1

Espacio afín

1.1

De…nición de Espacio afín

Un espacio afín real es una terna (A; V; ) formada por un conjunto A, un espacio vectorial real V y una aplicación : A A ! V que cumple: 1. 8P 2 A y 8~u 2 V existe un único Q 2 A tal que (P; Q) = ~u: 2.

(P; Q) + (Q; R) = (P; R) para todo P; Q; R 2 A.

! Notación. Escribiremos (P; Q) = P Q. A los elementos del conjunto A los llamamos puntos de A y diremos que V es el espacio vectorial asociado al espacio afín (A; V; ). De…nimos la dimensión del espacio afín (A; V; ) como dim A = dim V: Ejemplo 1 Todo espacio vectorial V es un espacio afín con espacio vectorial asociado V . En efecto, la terna (A; V; ) donde A =V y la aplicación dada por: : A A ! V; (~u; ~v ) = ~v ~u; veri…ca las condiciones de la de…nición de espacio afín. Ejemplo 2 Por el ejemplo anterior tenemos que (R2 ; R2 ; ) es un espacio afín de dimensión 2, (R3 ; R3 ; ) es un espacio afín de dimensión 3. En general (Rn ; Rn ; ) es un espacio afín de dimensión n. 1.1.1

Propiedades de los espacios a…nes

Sea (A; V; ) un espacio afín real. Se veri…ca: 1.

(P; Q) = ~0 si y sólo si P = Q.

2.

(P; Q) =

3.

(P; Q) = (R; S) si y sólo si (P; R) = (Q; S).

1.2

(Q; P ), 8P; Q 2 A.

Referencia afín

Sea A un espacio afín de dimension n con espacio vectorial asociado V . De…nición de referencia afín Un conjunto de n + 1 puntos fP0 ; P1 ; : : : ; Pn g de un espacio (A; V; ) eso un sistema de referencia afín de A si el conjunto n afín ! ! de vectores P0 P1 ; : : : ; P0 Pn es una base del espacio vectorial V . 1

n ! !o De…nición El punto P0 2 A tal que P0 P1 ; : : : ; P0 Pn es una base de V , se denomina origen del sistema de referencia fP0 ; P1 ; : : : ; Pn g. Proposición Dado un punto P0 2 A existe un sistema de referencia afín de A con origen el punto P0 . Demostración Por el teorema de la base sabemos que todo espacio vectorial …nitamente generado admite al menos una base. Sea B = f~u1 ; : : : ; ~un g una base ! de V . Sean Pi los puntos de A tales que P0 Pi = ~ui , i = 1; : : : ; n. El conjunto de puntos fP0 ; P1 ; : : : ; Pn g de A es un sistema de referencia afín de A. Corolario Dado un punto O 2 A y una base B de V , tenemos una referencia afín de A, que también se denomina referencia cartesiana y se denota R = fO; Bg. De…nición de coordenadas Se llaman coordenadas de un punto P 2 A respecto a una referencia afín R = fO; Bg del espacio afín A a las coordenadas ! del vector OP respecto de la base B del espacio vectorial V ; esto es, a la n-upla ( 1 ; : : : ; n ) tal que ! OP = 1 ~u1 + + n ~un donde ~u1 ; : : : ; ~un son los vectores de la base B. Escribiremos: P (

1; : : : ;

n )R .

Ejemplo Sea R = fO; Bg un sistema de referencia afín de un espacio afín (A; V; ) de dimensión 3. Consideramos el sistema de referencia R0 = fO0 ; B 0 g con O0 (1; 2; 1)R y B 0 = (~u1 ; ~u2 ; ~u3 ), donde ~u1 = (1; 0; 0)B ;

~u2 = (1; 1; 0)B ;

~u3 = (1; 1; 1)B

Los vectores ~u1 ; ~u2 ; ~u3 forman una base de V pues al ser 1 0 0

1 1 0

1 1 1

6= 0

el sistema de vectores f~u1 ; ~u2 ; ~u3 g es linealmente independiente (y como sabemos un sistema linealmente independiente formado por 3 vectores en un espacio vectorial V de dimensión 3 es una base). Sea el punto P cuyas coordenadas respecto a la referencia R son (5; 5; 0), esto es, ! P (5; 5; 0)R () OP = 5~u1 + 5~u2 + 0~u3 : Vamos a calcular las coordenadas de P respecto de R0 : ! O0 P = (5 1; 5 2; 0 + 1) = (4; 3; 1); ! O0 P = x1 ~u1 + x2 ~u2 + x3 ~u3 = x1 (1; 0; 0) + x2 (1; 1; 0) + x3 (1; 1; 1) = (x1 + x2 + x3 ; x2 + x3 ; x3 ); 2

por tanto,

8 8 < 4 = x1 + x2 + x3 < x1 = 1 3 = x2 + x3 x2 = 2 =) : : 1 = x3 x3 = 1

y por tanto, (1; 2; 1) son las coordenadas de P respecto de R0 : P (1; 2; 1)R0 . 1.2.1

Ecuaciones del cambio de referencia afín

Sea A un espacio afín de dimension n con espacio vectorial asociado V y sean R = fO; B = (~u1 ; : : : ; ~un )g, R0 = fO0 ; B 0 = (~u01 ; : : : ; ~u0n )g dos sistemas de referencia a…nes de A. Se considera P 2 A tal que P (x1 ; : : : ; xn )R y P (y1 ; : : : ; yn )R0 ; esto es, ! OP = x1 ~u1 + ! y O0 P = y1 ~u01 +

+ xn ~un + yn ~u0n :

¿Qué relación hay entre (x1 ; : : : ; xn ) y (y1 ; : : : ; yn )? Sabemos que ! ! ! OP = OO0 + O0 P : Sean (a1 ; : : : ; an ) las coordenadas de O0 respecto de R; esto es, ! OO0 = a1 ~u1 +

+ an ~un ;

y sean (a1i ; : : : ; ani ) las coordenadas del vector ~u0i respecto de la base B; esto es, u0i = a1i ~u1 + + ani ~un : ! ! ! Sustituyendo lo anterior en OP = OO0 + O0 P obtenemos: ! OP

! ! = OO0 + O0 P = a1 ~u1 + + an ~un + (y1 ~u01 + + yn ~u0n ) = a1 ~u1 + + an ~un + y1 (a11 ~u1 + + an1 ~un ) + + yn (a1n ~u1 + + ann ~un ) = (a1 + y1 a11 + + yn a1n ) ~u1 + + (an + y1 an1 + + yn ann ) ~un

! y como OP = x1 ~u1 +

+ xn ~un , igualando coe…cientes, obtenemos: 8 + yn a1n > < x1 = a1 + y1 a11 + .. . > : xn = an + y1 an1 + + yn ann

3

Matricialmente, el sistema de ecuaciones anterior se escribe: 1 10 0 1 0 1 1 0 0 1 B C B x1 C B a1 a11 a1n C C B y1 C B C B : B C B .. C = B .. . .. . . .. .. A @ .. C A @ . A @ . . yn an an1 ann xn

También se puede escibir como sigue: 0 1 0 1 0 a1 x1 B B .. C B .. C @ . A = @ . A + MB 0 B @ an xn

1 y1 .. C . A yn

donde la matriz MB 0 B es la matriz del cambio de base de B 0 a B: 1 0 a11 a1n B .. C .. MB 0 B = @ ... . . A an1 ann La matriz

MR 0 R =

~0t 1 ~a MB 0 B

0

B B =B @

1 a1 .. .

0 a11 .. .

an

an1

..

.

0 a1n .. . ann

es la matriz de cambio de referencia de R0 a R.

1 C C C A

Ejemplo En el espacio afín (A2 ; V2 ; ) se consideran las referencias R = fO; B = (~u1 ; ~u2 )g, R0 = fO0 ; B 0 = (~u01 ; ~u02 )g siendo ! OO0 = 3~u1 + 3~u2 ; ~u01 = 2~u1 ~u2 ; ~u02 = ~u1 + 2~u2 :

Se pide: 1. Determinar la matriz del cambio de referencia de R0 a R.

Tenemos ! ! ! OP = OO0 + O0 P = 3~u1 + 3~u2 + y1 (2~u1 ~u2 ) + y2 ( ~u1 + 2~u2 ) = (3 + 2y1 y2 ) ~u1 + (3 y1 + 2y2 ) ~u2

Luego x1 = 3 + 2y1 y2 x2 = 3 y1 + 2y2 4

esto es, MR 0 R

0

1 =@ 3 3

0 2 1

1 0 1 A 2

2. Determinar la matriz del cambio de referencia de R 0 1 1 0 1 0 0 1 A =@ MR R 0 = MR 01R = @ 3 2 3 1 2

a R0 . 1 3 3

0

0

2 3 1 3

1 3 2 3

1 A

3. Si (3; 5) son las coordenadas de un punto P en la referencia R, determinar los coordenadas de P en R0 . 0 1 0 10 1 0 1 1 0 0 1 1 1 MR R 0 @ 3 A = @ 3 32 13 A @ 3 A = @ 23 A 4 5 5 3 13 23 3 4. Si (2; 3) son las cooordenadas de un punto Q en la referencia R0 , determinar los coordenadas de Q en R. 10 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 A@ 2 A = @ 4 A MR 0 R @ 2 A = @ 3 2 7 3 3 1 2 3 MAPLE

>restart: >with(linalg): >M[RpR]:=concat([1,3,3],[0,2,-1],[0,-1,2]); >M[RRp]:=inverse(M[RpR]); >evalm(M[RRp]&*[1,3,5]); >evalm(M[RpR]&*[1,2,3]);

5

1.3

Subespacio afín

De…nición de subespacio afín Sea (A; V; ) un espacio afín real. Un subconjunto L A es un subespacio afín de A si …jado un punto P 2 L el conjunto W (L) = fP Q j Q 2 Lg es un subespacio vectorial de V . Si L A es un subespacio afín, el subespacio vectorial W (L) que cumple lo ~ anterior se denomina subespacio vectorial asociado a L y se denota L. Proposición La de…nición anterior no depende del punto P …jado. Proposición Sea (A; V; ) un espacio afín real y L un subespacio afín de A. ~ ) es un espacio afín. La terna (L; L; Proposición Sea (A; V; ) un espacio afín real y L un subespacio afín de A. Para cada punto P 2 A y cada subespacio vectorial W V el conjunto ! S(P; W ) = fX 2 A j P X 2 W g

es un subespacio afín de A que denotaremos P + W . De…nición de dimensión de un subespacio afín Sea (A; V; ) un espacio afín real y L un subespacio afín de A. Se de…ne la dimensión de L a la dimensión ~ de su subespacio vectorial asociado: dim L = dim L. Notación Sea (A; V; ) un espacio afín real de dimensión n. Los subespacios de dimensión 0 son los puntos de A. Los subespacios de dimensión 1; 2 y n 1 se llaman las rectas, planos e hiperplanos, respectivamente. 1.3.1

Intersección y suma de subespacios a…nes

Sea (A; V; ) un espacio afín real y L1 ; L2 dos subespacios a…nes de A. El conjunto intersección de L1 y L2 : L1 \ L2 = fP j P 2 L1 y P 2 L2 g es un subespacio afín de A. Si la intersección es no vacía; esto es, L1 \ L2 6= ;, entonces ! ! ! L1 \ L2 = L1 \ L2 : Se de…ne la suma de L1 y L2 como el menor subespacio afín que contiene a ! ! L1 y a L2 y se denota L1 + L2 . Si L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 entonces ! ! ! L1 + L2 = P1 + L1 + L2 + L(P1 P2 ):

6

Observación Si L1 \ L2 6= ; entonces ! ! ! L1 + L2 = L1 + L2 ; y si L1 \ L2 = ; entonces ! ! ! ! L1 + L2 = L1 + L2 + L(P1 P2 ); P1 2 L1 ; P2 2 L2 : ! ! Dos subespacios a…nes L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 se cortan si y sólo si ! ! ! P1 P2 2 L1 + L2 : 1.3.2

Paralelismo

! ! Decimos que dos subespacios a…nes L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 de un espacio ! ! ! ! afín (A; V; ) son paralelos si L1 L2 ó L2 L1 . ! ! Se dice que dos subespacios a…nes L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 se cruzan si ni son paralelos ni se cortan. 1.3.3

Fórmulas de la dimensión ! ! Sean L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 dos subespacios a…nes de un espacio afín (A; V; ). Se cumple lo siguiente: 1. Si L1 \ L2 6= ;, entonces dim(L1 + L2 ) = dim L1 + dim L2 2. Si L1 \ L2 = ;, entonces dim(L1 + L2 ) = dim L1 + dim L2

dim(L1 \ L2 ): ! ! dim(L1 \ L2 ) + 1:

