NOTAS SOBRE LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Alberto Gómez-Lozano Universidad Cooperativa de Colombia Sede Ibagué

Documentos de docencia | Course Work

coursework.ucc.edu.co No. 5. Nov, 2015 http://dx.doi.org/10.16925/greylit.1162

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ACERCA DEL AUTOR Alberto Gómez-Lozano es magíster en Ciencias de la Educación con mención en docencia e investigación universitaria, profesor asistente del programa de Ingeniería Civil, Universidad Cooperativa de Colombia, sede Ibagué, Colombia. Correo-e: [email protected]

CÓMO CITAR ESTE DOCUMENTO Gómez-Lozano, A. (2015). Notas sobre métodos de integración. (Documento de docencia No. 5). Bogotá: Ediciones Universidad Cooperativa de Colombia. doi: http://dx.doi.org/10.16925/greylit.1162

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RESUMEN

El objetivo del presente documento es facilitar el estudio de las técnicas de integración para resolver una integral compleja por otra más sencilla y fácil de identificar. Es importante contar con conceptos previos tales como; las operaciones básicas con expresiones algebraicas y de factorización, limites, derivadas y reglas de derivación, integración directa, interpretaciones y aplicaciones. Los conceptos a desarrollar empiezan con la integración por sustitución algebraica, Integración por sustitución trigonométrica, Integración por partes y termina con la Integración por fracciones parciales. No obstante el presente documento sirve para seleccionar el método adecuado para la solución de un problema específico.

Palabras clave: Métodos de integración, Cálculo integral, sustitución algebraica, sustitución trigonométrica, partes y fracciones parciales.

TABLA DE CONTENIDO

1. Introducción  5 2. Objetivo general  6 3. Método de sustitución algebraica  6 4. Método de integración por partes  10 5. Método de sustitución trigronométrica  16 5.1. Algunas identidades fundamentales de trigonometría  18 6. Método de fracciones parciales  21 7. Aplicación  26 8. Conclusión  26

1. INTRODUCCIÓN

E

l presente módulo está dirigido en especial a los estudiantes de las diferentes ingenierías. El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a. C.), matemático griego de la Antigüedad que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. Después de Arquímedes vinieron otros estudiosos como Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Louis Cauchy, y en la actualidad se utilizan los métodos, las técnicas y las herramientas para hacer más rápida y práctica la enseñanza y comprensión de la integral en la aplicación del desarrollo de problemas en la ingeniería, como por ejemplo áreas y volúmenes; centro de masa; momentos; longitud de una onda; ecuaciones de mecánica de fluidos que rigen la continuidad, y ecuaciones diferenciales, entre otros. El presente modulo trata sobre los métodos de integración; sin embargo, para aprender de estos conceptos es fundamental conocer y manejar tanto las operaciones básicas con expresiones algebraicas y factorización, como los conceptos de límites, derivadas y reglas de derivación, ya que a toda regla de derivación le corresponde una de integración, con sus diferentes interpretaciones, aplicaciones e integrales directas. Las principales técnicas de integración que se estudiarán y que se refieren al estudio de los métodos sistemáticos para hallar una integral ya conocida —como por ejemplo una integral de la tabla— o bien para reducirla a una más sencilla, son las cuatro siguientes: 1. Integración por sustitución algebraica: método basado en la regla de la cadena. 2. Integración por sustitución trigonométrica: método basado en la integración de cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas. 3. Integración por partes: método basado en la diferenciación de un producto. 4. Integración por fracciones parciales: método basado en cocientes de polinomios. En cada uno de los métodos de integración se presentan ejercicios simples pero ilustrativos que nos permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad.

