Operations Research Eine Einfiihrung Fiinfte, durchgesehene Auflage

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Operations Research Eine Einfiihrung Fiinfte, durchgesehene Auflage Mit 98 Abbildungen und 104 Tabellen

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Springer

Prof. Dr. Dr. Theodor Ellinger Am Waldhang IS D-SlS03 Rosrath Prof. Dr. Gunter Beuermann Universitiit zu Koln Wirtschafts- und Sozialwissenschaft1iche Fakultiit Albertus-Magnus-Platz D-S0923 Koln Prof. Dr. Rainer Leisten Universitiit Duisburg Fachbereich Wirtschaftswissenschaft Fachgebiet ProduktionlIndustrie D-47048 Duisburg

ISBN-13: 978-3-S4O-410S0-8

e-ISBN-13: 978-3-642-97888-3

DOl: 10.1007/978-3-642-97888-3 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ellinger, Theodor: Operations Research: Eine Einftlhrung 1 Theodor Ellinger; Giinter Beuermann; Rainer Leisten. - 5., durchges. Auf!. - Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hongkong; London; MaiIand; Paris; Singapur; Tokio: Springer, 2001 ISBN-13: 978-3-540-41050-8 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der VervieltaItigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland yom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiitungspflichtig. ZuwiderhandIungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ein Unternehmen der BertelsmannSpringer Science+Business Media GmbH @

Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998,2001

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dafi solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als {rei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden diirften. Umschlaggestaltung: Erich Kirchner, Heidelberg SPIN 10734889

43/2202-5 4 3 2 1 0 - Gedruckt auf saurefreiem Papier

Vorwort zur ffinften Auflage In der fiinften Auflage sind kleinere Fehler aus der vierten Auflage korrigiert, die Literaturquellen aktualisiert und einige kleinere Erganzungen vorgenommen worden. Wir danken Frau cando rer. pol. Sandra Wagner, KOln, und Herro Dipl.Math. Jens Weber, Duisburg, flir die Durchsicht und die redaktionelle Bearbeitung der fiinften Auflage. Frau Dr. Martina Bihn vom Springer-Verlag danken wir wiederum flir die hervorragende Zusanunenarbeit. K61n und Duisburg, im Sommer 2000

Th. Ellinger G. Beuermann R. Leisten

Hinweis fUr Lehrende: Folienvorlagen der Abbildungen des Buches sind erhiiltlich bei: Prof. Dr. Rainer Leisten, Fachgebiet ProduktionlIndustrie, Fachbereich Wirtschaftswissenschaft, Universitiit Duisburg, Lotharstr. 65, 47048 Duisburg, Email [email protected].

Vorwort zur vierten Auflage Das Buch ist als Lehr- und Lembuch konzipiert, das einen Beitrag flir das Verstiindnis grundlegender Zusammenhange der quantitativen Optimalplanung in der Wirtschaft vermitteln will. Bei der Abfassung des Buches wurde stets das Ziel verfolgt, insbesondere den Studierenden eine brauchbare Hilfe zu geben, sich auch als Ntchtmathematiker - wesentliche Grundlagen des Operations Research zu erschlie13en und Hintergriinde zu verstehen. Es ist eine gro13e Freude festzustellen, da13 von Lemenden wie von Lehrenden der Wunsch geiiu13ert wurde, da13 das Werk nell aufgelegt werde. Die vierte Auflage entspricht im wesentlichen den vorherigen Auflagen. An einigen Stell en wurden jedoch Uberarbeitungen in der Darstellung lind Aktualisierungen vorgenommen, so in den Kapiteln 2 und 4. Die Abschnitte fiber die DVgesrutzte Anwendung der Verfahren wurden von der Gro13rechner-basierten Darstellung auf eine PC-basierte Darstellung umgestellt. Das Kapitel fiber die Parametrische Optimierung wurde herausgenommen, da es nur bedingt dem einfiihrenden Charakter des Buches entsprach.