Demostración Claramente, ! ! ! ! dim(L1 + L2 ) = dim(L1 + L2 ) = dim(L1 + L2 + L(P1 P2 )): ! ! ! Si L1 \ L2 6= ; entonces L1 + L2 = L1 + L2 y entonces ! ! dim(L1 + L2 ) = dim(L1 + L2 ) ! ! ! ! = dim L1 + dim L2 dim(L1 \ L2 ) ! ! ! = dim L1 + dim L2 dim(L1 \ L2 ) = dim L1 + dim L2 dim(L1 \ L2 ): ! ! ! ! ! ! Si L1 \ L2 = ; entonces P1 P2 2 = L1 + L2 (por tanto, (L1 + L2 ) \ L(P1 P2 ) = f~0g) ! ! ! dim(L1 + L2 ) = dim(L1 + L2 + L(P1 P2 )) ! ! ! ! ! ! = dim(L1 + L2 ) + dim(L(P1 P2 )) dim((L1 + L2 ) \ L(P1 P2 )) ! ! = dim(L1 + L2 ) + 1 ! ! ! ! = dim L1 + dim L2 dim(L1 \ L2 ) + 1 ! ! = dim L1 + dim L2 dim(L1 \ L2 ) + 1: 7

! Ejemplo: Posiciones relativas de dos rectas a…nes. Sean L1 = P1 + L1 ! y L2 = P2 + L2 dos rectas a…nes en un espacio afín (A; V; ) de dimensión n. Las posibles posiciones relativas de L1 y L2 son: Si L1 \ L2 6= ; entonces o L1 \ L2 es una recta y entonces dim(L1 \ L2 ) = 1 ó L1 \ L2 es un punto y entonces dim(L1 \ L2 ) = 0. Se tiene: dim(L1 + L2 ) = L1 y L2 son coincidentes =) L1 y L2 son secantes

dim L1 + dim L2 1=1+1 1 2=1+1 0

dim(L1 \ L2 )

! ! Si L1 \ L2 = ; entonces L1 \ L2 puede o ser una recta vectorial o ser el vector nulo ~0. Se tiene: dim(L1 + L2 ) = L1 y L2 son paralelas =) L1 y L2 se cruzan

! ! dim L1 + dim L2 dim(L1 \ L2 ) + 1 2=1+1 1+1 3=1+1 0+1

De…nición Sean L1 = P1 + L(~u1 ) y L2 = P2 + L(~u2 ) dos rectas a…nes en un espacio afín (A; V; ) de dimensión n. Se dice que: 1. Las rectas L1 y L2 se cruzan si no hay un plano que contenga a ambas; esto ! es, si el sistema de vectores f~u1 ; ~u2 ; P1 P2 g es linealmente independiente. 2. Las rectas L1 y L2 son coplanarias si no se cruzan; esto es, si el sistema ! de vectores f~u1 ; ~u2 ; P1 P2 g es linealmente dependiente. 3. Las rectas L1 y L2 se cortan si L1 \ L2 6= ;. ! ! 4. Las rectas L1 y L2 son paralelas si L1 = L2 ; esto es, si ~u1 y ~u2 son proporcionales. Si además L1 \ L2 6= ; entonces las dos rectas son coincidentes. 1.3.4

Ecuaciones de un subespacio afín

Sea (A; V; ) un espacio afín con sistema de referencia afín R = fO; Bg, B = (~e1 ; : : : ; ~en ). Y sea L A un subespacio afín de A de dimensión k; esto es, ! ! L = P + L con L = L(f~u1 ; ~u2 ; : : : ; ~uk g) y P (a1 ; : : : ; an )R y 8 8 ~u1 = (a11 ; : : : ; an1 ) ~u1 = a11~e1 + + an1~en > > > > > > < ~u2 = (a12 ; : : : ; an2 ) < ~u2 = a12~e1 + + an2~en () .. .. > > . . > > > > : : ~uk = (a1k ; : : : ; ank ) ~uk = a1k~e1 + + ank~en

Ecuaciones paramétricas Un punto X(x1 ; : : : ; xn )R 2 L si y sólo si el vector ! P X = (x1

a1 ; : : : ; xn

an ) 2 L(f~u1 ; : : : ; ~uk g): 8

Por tanto, X(x1 ; : : : ; xn )R 2 L si y sólo existen ! PX =

u1 1~

+

1; : : : ;

+

k

2 R tales que

uk ; k~

esto es, (x1

a1 ; : : : ; xn

an ) =

1 (a11 ; : : : ; an1 )

+

+

k (a1k ; : : : ; ank )

o, equivalentemente 8 > < x1 = a1 + > :

xn = an +

1 a11

+

+

k a1k

+

+

k ank

.. . 1 an1

que son las ecuaciones paramétricas del subespacio L. Ecuaciones cartesianas Como estamos suponiendo que los vectores ~u1 ; : : : ; ~uk son linealmente independientes (si no lo fueran, quitariamos los vectores que se pueden escribir como combinación lineal del resto) tenemos que 0 1 a11 a1k B .. C = k: .. rg (~u1 ; : : : ; ~uk ) = rg @ ... . . A an1

! Por tanto, P X = (x1

a1 ; : : : ; xn 0 x1 a1 B .. rg @ . xn

an

ank

an ) 2 L(f~u1 ; : : : ; ~uk g) si y sólo si 1 a11 a1k .. .. C = k: .. . . . A

an1

ank

Al imponer que dicho rango sea k obtenemos n k menores de orden k + 1 que deben anularse. Esto es, obtenemos las n k ecuaciones cartesianas de L. Observación Sean

L

8 > < a11 x1 + > :

+ an1 xn = b1 .. .

a1r x1 +

+ anr xn = br

las ecuaciones cartesianas de un subespacio afín L de dimensión n r. Nótese que las ecuaciones cartesianas de un subespacio afín L de dimensión n r es un sistema de r ecuaciones lineales no homogéneas. Si P; Q 2 L entonces el vector ! ~u = P Q satisface las ecuaciones del sistema lineal homogéneo asociado a L.

9

Demostración Sean P (p1 ; : : : ; pn )R , Q(q1 ; : : : ; qn )R 2 L veamos que entonces ! ~u = P Q = (q1 p1 ; : : : ; qn pn ) es solución del sistema homogéneo 8 > < a11 x1 + > :

a1r x1 +

+ an1 xn = 0 .. . + anr xn = 0

Para i = 1 : : : r cualquiera, se tiene a1i (p1

q1 ) +

+ ani (pn qn ) = (a1i p1 + = bi bi = 0:

+ ani pn ) (a1i q1 +

+ ani qn )

P;Q2L

Por tanto, las ecuaciones del sistema vectorial asociado a L son: 8 + an1 xn = 0 > < a11 x1 + .. ~ L . > : a1r x1 + + anr xn = 0 Ecuaciones de una recta Una recta afín r dimensión 1; esto es, r = P + L(~u) con P (a1 ; : : : ; an )R Un punto X 2 r si y sólo

A es un subespacio afín de

y ~u = u1~e1 +

+ un~en :

! P X = ~u;

esto es, si (x1 ; : : : ; xn ) son las coordenadas de X en la referencia R entonces, (x1 o, equivalentemente

a1 ; : : : ; xn

an ) = (u1 ; : : : ; un )

8 > < x1 = a1 + .. . > : xn = an +

1 u1

1 un

que son las ecuaciones paramétricas de la recta r. Si suponemos u1 6= 0 (algún ui no se anula pues el vector ~u no es nulo), el sistema anterior se escribe: x1

a1 u1

=

=

xn

an un

que son la ecuación en forma continua de la recta r.

10

! ! Por último, X(x1 ; : : : ; xn )R 2 r si y sólo si XP 2 L(~u) () XP y ~u son ! proporcionales. Por tanto, XP 2 L(~u) si y sólo si 0 1 x1 a1 u1 B .. .. C = 1: rg @ . . A xn an un

Al imponer que dicho rango sea 1 obtenemos n 1 menores de orden 2 que deben anularse. Esto es, obtenemos n 1 ecuaciones cartesianas de r. Ecuación cartesiana Un hiperplano afín H A es un subespacio afín de dimensión n 1; por tanto viene dado por una única ecuación cartesiana a1 x1 +

+ an xn = b:

Un subespacio afín L de dimensión k es la intersección de n k hiperplanos independientes cada hiperplano viene dado por una ecuación lineal y L viene dado por un sistema de n k ecauciones lineales). Posición relativa de subespacios El estudio de los sistemas de ecuaciones de dos subespacios permite estudiar de manera sencilla la posición relativa de dichos subespacios. Vamos a estudiar dos casos particularmente sencillos: I. Posición relativa de dos hiperplanos Sean H1 ; H2 planos de ecuaciones cartesianas: H1 H2

a1 x1 + a01 x1 +

A dos hiper-

+ an xn = b; + a0n xn = b0 :

Las ecuaciones de sus respectivos espacios vectoriales asociados son ~1 H ~2 H

a1 x1 + a01 x1 +

+ an xn = 0; + a0n xn = 0:

~1 = H ~2 y Por tanto, si existe tal que (a01 ; : : : ; a0n ) = (a1 ; : : : ; an ) entonces H los hiperplanos H1 , H2 son paralelos. Si además, b0 = b entonces los hiperplanos H1 , H2 son coincidentes. Si b0 6= b entonces los hiperplanos H1 , H2 no se cortan (H1 \ H2 = ;). II. Posición relativa de recta e hiperplano Sea r = P + L(~u) una recta afín en A con P (a1 ; : : : ; an )R y ~u = (u1 ; : : : ; un ). Y sea H un hiperplano afín con ecuación cartesiana a1 x1 +

+ an xn = b:

~ esto es, si La recta r y el hiperplano H son paralelos si el vector ~u 2 H; ~ (u1 ; : : : ; un ) satisface la ecuación lineal homogénea del subespacio vectorial H; es decir, si a1 u1 + + an un = 0: 11

Ejemplo 1 Obtener ecuaciones paramétricas del subespacio afín L de A que tiene respecto de cierta referencia R = fO; Bg las siguientes ecuaciones cartesianas: x1 + x2 + 2x3 = 1 L 2x2 x3 = 1 Primer camino Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales no homogéneo que de…ne L. Tomando x3 = pues rg obtenemos:

1 0

8 < x1 = x2 = : x3 =

1 2

= 2;

1 2 1 2

5 2 1 2

+

que son unas ecuaciones paramétricas de L. Segundo camino Como dim L = 3 rg(A) = 3 2 = 1, L es una recta. Para determinarla basta dar un punto P 2 L y un vector que genere el sube~ Un punto P 2 L debe satisfacer las ecuaciones del sistema spacio vectorial L. que de…ne L; por ejemplo, P (3; 0; 1)R . ~ es una solución no trivial del Un vector que genere el subespacio vectorial L sistema lineal homogéneo: x1 + x2 + 2x3 = 0 2x2 x3 = 0 Por ejemplo, el vector ~u = ( 5; 1; 2)B . Luego, X(x1 ; x2 ; x3 )R 2 L si y sólo si (x1 ; x2 ; x3 ) = (3; 0; 1) + ( 5; 1; 2); esto es, si 8 < x1 = 3 5 x2 = : x3 = 1 + 2 que también son ecuaciones paramétricas de L.

Ejemplo 2 Sea (A; V; ) un espacio afín con sistema de referencia afín R = fO; Bg, B = (~e1 ; ~e2 ; ~e3 ). Obtener ecuaciones cartesianas del subespacio afín ~ donde P (1; 2; 1)R y L ~ = L(f~u1 ; ~u2 g) con ~u1 = (1; 2; 1) y ~u2 = L = P + L, (2; 1; 1). ~ son linealmente independiSolución Los vectores ~u1 ; ~u2 que generan L entes. Por tanto, dim L = 2. Un punto X(x1 ; x2 ; x3 )R 2 L si y sólo si el vector ! P X = (x1

1; x2

2; x3 + 1) 2 L(f~u1 ; ~u2 g); 12

esto es, si y sólo si 0 x1 1 1 rg @ x2 2 2 x3 + 1 1 Por tanto x1

1 2 1 A = 2 () 0 = 1

x2

x1 1 x2 2 x3 + 1

1 2 1

2 1 1

= 3x1

3x2

3x3 :

x3 = 0 es la ecuación cartesiana de L.

