V CIBEM (Congresso Ibero-Americano de Educação Matemática). Porto: 17 a 22 de julho de 2005. http://www.mytwt.net/cibem5/

O ENSINO DE PROBABILIDADE COM RECURSO DA PLANILHA Lorí Viali, Dr.(*) PUCRS (Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul) Av. Ipiranga, 6681 – 90619-900 Porto Alegre – RS [email protected] - http://www.mat.pucrs.br/famat/viali/

Resumo: A planilha vem sendo cada vez mais utilizada como recurso no ensino de Estatística. No ensino de probabilidade sua utilização é mais restrita. É possível, no entanto, fazer bom uso desta ferramenta também para esta finalidade. Para isto, é necessário conhecer todas as funções e procedimentos disponíveis e principalmente as suas deficiências. Abstract: The spreadsheet is rapidly gaining popularity as a tool to teach Statistics. As o resource to teach Probability its utilization is more restrictive. However it is possibly to make a good use of this resource also with this aim. To do that is necessary know all its functions and procedures available and mainly its pitfalls. Palavras-chave: Ensino de Probabilidade, Ensino com Planilha, Análise da Planilha. 1 . INTRODUÇÃO A planilha vem ganhando cada vez mais popularidade como um recurso instrucional em laboratórios de Estatística. Além dos seus recursos típicos ela oferece uma biblioteca diversificada de funções estatísticas e probabilísticas. Além de não custar muito ela está presente em praticamente todos os computadores pessoais, sendo assim bastante provável que esteja disponível a boa parte dos alunos. Além disso, o paradigma da planilha é bem conhecido não se tendo, portanto que gastar tempo com o ensino de uma nova ferramenta de software. O domínio praticamente hegemônico de uma única marca de software conspira aqui a favor, uma vez que praticamente todos os que utilizam uma planilha provavelmente utilizam a Excel. Um problema que qualquer professor de Estatística ou Probabilidade vai enfrentar para utilizá-la com proveito é que ela não foi projetada para servir como recurso pedagógico e, especificamente para lecionar probabilidade e estatística, torna-se preciso fazer adaptações e para isto é necessário conhecer seus recursos e principalmente suas deficiências. O objetivo deste trabalho é fornecer um panorama dos recursos probabilísticos que a planilha apresenta, ilustrando com alguns exemplos de laboratórios que o autor vem utilizando. 2 . OS RECURSOS PROBABILÍSTICOS A planilha é uma boa ferramenta para o ensino de Estatística, no entanto, para ser utilizado, também, no ensino de Probabilidade é conveniente conhecer suas virtudes e (*) Professor Adjunto do Instituto de Matemática, Departamento de Estatística da UFRGS (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)