5

Notas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

2. OBJETIVO GENERAL Identificar integrales definidas e indefinidas aplicando los diferentes métodos de integración.

3. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA El método de sustitución nos permite cambiar una integral compleja por otra más sencilla y fácil de identificar. Si u  g (x) es una función diferenciable cuyo rango o imagen es un intervalo I y f es continua en I , entonces

 f ( g ( x)) g ' ( x)dx   f (u)du

En los siguientes ejemplos se tratará de reducir el grado de dificultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integral resultante sea más fácil de integrar o sea una integral conocida. Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidad de éxito se debe identificar en el integrando a una función 𝑢 y a 𝑢′ su derivada. Ejemplo 1



8x

dx 3  4x 2 A la expresión algebraica que está dentro del radical se sustituye por la variable Hallar

decir, u  3  4 x

2

Luego se deriva para hallar a 𝑢′ obteniendo: Después se despeja dx :

dx  

du   8x dx

du 8x

Luego se reemplaza en la integral original

8x



3  4x 2

dx  

8 x  du    1  8 x   u2

 1 u 2  1    1   2 du   8 u du   8 c Se simplifica y se integra:  8 1 1 u2 2



 16





1 2 2 3  4x



 c  16 3  4 x 2  c

6

u , es

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

Ejemplo 2 2

 1  1  Hallar  1    2  dt  t  t  A la expresión algebraica que está dentro del paréntesis que tiene el exponente -2 se 1 sustituye por la variable u . Es decir, u  1 . t du 1 Luego se deriva u :  2 dt t Se despeja

dt : dt   t 2 du

Ahora se reemplaza en la integral original:

 1  1  t 

2

1 2  2  dt   u  t 

 

1 2  2   t du t 

Se simplifica y se integra, obteniendo: 1  u 1   u  du   c  c  1 u 2

1 1

1 t

c 

t  c como respuesta. t 1

Ejemplo 3

Hallar



1

0





x cos  x 2 dx

La expresión algebraica que esta como ángulo de la función trigonométrica se sustituye por

du   2 x  dx du Luego se despeja dx : dx  2x

u

y se deriva: u   x

2

1

Y se reemplaza en la integral



0

x cos u 

du 1  2x 2

=

 cos u du 1

0

 

1 1 sen  x 2 0 2

Primero se evalúa la variable por el límite superior de la integral y luego por el límite inferior, es decir primero por 1 y después por 0, restando estos dos resultados: 7

Notas sobre los métodos de integración







Notas de clase





 1   1   1   1  sen  12    sen  0 2    sen     sen 0  0   2   2   2   2 

Ejemplo 4

Hallar

y3  3  y 2 dy

La expresión algebraica que está dentro del paréntesis que tiene exponente 2 se sustituye por

u : u  3 y

Luego se deriva

du  1 dy

Se despeja dy y y : dy   du y  3  u Después se reemplaza en la integral original:

y3 3u 3 6u   dy   du    3  y 2  u2  u 2 du Se simplifica y se integra, obteniendo:



 6 u 2 du 



1 u 1 6 du   6  ln u  c   ln 3  y  c u 1 3 y

ACTIVIDAD Halle las siguientes integrales:





1. 2.

 x

3.

 cos (4 ) d  4 sen 4   c

4.

 y csc(3 y

2

 4x  4

4

3 2 x 9 3 c 8

2 3  x x  9 dx 

 3x  6 dx  149 x 4 3

2

 4x  4



7 3

1

2

) cot(3 y 2 ) dy  

 

1 csc 3 y 2  c 6 8

c

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

5. 6. 7.

3 2

1 dx 1     2 1    c 2 3x x  3x  1 2  tan 2 x cot 2 x dx  2 x 4 1 y3 3 3  18 3  y  3  c   dy  3  y 2  4 3  y  3



1

3

5  t 2 1 2  1  2  dt   t   2  c 5 t  t 

8.

 1 2   t  t 

9.

 cos

10.

2 12 x 1  6 x dx 

senx dx  sec x  c 2 x 3 2  1  6x 2  2  c 3 3

1 dt 2 1  2  1 2     1  c t 3 t  t

11.



12.

2  x cos ( x )dx 



 

1 sen x 2  c 2 2

13.

 sen x  cos x

14.



2 0

sen x x

dx 

dx   2 cos

2 c 2

x c

15.

ex x  4  e x dx  ln 4  e  c

16.