MAPLE >restart; >with(linalg); >X:=[x[1],x[2],x[3]]; >P:=[1,2,-1]; u[1]:=[1,2,-1]; u[2]:=[2,1,1]; >A:=concat(evalm(X-P),u[1],u[2]); >0=det(A); Ejemplo 3 Se consideran las rectas r y s que tienen respecto de cierta referencia R = fO; Bg las siguientes ecuaciones cartesianas respectivamente: x = 2z + p y = z+3

r

s

x= z+1 y = 2z + q

Hallar la condición que deben cumplir los parámetros p y q para que las rectas r y s sean coplanarias. Determinar p y q para que dicho plano contenga al punto P (1; 1; 1)R . Solución Unas ecuaciones paramétricas de las rectas r y s son 8 8 +1 < x= < x=2 +p y= +3 y =2 +q s r : : z= z=

luego un vector director de la recta r es ~u = (2; 1; 1)B y un punto de r es R(p; 3; 0)R y un vector director de la recta s es w ~n = ( 1; 2; 1)B y un punto de os ! es S(1; q; 0)R . Las rectas r y s son coplanarias si ~u; w; ~ RS = (1 p; q 3; 0) es linealmente dependiente; esto es, si 0=

2 1 1

1 2 1

1 q

p 3

= 3p

3q + 6

0

Por tanto, r y s son coplanarias si p q + 2 = 0. El plano que las contiene es: ! R+L (f~u; wg). ~ Luego un punto X(x; y; z)R 2 si y sólo si RX 2 L (f~u; wg); ~ esto es, si x p 2 1 1 2 = 3p 3x 3y + 3z + 9: 0= y 3 z 1 1 Imponemos ahora que P (1; 1; 1)R 2 : 0 = 3p luego p =

3 1

3 1 + 3 1 + 9 = 3p + 6;

2 y q = p + 2 = 0. 13

Cuestiones teóricas Demostrar las siguientes cuestiones teóricas: 1. Sean L, S dos subespacios a…nes de un espacio afín A y tales que son paralelos y P 2 S \ L. Demostrar: (a) Si dim L < dim S, entonces L

S.

(b) Si dim L = dim S, entonces L = S. 2. Sean L, S dos subespacios a…nes de un espacio afín (A; V; ) y tales que ~ yS ~ son subespacios vectoriales complementarios (esto es, L ~ S ~ = V) L entonces L \ S consiste en un punto (esto es, dim(L \ S) = 0). Solución. 1. Como L y S son paralelos y estamos suponiendo dim L ~ ~ Por tanto, L = P + L ~ ~ Luego L L S. P + S. dim L = dim S, entonces L = S.

dim S entonces S. Si además

~ 2. Calculamos la dimensión de la intersección L \ S. Como L entonces

~ = V S

! ~ ~ ! ! S+L=L + S + L(P Q) = V + L(P Q) = V , con P 2 L y Q 2 S. dim(L + S)

=

! dim L + S = n

~ + dim S ~ = dim L = dim L + dim S por tanto, dim(L \ S) = dim(L + S)

14

dim L

~ \ S) ~ dim(L dim S = 0.

2

Aplicaciones a…nes

2.1

De…nición y primeras propiedades

De…nición Sean (A; V; ) y (A0 ; V 0 ; 0 ) dos espacios a…nes reales. Diremos que una aplicación f : A ! A0 es una aplicación afín si existe una aplicación lineal f : V ! ! f (P Q) = f (P )f (Q);

! V 0 tal que:

8P; Q 2 A:

Lo anterior equivale a decir que para todo P 2 A y todo vector u 2 V se tiene f (P + ~u) = f (P ) + f (~u): A la aplicación lineal f que cumple lo anterior la llamamos aplicación lineal asociada a f . Proposición Sean (A; V; ) y (A0 ; V 0 ; 0 ) dos espacios a…nes y sea f : A ! A0 una aplicación afín con aplicación lineal asociada f : V ! V 0 se cumple lo siguiente: 1. f es inyectiva si y sólo si f es inyectiva. 2. f es sobreyectiva si y sólo si f es sobreyectiva. 3. f es biyectiva si y sólo si f es biyectiva. Demostración 1. Supongamos que f es inyectiva. Veamos que f es inyectiva (equivalente! mente ker f = f~0g). Sea ~u = AB 2 ker f , entonces ! ! ~0 = f (AB) = f (A)f (B) luego f (A) = f (B) y como estamos suponiendo que f es inyectiva A = B. Luego ~u = ~0 y f es inyectiva. Supongamos ahora que f es inyectiva. Entonces, ! ! ! f (A) = f (B) =) ~0 = f (A)f (B) = f (AB) =) AB 2 ker f = f~0g =) A = B: ! 2. Supongamos que f es sobreyectiva. Sea ~u = CD 2 V 0 . Como f es sobreyectiva existen A; B 2 A tales que f (A) = C y f (B) = D. Entonces, ! ! ! ~u = CD = f (A)f (B) = f (AB) luego f es sobreyectiva pues existe el ! ! vector AB 2 V con f (AB) = ~u.

15

Supongamos ahora que f es sobreyectiva. Sea C 2 A0 , consideremos un ! vector ~u = f (A)C donde A es un punto arbitrario de A. Como f es ! ! sobreyectiva existe un vector ~v = AB 2 V con f (AB) = ~u entonces ! ! ! f (A)f (B) = f (AB) = ~u = f (A)C luego f (B) = C. Por tanto, f es sobreyectiva. Proposición Sean g : A ! A0 y f : A0 ! A00 dos aplicaciones a…nes la composición f g : A ! A00 es también una aplicación afín y su aplicación lineal asociada es f g = f g. Demostración Dados P; Q 2 A, se tiene (f

g)(P )(f

! g)(Q)

! = f (g(P ))f (g(Q))

=

! f g(P )g(Q)

f es afín

=

g es afín

! f g(P Q)

=

f

! g (P Q):

Proposición Sean f; g : A ! A0 dos aplicaciones a…nes que coinciden sobre un punto P , f (P ) = g(P ), y que tienen la misma aplicación lineal asociada f = g. Entonces f = g. Demostración Para todo X 2 A, se cumple:

! ! ! ! ! f (P )f (X) = f (P X) = g(P X) = g(P )g(X) = f (P )g(X);

por tanto, f (X) = g(X).

2.2

Matriz asociada a una aplicación afín

Sean (A; V; ) y (A0 ; V 0 ; 0 ) dos espacios a…nes y sea f : A ! A0 una aplicación afín con aplicación lineal asociada f : V ! V 0 . Se consideran referencias a…nes R = fO; Bg, B = (~e1 ; : : : ; ~en ) y R0 = fO0 ; B 0 g, B 0 = (~e01 ; : : : ; ~e0m ) de los espacios A, A0 respectivamente. Se sabe: ! O0 f (O) = b1~e01 +

8 0 > < f (~e1 ) = a11~e1 + .. . > : f (~en ) = a1n~e01 +

16

+ bm~e0m ; + am1~e0m + amn~e0m

Sea P (x1 ; : : : ; xn )R y sea f (P ) 2 A0 con f (P )(y1 ; : : : ; ym )R0 entonces se tiene: 1 0 1 0 10 1 0 0 1 1 B C B y1 C B b1 a11 a1n C B C B C B x1 C B B .. C = B .. C .. . . .. .. A @ .. C A @ . A @ . . . xn ym bm am1 amn Escribiremos

MRR0 (f ) =

1 ~b

~0t MBB 0 (f )

0

B B =B @

1 b1 .. .

0 a11 .. .

bm

am1

..

.

0 a1n .. . amn

1 C C C A

donde ~b son las coordenadas de f (O) en la referencia R0 y MBB 0 (f ) es la matriz asociada a la aplicación lineal f tomando en V la base B y en V 0 la base B 0 . Ejemplo 1 Sea (A; V; ) un espacio afín con sistema de referencia afín R = fO; B = (~e1 ; ~e2 ; ~e3 )g, y sea (A0 ; V 0 ; 0 ) un espacio afín con sistema de referencia afín R0 = fO0 ; B 0 = (~e01 ; ~e02 )g. ¿Es la aplicación f : A ! A0 , f (x; y; z) = (x 2y + 5; x z + 1) una aplicación afín? Dar su aplicación lineal asociada y obtener la matriz asociada a f en las referencias R; R0 . Solución. Para ver si f es una aplicación afín tenemos que ver si existe una apli! ! cación lineal f : V ! V 0 tal que f (P )f (Q) = f (P Q) para todo par de puntos ! P; Q 2 A. Tomamos P (x1 ; y1 ; z1 ) y Q(x2 ; y2 ; z2 ) entonces P Q = Q P = (x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ) y ! f (P )f (Q)

= = = =

f (Q) f (P ) = f (x2 ; y2 ; z2 ) f (x1 ; y1 ; z1 ) (x2 2y2 + 5; x2 z2 + 1) (x1 2y1 + 5; x1 z1 + 1) ((x2 x1 ) 2 (y2 y1 ) ; (x2 x1 ) (z2 z1 )) f (x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ) ;

por tanto, f sí es una aplicación afín y su aplicación lineal asociada es f (x; y; z) = (x 2y; x z). Las coordenadas del origen O en la referencia R son las coordenadas del ! vector OO = (0; 0; 0) en la base B y ~e1 = (1; 0; 0)B , ~e2 = (0; 1; 0)B y ~e3 = (0; 0; 1)B se tiene: f (O) f (~e1 ) f (~e2 ) f (~e3 )

= = = =

f (0; 0; 0) = (5; 1); f (1; 0; 0) = (1; 1); f (0; 1; 0) = ( 2; 0); f (0; 0; 1) = (0; 1):

17

Por tanto,

0

1 MRR0 (f ) = @ 5 1

MAPLE

0 1 1

1 0 0 A: 1

0 2 0

>restart: >with(linalg): >f:=(x,y,z)->[x-2*y+5,x-z+1]; >f_lineal:=(x,y,z)->[x-2*y,x-z]; >f(0,0,0); >f_lineal(1,0,0); >f_lineal(0,1,0); >f_lineal(0,0,1); >Mf[RRp]:=stackmatrix(, concat(f(0,0,0), f_lineal(1,0,0),f_lineal(0,1,0), f_lineal(0,0,1)); Ejemplo 2 Sea (A; V; ) un espacio afín con sistema de referencia afín R = fO; B = (~e1 ; ~e2 )g, y sea (A0 ; V 0 ; 0 ) un espacio afín con sistema de referencia afín R0 = fO0 ; B 0 = (~e01 ; ~e02 ; ~e03 )g. Determinar la aplicación afín f : A ! A0 , tal que f (1; 2) = (1; 2; 3); f (~e1 ) = ~e01 + 4~e02 ; f (~e2 ) = ~e01 ~e02 + ~e03 : Hallar la matriz asociada a f en las referencias R; R0 . Solución Como sabemos el valor de f sobre el punto P (1; 2) y conocemos la aplicación lineal asociada a f , tenemos determinada f . Sabemos que f (1; 0) = (1; 4; 0)B 0 ; f (0; 1) = (1; 1; 1)B 0 ; Para calcular la matriz asociada a f necesitamos saber f (O). Se tiene: ! f (O)f (P )

=

f es afín

! f (OP )

= f (1~e1 + 2~e2 ) =

luego f (O) = f (P ) Por tanto,

= f es lineal

f (~e1 ) + 2f (~e2 )

(1; 4; 0) + 2(1; 1; 1) = (3; 2; 2)

! f (OP ) = (1; 2; 3) 0

1 B 2 MRR0 (f ) = B @ 0 1 18

(3; 2; 2) = ( 2; 0; 1) : 0 1 4 0

1 0 1 C C: 1 A 1

Como

0

se tiene:

1 B 2 B @ 0 1

0 1 4 0

1 0 0 1 0 1 1 B 1 C C @ x1 A = B x1 + x2 2 @ 4x1 x2 1 A x2 1 x2 + 1

f (x1 ; x2 ) = (x1 + x2

2; 4x1

1 C C A

x2 ; x2 + 1) :

MAPLE >restart: >with(linalg): >OP:=[1,2]; >M_f_lineal:=concat([1,4,0],[1,-1,1]); >evalm(M_f_lineal&*[1,2]); >evalm([1,2,3]-[3, 2, 2]); >M_f:=stackmatrix(, concat([-2, 0, 1],[1,4,0],[1,-1,1])); > evalm(M_f&*[1,x1,x2]); Ejemplo 3 Sea (R2 ; R2 ; ) un espacio afín con sistema de referencia afín R = fO; Bg, B = (~e1 ; ~e2 ). Determinar la aplicación afín f : R2 ! R2 tal que f (1; 1) = (7; 5); f (1; 2) = (11; 4); f (2; 1) = (8; 8): Para dar una aplicación afín f : R2 referencia afín y sus transformados.

! R2 necesitamos tres puntos que sean

! Primer camino Llamo P0 (1; 1), P1 (1; 2) y P2 (2; 1). Tenemos P0 P1 = ! (0; 1) y P0 P2 = (1; 0), entonces sabemos que ! = f (1; 0) = f (P0 P2 ) = f (P2 ) ! f (~e2 ) = f (0; 1) = f (P0 P1 ) = f (P1 )

f (~e1 )

f (P0 ) = (1; 3); f (P0 ) = (4; 1):

! Y como OP0 = (1; 1) = ~e1 + ~e2 tenemos: ! f (OP0 ) = f (~e1 + ~e2 ) = f (~e1 ) + f (~e2 ) = (1; 3) + (4; 1) = (5; 2) luego f (O) = f (P0 )

! f (OP0 ) = (7; 5)

Por tanto,

0

1 MRR (f ) = @ 2 3

y f (x1 ; x2 ) = (2 + x1 + 4x2 ; 3 + 3x1

x2 ).