2 deficiências. Estes problemas não inviabilizam seu uso, mas comprometem seu desempenho como recurso instrucional. Dentre os problemas encontrados está à estrutura “espaguete” dos conceitos estatísticos e probabilísticos. Apresenta falta de uniformidade de notação das funções e seus parâmetros, omissão de funções importantes e ainda uma redação confusa e, algumas vezes, errada das explicações dadas no “ajuda” ou nas caixas de diálogos das funções e procedimentos. Os recursos da planilha, que são de interesse para o ensino de probabilidade univariada estão limitados ao cálculo de probabilidades ou densidades de valores de variáveis aleatórias discretas e contínuas. Ao cálculo de funções de distribuição acumuladas (FDA) para as variáveis aleatórias contínuas. O valor inverso da maioria das variáveis aleatórias contínuas disponíveis. Num curso de probabilidade básica são tradicionalmente lecionadas algumas distribuições de probabilidades discretas como a Bernoulli, a Binomial, a Hipergeométrica, a Geométrica e a Poisson. Outras tantas contínuas também são de interesse, tanto na probabilidade quanto na estatística, entre elas, tem-se a Uniforme, a Exponencial, a Normal, a Weibull, a Gama, a Beta, a Student ou t, a Qui-quadrado, e a F ou de Snedcor. Algumas destas funções não são integráveis e outras apresentam expressões que tornam o cálculo manual, ou mesmo através de calculadoras, bastante trabalhoso ou tedioso. Como a planilha apresenta os algoritmos de integração com uma alta precisão acaba apresentando uma vantagem sobre o uso de tabelas que por razões de espaço só podem apresentar um número limitado (geralmente quatro) de decimais. Já as calculadoras não apresentam estas funções ou quando podem fazê-lo dependem de bibliotecas que exigem um conhecimento sofisticado e poucos alunos acabam utilizando-as. Grande parte das disciplinas de estatística dos cursos universitários utiliza apenas probabilidade elementar. Assim, das funções disponíveis no Excel é provável que apenas três ou quatro sejam vistas na maioria dos cursos. Alguns apresentam disciplinas que utilizam apenas a distribuição normal outros a Normal mais a Binomial. Em qualquer situação a planilha será útil, pois elimina a necessidade de tabelas e apresenta um efeito colateral benéfico que é um maior conhecimento dela própria. Este recurso deve ser conhecido por qualquer graduado por imposição do mercado de trabalho. Durante todo o tempo que a planilha foi utilizada no ensino não se ouviu queixas de alunos por ter que utilizá-la, mas muitos mostraram entusiasmo em perceber que ela, também, podia ser utilizada para se aprender estatística e probabilidade. 2.1. AS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Das variáveis aleatórias discretas normalmente utilizadas em um curso de probabilidade básica a planilha Excel apresenta as seguintes: distribuição binomial negativa ou de Pascal DIST.BIN.NEG() - distribuição Hipergeométrica - DIST.HIPERGEOM() - a distribuição V CIBEM (Congresso Ibero-Americano de Educação Matemática) Porto, Portugal - 17 a 22 de julho de 2005

3 binomial - DISTRBINOM() - e a distribuição de Poisson - POISSON(). Repare-se aqui um problema com a notação destas funções. A menos que o usuário tenha sido alertado ele dificilmente perceberia que existe uma POISSON() e não uma DIST.POISSON() como seria o esperado. A figura um mostra esta distribuição, com a notação utilizada pela planilha. Repare-se que ao invés de ser colocado que x é o valor da variável tem-se que “x” é o “número de eventos” que é uma denominação bastante atípica, já que a palavra evento tem um significado bem determinado na teoria da probabilidade.

Figura 1 – Caixa de diálogo para avaliar valores da distribuição de Poison Um segundo problema que um usuário iniciante irá enfrentar é que aparentemente não existe uma regra na atribuição do parâmetro cumulativo. A Binomial e a Poisson apresentam, mas as outras duas não. Tabela 1 - Funções de probabilidade (discretas) apresentadas na planilha Excel Função

Notação Excel

Ajuda - Funções estatísticas

Binomial Negativa ou Pascal

DIST.BIN.NEG

Retorna a distribuição binomial negativa.

Hipergeométrica

DIST.HIPERGEOM

Retorna a distribuição Hipergeométrica

Binomial

DISTRBINOM

Retorna a probabilidade da distribuição binomial do termo individual

Poisson

POISSON

Retorna a distribuição Poisson.

Como ilustração, observe-se a tabela um que relaciona as quatro distribuições discretas que a planilha apresenta. Uma omissão a ser notada é a da distribuição Geométrica. Note-se que na atribuição dos nomes na lista geral das funções, além do problema com a Poisson já mencionado, as duas primeiras são referidas como “DIST.” com ponto, mas a terceira é “DISTR” com o “R” no lugar do ponto.

