1200  x ) . Por lo tanto, la ecuación que resuelve el problema es 2 x  5 ( 1200  x )  3000 Procedamos con su resolución: 2 x  5 ( 1200  x )  3000  3 x  3000  6000





2 x  6000  5 x  3000

 3 x   3000



x

30000 3

  1000

Por lo tanto, en esa jornada se embotellaron en 1000 botellas de dos litros y 200 botellas de cinco litros.

8.-

En un bar se venden bocadillos de jamón a 3´5 € y bocadillos de tortilla a 2 €. En una mañana vendieron 52 bocadillos y la recaudación final fue de 149 €. Calcule cuantos bocadillos se vendieron de cada clase.

SOLUCIÓN:

Si denotamos por x al número de bocadillos de jamón que se vendieron esa mañana, de forma evidente, el número de bocadillos de tortilla fue 52  x . Con la venta de x bocadillos de jamón se recaudó 3´5 x . Con la venta de 52  x bocadillos de tortilla se recaudó 2 ( 52  x ) . Por lo tanto, la ecuación que resuelve el problema es 3´5 x  2 ( 52  x )  149 Procedamos con su resolución: 3´5 x  2 ( 52  x )  149 1´5 x  149  104





3´5 x  104  2 x  149

1´5 x  45



Por lo tanto, en esa mañana se vendieron 30 bocadillos de jamón y 22 de tortilla.

x

45 1´5



 30

9.-

Una empresa de productos plásticos recibe el encargo de fabricar cierto número de macetas para un día determinado. Al planificar la producción, el gerente advierte que si fabrican 250 macetas diarias, faltarían 150 macetas al concluir el plazo que les dieron. Si fabrican 260 macetas diarias, entonces les sobrarían 80 macetas. Calcule cuantos días de plazo tenían y cuántas macetas les encargaron.

SOLUCIÓN:

Denotamos por

x

al número de días que tenían de plazo.

Denotamos por

y

al número de macetas que les encargaron.

El hecho de que si fabrican 250 macetas diarias le faltarán 150 macetas para completar el pedido, determina la ecuación 250 x  y  150 . El hecho de que si fabrican 260 macetas diarias le sobrarán 80 macetas de las que tenían encargadas, determina la ecuación 260 x  y  80 . Por lo tanto, el sistema que resuelve el problema es

 250 x  y  150 .   260 x  y  80

Procedamos a resolverlo obteniendo previamente su forma normal:  250 x  y  150  250 x  y   150  260 x  y  80  260 x  y  80

Así obtuvimos el sistema equivalente

 250 x  y   150 .   260 x  y  80

Procedemos a su resolución por el método de eliminación.  250 x  y   150   260 x  y  80



  ( 250 x  y )   (  150 )  260 x  y  80 

 250 x  260 x  150  80



Sólo resta calcular el valor de y , y para ello, substituimos 250 x  y   150





 250 x  260 x  150  80 

en la ecuación

250  23  y   150

 y   150  5750



10 x  230

x  23

  250 x  y  150    260 x  y  80



 y   5900

Así, hemos obtenido que tenían 23 días de plazo para fabricar 5900 macetas.

x

230  23 10

250 x  y  150 : 5750  y   150



y  5900