19

0 1 3

(5; 2) = (2; 3): 1 0 4 A 1

Segundo camino El conjunto de puntos R0 = fP0 (1; 1); P1 (1; 2); P2 (2; 1)g ! ! es una referencia afín pues P0 P1 = (0; 1) y P0 P2 = (1; 0) es una base de R2 . Y tenemos: f (P0 ) = f (1; 1) = (7; 5); ! ! f (P0 P1 ) = f (P0 )f (P1 ) = f (P1 ) ! ! f (P0 P2 ) = f (P0 )f (P2 ) = f (P2 ) Por tanto,

f (P0 ) = (11; 4) f (P0 ) = (8; 8)

0

1 MR0 R (f ) = @ 7 5

0 4 1

(7; 5) = (4; 1); (7; 5) = (1; 3):

1 0 1 A 3

Como nosotros queremos calcular MRR (f ), vamos a hacer un cambio de referencia de R0 a R: MRR (f )

= MR0 R (f )MRR0 = MR0 R (f )(MR0 R ) 1 1 1 0 10 0 1 1 0 0 1 0 0 = @ 7 4 1 A@ 1 0 1 A = @ 2 3 1 1 0 5 1 3

Por tanto, f (x1 ; x2 ) = (2 + x1 + 4x2 ; 3 + 3x1

x2 ).

0 1 3

1 0 4 A 1

MAPLE >restart: >with(linalg): >P0:=[1,1]; P1:=[1,2]; P2:=[2,1]; >Q0:=[7,5]; Q1:=[11,4]; Q2:=[8,8]; >M[RpR]:=stackmatrix(, concat(P0,P1-P0,P2-P0)); >det(M[RpR]); >M[RRp]:=inverse(M[RpR]); >Mf[RpR]:=stackmatrix(, concat(Q0,Q1-Q0,Q2-Q0)); >Mf[RR]:=evalm(Mf[RpR]&*M[RRp]); >X:=matrix(3,1,[1,x,y]); >evalm(Mf[RR]&*X); Comprobar que el resultado obtenido es correcto (Pista: evaluar la expresión de f obtenida en los puntos dados en el enunciado). Ejemplo 4 Determinar la aplicación afín f : A3 ! A3 que tansforma los puntos P0 (0; 0; 0), P1 (0; 1; 0), P2 (1; 1; 1) y P3 (1; 1; 4) en los puntos Q0 (2; 0; 2), Q1 (2; 1; 1), Q2 (2; 1; 3) y Q3 (5; 7; 6) respectivamente. Solución Para dar una aplicación afín f : A3 ! A3 necesitamos cuatro puntos que sean referencia afín y sus transformados.

20

El conjunto de puntos R0 = fP0 (0; 0; 0); P1 (0; 1; 0); P2 (1; 1; 1); P3 (1; 1; 4)g es ! ! ! una referencia afín pues P0 P1 = (0; 1; 0), P0 P2 = (1; 1; 1) y P0 P3 = (1; 1; 4) es ! ! ! una base de R3 pues rg(P0 P1 ; P0 P2 ; P0 P3 ) = 3. Tenemos: f (P0 ) = Q0 = (2; 0; 2); ! ! f (P0 P1 ) = f (P0 )f (P1 ) = f (P1 ) ! ! f (P0 P2 ) = f (P0 )f (P2 ) = f (P2 ) ! ! f (P0 P3 ) = f (P0 )f (P3 ) = f (P3 ) Por tanto,

0

1 B 2 MR0 R (f ) = B @ 0 2

f (P0 ) = Q1

Q0 = (0; 1; 1);

f (P0 ) = Q2

Q0 = (0; 1; 1);

f (P0 ) = Q3

Q0 = (3; 7; 4):

0 0 1 1

1 0 0 0 3 C C 1 7 A 1 4

Como nosotros queremos calcular MRR (f ), vamos a hacer un cambio de referencia de R0 a R: MRR (f )

= MR0 R (f )MRR0 = MR0 R (f )(MR0 R ) 1 1 10 0 1 0 0 0 1 0 0 0 B 2 0 0 3 CB 0 0 1 1 C C CB = B @ 0 1 1 7 A@ 0 1 1 1 A 0 0 1 4 2 1 1 4 1 0 1 0 0 0 B 2 1 0 1 C C = B @ 0 0 1 2 A 2 1 1 1

Por tanto, f (x1 ; x2 ; x3 ) = (2

x1 + x3 ;

x2 + 2x3 ; 2 + x1

1

x2 + x3 ).

MAPLE > restart: with(linalg): > P0:=[0,0,0]; P1:=[0,1,0]; P2:=[1,1,1]; P3:=[1,1,4]; > Q0:=[2,0,2]; Q1:=[2,-1,1]; Q2:=[2,1,3]; Q3:=[5,7,6]; > M[RpR]:=stackmatrix(, concat(P0,P1-P0,P2-P0,P3-P0)); > det(M[RpR]); > M[RRp]:=inverse(M[RpR]); > Mf[RpR]:=stackmatrix(, concat(Q0,Q1-Q0,Q2-Q0,Q3-Q0)); > Mf[RR]:=evalm(Mf[RpR]&*M[RRp]); > evalm(Mf[RR]&*[1,x,y,z]); Comprobar que el resultado obtenido es correcto.

21

2.3

Subespacios a…nes invariantes

Proposición Sean (A; V; ) y (A0 ; V 0 ; 0 ) dos espacios a…nes y sea f : A ! A0 una aplicación afín con aplicación lineal asociada f : V ! V 0 . Se cumple lo siguiente: 1. Si L

A es un subespacio afín de A entonces f (L) = fP 0 2 A0 j existe P 2 L tal que f (P ) = P 0 g

es un subespacio afín de A0 . 2. Si L0

A0 es un subespacio afín de A0 entonces el conjunto L = fP 2 A j f (P ) 2 L0 g

es un subespacio afín de A. De…nición Sea (A; V; ) un espacio afín y f una transformación afín de A. Diremos que un punto P 2 A es un punto …jo de f si f (P ) = P . Proposición Sea (A; V; ) un espacio afín y f una transformación afín de A. El conjunto de puntos …jos de f ; esto es, F = fX 2 A j f (X) = Xg es un subespacio afín de A con subespacio vectorial asociado el subespacio de V de autovectores de f asociados al autovalor = 1. Demostración. Sea f la aplicación lineal asociada a f . Sabemos que el conjunto V ( ) de autovectores de f asociados a un autovalor es un subespacio vectorial de V . Veamos que, …jado P 2 F , el conjunto ! W(F ) = fP Q j Q 2 F g coincide con V (1); esto es, W(F ) = V (1), y, por tanto, es un subespacio vectorial de V . ! ! 1. Veamos que W(F ) V (1): Tomamos P Q 2 W(F ) y veamos que P Q 2 V (1). Se tiene: ! ! ! f (P Q) = f (P )f (Q) = P Q: P; Q 2 F ! Por tanto, P Q es autovector asociado al autovalor

= 1..

2. Veamos que V (1) W(F ): Tomamos ~u 2 V (1) y veamos que ~u 2 W(F ). ! Dado ~u 2 V (1) y …jado P 2 F , sabemos que existe R 2 A tal que ~u = P R. Se tiene: ! ! ! ! P R = ~u = f (~u) = f (P R) = f (P )f (R) = P f (R) por tanto f (R) = R. Luego R es un punto …jo y ~u 2 W(F ). 22

Estrategia para buscar los puntos …jos Sea (A; V; ) un espacio afín, f una transformación afín de A y R = fO; Bg un sistema de referencia de A. Sea 1 ~0t MR (f ) = ~ b A la matriz asociada a f donde A es la matriz asociada a la aplicación lineal f en la base B. Si P es un punto …jo se cumple: ! ! ! ! ! f (OP ) = f (O)f (P ) = f (O)P = OP Of (O); ! ! f (OP ) = A OP ; luego, ! ! ! = Of (O) + f (OP ) = ~b + A OP ; ! = Of (O),

! OP donde ~b o equivalentemente,

! I) OP + ~b

~0 = (A

que es la ecuación que deben satisfacer los puntos …jos de f .

Ejemplo Hallar los puntos …jos de la transformación afín f (x; y) = ( 2y + 1; x + 3y

1):

Solución Se tiene: f (0; 0)

=

(1; 1);

f (x; y)

=

( 2y; x + 3y) =)

f (1; 0) = (0; 1) f (0; 1) = ( 2; 3)

La matriz asociada a f es 0

1 MRR (f ) = @ 1 1

1 0 2 A 3

0 0 1

y la matriz asociada a la aplicación lineal f es A=

0 1

2 3

:

El subespacio de puntos …jos de f es F = fX 2 A j f (X) = Xg y las ecuación que debe satisfacer un punto X que es punto …jo es: ! ! (A I) OX + ~b = ~0; con ~b = Of (O) = (1; 1) 23

esto es, como 0 0

=

1 1

2 2

x y

se tiene: F = f(x; y) 2 A j x + 2y

1 1

+

() x + 2y

1 = 0;

1 = 0g.

De…nición Sea (A; V; ) un espacio afín, f una transformación afín de A y S un subespacio afín de A. Diremos que S es un subespacio afín invariante de f si f (S) S. Observación Seaf una transformación afín de A con aplicación lineal asociada f : V ! V y S un subespacio afín de A que contiene al punto P y cuyo espacio vectorial asociado está generado por los vectores ~u1 ; : : : ; ~ur ; esto es, S P + L (f~u1 ; : : : ; ~ur g). Entonces el subespacio afín f (S) contiene al punto f (P ) y está generado por los vectores f (~u1 ); : : : ; f (~ur ); esto es, f (S) = f (P ) + L

f (~u1 ); : : : ; f (~ur )

:

Entonces S es invariante por f si y sólo si 1. L

f (~u1 ); : : : ; f (~ur )

! 2. P f (P ) 2 L (f~u1 ; : : : ; ~ur g)

L (f~u1 ; : : : ; ~ur g)

Caso particular: Una recta r

P + L (~u) es invariante por f si y sólo si

1. L(f (~u)) L (~u) () f (~u) = ~u; esto es, ~u es un autovector de la aplicación lineal f ! 2. P f (P ) 2 L (~u) Ejemplo Hallar los subespacios invariantes de la aplicación f del ejemplo anterior. Solución Para buscar los subespacios invariantes de f calculo primero los autovalores de f . El polinomio característico de A es det(A

I) =

2 1

3

y, por tanto, los autovalores de A son

=

2

3 +2=(

= 1; 2.

24

1) (

2)

Los correspondientes subespacios de autovectores de f son n o V (1) = ~v j (A I)~v = ~0 =

1 1

(x; y) tales que

2 2

x y

=

= f(x; y) tales que x + 2y = 0g = L(f(2; 1)g) n o V (2) = ~v j (A 2I)~v = ~0 =

2 1

(x; y) tales que

2 1

x y

=

0 0

0 0

= f(x; y) tales que x + y = 0g = L(f(1; 1)g) Por otro lado ! P f (P ) = f (P ) P = ( 2y + 1; x + 3y 1) = ( x 2y + 1; x + 2y 1) 2 V (2)

(x; y)

! pues las componentes del vector P f (P ) satisfacen la ecuación de V (2). Por tanto, las rectas cuyo espacio vectorial asociado es V (2) = L(f(1; 1)g) son rectas invariantes de f pues f (1; 1) = 2(1; 1) ! P f (P ) 2 V (2) ! Si x + 2y 1 = 0 (es la recta de puntos …jos de f ) entonces P f (P ) = ~0 2 V (1). La recta de puntos …jos, es en particular, una recta invariante de f . Ejercicio Sea un espacio afín (A3 ; V; ) y R = fO; ~e1 ; ~e2 ; ~e3 g un sistema de referencia en A3 . Determinar la transformación afín f de A3 tal que el plano x+2y z = 1 es un plano de puntos …jos de f y el vector ~e1 es un autovector de f asociado al autovalor 3. Solución Para determinar f necesitamos la imagen por f de una referencia afín de A. Como el plano es un plano de puntos …jos, cualquier punto del plano es un punto …jo de f . Por ejemplo, el punto P (1; 0; 0) 2 es un punto …jo de f ; esto es, f (P ) = P . También sabemos que los vectores del subespacio vectorial asociado a , esto es, los vectores del plano ~ x + 2y z = 0, son autovectores asociados al autovalor 1. Por ejemplo para ~u = (1; 0; 1) 2 ~ ~v = (0; 1; 2) 2 ~

f (~u) = ~u = (1; 0; 1) 2 ~ f (~v ) = ~v = (0; 1; 2) 2 ~

=)

y, también sabemos que f (~e1 ) = 3~e1 ; esto es, f (1; 0; 0) = 3(1; 0; 0).