 2 t cos 4t

1

2

dt 

 

1 sen 4t 2  c 16

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA L. Leithold, El cálculo, 7ª. ed. México: Printed Oxford University Press - Harla México, S. A. de C. V., 1998, p. 310. E. Purcell, D. Verberg y Rigdon, S. Cálculo, 9ª. ed. México: Pearson Educación, 2007, p. 243.

9

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

4. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES El método de integración por partes es útil para hallar la antiderivada en muchos de los casos en que una función está dada como el producto de otras dos funciones

f ( x)  x 2 sen 4 x . El método es un resultado de la derivada de un producto:

d (uv)  udv  vdu integrando  d (uv)   udv   vdu  uv   udv   vdu  c por consiguiente despejando se obtiene la fórmula para este método:

 udv  vu   vdu El nombre de este método obedece a que se tiene que separar el integrando en dos partes, una de las cuales se iguala a u y la otra junto con dx se iguala a dv . No se puede dar una instrucción general para la elección de estos factores; sin embargo es útil seguir los siguientes tres criterios:  La parte que se iguala a dv debe ser fácil de integrar.  La integral  vdu no debe ser más complicada que la integración  udv .  Cuando la expresión para integrar es un producto, por lo general es mejor elegir la de apariencia más complicada (siempre que se pueda integrar), como dv . Cuando se usa esta fórmula la constante de integración solo aparece en la respuesta final y no en la integral antes de hacer la sustitución. Ejemplo 1 Hallar

 x sec x tan x dx

Por lo general la función trigonométrica es el dv . Se sustituye

ux

y dv  sec x tan x dx

ux du  1  du  dx dx

dv  sec x tan x

v  sec x

Reemplazando en la expresión de integración por partes, se obtiene:

 x sec x tan x dx  x sec x  ln sec x  tan x  c 10

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

Ejemplo 2 Hallar

e

x

sen x dx

x Se sustituye a u  e y dv  senx dx

u  ex

dv  senx dx

du  e x  du  e x dx dx

v   cos x

Reemplazando en la expresión de integración por partes, se obtiene:

 e sen x dx   e x

x

cos x  e x cos x dx  c 1



Como se puede observar en la expresión anterior, queda una integral que también es necesario que resolver por partes. Realizando el mismo procedimiento:

e

x

cos x dx

Se sustituye a u  e y dv  cos x dx x

dv  cos x dx u  ex du v  senx  e x  du  e x dx dx x x x  e cos x dx  e sen x   e sen x dx  c Al reemplazar esta expresión en la expresión (1) , se obtiene:

 e sen x dx   e  e sen x dx   e x

x

x

x





cos x  e x senx   e x senx dx  c cos x  e x sen x   e x sen x dx  c

Cuando la misma integral queda en el lado izquierdo de la igualdad con signo menos, al transponerla para el otro lado cambia de signo, lo cual permite sumarlas:

 e sen x dx   e sen x dx   e x

x

x

cos x e x sen x  c

11

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 𝑒𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑐 = 2

Ejemplo 3

Hallar



 2 0

x sen2 x dx

Se sustituye

ux

y dv  sen 2 x

ux

dv  sen 2 x dx

du  x  du  dx dx

v

1 cos 2 x 2

Reemplazando en la expresión de integración por partes, se obtiene:





x sen 2 x dx  

2 0



x 1 cos 2 x 2  2 0 2





2 0

cos 2 x dx (1)

Como se puede observar en la expresión anterior, queda una integral que es necesario resolverla por sustitución: 1 2





2 0

cos 2 x dx

u  2x



du 1  2  sen (2 x) 2 dx 4 0

Al reemplazar en (1), se obtiene:



 2 0

x sen 2 x dx  



x 1 cos 2 x  sen (2 x) 2 2 4 0

Se evalúa la variable

x por 

2

y luego por 0 y se restan estos dos resultados, lo cual da

como respuesta:

12

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

      1        2 cos 2    sen 2      0 cos 20  1 sen 20    0 4 4  2 4 2  0      Ejemplo 4 Hallar

 cos

x dx

Se sustituye u  cos x y dv  dx

dv  dx

u  cos x du  

1 2 x

vx

sen x dx

Reemplazando en la expresión de integración por partes, se obtiene:



  1 cos x dx  x cos x  x   sen x  dx  2 x  1  x cos x  x sen x dx 2





(1)

Se emplea el método de integración por sustitución para desarrollar la integral 1 x sen x dx 2

w x

w2  x

Se deriva

dw 1 y se despeja dx , obteniendo: dx  2 x dw  dx 2 x

Reemplazando se tiene que: 1 1 x sen x dx   x sen w 2 x dw  2 2   x sen w dw   w 2 sen w dw

(2)

13

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

Resulta otra integral por partes, la cual se resuelve de la misma manera:

w

2

sen w dw

dv  senw dw v   cos w

u  w2 du  2w dw

w

2

sen w dw   w2 cos w   2w cos w dw

(3)

Nuevamente queda otra integral por partes para resolver:

 2w cos w dw u  2w

dv  cos w dw

du  2 dw

v  senw

 2w cos w dw  2w sen w   2senw dw  2w senw  2 cos w  c Se reemplaza este resultado en la ecuación (3):

w

2

sen w dw   w 2 cos w   2w cos w dw   x cos x  2 x sen x  2 cos x

La ecuación (2) queda así: 1 1 x sen x dx   x sen w 2 x dw  2 2   x cos x  2 x sen x  2 cos x

Por último se reemplaza en la ecuación (1):

1 x sen x dx 2

 cos

x dx  x cos x 

 cos

x dx  x cos x  x cos x  2 x sen x  2 cos x  c  2 x sen x  2 cos x  c 14

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

ACTIVIDAD Resuelva las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:

1 x x2 cos 4 x  sen 4 x  cos 4 x  c 32 8 4

1.

2  x sen 4 x dx 

2.

 ln x 

3.

x e

4.

 sen ln x dx  2 senln x  cosln x  c

2

dx  x ln x   2 x ln x  2 x  c 2

dx  x 2e x  2 x e x  2e x  c

2 x

x

6.

1 x e senx  cos x   c 2  x sec x tanx dx  x sec x  ln sec x  tanx  c

7.

 ln 5x dx  x ln 5x  x  c

5.

8.

e



x

senx dx 

ln t 2 t

1 dt  ln 3 t  c 3

x ex

9.

 x  1

10.

 cos

11.



12.



2

ex dx  c x 1

x dx  2 x sen x  2 cos x  c

 2 0 1 0

x sen2 x dx 



4 x3 1 dx    2  2  3 x 2 1





BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA L. Leithold, El cálculo. 7ª. ed. México: Printed Oxford University Press-Harla México, S. A. de C. V. 1998, p. 545. E. Purcell, D. Verberg y S. Rigdon, Cálculo, 9ª. ed. México: Pearson Educación, 2007, p. 553.

15

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

5. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA En esta sección se estudiarán sustituciones que implican funciones trigonométricas que conducen a integrales trigonométricas. Se mostrará con tres casos como el cambio de variable donde a  0

a2  x2

a2  x2

u 2  x2

La mejor manera de efectuar la integración por sustitución trigonométricas es eliminando el radical.

Ejemplo 1 3 

Hallar



x

dx x

2

9 x

2

9 x

sen  2

x 3



x  3 sen

Se busca una expresión para cada uno de los valores del integrando, de acuerdo con el

9  x2

triángulo correspondiente: dx, x 2 , dx  3 cos  d x 2  9 sen 2

9  x2



9  9sen2





9 1  sen 2





9 cos 2 

 3 cos 

Estos valores se remplazan en la integral, se simplifica y se integra, obteniendo: 3 cos  d dx  9sen 2 3sen  x2 9  x2