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4 2.2. AS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS As distribuições probabilísticas contínuas são em número de dez se contarmos a normal padrão como uma destas distribuições. As funções densidade de probabilidade consideradas são a Beta, a Exponencial, a F, a Gama, a Log-normal, a Normal, a Normal Padrão, a t, a χ2 e Weibull. A tabela dois apresenta a lista das funções com a notação utilizada pela planilha. Quatro destas funções seguem o esquema da figura dois, fornecendo um parâmetro lógico, denominado "Cumulativo", que se for "falso ou 0", a função retornará a ordenada y = f(x), isto é, a densidade no ponto "x". Se o valor do parâmetro for "verdadeiro ou 1", o retorno deverá será F(x) = ∫−x∞ f (u )du , ou seja, a área à esquerda do ponto “x”. Esta forma de apresentação é bastante conveniente, pois para cada função é possível obter o diagrama se a opção "cumulativo" for "0" ou obter áreas sob a curva (probabilidades) se a opção "cumulativo" for "1". Além de uniformizar e padronizar todas as distribuições torna-se mais conveniente e didático, pois facilita o entendimento, já que a apresentação pode ter um conteúdo visual. O problema é que o Excel segue esta linha, apenas em parte, evidenciando falta de unidade de projeto. Tabela 2 - Funções densidades contínuas apresentadas na planilha Excel Nome

Notação Excel

Ajuda - Funções Estatísticas

Beta

DISTBETA

Retorna a função densidade da probabilidade beta acumulativa.

Exponencial

DISTEXPON

Retorna a distribuição exponencial.

Gama

DISTGAMA

Retorna a distribuição gama.

Log-Normal

DIST.LOGNORMAL

Retorna a distribuição log-normal cumulativa.

Normal

DIST.NORM

Retorna a distribuição cumulativa normal.

Normal Padrão

DIST.NORMP

Retorna a distribuição cumulativa normal padrão.

Qui-Quadrado

DIST.QUI

Retorna probabilidade uni-caudal da distribuição qui-quadrada.

Snedekor

DISTF

Retorna a distribuição da probabilidade F.

Student

DISTT

Retorna a distribuição t de Student.

Weibull

WEIBULL

Retorna a distribuição de Weibull.

Note-se aqui que a Weibull apresenta o mesmo problema que a Poisson, isto é, ela é referenciada por Weibull ao invés do esperado Dist.Weibull como as demais. O maior problema que se enfrenta com as funções contínuas é a falta de uniformidade de apresentação de resultados e de entrada de dados. A distribuição normal e a normal reduzida retornam a função acumulada (área à esquerda de “x”), isto é, F(x) e Φ(z). A distribuição quiquadrado e a F (Snedcor) retornam 1 - F(x), isto é, a área à direita de "x".

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5

Figura 2 - Caixa de diálogo para avaliar valores da curva qui-quadrado Na distribuição "t" ou de Student o parâmetro "cumulativo" útil para desenhar a distribuição foi substituído pelo parâmetro "caudas". Se "caudas = 1" o retorno será a a "distribuição uni-caudal" e se "caudas = 2" o retorno será "distribuição bi-caudal". Aqui está um dos mais graves erros de projeto desta ferramenta. Ao invés de ser fornecido o valor da função no ponto “x”, que seria útil para ilustrar o seu formato os programadores acabaram por fornecer uma simples multiplicação por 2. Por exemplo, suponha-se que x = 1,96 e que o grau se liberdade ν seja 100. Se o parâmetro “caudas” for “1” o retorno será F(1,96) = 5%. Se o parâmetro “caudas” for alterado para “2” o retorno será F(1,96) = 10%. Um outro problema, igualmente grave, do ponto de vista didático é que a planilha não retorna valores negativos. Se for solicitado, por exemplo, F(-2), isto é, a área à esquerda do ponto -2 que vale aproximadamente 0,0273 = 2,73% o retorno será uma mensagem de erro (#NÚM!). Isto é compreensível nas tabelas, por razões óbvias, mas na planilha não há motivos que justifiquem esta omissão. 2.3. As inversas A planilha apresenta um total de dez distribuições contínuas. Entretanto, apenas sete foram contempladas com algoritmos de inversão. A Beta, a Exponencial e a Weibull não mereceram algoritmos de inversão. A tabela três apresenta a lista das inversas bem como a notação que a planilha utiliza. Nem todas as densidades de probabilidade inversa tem a mesma importância na inferência estatística, sendo que as mais utilizadas são a Normal, a t, a Quiquadrado e a F. No entanto, por coerência, seria esperado que todas as que foram incluídas na planilha tivessem a inversa considerada, mesmo porque ela é útil para simular valores que se comportam de acordo com o modelo. V CIBEM (Congresso Ibero-Americano de Educação Matemática) Porto, Portugal - 17 a 22 de julho de 2005

