Zeit und Raum Koordinaten Übertragung von Information durch l Senden eines Elements e aus einem Signalvorrat S In Praxi: S endliche Menge von (Spannungs)werten l
Senden weiterer Elemente e1, e2, ... zu verschiedenen Zeiten In Praxi: Bestimmte Abtastzeitpunkte für das Signal
Frage: Welche Auflösung in Zeit und Raum gestattet das Übertragungsmedium?
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Fourier Analyse (1)
Jean Baptiste Joseph Fourier Französischer Mathematiker und Physiker 1786 - 1830
Jede periodische Funktion f(t) mit Periodendauer T und "hinreichend normalem Verhalten" kann als Summe der periodischen Grundfunktionen sin, cos deren Periode ein ganzzahliger Bruchteil von T ist (dh: deren Frequenz ein ganzzahliges Vielfaches von 1/T ist) approximiert werden.
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Fourier Analyse (2)
f(t) = c ∝ +
S
n=1
∝ +
S
l l
ansin (2p n Tt )
bncos (2p n
t T
l
c T
Gleichstromanteil Periodendauer von f
Konvergenz der Summen für Approximation wichtig
)
n=1
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Fourier Analyse (3)
T
an =
2 T
∫
f(t) sin (2p n
t T
) dt
0 T
bn =
2 T
∫
f(t) cos (2p n
t T
) dt
0 T
c=
1 T
∫
f(t) dt
0
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Fourier Analyse (4)
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Fourier Analyse (5)
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Fourier Analyse (5)
Gibbsches Phänomen l Überschwingen an den Unstetigkeitsstellen l In Mathematik – Numerik l Aber auch in der Physik !
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Bandbreite Erhöhen der Bandbreite durch l
möglichst großen Signalvorrat S dh: Hohe Anzahl unterscheidbarer Spannungsniveaus Grenzfall: Unendlich viele Niveaus Ein Spannungswert codiert beliebig großes Dokument Limitierung: Thermisches Rauschen, Störfelder
l
Hohe Senderate dh: Sende sehr häufig ein Signal Limitierung: Dämpfung, Cutoff-Frequenz (Grenzfrequenz)
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Nyquist Abtasttheorem (1)
Harry Nyquist Amerikanischer Physiker und Ingenieur 1889 - 1976
Soll ein Signal, das maximal die Frequenz v im Spektrum enthält, exakt rekonstruiert werden, so muß es mit der doppelten Frequenz 2v abgetastet werden.
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Nyquist Abtasttheorem (2) Anwendung: Digitale Telefonie (zB: ISDN, Voice over IP) Will Frequenzen bis 4 kHz korrekt übertragen Muß 8000 mal pro Sekunde digitalisieren Jedes Sample codiert Lautstärke mit 8 bit Ergibt Datenrate von 64 kBit / sec Aber: Viele Techniken zur Verbesserung bekannt. Diese nutzen eine Redundanz im 64 kBit Datenstrom aus (akustische Modelle)
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Nyquist Abtasttheorem (3)
Abtastung eines Sinus-Signals Vierfache Signalfrequenz Unterschiedliche Phasenlagen
Abtastung eines Sinus-Signals Achtfache Signalfrequenz
Nyquist Abtasttheorem (5) Abtastung eines Sinus-Signals Doppelte Signalfrequenz Exakte Nyquist Grenzfrequenz Problematische Phasenlage gestattet Keine eindeutige Signalrekonstruktion
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Nyquist Abtasttheorem (6) Fehler bei zu geringer Abtastfrequenz
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Nyquist Kanalkapazität (1) Ein Kanal übertrage maximal die Frequenz v = 1 / T [Hz] Dann kann der Kanal alle T/2 [sec] einen Signalwert übertragen Die Übertragung mit einer höheren Rate ist nicht möglich 1
Nyquist Kanalkapazität (2) Ein Kanal der Grenzfrequenz v, auf dem störungsfrei n verschiedene Signalniveaus übertragen werden hat maximal die Bandbreite
B = 2 v log2 (n)
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Störungen
Signal ohne Störung
Signal mit Störung System
Die wichtigsten Störungen eines Komunikationssystems sind l Dämpfung l Rauschen l Bandlimitierung l Laufzeitverschiebung l Laufzeitverzerrung 18
Störungen Dämpfung
Leistungsdämpfung Minderung der übertragenen Energie im Verlauf einer Übertragungsstrecke Definiert durch a = 10 log10 (P1 / P2) Einheit Dezibel dB
Spannungsdämpfung Minderung der Potentialdifferenz im Verlauf einer Übertragungsstrecke Definiert durch a = 20 log10 (V1 / V2) Einheit Dezibel dB
Kann frequenzabhängig sein
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Störungen Rauschen
Thermal Noise Thermisches Rauschen Rauschen durch die zufällige Wärmebewegung der Elektronen Jede Frequenz trägt gleich stark zur Rauschleistung bei (sog. Weißes Rauschen) Cross Talk Nahnebensprechen Störung durch induktive Koppelung paralleler Leitungen Netzbrumm Störung durch induktive Koppelung an 50 Hz des Wechselstromnetzes Impulse Noise Impulsförmige Störung durch elektrische Geräte 20
Störungen
Bandlimitierung
Ein Übertragungssystem überträgt nur bis zu einer oberen Grenzfrequenz Das Übertragungssystem wirkt wie ein Bandpaß Typisch: Stark frequenzabhängige Dämpfung
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Störungen
Laufzeitverschiebung
Jedes Übertragungssystem hat eine gewisse Durchlauf (Latenz)zeit
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Störungen
Laufzeitverzerrung
Zu einer Laufzeitverzerrung kommt es, wenn l die Latenzzeit mit der Zeit schwankt l die Latenzzeit mit der Frequenz schwankt (sog. Dispersion)
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Signal / Rauschverhältnis S N
Leistung, die aus dem Signal stammt Leistung, die aus weißem Rauschen (noise) stammt Weißes Rauschen: Jede Frequenz gleich stark vertreten S / N Signal / Rausch Verhältnis; SNR; signal-noise-ratio Angabe üblicherweise als 10 log10 (S / N) in Einheit deciBel [db] 10 db SNR = 10 20 db SNR = 100 30 db SNR = 1000
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Shannon Kanalkapazität (1) Claude Elwood Shannon Amerikanischer Mathematiker Vater der mathematischen Informationstheorie 1916 - 2001
Ein Kanal der Grenzfrequenz v, mit weißem Rauschen mit dem Signal / Rausch Verhältnis S / N hat maximal die Bandbreite
B = v log2 ( 1 + S / N ) 25
Shannon Kanalkapazität (2) Anwendung: Alte, analoge Telefonleitung l Grenzfrequenz 3kHz l SNR von 30 dB l Maximale Bandbreite 30.000 bit / sec Interpretation: l Absolute, theoretische Grenze l Unabhängig von der Anzahl Signalniveaus l Unabhängig von den Übertragungsfrequenzen l Unabhängig von der Codierung