=





1 𝑑𝜃 1 ∫ = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 2 9 𝑠𝑒𝑛 𝜃 9

16

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

x

dx 2

x

9  x2 dx

2

9  x2



1 cot   c 9



cot  

en el triangulo

9  x2 x

9  x2 c 9x

Ejemplo 2 Hallar dx



x

2



1

12  x 2

3 2

tan  

x

x  x  tan  1

1 Se busca una expresión para cada uno de los valores del integrando, de acuerdo con el triángulo correspondiente: dx, dx  sec 2 

x

2



1

3 2



 x  1

3

2

 x 1   tan  1   sec    sec 

x 2  tan 2 

3

2

3

2

2

3

3

Estos valores se remplazan en la integral, se simplifica y se integra, obteniendo: sec 2  d d dx =  2 3  sec 3    sec    cos  d  sen   c x  1 2 En el triangulo sen 

x 1 x

2





dx

x

2



1

3 2



x 1x2

c

ACTIVIDAD Resuelva las siguientes integrales utilizando el método de integración de funciones trigonométricas: 1. 2.

x x

dx x2  4 dx x2  4



1 ln 2

x2  4  2 c x



1 ln 2

x2  4  2 c x

17

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

3. 4.





x x  25 2

dx  x 2  25  c

dx

4 x

2

9





3 2

x 9 4x 2  9

c

5.



9  x2 9  x2 x dx    sen 1  c 2 x 3 x

6.



x2 3 x dx  x 2  3  3 sec 1 c x 3

5.1. ALGUNAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES DE TRIGONOMETRÍA 1. sen x csc x  1 5. cot x 

2. tan x cot x  1

cos x senx

6. sec x 

1 cos x

senx cos x

3. cos x sec x  1

4. tan x 

7. csc x  1

8. cot x  1

sen x

tan x

9. sen u  v   sen u cos v  cos u sen v

10. cos u  v  cos u cos v  senu senv

11. senu  v   senu cos v  cos u senv

12. cos u  v  cos u cos v  senu senv

2 2 13. sen u  cos u  1

14. tan 2u  1  sec2 u

2 2 15. cot u  1  csc u

16. 1  cos u  2 sen 2 u

17. 1  cos u  2 cos 2 u

18. sen 2u  2 sen u cos u

19. cos 2u  cos 2 u  sen 2 u

20. sen 2 u  1 1  cos 2u 

21. cos 2 u 

2

2

2

22. tan 2u  1  cos 2u

1  cos 2u

23. sen Au cos Bu 

1 sen  A  B u  sen  A  B u 2

1 cos  A  B  u  cos  A  B  u  2 1 25. cos Au cos Bu  cos  A  B  u  cos  A  B  u  2 1 26. sen Ax cos Bx  sen  A  B x  sen  A  B  x 2 24. sen Au senBu 

18

1  1  cos 2u  2

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

Ejemplo 3 Hallar:



cos 3 x senx dx





Se descompone cos x  cos x cos x  1  sen x cos x 3

2

2

Se toma a u la función trigonométrica que tiene el exponente 2 y la derivamos: du du u  sen x  cos x dx  dx cos x Se simplifica y se integra, obteniendo:

 cos  cos





x senx dx   1  sen2 x cos x sen xdx

3





1 2

1 2

5 2

x senx dx   1  u 2 u du   u du   u du 

3

3  cos x sen x dx 

3 2

7 2

u u  c 3 7 2 2

3 7 2 sen x 2  2 sen x 2  c 3 7

Ejemplo 4 Hallar:

 tan

3

x sec3 x dx





Se descompone tan3 x  tan 2 x . tan x  sec 2 x  1 . tan x Se toma u la función trigonométrica que tiene exponente 2 y se deriva: du du u  sec x  sec x tan x dx  dx sec x tan x Se remplaza en la integral:

 tan

3

x sec3 x dx   sec2 x  1 . tan x sec3 x

Se simplifica y se integra, obteniendo:

 tan

3





du sec x tan x





x sec3 x dx   sec2 x  1 sec2 x du   u 2  1 u 2 du

19

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

 tan

3

x sec x dx   3





u5 u3 sec5 x sec3 x u  u du    c   c 5 3 5 3 4

2

ACTIVIDAD Resuelva las siguientes integrales:

1

1

1.

 cos (3x )dx  3 sen (3x)  9 sen (3x)  c

2.

 sen(3 y) cos(5 y )dy   16 cos (8 y)  4 cos(2 y)  c

3

3

1



1 12

3.



4.

 sen ( x) dx  3 cos ( x)  cos( x)  c

5. 6. 7.