25

Como B 0 = (~e1 ; ~u; ~v ) es una base de fP ; B 0 g. Se tiene: 0 1 B 1 MR0 R (f ) = B @ 0 0 Se tiene:

MRR (f )

V , consideramos la referencia R = 0 3 0 0

0 1 0 1

1 0 0 C C: 1 A 2

= MR0 R (f )MRR0 = MR0 R (f )(MR0 R ) 1 0 10 1 0 0 0 1 0 0 0 B 1 3 1 0 CB 1 1 1 0 C C CB = B @ 0 0 0 1 A@ 0 0 0 1 A 0 0 1 2 0 0 1 2

1 1

0

1 B 2 =B @ 0 0

0 0 3 4 0 1 0 0

1 0 2 C C: 0 A 1

Comprobación. Obviamente f (~e1 ) = 3~e1 y también se cumple: 10 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 CB 1 C B 1 C B 2 3 4 2 CB C B C f (P ) = f (1; 0; 0) = B @ 0 0 1 0 A@ 0 A = @ 0 A = P 0 0 0 0 0 1 0 10 1 0 1 3 4 2 1 1 f (~u) = f (1; 0; 1) = @ 0 1 0 A @ 0 A = @ 0 A = ~u 0 0 1 1 1 0 10 1 0 1 3 4 2 0 0 f (~v ) = f (1; 0; 1) = @ 0 1 0 A @ 1 A = @ 1 A = ~v : 0 0 1 2 2

2.4

Algunos ejemplos de transformaciones

Sea (A; V; ) un espacio afín y sea f una transformación afín de A con aplicación lineal asociada f y sea MR (f ) la matriz asociada a f respecto de cierta referencia R. 2.4.1

Traslaciones

Dado un vector ~v 2 V , se de…ne la traslación de vector ~v como la transformación ! afín T~v de A tal que P f (P ) = ~v , para todo P 2 A. Proposición Toda traslación T~v es una aplicación afín cuya aplicación lineal asociada es la identidad. Demostración Para cualesquiera P; Q 2 A se cumple lo siguiente: ! ! ! ! ! T~~v P Q = T~v (P )T~v (Q) = T~v (P )P + P Q + QT~v (Q) ! ! = ~v + P Q + ~v = P Q: 26

Luego T~~v = Id. 2.4.2

Proyecciones

Una transformación afín f de A se dice que es una proyección si f 2 = f . Por tanto, si f es una proyección MR (f ) es idempotente (MR (f )2 = MR (f )). La aplicación lineal asociada a una proyección es idempotente: f 2 = f . Observación El conjunto de puntos …jos de una proyección f es el subespacio afín Im f . 2.4.3

Homotecias

Una transformación afín f de A se dice que es una homotecia de razón r si f = rIV . Observación Una homotecia de razón r tiene un único punto …jo C llamado centro de la homotecia. Se tiene: ! ! ! ! f (CP ) = f (C)f (P ) = Cf (P ) = rCP luego

! f (P ) = C + rCP .

Cálculo del centro de una homotecia Sea C 2 A el centro de una homotecia f . Se tiene: ! ! ! ! ! P C = P f (P ) + f (P )C = P f (P ) + rP C =) (1

! ! r)P C = P f (P ):

Por tanto, el punto …jo C cumple C=P +

1 1

r

! P f (P ):

Ejemplo 1 Estudiar si la aplicación afín f (x; y; z) = (1 + 23 x; 1 + 32 y; 2 + 23 z) tiene algún punto …jo o algún subespacio invariante. Solución La matriz asociada a f es 0 1 0 2 B 1 3 MR (f ) = B @ 1 0 2 0

0 0 2 3

0

y la matriz asociada a la aplicación lineal f es MB (f ) = 27

2 Id: 3

1 0 0 C C 0 A 2 3

Por tanto, f es una homotecia de razón r = 23 . El centro de la homotecia es: C=P +

1 1

2 3

! P f (P )

para cualquier P 2 A. Tomo P (0; 0; 0) entonces f (P ) = f (0; 0; 0) = (1; 1; 2) y ! P f (P ) = f (P ) P = (1; 1; 2), por tanto C=

3 3

2

(1; 1; 2) = (3; 3; 6):

Los subespacios invariantes de f son: - El centro C(3; 3; 6) pues es un punto …jo - Las rectas que contienen al centro - Los planos que contienen al centro Ejemplo 2 Estudiar si la aplicación afín f (x; y; z) = (x + 1; y + 2; z + 3) tiene algún punto …jo o algún subespacio invariante. Solución La matriz asociada a f es 0 1 B 1 MR (f ) = B @ 2 3

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 C C 0 A 1

y la matriz asociada a la aplicación lineal f es la identidad. Por tanto, f es una ! traslación de vector ~v = Of (O) = (1; 2; 3) (0; 0; 0) = (1; 2; 3). Las traslaciones no tienen puntos …jos. Los subespacios invariantes de f son: - Las rectas que tienen dirección la del vector de traslación; esto es, rectas de la forma r P + L(f~v g). - Los planos que tienen la dirección del vector de traslación; esto es, planos de la forma P + L(f~v ; wg). ~ Ejemplo 3 Estudiar si la aplicación afín f (x; y; z) = ( 2+2x y; 4+2x y; z) tiene algún punto …jo o algún subespacio invariante.

28

Solución La matriz asociada a f es 0 1 B 2 B MR (f ) = @ 4 0

0 2 2 0

0 1 1 0

1 0 0 C C 0 A 1

y la matriz asociada a la aplicación lineal f es 0 1 2 1 0 1 0 A: A = MB (f ) = @ 2 0 0 1 Los autovalores de A son

= 0 y 1 pues: 2

det(A

I) =

1 2 0

0 0

1 0

=

(

2

1) :

1

Quizás la matriz A sea idempotente pues sus autovalores son = 0 y 1. Se comprueba que A2 = A y por tanto, A es idempotente. Luego f es una proyección. El subespacio de puntos …jos de f es o n ! F = X 2 A j (A I) OX + ~b = ~0 ; esto es,

0

1 0 0 1 @ 0 A=@ 2 0 0

equivalentemente

10 1 0 1 2 1 0 x 2 0 A@ y A + @ 4 A 0 0 z 0

8 < 0=x y 2 0 = 2x 2y 4 : 0=0

Por tanto el plano x y 2 = 0 es un plano de puntos …jos (cuyo espacio vectorial asociado es el autovectores asociados al autovalor = 1). Veamos cuál es el subespacio de autovectores asociado al autovalor = 0: 8 0 10 1 0 19 2 1 0 x 0 = < 1 0 A@ y A = @ 0 A V (0) = (x; y; z) tales que @ 2 : ; 0 0 1 z 0 = f(x; y; z) tales que 2x

y = 0, z = 0g

Por otro lado ! P f (P ) = f (P ) P = ( 2 + 2x y; 4 + 2x y; z) = ( 2 x y; 4 + 2x 2y; 0) 2 V (0) 29

(x; y; z)

! pues las componentes del vector P f (P ) cumplen la ecuación de V (0). Por tanto, las rectas cuyo espacio vectorial asociado es V (0) = L(f(1; 2; 0)g) son rectas invariantes de f . Los subespacios invariantes de f son: - Las rectas con espacio vectorial asociado V (0) = L(f(1; 2; 0)g). - Los planos que contienen a rectas invariantes. - El plano de puntos …jos

x

y

2 = 0.

- Las rectas contenidas en el plano de puntos …jos pues son rectas de puntos …jos. Ejercicio Obtener la expresión analítica de una aplicación afín f : A3 ! A3 sabiendo que transforma el origen en el punto de coordenadas (3; 1; 1) y el plano de ecuación cartesiana x1 + 2x2 x3 + 1 = 0 es un plano de puntos …jos. Solución Como el plano es un plano de puntos …jos, el plano vectorial asociado a es un plano de autovectores asociados al autovalor = 1 de la aplicación lineal asociada f . Como P + L (f~u1 ; ~u2 g) con P (0; 0; 1), ~u1 = (1; 0; 1), ~u2 = (0; 1; 2) pues P 2 (esto es, las coordenadas de P son solución de la ecuación de ) y los vectores ~u1 ,~u2 2 ~ (sus respectivas coordenadas son solución de la ecuación homogenénea asociada: x1 + 2x2 x3 = 0). Por tanto, sabemos: f (O) = f (0; 0; 0) = (3; 1; 1) f (P ) = P =) f (0; 0; 1) = (0; 0; 1) f (~u1 ) = ~u1 =) f (1; 0; 1) = (1; 0; 1) f (~u2 ) = ~u2 =) f (0; 1; 2) = (0; 1; 2) De las dos primeras condiciones obtenemos ! ! f (OP ) = f (O)f (P ) = (0; 0; 1) ! OP = (0; 0; 1) = ~e3 :

(3; 1; 1) = ( 3; 1; 0);

Por tanto, f (~e3 ) = ( 3; 1; 0) = 3~e1 ~e2 ; f (~e1 + ~e3 ) = f (~e1 ) + f (~e3 ) = ~e1 + ~e3 ; f (~e2 + 2~e3 ) = f (~e2 ) + 2f (~e3 ) = ~e2 + 2~e3 ; de donde obtenemos: f (~e3 ) = 3~e1 ~e2 ; f (~e1 ) = ~e1 + ~e3 f (~e3 ) = 4~e1 + ~e2 + ~e3 ; f (~e2 ) = ~e2 + 2~e3 2f (~e3 ) = 6~e1 + 3~e2 + 2~e3 ; 30

luego,

0

1 B 3 MRR (f ) = B @ 1 1

0 4 1 1

0 6 3 2

1 0 3 C C 1 A 0

Otro camino. n o ! ! Considerando la referencia R0 = P ; OP ; ~u1 ; ~u2 (nótese que OP , ~u1 , ~u2 son linealmente independientes), obtenemos: 0 1 1 0 0 0 B 0 3 1 0 C C: MR0 R (f ) = B @ 0 1 0 1 A 1 0 1 2 Y como

MR0 R obtenemos

0

1 B 0 =B @ 0 1 0

1 B 0 1 MRR (f ) = MR0 R (f ) MR0 R = B @ 0 1 1 0 1 0 0 0 B 3 4 6 3 C C: = B @ 1 1 3 1 A 1 1 2 0

0 0 0 1

0 1 0 1

1 0 0 C C; 1 A 2

0 3 1 0

10 1 0 0 B 0 1 0 C CB 0 1 A@ 0 1 1 2

0 0 0 1

0 1 0 1

1 0 0 C C 1 A 2

Luego la expresión analítica de f es: f (x1 ; x2 ; x3 ) = (3 + 4x1 + 6x2

3x3 ; 1 + x1 + 3x2

31

x3 ; 1 + x1 + 2x2 ):

1

3

Espacio afín euclídeo

De…nición Se dice que un espacio afín (A; V; ) es un espacio afín euclídeo si el espacio vectorial V es un espacio vectorial euclídeo. Recordamos que un espacio vectorial real V es un espacio vectorial euclídeo si está dotado de un producto escalar; esto es, de una aplicación h ; i:V

V

! R;

bilineal, simétrica y de…nida positiva. Usaremos la notación h~u; ~v i, ~u ~v indistintamente. Notación Denotaremos E a los espacios vectoriales euclídeos y (E; E; ) a los espacios a…nes euclídeos. De…nición Una distancia d en un espacio afín A es una aplicación d: A

A ! R, (P; Q) 7 ! d(P; Q)

que cumple: 1. d es de…nida positiva; esto es, d(P; Q)

0 y d(P; Q) = 0 si y sólo si P = Q.

2. d es simétrica; esto es, d(P; Q) = d(Q; P ). 3. d cumple la desigualdad triangular; esto es,d(P; Q)

d(P; R) + d(R; Q).

Observación El producto escalar de…nido en un espacio vectorial V permite de…nir una distancia d en el espacio afín (A; V; ) de la siguiente manera: q ! ! d : A A ! R, d(P; Q) = P Q P Q:

3.1

Referencias ortogonales

Un sistema de referencia afín R = fO; ~e1 ; : : : ; ~en g en un espacio afín euclídeo (E; E; ) se dice ortogonal (resp. ortonormal ), si la base B = f~e1 ; : : : ; ~en g del espacio vectorial V es ortogonal (resp. ortonormal). Cambio de sistema de referencia ortonormal Sea (E; E; ) un espacio afín euclídeo de dimensión n. Sean R = fO; Bg y R0 = fO0 ; B 0 g dos sistemas de referencia ortonormales de E. Si O0 (a1 ; : : : ; an ) y MB 0 B es la matriz de cambio de base entonces la matriz del cambio de sistema de referencia de R0 a R es: 0 1 1 0 0 B a1 C B C M R0 R = B . C @ .. A M 0 B B

an

Se veri…ca que:

32

1. La matriz MB 0 B es una matriz ortogonal; esto es, MB 01B = MBT 0 B . 2. det MB 0 B = 1. Si det MB 0 B = 1 se dice que B 0 y B tienen la misma orientación y si det MB 0 B = 1 se dice que B 0 y B tienen distinta orientación.