6 Tabela 3 - Funções inversas de variáveis contínuas apresentadas na planilha Excel Nome

Notação Excel

Ajuda - Funções Estatísticas

F inversa

INVF

Retorna o inverso da distribuição da probabilidade F.

Gama inversa

INVGAMA

Retorna o inverso da distribuição cumulativa gama.

Log-normal inversa

INVLOG

Retorna o inverso de uma distribuição log-normal.

Normal Inversa

INV.NORM

Retorna o inverso da distribuição cumulativa normal.

Normal padrão inversa INV.NORMP

Retorna o inverso da distribuição cumulativa normal padrão.

Qui-quadrado inversa

INV.QUI

Retorna o inverso da probabilidade uni-caudal da distribuição quiquadrada.

T inversa

INVT

Retorna o inverso da distribuição t de Student.

Dada uma probabilidade α = P(X ≤ x) = F(x), isto é, a função de distribuição acumulada no ponto x, então o resultado inverso é F-1[F(x)] = F-1[P(X ≤ x)] ou x = F-1[P(X ≤ x)] = F-1(α). Ou seja, dada uma probabilidade α = P(X ≤ x) a função inversa fornece o valor de "x" que satisfaz esta condição. Assim se a função for a Normal padrão tem-se, por exemplo, que Φ(1) = P(Z ≤ 1) = 0,8413 = 84,13% e então Φ-1[Φ(1)] = Φ-1[P(Z ≤ 1)] = Φ-1(0,8413) = 1. Isto é o que deveria ocorrere, entretanto, este nem sempre é o caso. Assim se for desejado o inverso da distribuição t, somente se irá obter o inverso de um valor absoluto, isto é, das áreas das duas caudas somadas, o que é um contra-senso. Isto é, a função INVT(95%, 1) = 0,0787, não é invertida por DISTT(0,0787; 1; 1) = 47,50%, mas apenas por DISTT(0,0787; 1; 2) = 95%. Isto se diferencia de todas as demais operações de inversão que são sempre unilaterais. Imagine-se o efeito disto em usuários inexperientes, pois mesmo, alguém já com boa prática pode, facilmente, ser conduzido ao erro. Quanto à distribuição Qui-Quadrado, ela de fato apresenta uma operação de inversão, mas, aqui, o truque é diferente, pois a área fornecida, ao contrário da FD (à esquerda do valor x) é a da direita de x, também levando invariavelmente a confusões dado que este modelo é assimétrico. O mesmo problema ocorre com a função F. Assim se realizarmos no Excel a seguinte operação: INV.QUI(95%; 1) = 0,0039. Este valor (0,0039) não é como seria o esperado o valor que reparte a distribuição em 95% dos valores à esquerda e 5% à direita e sim o contrário. Para alguém experiente o erro fica evidente, mas para os alunos que normalmente apresentam muitas dificuldades para entender estes conceitos, ele passará facilmente sem ser notado. 3 . AS VIRTUDES DA PLANILHA A principal virtude da utilização da planilha Excel no ensino de Estatística está na interface bem conhecida pelos alunos e na sua grande base instalada, isto é, dificilmente algum V CIBEM (Congresso Ibero-Americano de Educação Matemática) Porto, Portugal - 17 a 22 de julho de 2005