VI

Vorwort

Der Erstautor dankt seinen Kollegen G. Beuennann, KoIn, und R. Leisten, Greifswald, dafiir, daB sie den Band durchgesehen, aktualisiert und drucktechnisch auf den mit der derzeitigen Verlags- und Drucktechnik bearbeitbaren Stand gebracht haben. Die Autoren danken den fleiBigen Handen und Kopfen, die uns bei der Neuauflage des Buches nach Kraften unterstiitzt haben, indem sie Texte erfaBt, Abbildungen gezeichnet, Manuskripte komgiert und die 'vielen sonstigen 'Kleinigkeiten' erledigt haben, die bei der Erstellung eines Buches anfallen. Dies waren an der Universitat Koln Frau Sandra Wagner und an der Universitat Greifswald Frau Ilka Bernhardt, Herr Volker Cesinger, Frau Sabrina CQurtois, Herr UlfPrahm, Frau Kerstin Rose und Frau Anja Thorausch. Frau Dr. Martina Bihn yom Springer-Verlag danken wir fiir die angenehme und vertrauensvolle Zusammenarbeit. KOln und Greifswald, im Sommer 1998

Th. Ellinger G. Beuennann R. Leisten

Vorwort zur dritten Auflage In der dritten Auflage wurden gegenilber der zweiten die Literaturangaben aktualisiert. Weiter wurden die Ausfiihrungen zum Einsatz von Personal Computem bei der Losung von Optimierungsproblemen durch 2 Bemerkungen ergiinzt: KOln, im Frilhjahr 1990

Th. Ellinger

Vorwort zur zweiten Auflage In der zweiten Auflage dieses Buches wurden Korrekturen durchgefiilirt. Auf diese bin ich von interessierten Lesem hingewiesen worden, denen ich zu groJ3em Dank verpflichtet bin. Zusatzlich wurden aus Grilnden der Anschaulichkeit geringfiigige Umstellungen bei einigen Beispielen vorgenpmmen. Koln, im Frilhjahr 1985

Th. Ellinger

Vorwort zur ersten Auflage Das vorliegende Buch geht aus Vorlesungen ilber Operations Research hervor, die an der Universitat Koln gehalten werden. Nicht zuletzt ennunterte das groJ3e Interesse der Studierenden der Wirtschaftswissenschaften und auch zum Teil der

Vorwort

vn

Mathematik den Verfasser nach vie1en Jahren des Ausbaus und der Uberpriifung, den Versuch zu untemehmen, auch durch das gedruckte Wort den Studierenden und Praktikem den Zugang zu effizienten Entscheidungsverfahren zu erleichtem. Durch diese Arbeit solI auch dem mathematisch weniger geiibten Leser der Gebrauch von Instrumenten nahegebracht we~den, die eine rationelle Gestaltung von Handlungen und Ablaufen auf den verschiedensten Gebieten erschlie13en. Insbesondere sollen psychologische Sperren, die vielfach den Einsatz dieser Entscheidungshilfen verhindem oder verzogem, beseitigt werden. Die Erfahrung zeigt, daB auch Nicht-Mathematiker besondere Impulse fUr die Anwendung von OR-Verfahren erhalten, wenn sie selbst die optimale Losung eines komplexen Problems erarbeiten konnen. Aus diesen Griinden behandelt die vorliegende Arbeit zentrale Verfahren des Operations Research, sowohl der Linearen als auch der Nichtlinearen und der Dynamischen Programmierung. Hierbei wurde Wert darauf gelegt, dem Leser dazu zu verhelfen, diese Verfahren selbst anwenden zu konnen. Aus diesem Grunde schien es wichtig, die Verfahren nicht nur im Uberblick darzustellen, sondem auf die einzelnen Schritte einzugehen. Auch die Beurteilung eines rationellen Einsatzes fertiger Computerprogramme diirfte auf diese Weise gefordert werden. Bei dieser Konzeption muBte unter den Verfahren eine Auswahl getroffen werden. Diese sollte vomehmlich unter dem Gesichtspunkt vollzogen werden, Schliisselbereiche verstiiridlich darzustellen und damit eine Hilfe zu geben, sich weitere Gebiete mit Hilfe der angegebenen Literatur selbst zu erschlie13en. Bei der Beurteilung der Verfahren wird die Verbindung hergestellt zum praktischen Einsatz von Computem. Es konnten hier jedoch nur Hauptlinien aufgezeigt werden. Fiir diesen Bereich wird auf die entsprechende Literatur verwiesen (z. B. SchmitzlSchOnlein [1978]). Fiir die mathematisch starker interessierten Leser wurden verschiedentlich Erganzungen eingeschaltet, die jedoch auch iibergangen werden konnen, ohne daB der Gesamtzusammenhang verloren geht. Das Buch gliedert sich in acht Hauptabschnitte: 1m ersten Kapitel wird eine Einfiihrung in die Grundlagen von Operations Research, seine Geschichte, Methoden und Probleme gegeben. In den folgenden Hauptabschnitten (Kap. 2-6) werden wesentliche Gebiete der Linearen Programmierung behandelt. Bei der gro13en Bedeutung dieses Bereichs in Theorie und Praxis scheint es begriindet, diesem Gebiet besondere Beachtung zu schenken. Nach dem einfiihrenden Kapitel 2, in dem die Losung linearer Programmierungsprobleme graphisch und mit Hilfe der Simplexmethode behandelt wird, ist das dritte Kapitel der Darstellung und Losung des Transportproblems gewidmet. Die Darstellung der Sensitivitatsanalyse in Kapitel 4 kann in besonderer Anschaulichkeit den engen Bezug des OR mit technisch-wirtschaftlichen Problemen der Praxis aufzeigen. In unmittelbarem Zusammenhang mit diesem Abschnitt wird in Kapitel 5 ein Einblick in die Parametrische Programmierung gegeben.