2 0

sen3 (t ) cos 3 (t )dt  1

3

1

3

1 1 1 ( x) dx  x  sen ( x)  c 2 2 2 3 7 2 2 3 2  2 c     cos x senx dx  sen x sen x  3 7

 cos

2

sec 5 x sec 3 x  tan x sec x dx  5  3  c 3

3

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA L. Leithold, El cálculo, 7ª. ed. México: Printed Oxford University Press-Harla México, S.A. de C. V., 1998, p. 555. E. Purcell, D. Verberg y S. Rigdon, Cálculo, 9ª. ed. México: Pearson Educación, 2007, p. 393.

20

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

6. MÉTODO FRACCIONES PARCIALES Es el proceso de descomponer una fracción en otras más simples recibe el nombre de descomposición en fracciones parciales. Existen dos tipos de fracciones:  Fracciones impropias: cuando el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el grado del polinomio del denominador.  Fracciones propias: cuando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Fracciones impropias: siempre que se presente una integral con esta característica se debe efectuar la división entre polinomios y luego separar las integrales. Ejemplo 1

Hallar



7 

  3  x  2  dx

Se realiza la división de polinomios 3x  1  x  2  3 

7 x2

y se reemplaza en la integral, obteniendo: 7     3  x  2  dx  3x  7 ln x  2  c Fracciones propias: si la fracción es de este tipo, el denominador se debe factorizar (siempre que sea posible) y aplicar uno de los casos siguientes: Caso 1: Los factores del denominador son de primer grado o lineales y no se repiten, siendo de la forma mx  b

Ejemplo 2

Hallar



  x

2

5x  7   dx  3x  2 

Se realiza la factorización del denominador y se plantean las fracciones correspondientes:

5x  7 5x  7 A B 2 3      x  3x  2 x  2 x  1 x  1 x  2 x  1 x  2 2

21

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

Se reemplaza estos resultados en la integral obteniendo:  5x  7   2   3    x 2  3x  2  dx    x  1  dx    x  2  dx



  x

2

5x  7   dx  2 ln x  1  3 ln x  2  c  3x  2 

Caso 2: El denominador contiene factores lineales repetidos, siendo de la forma: ax  b

n

A



ax  b

n

A3 An A1 A2    ...  2 3 ax  b ax  b ax  b ax  bn

Ejemplo 3 Hallar

3x  1

 x  2

2

dx

Se realiza la factorización del denominador y se plantean las fracciones correspondientes: 3x  1 A B 3 7     2 2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  22 Se reemplazan estos resultados en la integral, obteniendo: 3x  1 3 7  x  22 dx   x  2 dx   x  22 dx

3x  1

 x  2

2

dx  3 ln x  2 

7 c x2

Caso 3: Los factores del denominador son de segundo grado y no se repiten, es decir, son de la forma: ax 2  bx  c

Ejemplo 4 Hallar

 x

2

7x 1 dx  3 x2 1





22

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

Se realiza la factorización del denominador y se plantean las fracciones correspondientes: 7x  1 Ax  B Cx  D  2  2 2 x  3 x 1 x 3 x2 1







Se reemplaza estos resultados en la integral obteniendo: 1 7 1 7 x  x   7x  1 4 4 4 4  x 2  3x 2  1 dx    x 2  3  x 2  1  dx Se tienen 4 integrales a resolver     7 x x 7 4 dx  7 dx  ln x 2  3  c 2  x2  3  4 x 3 8



1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 1 4 dx  1 dx   dx   dx  ln x  3  ln x  3  c  2 2 4 x 3 4 x 3 4 x 3 x 3 8 3 8 3

7 x x 7 4 dx   7 dx   ln x 2  1  c 2  x2 1  4 x 1 8 1  1 1 1 1 4  x 2  1 dx   4  x 2  1 dx   4 tan x  c 

Reemplazando los resultados anteriores en la integral inicial, se obtiene: 7x 1 7 1 1 7 1 2 2 1  x2  3x2  1 dx  8 ln x  3  8 3 ln x  3  8 3 ln x  3  8 ln x  1  4 tan x  c