3.2

Subespacios a…nes ortogonales

Sea (E; E; ) un espacio afín euclídeo de dimensión n. Recordamos que, dado un subespacio vectorial W E, el conjunto de…nido como sigue: f~v 2 E j ~v w ~ = 0 para todo w ~ 2 Wg

es un subespacio vectorial de E que denotamos W ? y llamamos subespacio ortogonal a W y cumple E = W W ?: Por tanto, dim E = dim W + dim W ? : ! ! De…nición Dos subespacios a…nes L1 y L2 de E tales que dim L1 +dim L2 n se dicen que son ortogonales si sus respectivos subespacios vectoriales asociados ! ! ! L1 y L2 son ortogonales; esto es, cualquier vector ~u 2 L1 es ortogonal a cualquier ! vector ~v 2 L2 . ! ! ! ! Si dim L1 + dim L2 > n, diremos que L1 , L2 son ortogonales si L1 ? y L2 ? son ortogonales. Notación. Si L1 y L2 son ortogonales, usaremos la notación L1 ? L2 . ! De…nición Sea L un subespacio afín con subespacio vectorial asociado L . ! Se dice que el subespacio afín L0 con subespacio vectorial asociado L0 es el ! ! complemento ortogonal de L si L y L0 son ortogonales y además V = L L0 . Casos particulares 1. Dos rectas r = P + L(f~v g), r0 = P 0 + L(f~v 0 g) son ortogonales si y sólo si ~v ~v 0 = 0. 2. En dimensión 3, una recta r = P + L(~v ) es el subespacio ortogonal a un plano de subespacio vectorial asociado W si ~v es ortogonal a cualquier vector de W (en este caso, V = W L(~v )). 3. Sea = P + L(f~u1 ; ~u2 g) un plano afín. La recta r = P + L(f~v g) es ortogonal a si el vector ~v es ortogonal a los vectores ~u1 y ~u2 . 4. En dimensión 3, una recta r = P + L(f~v g) es ortogonal a un plano = P + L(f~u1 ; ~u2 g) si el vector ~v es paralelo al vector normal al plano; esto es, ~v y ~n son paralelos, donde ~n = ~u1 ^ ~u2 y ^ denota el producto vectorial en E3 . 33

5. En dimensión 3, dos planos 1 y vectores normales son ortogonales. 3.2.1

2

son ortogonales si sus respectivos

Proyección ortogonal de un punto sobre un subespacio afín

Sea L un subespacio afín de un espacio afín euclídeo E y sea P un punto de E que no pertenece a L (esto es, P 2 E L). La proyección ortogonal de P sobre L es el punto P0 intersección de L con el complemento ortogonal a L que contiene al punto P ; esto es, prL (P ) = L \ S donde S

3.3

~? P +L

Distancia entre dos subespacios a…nes

Sea (E; E; ) un espacio afín euclídeo de dimensión n. Sean L1 y L2 dos subespacios a…nes de E. Se de…ne la distancia entre L1 y L2 como el mínimo de las distancias entre sus puntos; esto es, d(L1 ; L2 ) = min fd(P1 ; P2 ) j P1 2 L1 y P2 2 L2 g : Nótese que si L1 \ L2 6= ; entonces d(L1 ; L2 ) = 0. ~1 Si L1 y L2 son subespacios paralelos, supongamos L

~ 2 entonces L

d(L1 ; L2 ) = d(P; L2 ) = min fd(P; P2 ) j P2 2 L2 g siendo P un punto arbitrario de L1 . ~ 1 y L2 = P2 + L ~ 2 no son paralelos entonces construimos un Si L1 = P1 + L subespacio H que sea paralelo a uno de ellos y que contenga al otro. Por ~1 + L ~ 2 . El subespacio H contiene a ejemplo, podemos tomar H = P1 + L L1 y es paralelo a L2 ; por tanto, d(L1 ; L2 ) = d(H; L2 ) y estamos en el caso anterior. Por tanto, el problema se reduce a calcular la distancia de un punto P a un subespacio L. 3.3.1

Distancia de un punto P a un subespacio afín L

~ Sea (E; E; ) un espacio afín euclídeo de dimensión n. Sea P 2 E y sea L = Q+ L un subespacio afín de E, con P 2 = L. Entonces, si llamamos P0 a la proyección ortogonal de P sobre L, se tiene: ! d(P; L) = d(P; P0 ) = P P0 : A continuación estudiaremos varios casos particulares de distancia entre subespacios a…nes. 34

Distancia de un punto P a un hiperplano H Sea P un punto de coordenadas (p1 ; : : : ; pn ) y sea el hiperplano H de ecuación cartesiana a1 x1 + + an xn + b = 0. Si denotamos P0 a la proyección ortogonal de P sobre H, se tiene: d(P; H) = d(P; P0 ): Sea ~u el vector unitario normal al hiperplano; esto es, (a1 ; : : : ; an ) ~u = p 2 a1 + + a2n

Se cumple: d(P; P0 )

! = jP P0 ~uj = (x1 = =

ja1 x1 + ja1 p1 + p a21 +

p1 ; : : : ; xn

+ an xn (a1 p1 + p a21 + + a2n + an pn + bj

(a1 ; : : : ; an ) pn ) p 2 a1 + + a2n + an pn )j

+ a2n

Distancia de un punto P a una recta r Sea P 2 E y sea r Q + L(f~ug) una recta en E. Denotamos P0 a la proyección ortogonal de P sobre r, se tiene: d(P; r) = d(P; P0 ); ! donde P0 es un punto de la recta r que cumple P P0 ~u = 0. Distancia entre dos rectas que se cruzan en E3 Sean r1 P1 + L(f~u1 g) y r2 P2 + L(f~u2 g) dos rectas en E3 . Construimos un plano paralelo a una de ellas y que contenga a la otra; por ejemplo, el plano P2 + L(f~u1 ; ~u2 g) es paralelo a la recta r1 y contiene a la recta r2 . Y consideramos el vector unitario normal al plano ; esto es, el vector ~u =

1 ~u1 ^ ~u2 k~u1 ^ ~u2 k

donde ^ denota el producto vectorial en E3 . Se tiene: d(r1 ; r2 ) = d(r1 ; ) ! Consideramos el paralelepípedo cuyas aristas son los vectores P2 P1 , ~u1 y ~u2 . El volumen de dicho paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto de ~u1 , ! ~u2 y P2 P1 ; esto es, h !i ! ! V = ~u1 ; ~u2 ; P2 P1 = P2 P1 (~u1 ^ ~u2 ) = P2 P1 k~u1 ^ ~u2 k jcos j 35

! donde es el ángulo que forman los vectores P2 P1 y ~u1 ^ ~u2 . El área de la base del paralelepípedo es: A = k~u1 ^ ~u2 k La distancia entre r1 y

es la altura de dicho paralelepípedo. Por tanto, h !i ~u1 ; ~u2 ; P2 P1 ! d(r1 ; r2 ) = d(r1 ; ) = = P2 P1 jcos j : k~u1 ^ ~u2 k

3.4

Ángulos

El ángulo formado por dos vectores no nulos ~u y ~v de un espacio vectorial euclídeo, es el número real que denotaremos (~u; ~v ) ó ~ud ; ~v tal que cos(~ud ; ~v ) =

36

~u1 ~u2 k~u1 k k~u2 k

4

Isometrías

De…nición Sean (E; E; ) y (E0 ; E 0 ; 0 ) dos espacios a…nes euclídeos. Diremos que una aplicación afín f : E ! E0 es una isometría si d0 (f (P ); f (Q)) = d(P; Q);

8P; Q 2 E;

donde d es la distancia de…nida en E y d0 es la distancia de…nida en E0 . Observación Las isometrías son siempre inyectivas ya que si f (P ) = f (Q) entonces 0 = d0 (f (P ); f (Q)) = d(P; Q) implica P = Q. Proposición Una aplicación afín f : E ! E0 es una isometría si y sólo si su aplicación lineal asociada f : E ! E 0 conserva el producto escalar (esto es, f es una isometría vectorial). Demostración Veamos primero que si f es una isometría entonces f conserva el producto escalar. Sean ~u; ~v 2 E y sea P 2 E, entonces se tiene por la de…nición ! ! de espacio afín que existen A; B 2 E tales que ~u = P A y ~v = P B. Entonces, d0 (f (A); f (B))2

! ! = f (A)f (B) f (A)f (B) ! ! ! ! f (A)f (P ) + f (P )f (B) f (A)f (P ) + f (P )f (B) = ! ! ! ! = f (A)f (P ) f (A)f (P ) + 2f (A)f (P ) f (P )f (B) ! ! +f (P )f (B) f (P )f (B) ! ! = d0 (f (A); f (P ))2 + 2f (A)f (P ) f (P )f (B) + d0 (f (P ); f (B))2 ! ! = d(A; P )2 + 2f (AP ) f (P B) + d(P; B)2 ; f es isom etría

y, por otro lado, d(A; B)2

! ! ! ! ! ! = AB AB = AP + P B AP + P B ! ! ! ! ! ! = AP AP + 2AP P B + P B P B ! ! = d(A; P )2 + 2AP P B + d(P; B)2 :

Por tanto, como estamos suponiendo que f es una isometría tenemos d(A; B) = d0 (f (A); f (B)); y, por tanto, ! ! ! ! d(A; P )2 + 2AP P B + d(P; B)2 = d(A; P )2 + 2f (AP ) f (P B) + d(P; B)2 ; 37

! ! ! ! de donde, AP P B = f (AP ) f (P B); esto es, ! u ! v = f (! u ) f (! v ): Luego f es una isometría vectorial. Recíprocamente, si f es una isometría vectorial, entonces d(A; B)2

! ! ! ! ! ! = AB AB = f (AB) f (AB) = f (A)f (B) f (A)f (B) = d0 (f (A); f (B))2 :

Proposición La composición de isometrías es una isometría. Observación Las isometrías a…nes conservan los ángulos entre subespacios a…nes ya que ! f (! u ) f (! v) u ! v \ = cos(f (! u\ ); f (! v )): cos(! u;! v)= ! ! = ! kukk v k f ( u ) f (! v) De…nición Un desplazamiento ó movimiento es una isometría f de un espacio afín euclídeo E en sí mismo.

4.1

Clasi…cación de isometrías

La aplicación lineal asociada a un movimiento f : E ! E, es ortogonal, por tanto, en un sistema de referencia R = fO; Bg ortonormal, la matriz asociada a f en esa referencia es de la forma: ! ~0t 1 MRR (f ) = ! Of (O) A donde A = MB (f ) es una matriz ortogonal; esto es, A 1 = At . Por tanto, det A = 1. Si det A = 1 se dice que la isometría es propia ó directa. Si det A = 1 se dice que la isometría es impropia ó indirecta. 4.1.1

Isometrías en el plano afín euclídeo

Sea f una isometría de un espacio afín euclídeo E de dimensión 2 en sí mismo. Y sea R = fO; B = (~e1 ; ~e2 )g una referencia ortonormal en E. La matriz asociada a f respecto de la referencia R es MRR (f ) =

1 ~0t ~b A

con A =

El polinomio característico de A es det(A

38

a11 a21

a12 a22

I) =

y ~b = 2

b1 b2

:

tr(A) + det(A).

Subespacio de puntos …jos La ecuación del subespacio de puntos …jos de f es (A I)X + ~b = ~0: Por tanto, f tiene puntos …jos si la ecuación anterior tiene solución. Si rg(A I) = 2 (por tanto también rg(A Ij~b) = 2) entonces f tiene un único punto …jo. Si rg(A I) = rg(A Ij~b) = 1 entonces f tiene una recta de puntos …jos. Si rg(A I) = rg(A Ij~b) = 0 entonces f es la aplicación identidad. 1. Si det A = 1, la isometría f es propia y A 2 SO(2) (matrices de orden 2 ortogonales y con determinante 1). Existe un ángulo tal que cos sin

A= Nótese que, en este caso, det(A

sin cos 2

I) =

: tr(A) + 1 y tr(A) = 2 cos .

(a) Si cos = 21 tr(A) 6= 1, entonces = 1 no es autovalor de la matriz A y, por tanto, rg(A I) = 2 y f tiene un único punto …jo que llamamos P . En este caso, f es un giro de ángulo y centro el punto …jo P . En el sistema de referencia R0 = fP; B = (~e1 ; ~e2 )g la matriz asociada a f es 0 1 1 0 0 sin A : MR0 R0 (f ) = @ 0 cos 0 sin cos Si cos = 21 tr(A) = 1 entonces de centro el punto …jo P .