7 computador que utilize o sistema operacional Windows deixará de ter instalado o pacote Office que inclui a planilha. Para lecionar estatística básica para a maioria dos cursos universitários os recursos existentes na planilha são suficientes. O fato de a planilha aceitar a digitação de fórmulas também ajuda, pois as omissões podem ser corrigidas em alguns casos. A facilidade de aprender a manuseá-la com razoável competência é outro ponto a favor. O fato do paradigma da planilha ser conhecido por boa parte dos alunos exime o professor do ônus de investir uma quantidade significativa de um tempo escasso para treinar seus alunos no uso de um novo recurso computacional. Este não é o seu objetivo e geralmente nem isto é possível. Os conteúdos das disciplinas de Probabilidade e Estatística são extensos e o número de horas disponíveis não é suficiente para cobrir todo o conteúdo, então é quase impraticável se gastar uma ou duas semanas (se isto for suficiente) para ensinar um novo software (VIALI, 2002). Aqueles alunos que, ainda, não a conhecem, normalmente, não reagem negativamente ao ter que aprendê-la, pois sabem que, cedo ou tarde eles, terão que fazer isto por uma imposição do mercado de trabalho, o mesmo já não se daria com um software específico. Com o auxílio da planilha é possível ilustrar idéias e conceitos que outra forma seria difícil ou praticamente impossível. Os exemplos utilizados podem ser reais ou bem próximos disso o que em geral não ocorre com os apresentados nas aulas expositivas tradicionais. A visualização da distribuição é útil para facilitar sua compreensão. Com a planilha é possível se fazer em poucos minutos diagramas ou gráficos que mesmo com uma calculadora se levaria muito mais tempo. Se ganha em reflexão o que de outra forma seria gasto em cálculos braçais tediosos que nada agregam a compreensão, mas servem apenas para reforçar o estereótipo de que se está a lidar com uma disciplina tediosa. A manipulação dos parâmetros de uma distribuição é um recurso valioso para se alcançar um melhor entendimento do fenômeno em estudo e para a retenção do conhecimento a longo prazo. Quanto mais ele for praticado maior será o domínio dos conceitos apresentados. As características dos modelos discretos como a expectância, a variância, o desvio padrão, o valor modal e mediano pode ser facilmente determinados, não importa a quantidade, desde que finita, de valores que a variável apresente. É possível fazer explorações dos reflexos que a alteração dos valores dos parâmetros causa na tendência central e variabilidade das variáveis tanto as que já existem na planilha quanto em outras que podem ser programadas a qualquer tempo. 4 . EXEMPLOS DE UTILIZAÇÃO Os laboratórios computacionais podem ser utilizados com regularidade para praticar e obter uma retenção mais aprofundada dos conceitos probabilísticos. Praticar no sentido de que o V CIBEM (Congresso Ibero-Americano de Educação Matemática) Porto, Portugal - 17 a 22 de julho de 2005

8 aluno deixa de ser o sujeito passivo do processo e se envolve ativamente na exploração dos modelos e conceitos probabilísticos. O primeiro exemplo apresentado ilustra o paralelo existente entre a definição clássica de Probabilidade como a dada por Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827) e a freqüencial de Richard Martin Edler von Mises (1883-1953). Esta dicotomia nem sempre é entendida pelos alunos [ORTIZ, 1996]. Acredito que através deste exemplo a compreensão é mais facilmente obtida. O segundo exemplo ilustra a distribuição Binomial, explora seus parâmetros e suas características. O terceiro ilustra a distribuição normal e suas propriedades. A generalização para os demais modelos é simples e direta. 4.1. Conceito clássico versus freqüencial O conceito freqüencial de probabilidade nem sempre é bem compreendido pelos alunos, pois envolve passagem ao limite e desta forma não permite visualização e também não é totalmente intuitivo. Para ilustrar a convergência das freqüências relativas é feito uso da função ALEATÓRIO(). Esta função não tem parâmetros e gera valores de uma uniforme no intervalo [0; 1]. No exemplo, figura três, ela é utilizada para simular o lançamento de uma moeda honesta. No Excel ela deve ser procurada na categoria “Matemática e Trigonométrica” e não na categoria “Estatística”

combinada

com

a

função

lógica

SE(teste_lógico;

valor_se_verdadeiro;

valor_se_falso) da seguinte forma: SE(ALEATÓRIO() > 0,5; "Cara"; "Coroa"). Para facilitar os cálculos pode-se colocar Cara = 1 e Coroa = 0 ou vice-versa.