VIII

Vorwort

In Kapitel 6 werden Verfahren zur Losung ganzzahliger Optimierungsprobleme, wie sie in der Praxis haufig aufireten, vorgefiihrt. Das siebte Kapitel fiihrt in die Nichtlineare Programmierung ein. AbschlieBend wird in Kapitel 8 das Prinzip der Dynamischen Programmierung nach einer Einfiihrung in die Grundlagen an einem Beispiel veranschaulicht. An der Verwirklichung des vorIiegenden Buches ist eine Reihe fiiiherer Mitarbeiter am Industrieseminar der Universitat Koln wesentlich beteiligt. Sie haben tiber viele Jahre entscheidend dazu beigetragen, eine dreisemestrige VorIesung mit Ubungen tiber Operations Research aufzubauen und laufend zu erganzen. Mein herzlicher Dank gilt hier in besonderer Weise den Herren Dr. Siegfried Schaible (Professor an der University of Alberta EdmontonlKanada) und Priv.-Doz. Dr. GUnter Liesegang (z. zt. Professor an der California State University, Fresno/ USA). Bei der Uberarbeitung und Erganzung des Manuskripts hat Herr Dipl.Math. R. Leisten unter groBem personlichen Einsatz in vorbildlicher Weise tatkraftig geholfen. Er war mir ein wichtiger Gesprachspartner und gab wertvolle Anregungen zum Ausbau und zur Vertiefimg der Arbeit. Dafiir darf ich ihm meinen herzlichen Dank aussprechen. Weiterhin danke ich vielmals den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitem, die ebenfalls zur Fertigstellung dieses Buches beigetragen haben. An erster Stelle sei hier Frl. S. Schumann erwaoot, die bei der ErIedigung von Schreib- und Korrekturarbeiten eine auBerordentliche Arbeitsfiille mit Sorgfalt bewaltigte. Mein Dank gilt weiterhin den Herren, die sich bei der Erstellung der Zeichnungen verdient gemacht haben: Herrn B. Longerich, Herrn Th. Rommelfanger, Herrn H. Thiel, Herrn W. Zimmermann, sowie Fri. I. Hartung und Herrn Dr. P. Noe fUr die Hilfe beim Korrekturlesen. SchlieBlich mochte ich meinen ersten Mitarbeiter auf dem Gebiet des Operations Research, Herrn Dr. M. Kappeler, der sich beim Aufbau der ersten Konzeption zur Linearen Programmierung auBerordentlich einsetzte, in meinen herzlichen Dank mit einschlieBen. KOln, im Herbst 1983

Th. Ellinger

Inhaltsverzeichnis 1

Einfdhrung .................................................................................................. 1