(b) Si cos =

1 2

= 180o y f es una simetría central

tr(A) = 1, entonces 1 0

A=

0 1

:

y f es una traslación de vector ~b. i. rg(A I) = rg(A Ij~b) = 0 entonces f es la aplicación identidad. ii. rg(A I) 6= rg(A Ij~b) entonces f es la traslación de vector ~b. 2. Si det(A) = 1 la isometría f es impropia y A 2 O(2) (matrices de orden 2 ortogonales). Los autovalores de A son 1; 1. Si tomamos ~u1 autovector asociado a 1 y ~u2 autovector asociado a 1, tenemos que en la base B 0 = (~u1 ; ~u2 ) la matriz asociada a f (y que con un abuso de notación seguimos llamando A) es 1 0

A= Se tiene rg(A

I) = 1. 39

0 1

:

(a) Si rg(A Ij~b) = 1 entonces hay una recta de puntos …jos de f . Sea P un punto de dichanrecta (esto es, un punto o …jo de f ), en la referencia 1 1 0 ortonormal R = P; k~u1 k ~u1 ; k~u2 k ~u2 la matriz asociada a f es: 0

1 MR0 R0 (f ) = @ 0 0

0 1 0

1 0 0 A 1

y f es una simetría axial. La recta de puntos …jos r P + L(f~u1 g) se llama eje de la simetría. (b) Si rg(A Ij~b) = 2nentonces f no tiene o puntos …jos. En la referencia 1 1 0 la matriz asociada a f es: ortonormal R = O; k~u1 k ~u1 ; k~u2 k ~u2 0

1 MR0 R0 (f ) = @ c1 c2

0 1 0

1 0 0 A: 1

Estudiemos si en este caso hay alguna recta invariante. Sabemos ! que V (1) = L(f~u1 g) y V ( 1) = L(f~u2 g). Calculamos Xf (X). Sean (x01 ; x02 ) las coordenadas en la referencia R0 de un punto X arbitrario, se tiene: ! Xf (X) = f (X) X = (x01 + c1 ; x02 + c2 ) (x01 ; x02 ) = (c1 ; 2x02 + c2 ): ! Si 2x02 + c2 = 0 entonces Xf (X) 2 L(f~u1 g). Entonces, la recta de ecuación 2x02 + c2 = 0 es una recta invariante de f . Si tomamos como origen de la referencia un punto P en dicha recta (luego las coc2 ordenadas de P son de la forma n o (p; 2 )), tenemos que en la referencia

R0 = P;

1 u1 ; k~u12 k ~u2 k~ u1 k ~

la matriz de f es: 0

1 MR0 R0 (f ) = @ p 0

0 1 0

1 0 0 A: 1

Se trata de la composición de una simetría axial de eje la recta invariante P + L(f~u1 g) y una traslación paralela al eje (de vector (p; 0)). Observación. Toda simetría compuesta con traslación se puede descomponer de manera única como una simetría compuesta con una traslación de vector el vector director del eje.

40

Cuadro de clasi…cación det A = 1 (entonces cos rg(A

I)

rg(A

=

1 tr A) 2

I j b)

Clasi…cación

cos

=1

0

0 (b = 0)

Isometría identidad

cos

=1

0

1 (b 6= 0)

Traslación

cos

6= 1

2

2

Giro de centro el único punto …jo

det A =

1

rg(A

I)

rg(A

I j b)

Clasi…cación

1

1

Simetría respecto la única recta de puntos …jos

1

2

Simetría deslizante

Ejemplo Clasi…car la isometría f (x1 ; x2 ) = (1 Solución La matriz asociada a esta isometría es 0 1 1 0 0 1 A ; denoto A = MRR (f ) = @ 1 0 3 1 0

x2 ; 3

0 1

x1 ).

1 0

y ~b =

1 3

:

Como det(A) = 1 la isometría es impropia, tiene autovalores = en este caso, ~e1 = p12 ; p12 es una autovector asociado al autovalor

1; 1 y, = 1

y unitario y ~e2 = p12 ; p12 es una autovector asociado al autovalor unitario. Veamos si f tiene puntos …jos. Como

= 1 y

rg(A

I) = 1 y rg(A

Ij~b) = 2

la isometría f no tiene puntos …jos. Se trata de una simetría compuesta con una traslación. Veamos si tiene alguna recta invariante. Vamos a calcularla: ! Xf (X) = f (X) X = (1 x2 ; 3 x1 ) (x1 ; x2 ) = (1 x1 x2 ; 3 x1 x2 ) 2 V ( 1) ó V (1) ! ! Luego, Xf (X) 2 V ( 1) si y sólo si Xf (X) y ~e1 son proporcionales; esto es, si 1 3

x1 x1

x2 x2

41

= t = t

Restando las dos ecuaciones obtenemos 2 = 0 que es imposible. ! ! Y Xf (X) 2 V (1) si y sólo si Xf (X) y ~e2 son proporcionales; esto es, si 1 3

x1 x1

x2 x2

= t = t

! Restando las dos ecuaciones obtenemos t = 1 y por tanto, Xf (X) 2 V (1) si y sólo si x1 + x2 = 2 que es la ecuación de la recta invariante. Por tanto, f es una simetría deslizante; esto es, una simetría s de eje la recta invariante compuesta con una traslación de vector proporcional al autovector asociado al autovalor = 1 (vector director de la recta invariante). La matriz de la simetría es 1 0 1 0 0 1 A MRR (s) = @ a 0 b 1 0 donde a; b son tales que s deja …jo cualquier punto de la recta x1 + x2 = 2. Por ejemplo, imponemos que deja …jo el punto (1; 1): 0 10 1 0 1 1 0 0 1 1 a=2 @ a 0 1 A @ 1 A = @ 1 A =) b=2 b 1 0 1 1 Calculemos cúal es el vector de 0 1 0 MRR (f ) = @ 1 0 3 1 0 1 = @ v1 + 2 v2 + 2 luego v1 =

1 y v2 = 1.

traslación: 1 0 1 0 1 A = @ v1 v2 0 1 0 0 0 1 A 1 0

10 1 0 0 1 0 A@ 2 2 0 1

0 0 1

1 0 1 A 0

Ejemplo Obtener la expresión analítica de la isometría del plano que es composición de la simetría de eje la recta de ecuación x1 + x2 = 1 con la traslación de vector ~v = (1; 2). Descomponer la isometría obtenida como composición de una simetría y una traslación de vector paralelo al eje de simetría. Solución La recta vectorial asociada al eje de simetría tiene ecuación cartesiana x1 + x2 = 0. Considero el sistema de referencia R0 = fP; (~u1 ; ~u2 )g donde P es un punto del eje de simetría, por ejemplo, P (1; 0), el vector ~u1 es un vector unitario en la recta x1 + x2 = 0; por ejemplo ~u1 = p12 ; p12 y el vector ~u2 es un vector 42

unitario y ortogonal a ~u1 ; esto es, ~u2 = p12 ; p12 asociada a la simetría S de eje x1 + x2 = 1 es 0 1 0 MR0 R0 (S) = @ 0 1 0 0 Por tanto,

MRR (S)

= MR0 R MR0 R0 (S)MRR0 = MR0 R MR0 R0 (S)(MR0 R ) 0 10 1 0 0 1 1 1 p p A@ 0 = @ 1 2 2 p1 p1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 1 A: = @ 1 0 1 1 0

. En dicha referencia la matriz 1 0 0 A: 1

1

0 1 0

10 1 0 A @ 1 0 1 0

0

0

p1 2 p1 2

p1 2 p1 2

1

1

A

La traslación T de vector ~v = (1; 2) tiene matriz asociada: 0 1 1 0 0 MRR (T ) = @ 1 1 0 A : 2 0 1 Por tanto, la matriz asociada a la isometría pedida 0 1 0 MRR (T S) = MRR (T )MRR (S) = @ 1 1 2 0 0 1 1 0 0 1 A: = @ 2 0 3 1 0

es

10 1 0 0 A@ 1 1 1

0 0 1

1 0 1 A 0

Y

(T

S)(x1 ; x2 ) = (2

x2 ; 3

x1 ):

Vamos a descomponer la isometría obtenida como composición de una simetría y una traslación t2 de vector paralelo al eje de simetría. Descomponemos el vector ~v = (1; 2) como suma de un vector de dirección paralela al eje de simetría s y un vector ortogonal a dicho vector: ~v = (1; 2) = a(1; 1) + b(1; 1); de donde a =

1 2

y b =

3 2.

Por tanto, tomamos la traslación t2 de vector

43

~v2 = (

1 1 2 ; 2 ).

Hallamos la simetría s2 : 0 10 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 @ 2 0 1 A = @ 21 1 0 A @ c 0 1 3 1 0 d 1 0 1 1 0 2 1 0 0 0 1 A = @ c 12 1 d+ 2 1 0

de donde, c =

5 2

1 0 1 A 0

y d = 52 . Luego,

0

MRR (s2 ) = @

1

1 0 1 A: 0

0 0 1

5 2 5 2

Vamos a calcular la recta de puntos …jos de la simetria s2 . Se tiene: ! Xs2 (X)

= = =

5 2 5 2 5 2

5 2

y;

x

(x; y)

5 2

x

y;

x

x

y (1; 1) :

y

Por tanto, la recta 5 = 2x + 2y es la recta de puntos …jos de la simetría s2 (es el eje de simetría). 4.1.2

Isometrías en el espacio afín euclídeo tridimensional

Sea f una isometría de un espacio afín euclídeo E de dimensión 3 en sí mismo. Y sea R = fO; B = (~e1 ; ~e2 ; ~e3 )g una referencia ortonormal en E. La matriz asociada a f respecto de la referencia R es 0 1 0 1 a11 a12 a13 b1 1 ~0t MRR (f ) = ~ con A = @ a21 a22 a23 A y ~b = @ b2 A : b A a a a b 31

El polinomio característico de A es det(A det(A), donde tr2 (A) =

a11 a21

a12 a22

+

a11 a31

32

33

I) = a13 a33

+

3

3

+ tr(A)

a22 a32

a23 a33

2

tr2 (A) +

:

Subespacio de puntos …jos La ecuación del subespacio de puntos …jos de f es (A I)X + ~b = ~0:

44

Por tanto, f tiene puntos …jos si la ecuación anterior tiene solución. Si rg(A I) = 3 (por tanto también rg(A Ij~b) = 3) entonces f tiene un único punto …jo. Si rg(A I) = rg(A Ij~b) = 2 entonces f tiene una recta de puntos …jos. Si rg(A I) = rg(A Ij~b) = 1 entonces f tiene un plano de puntos …jos. Si rg(A I) = rg(A Ij~b) = 0 entonces f es la aplicación identidad. 1. Si det A = 1, la isometría f es propia y A 2 SO(3) (matrices de orden 3 ortogonales y con determinante 1) y, en una base ortonormal conveniente B 0 la matriz asociada a f se escribe: 0 1 1 0 0 sin A : MB 0 B 0 (f ) = @ 0 cos 0 sin cos Nótese que, en este caso, tr(A) = 1 + 2 cos .

(a) Si cos = 1, entonces rg(A I) = 0, entonces pueden pasar dos cosas: i. rg(A Ij~b) = 0 y, en este caso, 1 0 1 0 0 0 B 0 1 0 0 C C MR0 R0 (f ) = B @ 0 0 1 0 A 0 0 0 1 y f es la aplicación identidad. ii. rg(A Ij~b) = 1 y, en este caso, no hay puntos …jos y f es una traslación de vector ~b. La matriz asociada a f en este caso es: 1 0 1 0 0 0 B b1 1 0 0 C C MR0 R0 (f ) = B @ b2 0 1 0 A : b3 0 0 1

(b) Si jcos j 6= 1, entonces rg(A I) = 2 y pueden pasar dos cosas: i. rg(A Ij~b) = 2 y, en este caso, hay toda una recta de puntos …jos r Q + L(f~u1 g), donde ~u1 es nautovalor asociado al o autovalor 1 0 la matriz = 1. En la referencia R = Q; k~u1 k ~u1 ; ~u2 ; ~u3 asociada a f es 0 1 1 0 0 0 B 0 1 C 0 0 C: MR0 R0 (f ) = B @ 0 0 cos sin A 0 0 sin cos Y f es un giro ó rotación de angulo y eje la recta r de puntos …jos. En el caso particular de que cos = 1, tendríamos una simetría axial de eje la recta r de puntos …jos. 45

ii. rg(A Ij~b) = 3 y, en este caso, no hay puntos …jos. La matriz asociada a f se puede escribir como sigue: MR0 R0 (f )

= 0

1 ~0t ~b A

10 1 0 0 0 B 0 1 0 0 C CB 0 1 0 A@ 0 0 0 0 1

1 B b1 = B @ b2 b3

0 1 0 0

0 0 cos sin

0 0 sin cos

1 C C A

y f es un movimiento helicoidal, esto es, un giro de ángulo y eje la recta invariante de f con subespacio vectorial asociado V (1), compuesto con una traslación paralela a dicha recta (de vector ! ~u = Xf (X), con X 2 r). 2. Si det A = 1, la isometría f es impropia ó indirecta y A 2 O(3) (matrices de orden 3 ortogonales) y, en una base ortonormal conveniente B 0 = (~e01 ; ~e02 ; ~e03 ) (el vector ~e01 es autovector asociado a = 1 y unitario) la matriz asociada a f se escribe: 1 0 1 0 0 sin A : MB 0 B 0 (f ) = @ 0 cos 0 sin cos Nótese que, en este caso, tr(A) = (a) Si cos = 1 entonces rg(A

1 + 2 cos .