Figura 3 – Ilustração do laboratório: clássico versus freqüencial Para ilustrar o conceito freqüencial de probabilidade pode-se simular o lançamento de uma moeda, por exemplo, 500 vezes e calcular as freqüências relativas e então comparar o resultado com a probabilidade obtida pelo conceito clássico que é 50%. Fazendo um gráfico destes resultados é fácil perceber que à medida que o número de experiências aumenta a

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9 freqüência relativa (probabilidade empírica) tende a variar cada vez menos se aproximando do valor clássico que é 50%. A figura quatro ilustra este experimento.

Figura 4 – Ilustração do conceito clássico versus freqüencial Deve-se observar que a função ALEATÓRIO() é caracterizada como volátil pelo Excel, isto significa que cada vez que for dado entrada em alguma célula da planilha todos os valores serão recalculados. Desta forma ao invés de um exemplo estático que não muda, tem-se um exemplo dinâmico que vai se alterar muitas vezes mostrando que não importa a seqüência gerada a convergência sempre vai ocorrer. 4.2. Explorando modelos discretos A vantagem da planilha neste tipo de conteúdo é tirar partido do cálculo das probabilidades para alguns modelos discretos. Este recurso possibilita que se apresentem exemplos com um grande número de valores, tornando-os mais próximos de modelos reais. No exemplo estão ilustrados dois modelos Binomiais. O primeiro com parâmetros n = 30 e p = 0,80 e o segundo com parâmetros n = 20 e p = 0,50. Estes modelos estão aqui não por seu significado prático, mas sim para ilustrar as variações no modelo e suas características com as alterações dos parâmetros. Como pode ser visto na figura cinco, solicita-se que os alunos determinem as distribuições e também às representem graficamente. Esta representação é tanto da função de probabilidade (fp) quanto da função de distribuição acumulada (fda). O propósito é tratar todos os modelos de uma mesma maneira e mostrar o valor da função acumulada como recurso para abreviar os cálculos tanto manuais quanto computacionais.

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Figura 5 – Ilustração de laboratório envolvendo modelos discretos Além da representação gráfica dos dois modelos, poderiam ser três ou mais dependendo do tempo disponível, pode-se imediatamente calcular a expectância a variância, o desvio padrão bem como o valor modal e mediano. Outras características podem ser facilmente adicionadas dependendo da profundidade que se deseja dar ao assunto. 0,20

1,00

B(30; 0,80)

0,15 0,10

B(30; 0,80)

0,50

0,05 0,00 0

5

10

15

20

25

0,20

30

B(20; 0,50)

0,15 0,10

0,00 0

5

1,00

10

15

20

25

30

B(20; 0,50)

0,50

0,05 0,00 0

5

10

15

20

0,00 0

5

10

15

20

Figura 6 – Diagramas da fp e da fda da B(30; 0,80) e da B(20; 0,50) A figura seis apresenta os diagramas dos dois modelos binomiais considerados no laboratório sobre modelos discretos. Este tipo de exercício é repetido para os demais modelos. Dependendo do curso e da disciplina algumas adaptações se farão necessárias, mas a idéia básica pode ser aproveitada. 4.3. Explorando modelos contínuos A exploração dos modelos contínuos, figura sete, pode ser feita considerando o que foi feito com os discretos. Neste caso é conveniente mostrar os pontos de contato e principalmente mostrar as diferenças, no cálculo das probabilidades, entre os dois casos. Os modelos contínuos apresentam a particularidade de que o cálculo da probabilidade não é mais simplesmente a V CIBEM (Congresso Ibero-Americano de Educação Matemática) Porto, Portugal - 17 a 22 de julho de 2005

11 função em cada ponto, mas o cálculo de uma área. Esta integração normalmente deve ser feita numericamente uma vez que vários dos modelos disponíveis na planilha e úteis para a Estatística não apresentam expressões analíticas para a função acumulada.