1.1 Entwicklung und Begriff des Operations Research ................................. 1 1.1.1 Entscheidungsvorbereitung ............................................................... 2 1.1.2 Optimierung der angestrebten Losung ............................................... 2 1.1.3 Verwendung mathematischer Methoden ...........................................4 1.1.4 Die Bedeutung der EDV bei der Anwendung von OR ...................... 6 1.2 Einsatzbereiche des Operations Research ............................................... 7 1.3 Problemtypen des Operations Research .................................................. 8 1.3.1 Kombinatorische Probleme ............................................................... 8 1.3.2 Lagerhaitungsprobleme ................................................................... 10 1.3.3 Ersatzprobleme ................................................................................ 10 1.3.4 Wartezeitprobleme .......................................................................... 10 1.3.5 Konkurrenzprob1eme ....................................................................... 11 1.4 Verfahren des Operations Research ...................................................... 11 1.4.1 Statische Optimierung ..................................................................... 11 1.4.1.1 Lineare Optimierung ................................................................ 11 1.4.1.2 Nichtlineare Optimierung ......................................................... 11 1.4.1.3 Ganzzahlige und gemischt-ganzzahlige Optimierung .............. 12 1.4.2 Dynamische Optimierung •............................................................... 12 1.4.3 Entscheidungsbaumverfahren .......................................................... 12 1.4.4 Netzplantechnik............................................................................... 13 1.4.5 Warteschiangentheorie .................................................................... 13 1.4.6 Spieltheorie ..................................................................................... 13 1.4.7 Simulation ....................................................................................... 14 1.4.8 Heuristische Verfahren .................................................................... 14 2

Grundlagen der Linearen Optimierung ................................................. 15

2.1 Optimaies Produktionsprogramm ......................................................... 15 2.1.1 Graphische Losung .......................................................................... 18 2.1.2 Simplexmethode ...... .-....................................................................... 25 2.2 Mischungsproblem (zulassige AusgangslOsung) .................................. .42 2.3 Das allgemeine lineare Programm und Sonderfane .............................. 50 2.3.1 Das allgemeine lineare Programm ................................................... 50 2.3.2 Nichtexistenz einer zuiassigen (Basis-) Losung .............................. 53 2.3.3 Nichtexistenz einer endlichen Optimallosung ................................. 54 2.4 Zusammenfassende Darsteliung der Simplexmethode anhand eines Beispiels................................................................................................ 55

X

Inhaltsverzeichnis 2.5 Dualitiit ................................................................................................. 59 2.6 Die Losung eines Problems der Linearen Optimierung mit dem PC ..... 66 2.6.1 Eingabe und Ausgabe (formalproblemnah) ..................................... 67 2.6.2 Eingabe und Ausgabe (realproblemniiher) ...................................... 71

3

Verfahren zur LOsung des Transportproblems ..................................... 7S 3.1 Beispiel zum klassischen Transportproblem ......................................... 75 3.2 Allgemeine Datstellung des klassischen Transportproblems ................ 77 3.3 Losung nach der Stepping-Stone-Methode ........................................... 79 3.4 Modi-Methode ..........................................•........................................... 85 3.5 Entartung............................................................................................... 90 3.6 Vergleich von Stepping-Stone':Methode und Simplexmethode ............ 91 3.7 Erweiterungen des Transportmodells .................................................... 92 3.7.1 Angebot groBer als Nachfrage ......................................................... 92 3.7.2 Nachfrage groBer als Angebot ......................................................... 93 3.7.3 Unterschiedliche Produktionskosten ............................................... 94

4

Sensitivitatsanalyse in der Linearen Optimierung ................................99 4.1 Aufgaben der Sensitivitiitsanalyse......................................................... 99 4.2 Graphische Betrachtungen zur Sensitivitiitsanalyse ............................ 100 4.2.1 Anderung des Deckungsbeitrags eines Produkts (eines Zielfunktionskoeffizienten) ................................................. 10 1 4.2.2 Gradientenbetrachtung bei Deckungsbeitragsiinderungen ............. l 05 4.2.3 Anderung einer Faktormenge (eines Werts auf der rechten Seite) ................................................ 108 4.3 Beziehungen zwischen Anfangs- und Endtableau ............................... ll 0 4.3.1 Beziehungen fUr die Zielfunktionszeile ......................................... 112 4.3.2 Beziehungen fUr die Zeilen der Nebenbedingungen...................... 114 4.3.3 Formale Darstellung der Beziehungen zwischen Anfangs- und Endtableau .............................................................. 117 4.4 Analytische Sensitivitiitsanalyse ......................................................... 120 4.4.1 Anderung von Kapazitiiten (von Werten auf der rechten Seite) .... 121 4.4.2 Anderungen der Deckungsbeitriige einzelner Produkte (der Zielfunktionskoeffizienten) .................................................... 126 4.4.2.1 Deckungsbeitragsiinderungen bei einem der im optimalen Produktionsprogranun nicht enthaltenen Produkte ................ 126 4.4.2.2 Deckungsbeitragsiinderungen bei einem der im optimalen Produktionsprogranun enthaltenen Produkte ......................... 130 4.4.3 Anderung einzelner Produktionskoeffizienten (von Koeffizienten auf der linken Seite der Restriktionen) ........... 132