I) = 1.

i. Si rg(A Ij~b) = 1 entonces hay un plano n P + L(f~v1 ; ~v2 g). En la referencia R0 = Q; la matriz asociada a f se escribe 0 1 0 0 B 0 1 0 MR0 R0 (f ) = B @ 0 0 1 0 0 0

de puntos …jos o ~e1 ; k~v11 k ~v1 ; k~v12 k ~v2 1 0 0 C C 0 A 1

y f es una simetría especular respecto del plano de puntos …jos. ii. Si rg(A Ij~b) = 2 entonces no hay puntos …jos. La matriz asociada a f se puede escribir como sigue: MR0 R0 (f )

= 0

1 ~0t ~b A

1 B b1 = B @ b2 b3 46

10 0 0 0 1 B 0 1 0 0 C CB 0 1 0 A@ 0 0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0 0 C C 1 0 A 0 1

y f es una simetría compuesta con una traslación de vector paralelo al plano invariante (~v = (0; c2 ; c3 )). (b) Si cos 6= 1 entonces f no tiene el autovalor = 1 y hay un único punto …jo Q. En la referencia ortonormal R0 = fQ; (~u1 ; ~u2 ; ~u3 )g la matriz asociada a f se escribe: 1 0 10 1 0 0 0 1 0 0 0 B C B 0 0 0 1 0 0 C C CB 0 1 MR0 R0 (f ) = B @ 0 0 1 0 A @ 0 0 cos sin A 0 0 sin cos 0 0 0 1 y f es una simetría (respecto del plano Q + L(f(~u2 ; ~u3 )g)) compuesta con una rotación de ángulo y eje Q + L(f(~u1 )g. En el caso particular en que cos = 1, entonces f es una simetría central de centro el único punto …jo Q.

Cuadro de clasi…cación det A = 1 cos ( ) = 21 ( tr A rg(A

I)

rg(b j A

I)

1) Clasi…cación

0

0 (b = 0)

Identidad

0

1 (b 6= 0)

Traslación

2

2

Giro de ángulo y eje la única recta de puntos …jos

2

3

Movimiento helicoidal (composición de giro y traslación).

det A = 1 cos ( ) = 21 ( tr A + 1) rg(A

I)

rg(b j A

I)

Clasi…cación

1

1

1

2

Simetría deslizante (composición de simetría y traslación de vector paralelo al plano de simetría)

3

3

Composición de giro y simetría (el eje de giro y el plano de simetría son ortogonales). El único punto …jo es la intersección del eje y el plano.

Simetría respecto del único plano de puntos …jos

47

Ejercicio 1 En el espacio afín euclídeo E3 …jamos una referencia ortonormal R y se considera una isometría afín h, cuyas ecuaciones respecto a la referencia dada son: 8 0 < x1 = 4 + 94 x1 + 89 x2 19 x3 x0 = 4 94 x1 + 19 x2 89 x3 h : 20 x3 = 2 97 x1 + 49 x2 + 49 x3 Se pide: 1. Escribir su expresión matricial, clasi…carla y obtener los elementos notables. 2. Sea f la simetría respecto del plano de ecuación Determinar una transformación g, tal que h = f g.

2x2 + x3 = 1.

3. Clasi…car la isometría g. Solución 1. La matriz asociada a la isometría h en la referencia 0 1 0 0 0 8 1 4 B 4 9 9 9 MRR (h) = B 4 1 8 @ 4 9 9 9 7 4 4 2 9 9 9 Llamamos:

1 0 4 ~b = @ 4 A ; A = @ 2 0

4 9 4 9 7 9

8 9 1 9 4 9

R es: 1 C C A

1 9 8 9 4 9

1 A

Como det A = 1, h es una isometría directa. Los autovalores de A son = 1, = i. Como 0 4 1 8 1 1 9 9 9 4 1 8 A = 2; 1 rg(A I) = rg @ 9 9 9 7 4 4 1 9 9 1 0 4 9 8 1 1 4 9 9 9 4 1 8 1 4 A=2 rg(A Ij~b) = rg @ 9 9 9 4 4 7 1 2 9 9 9 el espacio de puntos …jos de h es una recta y h es un giro de ángulo (pues cos = 21 (trA 1) = 0) y eje la recta de puntos …jos.

Se tiene: F

n o X j (A I)X + ~b = ~0 80 4 8 1 < 9 1 9 9 4 1 8 @ 1 = 9 9 9 : 7 4 4

=

9

=

x1 =

9

9 x3 ; x2 = 2

9

1 0 1 0 19 x1 4 0 = A @ x2 A + @ 4 A = @ 0 A ; x3 2 0 1

1 x3 2 48

10

2

2. Tomamos una referencia R0 = fP; (w ~ 1; w ~ 2; w ~ 3 )g donde P 2 , w ~ 1; w ~2 2 ~ yw ~ 3 2 ~ ? y ortogonales entre sí; por ejemplo,2x2 + x3 = 1 P w ~1 w ~2 w ~2

= (0; 0; 1); = (1; 0; 0) ; 1 2 = 0; p ; p ; 5 5 2 1 = 0; p ; p : 5 5

La referencia R0 es una referencia ortonormal 0 1 0 0 B 0 1 0 MR0 R0 (f ) = B @ 0 0 1 0 0 0

Se tiene:

MRR (f )

= MR0 R MR0 R0 (f )MR01R 0 1 1 0 0 0 B 0 1 0 0 C 1 C = B p1 p2 A MR0 R0 (f )MR0 R @ 0 0 5 5 p2 p1 1 0 5 5 1 0 1 0 0 0 B 0 1 0 0 C C = B 3 4 A: @ 4 0 5 5 5 2 4 3 0 5 5 5

Una transformación g, tal que h = f MRR (g)

de E3 y 1 0 0 C C: 0 A 1

g es tal que:

= MRR (f ) 1 MRR (h) 0 1 10 1 0 0 0 B B 0 1 0 0 C C B = B 3 4 A @ 4 0 @ 5 5 5 2 4 3 0 5 5 0 5 1 1 0 0 0 4 8 1 C B 4 9 9 9 C: = B 8 19 8 @ 0 A 9 45 45 1 8 44 4 9 45 45

1 4 4 2

0

0

0

4 9 4 9 7 9

8 9 1 9 4 9

1 9 8 9 4 9

1 C C A

3. Hallamos con MAPLE los autovectores de A (>eigenvectors(A); ) siendo: 0 4 1 1 8 A=@

9 8 9 1 9

49

9 19 45 8 45

9 8 45 44 45

A

obtenemos V (1) = L(f( 1; 0; 5); (8; 5; 0)g); V ( 1) = L(f((5; 8; 1)g): Por tanto, det A = rg(A rg(A

1 y g es una isometría indirecta. Como

I)

=

Ij~b)

=

1; (pues 0 4 rg @

9

= 1 es una autovalor doble) 1 8 1 1 4 9 9 19 8 8 1 0 A = 2; 9 45 45 1 8 44 1 4 9 45 45

entonces g no tiene puntos …jos y es una simetría respecto del plano invariante compuesta con un giro de ángulo 180o . De hecho sabíamos que g = f 1 h. Ejercicio 2 En el espacio afín euclídeo tridimensional E3 …jamos una referencia ortonormal R. Se pide: 1. Obtener la expresión matricial del giro g de ángulo 4 ; y eje la recta r de ecuaciones x3 x1 = 1 y x1 + x2 = 2. Describir los subespacios invariantes de g. 2. Obtener la expresión matricial de la simetría s respecto al plano x1 x2 + x3 = 2. Describir los subespacios invariantes de s. 3. Obtener la expresión matricial de la composición de g con s: f1 = s g. Calcular el subespacio de puntos …jos de f1 . Describir los subespacios invariantes de f1 . 4. Obtener la expresión matricial de la homotecia h de centro C = (1; 1; 2) y razón r = 57. Describir los subespacios invariantes de h. 5. Obtener la expresión matricial de la composición de g con s y con h: f2 = h f1 . ¿Es f2 una isometría? Razona tu respuesta. Describir los subespacios invariantes de f2 . Solución. 1. Tomamos una referencia fP; (~u1 ; ~u2 ; ~u3 )g donde P 2 r, ~u1 2 ~r y ~u2 ; ~u3 2 ~r? y ortogonales entre sí; por ejemplo, P ~u1 ~u2 ~u3

= (1; 1; 2); = (1; 1; 1); = (1; 1; 0) ; = (1; 1; 2) :

50

La referencia R0 = de E3 y

n P;

~ u2 ~ u3 ~ u1 k~ u1 k ; k~ u2 k ; k~ u3 k

0

o

es una referencia ortonormal 1 0 C 0 C: sin 4 A cos 4

1 0 0 B 0 1 0 MR0 R0 (g) = B @ 0 0 cos 4 0 0 sin 4

Por tanto, haciendo un cambio de referencia obtenemos: MRR (g)

= MR0 R MR0 R0 (g)MRR0 0 1 0 0 0 B 1 p1 p1 p1 B 3 2 2 = B p1 p1 p1 @ 1 3 2 2 p1 p2 2 0 3 2 0 1 0 p p B 2 + 3 p22 + 1 B = @ p 2 1 2 p2 1 2 3 2+4 1

1

C C C MR0 R0 (g)MR01R A p

0

2 2p 2 p2

1 +1 2 1

1 0 C 1 C: p A 2 + 1 p 2 1

Los subespacios invariantes de g son: la recta de puntos …jos (el eje del giro) y los planos ortogonales a la recta de puntos …jos. 2. Tomamos una referencia fQ; (w ~ 1; w ~ 2; w ~ 3 )g donde Q 2 , w ~ 2; w ~3 2 ~ y w ~ 1 2 ~ ? y ortogonales entre sí. Nótese que el plano x1 x2 + x3 = 2 es ortogonal a la recta r del apartado anterior. Por comodidad, vamos a tomar entonces Q = P = (1; 1; 2); ~u1 w ~1 = ; k~u1 k ~u2 w ~2 = ; k~u2 k ~u3 : w ~2 = k~u3 k La referencia R0 = fQ; (w ~ 1; w ~ 2; w ~ 3 )g es 0 1 B 0 MR0 R0 (s) = B @ 0 0

51

una referencia ortonormal de E3 y 1 0 0 0 1 0 0 C C: 0 1 0 A 0 0 1

Por tanto, haciendo un cambio de referencia obtenemos: MRR (s)

= MR0 R MR0 R0 (s)MRR0 0 1 1 0 0 0 B 1 C p1 p1 p1 B 3 2 2 C 1 MR0 R0 (s)MRR = B 0 1 1 1 p p p C @ 1 3 2 2 A 1 2 p p 2 0 3 2 0 1 1 0 0 0 B 4 1 2 2 C C: = B @ 4 2 1 2 A 4 2 2 3

Los subespacios invariantes de s son: el plano de puntos …jos de s (es el plano de simetría) y las rectas ortogonales al plano . 3. La expresión matricial de la composición de g con s: f1 = s g es: MRR (f1 )

= MRR (s)MRR (g) 0 1 0 p p 2 B 2 1 p2 1 = B 2 @ 2p2 + 3 + 1 2 p 3 2 1

0 2 2p + 1 2 1 p2 2+1 p

1 0 C 1 C: p A 2 1 p 2+1

El subespacio de puntos …jos de f1 es F = fP g.

Los subespacios invariantes de f1 son: la recta r (eje del giro), el plano (plano de simetría) y el punto P . 4. Para hallar la expresión matricial de la homotecia h de centro C = (1; 1; 2) y razón r = 57 calculamos h(O). Se veri…ca: f (O)

Por tanto,

! = C + rCO = (1; 1; 2) = ( 56; 56; 112) : 0

B MRR (h) = B @

1 56 56 112

0 57 0 0

0 0 57 0

57(1; 1; 2)

1 0 0 C C: 0 A 57

Los subespacios invariantes de h son: El centro de la homotecia, las rectas que contienen al centro y planos que contienen al centro. 5. La expresión matricial de la composición de g con s y con h: f2 = h f1

52

es: MRR (f2 ) = MRR (h)MRR (f1 ) 0 p1 B 57 p2 + 1 = B @ 114 2 227 p 171 2 112

p0 57 2 p2 + 57 57 2 57 2 57

p0 57 57 2p 2 57 2 + 57 2 p 57 2 57

1 0 C C: p 57 57 p2 + 57 A 57 2 57

La transformación afín f2 no es una isometría pues h no es una isometría. Como el centro de la homotecia en el punto …jo de la isometría f1 los subespacios invariantes de f2 son: el centro de la homotecia, la recta r y el plano .

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Bibliografía

M. Castellet, I. Llerena, Álgebra lineal y Geometría, Ed. Reverté, 1994. J. de Burgos, Curso de Álgebra y Geometría, Ed. Alhambra, 1980. A. de la Villa, Problemas de Álgebra con esquemas teóricos, Ed. CLAGSA, 1994.

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