Figura 7 – Ilustração de exploração de modelos contínuos Aqui se tem uma boa oportunidade para mostrar aos alunos como construir as tabelas que são encontradas em praticamente todos os textos didáticos. Eu tenho feito este tipo de exercício e os resultados são animadores, pois possibilita que o aluno perceba o processo como um todo e não que apenas memorize como ler certo valor em uma lista de números que muitas vezes não lhe dizem nada. N(0; 1)

0,80

1,00

N(0; 0,5) 0,60

N(1: 2)

0,60

N(2; 2)

0,40

0,80

0,20

N(0; 1)

0,40

N(0: 0,5)

0,20

N(1; 2) N(2; 2)

0,00

0,00 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Figura 8 – Alguns diagramas da fdp e da FDA normal Neste tipo de laboratório aproveita-se para explorar o uso inverso da tabela, isto é, dada uma determinada área α qual é o valor que de “x” tal que P(X ≤ x ) = α. Este tipo de compreensão é básico para o entendimento da estimação e do teste de hipóteses. A figura oito ilustra alguns diagramas da função densidade de probabilidade (fdp) e da função de distribuição acumulada (fda) do modelo normal. Estes diagramas, além de ilustrar o

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12 modelo, servem para mostrar que o chavão criado de que a normal é uma curva em forma de sino pode ser verdadeiro para um tipo bem específico e com as escalas adequadas. 5 . CONCLUSÃO Lecionar Estatística, como de resto disciplinas da área de Matemática, é uma tarefa difícil por vários motivos. Geralmente estas disciplinas envolvem abstrações que não encontram suporte em recursos visuais. Os alunos apresentam, quando não uma aversão completa pela disciplina, um desinteresse que dificulta tanto o relacionamento professor aluno quanto a aprendizagem. Melhorar este quadro, tornando o ensino mais visual, mais atrativo e mais abrangente, envolvendo perspectivas globais pode ser feito. Uma das maneiras para se atingir este objetivo é mudar substancialmente a maneira de apresentar a disciplina de probabilidade e estatística, através da eliminação do trabalho manual improdutivo que pode ser obtido através do uso da planilha. O ganho de tempo será utilizado para melhorar a apresentação e a discussão dos conceitos e para reforçar pontos obscuros ou difíceis. Obviamente as falhas apontadas aqui não desmerecem as muitas virtudes deste recurso computacional. Mas se fossem corrigidas ou minimizadas certamente tornariam o recurso não apenas mais prazeroso de ser utilizado com esta finalidade, mas o tornariam, ainda, mais produtivo e eficiente. A planilha pela sua universalidade pode cumprir com êxito o papel de um bom recurso didático no ensino de estatística e principalmente de probabilidade. Para tanto, bastaria que os projetistas, tradutores e programadores envolvidos tivessem tido um pouco mais de cuidado com as funções específicas. Espera-se que com este trabalho possamos estar contribuindo para que isto venha a acontecer numa próxima versão. 6 . REFERÊNCIAS KONOLD, C. Confessions of a coin flipper and would-be instructor. The American Statistician, v. 49, n. 2, p. 203-209, 1995. MICROSOFT. Microsoft Office Excel 2003, Ajuda On-line. ORTIZ, Juan Jesús, BATANERO, Carmen, SERRANO, Luis. Las frecuencias relativas y sus propiedades en los textos españoles de bachillerato. EMA, 2(1), 29-48, 1996. POWER, Daniel J. A Brief History of Spreadsheets. DSSResources.COM, World Wide Web, http://dssresources.com/history/sshistory.html, version 3.6, 30/08/2004. VIALI, Lorí. Using Spreadsheets and Simulation To Enhance Teaching Probability And Statistics To Engineering Students. ICEE 2002 (International Conference on Engineering Education). Manchester, England. August 18 to 22/2002.

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