Inhaltsverzeichnis

XI

4.4.4

Einfiihrung eines neuen Produkts (einer neuen Strukturvariablen)..................................................... 134 4.4.5 Auftreten zuslitzlicher Beschrlinkungen ........................................ 135 4.5 Zusammenfassende okonomische Interpretation der GroBen eines Simplextableaus flir ein Programmplanungsproblem ......................... 140 4.6 Sensitivitlitsanalyse innerhalb eines Tabellenkalkulationsprogramms auf dem PC ....................................................................... 143

5

Ganzzahlige Lineare Optimierung ........................................................ 149 5.1 Einfiihrung .......................................................................................... 149 5.2 Losungsverfahren................................................................................ 153 5.2.1 Das Cutting Plane-Verfahren von Gomory ................................... 153 5.2.1.1 Beschreibung des Verfahrens ................................................ 153 5.2.1.2 Ableitung der Schnittrestriktionen ......................................... 154 5.2.1.3 Auswahl einer optimalen Schnittbedingung .......................... 160 5.2.1.4 Anwendung des Verfahrens ................................................... 163 5.2.2 Das Branch and Bound-Verfahren von Dakin .............................. 169 5.2.2.1 Das Branch and Bound-Prinzip ............................................. 169 5.2.2.2 Der Ablauf des Verfahrens von Dakin ................................... 170 5.2.2.3 Rechenschritte zum Algorithmus von Dakin ......................... 177

6

Nichtlineare Optimierung .•.••.••................•.•.......•....•.•.•••.......••...••••••....•• 185 6.1 Einfiihrung .......................................................................................... 185 6.1.1 Allgemeine Formulierung eines nichtlinearen Optimierungsmodells .................................................................... 185 6.1.2 Das Problem der Programmplanung als Anwendungsbeispiel zur Nichtlinearen Optimierung...................................................... 187 6.1.3 Graphische Darstellung eines konkreten quadratischen Programmplanungsproblems ......................................................... 191 6.2 Grundlagen der Nichtlinearen Optimierung ....................................... 194 6.2.1 Klassifikation nichtlinearer Optimierungsmodelle ........................ 194 6.2.1.1 Konvexitlit von Mengen und Funktionen .............................. 194 6.2.1.2 Konvexe Optimierungsmodelle und ihre Eigenschaften ........ 200 6.2.1.3 Quadratische Optimierungsmodelle ................................. :..... 205 6.2.1.4 Zusammenfassende Klassiftkation von NLO-Modellen ........ 209 6.2.2 Optimalitlitsbedingungen: Das Kuhn-Tucker-Theorem ................ 210 6.2.2.1 Darstellung und Bedeutung der Kuhn-Tucker-Bedingungen 210 6.2.2.2 Darstellung der Kuhn-Tucker-Bedingungen am Zahlenbeispiel ............................................ ;........................... 213 6.3 Verfahren der Nichtlinearen Optimierung .......................................... 215

XII

Inhaltsverzeiclmis

6.3.1 Uberblick. ...................................................................................... 215 6.3.2 Das Verfahren von Wolfe ............................................................. 217 6.3.3 Gradientenverfahren...................................................................... 224 6.3.3.1 Einfiihrung ............................................................................. 224 6.3.3.2 Das Grundkonzept der Gradientenverfahren ......................... 227 6.3.3.3 Das Verfahren der projizierten Gradienten von Rosen .......... 229 6.3.4 Das Verfahren SUMT ................................................................... 239 Dynamische Optimierung ...................................................................... 249

7 7.1 7.2 7.3

Grundbegriffe der Dynamischen Optimierung ................................... 249 Das Produktionsglattungsproblem als Anwendungsbeispiel zur Dynamischen Optimierung ................................................................. 258 Erweiterungen ..................................................................................... 267

8

Literaturverzeichnis ............................................................................... 269

9

Sachverzeichnis ....................................................................................... 277