Caso 4: Los factores del denominador son de segundo grado y se repiten, es decir, son de la forma

ax

2

 bx  c



n

Ejemplo 5

Hallar

 x

2x3 2



1

2

dx

Se realiza la factorización del denominador y se plantean las fracciones correspondientes:

23

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

x

2x3 2

2





2

Ax  B Cx  D  2 x2 1 x2 1





Se reemplazan estos resultados en la integral obteniendo:

 x  x

2x3 2

2x 3 2



1

2



1

2

dx  

2x 2x dx   dx 2 2 x 1 x 1



2

dx  ln x 2  1 



1 c x 1 2

ACTIVIDAD Realice las siguientes integrales utilizando el método fracciones parciales:

2 x



1 dx  x 2  4 x  7 ln x  2  c x2 2

1.



2.

 2 x  1 dx  2 x  4 ln 2 x  1  c

3.

 x  1x  4  5 ln  x  4   c

4.

 3x  x

x4

1

dx

2  3x 2

x2 1

9

1

dx 

 x 1 

2 11 ln x  ln 3  x   c 3 3

dx   ln 1  x  

2 c 1 x

5.

 1  x 

6.

 x 9 x

7.

 19 x 2  50 x  25 5 2  x 2 3x  5 dx   7 ln x  x  3 ln 3x  5  c

3

2 x 1 1 2 dx  ln x  ln 3x  2  c 2 2 33x  2  12 x  4

2



24

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

8.

9.

x

 x  1x

2

x3  x 1

 x

2



1

2

1 x 1 2 x dx  ln  tan 1 c 3 3 2 x x2  2



dx 





1 1 x ln x 2  1  tan 1 x  c 2 2 2 2 x 1





BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA L. Leithold, El cálculo, 7ª. ed. México: Printed Oxford University Press-Harla México, S.A. de C. V., 1998, p. 572. E. Purcell, D. Verberg y S. Rigdon, Cálculo, 9ª. ed. México: Pearson Educación, 2007, p. 404.

25

No tas de clase 

Notas sobre los métodos de integración

7. APLICACIÓN

Un tanque tiene la forma de un cilindro circular recto, de 12 pies de profundidad y un radio de 4 pies; está lleno hasta la mitad de aceite que pesa 60 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒 3. Determine el trabajo realizado al bombear el aceite hasta una altura de 6 pies por arriba del tanque.

Se toma el origen en el centro de la parte inferior del tanque en dirección positiva hacia arriba. El volumen es un disco de radio de 4 pies y una altura de ∆1 𝑥 , la densidad del aceite es 60 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒 3 𝑣 = 𝜋 (4𝑝𝑖𝑒)2 ∆𝑖 𝑥 (𝑝𝑖𝑒), La fuerza 𝑓(𝑤𝑖 ) es: 60 𝜋 (4)2 ∆𝑖 𝑥 = 960𝜋∆𝑖 𝑥 (𝑙𝑏) El trabajo 𝑤 realizado por la fuerza conforme el objeto se desplaza de 0 a 18 𝑝𝑖𝑒𝑠 se define: 𝑤 = 𝑙𝑖𝑚‖∆‖→0 ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑤𝑖 )∆𝑖 𝑥 , la distancia ∆𝑖 𝑥: (18 − 𝑥)𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑛

6

𝑤 = 𝑙𝑖𝑚‖∆‖→0 ∑ 960𝜋(18 − 𝑥)∆𝑖 𝑥 = ∫ 960𝜋(18 − 𝑥) 𝑑𝑥 0

𝑖=1 6 1 = 960𝜋 [18𝑥 − 𝑥 2 ] 2 0

= 86400𝜋 = 271.400 𝑙𝑏 − 𝑝𝑖𝑒

8. CONCLUSIÓN Para resolver una integral primero se debe identificar qué método de integración se va a utilizar, y de acuerdo con este se elige el cambio de variable adecuado para convertir la integral en otra más sencilla, además de tener buenas bases algebraicas en ecuaciones, factorización, simplificación de fracciones algebraicas y derivación. 26